高校数学Bにおいては数列も学びます．数列の範囲においては，和（シグマ）の計算において，途中の項がバサバサ消えるような計算が出てきます．これについて私は，足し算は足し算でまとめて，引き算は引き算でまとめて計算した方がいいと思います．このスライドではその理由について述べています．

1. 階差数列の和?について
푛−1
푘=1
(푎푘 − 푎푘+1) = 푎1 − 푎푛

2. 高校数学Bの数列の範囲でつぎのような式が
あります．
푛−1
푘=1
(푎푘 − 푎푘+1) = 푎1 − 푎푛
この式は次のようにして計算するのが一般的
です．

3. 푛−1
푘=1
(푎푘 − 푎푘+1)
やり方1
= (푎1−푎2) + (푎2 − 푎3) + (푎3 − 푎4) + ⋯ + (푎푛−1 − 푎푛)
= 푎1 − 푎푛
これは英語ではtelescoping sum というようです．
途中の項がバサバサ消えるのが気持ちいい！

4. それはさておき，私は次のように，足し算は足し算でまとめて，
引き算は引き算でまとめて計算したほうがいいと思うのです．
푛−1
푘=1
푎푘 − 푎푘+1 =
푛−1
푘=1
푎푘 −
푛−1
푘=1
푎푘+1
= 푎1 + 푎2 +푎3 + ⋯ + 푎푛−1
− 푎2 +푎3 + ⋯ + 푎푛−1 + 푎푛
= 푎1 − 푎푛
やり方2

5. このやり方ですと，とくに次のような計算の場合，項2つ分の“ず
れ”が見やすいという利点があります．
푛
푘=1
푎푘 − 푎푘+2 =
푛
푘=1
푎푘 −
푛
푘=1
푎푘+2
= 푎1 + 푎2 + 푎3 + ⋯ + 푎푛
− 푎3 + ⋯ + 푎푛 + 푎푛+1 + 푎푛+2
= 푎1 + 푎2 − 푎푛+1 − 푎푛+2
푛 푎푘 − 푎푘+3 , 푘=1
（ 푘=1
푛 푎푘 − 푎푘+4 などについても同様に計算
できます．）

6. これを「やり方1」でやろうとすると，項の打ち消しが二つ飛ばし
であるので，少しわかりにくいかなという印象はあります．
푛
푘=1
푎푘 − 푎푘+2
= (푎1−푎3) + (푎2 − 푎4) + (푎3 − 푎5) + (푎4 − 푎6) + ⋯
+ 푎푛−2 − 푎푛 + 푎푛−1 − 푎푛+1 + 푎푛 − 푎푛+2
= 푎1 + 푎2 − 푎푛+1 − 푎푛+2

7. 最後にいくつか計算例を挙げて終わりたいと思います．

8. 例1（これは「やり方１」でも「やり方2」でもいいと思います）
푛
푘=1
1
푘(푘 + 1)
=
푛
푘=1
1
푘
−
1
푘 + 1
= 1 −
1
2
+
1
2
−
1
3
+
1
3
−
1
4
+ ⋯ +
1
푛
−
1
푛 + 1
= 1 −
1
푛 + 1
=
푛
푛 + 1
（푛 = 1で成り立っているか検算してみよう）
（余裕があれば，푛 = 2でも成り立っているか検算してみよう）

9. 例2（これは「やり方2」の方がいいと思います）
푛
푘=1
1
푘(푘 + 2)
=
푛
1
2
푘=1
1
푘
−
1
푘 + 2
=
1
2
푛
푘=1
1
푘
−
푛
푘=1
1
푘 + 2
=
1
2
1
1
+
1
2
+
1
3
+ ⋯ +
1
푛
−
1
3
+ ⋯ +
1
푛
+
1
푛 + 1
+
1
푛 + 2
=
1
2
1
1
+
1
2
−
1
푛 + 1
−
1
푛 + 2
=
푛(3푛 + 5)
4(푛 + 1)(푛 + 2)
（푛 = 1で成り立っているか検算してみよう）
（余裕があれば，푛 = 2でも成り立っているか検算してみよう）

10. 例3
푛
푘=1
푘(푘 + 1) =
푛
1
3
푘=1
푘 푘 + 1 푘 + 2 − 푘 − 1 푘 푘 + 1
=
1
3
푛
푘=1
푘(푘 + 1)(푘 + 2) −
푛
푘=1
푘 − 1 푘(푘 + 1)
=
1
3
{ {1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + ⋯ + 푛 − 1 푛 푛 + 1 + 푛 푛 + 1 푛 + 2 }
−{0 × 1 × 2 + 1 × 2 × 3 + 2 × 3 × 4 + ⋯ + 푛 − 1 푛 푛 + 1 }}
=
1
3
푛 푛 + 1 푛 + 2 − 0 × 1 × 2
=
1
3
푛(푛 + 1)(푛 + 2)

11. いかがでしたでしょうか．
最後までご覧いただきありがとうございました．