1. 1
บทความคณิตศาสตร์
“มายากลแห่งเลขฐาน”
สิริพันธุ์ จันทราศรี1
เมื่อไม่นานมานี้ ผมได้มีโอกาสพานักเรียนไปเข้าร่วมการแข่งขันทักษะวิชาการในงาน
ศิลปหัตถกรรมนักเรียน ภาคเหนือ ครั้งที่ 60 ณ จังหวัดเชียงราย ขณะที่กาลังรอนักเรียนแข่งขันอยู่นั้น ผมได้
พบกับเด็กกลุ่มหนึ่งส่งเสียงเจี๊ยวจ๊าวดูท่าทางสนุกสนาน ท่ามกลางเด็กๆกลุ่มนั้น มีชายคนหนึ่งยืนอยู่ข้าง
รถเข็นและในมือถืออุปกรณ์บางอย่างอยู่ “เอ้า เรามาดูมายากลชุดต่อไปกันเถอะ คราวนี้ลุงจะมาทายวันเกิด
ของพวกน้องๆกันนะ” ชายคนนั้นพูดขึ้นมา พลางหยิบการ์ดที่มีตัวเลขเขียนอยู่ออกมา จากนั้นเขาก็พูดกับ
เด็กคนหนึ่งว่า “เอ้าหนู เดี๋ยวดูที่การ์ดนี้ทีละใบนะ แล้วบอกลุงนะว่าใบไหนมีวันเกิดของหนูเขียนอยู่ ” เขาได้
แสดงการ์ดให้เด็กคนนั้นดู ทีละใบ ดังนี้
1 3 5 7 2 3 6 7 4 5 6 7
9 11 13 15 10 11 14 15 12 13 14 15
17 19 21 23 18 19 22 23 20 21 22 23
25 27 29 31 26 27 30 31 28 29 30 31
8 9 10 11 16 17 18 19
12 13 14 15 20 21 22 23
24 25 26 27 24 25 26 27
28 29 30 31 28 29 30 31
“ใบสีฟ้า สีเขียว กับสีส้มครับ” เด็กน้อยตอบ “อืม เลขสวยนะเนี่ย หนูเกิดวันที่ 21 ใช่ไหม” เขาตอบอย่าง
รวดเร็ว “ลุงรู้ได้ไงครับ” เด็กน้อยถามด้วยความสงสัย “ทายผมบ้าง ทายผมบ้าง” เด็กคนอื่นเริ่มเกิดความ
อยากรู้อยากเห็น เหตุการณ์ครั้งนี้ทาให้ผมได้ประโยชน์อยู่ 2 ประการ ประการแรก ประโยชน์ของมายากล
มายากลเป็นสิ่งที่ทาให้ผู้พบเห็นเกิดความน่าอัศจรรย์ใจ เหมือนเด็กๆที่พยายามจะค้นหาคาตอบว่า ชายคน
นั้นใช้กลวิธีใดในการเล่นมายากลแต่ละอย่าง พวกเค้ามีความต้องการที่จะอยากหาคาตอบ และเรียนรู้วิธีเล่น
กลนั้น มีคนกล่าวไว้ว่า ลักษณะงานของครูอาจจะสรุปได้ 3 อย่างดังนี้ ครูต้องรู้สิ่งที่จะสอน ครูต้องรู้นักเรียน
ที่เขาจะสอน เหนือสิ่งอื่นใด ครูต้องรู้วิธีที่จะสอนนักเรียนอย่างมีศิลปะ ครูควรจะปรับปรุงศิลปะในการสอน
1 นักศึกษาปริญญาโท คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่ สาขาคณิตศาสตร์ศึกษา ภาคพิเศษ เสาร์ – อาทิตย์ รหัสนักศึกษา 530232113

2. 2
ให้มีเนื้อหาที่เหมาะสม ทันสมัย โดยการกระตุ้นและท้าทายนักเรียนหลายคนที่ไม่เต็มใจจะเรียนให้มีความ
สนใจและประสบผลสาเร็จในการเรียนคณิตศาสตร์ (ฉวีวรรณ เศวตมาลย์, 2544, หน้า 9) หากมายากลทาให้
นักเรียนเกิดความอยากรู้ ครูก็อาจจะใช้มายากลช่วยนาเข้าสู่บทเรียนก็เป็นได้
ประการที่สอง ประโยชน์ของเลขฐานต่างๆ เมื่อเด็กน้อยบอกการ์ดครบแล้ว ชายคนนั้นสามารถบอก
วันเกิดของเด็กน้อยได้อย่างถูกต้องและรวดเร็ว ท่านสงสัยหรือไม่ว่าเขารู้ได้อย่างไร หากลองใช้กลนี้หลายๆ
ครั้งกับคนหลายร้อยคน คงต้องมีซักคนที่สามารถจับเคล็ดลับการทายวันเกิดของกลนี้ได้แน่ ครั้งหนึ่งเมื่อผม
ได้รับเชิญให้เป็นวิทยากร ได้เคยลองเล่นกลนี้กับนักเรียนชั้นมัธยมต้นประมาณสี่ร้อยคน พบว่าเด็กบางคน
สามารถสังเกตได้ว่าวันเกิดของผู้ถูกทายมาจากการนาตัวเลขตัวแรกของการ์ดแต่ละใบมาบวกกัน และเมื่อ
เด็กๆค้นพบวิธีทายวันเกิดก็อาจจะเกิดคาถามตามมาว่าทาไมถึงเป็นเช่นนั้น โอกาสนี้เองที่ครูจะนาเข้าสู่
บทเรียนเรื่อง ตัวเลขในระบบฐานต่างๆได้ หากเราเปลี่ยนตัวเลขทั้งหมดให้เป็นเลขฐานสองจะได้ผลดังนี้
ฐานสิบ ฐานสอง ฐานสิบ ฐานสอง ฐานสิบ ฐานสอง ฐานสิบ ฐานสอง
1 1 9 1001 17 10001 25 11001
2 10 10 1010 18 10010 26 11010
3 11 11 1011 19 10011 27 11011
4 100 12 1100 20 10100 28 11100
5 101 13 1101 21 10101 29 11101
6 110 14 1110 22 10110 30 11110
7 111 15 1111 23 10111 31 11111
8 1000 16 10000 24 11000
จากการสังเกตเราจะพบว่าในการ์ดแต่ละใบ ตัวเลขแต่ละตัวจะมีสิ่งที่เหมือนกันอยู่ นั่นคือ
ในการ์ดสีฟ้า เลขทุกตัวเมื่อแปลงเป็นเลขฐานสองจะมี 1 อยู่ในหลักแรก
ในการ์ดสีชมพู เลขทุกตัวเมื่อแปลงเป็นเลขฐานสองจะมี 1 อยู่ในหลักที่สอง
ในการ์ดสีเขียว เลขทุกตัวเมื่อแปลงเป็นเลขฐานสองจะมี 1 อยู่ในหลักที่สาม
ในการ์ดสีม่วง เลขทุกตัวเมื่อแปลงเป็นเลขฐานสองจะมี 1 อยู่ในหลักที่สี่
ในการ์ดสีส้ม เลขทุกตัวเมื่อแปลงเป็นเลขฐานสองจะมี 1 อยู่ในหลักที่ห้า
และจะเห็นว่าตัวเลขตัวแรกของการ์ดแต่ละใบ จะทาหน้าที่เสมือนค่าในแต่ละหลักของเลขฐานสอง
12 102 1002 10002 100002
1 3 5 7 2 3 6 7 4 5 6 7 8 9 10 11 16 17 18 19
9 11 13 15 10 11 14 15 12 13 14 15 12 13 14 15 20 21 22 23
17 19 21 23 18 19 22 23 20 21 22 23 24 25 26 27 24 25 26 27
25 27 29 31 26 27 30 31 28 29 30 31 28 29 30 31 28 29 30 31

3. 3
ตัวอย่างเช่น 22 เมื่อแปลงเป็นเลขฐานสองจะได้ 101102 ซึ่งเกิดจาก 100002 + 1002 +102 นั่นคือ 16 + 4 + 2 =
22 นั่นเอง ดังนั้น หากผู้ถูกทายเกิดวันที่ 22 ผู้ถูกทายจะต้องเลือกการ์ดสีชมพู สีเขียว และสีส้ม ซึ่งผู้ทายก็จะ
สามารถนาเลขตัวแรกซึ่งเป็นตัวแทนของเลขแต่ละหลักในระบบฐานสองมาบวกกันทาให้ได้วันเกิดนั่นเอง
จากที่กล่าวมาแล้ว จะเห็นว่าเกมทายวันเกิดนี้ใช้หลักการของเลขฐานสองมาช่วยในการจัดตัวเลข
เป็นกลุ่มๆ และนาตัวเลขที่เป็นตัวแทนของแต่ละหลักเมื่อเปลี่ยนเป็นเลขฐานสองมาบวกกันนั่นเอง จาก
หลักการนี้ ครูอาจจะแนะให้นักเรียนลองสร้างกลทายตัวเลขจากเลขฐานอื่นๆ โดยที่ครูอาจจะสร้างลอง
สร้างกลทายตัวเลขจากเลขฐานสามให้นักเรียนดูเป็นตัวอย่างได้ดังนี้
ฐานสิบ ฐานสาม ฐานสิบ ฐานสาม ฐานสิบ ฐานสาม ฐานสิบ ฐานสาม
1 1 21 210 41 1112 61 2021
2 2 22 211 42 1120 62 2022
3 10 23 212 43 1121 63 2100
4 11 24 220 44 1122 64 2101
5 12 25 221 45 1200 65 2102
6 20 26 222 46 1201 66 2110
7 21 27 1000 47 1202 67 2111
8 22 28 1001 48 1210 68 2112
9 100 29 1002 49 1211 69 2120
10 101 30 1010 50 1212 70 2121
11 102 31 1011 51 1220 71 2122
12 110 32 1012 52 1221 72 2200
13 111 33 1020 53 1222 73 2201
14 112 34 1021 54 2000 74 2202
15 120 35 1022 55 2001 75 2210
16 121 36 1100 56 2002 76 2211
17 122 37 1101 57 2010 77 2212
18 200 38 1102 58 2011 78 2220
19 201 39 1110 59 2012 79 2221
20 202 40 1111 60 2020 80 2222
จากตารางจะเห็นว่าตัวเลขฐานสามทั้งหมดมีถึงแค่ 4 หลัก แต่ละหลักมีตัวเลขอยู่ 2 แบบคือ 1 กับ 2 ดังนั้นเรา
ต้องสร้างการ์ดทั้งหมด 8 ใบคือ ดังต่อไปนี้

4. 4
การ์ดใบที่หนึ่ง ให้ใส่ตัวเลขที่มี 1 อยู่ในหลักแรกของเลขฐานสาม
การ์ดใบที่สอง ให้ใส่ตัวเลขที่มี 2 อยู่ในหลักแรกของเลขฐานสาม
การ์ดใบที่สาม ให้ใส่ตัวเลขที่มี 1 อยู่ในหลักที่สองของเลขฐานสาม
การ์ดใบที่สี่ ให้ใส่ตัวเลขที่มี 2 อยู่ในหลักที่สองของเลขฐานสาม
การ์ดใบที่ห้า ให้ใส่ตัวเลขที่มี 1 อยู่ในหลักที่สามของเลขฐานสาม
การ์ดใบที่หก ให้ใส่ตัวเลขที่มี 2 อยู่ในหลักที่สามของเลขฐานสาม
การ์ดใบที่เจ็ด ให้ใส่ตัวเลขที่มี 1 อยู่ในหลักที่สี่ของเลขฐานสาม
การ์ดใบที่แปด ให้ใส่ตัวเลขที่มี 2 อยู่ในหลักที่สี่ของเลขฐานสาม
คุณครูสามารถใช้เกมนี้สอนในเรื่องตัวเลขในระบบฐานต่างๆได้ ในการสร้างเกมนั้น นักเรียนก็จะ
ได้ฝึกการเปลี่ยนเลขฐาน ครูอาจจะใช้คาถามนาเช่น หากใช้เลขฐานสองในการสร้างเกมแต่อยากจะให้
ทานายเลขมากกว่า 31 เราจะสามารถทาได้ไหม ทาอย่างไร ทาไมเมื่อสร้างเกมโดยใช้เลขฐานสามครูต้อง
สร้างถึงเลข 80 สร้างถึงเลขอื่นได้ไหม หากครูใช้คาถามช่วยก็อาจจะทาให้นักเรียนเข้าใจระบบเลขฐานมาก
ขึ้น หลังจากนักเรียนสร้างเกมเสร็จแล้วควรให้นักเรียนนาไปทดลองเล่น และกลับมารายงานผล เมื่อนักเรียน
ได้นาไปใช้จริงพวกเขาอาจจะเห็นว่าคณิตศาสตร์สามารถนาไปใช้ได้จริง ครูอาจชี้ให้นักเรียนเห็นถึง
ประโยชน์อีกทางหนึ่งของเลขฐานว่าไม่ใช่แค่นาไปใช้ในการเขียนโปรแกรมคอมพิวเตอร์ (สุนทร ชนะกอก,
2543, หน้า 3) แต่ยังสามารถนาไปสร้างมายากล และนาไปขายเพื่อสร้างรายได้อีกด้วย
จากสิ่งที่นาเสนอไปแล้วในข้างต้น มายากลแห่งเลขฐาน อาจจะถือได้ว่าเป็นหนึ่งใน “ศิลปะการ
สอน” ที่จะช่วยให้ครูคณิตศาสตร์สามารถจัดกิจกรรมการเรียนรู้ที่น่าตื่นเต้น มีความหมายและควรค่าแก่การ
จดจา (ฉวีวรรณ เศวตมาลย์, 2544, หน้า 29) หากค้นคว้าดูให้ดีแล้วละก็ คุณครูยังสามารถนามายากลนี้ไป
ประยุกต์ใช้ในแบบอื่นๆ เช่นใช้รูปภาพ คา หรือ ประโยค แทนตัวเลขในการ์ดได้อีกด้วย มายากลแต่ละ
รูปแบบเหมาะสมกับนักเรียนในวัยที่แตกต่างกัน แล้วมายากลแห่งเลขฐานของท่านผู้อ่านล่ะ จะเป็นอย่างไร
อ้างอิง
ฉวีวรรณ เศวตมาลย์.(2544).ศิลปะการสอนคณิตศาสตร์.กรุงเทพฯ:สุวีริยาสาส์น.
สุนทร ชนะกอก.(2543).ครูคณิตศาสตร์กับจานวน.เชียงใหม่:คณะศึกษาศาสตร์ มหาวิทยาลัยเชียงใหม่.
สถาบันส่งเสริมการสอนวิทยาศาสตร์และเทคโนโลยี .(2549).หนังสือเรียนสาระการเรียนรู้เพิ่มเติม
คณิตศาสตร์ เล่ม 1 กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์ ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 1.(พิมพ์ครั้งที่เจ็ด).
กรุงเทพฯ:โรงพิมพ์คุรุสภาลาดพร้าว.