1. Павлопольська ЗОШ І –ІІІ ступенів
Вчитель математики Чегодаєва Г.Б..

2. Як ви думаєте, як
називаються такі рівняння:
x + 2 x − 3 = 0,
2
3 x −18 = 0,
2
5x −5x = 0
2

3. Зміст
 Означення квадратного рівняння
 Дискримінант квадратного рівняння
 Формула коренів квадратного рівняння
 Теорема Вієта
 Задача
 Самостійна робота

4. Означення квадратного рівняння.
Озн. 1. Квадратним рівнянням
називається рівняння виду
ах 2 + bх + с = 0 , де х –змінна, а, b і с -
деякі числа, причому а ≠ 0.
Числа а , b і с - коеффіцієнти квадратного
рівняння. Число а називають першим
коеффіцієнтом, b – другим коєфіцієнтом і с
– вільним членом.

5. Якщо в квадратному рівнянні
ax2+bx+c=0
хоча б один з коефіцієнтів b або с
дорівнює нулю, то таке рівняння
називається неповним квадратним
рівнянням

6. КВАДРАТНІ РІВНЯННЯ
ПОВНІ НЕПОВНІ

7. Квадратні рівнянння
Повні квадратні Неповні квадратні
рівняння рівняння
а ≠ 0, в ≠ 0, с ≠ 0 а ≠ 0, в = 0, с = 0
х2+5х-7=0 7х2-2х=0
х+х2-3=0 3х +х2=0
Х2-8х-7=0 12 +5х2=0
25-10х+х2=0 9х2-8=0

8. Визначте коєфіцієнти
квадратних рівнянь:
а) 2х2 – х + 4 = 0 а = 2, в = -1, с = 4;
б) 6х - х2 + 7 = 0 а = -1, в = 16, с = 7;
в) 7 + 5х2 = 0 а = 5, в = 0, с = 7;
г) х – 6х2 = 0 а = -6, в =1, с = 0;
д) - х + 7х2 = 15 а = 7, в =-1, с = -15.

9. Розвязати рівняння:
1 варіант:
а) 10х + х2= 0
б) 49х2 – 81 = 0
2 варіант:
а) 3х2 – 2х = 0
б) 125 + 5х2 = 0

10. Дискримінант квадратного
рівняння
Озн. 2. Дискримінантом квадратного
рівняння ах 2 + bх + с = 0 називається вираз
b 2 – 4ac.
Його позначають буквой D, т.б. D= b 2 – 4ac.
Можливі три випадки:
D > 0
D = 0
D < 0

11. Якщо D > 0
В цьому випадку рівняння ах 2 + bх + с = 0
має два дійсних коренів:
−b − D −b + D
x1 = и x2 = .
2a 2a

12. Якщо D = 0
В цьому випадку рівняння ах 2 + bх + с = 0
має один дійсний корінь:
− ± 0
b
x=
2a
b
x=−
2a

13. Якщо D < 0
Рівняння ах 2 + bх + с = 0 не має дійсних
коренів.

14. Формула коренів квадратного
рівняння
ах + bх + с = 0 .
2
x1,2 = −b± D
2a
, де D = b2 − 4ac.

15. Розвязати рівняння 3x 2 - 2x - 16= 0
Тут a = 3, b = -2, c = -16 .
Маємо D = b 2 - 4ac = (-2) 2 - 4⋅3⋅(-16) = 196 .
Так як D > 0 , то рівняння має два коренів.
Знайдемо їх за формулою =− ±
x
b D
,
2a
x=
1
2 − 14
6
= -2 и x= 2
2 + 14
6
= 22,
3

16. Самостійна робота
Варіант 1. Варіант 2.
№1.Розвязати рівняння: №1. Розвязати рівняння:
а) х 2 +7х-44=0; а) х 2 -10х-39=0;
б) 4у 2 -4у+1=0;
б) 9у 2 +6у+1=0;
в) –3t 2 -12t+6=0;
в) –2t 2 +8t+2=0;
г) 4а 2 +5= а.
г) а+3а 2 = -11.
№2 При яких
№2. При яких значеннях х рівні значення
значеннях х рівні многочленів. :
значення многочленів: (1-3х)(х+1) і
(2-х)(2х+1) і (х-1)(х+1)?
(х-2)(х+2)?

17. Алгоритм розвязку квадратного
рівняння:
.
Знайти дискримінант квадратного
рівняння D=b2-4ac.
якщо D<0, то дане квадратне рівняння не має
коренів;
якщо D=0, то дане квадратне рівняння має єдиний
корінь, якийдорівнює
якщо D>0, то дане квадратне рівняння має
два коренів, які дорівнюють
2
)
.

18. Розвязати квадратне рівняння.
3Х2 –18Х+24=0
 D1=к2- ас
92-3•24=72=9>0
− к − D1 9 −3
Х1= а
=
3
=2
− К + D1 9 + 3
Х2= = =4
а 3

19. Розвяжи рівняння способом виділення
квадрата двочлена:
1 варіант: - 6х + х2 – 8 =0
2 варіант: 3х2 -10х + 3 = 0
3 варіант: х2 – 8х + 20= 0

20. Розвяжи рівняння
за допомогою формул :
1 варіант: а) -7х + 5х2 + 1 =0
б) (х – 1)(х + 1) = 2 (5х – 10,5)
в) 6х – 9 = х2
2 варіант: а) 2х2 + 5х -7 = 0
б) –х2 = 5х – 14
в) х2 – 8х + 7 = 0

21. РОЗВЯЖИ РІВНЯННЯ ГРАФІЧНО:
1 варіант: 3х2 + 7х = - 6
2 варіант: а) х2 + 7х = -6
3 варіант: а) 6х + х2– 3 =0

22. Історичні відомості:
Квадратні рівнянння вперше зустрічаються
в працях індійського математика та
астронома Ариабхатти.
Інший індійський вчений Брахмагупта
(VII в) виклав загальне правило розвязку
квадратних рівнянь , яке практично
співпадає з сучасним.
В Древній Індії були поширені публічні
змагання з розвязку важких задач. Задачі
часто звучали в віршованій формі.
________________________________________________

23. ________________________________________________
Задача Бхаскари:
На дві зграї розділившись,
Розважались в гаї мавпи,
Одна восьма їх в квадраті
Гучно разом забавлялись.
Криком радісним дванадцять
Все повітря колихали.
Разом скільки, ти дізнайся,
Мавп було утому гаї?

24. Розвязок задачи Бхаскары:
Нехай було x мавпочок, тоді в гаї
2
розважалось –  
 x
8
Складаємо рівняння:
2
 x
  +
12 = х
8
Відповідь: х1= 16 , х2= 48 мавпочок.

25. Задачі
Розвязати рівняння 2x 2- 5x + 2 = 0.

Розвязати рівняння 2x 2- 3x + 5 = 0.

Розвязати рівняння x2- 2x + 1 = 0.


26. Якщо перший коефіцієнт квадратного
рівняння дорівнює 1, то таке рівняння
називають зведеним
Наприклад,
x + 2x −1 = 0;
2
x −4 = 0;
2
x +3 x = 0
2

27. Франсуа Вієт

28. Теорема Вієта.
Якщо зведене квадратне рівняння x2+px+q=0 має дійсні
корені, тоді їх сума дорівнює -p, а добуток дорівнює q, тоді
есть
x1 + x2 = -p ,
x1 x2 = q
(Сумма коренів зведеного квадратного рівняння
дорівнює другому коефіцієнту, взятому с
протилежним знаком, а добуток коренів
дорівнює вільному члену).

29. Розвяжіть та перевірте!
Х2 – 14Х + 24 = 0
D=b2 – 4ac = 196 – 96 = 100
X1 = 2, X2 = 12
X1 + X2 = 14, X1•X2 = 24

30. Вгадайте корені
Х2 + 3Х – 10 = 0
Х1·Х2 = – 10,
Х1 + Х2 = – 3,
Методом підбору знаходимо корені:
Х1 = – 5, Х2 = 2

31. Розвяжи усно рівняння:
х2 – 7х + 12 = 0 х = 3, х = 4 х2 + 18х + 32 = 0
х = - 16, х = -2 х2 – 5х – 14 = 0 х = -2, х = 7 х2 + 5х + 6 = 0
х = -3, х = -2 х2 – 8х + 12 = 0 х = 2, х = 6 х2 + 5х + 4 = 0
х = -4, х = -1 х2 – 5х – 6 = 0 х = -1, х = 6