Catatan kuliah mata kuliah Matematika Terapan 1 membahas tentang eksponen, logaritma, dan aplikasinya. Terdapat penjelasan mengenai sifat-sifat, bentuk, dan contoh soal eksponen dan logaritma."

1. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 1
CATATAN KULIAH
MATEMATIKA TERAPAN 1
Disusun oleh:
YULI KUSUMAWATI, S.T., M.T.

2. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 2
2. EKSPONEN DAN LOGARITMA
2.1. Eksponen
Eksponen atau bilangan berpangkat mempunyai bentuk an, dimana a disebut basis atau
bilangan pokok dan n disebut eksponen atau pangkat.
Fungsi eksponen adalah suatu fungsi yang dinyatakan dalam bentuk f(x) = ax dimana a ≥ 0
dan a ≠ 1. Ada tiga bentuk fungsi eksponen, yaitu:
 Jika a = 1, maka f(x) adalah fungsi konstan f(x) = ax = 1
 Jika a>1, maka f(x) = ax merupakan fungsi naik. Artinya untuk x yang bernilai positif grafik
f(x) naik secara cepat dan untuk x yang bernilai negatif grafik f(x) semakin turun mendekati
sumbu x.
Misalkan a = 2, maka f(x) = 2x .
Masukkan nilai-nilai x sedemikian hingga diperoleh nilai f(x).
f(-3) = 2-3 = 1/8
f(-2) = 2-2 = 1/4
f(-1) = 2-1 = 1/2
f(0) = 20 = 1
f(1) = 21 = 2
f(2) = 22 = 4
f(3) = 23 = 8
Plot hasil tersebut ke dalam koordinat Cartesian.
 Jika 0<a<1, maka f(x) = ax merupakan fungsi turun. Artinya untuk x yang bernilai positif
grafik f(x) semakin turun mendekati sumbu x dan untuk x yang bernilai negatif grafik f(x)
naik secara cepat.
Misalkan a = ½, maka f(x) = ½x .
Masukkan nilai-nilai x sedemikian hingga diperoleh nilai f(x).
f(-3) = ½-3 = (2/1)3 = 8
f(-2) = ½-2 = (2/1)2 = 4
f(-1) = ½-1 = (2/1)1 = 2
f(0) = ½0 = 1
f(1) = ½1 = ½
f(2) = ½2 = 1/4
f(3) = ½3 = 1/8
Plot hasil tersebut ke dalam koordinat Cartesian.
Jika a = e (e adalah bilangan eksponen yang nilainya
adalah 2,718), maka f(x) = ex disebut sebagai fungsi
eksponensial. Grafik fungsi eksponensial f(x) = ex dan
f(x) = e-x adalah:

3. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 3
2.1.1. Sifat Fungsi Eksponen
Jika a, b  R, a ≠ 0, m dan n bilangan rasional, maka sifat-sifat fungsi eksponen sebagai berikut:
 am
. an
= am + n
 am
/ an
= am - n
 (am
)n
= am . n
 a-m
= 1/am
 am
. bm
= (a.b)m
 (am
. bn
)p
= amp
. bnp
 (am
/ bn
)p
= amp
/ bnp
 (ap
)1/mn
= ap/mn
Contoh 2.1:
Sederhanakan fungsi eksponen berikut: (8x3 . y12)1/6
Jawab:
(8x3 . y12)1/6 = (23)1/6 . (x3)1/6 . (y12)1/6
= 21/2 . x1/2 . y2
= y2
√2𝑥
Contoh 2.2:
Jika nilai x = –2 dan y = 2, tentukan nilai x-3 y4!
Jawab:
x-3 y4 = y4 / x3
= 24 /(-2)3
= 16/-8
= -2
2.1.2. Persamaan eksponen
Persamaan eksponen adalah persamaan yang eksponen dan bilangan pokoknya memuat
variabel.
Beberapa bentuk persamaan eksponen antara lain:
 af(x) = 1
Jika af(x) = 1, a>0 dan a ≠0, maka f(x) = 0
 af(x) = am
Jika af(x) = am, a>0 dan a ≠0, maka f(x) = m
 af(x) = ag(x)
Jika af(x) = ag(x) , a>0 dan a ≠0, maka f(x) = g(x)
 af(x) = bf(x)

4. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 4
Jika af(x) = bf(x) , a>0, a ≠1, b>0, b ≠1, dan a≠b, maka f(x) = 0
 f(x)g(x) = f(x)h(x)
Jika f(x)g(x) = f(x)h(x), maka penyelesaiannya sebagai berikut:
 g(x) = h(x)
 f(x) = 1
 f(x) = 0, asalkan g(x) dan h(x) keduanya positif.
 f(x) = -1, asalkan g(x) dan h(x) keduanya genap atau keduanya ganjil.
 A(af(x))2 + B.af(x) + C = 0
Misalnya af(x) = y, maka bentuk persamaan diatas dapat diubah menjadi persamaan
kuadrat : Ay2 + By + C = 0. Nilai y yang diperoleh selanjutnya disubstitusikan ke af(x) = y
sehingga diperoleh nilai x.
Contoh 2.3:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut:
a. 35x-10 = 1
b. 22x²+3x-5 = 1
Jawab:
a. 35x-10 = 1
35x-10 = 30
5x-10 = 0
5x = 10
x = 2
Jadi HP = { 2 }
b. 22x²+3x-5 = 1
22x²+3x-5 = 20
2x2+2x-5 = 0
(2x+5) (x-1) = 0
2x+5 = 0 x-1 = 0
x = -²⁄₅ x = 1
Jadi HP = { -²⁄₅ , 1 }
Contoh 2.4:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut:
a. 52x-1 = 625
b. 22x-7 = ⅓₂
c. √33x-10 = ½₇√3
Jawab:
a. 52x-1 = 625
52x-1 = 53
2x-1 = 3
2x = 4
x = 2
Jadi HP = { 2 }

5. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 5
b. 22x-7 = ⅓₂
22x-7 = 2-5
2x-7 = -5
2x = 2
x = 1
Jadi HP = { 1 }
c. √33x-10 = ½₇√3
3(3x-10)⁄2 = 3-3.3½
3(3x-10)⁄2 = 3-⁵⁄₂
(3x-10)⁄2 = -⁵⁄₂
3x-10 = -5
3x = 5
x = ⁵⁄₃
Jadi HP = { ⁵⁄₃ }
Contoh 2.5:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut:
a. 9x²+x = 27x²-1
b. 25x+2 = (0,2)1-x
Jawab:
a. 9x²+x = 27x²-1
32(x²+x) = 33(x²-1)
2(x2+x) = 3(x2-1)
2x2 + 2x = 3x2 – 3
x2 – 2x – 3 = 0
(x – 3) (x + 1) = 0
x = 3 x = -1
Jadi HP = { -1 , 3 }
b. 25x+2 = (0,2)1-x
52(x+2) = 5 -1(1-x)
2x + 4 = -1 + x
2x – x = -1 – 4
x = -5
Jadi HP = { -5 }
Contoh 2.6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut:
a. 6x-3 = 9x-3
b. 7x²-5x+6 = 8x²-5x+6
Jawab:
a. 6x-3 = 9x-3
x-3 = 0
x = 3
Jadi HP = { 3 }

6. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 6
b. 7x²-5x+6 = 8x²-5x+6
x²-5x+6 = 0
(x-6) (x+1) = 0
x = 6 x = -1
Jadi HP = { -1,6 }
Contoh 2.7:
Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan eksponen berikut:
22x – 2x+3 + 16 = 0
Jawab :
22x – 2x+3 + 16 = 0
22x – 2x.23 + 16 = 0
Misalkan 2x = p, maka persamaannya menjadi
P2 – 8p + 16 = 0
(p-4) p-4) = 0
p = 4
Substitusikan nilai p ke persamaan 2x = p
2x = 4
2x = 22
x = 2
Jadi HP = { 2 }
2.2. Logaritma
Jika ab = x, a > 0 dan a ≠ 1, maka alog x = b dalam hal ini a disebut basis atau pokok logaritma,
x merupakan bilangan yang dicari logaritmanya, dan b adalah hasil logaritma. Logaritma
berbasis 10 disebut sebagai logaritma biasa (Logaritma Briggs). Sedangkan logaritma dengan
basis bilangan e (e = 2,718) disebut logaritma alam (Logaritma Napier) dan dilambangkan
dengan ln (jadi, elog x = ln x).
Operasi logaritma dapat diartikan sebagai operasi kebalikan dari menentukan nilai
pemangkatan menjadi menentukan pangkatnya. Jika x = ab maka alog x = b, dan sebaliknya
jika alog x = b maka x = ab.
Hubungan antara bilangan berpangkat dan logaritma dapat dinyatakan sebagai :
a
log x = n ↔ x = an
Misalnya:
2x = 5 ↔ x = 2log 5
3y = 8 ↔ y = 3log 8
5z = 3 ↔ z = 5log3
2.2.1. Sifat-Sifat Logaritma
Jika a dan n bilangan riil, a>0 dan a≠1, maka:
 a
log 1 = 0
 a
log a = 1
 a
log 1/a= -1

7. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 7
 a
log an
= n
 a
log b.c = a
log b + a
log c
 a
log b/c = a
log b - a
log c
 a
log b = 1/ b
log a
 a
log bn
= n a
log b
 a
log c = a
log b . b
log c
Contoh 2.8:
Carilah penyelesaian dari persamaan logaritma berikut:
log x - 1 = - log (x-9)
Jawab :
log x - 1 = - log (x-9)
log x + log (x-9) = 1
log (x (x-9)) = log 10
(x (x-9)) = 10
x2 - 9x -10 = 0
(x – 10) (x + 1) = 0
x = 10 x = -1
karena log (-1) dan log (-1-9) = log (-10) tidak dapat didefinisikan, maka penyelesaian dari
persamaan itu adalah x = 10.
Contoh 2.9:
Carilah penyelesaian dari persamaan logaritma berikut:
-8 ln (3x) + 7 = -15
Jawab :
-8 ln (3x) + 7 = -15
-8 ln (3x) = -15 – 7
-8 ln (3x) = -22
Kedua ruas persamaan dibagi -8, diperoleh:
ln (3x) = 11/4
3x = e11/4
x =
1
3
e11/4
2.3. Aplikasi Eksponen dan Logaritma
Contoh 2.10:
Ayuri akan mendepositokan uang $100.000 ke Bank ABC dengan suku bunga 7,5%/tahun.
Ayuri mengambil periode deposito selama 54 bulan. Hitunglah banyaknya uang yang diterima
pada akhir periode deposito jika:
a. Perhitungan bunga yang digunakan adalah majemuk kuartal (4 kali setahun).
b. Perhitungan bunga yang digunakan adalah majemuk bulanan (12 kali setahun).
c. Perhitungan bunga yang digunakan adalah majemuk kontinyu.
Jawab:
P= $100.000
i = 7,5% = 0,075
n= 54 bulan = 54/12 = 4,5 tahun

8. Yuli Kusumawati, Catatan Kuliah Matematika Terapan 1 - 8
Banyaknya uang yang diterima pada akhir periode: F = P (1 +
𝑖
𝑡
)t.n
a. Untuk perhitungan bunga majemuk kuartal, maka frekuensi pemajemukan t = 4
F = P (1 +
𝑖
𝑡
)t.n
= 100.000 (1 +
0,075
4
)(4).(4,5)
= 100.000 (1 + 0,01875)18
= 100.000 (1,3970669)
= $139.706,69
b. Untuk perhitungan bunga majemuk bulanan, maka frekuensi pemajemukan t = 12
F = P (1 +
𝑖
𝑡
)t.n
= 100.000 (1 +
0,075
12
)(12).(4,5)
= 100.000 (1 + 0,00625)18
= 100.000 (1,3999684)
= $139.996,84
c. Untuk perhitungan bunga majemuk kontinyu, maka:
F = P . ei.n
= 100.000 e(0,075).(4,5)
= 100.000 (1,4014396)
= $140.143,96
Contoh 2.11:
Berapa energi yang dikeluarkan dalam gempa dengan kekuatan 5,9 Skala Richter jika rumus
kekuatan gempa adalah: M =
2
3
log (
E
E0
)
Dengan:
M = kekutan gempa (Skala Richter)
E = energi yang dikeluarkan (Joule)
E0 = energi awal = 104,4(Joule)
Jawab:
M =
2
3
log (
E
E0
)
5,9 =
2
3
log (
𝐸
104,4)
5,9 .
3
2
= log (
𝐸
104,4
)
8,85 = log (
𝐸
104,4
)
108,85 =
𝐸
104,4
E = 108,85 . 104,4 = 1013,25 Joules