Dokumen tersebut membahas tentang pengertian himpunan, macam-macam himpunan, relasi antar himpunan, diagram himpunan, operasi pada himpunan, dan aljabar himpunan dalam 3 kalimat atau kurang.
1. I. HIMPUNAN
1.1 Pengertian Himpunan
1.2 Macam-macam Himpunan
1.3 Relasi Antar Himpunan
1.4 Diagram Himpunan
1.5 Operasi pada Himpunan
1.6 Aljabar Himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
2. Pengertian Himpunan
1. Apa yang dimaksud dengan himpunan ?
2. Berikan contoh himpunan
3. Berikan contoh yang bukan himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
3. Definisi
Himpunan adalah Kumpulan objek-objek
(benda-benda real atau abstrak) yang
didefinisikan dengan jelas.
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
4. Contoh Himpunan
Kumpulan mahasiswa Jurusan
Pendidikan Biologi FPMIPA UPI
Kumpulan anak-anak SD Isola
Kumpulan mahasiswa UPI yang berumur
kurang dari 10 tahun
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
5. Contoh bukan himpunan
Kumpulan anak-anak yang berambut
gondrong
Kumpulan makanan yang lezat-lezat
Kumpulan anak-anak yang pandai
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
6. Notasi Himpunan
Himpunan biasanya dinyatakan dalam huruf
kapital ; A, B, C, … atau ditandai oleh dua
kurung kurawal, { … }
Sedangkan anggota himpunan biasanya
dinyatakan dalam huruf kecil ; a, b, c, …
Jika x anggota himpunan A, maka ditulis x A
Jika y bukan anggota himpunan B, maka ditulis
y B
Banyaknya anggota himpunan A ditulis n(A)
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
8. Macam-macam Himpunan
Himpunan kosong
Himpunan semesta
Himpunan Bilangan
Himpunan terhingga (finite) dan tak terhingga
(infinite)
Himpunan Terhitung (countable) dan
Tak Terhitung (uncountable)
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
9. Macam-macam Himpunan
Himpunan kosong
Yaitu himpunan yang tidak mempunyai anggota dan
ditulis dengan simbol ø atau { }.
Himpunan semesta
Yaitu himpunan yang memuat semua anggota yang
sedang dibicarakan, biasanya ditulis dengan simbol S.
Himpunan Bilangan, terdiri dari ;
Himpunan Bilangan Asli : N = {1, 2, 3, … }
Himpunan Bilangan Cacah : C = {0, 1, 2, 3, … }
Himpunan Bilangan Bulat : Z = { … , -1, 0, 1, … }
Himpunan Bilangan Rasional : Q = {p/q : p, q Z, q 0}
Himpunan Bilangan Real : R
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
10. Macam-macam Himpunan
(lanjutan)
Himpunan terhingga (finite) dan tak
terhingga (infinite)
Himpunan terhingga (finite) adalah
himpunan yang banyak anggotanya
terhingga, yaitu himpunan kosong
atau himpunan yang mempunyai n
elemen.
Contoh
A = {a, b, c, d} , B = = { }
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
11. Macam-macam Himpunan
(lanjutan)
Himpunan tak terhingga (infinite atau
denumerable) adalah himpunan yang
berkorespondensi satu-satu dengan bilangan
asli, yaitu himpunan yang banyak
anggotanya tak terhingga.
Contoh
Himpunan bilangan genap, himpunan
bilangan ganjil, himpunan bilangan bulat,
himpunan bilangan rasional, dsb.
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
12. Macam-macam Himpunan
(lanjutan)
Himpunan Terhitung (countable) dan Tak
Terhitung (uncountable)
Himpunan Terhitung adalah himpunan
terhingga atau denumerable. Jadi
Himpunan terhingga
Himpunan Terhitung
Himpunan denumerable
Contoh ;
A = {1, 2, 3, 4}
B = himpunan bilangan ganjil
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
13. Macam-macam Himpunan
(lanjutan)
Himpunan tak Terhitung (uncountable)
adalah adalah himpunan yang tidak
terhitung.
Contoh :
R = Himpunan bilangan real
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
14. Relasi Antar Himpunan
Himpunan sama
Yaitu dua buah himpunan yang memiliki anggota yang
persis sama, tanpa melihat urutannya.
Himpunan equivalen
Yaitu dua buah himpunan yang memiliki banyak anggota
yang sama. Jika A equivalen B, maka ditulis A ~ B
Himpunan Bagian
Himpunan A dikatakan himpunan bagian dari himpunan B
jika setiap anggota A termasuk anggota B, ditulis A B
Himpunan Kuasa
Yaitu himpunan yang anggotanya adalah himpunan-
himpunan bagian dari suatu himpunan
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
15. Contoh Himpunan Kuasa
Jika A = {a, b, c}, maka himpunan kuasa
dari A adalah :
2A = { ø, {a}, {b}, {c}, {a,b}, {a,c}, {b,c}, A}
Jika m adalah banyaknya anggota
himpunan A, maka banyaknya anggota
himpunan kuasa dari A adalah 2m
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
16. Diagram Himpunan
Terdiri dari :
Diagram Venn
Diagram Garis
Diagram Cartess
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
18. Diagram Garis
Jika A himpunan bagian dari C dan B himpunan
bagian dari C, maka ditulis dalam diagram garis
sbb;
D
C
A B
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
19. Diagram Cartess
Untuk menggambarkan suatu himpunan bilangan, Rene
Descartes menggambarkannya dalam suatu garis bilangan.
Garis bilangan ini disebut garis bilangan Cartess.
Jika A = {x : 0 x < 3}, maka digambarkan dalam garis
bilangan sbb;
0 1 2 3
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
20. Operasi pada Himpunan
Irisan
A ∩ B = {x : x A dan x B}
Gabungan
A B = {x : x A atau x B}
Penjumlahan
A + B = {x : x A, x B, x (A∩B)}
Pengurangan
A – B = A B = {x : x A, x B}
Komplemen
Ac = {x : x A, x S}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
21. Penjumlahan dan Pengurangan
dalam Diagram Venn
A + B = {x : x A, x B, A B
x (A∩B)}
A – B = {x : x A, x B}
A B
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
22. Sifat-sifat Operasi Himpunan
Sifat komutatif
A B = B A dan A B = B A
Sifat asosiatif
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
Sifat distributif
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Sifat Komplemen
A Ac = ø, A Ac = S, (Ac)c = A, Sc = ø, øc = S
(A B)c = Ac Bc dan (A B)c = Ac Bc
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
23. Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan)
Sifat pengurangan
A - A = ø, A – ø = A, A – B = A Bc
A - (B C) = (A - B) (A - C)
A - (B C) = (A - B) (A - C)
Sifat identitas
A ø = ø, A S = A, A ø = A, A S = S
Sifat idempoten
A A = A, A A = A
Sifat himpunan bagian
(A B) A, (A B) B, (A - B) A
Jika A B, maka A B = A, A B = B, Bc Ac dan
A (B – A) = B
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
24. Sifat-sifat Operasi Himpunan (Lanjutan)
Sifat refleksif
A = A, A A, A ~ A
Sifat simetrik
Jika A = B, maka B = A
Jika A ~ B, maka B ~ A
Sifat transitif
Jika A = B dan B = C, maka A = C
Jika A B dan B C, maka A C
Jika A ~ B dan B ~ C, maka A ~ C
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
26. Sifat-sifat aljabar himpunan
Hukum idempoten
A A = A, A A = A
Hukum asosiatif
A (B C) = (A B) C
A (B C) = (A B) C
Hukum komutatif
A B = B A dan A B = B A
Hukum distributif
A (B C) = (A B) (A C)
A (B C) = (A B) (A C)
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
27. Sifat-sifat aljabar himpunan (lanjutan)
Hukum identitas
A ø = ø, A S = A, A ø = A, A S=S
Hukum komplemen
A Ac = ø, A Ac = S, (Ac)c = A, Sc = ø,
øc = S
Hukum De Morgan
(A B)c = Ac Bc dan (A B)c = Ac Bc
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
28. Prinsip dualitas
Jika kita menukar dengan dan S
dengan ø dalam setiap pernyataan
tentang himpunan, maka pernyataan
baru tersebut disebut dual dari
pernyataan aslinya.
Contoh
Dual dari (S B) (A ø) = A adalah
(ø B) (A S) = A
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
29. Himpunan Berindeks
J = {1, 2, 3, 4} disebut himpunan indeks
{A1, A2, A3, A4} disebut himpunan berindeks
dan ditulis;
{Ai : i J} = {A1, A2, A3, A4}
Jika K = {1, 2, 3, … n}, maka
{ i Ai : i K} = {A1 A2 … An}
Jika K = {1, 2, 3, … }, maka
{ i Ai : i K} = {A1 A2 … }
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
30. Contoh himpunan berindeks
Jika A1 = {1 }
A2 = {1, 2}
…
An = {1, 2, … , n}
Tentukan { i Ai : 1 i n} dan { i Ai : 1 i n}
{ i Ai : 1 i n} = {A1 A2 … An}= An
{ i Ai : 1 i n} = {A1 A2 … An}= A1
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
31. Partisi
β = {B1, B2, … , Bn} disebut partisi dari
A, jika memenuhi kedua sifat berikut ;
1) A = B1 B2 … Bn
2) Bi Bj = ø, untuk setiap i ≠ j, 1 i n,
1 j n
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
32. Contoh partisi
P = {1, 2, 3, …}, Q = {1, 3, 5, …} dan
R {2, 4, 6, …}, maka Q dan R adalah
partisi dari P, sebab Q R = P dan
Q R=ø
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
33. Himpunan Bersarang
A1, A2, … , An, … disebut himpunan
bersarang jika memenuhi ;
A1 A2 … An …
Contoh
A1 = [0,1] , A2 = [0, 1/2] … , An = [0, 1/n], …
A1, A2, … , An, … merupakan himpunan
bersarang, sebab A1 A2 … An …
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
34. Soal latihan
1. Jika A dan B suatu himpunan buktikan
bahwa A (A B) = A
2. Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil asli},
tentukan A4 A6
3. Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat}, tentukan
A3 A4 dan A3 A4
4. Misalkan Dn = (0, 1/n), n {bil asli}, tentukan
D3 D7 dan D3 D7
5. Cari semua partisi dari W = {1, 2, 3}
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI
35. Soal-soal
1. Misalkan An = {x : x kelipatan n, n bil
asli}, tentukan i P Ai , P = bil prima
2. Misalkan Ai = [i, i+1], i {bil bulat},
tentukan i Ai
3. Misalkan Dn = [0, 1/n], n A={bil asli},
tentukan i A Di
4. Misalkan Dn = (-1/n, 1/n), n A={bil
asli}, tentukan i A Di
Cece Kustiawan, FPMIPA, UPI