Tài liệu là một đề thi thử đại học môn Toán năm 2011 cho khối A và B. Đề bao gồm nhiều câu hỏi từ khảo sát hàm số, giải phương trình, tính tích phân đến bài toán hình học không gian. Các câu hỏi được đưa ra nhằm kiểm tra kiến thức từ cơ bản đến nâng cao của học sinh.

1. Tr­êng THPT kim thµnh ii
®Ò chÝnh thøc
§Ò thi thö ®¹i häc n¨m 2011 lÇn iI
Môn : Toán, khối A,B
(Thời gian 180 không kể phát đề)
Câu I: Cho hàm số
2 1
1
x
y
x
-
=
-
có đồ thị (C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho.
2. Tìm m, n để đường thẳng (d) có phương trình y=mx+n cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B đối
xứng với nhau qua đường thẳng (d1): x+3y­7=0.
Câu II:
1. Giải phương trình:
4 4 2
2 2 sin os sin 2 1 os2
cot 2 cos2 cot 2
1 os2 2
x c x x c x
x x x
c x
+ + +
- = +
-
2. Giải phương trình: ( ) 3 2 2
8 13 6 6 3 5 5 0 x x x x x x- + + + - - + =
Câu III: Tính
2
0
1
cos
2 3sin 1
I x x dx
x
p
æ ö
= +ç ÷
+ +è ø
ò
Câu IV: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’. Có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc A bằng 60 0
.
Góc giữa mặt phẳng (B’AD) và mặt đáy bằng 30 0
. Tính thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ và
khoảng cách từ đường thẳng BC tới mặt phẳng (B’AD).
Câu V: Cho a, b, c là ba số dương thỏa mãn
1
2
a b c+ + = . Tính giá trị lớn nhất của biểu thức:
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
( )( )
a b b c b c a c a c a b
P
a b b c a c b c a c a b a c a b b c
+ + + + + +
= + +
+ + + + + + + + + + + +
PHẦN RIÊNG (3 điểm)
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VIa:
1. Cho hình thang vuông ABCD vuông tại A và D có đáy lớn là CD, đường thẳng AD có phương
trình 3x­y=0, đường thẳng BD có phương trình x­2y=0, góc tạo bởi hai đường thẳng BC và AB
bằng 45 0
. Viết phương trình đường thẳng BC biết diện tích hình thang bằng 24 và điểm B có
hoành độ dương.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho mặt cầu (S): 2 2 2
4 2 6 11 0 x y z x y z+ + - + - - = , mặt
phẳng (P): 2x+3y­2z+1=0 và đường thẳng d:
1 1
2
3 5
x z
y
- +
= - = . Viết phương trình mặt phẳng
(Q) biết (Q) vuông góc với (P), song song với d và tiếp xúc với (S).
Câu VIIa: Cho phương trình: 3 2
5 16 30 0 z z z- + - = (1), gọi z1, z2, z3 lần lượt là 3 nghiệm của phương
trình (1) trên tập số phức. Tính giá trị biểu thức: A= 2 2 2
1 2 3 z z z+ + .
B. Theo chương trình nâng cao
Câu VIb:
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho đường tròn (C): 2 2
2 4 4 0 x y x y+ - + - = và đường
thẳng d có phương trình x+y+m=0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà
từ đó kể được hai tiếp tuyến AB và AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam
giác ABC vuông.
2. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho điểm A(10; 2; ­1) và đường thẳng d có phương
trình:
1 1
2 1 3
x y z- -
= = . Lập phương trình mặt phẳng (P) đi qua A, song song với d và khoảng
cách từ d tới (P) lớn nhất .
Câu VIIb: Tìm giá trị lớn nhất của tham số m sao cho bất phương trình:
( ) ( ) 2 2
5 5 1 log 1 log 4 x mx x m+ + ³ + + được nghiệm đúng với mọi xÎR.
.H ết .......
Họ v tên.................................... SBD...................
Gi¸m thÞ coi thi kh«ng gi¶i thÝch g× thªm .
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC LẦN II
Câu Đáp án Điểm
I
1) Txd: D=R{1}
2 1
lim 2
1 x
x
x®±¥
-
=
-
=>y=2 là đường tiệm cận ngang.
1 1
2 1 2 1
lim ;lim
1 1 x x
x x
x x+ -
® ®
- -
= +¥ = -¥
- -
=>x=1 là đường tiệm cận đứng
( )
2
1
' 0
1
y
x
= - <
-
với mọi x DÎ
Bảng biến thiên:
x ­ ¥ 1 +¥
y' ­ ­
y
2 +¥
­¥ 2
Hàm số nghịch biến trên khoảng:(­ ¥;1) và (1;+¥)
Hàm số không tồn tại cực trị
Khi x=0 =>y=1; x=­1=>y=3/2
Đồ thị hàm số nhận điểm I(1;2) là tâm đối xứng
2) phương trình đường thẳng d1:
1 7
3 3
y x= - +
Vì A, B đối xứng qua d1=> m=3 (do khi đó d^ d1)
Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x+n
Phương trình hoành độ giao điểm của d và (C) là:
2 1
3
1
x
x n
x
-
= +
-
điều kiện x ¹ 1
( ) 2
3 5 1 0 x n x nÛ + - - + = (1)
Để d cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B ta có điều kiện
( ) ( )
2
5 12 1 0
3 5 1 0
n n
n n
ìD = - - - >ï
í
+ - - - ¹ïî
đúng với mọi n
Gọi tọa độ đỉnh A(xA;3xA+n), B(xB;3xB+n)=> tọa độ trung điểm của đoạn thẳng AB
là
( ) 3
;
2 2
A B A B
x x x x
I n
+æ ö+
+ç ÷
è ø
, theo định li viet ta có:
5
3
A B
n
x x
-
+ = tọa độ điểm
5 5
;
6 2
n n
I
- +æ ö
ç ÷
è ø
, vì A, B đối xứng qua d1 => IÎd1=>n=­1
Vậy phương trình đường thẳng d:y=3x­1
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
II 1) Giải phương trình:

3. 4 4 2
2 2 sin os sin 2 1 os2
cot 2 os2 cot 2
1 os2 2
x c x x c x
xc x x
c x
+ + +
- = +
-
(1)
Điều kiện: sin 2 0 ,
2
x x k k Z
p
¹ Û ¹ Î
(1) Û
( )
( )
2
2 2 sin 2 1
cot 2 1 os2 0
2 1 os2 2
x
x c x
c x
+ æ ö
- + + =ç ÷
- è ø
os4 1 c xÛ =
2
x n
p
Û = ,nÎZ(loại)
Vậy phương trình vô nghiệm.
2) Giải phương trình:
( ) 3 2 2
8 13 6 6 3 5 5 0 x x x x x x- + + + - - + = (1)
Đk: 2
5 5 0 x x- + ³
Từ (1) ( )( ) ( ) 2 2
3 5 2 6 3 5 5 5 x x x x x xÞ - - - + - - + =
( )
2 2
3
5 2 6 5 5 0(2)
x loai
x x x x
é =
Û ê
ê - - + - + =ë
Giải (2): đặt 2
5 5 x x- + =t, điều kiện t ³0
( )
( )
( )
2
1
2 6 7 0
7
t tm
t t
t loai
=é
Û + - = Û ê
= -êë
Với t=1=> 2
5 5 x x- + =1 ( )
1
4
x
tm
x
=é
ê =ë
Vậy phương trình có hai nghiệm x=1 và x=4
0,25 đ
0,5 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
III
Tính :
2 2 2
0 0 0
1 cos
cos cos
2 3sin 1 2 3sin 1
x
I x x dx dx x xdx
x x
p p p
æ ö
= + = +ç ÷
+ + + +è ø
ò ò ò
2
1
0
cos 2 3
1 2ln
3 4 2 3sin 1
x
I dx
x
p
æ ö
= = +ç ÷
+ + è ø
ò
2 2
2
2 0
0 0
cos sin sin x 1
2
I x xdx x x dx
p p
p
p
= = - = -ò ò
1 2
4 3 1
ln
3 4 2 3
I I I
p
= + = + -
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
IV
Gọi I là trung điểm AD, K là hình chiếu của B
xuống B’I, vì A=60 0
=> D ABD đều cạnh a.
( ) '
'
BI AD
BIB AD
BB AD
^ ü
Þ ^ý
^ þ
=>B’IB=30 0
Mà
3
2
a
BI =
=> 0
' .tan 30
2
a
BB BI= =
Diện tích đáy ABCD là:
0,25 đ
0,25 đ
I
B
A
B'
A'
D
D'
C
C'
K

4. ( )
2
3
2 d
2
ABCD ABD
a
S S dv t= =
Thể tích khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là
( )
3
3
'.
4
ABCD
a
V BB S dvtt= =
Do BC//AD=>BC//(B’AD)=> khoảng cách từ BC tới mặt phẳng (B’AD) bằng
khoảng cách từ B tới (B’AD).
Vì ( )
'
'
BK B I
BK B AD
BK AD
^ ü
Þ ^ý
^ þ
Xét DB’BI vuông tại B ta có
2 2 2
1 1 1 3
' 4
a
BK
BK BI BB
= + Þ =
Vậy khoảng cách từ đường thẳng BC tới (B’AD) bằng
3
4
a
.
0,25 đ
0,25 đ
V
Đặt a+b=x; b+c=y; a+c=z=>x+y+z=2(a+b+c)=1
xy yz zx
P
xy z yz x zx y
=> = + +
+ + +
Ta có
( ) ( )( )
xy xy xy
xy z xy z x y z x z y z
= =
+ + + + + +
1
.
2
xy x y x y
xy z x z y z x z y z
æ ö
Þ = £ +ç ÷
+ + + + +è ø
(1)
Chứng minh tương tự
1
.
2
yz y z y z
yz x y x z x y x z x
æ ö
= £ +ç ÷
+ + + + +è ø
(2)
1
.
2
zx z x z x
zx y z y x y z y x y
æ ö
= £ +ç ÷
+ + + + +è ø
(3)
Lấy (1)+(2)+(3) ta được:
3
2
P £ => PMax=
3
2
khi a=b=c=
1
6
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Phần riêng
A. Theo chương trình chuẩn
VI.a
1) tọa độ điểm D là:
3 0 0
2 0 0
x y x
x y y
- = =ì ì
Ûí í
- = =î î
=> D(0;0) ºO
Vecto pháp tuyến của đường thẳng
AD và BD lần lượt là ( ) ( ) 1 2 3; 1 , 1; 2 n n- -
ur uur
=> ( ) 0 1
os 45
2
c ADB ADB= Þ =
=> AD=AB (1)
Vì góc giữa đường thẳng BC và AB bằng
45 0
=> BCD=45 0
=> DBCD vuông cân tại B=>DC=2AB
Theo bài ra ta có:
( )
2
1 3.
24
2 2
ABCD
AB
S AB CD AD= + = =
=>AB=4=>BD= 4 2
Gọi tọa độ điểm ;
2
B
B
x
B x
æ ö
ç ÷
è ø
, điều kiện xB>0
0,25 đ
0,25 đ
B
D
C
A

5. =>
2
2
8 10
( )
5
4 2
2 8 10
( )
5
B
B
B
B
x loai
x
BD x
x tm
é
= -ê
æ ö ê= + = Ûç ÷
êè ø
=ê
ë
uuur
Tọa độ điểm
8 10 4 10
;
5 5
B
æ ö
ç ÷ç ÷
è ø
Vecto pháp tuyến của BC là ( ) 2;1 BC n =
uuur
=> phương trình đường thẳng BC là: 2 4 10 0 x y+ - =
2) Mặt cầu (S) có tâm I(2; ­1; 3) bán kính R=5
Vectơ pháp tuyến của (P): ( ) ( ) 2;3; 2 P
n = -
uuur
Vectơ chỉ phương của d: ( ) 3;1;5 u
r
Vectơ pháp tuyến của (Q): ( ) ( ) ( ) 17; 16; 7 Q P
n n u= Ù = - -
uuur uuur r
vì (Q) ^ (P); (Q)//d
Gọi phương trình mặt phẳng (Q) có dạng: 17x­16y­7z+D=0
Theo bài ra ta có: ( )( ) 2 2 2
15 66 29 34 16 21
; 5
17 16 7 15 66 29
D D
d I Q
D
é = -+ - +
= = Û ê
+ + = - -êë
Phương trình mặt phẳng (Q):
17 16 7 15 66 29 0 x y z- - + - = hoặc 17 16 7 15 66 29 0 x y z- - - - =
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,5 đ
VII.a
3 2
5 16 30 0 z z z- + - =
có 3 nghiệm là: 1 2 3 3; 1 3 ; 1 3 z z i z i= = + = +
=> 2 2 2
1 2 3 7 A z z= + + = -
0,5 đ
0,5 đ
B. Theo trương trình nâng cao
VI.b
1) Phương trình đường tròn có tâm I(1;­2) bán kính R=3, từ A kể được hai tiếp
tuyến AB, AC tới đường tròn và AB ^ AC
=> tứ giác ABIC là hình vuông cạnh bằng 3=>IA=3 2 . Để điểm A duy nhất =>
đường thẳng IA vuông góc với d ta có: ( )
5 1
; 3 2
7 2
m m
d I d
m
= -- é
= = Û ê =ë
2) Gọi H là hình chiếu của A trên d, mặt phẳng (P) đi qua A và (P)//d, khi đó
khoảng cách giữa d và (P) là khoảng cách từ H đến (P).
Giả sử điểm I là hình chiếu của H lên (P), ta có AH³ HI=> HI lớn nhất khi A ºI
Vậy (P) cần tìm là mặt phẳng đi qua A và nhận AH
uuur
là vecto pháp tuyến
( ) 1 2 ; ;1 3 H d H t t tÎ Þ + + vì H là hình chiếu của A trên d nên
Vecto chỉ phương của d là: ( ) 2;1;3 u =
r
( ) ( ) 0 4;1;4 7; 1;5 AH d AHu H AH^ Þ = Þ Þ - -
uuurr uuur
Phương trình mặt phẳng (P):7x+y­5z­77=0
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
0,5 đ
VII.b
Điều kiện: 2
4 0 mx x m+ + > đúng với x R" Î
2
0
2
4 0
m
m
m
>ì
Û Û >í
D = - <î
(1)
( ) ( ) 2 2
5 1 log 1 log 4 x mx x m+ + ³ + + ( ) 2
5 4 5 0 m x x mÛ - - + - ³ đúng với x R" Î
2
5 5 0
3
0 10 21 0
m m
m
m m
<- > ìì
Û Û Û £í í
D £ - + - £î î
(2)
Từ (1), (2)=> bất phương trình đúng với x R" Î khi m=3
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
0,25 đ
Thí sinh vẫn được điểm tối đa nếu làm đúng các bài trên theo cách khác.