Đây chỉ là bản mình upload để làm demo trên web, để tải đầy đủ tài liệu này, bạn vui lòng truy cập vào website tuituhoc.com để tải nhé. Chúc bạn học tốt

1. www.VNMATH.com
H N G Ả T C T O G M ẶT P HẲ G O Y
HÌ H GI I TÍ H TR ON MẶ PH N OX
ÌN
IẢ ÍC
R N
ẲN
X
PHƯƠNG TRÌNH
I. VÉCTƠ
C TRƯNG C A
Ư
Ư NG TH NG TRONG M T PH NG
NG TH NG:
1. Véctơ v = ( a1 ; a 2 ) là véc tơ ch phương (VTCP) c a (∆) ⇔ (∆) // giá c a v
2. Véctơ n = ( a; b ) là véc tơ pháp tuy n (VTPT) c a (∆) ⇔ (∆) ⊥ giá c a n
3. Nh n xét:
(∆) có vô s véctơ ch phương và vô s véctơ pháp tuy n
II. PHƯƠNG TRÌNH
Ư
ng th i v ⊥ n .
NG TH NG
1. Phương trình tham s : PT t (∆) i qua M0(x 0, y0) và có VTCP v = ( a1 ; a 2 ) :
 x = x 0 + a1t

(t ∈ » )

 y = y 0 + a 2t

2. Phương trình chính t c: PT t (∆) i qua M0(x 0, y0) và có VTCP v = ( a1 ; a 2 ) :
x − x0 y − y0
=
a1
a2
3. Phương trình h s góc: PT t (∆) v i h s góc a là: y = ax + b.
4. Phương trình t ng quát: PT t (∆) t ng quát: Ax + By + C = 0 v i A 2 + B 2 > 0
Nh n xét: (∆): Ax + By + C = 0 v i A 2 + B 2 > 0 có
VTCP v = ( B; − A ) và VTPT n = ( A; B )
5. Phương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i h s góc k là: y = k ( x − x 0 ) + y 0
6. Phương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i VTPT n = ( A; B ) là:
A ( x − x0 ) + B ( y − y0 ) = 0
7. Phương trình t (∆) i qua M0(x 0, y0) v i VTCP v = ( A; B ) là:
B ( x − x0 ) − A ( y − y 0 ) = 0
8. Phương trình t (∆) i qua 2 i m M1(x1, y1), M2(x2, y2):
x − x1
y − y1
=
x 2 − x1 y 2 − y1
y
9. Phương trình o n ch n i qua A(0; a), B(0; b) là: x + = 1
a b
10. Phương trình chùm ư ng th ng: Cho 2 ư ng th ng c t nhau
( ∆ 1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; ( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0
v i I = ( ∆1 ) ∩ ( ∆ 2 ) .
ư ng th ng (∆) i qua I là: p ( a1 x + b1 y + c1 ) + q ( a 2 x + b2 y + c2 ) = 0 v i p 2 + q 2 > 0
11

2. www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
III. V
TRÍ TƯƠNG
I C A 2
Ư
NG TH NG
 x = x1 + a1t

(t ∈ ») ,
(∆1) i qua M1(x 1; y1): 
 y = y1 + b1t

1. D ng tham s :
x = x2 + a2t

(t ∈ »)
(∆2) i qua M2(x 2; y2): 
y = y 2 + b2 t


N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v 2 = ( a 2 ; b2 ) ⇔ a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) ∩ ( ∆ 2 ) = i m I.
a1b2 − a 2 b1 = 0

N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v 2 = ( a 2 ; b2 ) // M 1 M 2 ⇔ 
a1 ( y 2 − y1 ) − b1 ( x 2 − x1 ) ≠ 0

thì (∆1) // (∆2).
a1b2 − a 2 b1 = 0

N u v1 = ( a1 ; b1 ) // v 2 = ( a 2 ; b2 ) // M 1 M 2 ⇔ 
a1 ( y 2 − y1 ) − b1 ( x 2 − x1 ) = 0

thì (∆1) ≡ (∆2).
( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; n1 = ( a1 ; b1 )

2. D ng t ng quát: 
;
( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0; n 2 = ( a 2 ; b2 )

a b1
b c1
c a1
; Dx = 1
; Dy = 1
D= 1
a 2 b2
b2 c 2
c2 a2
 D Dy 
N u D ≠ 0 ⇔ a1b2 − a 2 b1 ≠ 0 thì ( ∆ 1 ) ∩ ( ∆ 2 ) = i m I  x ;

 D D 
2
2
N u D = 0 và Dx + D y > 0 ⇔
N u D = Dx = D y = 0 ⇔
IV. GÓC GI A 2
Ư
a1 a 2 c1
=
≠
thì (∆1) // (∆2).
b1 b2 c 2
a1 a 2 c1
=
=
thì (∆ 1) ≡ (∆2).
b1 b2 c 2
NG TH NG:
1. D ng h s góc:
( ∆ 1 ) : y = a1 x + b1
a − a2

. Góc ( ∆ 1 , ∆ 2 ) = α ∈ [ 0; 90°] : tg α = 1
Cho 
1 + a1 a 2
( ∆ 2 ) : y = a 2 x + b1

2. D ng t ng quát:
( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0; n1 = ( a1 ; b1 )
a1 a 2 + b2 b2

Cho 
; cos α =
2
2
2
a1 + b12 a 2 + b2
( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0; n 2 = ( a 2 ; b2 )

12

3. www.VNMATH.com
Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t ph ng
V. KHO NG CÁCH VÀ PHƯƠNG TRÌNH
1. Kho ng cách t M0(x0, y0)
Ư
NG PH N GIÁC
n (∆): ax + by + c = 0 là: d ( M , ( ∆) ) =
( ∆1 ) : a1 x + b1 y + c1 = 0

2. Cho 
c t nhau thì phương trình 2
( ∆ 2 ) : a 2 x + b2 y + c 2 = 0

a1 x + b1 y + c1
a x + b2 y + c 2
=± 2
2
2
2
2
a1 + b1
a 2 + b2
D u hi u
a1a2 + b1b2 > 0
a1a2 + b1b2 < 0
Phân giác góc nh n
a1 x + b1 y + c1
a12
=
a1 x + b1 y + c1
a12 + b12
2
a2
=−
a 2 + b2
ư ng phân giác
Phân giác góc tù
a 2 x + b2 y + c2
+ b12
ax0 + by0 + c
2
+ b2
a2 x + b2 y + c 2
2
2
a 2 + b2
a1 x + b1 y + c1
a12
=−
+ b12
a1 x + b1 y + c1
a12 + b12
a 2 x + b2 y + c 2
2
2
a2 + b2
=
a 2 x + b2 y + c 2
2
2
a 2 + b2
VI. CÁC BÀI T P M U MINH H A
Bài 1. Trên m t ph ng Oxy cho i m A(2;−2). Vi t phương trình ư ng th ng
∆ i qua i m M ( 3;1) và c t tr c Ox, Oy t i B và C sao cho tam giác ABC cân
Gi i
y
G i B ( b; 0 ) = ∆ ∩ Ox và C ( 0; c ) = ∆ ∩ Oy suy ra (∆): x + = 1 ( bc ≠ 0 )
b c
M (3;1) ∈ ( ∆) ⇒ 3 + 1 = 1 , (1). Tam giác ABC cân t i A ⇔ AB 2 = AC 2
b c
b − 2 = c + 2
b = c + 4
2
2
⇔ (b − 2) + 4 = 4 + ( c + 2) ⇔ 
⇔
b − 2 = −c − 2
b = −c
c = 2, b = 6
y
y
V i b = c + 4 : (1) ⇔ c 2 = 4 ⇔ 
⇒ (∆ 1 ) : x + = 1; (∆ 2 ) : x +
=1
6 2
2 −2
c = −2, b = 2
V i b = −c : (1) ⇔ b = 2 ⇒ c = −2 (lo i, do trùng v i ( ∆ 2 ) )
Bài 2. Cho tam giác ABC có
nh A(–1; –3)
a. Gi s hai ư ng cao (BH): 5 x + 3 y − 25 = 0 , (CK): 3x + 8 y − 12 = 0 .
Hãy vi t phương trình c nh BC.
b. Gi s
ư ng trung tr c c a AB là (∆): 3x + 2 y − 4 = 0 và G(4; – 2) là
tr ng tâm c a tam giác ABC. Xác
nh t a
các
nh B và C .
13

4. www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
Gi i
a. (AB) ⊥ (CK) nên (AB) có phương trình là 8 x − 3 y + c = 0
i m A ∈ ( AB ) ⇔ c = −1 ⇒ ( AB ) : 8 x − 3 y − 1 = 0 .
( AC ) ⊥ ( BH ) nên ( AC ) có phương trình 3x − 5 y + m = 0
i m A ∈ ( AC ) ⇒ m = −12 ⇒ ( AC ) : 3 x − 5 y − 12 = 0
B ≡ ( BH ) ∩ ( AB ) ⇒ T a
8 x − 3 y − 1 = 0
c a B th a mãn h : 
⇒ B ( 2;5 )
5 x + 3 y − 25 = 0
C ≡ (CK ) ∩ ( AC ) ⇒ T a
3 x − 5 y − 12 = 0
c a C th a mãn h : 
⇒ C ( 4; 0 )
3 x + 8 y − 12 = 0
y−5
Phương trình c nh BC là (BC): x − 2 =
⇔ 5 x + 2 y − 20 = 0
4−2 0−5
b. (AB) ⊥ ( ∆ ) : 3x + 2 y − 4 = 0 và ch a A(−1;−3) ⇒ ( AB ) : 2( x + 1) − 3( y + 3) = 0
hay ( AB) : 2x − 3 y − 7 = 0 . G i M là trung i m AB suy ra t a
c a M th a h :
x B = 2xM − x A = 5
3 x + 2 y − 4 = 0
⇒ B ( 5;1)
⇒ M ( 2; −1) , khi ó: 

2 x − 3 y − 7 = 0
 yB = 2yM − y A =1
 x A + x B + xC = 3xG

i m G(4;−2) là tr ng tâm ∆ABC nên: 
 y A + y B + yC = 3yG

−1 + 5 + x C = 12
 xC = 8


⇔
⇔
⇒ C ( 8; −4 ) . V y B ( 5;1) , C ( 8; 4 )
−3 + 1 + y C = −6
 y C = −4


Bài 3. Cho (d 1 ) : x + y + 5 = 0; (d 2 ) : x + 2 y − 7 = 0 và i m A ( 2;3) .
Tìm B ∈ (d 1 ) và C ∈ (d 2 ) sao cho ∆ABC có tr ng tâm G ( 2; 0 ) .
Gi i
t B ( t1 ; −t1 − 5 ) ∈ (d 1 ) và C ( 7 − 2t 2 ; t 2 ) ∈ (d 2 )
 x A + x B + x C = 3xG

i m G(2; 0) là tr ng tâm ∆ABC nên: 
 y A + y B + yC = 3 yG

2 + t1 + 7 − 2t 2 = 6 t1 − 2t 2 = −3 t1 = −1
. V y B ( −1; 4 ) , C ( 5;1)
⇔
⇔
⇔
3 − t1 − 5 + t 2 = 0
t1 − t 2 = −2
t 2 = 1
14

5. www.VNMATH.com
Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t ph ng
Bài 4. Cho (∆ 1 ) : x − y + 1 = 0 ; (∆ 2 ) : 2 x + y + 1 = 0 và i m M(2;1).
Vi t phương trình ư ng th ng (d) i qua i m M và c t (∆ 1 ), ( ∆ 2 )
l n lư t t i A, B sao cho M là trung i m c a o n th ng AB.
Gi i
i m A ∈ ( ∆ 1 ) ⇒ A ( t1 ; t1 + 1) ;
i m B ∈ ( ∆ 2 ) ⇒ B ( t 2 ; −2t 2 − 1)
x + xB = 2xM
t1 + t 2 = 4
M(2; 1) là trung i m AB nên:  A
⇔
 y A + yB = 2 yM
t1 − 2t 2 = 2
(
) (
)
⇔ t1 = 10 , t 2 = 2 . Suy ra A 10 ; 13 , B 2 ; − 7 ⇒ AB = − 4 ( 2;5 )
3
3
3 3
3 3
3
y −1
⇔ 5x − 2 y − 8 = 0
(d) qua M và nh n AB làm VTCP có PT là: x − 2 =
2
5
Bài 5. Cho (∆ 1 ) : 2 x − y + 5 = 0 ; (∆ 2 ) : x + y − 3 = 0 và i m M(–2; 0).
Vi t phương trình ư ng th ng (d) i qua i m M và c t (∆ 1 ), ( ∆ 2 )
l n lư t t i A và B sao cho MA = 2 MB
Gi i
i m A ∈ ( ∆ 1 ) ⇒ A ( t1 ; 2t1 + 5 ) ;
i m B ∈ ( ∆ 2 ) ⇒ B (t 2 ; 3 − t 2 )
Suy ra: MA = ( t1 + 2; 2t1 + 5 ) , MB = ( t 2 + 2; 3 − t 2 )
t1 = 1
t1 + 2 = 2 ( t 2 + 2 )
t − 2t 2 = 2


⇔ 1
⇔
⇒ MA = ( 3; 7 )
MA = 2 MB ⇔ 
2t1 + 2t 2 = 1 t 2 = − 1
2 t1 + 5 = 2 ( 3 − t 2 )



2

y
(d) qua M và nh n MA làm VTCP có PT là: x + 2 = ⇔ 7 x − 3 y + 14 = 0
3
7
Bài 6. Cho ∆ABC có
tuy n v t hai
nh A(2;−7) phương trình m t ư ng cao và m t trung
nh khác nhau l n lư t là: 3x + y + 11 = 0, x + 2 y + 7 = 0 .
Vi t phương trình các c nh c a tam giác ABC.
Gi i
Nh n xét: Do A(2; −7) có t a
không th a mãn phương trình m t trong hai
ư ng th ng ã cho nên các ư ng cao và trung tuy n không i qua A(2; −7).
t (BH): 3x + y + 11 = 0 và (CM): x + 2 y + 7 = 0 .
Ta có: B ∈ ( BH ) ⇒ B ( t ; − 3t − 11) . G i M là trung i m AB khi ó t a
M là
15

6. www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
x A + xB t + 2

=
xM =

2
2

 y = y A + y B = −3 t − 18
 M

2
2
A
H
M
)
(
M ∈ ( CM ) ⇒ t + 2 + 2 −3t − 18 + 7 = 0
2
2
C
⇔ t = −4 ⇒ B ( −4;1)
B
y+7
⇔ 4 x + 3 y + 13 = 0
Phương trình ư ng th ng ch a c nh AB là: x − 2 =
−4 − 2 1 + 7
(AC) ⊥ (BH): 3x + y + 11 = 0 và (AC) i qua i m A(2; −7) nên phương trình
(AC) là: ( x − 2) − 3( y + 7) = 0 ⇔ ( AC ) : x − 3 y − 23 = 0
i m C ≡ (AC) ∩ (CM) suy ra t a
 x − 3 y − 23 = 0
C th a h : 
⇒ C ( 5; −6 )
x + 2 y + 7 = 0
y −1
⇔ 7 x + 9 y + 19 = 0
Phương trình c nh BC là (BC): x + 4 =
5 + 4 −6 − 1
Bài 7. Cho ∆ABC có
nh A(1; 2), ư ng trung tuy n (BM): 2 x + y + 1 = 0 và
phân giác trong (CD): x + y − 1 = 0 .Vi t phương trình
A
Gi i
i m C∈(CD): x + y − 1 = 0 ⇒ C ( t ;1 − t )
(
⇒ trung i m M c a AC là M t + 1 ; 3 − t
2
2
i m M∈(BM): 2 x + y + 1 = 0
)
B
( )
⇒ 2 t + 1 + 3 − t + 1 = 0 ⇔ t = −7 ⇒ C ( −7;8 )
2
2
I
D
ư ng th ng BC.
M
K
C
T A(1;2) k (AK) ⊥ (CD): x + y − 1 = 0 t i I ( i m K ∈ ( BC ) )
Suy ra (AK): ( x − 1) − ( y − 2) = 0 ⇔ x − y + 1 = 0
x + y − 1 = 0
c a I th a h : 
⇒ I ( 0;1) . Tam giác ACK cân t i C nên
x − y + 1 = 0
 x = 2 x I − x A = −1
I là trung i m c a AK ⇒ T a
c a K:  K
⇒ K ( −1; 0 )
 yK = 2yI − y A = 0
T a
y
ư ng th ng BC i qua C, K nên có phương trình: x + 1 = ⇔ 4 x + 3 y + 4 = 0
−7 + 1 8
16

7. www.VNMATH.com
Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t ph ng
Bài 8. Vi t phương trình ư ng th ng (∆) i qua M(4; 1) và c t các tia Ox, Oy
l n lư t t i A và B theo các trư ng h p sau:
a. Di n tích ∆OAB nh nh t.
b. T ng OA + OB nh nh t.
Gi i
Gi s (∆) c t tia Ox t i A(a; 0) và Oy t i B(0; b) (v i a, b > 0)
y
suy (∆): x + = 1 . Do M(4; 1) ∈(∆) nên 4 + 1 = 1 ⇒ b = a ⇒ a > 4
a b
a−4
a b
a. Ta có: 1 = 4 + 1 ≥ 2 4 = 4 ⇒ S OAB = 1 OA.OB = ab ≥ 8
2
2
a b
ab
ab
D u b ng x y ra ⇔ 4 = 1 = 1 ⇔ a = 8; b = 2 ⇒ (∆): x + 4 y − 8 = 0
a b 2
b. OA + OB = a + b = a +
a = a − 4 + 4 + 5 ≥ 2 ( a − 4) ⋅ 4 + 5 = 9
a−4
a−4
a−4
D u b ng x y ra ⇔ a − 4 =
4 = 2 ⇔ a = 6 ⇒ b = 3 ⇒ (∆) : x + 2 y − 6 = 0
a−4
Bài 9. L p phương trình ư ng th ng (∆) i qua i m M(2; 1) và t o v i
ư ng th ng (d): 2 x + 3 y + 4 = 0 m t góc 45 o
Gi i
Phương trình (∆) i qua i m M có d ng: A ( x − 2 ) + B ( y − 1) = 0 ( A 2 + B 2 ≠ 0 )
⇔ Ax + By − 2 A − B = 0 và có vectơ pháp tuy n n1 = ( A; B )
ư ng th ng (d) có VTPT là n 2 = ( 2; 3) .
n1 .n 2
= cos 45 o ⇔
n1 . n 2
2 A + 3B
A2 + B 2 . 4 + 9
=
(∆) h p v i (d) m t góc 45 o thì:
2 ⇔ 2 ( 2 A + 3B ) 2 = 13 ( A 2 + B 2 )
2
 (∆ 1 ) : 5 x + y − 11 = 0
 A = 5B
⇒
⇔ 5B 2 + 24 AB − 5 A 2 = 0 ⇔ 
 B = −5 A  (∆ 2 ) : x − 5 y + 3 = 0
V y có hai ư ng th ng c n tìm là (∆ 1 ) : 5 x + y − 11 = 0 ; (∆ 2 ) : x − 5 y + 3 = 0
Bài 10. Cho hình bình hành ABCD có di n tích b ng 4. Bi t A(1; 0), B(0; 2)
và giao i m I c a hai ư ng chéo n m trên ư ng th ng y = x .
Tìm t a
nh C và D.
Gi i
17

8. www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
Ta có: AB = ( −1; 2 ) ⇒ AB = 5
C
Phương trình (AB) là: 2 x + y − 2 = 0
D
y=x
I
I ∈ ( d ) : y = x ⇒ I ( t; t )
I là trung i m c a AC và BD nên ta có:
C ( 2t − 1; 2t ) , D ( 2t ; 2t − 2 )
B
A
H
M t khác: S ABCD = AB.CH = 4 (CH: chi u cao) ⇒ CH = 4
5
Ngoài ra: d ( C, ( AB ) ) = CH ⇔
V yt a
( ) ( )
t = 4 ⇒ C 5 ; 8 , D 8 ; 2
6t − 4
3 3
3 3
= 4 ⇔ 3t − 2 = 2 ⇔  3

5
5
t = 0 ⇒ C ( −1;0) , D ( 0; −2)
( ) ( )
c a C và D là C 5 ; 8 , D 8 ; 2 ho c C ( −1; 0 ) , D ( 0; −2 )
3 3
3 3
Bài 11. Cho A ( 0; 6 ) , B ( 2; 5 ) . Tìm trên ( d ) : x − 2 y + 2 = 0 i m M sao cho:
a. MA + MB có giá tr nh nh t.
b. MA − MB có giá tr l n nh t.
Gi i
B
t f ( x, y ) = x − 2 y + 2 .
A
 f ( A ) = −10

Ta có: 
⇒ f ( A) . f ( B ) > 0
 f ( B ) = −6

H
M
Suy ra hai i m A và B n m cùng phía
A′
i v i ư ng th ng (d)
1. G i A′ là
(d)
M0
i x ng c a A qua (d)
Ta có: MA + MB = MA′ + MB ≥ A′B (c
min ( MA + MB ) = A′B ,
nh)
t ư c khi ba i m A′, M , B th ng hàng
⇔ M = ( A′ B ) ∩ ( d )
( AA′ ) ⊥ ( d ) ⇒ ( AA′ ) : 2 x + y + C = 0
A ∈ ( AA′ ) ⇒ C = −6 ⇒ ( AA′ ) : 2 x + y − 6 = 0
G i H = ( AA′ ) ∩ ( d ) thì t a
A′
18
2 x + y − 6 = 0
c a H th a mãn h : 
⇒ H ( 2; 2 )
x − 2 y + 2 = 0
x ′ = 2xH − x A = 4
i x ng v i A qua (d) nên ta có:  A
⇒ A′ ( 4; −2 )
 y A′ = 2 y H − y A = −2

9. www.VNMATH.com
Bài 2. Phương trình ư ng th ng trong m t ph ng
y+2
⇔ 7 x + 2 y − 24 = 0
Phương trình ư ng th ng ( A′B ) là x − 4 =
2−4 5+2
T a
 x = 11
x − 2 y + 2 = 0

9
⇔
⇒ M 11 ; 19
c a M th a h : 
4 8
7 x + 2 y − 24 = 0
19

y =
8

(
2. Ta có: MA − MB ≤ AB (c
)
nh)
⇒ max MA − MB = AB , t ư c khi ba i m M, A, B th ng hàng
⇔ M = ( AB ) ∩ ( d ) . Phương trình ư ng th ng (AB) là: x + 2 y − 12 = 0
T a
c a M là nghi m c a h phương trình:
x = 5
x − 2 y + 2 = 0

7
⇔

7 ⇒ M 5; 2
 x + 2 y − 12 = 0
y = 2

( )
Bài 12. Cho ( D1 ) : kx − y + k = 0 và ( D2 ) : (1 − k ) x + 2ky − (1 + k 2 ) = 0
2
a. Ch ng minh khi k thay
i ( D1 ) luôn luôn qua m t i m c
nh.
b. Tìm giao i m c a ( D1 ) và ( D 2 ) suy ra qu tích giao i m này khi k thay
i.
Gi i
a. Ta có ( D1 ) t: k ( x + 1) − y = 0 . T a
i mc
nh mà ( D1 ) luôn i qua là
x + 1 = 0
nghi m c a 
⇒ x = −1, y = 0 . V y ( D1 ) luôn qua i m A(–1, 0).
y = 0
b. T a
giao i m c a ( D1 ) và ( D 2 ) là nghi m c a h phương trình
2
kx − y = − k

gi i h ta ư c x = 1 − k 2 , y = 2k 2

2
2
1+ k
1+ k
(1 − k ) + 2ky = 1 + k

V y ( D1 ) ∩ ( D 2 )
2


= M  1 − k 2 , 2k 2 
1+ k 1+ k 
2
2
2



ý x + y =  1 − k 2  +  2k 2  = 1

1+ k 
1 + k 
2
2
Do ó qu tích c a M là ư ng tròn tâm O bán kính R = 1.
Bài 13. Trong m t ph ng Oxy, cho các i m A(0; 1), B(2; 1) và các ư ng th ng
d 1 : ( m − 1) x + ( m − 2 ) y + 2 − m = 0 ; d 2 : ( 2 − m ) x + ( m − 1) y + 3m − 5 = 0
a. Ch ng minh d 1 và d 2 luôn c t nhau.
b. G i P là giao i m c a d 1 và d 2 , tìm m sao cho PA + PB l n nh t.
19

10. www.VNMATH.com
Chương IV. Hình gi i tích – Tr n Phương
Gi i
m −1
( m − 1) x + ( m − 2 ) y + 2 − m = 0

a. Xét 
có: D =
2−m
( 2 − m ) x + ( m − 1) y + 3m − 5 = 0

Dx =
m−2
2−m
m −1
3m − 5
(
Do D = 2 m − 3
2
)
2
= 4m 2 − 14m + 12 ; D y =
m−2
m −1
2−m
m −1
3m − 5
2−m
= 2m 2 − 6 m + 5
= −2m 2 + 4m − 1
+ 1 > 0, ∀∈ » nên h phương trình có nghi m duy nh t.
2
V y d 1 và d 2 luôn luôn c t nhau t i i m P ( pcm)
b. Tìm m
T a
PA + PB l n nh t
D x 4m 2 − 14m + 12

2 − 2m
=2+
x = D =

2m 2 − 6m + 5
2m 2 − 6m + 5
c a P là: 
 y = D y = −2m 2 + 4m − 1 = −1 +
4 − 2m
2
2

D
2m − 6m + 5
2m − 6m + 5

2
2m − 2
2m − 4
4

; 2+
Ta có: PA =  −2 +

 ⇒ PA = 8 −
2
2
2
2m − 6m + 5
2m − 6m + 5 
2m − 6m + 5

2
2m − 2
2m − 4
4


PB = 
;
 ⇒ PB =
2m 2 − 6m + 5 2 m 2 − 6 m + 5 
2m 2 − 6m + 5

Suy ra: PA 2 + PB 2 = 8 . Theo b t
ng th c Bunhiacôpski, ta có:
( PA + PB ) ≤ 2 ( PA 2 + PB 2 ) = 16 ⇒ PA + PB ≤ 4 ⇒ max ( PA + PB ) = 4 ,
2
PA = PB ⇔ PA2 = PB 2 ⇔ 8 −
t ư c
m = 1
4
4
=
⇔ m 2 − 3m + 2 = 0 ⇔ 
2
2m − 6m + 5 2m − 6m + 5
m = 2
2
Cách 2: d 1 và d 2 có vectơ pháp tuy n là: n1 = ( m − 1; m − 2 ) , n 2 = ( 2 − m; m − 1)
Ta có n1 .n 2 = ( m − 1) ( 2 − m ) + ( m − 2 ) ( m − 1) = 0 nên d 1 ⊥ d 2 t i i m P.
ý r ng A ∈ d 1 , B ∈ d 2 và AB = 2 2 nên theo b t
ng th c Bunhiacôpski thì
( PA + PB ) 2 ≤ 2 ( PA 2 + PB 2 ) = 2 AB 2 = 16 ⇒ PA + PB ≤ 4 ⇒ max ( PA + PB ) = 4 ,
(
)
t ư c khi PA = PB ⇒ ∆PAB vuông cân t i P ⇒ d 1 , AB = 45 o
Ta có: cos 45 o =
n AB .n1
n AB . n1
2
⇔
2m − 3
= 1 ; ( n AB = (1,1) )
2
2. ( m − 1) + ( m − 2 )
2
2
⇔ ( 2m − 3) = 2m 2 − 6m + 5 ⇔ m 2 − 3m + 2 = 0 ⇔ m = 1 ∨ m = 2
20