Đề thi khảo sát gồm nhiều câu hỏi liên quan đến khảo sát hàm số, giải bất phương trình, tính tích phân, vị trí hình học và chứng minh bất đẳng thức. Bài thi yêu cầu thí sinh giải quyết các bài toán toán học phức tạp mà không có tài liệu hỗ trợ. Đề thi có thời gian làm bài 150 phút và thuộc môn Toán cho khối D năm học 2010 - 2011.

1. CÂU I (2,0 điểm). Cho hàm số
x 2
y
2x 1



(C)
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số
2. Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) ,biết khoảng cách từ điểm
1 1
;
2 2
A
 
 
 
đến tiếp tuyến đó là lớn nhất.
CÂU II (2,0 điểm).
1. Giải bất phương trình:  2
3 4
10
log log x 2x x 0
   
 
2. Giải phương trình:
3 3x x
sin cos 12 2 cosx
2 sin x 3



CÂU III (1,0 điểm).
Tính tích phân:  
2
10 10 4 4
0
sinI cos x x sin xcos x dx

  
CÂU IV (1,0 điểm).
Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy ABC là tam giác vuông với:
AB = BC = a, cạnh bên AA a 2  . M là điểm trên AA sao cho
1
AM AA
3

 
.
Tính thể tích khối tứ diện MA BC 
CÂU V (1,0 điểm).
Cho các số thực không âm , ,a b c .Chứng minh bất đẳng thức sau:
   
3 3 3
3
3 4
a b c
abc a b b c c a
 
    
CÂU VI (2,0 điểm).
1.Trong mặt phẳng toạ độ Oxy ,cho hai điểm A(5;-2),B(-3;4) và đường thẳng
d có phương trình: x-2y+1=0.Tìm toạ độ điểm C trên đường thẳng d sao cho tam
giác ABC vuông tại C.
2.Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz,cho mặt phẳng (P) có phương trinh:
2x-y-2z-12=0 và hai điểm A(2;1;4) và B(1;1;3).Tìm tập hợp tất cả các điểm M
trên (P) sao cho diện tích của tam giác MAB có giá trị nhỏ nhất.
CÂU VII (1,0 điểm).
Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1 2 3 4z i z i     và
2z i
z i


là một số ảo.
----------------------------------------------Hết---------------------------------------------
Ghi chú: - Thí sinh không được sử dụng bất cứ tài liệu gì!
- Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm!
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
Vĩnh Phúc
ĐỀ KSCL ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN- KHỐI D-LẦN 4
Thời gian: 150 phút, không kẻ thời gian giao đề
Thi thử Đại học www.toanpt.net

2. TRƯỜNG THPT CHUYÊN VĨNH PHÚC KỲ THI TUYỂN SINH ĐẠI HỌC, CAO ĐẲNG NĂM 2011
Môn: Toán 12. Khối D.
ĐÁP ÁN
Câu Ý Nội dung Điểm
I 2,00
1 1,00
a/ Tập xác định : D R






2
1
b/ Sự biến thiên: Dx
x
y 


 0
)12(
5
2
/
+ H/s nghịch biến trên ),
2
1
(;)
2
1
,(  ; H/s không có cực trị
+Giới hạn –tiệm cận :
 


yLimyLimyLimyLim
xx
xx
2
1
2
1
;;
2
1
+Tiệm cận đứng x=
1
2
,tiệm cận ngang y=
1
2
c/Đồ thị
0,25
0, 5
0,25
2 1,00
 0
0
0
2
;
2 1
x
M x C
x
 
 
 
pt tiếp tuyến với (C) tại M
là
 
 
 
   
0
2 0
00
2 2
0 0 0
25
:
2 12 1
:5 2 1 2 8 2 0
x
y x x
xx
x x y x x

     

      
0,25
o
2
1
- 

2
1
--

Y /
Y
x
2
1
y
x
Đề thi khảo sát lần
4

3.   
 
   
  
 
 
2 2
0 0 0
0
4 4
0 0
2
2 0
0
1 1
5. 2 1 . 2 8 2
5 2 12 2
;
25 2 1 25 2 1
5 5
; 5
25 5
2 1
2 1
x x x
x
d A
x x
d A
x
x
    

  
   
   
 

theo bdt cô si.Dấu bằng xẩy ra
 
2
0 0 0
1 5
2 1 5 2 1 5
2
x x x

       
từ đó 2 tiếp tuyến là :   1 2
: 1 5 & : 1 5y x y x         
Vậy k/c từ A đến   lớn nhất bằng 5 khi
đó 2 tiếp tuyến là :   1 2
: 1 5 & : 1 5y x y x         
0,25
0,25
0,25
II 2,00
1 . Giải bất phương trình:  2
3 4
10
log log x 2x x 0
   
  
(*) 1,00
(*)
 
 
2
2
2
2
24 2
2
4
2 0
12 0
02 0
2
log 2 0 2 4
2 4
og 2 1
x x
x x x
x xx x
x x x x x x
x x x
l x x x
  

         
             
  

 
2 22
4
11 4 014 0 4 0 22 2
7 113 7 113
7 16 02 4
2 2
x
x xx x x x
x xx x x x x


              
   
               
7 113 7 113
2 2
x x
   
  
0,5
0,25
0,25
2 1,00
Phương trình được biến đổi thành :
 
 
1
sin 1 sin 2 sin cos
2 2 2 2 3
1
sin 1 sin 2 sin sin sin
2 2 2 2 3 2 2 2 2
x x x x
cos cos x x
x x x x x x x x
cos cos x cos cos
  
     
  
     
          
     
*sin 0 tan 1 2
2 2 2 2 4 2
x x x x
cos k x k
 
          
*
 
1 1 3
1 sin 2 sin sin sin
2 3 2 2 2 2 2
x x x x
x x cos cos
 
         
  (vn)
vậy pt có 1 họ nghiệm là : 2
2
x k

  (k  )
0,25
0,25
0,25
0,25

4. III
 
2
10 10 4 4
0
sinI cos x x sin xcos x dx

  
1,00
Rút gọn T  
  
10 10 4 4
10 10 4 4 2 2
6 6 4 4
sin
sin sin
sin sin
T cos x x sin xcos x
cos x x sin xcos x cos x x
cos x x cos x x
  
   
  
 
2 2 2 21 1
2 1 sin 2 2 sin 4
4 16
1 cos4 1 15 1 1
1 8 cos4 cos8
2 32 32 2 32
cos x x cos x x
x
cos x x x
 
   
 

     
2 2
0 0
15 1 1 15 1 1
cos4 cos8 sin 4 sin8
32 2 32 32 8 256
15
64
I x x dx x x x
I
 

   
        
   
 

0,25
0,25
0,25
0,25
IV Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C   có đáy ABC là tam giác vuông với…. 1,00
Từ giả thiết suy ra tam giác ABC vuông cân tại B.Gọi H là trung điểm AC thì
 ' '
BH AC BH ACC A   .Do đó BH là đường cao của hình chóp
' ' 2
.
2
B MAC BH a  .Từ giả thiết suy ra ' ' '2 2
, 2
3
MA a AC a 
Ta có ' '
' ' ' 3
.
1 1 1 2 1 2 2 2
. . . . . 2
3 2 3 2 2 3 9B MAC
V BH MA AC a a a a  
0,25
0,5
0,25
V Cho , , 0.a b c  chứng minh bđt sau… 1,00
ycbt
     
  
3 3 3
3 3 3 2 2 2
9
3 . .
4
3
a b c abc a b b c c a
a b c abc a b c a b c ab bc ca
       
          
           
2 2 2
2 2 2 2 2 2
3
1 3
2 2
M a b c ab bc ca
M a b b c c a a b b c c a
     
          
 
  3
1 3
2 2
N a b c a b b c c a a b b c c a            
Vậy VT=    
3 3 3
3
9 9
. .
4 4
M N a b b c c a a b b c c a VP        
dấu đẳng thức xẩy ra khi a=b=c
0,25
0,25
0,25
0,25
VI 2,00
1 ….A(5;-2),B(-3;4)……(d):x-2y+1=0……. 1,00
Giả sử điểm        2 1; 2 6; 2 & 2 2; 4C d C t t AC t t BC t t         
 
Góc       0
90 . 0 2 6 2 2 2 4 0ACB AC BC t t t t         
 
2
2 4 0 1 5t t t       . Vậy có hai điểm C tren (d) thoả mãn ycbt
0,25
0,5

5.    1 21 2 5;1 5 ; 1 2 5;1 5C C   
0,25
2 …2x-y-2z-12=0 và hai điểm A(2;1;4) và B(1;1;3)…. 1,00
Ta có    1;0; 1 ; 2; 1; 2 . 0 / /( )P PAB n ABn AB P        
  
       min
1
; ; ; . ; .
2
MAB MABM P MH d A P S MH AB S MH P     
Gọi (Q) là mặt phẳng qua AB và
       1;4; 1 ; 4 2 0QQ P n Q x y z       

.
Suy ra tập hợp điểm M là đường thẳng giao tuyến Của ( P) và (Q) Trong đó
(P):2x-y-2z-12=0 và (Q):x+4y-z-1=0
0,25
0,25
0,5
VII Tìm số phức z thoả mãn đồng thời hai điều kiện sau:
1 2 3 4z i z i     và
2z i
z i


là một số ảo.
1,00
Giả sử:  ,z x iy x y   theo gt    1 2 3 4x y i x y i      
       
2 2 2 2
1 2 3 4 5x y x y y x         
 
 
    
 
2
22
2 2 1 2 32
1 1
x y i x y y x y iz i
u
z i x y i x y
      
  
    
u là số ảo
       22 2
5; 2 1 0; 2 3 0, 1 0y x x y y x y x y           
Giải điều kiện :
12 23
7 7
z i  
0,25
0,25
0,25
0,25