文档讨论了通过部分分式分解进行积分的方法，具体包括当分母的次数大于或等于分子时的除法技巧，以及如何处理线性和多项式因子。它提供了对部分函数的分解示例和相应的积分计算。文档还涉及了特定例子的逐步解决方案。

1. Integration By
Partial Fractions
 Ax
To find;  dx
P x 

2. Integration By
Partial Fractions
 Ax
To find;  dx
P x 
1 If degA x   degP x , perform a division

3. Integration By
Partial Fractions
 Ax
To find;  dx
P x 
1 If degA x   degP x , perform a division
2 If degA x   degP x , factorise P x 

4. Integration By
Partial Fractions
 Ax
To find;  dx
P x 
1 If degA x   degP x , perform a division
2 If degA x   degP x , factorise P x 
A
a) for linear factor  x  a , write
xa

5. Integration By
Partial Fractions
 Ax
To find;  dx
P x 
1 If degA x   degP x , perform a division
2 If degA x   degP x , factorise P x 
A
a) for linear factor  x  a , write
xa
b) for multiple linear factors  x  a  , write
n
A B C
 
x  a x  a 2
 x  a n

6. Integration By
Partial Fractions
 Ax
To find;  dx
P x 
1 If degA x   degP x , perform a division
2 If degA x   degP x , factorise P x 
A
a) for linear factor  x  a , write
xa
b) for multiple linear factors  x  a  , write
n
A B C
 
x  a x  a 2
 x  a n
Ax  B
c) for polynomial factors e.g. ax  bx  c, write 2
2
ax  bx  c

7. x2
e.g. i  dx
x 1

8. x2 x
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x

9. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
x0

10. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
x0
 x 1

11. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
x0
 x 1
1

12. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
 x 1
1

13. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1

14. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1
3dx
ii 
x2  x

15. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1
3dx
ii 
x2  x
3dx

x x  1

16. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1
3dx A B 3
ii  2  
x x x x  1 x x  1
3dx

x x  1

17. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1
3dx A B 3
ii   
x2  x x x  1 x x  1

3dx A x  1  Bx  3
x x  1

18. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1
3dx A B 3
ii   
x2  x x x  1 x x  1

3dx A x  1  Bx  3
x x  1
x0
A3
A  3

19. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1
3dx A B 3
ii   
x2  x x x  1 x x  1

3dx A x  1  Bx  3
x x  1
x0 x 1
A3 B3
A  3

20. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1
3dx A B 3
ii   
x2  x x x  1 x x  1

3dx A x  1  Bx  3
x x  1
 3 3  x0 x 1
    dx A3 B3
 x  x  1
A  3

21. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1
3dx A B 3
ii   
x2  x x x  1 x x  1

3dx A x  1  Bx  3
x x  1
 3 3  x0 x 1
    dx A3 B3
 x  x  1
 3 log x  3 log x  1  c A  3

22. x2 x 1
e.g. i  dx x 1 x2  0x  0
x 1
x2  x
  x 1
1 

  dx
x  1 x0
1  x 1
 x 2  x  log x  1  c
2 1
3dx A B 3
ii   
x2  x x x  1 x x  1

3dx A x  1  Bx  3
x x  1
 3 3  x0 x 1
    dx A3 B3
 x  x  1
 3 log x  3 log x  1  c A  3
x  1
 3 log
 c
 x 

23. x5
iii  2 dx
x  3 x  10

24. x5
iii  2 dx
x  3 x  10
x5
 dx
 x  5 x  2

25. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2

26. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2
 7B  3
3
B
7

27. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 7B  3 7 A  10
3 10
B A
7 7

28. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
B A
7 7

29. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
10 3 B A
 log x  5  log x  2   c 7 7
7 7

30. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
10 3 B A
 log x  5  log x  2   c 7 7
7 7
dx
iv  3
x x

31. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
10 3 B A
 log x  5  log x  2   c 7 7
7 7
dx
iv  3
x x
dx

xx 2  1

32. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
10 3 B A
 log x  5  log x  2   c 7 7
7 7
A Bx  C 1
iv  3
dx  2 
x x x x  1 xx 2  1

dx Ax 2  1   Bx  C x  1
xx 2  1

33. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
10 3 B A
 log x  5  log x  2   c 7 7
7 7
A Bx  C 1
iv  3
dx  2 
x x x x  1 xx 2  1

dx Ax 2  1   Bx  C x  1
xx 2  1
x0
A 1

34. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
10 3 B A
 log x  5  log x  2   c 7 7
7 7
A Bx  C 1
iv  3
dx  2 
x x x x  1 xx 2  1

dx Ax 2  1   Bx  C x  1
xx 2  1 xi
x0
A 1  B  Ci  1

35. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
10 3 B A
 log x  5  log x  2   c 7 7
7 7
A Bx  C 1
iv  3
dx  2 
x x x x  1 xx 2  1

dx Ax 2  1   Bx  C x  1
xx 2  1 xi
x0
A 1  B  Ci  1
B  1 C  0

36. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
10 3 B A
 log x  5  log x  2   c 7 7
7 7
A Bx  C 1
iv  3
dx  2 
x x x x  1 xx 2  1

dx Ax 2  1   Bx  C x  1
xx 2  1 xi
x0
   1  x  dx
 A 1  B  Ci  1
 x x  1
2
B  1 C  0

37. x5 x5
iii  2 dx A

B

x  3 x  10  x  5  x  2  x  5 x  2
x5
 dx A x  2   B x  5  x  5
 x  5 x  2 x  2 x5
 10 3   7B  3 7 A  10
    dx
 7  x  5  7  x  2  3 10
10 3 B A
 log x  5  log x  2   c 7 7
7 7
A Bx  C 1
iv  3
dx  2 
x x x x  1 xx 2  1

dx Ax 2  1   Bx  C x  1
xx 2  1 xi
x0
   1  x  dx
 A 1  B  Ci  1
 x x  1
2
B  1 C  0
 log x  logx 2  1  c
1
2

38. xdx
v 
 x  12 x 2  1

39. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2

40. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2
x  1
2 B  1
1
B
2

41. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2
x  1 xi
2 B  1  2C  2 Di  i
1
B
2

42. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2
x  1 xi
2 B  1  2C  2 Di  i
1
1 C 0 D
B 2
2

43. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2
x  1 xi
2 B  1  2C  2 Di  i
1
1 C 0 D
B 2
2
x0
2A  B  D  0
1 1
2A    0
2 2
A0

44. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2
 1 x  1 xi
1 
  
 2 x  1 2x  1
2 2  dx 2 B  1  2C  2 Di  i
1
1 C 0 D
B 2
2
x0
2A  B  D  0
1 1
2A    0
2 2
A0

45. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2
 1 x  1 xi
1 
  
 2 x  1 2x  1
2 2  dx 2 B  1  2C  2 Di  i
1
1 C 0 D
1  1  B 2
    x  1  2
2
2  x  1
dx 2
x0
2A  B  D  0
1 1
2A    0
2 2
A0

46. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2
 1 x  1 xi
1 
  
 2 x  1 2x  1
2 2  dx 2 B  1  2C  2 Di  i
1
1 C 0 D
1  1  B 2
    x  1  2
2
2  x  1
dx 2
x0
1    x  11 1  2A  B  D  0
   tan x   c
2  1  1 1
2A    0
2 2
A0

47. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2
 1 x  1 xi
1 
  
 2 x  1 2x  1
2 2  dx 2 B  1  2C  2 Di  i
1
1 C 0 D
1  1  B 2
    x  1  2
2
2  x  1
dx 2
x0
1    x  11 1  2A  B  D  0
   tan x   c
2  1  1 1
2A    0
1 1  2 2
   tan 1 x   c A0
2  x 1 

48. v 
xdx A B Cx  D x
  2 
 x  12 x 2  1  x  1  x  12 x  1  x  12 x 2  1
A x  1x 2  1  B x 2  1  Cx  D  x  1  x
2
 1 x  1 xi
1 
  
 2 x  1 2x  1
2 2  dx 2 B  1  2C  2 Di  i
1
1 C 0 D
1  1  B 2
    x  1  2
2
2  x  1
dx 2
x0
1    x  11 1  2A  B  D  0
   tan x   c
2  1  1 1
2A    0
1 1  Exercise 2G; 2 2
   tan 1 x   c 1, 3, 5, 7 to 21 A0
2  x 1 