تتناول الوثيقة نظريات الزوايا المركزية والمحيطية في الدائرة، موضحة أن الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية على نفس القوس. كما تبرهن على أن الزاوية المحيطية الواقعة على القطر تساوي 90 درجة، وتوضح علاقة بين الزاوية المحيطية والزوايا الأخرى المرتبطة بها. تحتوي الوثيقة أيضًا على رسوم توضيحية لدعم البرهانات.

1. هي الزاوية التي يقع رأسها في مركز الدائرة . الزاوية المركزية

2. الزاوية المحيطية هي الزاوية التي يقع رأسها على محيط الدائرة وضلعاها وتران . الزاوية المحيطية

3. نظرية قياس الزاوية المركزية يساوي ضعف قياس الزاوية المحيطية المرسومة معها على القوس نفسه . الزاوية المحيطية والزاوية المركزية

4. المطلوب : اثبات ان الزاوية المركزية تساوي ضعف الزاوية المحيطية البرهان : ننزل عمود من النقطة أ بحيث تمر بالمركز و تنتهي عند نقطة تسمي د قياس الزاوية 1 = قياس الزاوية 3 لان المثلث أم ب متساوي الساقين ( أب و م ب انصاف اقطار ) اذا الزاوية 5 = مجموع الزاويتين الداخليتين ما عدا مكملتها ( زاوية خارجية في المثلث ) اذا فهي = مجموع الزاويتين 1 و 3 كما ان الزاوية 2 = الزاوية 4 المثلث أ م جـ متساوي الساقين ( م أ و م جـ انصاف اقطار ) الزاوية ب م جـ = مجموع الزاويتين 5 و 6 أي انها تساوي مجموع الزوايا 1 و 2 و 3 و 4 و بما ان الزاويتين 1 و 3 متساويتين و الزاويتين 2 و 4 متساويتين فإن الزاوية ب م جـ = 2( الزاوية 1+ الزاوية 2) أي انها = 2 ( الزاوية ب أ جـ ) و هو المطلوب اثبات النظرية م أ ب جـ د 1 2 3 4 5 6 رسم توضيحي

5. نظرية الزاويتان المحيطيتان المرسومتان على قوس واحد متساويتان

6. دائرة مركزها م 2 و 3 زاويتان محيطيتان مرسومتان على قوس واحد المطلوب : اثبات ان 1 = 2 نصل مركز الدائرة ( م ) بالنقطة أ و نصلها من الجهة الاخرى بالنقطة جـ تظهر لدينا زاوية مركزية مشتركة مع الزاويتين المحيطيين في نفس القوس 3= 2 x 2 زاوية مركزية مشتركة مع زاوية محيطية في نفس القوس 3= 2 x 1 زاوية مركزية مشتركة مع زاوية محيطية في نفس القوس 2 x 1 = 2 x 2 اذا 1 = 2 وهو المطلوب 2 1 3

7. نظرية الزاوية المحيطية الواقعة على القطر تساوي 90 درجة

8. اثبات النظرية المطلوب : اثبات ان الزاوية أ ب جـ زاوية قائمة البرهان : الزاوية أ م جـ هي زاوية مركزية لان رأسها عند مركز الدائرة وبما انها عبارة عن خط مستقيم فهي تساوي 180 درجة الزاوية أ ب جـ هي زاوية محيطية مشتركة مع الزاوية المركزية ( أ م جـ ) في نفس القوس وبما ان الزاوية المحيطية تساوي نصف الزاوية المركزية المشتركة معها في نفس القوس اذا الزاوية أ ب جـ = 180/2 = 90 درجة وهو المطلوب

9. نظرية قياس الزاوية المماسية المحصورة بين مماس الدائرة وأي وتر فيها مار بنقطة التماس في إحدى جهتي الوتر، يساوي قياس الزاوية المحيطية المرسومة على هذا الوتر من الجهة الأخرى.

10. اثبات النظرية البرهان : بما ان ب ن قطر إذن 2 قائمة إذن 4 تتمم 2 في المثلث ب د ن . أي أن مجموعهما يساوي 90 ْ وبما أن أ ب مماس إذن أ ب ن قائمة حسب النظرية . ( العمود النازل من مركز الدائرة على المماس يكون عمودي عليها ) إذن 4 تتمم 1 ينتج أن 1 = 2 لأن كلاً منهما تتم 4 لكن 2 = 3 ( محيطيتان مرسومتان على القوس ب د ) إذن 1 = 3 وهو المطلوب . وعموماً 1 = أي زاوية محيطية مرسومة على الوتر د ب من الجهة الأخرى البعيدة عن طرف المماس أ ب . 1 2 3 4