本文档讨论了二次分母的积分方法，包括采用部分分式进行处理。提供了多个积分案例和解决方案，展示了不同的积分技巧及其解法。重点关注了特定形式的函数以及相关的数学公式。

1. Integrating Quadratic
Denominators
1 2 dx 2   dx
a x a  x a  x 
dx dx
2 2 2  
x a  x  a  x  a 

2. Integrating Quadratic
Denominators
1 2 dx 2   dx 
a x a  x a  x   done via

dx dx 
2 2 2    partial fractions
x a  x  a  x  a  


3. Integrating Quadratic
Denominators
1 2 dx 2   dx  1 a  x  c
 log 
a x a  x a  x   done via
 2a a  x 

 partial fractions  1 log  x  a   c
dx dx
2 2 2  
x a  x  a  x  a  
 2a x  a
 

4. Integrating Quadratic
Denominators
1 2 dx 2   dx  1 a  x  c
 log 
a x a  x a  x   done via
 2a a  x 

 partial fractions  1 log  x  a   c
dx dx
2 2 2  
x a  x  a  x  a  
 2a x  a
 
dx 1 1 x
3 2 2  tan  c
a x a a

5. Integrating Quadratic
Denominators
1 2 dx 2   dx  1 a  x   c
 log 
a x a  x a  x   done via
 2a a  x 

 partial fractions  1 log  x  a   c
dx dx
2 2 2  
x a  x  a  x  a  
 2a x  a
 
dx 1 1 x
3 2 2  tan  c
a x a a
dx 1 x
4  sin c
a x
2 2
a

6. Integrating Quadratic
Denominators
1 2 dx 2   dx  1 a  x   c
 log 
a x a  x a  x   done via
 2a a  x 

 partial fractions  1 log  x  a   c
dx dx
2 2 2  
x a  x  a  x  a  
 2a x  a
 
dx 1 1 x
3 2 2  tan  c 5
dx
x2  a2
 
 log x  x 2  a 2  c
a x a a
dx 1 x
4  sin c
a x
2 2
a

7. Integrating Quadratic
Denominators
1 2 dx 2   dx  1 a  x   c
 log 
a x a  x a  x   done via
 2a a  x 

 partial fractions  1 log  x  a   c
dx dx
2 2 2  
x a  x  a  x  a  
 2a x  a
 
dx 1 1 x
3 2 2  tan  c 5
dx
x2  a2
 
 log x  x 2  a 2  c
a x a a
4
dx
 sin 1 x
c 6
dx
a2  x2
 
 log x  a 2  x 2  c
a x
2 2
a

8. 5dx
e.g. i 
x2  4x  9

9. 5dx
e.g. i 
x2  4x  9
5dx

 x  22  5

10. 5dx
e.g. i 
x2  4x  9
5dx

 x  22  5
1 1  x  2 
 5 tan  c
5  5 
1  x  2 
 5 tan  c
 5 

11. e.g. i 
5dx 3x  2dx
x2  4x  9
ii 
x2  4x 1
5dx

 x  22  5
1 1  x  2 
 5 tan  c
5  5 
1  x  2 
 5 tan  c
 5 

12. e.g. i 
5dx 3x  2dx
x2  4x  9
ii 
x2  4x 1
5dx 2x  4
 3
  2 dx   2
8dx
 x  22  5 2 x  4x 1 x  4x 1
1 1  x  2 
 5 tan  c
5  5 
1  x  2 
 5 tan  c
 5 

13. e.g. i 
5dx 3x  2dx
x2  4x  9
ii 
x2  4x 1
5dx 2x  4
 3
  2 dx   2
8dx
 x  22  5 2 x  4x 1 x  4x 1
1 1  x  2 
 5 tan  c u  x2  4x 1
5  5 
du  2 x  4 dx
1  x  2 
 5 tan  c
 5 

14. e.g. i 
5dx 3x  2dx
x2  4x  9
ii 
x2  4x 1
5dx 2x  4
 3
  2 dx   2
8dx
 x  22  5 2 x  4x 1 x  4x 1
1 1  x  2 
 5 tan  c u  x2  4x 1
5  5 
du  2 x  4 dx
1  x  2 
 5 tan  c 3 2
1
8dx
 5    u du  
2  x  2  3
2

15. e.g. i 
5dx 3x  2dx
x2  4x  9
ii 
x2  4x 1
5dx 2x  4
 3
  2 dx   2
8dx
 x  22  5 2 x  4x 1 x  4x 1
1 1  x  2 
 5 tan  c u  x2  4x 1
5  5 
du  2 x  4 dx
1  x  2 
 5 tan  c 3 2
1
8dx
 5    u du  
2  x  2  3
2
 
1
3
  2u 2  8 log x  2  x 2  4 x  1  c
2

16. e.g. i 
5dx 3x  2dx
x2  4x  9
ii 
x2  4x 1
5dx 2x  4
 3
  2 dx   2
8dx
 x  22  5 2 x  4x 1 x  4x 1
1 1  x  2 
 5 tan  c u  x2  4x 1
5  5 
du  2 x  4 dx
1  x  2 
 5 tan  c 3 2
1
8dx
 5    u du  
2  x  2  3
2
 
1
3
  2u 2  8 log x  2  x 2  4 x  1  c
2
 
 3 x 2  4 x  1  8 log x  2  x 2  4 x  1  c

17. iii  x  3dx
2 x

18. iii  x  3dx   x  3  x  3dx
2 x 2 x x3

19. iii  x  3dx   x  3  x  3dx
2 x 2 x x3
x3
 dx
6 x x 2

20. iii  x  3dx   x  3  x  3dx
2 x 2 x x3
x3
 dx
6 x x 2
1  2x 1 1 5dx
  dx  
2 6 x x 2
2 6  x  x2

21. iii  x  3dx   x  3  x  3dx
2 x 2 x x3 u  6  x  x2
x3
 dx du   2 x  1dx
6 x x 2
1  2x 1 1 5dx
  dx  
2 6 x x 2
2 6  x  x2

22. iii  x  3dx   x  3  x  3dx
2 x 2 x x3 u  6  x  x2
x3
 dx du   2 x  1dx
6 x x 2
1  2x 1 1 5dx
  dx  
2 6 x x 2
2 6  x  x2
1
1 2 5 dx
   u du   2
2 2 25  1
x  
4  2

23. iii  x  3dx   x  3  x  3dx
2 x 2 x x3 u  6  x  x2
x3
 dx du   2 x  1dx
6 x x 2
1  2x 1 1 5dx
  dx  
2 6 x x 2
2 6  x  x2
1
1 2 5 dx
   u du   2
2 2 25  1
x  
4  2
  1 
2 x   
5 1  
1
1 2
   2u  sin 
2
c
2 2  5 

 


24. iii  x  3dx   x  3  x  3dx
2 x 2 x x3 u  6  x  x2
x3
 dx du   2 x  1dx
6 x x 2
1  2x 1 1 5dx
  dx  
2 6 x x 2
2 6  x  x2
1
1 2 5 dx
   u du   2
2 2 25  1
x  
4  2
  1 
2 x   
5 1  
1
1 2
   2u  sin 
2
c
2 2  5 

 

2 x  1
  6  x  x 2  sin 1 
5
2  5 c
 

25. Exercise 2F; odd
Exercise 2H; 1, 2, 5, 6, 9, 15, 17 to 20