Transformasi Laplace

of 17
SISTEM LINIER, Transformasi Laplace
Transformasi Laplace Bilateral
Transformasi Laplace bilateral atau dua sisi dari sinyal bernilai riil x(t) didefinisikan sebagai :




 dte)t(xX st
B
Operasi transformasi Laplace bilateral dinotasikan dengan B(x(t)) dan untuk menyatakan relasi
antara x(t) dan XB(s) digunakan :
)s(X)t(x B
Transformasi Laplace Unilateral
Transformasi Laplace unilateral, selanjutnya disingkat transformasi Laplace saja, didefinisikan
sebagai :





0
st
dte)t(x)s(X
TRANSFORMASI LAPLACE Definisi Transformasi Laplace

of 17
Nilai dari s dimana transformasi Laplace bilateral konvergen, yaitu : 



dte)t(x t}sRe{
disebut daerah konvergensi absolut atau disingkat daerah konvergensi (region of convergence, ROC).
.
Contoh 1 : Tinjau sinyal x(t) = exp(-at) u(t)
as
1
dte
dt)t(uee)s(X
t)as(
stat
B












-a 0
Bidang s
Re{s} = 
Im{s} = j
Contoh 2 : Tinjau sinyal x(t) = - exp(-at) u(-t)










dte
dt)t(ue)s(X
t)as(
t)as(
B
ROC : Re{s+a}  0 atau Re {s}  -a dan XB(s) = 1/(s+a)
-a 0
Bidang s
Re{s} = 
Im{s} = j
TRANSFORMASI LAPLACE Daerah Konvergensi

of 17
Linieritas
Jika x1(t)  X1(s)
x2(t)  X2(s)
maka ax1(t) + bx2(t) aX1(s) + bX2(s), dimana a dan b adalah suatu konstanta.
Pergeseran Waktu
Jika x(t)  X(s)
maka X(t-t0) u(t)  exp(-t0s)X(s), untuk suatu bilangan positif t0,
Pergeseran dalam Domain s
Jika x(t)  X(s)
maka exp(s0t) x(t)  X(s-s0)
Penskalaan Waktu
Jika x(t)  X(s), Re{s}  1
Maka x( t)  (1/ ) X(s/), Re{s}  1 untuk setiap bilangan riil .
TRANSFORMASI LAPLACE Sifat-sifat Transformasi Laplace

of 17
Diferensial dalam Domain Waktu
Jika x(t)  X(s)
maka )0(x)s(sX
dt
)t(dx 

atau secara umum : )0(x)0(sx.....)0(xs)s(Xs
dt
)t(xd 1n2n1nn
n
n


Integrasi dalam Domain Waktu
Jika y(t) = 
t
0
dt)t(x , untuk setiap sinyal kausal x(t)
maka Y(s) = (1/s) X(s)
Diferensial dalam Domain s
Jika x(t)  X(s)
maka
ds
)s(dX
)t(xt 
atau secara umum :   n
n
n
ds
)s(Xd
)t(xt 

of 17
Modulasi
Jika x(t)  X(s)
maka x(t) cost  (1/2)[X(s+j) + X(s-j)]
x(t) sint  (j/2)[ X(s+j) - X(s-j)]
untuk sebarang bilangan riil .
Konvolusi
Jika x(t)  X(s) dan h(t)  H(s)
maka x(t)h(t)  X(s) H(s)
Dari hubungan y(t) = x(t)h(t),
maka Y(s) = X(s) H(s),
sehingga kita peroleh :
)s(X
)s(Y
)s(H  , H(s) dikenal sebagai fungsi alih sistem.

of 17
Teorema Harga Awal
Jika x(t) dapat dideferensial pada interval di sekitar x(0+
), maka ;
)s(sXlim)0(x
s 


atau secara umum : )0(sx....)0('xs)0(xs)s(Xslim)0(x )1n(1nn1n
s
n 



Jika xn
(0+
) = 0, untuk n  N, maka :
)s(Xslim)0(x 1N
s
N 



Teorema Harga Akhir
Dengan teorema harga akhir, dapat dihitung x(t) untuk t   dari transformasi Laplace sebagai
berikut :
)s(sXlim)t(xlim
0st 


of 17
Untuk mendapatkan x(t) dari X(s) dapat digunakan formula sebagai berikut :





j
j
ds)stexp()s(X
j2
1
)t(x
Perhitungan integral Persamaan di atas memerlukan integral kontur yang relatif rumit.
Dalam banyak kasus, transformasi Laplace dapat ditulis dalam bentuk :
)s(D
)s(N
)s(X 
dimana N(s) dan D(s) adalah polinomial dalam s. Fungsi X(s) dalam persamaan disebut fungsi
rasional dari s karena merupakan rasio dari dua polinomial.
Jika derajat N(s) lebih kecil derajat D(s), maka fungsi rasional tersebut disebut "proper".Untuk fungsi
rasional yang propers invers dari transformasi Laplace dapat ditentukan dengan menggunakan
ekspansi pecahan parsial.
TRANSFORMASI LAPLACE Invers Dari Transformasi Laplace

of 17
Faktor Linier Tak Berulang
Fungsi rasional dapat ditulis sebagai berikut :
dimana,
Contoh :
maka,
x(t) = -(1/4) u(t) +(7/20) exp(-4t) u(t) +(3/5) exp(t) u(t)
R(s)
bs
A
D(s)
N(s)



bs
)s(D
)s(N)bs(
A






 

 
1s
)5/3(
4s
20/7
s
)4/1(
1s
A
4s
A
s
A
s4s3s
1s2
)s(X
321
23














of 17
Faktor Linier Berulang
Tiap-tiap faktor berulang (s+b)n
bersesuaian dengan pecahan parsial
n
n
2
21
)1s(
A
......
)bs(
A
bs
A





Koefisien Ak dpat ditentukan dari formula :
bs
n
n
)s(D
)s(N)bs(
A


 dan 1n,.....,2,1k;
)s(D
)s(N)bs(
ds
d
)!kn(
1
A
bs
n
kn
kn
k 






Contoh :
Jadi, x(t) = 2 exp(2t) u(t) + t exp(t) u(t)
   1s
A
)1s(
A
2s
B
)s(X
)1s)(2s(
s3s2
2s5s4s
s3s2
)s(X
1
2
2
2
2
23
2












0
)2s(
s3s2
ds
d
A
1
)2s(
s3s2
A
2
)1s(
s3s2
)1s)(2s(
)s3s2)(2s(
B
1s
2
1
1s
2
2
2s
2
2
2
2


























2
)1s(
1
)2s(
2
)s(X






of 17
Faktor Orde-2 Tak Berulang
Jika terdapat faktor orde-2 yang tidak dapat disederhanakan, maka dibentuk pecahan :
Cara terbaik untuk mendapatkan koefisien dari polinomial di atas adalah dengan menyamakan
koefisien dari pangkat s.
Contoh :
sehingga
x(t) = [3 cos2t + sin2t - (5/2) exp(t/2)] u(t)
qpss
BAs
2


1s2
C
4s
BAs
4s8ss2
21ss
)s(X
2
23
2








2/1s
2/5
4s
1
4s
s3
1s2
5
4s
1s3
)s(X 222 











s2
- s - 21 = ( As + B )( 2s - 1) + C( s2
+ 4 )
= ( 2A + C )s2
+ (-A + B )s - B + 4
A = 3, B = 1, C = -5


of 17
Faktor Orde-2 Berulang
Untuk faktor orde-2 berulang, digunakan bentuk ;
Seperti cara sebelumnya, untuk mendapatkan koefisien-koefisiennya dilakukan dengan cara
menyamakan koefisien dari pangkat s.
Contoh :
Sehingga,
Jadi
qpss
BsA
....
qpss
BsA
qpss
BsA
2
nn
2
22
2
11








 22
2
2
1
22
23
1s
BsA
1s
BsA
)1s(
3s7s3s5
)s(X









   
)t(u)tsinttsin3tcos5()t(x
1s
s2
1s
3
)1s(
s5
)s(X 2222







5s3
- 3s2
+7s - 3 = (A1s + B1)(s2
+ 1) + A2(s + B2)
A1 = 5, B1 = -3, A2 =2, B2 = 0


of 17
Transformasi Laplace dapat digunakan untuk menyelesaikan baik persoalan analisa maupun
perancangan sistem. Aplikasi transformasi Laplace tersebut bergantung kepada sifat-sifat
transformasi Laplace, khususnya diferensiasi, integrasi dan konvolusi. Beberapa contoh aplikasi ini
adalah sebagi berikut ;
Analisa Rangkaian RLC
Dalam analisa rangkaian, transformasi Laplace dapat digunakan langsung dengan
mentransformasikan rangkaian tanpa melalui persamaan diferensial. Relasi ekivalen tegangan - arus
dalam domain s adalah sebagai berikut :
Resistor : VR(s) = R IR(s)
Induktor : VL(s) = sL IL(s) - L IL(0-
) atau
Kapasitor : )0(Cv)s(sCV)s(I CCc

 atau
s
)0(v
)s(I
sC
1
)s(V C
CC


s
)0(i
)s(V
sL
1
)s(I L
LL


TRANSFORMASI LAPLACE Aplikasi Transformasi Laplace

of 17
Tinjau rangkaian dibawah, dengan IL(0-
) = 1, vC(0-
) = 2 dan x(t) = u(t). Rangkaian ekivalen dalam
domain s ditunjukkan pada gambar sebelah kanan.
Persamaan pada node 1 : 0)s(Y)s(sY
s2
2s/1)s(Y
2 








atau,
Maka,
2222
22
2
2
)2/3()5.1s(
2/3
3
5
)2/3()5.1s(
5.1s
3
5
s3
1
)2/3()5.1s(
53/)s5(
s3
1
)3s3s(s
1s6s2
)s(Y











)t(u)t
2
3
)(sint
2
3
exp(
3
5
)t(ut
2
3
cos)t
2
3
exp(
3
5
)t(u
3
1
)t(y 






TRANSFORMASI LAPLACE Aplikasi Untuk Analisa Rangkaian

of 17
Tinjau sistem yang ditunjukkan pada gambar di bawah ini :
Sistem Pengaturan
Perbedaan antara referensi dan output disebut galat atau error, e(t) = r(t) - y(t).
Sinyal galat ini dikenakan pada kontroler, yang berfungsi memaksa sinyal galat menjadi nol pada
saat t  , yaitu :
0)t(elim
t


Kondisi ini menyebabkan output sistem mengikuti sinyal referensi r(t). Performansi sistem jenis ini
disebut penjejakan (tracking).
TRANSFORMASI LAPLACE Aplikasi Untuk Sistem Pengaturan
HC(s)
r(t) e(t)
w(t)
y(t)
H(s)
Sinyal OutputSinyal Referensi

of 17
Kita tinjau sistem tracking yang memiliki fungsi alih :
)s(D
)s(N
)s(H  , r(t) = Au(t) dan w(t) = Bu(t), dimana A dan B adalah konstanta.
Maka dengan menggunakan sifat superposisi dapat ditunjukkan bahwa,
 
 )s(H)s(H1s
BA)s(H)s(H
)s(W
)s(H)s(H1
)s(H
)s(R
)s(H)s(H1
)s(H)s(H
)s(Y
C
C
CC
C







Misalkan HC(s) = NC(s)/DC(s), maka :
 
 )s(N)s(N)s(D)s(Ds
B)s(DA)s(N)s(N
)s(Y
CC
CC



Dengan menggunakan teorema harga akhir ,
 
)t(y
)s(N)s(N)s(D)s(D
B)s(DA)s(N)s(N
lim
)s(sYlim)t(ylim
CC
CC
0s
0st






Agar A)t(ylim
t


maka harus dipenuhi 0)s(Dlim
0s


atau DC(s) memiliki zero di s = 0
TRANSFORMASI LAPLACE Aplikasi Untuk Sistem Pengaturan

of 17
Prosedur untuk menyelesaikan suatu PD menggunakan transformasi Laplace adalah sebagai berikut :
1. Dengan kondisi mula yang diketahui, ambil transformasi Laplace kedua sisi PD.
2. Selesaikan persamaan aljabar untuk Y(s)
3. Ambil invers-nya untuk memperoleh y(t)
Contoh : selesaikan persamaan y''(t) + 5y'(t) +6y(t) = exp(-t) ; y'(0-
) =1, y(0-
) = 2
1. Ambil TL kedua sisi menghasilkan :    
1s
1
)s(Y62)s(sY51s2)s(Ys2


2. Diselesaikan untuk Y(s), didapat :
)3s(2
9
)2s(
6
)1s(2
1
)6s5s)(1s(
12s13s2
)s(Y 2
2









3. Ambil invers dari Y(s), yaitu -1
{Y(s)} diperoleh :
)t(u)t3exp(
2
9
)t2exp(6)texp(
2
1
)t(y 






TRANSFORMASI LAPLACE Penyelesaian Persamaan Diferensial

of 17
Suatu fungsi transfer H(s) selalu dapat ditulis dalam bentuk perkalian :
)ss).....(ss)(ss(
)s(N
)s(D
)s(N
)s(H
N21 

Nilai s yang menjadikan H(s) =  disebut pole. Jadi pole H(s) adalah s = -s1, s = -s2, …, s = -sN.
Persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai berikut :
N
N
2
2
1
1
ss
A
.......
)ss(
A
ss
A
)s(H






Secara umum, pole dapat berbentuk kompleks, yaitu :sk = k + jk
Respon impuls dari sistem dapat ditulis (jika tidak ada pole yang berulang / multiple pole) :
h(t) = A1 exp(-s1t) + A2 exp(-s2t) + ……… + AN exp(-sNt)
atau secara umum 


N
1k
kk t)sexp(Ah(t)
Jika sk = k + jk, maka )jexp()texp(A)t(h k
N
1k
kk  

Jelas bahwa agar stabil BIBO, maka sistem tersebut harus memiliki pole yang bagian riilnya negatif,
atau pole-polenya terletak di sebelah kiri bidang s.
TRANSFORMASI LAPLACE Analisa Stabilitas dalam Domain s

Transformasi Laplace

More Related Content

What's hot

Similar to Transformasi Laplace

More from yusufbf

Recently uploaded

Transformasi Laplace