Bai toan tim diem tren do thi ham so

1. Khóa hc LTH môn Toán 2015 – Thy NG VIT HÙNG Facebook: LyHung95
BÀI TOÁN TÌM I

2. M TRÊN TH
Thy ng Vit Hùng
Kin thc c bn:
1) Khong cách gi

3. a hai im A, B: AB = (xB - xA)2 + (yB - yA)2
2) Khong cách t
im M(x0; y0 ) n ng thng D: ax + by + c = 0 :
+ +
ax by c
( , )
d M d
0 0
2 2
+
a b
=
c bit: + Nu D: x = a thì d(M,D) = x0 - a
+ Nu D: y = b thì d(M,D) = y0 - b
+ Tng các khong cách t
M n các trc to là: x0 + y0 .
1 1 2 2 2 . .sin . .
2 2
3) Din tích tam giác ABC: S = AB AC A AB AC ( AB AC)
= -
4) Các im A, B i xng nhau qua im I Û IA + IB = 0
2
2
+ =
+ =
x x x
y y y
Û A B I
A B I
^ Î
5) Các im A, B i xng nhau qua ng thng D Û AB
I
D
D
(I là trung im AB).
=
= -
x x
y y
c bit: + A, B i xng nhau qua trc Ox Û B A
B A
=
= -
x x
y y
+ A, B i xng nhau qua trc Ox Û B A
B A
6) Khong cách gi

4. a ng thng D vi ng cong (C) bng khong cách nh nht gi

5. a mt im M Î D
và mt im N Î (C).
7)
im M(x; y) c gi là có to nguyên nu x,y u là s nguyên.
Ví d 1: [VH]. Cho hàm s y x x = - 3 + 3 + 2 (C).
Tìm 2 im trên th hàm s sao cho chúng i xng nhau qua tâm M(–1; 3).
Hng dn gii:
Gi A(x0; y0 ) , B là im i x ng vi A qua im M(-1;3) B(-2 - x0;6 - y0 )
y x 3
A,BÎ(C)Û x
0 = - 0 + 3 0
+ 2
- = - - - 3
+ - -
+ 6 ( 2 ) 3( 2 ) 2
y x x
0 0 0
3 3 2
x x ( x ) ( x ) x x
Û6 = - 0 + 3 0 + 2 - -2 - 0 + 3 -2 - 0 + 2Û6 0 +12 0 + 6 = 0 Û x0 = -1 y0 = 0
V
y 2 im cn tìm là: (-1;0) và (-1;6)
Ví d 2: [VH]. Cho hàm s x
3
2 3 11
= - + + - .
y x x
3 3
Tìm trên th (C) hai im phân bit M, N i xng nhau qua trc tung.
Hng dn gii:
Hai im M(x1; y1), N(x2; y2 )Î(C) i x ng nhau qua Oy Û
0 = - ¹
x x
y y
2 1
1 2
=
Û
0
3 11 3 11
= - ¹
x x
x x
2 1
3 3
1 2 2 3
- + x 1 + x 1 - = - + x 2
+ x2
- 3 3 3 3
Û
=
x
x
1
2
3
3
= -
ho

6. c
= -
x
x
1
2
3
3
=
Tham gia trn vn khóa LTH môn Toán 2015 ti Moon.vn t im s cao nht trong ky TS
H 2015!

7. Khóa hc LTH môn Toán 2015 – Thy NG VIT HÙNG Facebook: LyHung95
3;16 , 3;16
3 3
-
V
y hai im thu
c th (C) và i x ng qua Oy là: M N
.
Ví d 3: [VH]. Cho hàm s y x x = - 3 + 3 + 2 (C).
Tìm trên (C) hai im i xng nhau qua ng thng d: 2x - y + 2 = 0 .
Hng dn gii:
Gi M(x1; y1);N (x2; y2 ) thu
c (C) là hai im i x ng qua ng thng d
I là trung im ca AB nên
x + x y + y
I 1 2 ; 1 2
2 2
, ta có I Îd
( y + y - x 3 + 3 x + 2 ) + ( - x 3
+ 3 x + 2
) x +
x
Ta có 1 2 1 1 2 2 1 2
2. 2
= = +
2 2 2

8. + =
( ) ( ) ( ) ( ) x x
3 1 2
3 3 2
- x + x + x x x + x + x + x = x + x
0
1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2
x - x x + x
=
1 1 2 2
1
M

9. t khác: MN ^ d (x2 - x1).1+ (y2 - y1).2 = 0
(x x ) (x x )(x x x x ) x x x x 2 2 2 2
7 2 0 7
- - - + + = + + =
2 1 2 1 1 1 2 2 1 1 2 2
2
7 7
;
2 2
- Xét x1 + x2 = 0 x1 x2
= ± =
- Xét
2 2 2 2
1 - 1 2 + 2 = 1 + 2
=
2 Û 1 + 2
1 2 + 2 = 1 2
= 1
7 4 5
2 4
x x x x x x
x x x x x x
9
vô nghim
V
y 2 im cn tìm là:
7;1 7
2 - ; 1 7
- 7;2 +
2 2 2
2 2 2
Ví d 4: [VH]. Cho hàm s y x x x 1 3 2 3 5
= + - + .
3 3
Gi A, B là các giao im ca (C) vi trc Ox. Chng minh rng trên th (C) tn ti hai im cùng nhìn
on AB di mt góc vuông.
Hng dn gii:
1 3 2 3 5 0 1
3 3 5
+ - + = Û

10. =
= -
PT hoành
giao im ca (C) vi trc hoành: x
x x x
x
A(-5;0), B(1;0) . Gi M a a a a C M A B ; 1 3 2 3 5 ( ), ,
+ - + Î ¹
3 3
AM a a a a 5; 1 3 2 3 5
= + + - +
3 3
, BM a a a a 1; 1 3 2 3 5
= - + - +
3 3
AM ^ BM Û AM.BM = 0
Û ( a + 5)( a - 1) 1 + ( a + 5)2( a - 1)4 =
0
9
Û a a 1 1 ( 1)3( 5) 0
+ - + = Û a a a a 4 + 2 3 -12 2 +14 + 4 = 0 (*)
9

11. t y a a a a = 4 + 2 3 -12 2 +14 + 4 = 0 , có t
p xác nh D = R.
7 2043
2 16
y a a a ¢ = 4 3 + 6 2 -12 +14 ; y¢ = 0 có 1 nghim thc a y 0 0
» - » -
Da vào BBT ta suy ra (*) luôn có 2 nghim khác 1 và –5.
V
y luôn tn ti 2 im thu
c (C) cùng nhìn on AB di m
t góc vuông.
Ví d 5: [VH]. Cho hàm s y x x = 4 - 2 2 +1 .
Tìm to hai im P, Q thuc (C) sao cho ng thng PQ song song vi trc hoành và khong cách t
im c c i ca (C) n ng thng PQ bng 8.
Tham gia trn vn khóa LTH môn Toán 2015 ti Moon.vn t im s cao nht trong ky TS
H 2015!

12. Khóa hc LTH môn Toán 2015 – Thy NG VIT HÙNG Facebook: LyHung95
Hng dn gii:
im cc i ca (C) là A(0;1) . PT ng thng PQ có dng: y = m (m ³ 0) .
Vì d(A,PQ) = 8 nên m = 9 . Khi ó hoành
các im P, Q là nghim ca phng trình:
x x x 4 - 2 2 - 8 = 0Û = ±2 .
V
y: P(-2;9), Q(2;9) ho

13. c P(2;9), Q(-2;9) .
Ví d 6: [VH]. Cho hàm s y x mx m = 4 + 2 - -1 (Cm).
Chng minh rng khi m thay i thì (Cm) luôn luôn i qua hai im c nh A, B. Tìm m các tip tuyn
ti A và B vuông góc vi nhau.
Hng dn gii:
Hai im c nh A(1; 0), B(–1; 0). Ta có: y x mx ¢ = 4 3 + 2 .
Các tip tuyn ti A và B vuông góc vi nhau Û y¢(1).y¢(-1) = -1 Û m (4 + 2 )2 = 1 Û m m
3; 5
2 2
= - = - .
= +
Ví d 7: [VH]. Cho hàm s x
y
2 1
x
2
-
.
Tìm nh

14. ng im trên th (C) cách u hai im A(2; 0) và B(0; 2).
Hng dn gii:
PT ng trung trc an AB: y = x .
Nhng im thu
c th cách u A và B có hoành
là nghim ca PT:
x
x
+ =
-
2 1
x
2
Û 2 1 5 1 5
x - x - 1 = 0 Û - x = ;
= +
x 2 2
Hai im cn tìm là:
1 - 5 ,1 - 5 ; 1 + 5 ,1 + 5
2 2
2 2
3 4
= -
Ví d 8: [VH]. Cho hàm s x
y
x
2
-
(C).
Tìm các im thuc (C) cách u 2 tim c!n.
Hng dn gii:
Gi M(x; y)Î (C) và cách u 2 tim c
n x = 2 và y = 3.
Ta có: 2 3 2 3 x 4 2 2
x
- = - Û - = - - Û - =
x y x x
2 2
- -
x x
( 2) 1
Û x = ±

15. x
= x
- Û -
= 2 4
x x
V
y có 2 im tho mãn bài là : M1( 1; 1) và M2(4; 6)
2 x
1
Ví d 9: [VH]. Cho hàm s y
= +
x
1
+
(C).
Tìm trên (C) nh

16. ng im có tng khong cách n hai tim c!n ca (C) nh nht.
Hng dn gii:
Gi M(x0; y0 )Î (C), ( x0 ¹ -1) thì
2 x
1 1
y
0
2
+
= = -
1 1
+ +
x x
0
0 0
1 , 2
= + = - =
Gi A, B ln lt là hình chiu ca M trên TC và TCN thì: MA x MB y
x 0 0
1
0
1
+
2 . 2 1 . 1 2
+ ³ = + =
Áp dng BT Cô-si ta có: MA MB MA MB x
x 0
0
1
+
1 0

17. =
MA + MB nh nht bng 2 khi x
x
+ = Û
= - +
1 2
x x
0
0
0 0
1
.
V
y ta có hai im cn tìm là (0; 1) và (–2; 3).
2 x
1
Ví d 10: [VH]. Cho hàm s y
= -
x
1
+
.
Tìm ta im M Î (C) sao cho khong cách t
im I (-1; 2) ti tip tuyn ca (C) ti M là ln nht.
Tham gia trn vn khóa LTH môn Toán 2015 ti Moon.vn t im s cao nht trong ky TS
H 2015!

18. Khóa hc LTH môn Toán 2015 – Thy NG VIT HÙNG Facebook: LyHung95
Hng dn gii:
3
-
+ Î
; 2 ( )
Gi s M x C
x 0
0
1
. PTTT D ca (C) ti M là:
2 3 3 ( )
- + = -
y x x
1 ( 1)
+ +
x x
2 0
0 0
Û x x x y x 2
3( - 0 ) - ( 0 +1) ( - 2) - 3( 0 +1) = 0
Khong cách t! I (-1;2) ti tip tuyn D là:
3( - 1 - x ) - 3( x + 1) 6 x
+
1 6
0 0 0
= = =
9 1 9 ( 1) 9 ( 1)
4 4 2 0 0 0 2
( )
d
+ x + + x + + x
+
( 1)
x
0
+
2 4
= -
2 4 2
- = +
+
+
+ +
-
2 2 4 0 0
2
1
2 2
;2 + , ;2
+
1 1
- -
= = 900 D = D =
=
- = +
B
A
C
Tham gia trn vn khóa LTH môn Toán 2015 ti Moon.vn t im s cao nht trong ky TS
H 2015!
.
Theo BT Cô–si: x
x
2
2 0
0
9 ( 1) 2 9 6
( 1)
+ + ³ =
+
d £ 6 .
Khong cách d ln nht bng 6 khi x x x
x
2 2
2 0 0 0
0
9 ( 1) ( 1) 3 1 3
( 1)
= + Û + = Û = - ±
+
.
V
y có hai im cn tìm là: M(-1+ 3;2 - 3) ho

19. c M(-1- 3;2 + 3)
Ví d 11: [VH]. Cho hàm s x
y
x
1
+
.
Tìm trên (C) hai im i xng nhau qua ng thng MN bit M(–3; 0) và N(–1; –1).
Hng dn gii:
MN = (2;-1)
Phng trình MN: x + 2y + 3 = 0 .
Phng trình ng thng (d) ^ MN có dng: y = 2x + m.
Phng trình hoành
giao im ca (C) và (d): x
x m
x
1
Û x mx m x 2 2 + + + 4 = 0 ( ¹ -1) (1)
(d) ct (C) ti hai im phân bit A, B Û D = m 2 - 8 m - 32 0 (2)
Khi ó A(x1;2x1 + m), B(x2;2x2 + m) vi x1, x2 là các nghim ca (1)
x x
Trung im ca AB là
I 1 2 x x m
; 1 2
2
º m m
I ;
4 2
(theo nh lý Vi-et)
A, B i x ng nhau qua MN Û I Î MN Û m = -4
Suy ra (1) Û x
x x
x
2
- = Û

20. =
=
A(0; –4), B(2; 0).
Ví d 12: [VH]. Cho hàm s x
y
x
=
-
.
Tìm trên th (C) hai im B, C thuc hai nhánh sao cho tam giác ABC vuông cân ti nh A vi A(2; 0).
Hng dn gii:
Ta có C y
x
2
( ) : 2
1
= +
-
. Gi B b C c
b c
vi b 1 c .
Gi H, K ln lt là hình chiu ca B, C lên trc Ox.
Ta có: AB = AC ; BAC = 900 CAK + BAH = 900 = CAK + ACK BAH =
ACK và: {AH CK
BHA CKA ABH CAK
HB AK
Hay: { b
c b
c
c
b
2
2 2
1 1
2 3 2 2
1
- Û = -
+ = - =
-
.
V
y B(-1;1), C(3;3)
Ví d 13: [VH]. Cho hàm s x
y
x
3
1
= -
+
.
H K

21. Khóa hc LTH môn Toán 2015 – Thy NG VIT HÙNG Facebook: LyHung95
Tìm trên hai nhánh ca th (C) hai im A và B sao cho AB ng#n nht.
Hng dn gii:
T
p xác nh D = R { -1}. Tim c
n ng x = -1 .
1 ;1 4 , 1 ;1 4
Gi s A a B b
- - + - + -
a b
(vi a 0,b 0 ) là 2 im thu
c 2 nhánh ca (C)
2

22. ( ) 16 1 1 ( ) 1 16 4 1 16 4 64 32
2 2 2
= + + + = +
+ ³
+ = + ³
AB a b a b ab ab
2 2 2 2
a b a b a b ab
AB nh nht Û
a = b = Û Û a = b
Û = = = = 4 2 16 4 4
AB a b
4 4
ab a
ab
4
Khi ó: A( -1- 4 4;1+ 4 64 ) , B( -1+ 4 4;1- 4 64 ) .
Ví d 14: [VH]. Cho hàm s x
y
= - +
x
1
2
-
.
Tìm trên th (C), các im A, B sao cho dài on AB bng 4 và ng thng AB vuông góc vi ng
thng d : y = x .
Hng dn gii:
PT ng thng AB có dng: y = -x + m . PT hoành
giao im ca (C) và AB:
- x
+ = - +
-
x m
x
1
2
Û g x x m x m x ( ) = 2 - ( + 3) + 2 +1 = 0 (1) ( ¹ 2)
D
¹
có 2 im A, B thì (1) phi có 2 nghim phân bit khác 2 Û g
(2) 0
g
0
( 3)2 4(2 1) 0
4 ( 3).2 2 1 0
+ - +
- + + + ¹
Û m m
m m
Û m.
x + x = m
+
x x = m
+
Ta có: A B
. 2 1
A B
3
. M

23. t khác A A B B y = -x + m; y = -x + m

24. = -
=
Do ó: AB = 4 Û B A B A x x y y ( - )2 + ( - )2 = 16 Û m m 2 - 2 - 3 = 0 Û m
m
1
3
.

25. = + = - - + = Û
2 6 7 0 3 2 2
+ Vi m = 3 , thay vào (1) ta c: x y
x x
3 2 2
x = - y
=
A(3+ 2;- 2), B(3 - 2; 2) ho

26. c A(3- 2; 2), B(3+ 2;- 2)
+ Vi m = -1, thay vào (1) ta c: x y

27. = + = - - - - = Û
2 2 1 0 1 2 2 2
x x
1 2 2 2
x = - y
= - +
A(1+ 2;-2 - 2); B(1- 2;-2 + 2) ho

28. c A(1- 2;-2 + 2); B(1+ 2;-2 - 2)
Tham gia trn vn khóa LTH môn Toán 2015 ti Moon.vn t im s cao nht trong ky TS
H 2015!