semigrup dan monoid

1. BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
25
BAB 2
SEMIGRUP DAN MONOID
Tujuan Instruksional Umum :
Setelah mengikuti pokok bahasan ini mahasiswa dapat mengidentifikasi dan
memahami konsep dari Semigrup dan Monoid
Tujuan Instruksional Khusus :
Setelah diberikan penjelasan mengenai operasi biner pada himpunan, mahasiswa
minimal 80% dapat :
a. Menjelaskan definisi dari Semigrup
b. Menentukan suatu operasi biner adalah Semigrup
c. Menjelaskan definisi dari Monoid
d. Menentukan suatu operasi biner adalah Monoid
Deskripsi Singkat :
Dalam bab ini merupakan kelanjutan dari bab 1, jika dalam bab sebelumnya
dijelaskan mengenai struktur aljabar yang mempunyai satu atau dua operasi biner,
dalam bab ini akan dibahas mengenai Semigrup yang mempunyai satu prasyarat
tertutup dan assosiatif dari operasinya dan bila Semigrup memiliki unsur kesatuan
maka dinamakan Monoid.

2. BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
26
2.1. Semigrup dan Monoid
Telah kita pelajari konsep grupoid yaitu suatu struktur aljabar
dengan satu operasi biner. Grupoid adalah suatu struktur aljabar hanya
dengan satu operasi biner saja dan tanpa syarat apa-apa, yang
merupakan struktur aljabar yang paling sederhana.
Dalam sub pokok bahasan ini, akan dipelajari struktur aljabar
dengan satu operasi biner, tetapi sudah diberi prasyarat yaitu sifat
tertutup dan assosiatif dari operasinya.
Definisi 2.1 :
Suatu grupoid (G,+) dikatakan semigrup terhadap penjumlahan jika
memenuhi syarat-syarat :
1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan
2. Assosiatif terhadap penjumlahan
Contoh 2.1 :
Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan
R, merupakan semigrup terhadap penjumlahan dengan lambang (N,+),
(Z,+), (Q,+) dan (R,+).
Definisi 2.2 :
Suatu grupoid (G,.) dikatakan semigrup terhadap perkalian jika memenuhi
syarat-syarat :
1. (G, .) tertutup terhadap perkalian
2. Assosiatif terhadap perkalian

3. BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
27
Contoh 2.2 :
Grupoid bilangan asli N, bilangan bulat Z, bilangan rasional Q dan bilangan
R, merupakan semigrup terhadap perkalian dengan lambang (N, .) untuk
bilangan asli, (Z, .) untuk bilangan bulat, (Q, .) untuk bilangan rasional
dan (R, .) bilangan real.
Contoh 2.3 :
Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner
a * b = a + b + ab. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup.
Penyelesaian :
1. Tertutup
Misalkan a, b ∈N
a * b = a + b + ab ∈ N
maka a * b tertutup terhadap bilangan asli N.
2. Assosiatif
Misalkan a, b, c ∈N
(a * b) * c = (a + b + ab) + c
= (a + b + ab) + c + (a + b + ab) c
= a + b + ab + c + ac + bc + abc
a * (b * c) = a * (b + c + bc)
= a + (b + c + bc) + a (b + c + bc)
= a + b + c + bc + ab + ac + abc
Maka ∀ a, b, c ∈ N berlaku (a * b) * c = a * (b * c)
Jadi, (N,*) yang didefinisikan a * b = a + b + ab
merupakan suatu semigrup

4. BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
28
Contoh 2.4 :
Misalkan suatu grupoid yang didefinisikan dalam disajikan daftar Cayley
sebagai berikut :
Tabel 2.1.
Daftar Cayley suatu grupoid
. a b c d
a b c d a
b d a b c
c a b c d
d c d a b
Tunjukan apakah grupoid tersebut merupakan suatu semigrup.
Penyelesaian :
Akan ditunjukan apakah grupoid tersebut assosiatif atau bukan.
Misalkan x = a, y = a dan z = a
(x . y) . z = (a . a) . a
= b . a
= d
x . (y . z) = a . (a . a)
= a . b
= c
didapat (x . y) . z = d dan x . (y . z) = c
sehingga (x . y) . z ≠ x . (y . z)
Jadi grupoid tersebut bukan merupakan suatu semigrup.

5. BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
29
Suatu semigrup yang memiliki unsur satuan atau identitas
dinamakan sebuah monoid, dijelaskan pada definisi berikut ini :
Definisi 2.3 :
Suatu grupoid (G,+) dikatakan monoid terhadap penjumlahan jika
memenuhi syarat-syarat :
1. (G,+) tertutup terhadap penjumlahan
2. Assosiatif terhadap penjumlahan
3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap penjumlahan
Dengan kata lain, semigrup terhadap penjumlahan yang mempunyai unsur
satuan atau identitas (e = 0) disebut monoid terhadap penjumlahan.
Contoh 2.5 :
Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z,+), bilangan rasional (Q,+) dan
bilangan (R,+), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya
memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau
identitas yaitu nol (0).
Definisi 2.4 :
Suatu grupoid (G, .) dikatakan monoid terhadap perkalian jika memenuhi
syarat-syarat :
1. (G, .) tertutup terhadap perkalian
2. Assosiatif terhadap perkalian
3. Mempunyai unsur satuan atau identitas terhadap perkalian
Dengan kata lain, semigrup terhadap perkalian yang mempunyai unsur
satuan atau identitas (e = 1) disebut monoid terhadap perkalian.

6. BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
30
Contoh 2.6 :
Grupoid-grupoid bilangan bulat (Z, .), bilangan rasional (Q, .) dan
bilangan (R, .), merupakan monoid-monoid karena selain kesemuanya
memiliki sifat assosiatif, kesemuanya juga memiliki unsur satuan atau
identitas yaitu satu (1).
Kalau kita buat bagan yang melukiskan suatu struktur aljabar yang
berupa semigrup dan monoid dapat diperoleh gambar sebagai berikut :
Gambar 2.1.
Bagan dari suatu Semigrup dan Monoid
HIMPUNAN
≠≠≠≠ 0
SEMIGRUP
STRUKTUR
ALJBAR
GRUPOID
MONOID
operasi
biner
∃ Identitas
Assosiatif
satu
operasi
biner

7. BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
31
2.2. Rangkuman
1. Suatu grupoid (G,*) dikatakan semigrup jika memenuhi syarat-syarat :
• (G,*) tertutup
• Assosiatif
2. Suatu grupoid (G,*) dikatakan monoid jika memenuhi syarat-syarat :
• (G,*) tertutup
• Assosiatif
• Mempunyai unsur satuan atau identitas
Dengan kata lain, semigrup yang mempunyai unsur satuan atau
identitas disebut monoid.
2.3. Soal-soal Latihan
1. Misalkan himpunan bilangan asli N, didefinisikan sebagai operasi biner
x * y = x + y - xy. Tunjukan bahwa (N,*) adalah suatu semigrup.
2. Dari soal no.2, tunjukan bahwa (N,*) merupakan monoid.
3. Tunjukan bahwa operasi biner dari a + b dan a . b di Z+
memenuhi
sifat-sifat dari :
a. semigrup
b. monoid.

8. BAHAN AJAR STRUKTUR ALJABAR, BY FADLI
32
4. Misalkan X = {0, 1, 2, 3} dimana X ⊆ Z.
Diketahui :
a * b = c
3 * 1 = 0
3 * 2 = 1
3 * 3 = 2
Buatlah tabel operasi biner dan apakah memenuhi sifat-sifat semigrup
dan monoid.
♠♣♥♣♠