Modul Materi, Contoh dan Latihan Soal Matematika SMK/MAK Kls 11 KD.3.23. Dimensi 3

1. Modul Matemaika Kelas 11 | 1

2. Modul Matemaika Kelas 11 | 2
INFORMASI DAN PETUNJUK PENGGUNAAN
1. Pelajari materi terlebih dahulu dari berbagai sumber yang ada
2. Jangan jadikan modul ini sebagai satu-satunya sumber belajar agar mendapatkan variasi penyelesaian soal
3. Kerjakan setiap latihan soal yang ada di setiap KD
4. Kumpulkan setiap latihan soal setelah selesai dikerjakan
5. Di akhir modul terdapat soal evaluasi sebagai pengganti nilai ulangan harian
6. Tidak mengumpulkan tugas sama dengan tidak memiliki nilai untuk KD tersebut.
Pertanyaan dan pengumpulan tugas dapat dikirim via
WA, E_mail dan atau link sekolah
Alamat E_mail: ic_diq@yahoo.com

3. Modul Matemaika Kelas 11 | 3
KOMPETENSI DASAR
3.22 Menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan logika matematika (pernyataan sederhana, negasi
pernyataan sederhana, pernyataan majemuk , negasi pernyataan majemuk dan penarikan kesimpulan).
3.23 Menganalisis titik, garis dan bidang pada geometri dimensi tiga
3.24 Menentukan masalah kontekstual yang berkaitan dengan transformasi geometri

4. Modul Matemaika Kelas 11 | 4
PENDAHULUAN
Dimensi tiga atau yang biasa disebut dengan bangun ruang dalam
kehidupan nyata banyak sekali aplikasinya. Mulai dari para
arsitektur yang mengembangkan desain bangun sampai dengan
ahli botani yang mengaplikasikan ilmu geometri ruang untuk dapat
mengetahui tinggi suatu pohon ataupun kedalaman satu tebing.
Pengapilkasian ilmu geometri ruang yang paling sederhana
adalah bagaimana mengatur atap sebuah rumah.
Seorang desainer mobil pastinya akan mendesain karyanya sepresisi mungkin agar nyaman digunakan oleh pelanggannya
bahkan kemiringan suatu lekukan akan diukur begitu detail agar tidak menimbulkan masalah.
dari contoh-contoh sederhana itulah konsep jarak dan sudut pada bangun ruang sangat dibutuhkan dalam kehidupan
sehari-hari.
A. Pengertian Titik, Garis, Sudut, Bidang, dan Ruang
 Titik tidak didefinisikan. Titik tidak mempuyai panjang atau lebar, tetapi menentukan letak. Titik digambarkan
dengan noktah () dan diberi nama dengan huruf kapital.
 Garis tidak didefinisikan. Garis merupakan kumpulan titik-titik, melalui dua buah titik hanya ada satu garis. Garis
mempunyai panjang, tetapi tidak mempunyai lebar. Garis digambarkan dengan 𝐴 𝐵 dan diberi nama dengan
mengambil dua titik yang ada pada garis tersebut, misalnya garis tersebut adalah 𝐴𝐵.
 Sudut adalah pertemuan dua sinar garis pada satu titik. Sudut dinotasikan dengan 𝑎0
(𝑎 𝑑𝑒𝑟𝑎𝑗𝑎𝑡).
 Bidang (bangun datar) tidak didefinisikan. Bidang merupakan kumpulan garis-garis, yang mempunyai panjang
dan lebar serta berada pada dimensi dua (D2).
 Ruang (bangun ruang) tidak didefinisikan. Ruang merupakan kumpulan bidang-bidang, yang mempunyai
panjang, lebar, dan tinggi serta berada pada dimensi tiga (D3).
B. Kedudukan Titik terhadap Garis dan terhadap Bidang
Kedudukan Gambar
Titik Terletak pada Garis
Titik A dikatakan terletak pada garis k , jika
titik A tersebut dilalui oleh garis k.
A
k
Titik Terletak di Luar Garis
Titik B dikatakan terletak di luar garis m ,
jika titik B tersebut tidak dilalui oleh garis m.
B
m
Titik Terletak pada Bidang
Titik A dikatakan terletak pada bidang 𝜶 jika
titik A tersebut dilalui oleh bidang 𝜶
a
A
Titik Terletak di Luar Bidang
Titik B dikatakan terletak di luar bidang 𝜷
jika titik B tersebut tidak dilalui oleh bidang 𝜷
b
B

5. Modul Matemaika Kelas 11 | 5
Sebagai contoh kedudukan titik terhadap garis perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut
A B
CD
E F
GH
g
jika ruas garis AB mewakili garis g, maka
a. Titik yang terletak pada garis g adalah titik A dan titik B
b. Titik yag terletak di luar garis g adalah C, D, E, F, G, dan H
Sebagai contoh keudukan titik terhadap bidang perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut
A B
CD
E F
GH a. Titik yang terletak pada bidang ABCD adalah A, B, C, dan D
b. Titik yag terletak di luar bidang ABCD adalah E, F, G, dan H
C. Kedudukan Garis terhadap Garis dan Garis terhadap Bidang
Kedudukan Garis
Saling Sejajar Perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut:
A B
CD
E F
GH
dari kubus diatas dapat diperoleh beberapa sampel keterangan sebagai berikut:
1. Ruas garis 𝐴𝐵̅̅̅̅ ⫽ 𝐸𝐹̅̅̅̅
2. Ruas garis 𝐸𝐵̅̅̅̅ berpotongan dengan ruas garis 𝐴𝐹̅̅̅̅
3. Ruas garis 𝐴𝐵̅̅̅̅ ⊥ 𝐴𝐸̅̅̅̅
4. Ruas garis 𝐴𝐹̅̅̅̅ ⤬ 𝐷𝐻̅̅̅̅
5. Ruas garis 𝐴𝐵̅̅̅̅ terletak pada bidang ABCD
6. Ruas garis 𝐴𝐵̅̅̅̅ berada diluar bidang CDGH
Saling Berpotongan
Saling Tegak Lurus
Saling Bersilangan
Terletak pada Bidang
Terletak diluar Bidang
Menembus Bidang
D. Kedudukan Bidang terhadap Bidang Lain
Kedudukan bidang dengan bidang lain meliputi:
1. Saling sejajar
2. Saling tegak lurus
3. Saling berpotongan

6. Modul Matemaika Kelas 11 | 6
Coba perhatikan kubus ABCD.EFGH berikut:
A B
CD
E F
GH
a. Bidang ABCD saling sejajar dengan bidang EFGH
b. Bidang ABCD saling tegak lurus dengan bidang ABFE
c. Bidang diagonal ACFG saling berpotongan dengan bidang
diagonal BDEH
E. Hubungan antara Unsur-Unsur dalam Bangun Ruang (D3)
Sebelum kita membahas lebih dalam tentang hubungan antara unsur-unsur pada bangun ruang, terlebih dahulu
kita mengingat kembali tentang bagaimana mengaplikasikan Theorema Phytagoras. Untuk mengingat kembali
perhatika segitiga siku-siku berikut ini:
Segitiga PQR, siku-siku di R jika diberlakukan Theorema
Phytagoras maka akan diperoleh hubungan sebagai berikut:
𝑃𝑅2
= 𝑃𝑄2
+ 𝑄𝑅2
𝑃𝑅 = √𝑃𝑄2 + 𝑄𝑅2
𝑃𝑄2
= 𝑃𝑅2
− 𝑄𝑅2
𝑃𝑄 = √𝑃𝑅2 − 𝑄𝑅2
𝑄𝑅2
= 𝑃𝑅2
− 𝑃𝑄2
𝑄𝑅 = √𝑃𝑅2 − 𝑃𝑄2
P
R
Q
1. Menghitung jarak pada bangun ruang
a. Jarak antara dua titik
Untuk menghitung jarak antara dua titik yang perlu kita lakukan adalah dengan menarik garis antara
kedua titik tersebut. Kemudian menentukan garis lain yang mengakibatkan dapat diberlakukannya Theorema
Phytagoras pada hubungan garis tersebut. Sebagai contoh perhatikan contoh dibawah ini
Contoh 1
Diketahui bidang datar persegi ABCD memiliki panjang 9 cm dan
lebar 3 cm sebagaimana gambar disamping. Tentukan jarak titik B
ke titik D!
penyelesaian:
Jarak titik B ke titik D adalah panjang ruas garis BD dengan
membuat garis dari titik B ke titik D. jika diperhatikan maka akan
diperoleh bentuk bangun datar baru yakni segitiga ABD.
karena segitiga ABD siku-siku di A, maka berlaku Theorema
Phytagoras sengga panjang ruas garis BD dapat diperoleh dengan
cara sebagai berikut:
𝑩𝑫 = √ 𝐴𝐵2
+ 𝐴𝐷2
𝑩𝑫 = √92 + 32
𝑩𝑫 = √81 + 9
𝑩𝑫 = √90
𝑩𝑫 = √9 × 10 ≅ √9 × √10
𝑩𝑫 = 3√10 𝑐𝑚
jadi jarak titik B ke titik D adalah 3√10 𝑐𝑚
B
CD
A 9 cm
3 cm
B
CD
A 9 cm
3 cm
B
D
A 9 cm
3 cm

7. Modul Matemaika Kelas 11 | 7
b. Jarak titik ke garis
Untuk menghitung jarak titik ke garis langkah awal yang kita lakukan adalah membuat garis tegak lurus
melalui titik terhadap garis. Sebagai ilustrasi perhatikan gambar berikut:
A B
C
A B
C
O
untuk menghitung jarak titik C ke garis AB adalah dengan
membuat garis melalui titik C yang tegak lurus terhadap
garis AB.
hasil perpotongan garis dimisalkan dengan titik O, maka
jarak antara titik C terhadap garis Ab adalah panjang
garis CO.
sedang cara menghitunya kita juga dapat menerapkan
Theorema Phytagoras dengan cara menhubungkan
salah satu titik pada garis dengan titik C.
Perhatikan contoh berikut ini
Contoh 1
Diketahui segitiga sama sisi IJK dengan panjang
masing-masing sisinya 6 cm. Tentukan jarak titik K ke
garis IJ
penyelesaian:
untuk menyelesaikan soal diatas langkah awal kita
ilustrasikan sebagaimana gambar disamping. Kita
buat garis tegak lurus melalu K memotong garis IJ di
L. maka jarak titik K ke garis IJ adalah panjang garis
KL.
untuk menentukan panjang KL kita bisa ambil salah
satu segitiga ILK atau JLK. Karena segitiga IJK adalah
sama sisi maka panjang IL = LJ = 3 cm:
𝑲𝑳 = √ 𝐿𝐼2 + 𝐾𝐼2
𝑲𝑳 = √32 + 62
𝑲𝑳 = √9 + 36
𝑲𝑳 = √45
𝑲𝑳 = √9 × 5 ≅ √9 × √5
𝑲𝑳 = 3√5 𝑐𝑚
jadi jarak titik K ke garis IJ adalah 3√5𝑐𝑚
I J
K
L
I
K
L
6 cm
3 cm
Contoh 2
Suatu kubus ABCD.EFGH memiliki panjang rusuk 12 cm. titik P
merupakan titik tengah BD dan Q berada pada garis DH,
sehingga QD = 3 QH. Tentukan:
a. Jarak titik B ke Q
b. Jarak titik G ke P
c. Jarak titik P ke Q
d. Jarak titik A ke garis HF
A B
CD
E F
GH
P
Q

8. Modul Matemaika Kelas 11 | 8
penyelesaian:
perhatikan gambar.1 berdasarkan yang diketahui kita dapatkan
beberapa ketentuan sebagai berikut:
 titik P berada di tengah garis BD maka panjang BP = PD
𝑩𝑫 = √𝐴𝐵2 + 𝐴𝐷2
𝑩𝑫 = √122 + 122
𝑩𝑫 = √144 + 144
𝑩𝑫 = √144 × 2 ≅ √144 × √2
𝑩𝑫 = 12√2 𝑐𝑚
𝑩𝑷 = 𝑷𝑫 = 𝟔√𝟐 𝒄𝒎
 titik Q berada pada garis DH dengan QD = 3 QH, karena
panjang rusuk kubus adalah 12 cm , maka QD = 9 cm dan QH
= 3 cm
 karena garis BD⫽FH,
maka 𝐹𝑂 = 𝐵𝑃 = 𝐻𝑂 = 𝐷𝑃 = 6√2𝑐𝑚
a. Jarak titik B ke Q
dengan menggunakan segitiga BDQ (gambar.2) maka kita
peroleh jarak titik B ke Q diperoleh:
𝑩𝑸 = √𝐵𝐷2 + 𝑄𝐷2
𝑩𝑸 = √(12√2)
2
+ 62
𝑩𝑸 = √288 + 32
𝑩𝑫 = √320
𝑩𝑫 = √64 × 5 ≅ √64 × √5
𝑩𝑫 = 8√5 𝑐𝑚
b. Jarak titik G ke P
dengan menggunakan segitiga GCP (gambar.3) maka kita
peroleh jarak titik G ke P diperoleh:
𝑮𝑷 = √𝐶𝑃2 + 𝐶𝐺2
𝑮𝑷 = √(6√2)
2
+ 122
𝑮𝑷 = √72 + 144
𝑮𝑷 = √216
𝑮𝑷 = √36 × 6 ≅ √36 × √6
𝑮𝑷 = 6√6 𝑐𝑚
c. Jarak titik P ke Q
dengan menggunakan segitiga QDP (gambar.4) maka kita
peroleh jarak titik P ke Q diperoleh:
𝑷𝑸 = √𝐷𝑃2 + 𝐷𝑄2
𝑮𝑷 = √(6√2)
2
+ 62
𝑮𝑷 = √72 + 36
𝑮𝑷 = √108
𝑮𝑷 = √36 × 3 ≅ √36 × √3
𝑮𝑷 = 6√3 𝑐𝑚
A B
C
E F
GH
Q
O
D
P
gambar.2
A B
C
E F
GH
Q
O
D
P
gambar.2
A B
C
E F
GH
Q
O
D
P
gambar.3
A B
C
E F
GH
Q
O
D
P
gambar.4

9. Modul Matemaika Kelas 11 | 9
d. Jarak titik A ke garis HF
dengan menggunakan segitiga APO (gambar.5) maka kita
peroleh jarak titik A ke O diperoleh:
𝑨𝑶 = √𝐴𝑃2 + 𝑃𝑂2
𝑨𝑶 = √(6√2)
2
+ 122
𝑨𝑶 = √72 + 144
𝑨𝑶 = √216
𝑨𝑶 = √36 × 6 ≅ √36 × √6
𝑨𝑶 = 6√6 𝑐𝑚
A B
C
E F
GH
Q
O
D
P
Gambar.5
c. Jarak titik ke bidang
Cara menentukan jarak titik ke bidang adalah menarik garis tegak lurus melalui titik ke bidang. Sedangkan
jarak titik ke bidang adalah jarak tegak lurus dari titik ke bidang tersebut.
A B
D C
P
Contoh 1
diketahui panjang rusuk kubus PQRS.TUVW adalah 12 cm.
tentukan jarak:
a. Titik U ke bidang Alas
b. Titik P kebidang RSVW
c. Titik Q ke bidang PRTV, dan
d. Titik U ke bidang FQY
penyelesaian:
e. Jarak titik U ke bidang alas adalah panjang
ruas garis QU sehingga jaraknya 12 cm.
(lihatgambar.1. garis merah)
f. Jarak titik P ke bidang RSVW adalah panjang
ruas garis PS sehingga jaraknya 12 cm.
(lihatgambar.2. garis biru)
g. Jarak titik Q ke bidang PRTW adalah setengah
panjang ruas garis QS sehingga jaraknya 6√2
cm.
(Lihat gambar.3. garis hijau)
h. Titik U ke bidang FQY (gambar.4)
𝑷𝑼 = √𝑃𝑄2 + 𝑄𝑈2
𝑩𝑫 = √122 + 122
𝑩𝑫 = √144 × 2 ≅ √144 × √2
𝑩𝑫 = 12√2 𝑐𝑚
𝑻𝑸 = 𝑻𝒀 = 𝑸𝒀 = 𝑷𝑼 = 12√2 𝑐𝑚
T
VW
P
S
Q
R
U
gambar.1
T
VW
P
S
Q
R
U
gambar.2
T
VW
P
S
Q
R
U
gambar.3

10. Modul Matemaika Kelas 11 | 10
perhatikan segitiga UKV
𝑲𝑽 = √ 𝑈𝐾2 + 𝑈𝑉2
𝑮𝑷 = √(6√2)
2
+ 122
𝑮𝑷 = √72 + 144
𝑮𝑷 = √216
𝑮𝑷 = √36 × 6 ≅ √36 × √6
𝑮𝑷 = 6√6 𝑐𝑚
perhatikan segitiga UKV dan segitiga ULV (gambar.5)
𝑈𝐿
𝑈𝐾
=
𝑈𝑉
𝐾𝑉

𝑈𝐿
6√2
=
12
6√6
 𝑈𝐿 =
12 ∙ 6√2
6√6
 𝑈𝐿 =
12√2
√6
 𝑈𝐿 =
12√2
√6
≡ 4√3
jadi, jarak titik U ke bidang FQY adalah 4√3 cm
T
VW
P
S
Q
R
U
K
gambar.4
V
L
U
K
gambar.5
LATIHAN 1
1. Diketahui kubus ABCD.EFGH yang mempunyai panjang rusuk 6 cm. Titik P berada di tengah – tengah EH. Tentukan jarak :
a. Titik A ke garis CD
b. Titik B ke garis AC
c. Titik B ke garis EG
d. Titik P ke garis BC
2. Diketahui prisma segi empat ABCD.EFGH dengan panjang AB = BC = 8 cm dan AE = 12 cm. Tentukan :
a. Titik C ke bidang BDG
b. Titik B ke bidang ACGE
c. Titik C ke bidang ADHE
d. Titik O ke bidang ADGF dengan O berada di tengah – tengah BC.
d. Jarak antara dua garis bersilangan
Dua garis dikatakan bersilangan apabila garis tersebut tidak sejajar dan terletak pada dua bidang yang
berbeda.
Contoh 1
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm.
tentukan jarak antara garis
a. HD dan AG
b. AE dan CH
penyelesaian:
a. jarak antara garis HD dan AG dapatdiwakili oleh
jarak antara titik O dan HD.

11. Modul Matemaika Kelas 11 | 11
𝑶 − 𝑯𝑫 =
1
2
𝐷𝐵
𝑶 − 𝑯𝑫 =
1
2
√42 + 42
𝑶 − 𝑯𝑫 =
1
2
√16 + 16
𝑶 − 𝑯𝑫 =
1
2
√32
𝑶 − 𝑯𝑫 =
1
2
4√2
𝑶 − 𝑯𝑫 = 2√2 𝑐𝑚
b. Jarak antara garis AE dan CH dapat diwakili oleh garis
EH karena apabila garis AE diproyeksikan ke bidang
CDHG, maka garis AE akan tegak lurus dengan CH dan
titik H. jadi, jarak antara garis AE dan CH adalah 4 cm
A B
C
D
E F
GH
O
e. Jarak antara dua garis sejajar
Misalkan diketahui garis 𝒈 dan 𝒉 sejajar. Jarak antara garis g dan h dapat digambarkan dengan cara
sebagai berikut:
 Buatlah bidang 𝜶 yang melalui garis 𝒈 dan 𝒉
 buatlah garis k yang memotong tegak lurus garis 𝒈 dan 𝒉, lalu misalkan titik potong garis 𝒌 terhadap
kedua garis tersebut dengan titik 𝑨 dan titik 𝑩
 panang ruas garis 𝑨𝑩 ditetapkan sebagai jarak antara garis 𝒈 dan garis 𝒉 yang sejajar.
Ilustrasi cara diatas dapat dilihat pada gambar berikut:
g
h
A
B
k
f. Jarak antara garis dan bidang yang sejajar
Misalkan garis 𝒈 dan bidang 𝜶 saling sejajar. Jarak antara garis 𝒈 dan bidang 𝜶 dapat dicari dengan
mengikuti langkah-langkah sebagai berikut:
 Ambil sembarang titik P pada garis 𝒈
 Buatlah garis 𝒌 yang melalui titik P dan tegak lurus bidang 𝜶
 garis k menembus bidang 𝜶 di titik Q
 panjang ruas garis PG adalah jarak antara garis 𝒈 dan bidang 𝜶
perhatikan gambar berikut:
gP
Q
k

12. Modul Matemaika Kelas 11 | 12
g. Jarak antara dua bidang yang sejajar
Untuk menentukan jarak antara dua bidang yang sejajar caranya sama dengan menentukan jarak antara
garis dan bidang yang saling sejajar. Perhatikan ilustrasi gambar berikut:
P
Q
k
LATIHAN 2
1. Diketahui prisma tegak segi empat ABCD.EFGH yang mempunyai panjang AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AE = 8 cm.
Tentukan jarak antara :
a. Garis AB dan GH
b. Garis AC dan EG
c. Garis CD dan EF
2. Diketahui balok PQRS.TUVW dengan panjang PQ = QR = 6 cm dan PT = 10 cm. Tentukan jarak :
a. Garis PQ ke bidang RSWV
b. Garis QR ke bidang TUVW
c. Garis PT ke bidang QSWU
3. Kubus ABCD.EFGH mempunyai panjang rusuk 8 cm. Tentukan jarak antara :
a. Bidang ABFE dan CDHG
b. Bidang ABCD dan EFGH
c. Bidang ACF dan DEG
2. Menghitung sudut pada bangun ruang
a. Sudut antara dua garis berpotongan
D
C A
B
P
a a
m
l
b. Sudut antara dua garis bersilangan
Cara menentukan sudut antara dua garis bersilangan adalah dengan menggeser salah satu garis sehingga
memotong garis yang lainnya. Sudut yang dibentuk oleh kedua garis tersebut merupakan dua garis yang
berpotongan.
Contoh :
Perhatikan kubus PQRS.TUVW. Tentukan besar sudut yang terbentuk oleh garis – garis :
1) QS dan QR
2) QV dan VS
3) QR dan PW
4) TR dan WS
Penyelesaian :

13. Modul Matemaika Kelas 11 | 13
P
Q
S
R
T
U
W
V
5 cm
1) Garis QS dan QR berpotongan di Q. Sudut yang terbentuk antara QS dan QR adalah ∠𝑅𝑄𝑆 .
Perhatikan bahwa ∆𝑆𝑄𝑅 merupakan segitiga siku – siku sama kaki. Jadi, ∠𝑅𝑄𝑆 = 450
.
2) Garis QV dan VS berpotongan di V dan membentuk sudut 𝑄𝑉𝑆.
S
V
Q25 cm
25 cm25 cm
Perhatikan bahwa ∆𝑆𝑄𝑉 merupakan segitiga sama sisi. Jadi, besar sudut yang terbentuk antara garis
QV dan VS adalah 600
3) Garis QR dan PW saling bersilangan. Garis PW sejajar QV pada bidang QRVU. Jadi, ∠( 𝑄𝑅, 𝑃𝑊) =
∠𝑉𝑄𝑅 = 450
4) Garis TR dan WS saling bersilangan. Garis WS sejajar VR pada bidang SRVW.

V
R
T 25 cm
5 cm
∠( 𝑇𝑅, 𝑊𝑆) = ∠( 𝑇𝑅, 𝑉𝑅) = ∠𝑇𝑅𝑉. Perhatikan ∆𝑇𝑅𝑉.
tan 𝜃 =
5√2
5
= √2 ⇔ 𝜃 = 54,740
Jadi, besar sudut yang terbentuk antara garis TR dan WS adalah 54,740
c. Sudut antara garis dan bidang
Sudut antara garis dan bidang adalah sudut lancip yang dibentuk antara garis dengan proyeksinya pada
bidang.
Contoh :
Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 cm. Hitung besar sudut antara garis BG dan bidang
ACGE.
Penyelesaian :
A B
D
C
E F
H G
O

4 cm

14. Modul Matemaika Kelas 11 | 14
𝐴𝐶 = √𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2
𝐴𝐶 = √42 + 42 = √16 + 16 = √32 = √16 ∙ 2 = 4√2 cm
𝑂𝐶 =
1
2
𝐴𝐶 = 2√2 cm
𝐵𝐺 = 𝐴𝐶 = 4√2 cm
𝐵𝑂 =
1
2
𝐵𝐷 =
1
2
𝐵𝐺 = 2√2 cm
𝑂𝐺 = √𝐶𝐺2 + 𝑂𝐶2
𝑂𝐺 = √42 + (2√2)
2
= √16 + 8 = √24 = 2√6 cm
Sudut yang terbentuk antara garis BG dan bidang ACGE adalah ∠𝐵𝐺𝑂 = 𝜃.
Perhatikan ∆𝐵𝐺𝑂, 𝐵𝑂 ⊥ 𝑂𝐺 karena 𝐵𝑂 ⊥ bidang ACGE
sin 𝜃 =
𝐵𝑂
𝐵𝐺
sin 𝜃 =
2√2
4√2
=
1
2
⇔ 𝜃 = 300
Jadi ∠( 𝐵𝐺, 𝐴𝐶𝐺𝐸) = 𝜃 = 300
d. Sudut antara dua bidang
Contoh :
Suatu kubus PQRS.TUVW dengan panjang rusuk 5 cm. Tentukan besar sudut yang terbentuk antara bidang
PQRS dan bidang QSV.
Penyelesaian :
P Q
S
R
T U
W V
O

5 cm
Bidang PQRS beririsan dengan QSV di garis QS. Jadi, sudut yang
terbentuk merupakan sudut antara garis OV dan OR atau ∠( 𝑂𝑉, 𝑂𝑅) = 𝜃
𝑂𝑅 =
1
2
𝑃𝑅 =
1
2
∙ 5√2 =
5
2
√2 cm
tan 𝜃 =
𝑉𝑅
𝑂𝑅
=
5
5
2
√2
= 5 ∙
2
5√2
=
2
√2
=
2
√2
∙
√2
√2
=
2√2
2
= √2 ⇔ 𝜃 =
54,740
Jadi, besar sudut yang terbentuk antara bidang PQRS dan bidang QSV
adalah 54,740
LATIHAN 3
1. Diketahui kubus PQRS.TUVW mempunyai panjang rusuk 6 cm. Tentukan besar sudut yang terbentuk antara garis :
a. PR dan QR
b. TV dan RV
2. Kubus KLMN.OPQR mempunyai panjang rusuk p cm. Tentukan besar sudut yang terbentuk antara :
a. Garis KR dan bidang alas
b. Garis NQ dan bidang LMQP
3. Diketahui kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk q cm. Tentukan besar sudut yang terbentuk antara kedua bidang
berikut.
a. ACGE dan BDHF
b. BCHE dan ADGF

15. Modul Matemaika Kelas 11 | 15
DAFTAR PUSTAKA
Kasmina, Toali.” Matematika: Untuk SMK/MAK Kelas XI”.Erlangga, Jakarta: 2018
Kasmina, Toali.”Seri Pendalaman Materi SMK/MAK”.Erlangga.Jakarta:2018
Sartono, W.”Matematika SMA Kela X”.Erlangga, Jakarta: 2006
mumtaaz1807.blogspot.com