Dokumen tersebut membahas tentang turunan fungsi trigonometri seperti sinus, kosinus, tangen, dan lainnya. Dijelaskan rumus turunan fungsi trigonometri dan cara menghitung limit fungsi trigonometri ketika nilai variabelnya mendekati tak hingga atau nol. Juga diberikan contoh soal untuk menghitung turunan dan limit fungsi trigonometri.

1. Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
TURUNAN FUNGSI TRIGONOMETRI
Fungsi trigonometri ( sinus dan cosinus ) merupakan fungsi kontinu, sehingga
limit fungsi sinus dan cosinus di setiap titik sama dengan nilai fungsinya, yaitu :
lim sin sin lim cos cos
x a x a
x a dan x a
→ →
= =
Turunan dari fungsi sinus dapat diperoleh dari definisi, yaitu :
( ) ( )
( )
d a
dx
a h a
h
h
a
h
h
h
h
d a
dx
a
h h
h a
sin
lim
sin sin
lim
sin cos
lim
sin
sin
cos
=
+ −
=





 +












= =
→ →
→
0 0
2
2 2
2
2
1Karena maka
Sedangkan untuk turunan fungsi cosinus diperoleh berikut:
( ) ( )d a
dx
a h a
h
h
a
h
h
a
h h
cos
lim
cos cos
lim
sin sin
sin=
+ −
=
−





 +






= −
→ →0 0
2
2 2
Untuk turunan fungsi trrigonometri yang lain dapat diperoleh dengan menerapkan
rumus perhitungan turunan :
.
( ) ( )d x
dx
d
dx
x
x
xtan
sec
sin
cos
= = 2
2.
( ) ( )d x
dx
d
dx
x
x
xcot
csc
cos
sin
= = − 2
3.
( ) ( )d x
dx
d
dx
x x
xsec
sec tan
cos
= =
1

2. Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
4.
( ) ( )d x
dx
d
dx
x x
xcsc
csc cot
sin
= = −
1
Untuk menentukan / menghitung limit fungsi trigonometri di tak hingga dan limit
tak hingga , digunakan sifat atau teorema yang diberikan tanpa bukti berikut.
Teorema
Misal f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) berlaku untuk setiap x di dalam domainnya.
Bila lim ( ) lim ( )
x x
f x h x L
→∞ →∞
= = maka lim ( )
x
g x L
→∞
=
Contoh
Hitung limit berikut ( bila ada )
1. lim
sin
x
x
x→∞
a. lim
cos
sinx
x
x→ +
+
0
1
Jawab :
a. Misal f x
x
x
( )
sin
= . Dari -1 ≤ sin x ≤ 1 maka
−
≤ ≤
1 1
x
x
x x
sin
. Karena
lim lim
x xx x→∞ →∞
−
= =
1 1
0 maka lim
sin
x
x
x→∞
= 0.
b. Bila x mendekati nol dari arah kanan maka 1 - cos x mendekati 2, sedangkan nilai sin
x akan mengecil atau mendekati nol. Oleh karena itu, bila 2 dibagi dengan bilangan
positif kecil sekali ( mendekati nol ) maka akan menghasilkan bilangan yang sangat
besar ( mendekati tak hingga ). Jadi lim
cos
sinx
x
x→ +
+
= ∞
0
1
Soal latihan
( Nomor 1 sd 7 ) Hitung limit fungsi berikut ( bila ada )

3. Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
1. lim
cos
sinx
x
x→ −
+
0
1
2. lim cos
x
x
→∞
3. lim sin
x x→∞






1
4. lim sin
x
x
x→∞






1
5. lim sin
x x→∞
+






π
6
1
6. lim sin sin
x
x
x
x
→∞
+





 −






1
7. lim cos
x
x
x→−∞
−





1
1
( Nomor 8 sd 10 ) Tentukan turunan pertama dari:
8. y
x
x
=
−1 sin
cos
9. y
x
x
=
cos
10. y
x
x x
=
−
tan
sin cos
11. Persamaan garis singgung kurva y = f(x) di titik ( a,b ) dengan gradien m dinyatakan
dengan : y - b = m ( x - a ). Sedangkan persamaan garis normal dari y = f ( x,y ) ( garis
yang tegak lurus terhadap suatu garis singgung ) yang melalui titik ( a,b ) mempunyai
persamaaan : y - b = -1/m ( x - a ). Tentukan persamaan garis singgung dan normal
kurva berikut di titik yang diketahui dengan menghitung gradiennya terlebih dahulu.
a. y = x
2
- 2x di ( 0,0 )
b. y = tan x di x = ¼ π

4. Matematika Dasar
Danang Mursita
Sekolah Tinggi Teknologi Telkom, Bandung
12. Tentukan nilai a agar fungsi berikut kontinu di x = 0
a. f x
x
x
x
a x
( )
sin
,
=
≠
=




3
0
0
b. f x
ax
x
x
x a x
( )
tan
,
,
=
<
+ ≥




0
3 2 02