Dokumen ini membahas tentang cara membuktikan turunan fungsi trigonometri, yaitu sin, cos, dan tan, menggunakan konsep limit. Penjelasan disertai dengan langkah-langkah perhitungan yang mendetail untuk masing-masing fungsi. Terakhir, terdapat latihan untuk menentukan turunan dari beberapa fungsi trigonometri.

1. www.saifedia.bogspot.com
www.asfatama.bogspot.com
fungsi sin, cos, dan tan
10/19/2018Andy Saiful Musthofa

2. Buktikan dengan menggunakan limit, bahwa :
 Jika f(x) = sin x maka f’(x) = cos x
 Jika f(x) = cos x maka f’(x) = -sin x
 Jika f(x) = tan x maka f’(x) = sec² x
10/19/2018
Andy Saiful Musthofa

3. Pada dasarnya turunan merupakan limitsuatu
fungsi.Jadi,untukmenentukan turunan fungsi
trigonometri dapat dicari dengan menggunakan
konsep limitfungsisebagaiberikut
10/19/2018AndySaifulMusthofa

4. 1) Tentukan dahulu f(x+h), kemudian tuliskan f(x)
di bawahnya. Terakhir, kurangkan kedua
persamaan tersebut untuk mendapatkan
f(x+h)-f(x).
f(x+h)=sin(x+h) = sin x cos h + cos x sin h
-f(x) = sin x
f(x+h)-f(x)
f(x+h)-f(x)
f(x+h)-f(x)
= sin x cos h + cos x sin h – sinx
= sin x cos h – sinx + cos x sin h
= -sinx (1- cos h) + cos x sin h
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

5. 2) Menghitung f’(x)
f’(x) = lim
h 0
= lim
h 0
= lim
h 0
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

6. Kemudian, keluarkan faktor yang tidak mengandung
unsur h dari limit, yaitu sin x dan cos x.
f’(x) = -sin x. lim + cos x. lim
h 0 h 0
dan lim
h 0
Oleh karena lim
h 0
Maka, f’(x) = -sin x (0) + cos x (1)
f’(x) = 0 + cos x
f’(x) = cos x
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

7. Cara ke-2 Mencari Turunan sin
)Terbukti(xcosh)cos(xLimit
h).1cos(xLimit
h
hsin
Limith).cos(xLimit
h
hh)sincos(x
Limit
h
h
2
1
h)sin(2x
2
1
2cos
Limit
Sinβ-SinαRms)(Gunkn
h
sin xh)sin(x
Limit
h
f(x)-h)f(x
Limit(x)'f
:BUKTI
xcos(x)y'makasin x,yJika
sin xF(x)
2
1
0h
2
1
0h
2
1
2
1
0h
2
1
0h
2
1
2
1
2
1
0h
2
1
2
1
0h
0h0h
















x
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

8. 1. Tentukan dahulu f(x+h),kemudian tuliskan f(x) di
bawahnya. Terakhir, kurangkan kedua persamaan
tersebut untukmendapatkan f(x+h)-f(x).
f(x+h)=cos(x+h) = cos x cos h – sin x sin h
f(x) = cos x -
f(x+h)-f(x) = cos x cos h – sin x sin h – cos x
f(x+h)-f(x) = cos x cos h – cos x –sin x sin h
f(x+h)-f(x) = -cos x (1 – cos h) – sin x sin h
10/19/2018AndySaifulMusthofa

9. 2) Menghitung f’(x)
f’(x) = lim
h 0
= lim
h 0
= lim
h 0
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

10. Kemudian,keluarkan faktor yang tidak mengandung
unsur h dari limit,yaitu cos x dan sin x.
f’(x) = -cos x. lim
h 0
- sin x. lim
h 0
Oleh karena lim dan lim
h 0 h 0
Maka, f’(x) = -cos x (0) – sin x (1)
f’(x) = 0 - sin x
f’(x) = -sin x
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

11. Cara ke-2 Mencari Turunan cos
)Terbukti(sinxh)sin(x-Limit
h).1sin(x-Limit
h
hsin
Limith).sin(x-Limit
h
hh)sinsin(x-
Limitx
h
h
2
1
h)sin(2x
2
1
2sin-
Limit
Cosβ-CosαRms)(Gunkn
h
Cosxh)Cos(x
Limit
h
f(x)-h)f(x
Limit(x)'f
:BUKTI
sin x-(x)y'makax,cosyJika
xcosF(x)
2
1
0h
2
1
0h
2
1
2
1
0h
2
1
0h
2
1
2
1
2
1
0h
2
1
2
1
0h
0h0h
















10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

12. • Jika, 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 ⇒ 𝑓’(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐
2
𝑥
• Pembuktian turunan fungsi tangen dapat menggunakan rumus
turunan fungsi hasil bagi, Maka; 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑎𝑛 𝑥 =
𝑆𝑖𝑛 𝑥
𝐶𝑜𝑠 𝑥
• Misal, 𝑢 = 𝑠𝑖𝑛 𝑥 ⇒ 𝑢’ = 𝑐𝑜𝑠 𝑥
• 𝑣 = 𝑐𝑜𝑠 𝑥 ⇒ 𝑣’ = − 𝑠𝑖𝑛 𝑥
• 𝑓’(𝑥) =
𝑢′. 𝑣− 𝑢 .𝑣′
𝑣2
• 𝑓’(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠 𝑥 .𝑐𝑜𝑠 𝑥−𝑠𝑖𝑛 𝑥 (−𝑠𝑖𝑛 𝑥)
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
• 𝑓’(𝑥) =
𝑐𝑜𝑠2 𝑥 +𝑠𝑖𝑛2 𝑥
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
• 𝑓’(𝑥) =
1
𝑐𝑜𝑠2 𝑥
• 𝑓’ 𝑥 = sec2
𝑥 ∴ TERBUKTI
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

13. Cara ke-2 Mencari Turunan tan
Misal 𝑓 𝑥 = tan 𝑥
𝑓 𝑥 + ℎ = tan 𝑥 + ℎ , ingat rumus tan 𝐴 + 𝐵 =
tan 𝐴±tan 𝐵
1∓tan 𝐴 tan 𝐵
Agar nilai penyebut tangen bernilai positif, kita gunakan tan( 𝐴 −
10/19/2018Andy Saiful Musthofa

14. 𝑓′( 𝑥) = lim
ℎ→0
𝑓( 𝑥 + ℎ) − 𝑓(𝑥)
ℎ
𝑓′( 𝑥) = lim
ℎ→0
tan( 𝑥 + ℎ) − tan 𝑥
ℎ
𝑓′( 𝑥) = lim
ℎ→0
tan( 𝐴 − 𝐵)(1 + tan 𝐴.tan 𝐵)
ℎ
𝑓′( 𝑥) = lim
ℎ→0
(tan((𝑥 + ℎ) − 𝑥).(1 + tan(𝑥 + ℎ)tan 𝑥)
ℎ
𝑓′( 𝑥) = lim
ℎ→0
(tan( 𝑥 − 𝑥) + ℎ).(1 + tan(𝑥 + ℎ)tan 𝑥)
ℎ
𝑓′( 𝑥) = lim
ℎ→0
(tanℎ).(1 + tan(𝑥 + ℎ)tan 𝑥)
ℎ
𝑓′
(𝑥) = lim
ℎ→0
(1 + tan(𝑥 + ℎ)tan 𝑥) + lim
ℎ→0
tanℎ
ℎ
𝑓′( 𝑥) = 1 + tan2
𝑥
𝑓′( 𝑥) = 𝑠𝑒𝑐2
𝑥
10/19/2018
Andy Saiful Musthofa

15. Tentukan turunan pertama dari f(x) = -4 sin x
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

16. Tentukan turunan pertama
dari f(x) = 15 cos x
f’(x) = -sin xf(x) = 15 cos x
f’(x) = 15 (-sin x)
f’(x) = -15 sin x
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

17. Tentukan turunan pertama
dari f(x) = 3 sin x + 4 cos x
f(x) = 3 sin x + 4 cos x
f’(x) = 3 (cos x) + 4 (-sin x)
f’(x) = 3 cos x + (-4 sin x)
f’(x) = 3 cos x – 4 sin x
10/19/2018 Andy Saiful Musthofa

18. Latihan
Tentukan Turunan dari fungsi-fungsi berikut:
1. f(x) = -6sinx
2. f(x) = 3cosx
3. f(x) = 5tanx
4. f(x) = 4sinx – 2cosx
5. f(x) = 2sinxcosx
10/19/2018Andy Saiful Musthofa