10 клас 2015-16

1. 10 клас – завдання й розв’язки
1. При яких значеннях параметра а корені рівняння   03ax3a2x2

належать проміжку  0;3 ?
Вказівка до розв’язання:
Нехай     3ax3a2xxf 2
 , D– дискримінант, а х0 – абсциса вершини
параболи. Оскільки корені рівняння належать проміжку  0;3 , то
 
 
  
 .2;5,1a
;03a3
,0a3
,06a5
,02a3a4
;0x3
,00f
,03f
,0D
0
























Відповідь:  .2;5,1a
2.Знайдіть усі пари дійсних чисел  y;x , які задовольняють нерівність
√ 𝑥2 + 8x + 25∙ √ 𝑦2 − 10𝑦 + 26 ≤ 3.
Розв’язання
Запишемо вираз, який стоїть у лівій частині рівності, так:
√(𝑥 + 4)2 + 9 ∙ √(𝑦 − 5)2 + 1 Оскільки(𝑥 − 4)2
+ 9 ≥ 9, а (𝑦 + 5)2
+ 1 ≥ 1, то
√(𝑥 + 4)2 + 9 ∙ √(𝑦 − 5)2 + 1 Тому рівність може виконуватися лише за умови
х + 4 = 0, у – 5 = 0, тобто х = – 4, у = 5
Відповідь.(–4; 5)
3. Два кола внутрішнім чином дотикаються в точці M . Пряма, яка дотикається
одного з кіл в точці A, перетинає друге коло в точках B та С . Довести, що MA
є бісектрисоюкута BMC .
Доведення
Нехай B та C – точки перетину внутрішнього кола з прямими MB і MC
відповідно. Розглянемо гомотетію з центром в точці M , яка зовнішнє коло
відображує у внутрішнє. Тоді     CCBB   , , а тому прямі BC і CB 
паралельні і відсікають на внутрішньому колі рівні дуги BA  та CA  , звідки і
випливає рівність кутів AMB і AMC .

2. 4. Дано два послідовних натуральних числа а та в, а також їх добуток с.
Доведіть, що число 𝑥 = 𝑎2
+ 𝑏2
+ 𝑐2
завждиєквадратом деякого непарного
числа.
Розв’язання
Нехай a = n, b = n+1, c = n(n+1).
Тоді 𝑥 = 𝑛2
+ (𝑛 + 1)2
+ 𝑛2
(𝑛 + 1)2
= 𝑛4
+ 2𝑛3
+ 3𝑛2
+ 2𝑛 + 1 =
= 𝑛2
(𝑛2
+ 2𝑛 + 3 +
2
𝑛
+
1
𝑛2
) = 𝑛2
(𝑛 +
1
𝑛
+ 1 )
2
=
=(𝑛(𝑛 +
1
𝑛
+ 1))2
=(𝑛2
+ 𝑛 + 1)2
= (𝑛( 𝑛 + 1) + 1)2
Оскільки з двохпослідовних натуральних чисел n і n+1 – одне непарне, то
добуток n (n+1) – число парне. Тодічисло 𝑛( 𝑛 + 1) + 1 є непраним, що й треба
було довести.
5. Кілька осіб (більше двох) проводять шаховийтурнір в одне коло. У деякий
момент виявилося, що тільки двоє шахістів зіграли однаковукількість партій.
Довести, що тоді є або тільки одинучасник, який не зіграв жодної партії, або
тільки один, який зіграв усі партії
Розв’язання. Мовоютеорії графів задача перекладається наступним чином. У
графі з n (n> 2) вершинами тільки дві вершини мають однаковістепені.
Довести, що є або лише одна вершина степеня 0, або лише одна степеня n-1.
Розглянемо всіможливі заперечення цього твердження. Якщо припустити, що
немає вершин степеня як 0, так і n-1, то n вершин мають степені від 1 до n-2,
але тодіза принципом Діріхле серед них є або дві пари вершин, або три
вершини з однаковими степенями, що суперечить умові. Отже, вершини
степеня 0 або степеня n-1 є.
Але, якщо вершина має степінь n-1, то вона суміжна з усіма іншими
вершинами, й у графі немає ізольованих вершин. Аналогічно, якщо в графі є
ізольована вершина, то немає вершини степеня n-1 (суміжної з усіма іншими),
тобто одночасно у графі з n - вершинами не можуть існувати вершини степенів
0 і n-1.
Якщо є дві вершини степеня 0, то залишається n-2 вершин з попарно різними
степенями від 1 до n-3, а це неможливо. Так само неможливо, що за двох
вершин степеня n-1 решта n-2 вершин мають попарно різні степені від 2 до n-2.
Отже, існує або одна вершина степеня 0, або одна вершина степеня n-1. Тобто
одинз учасників турніру або не зіграв жодної партії, або зіграв усі партії