该文档涉及微积分中的多个积分计算，包括导数和不定积分的求解过程。包含了不同类型的函数及其积分步骤，使用了分部积分法和变量替换法等技巧。文档中的示例提供了如何处理具体的积分问题。

1. 
f  x  f  x  dx
n

2. 
f  x  f  x  dx
n
 f  x n1  c
 f  x  f  x  dx 
n
n 1

3. 
f  x  f  x  dx
n
 f  x n1  c
 f  x  f  x  dx 
n
n 1
d
e.g. i  a) Find
dx
 1 x 
3

4. 
f  x  f  x  dx
n
 f  x n1  c
 f  x  f  x  dx 
n
n 1
d
e.g. i  a) Find
dx
d
dx
 1 x 
3


1

1
1  x 3  1  x 3  2  3 x 2 
2
 3x 2

2 1  x3

5. b) Hence find;

x2
dx
3
1 x

6. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
2  3x 2
x2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x

7. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
2  3x 2
x2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3

8. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
2  3x 2
x2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx

9. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
x2
2  3x 2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
1
  2 x 2  x 2 dx
2

10. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
x2
2  3x 2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3

11. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
x2
2  3x 2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3

12. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
x2
2  3x 2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
OR
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3
x 2  x 2 dx


13. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
x2
2  3x 2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
OR
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3
x 2  x 2 dx

u  2  x2

14. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
x2
2  3x 2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
OR
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3
x 2  x 2 dx

u  2  x2
du
 2x
dx
du  2 xdx

15. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
2  3x 2
x2
dx
dx   
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
OR
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3
x 2  x 2 dx

u
u  2  x2
du
 2x
dx
du  2 xdx

16. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
2  3x 2
x2
dx   
dx
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
OR
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3
x 2  x 2 dx

1
du
2
u
u  2  x2
du
 2x
dx
du  2 xdx

17. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
2  3x 2
x2
dx   
dx
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
OR
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3
x 2  x 2 dx

u
1
du
2
1
1 2
  u du
2
u  2  x2
du
 2x
dx
du  2 xdx

18. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
2  3x 2
x2
dx   
dx
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
OR
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3
x 2  x 2 dx

u
1
du
2
1
1 2
  u du
2
3
1 2 2
  u c
2 3
u  2  x2
du
 2x
dx
du  2 xdx

19. b) Hence find;


x2
dx
3
1 x
2  3x 2
x2
dx   
dx
3
3
3 2 1 x
1 x
2
  1  x3  c
3
ii   x 2  x 2 dx
OR
1
  2 x 2  x 2 dx
2
3
1 2
  2  x 2 2  c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3
x 2  x 2 dx

u  2  x2
du
 2x
dx
du  2 xdx
u
1
du
2
1
1 2
  u du
2
3
1 2 2
  u c
2 3
1
 2  x 2  2  x 2  c
3

20. 1
iii 
0
x
x2
3
 2
3
dx

21. 1
iii 
0
x
1
x2
3
 2
3
dx
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 

22. 1
iii 
0
x
x2
3
 2
3
dx
1
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 
1
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30

23. 1
iii 
0
x
x2
3
 2
3
dx
1
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 
1
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30
2 1
1 3
  x  2  0
6



24. 1
iii 
0
x
x2
3
 2
3
dx
1
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 
1
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30
2 1
1 3
  x  2  0
6


1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
1

8

25. 1
iii 
0
x
1
x2
3
 2
3
dx
1
1
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30
2 1
1 3
  x  2  0
6

1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
1

8
 x
0
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 

OR
x2
3
 2
3
dx

26. 1
iii 
0
x
1
x2
3
 2
3
dx
1
1
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30
2 1
1 3
  x  2  0
6

1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
1

8
 x
0
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 

OR
x2
3
 2
3
dx
u  x3  2
du  3 x 2 dx

27. 1
iii 
0
x
1
x2
3
 2
3
dx
1
1
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30
2 1
1 3
  x  2  0
6

1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
1

8
 x
0
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 

OR
x2
3
 2
3
dx
u  x3  2
du  3 x 2 dx
x  0, u  2
x  1, u  1

28. 1
iii 
0
x
1
x2
3
 2
3
dx
1
1
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30
2 1
1 3
  x  2  0
6

1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
1

8
 x
0
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 

OR
1
x2
3
 2
3
1 3
  u du
3 2
dx
u  x3  2
du  3 x 2 dx
x  0, u  2
x  1, u  1

29. 1
iii 
0
x
1
x2
3
 2
3
dx
OR
 x
0
x2
3
 2
3
1
1
1 3
  u du
3 2
1
1  2 1
  u  2
6
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30
2 1
1 3
  x  2  0
6


1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
1

8
dx
u  x3  2
du  3 x 2 dx
x  0, u  2
x  1, u  1

30. 1
iii 
0
x
1
x2
3
 2
3
dx
OR
 x
0
x2
3
 2
3
dx
1
1
1 3
  u du
3 2
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30
2 1
1 3
  x  2  0
6
1
1  2 1
  u  2
6
1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
1

8
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 

1

8

u  x3  2
du  3 x 2 dx
x  0, u  2
x  1, u  1

31. 1
iii 
0
x
1
x2
3
 2
3
dx
OR
 x
0
x2
3
 2
3
dx
1
1
1 3
  u du
3 2
3
1
2
3
  3 x x  2  dx
30
2 1
1 3
  x  2  0
6
1
du  3 x 2 dx
x  0, u  2
x  1, u  1
1  2 1
  u  2
6
1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
1 1
1 
 


2
6  1  2 2 
u  x3  2
1

8
1
3x 2
 
dx
3
3 0 x 3  2 


1

8
Exercise 11H; 1, 3, 5, 7ace etc, 8bdf,9 11*