Олон хувьсагчтай функцийн үндсэн ойлголтууд

1. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2
Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí ³íäýñ
Ä. Áàòò°ð
ÎËÎÍ ÓËÑÛÍ ÓËÀÀÍÁÀÀÒÀÐÛÍ ÈÕ ÑÓÐÃÓÓËÜ
2016.01.15

2. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
1 Îëîí õóâüñàã÷òàé ôóíêö (ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò
2 Õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí õÿçãààð, òàñðàëòã³é ÷àíàð
Äàâõàð õÿçãààð
Äàðààëñàí õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð
3 (ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë áà á³òýí äèôôåðåíèéë
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë
(ÎÕÔ)-èéí á³òýí äèôåðåíöèàë

3. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Òîäîðõîéëò
Õýðýâ áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàí °°ð÷ë°ãä°õ x, y-ãýñýí
õóâüñàõ õýìæèãäýõ³³íèé ýðýìáýëýãäñýí õîñ óòãà (x; y)-ýýñ
òîãòîõ (D) ìóæèéí M(x; y) öýã á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü,
ä³ðìýýð òîäîðõîé íýã áîäèò òîî z-èéã õàðãàëçóóëæ áàéâàë
z-ûã x, y-õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí, D ìóæ äýýð
òîäîðõîéëîãäñîí íýãýí óòãàò õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö ãýýä
z = f (x; y) z = φ(x; y)
ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý.

4. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Òîäîðõîéëò
Õýðýâ áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàí °°ð÷ë°ãä°õ x, y-ãýñýí
õóâüñàõ õýìæèãäýõ³³íèé ýðýìáýëýãäñýí õîñ óòãà (x; y)-ýýñ
òîãòîõ (D) ìóæèéí M(x; y) öýã á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü,
ä³ðìýýð òîäîðõîé íýã áîäèò òîî z-èéã õàðãàëçóóëæ áàéâàë
z-ûã x, y-õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí, D ìóæ äýýð
òîäîðõîéëîãäñîí íýãýí óòãàò õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö ãýýä
z = f (x; y) z = φ(x; y)
ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý.
ÎÕÔ-ã °ã°õ àðãóóä

5. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Òîäîðõîéëò
Õýðýâ áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàí °°ð÷ë°ãä°õ x, y-ãýñýí
õóâüñàõ õýìæèãäýõ³³íèé ýðýìáýëýãäñýí õîñ óòãà (x; y)-ýýñ
òîãòîõ (D) ìóæèéí M(x; y) öýã á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü,
ä³ðìýýð òîäîðõîé íýã áîäèò òîî z-èéã õàðãàëçóóëæ áàéâàë
z-ûã x, y-õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí, D ìóæ äýýð
òîäîðõîéëîãäñîí íýãýí óòãàò õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö ãýýä
z = f (x; y) z = φ(x; y)
ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý.
ÎÕÔ-ã °ã°õ àðãóóä
1 Õ³ñíýãòýýð
2 Àíàëèòèê àðãààð (ìàòåìàòèêèéí
òîìú¼îíû òóñëàìæòàéãààð)

6. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Æèøýý
x
y
0 1 2 3 4 5
1 0 1 2 3 4 5
2 0 2 4 6 8 10
3 0 3 6 9 12 15
4 0 4 8 12 16 20
z = x2 + y2

7. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Òîäîðõîéëò
Àíàëèòèê àðãààð òîäîðõîéëîãäñîí z = f (x; y) ôóíêöèéí
óòãûã òîäîðõîé áîäèò òîî áàéëãàõ á³õ (x; y)-õîñ óòãóóäûí
îëîíëîãèéã z = f (x; y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ ãýíý.

8. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Òîäîðõîéëò
Àíàëèòèê àðãààð òîäîðõîéëîãäñîí z = f (x; y) ôóíêöèéí
óòãûã òîäîðõîé áîäèò òîî áàéëãàõ á³õ (x; y)-õîñ óòãóóäûí
îëîíëîãèéã z = f (x; y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ ãýíý.
Òîäîðõîéëò
Òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéí (x; y)-õîñ óòãà á³õýíä õàðãàëçàõ
z-ûí á³õ óòãóóäûí îëîíëîãèéã ôóíêöèéí óòãûí ìóæ ãýíý.

9. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Æèøýý
z = 4x − y ôóíêö íü äóðûí (x; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýð
òîäîðõîé áîäèò óòãàòàé áàéõ òóë ò³³íèé òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ íü õàâòãàéí á³õ öýã³³ä áàéíà.

10. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Æèøýý
z = 4x − y ôóíêö íü äóðûí (x; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýð
òîäîðõîé áîäèò óòãàòàé áàéõ òóë ò³³íèé òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ íü õàâòãàéí á³õ öýã³³ä áàéíà.
z = 9 − x2 − y2 ôóíêö íü 9 − x2
− y2
≥ 0 áóþó x2
+ y2
≤ 9
í°õöëèéã õàíãàõ (x; y)-ûí õîñ óòãà á³õýí äýýð
òîäîðõîéëîãäîíî.
x2
+ y2
≤ 9 íü O(0; 0) öýã äýýð ò°âòýé R = 3 ðàäèóñòàé
äóãóéí äîòîðõè á³õ öýã³³ä áîëîí x2
+ y2
= 9 òîéðãèéí
öýã³³ä áàéíà. Èéìä z = 9 − x2 − y2 ôóíêöèéí
òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü áèò³³ ìóæ áàéíà.

11. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Æèøýý
z = 4x − y ôóíêö íü äóðûí (x; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýð
òîäîðõîé áîäèò óòãàòàé áàéõ òóë ò³³íèé òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ íü õàâòãàéí á³õ öýã³³ä áàéíà.
z = 9 − x2 − y2 ôóíêö íü 9 − x2
− y2
≥ 0 áóþó x2
+ y2
≤ 9
í°õöëèéã õàíãàõ (x; y)-ûí õîñ óòãà á³õýí äýýð
òîäîðõîéëîãäîíî.
x2
+ y2
≤ 9 íü O(0; 0) öýã äýýð ò°âòýé R = 3 ðàäèóñòàé
äóãóéí äîòîðõè á³õ öýã³³ä áîëîí x2
+ y2
= 9 òîéðãèéí
öýã³³ä áàéíà. Èéìä z = 9 − x2 − y2 ôóíêöèéí
òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü áèò³³ ìóæ áàéíà.
z = ln(x + y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü x + y > 0
áóþó y > −x í°õöëèéã õàíãàñàí (x; y)-õîñ óòãà á³õýí äýýð
òîäîðõîéëîãäîíî. Ýíýõ³³ (x; y)-õîñ óòãóóäûí îëîíëîã íü
y = −x-øóëóóíààñ äýýø îðøèõ õàâòãàéí á³õ öýã³³äèéí
îëîíëîã áàéíà.

12. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Ñàíàìæ
ÎÕÔ-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ íü êîîäèíàòûí õàâòãàé,
ýñâýë ò³³íèé õýñýã áàéäàã.
6
-
y
x
y = −x
0
1-ð çóðàã

13. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæ
Òîäîðõîéëò
Áèå áèåíýýñýý ³ë õàìààðàõ x1, x2, ..., xn-ãýñýí n-øèðõýã
õóâüñàã÷óóäûí óòãóóäààñ òîãòîõ D ìóæèéí (x1, x2, ..., xn)
óòãà á³õýíä ÿìàð íýãýí õóóëü ä³ðìýýð z-ãýñýí õóâüñàõ
õýìæèãäýõ³³íèé òîäîðõîé íýã óòãûã õàðãàëçóóëæ áîëæ
áàéâàë z-ûã D-ìóæ äýýð òîäîðõîéëîãäñîí (x1, x2, ..., xn)
õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí n-õóâüñàã÷òàé íýãýí óòãàò ôóíêö ãýæ
íýðëýýä
z = f (x1; x2; ...; xn) áóþó z = φ(x1; x2; ...; xn)
ãýõ ìýòýýð òýìäýãëýíý. Åð°íõèéä°° õî¼ð áà ò³³íýýñ äýýø
òîîíû õóâüñàã÷ààñ õàìààðñàí ôóíêöèéã îëîí õóâüñàã÷òàé
ôóíêö ãýíý.
Æèøýýëáýë W = x2+y2+z2
√
1+t2
ôóíêö íü x, y, z, t ãýñýí ä°ðâ°í
õóâüñàã÷òàé ôóíêö þì.

14. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò
Òîäîðõîéëò
z = f (x; y), (x; y) ∈ D õî¼ð õóâüñàã÷òàé ôóíêö àâúÿ. Ýíý
ôóíêöèéí x-õóâüñàã÷èä ∆x-°°ð÷ë°ëòèéã (x + ∆x; y) ∈ D
áàéõààð °ã÷ y-ûã õýâýýð áàéëãàâàë z-ôóíêö °°ð÷ë°ãä°õ
á°ã°°ä ò³³íä õàðãàëçàõ °°ð÷ë°ëò
∆x z = f (x + ∆x; y) − f (x; y) (1)
-èéã z-ôóíêöèéí x-ýýð àâñàí òóõàéí °°ð÷ë°ëò ãýíý. “³íèé
àäèëààð z-ýýñ y-ýýð àâñàí òóõàéí °°ð÷ë°ëòèéã
∆y z = f (x; y + ∆y) − f (x; y)
ãýæ òîäîðõîéëæ áîëíî.

15. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò
Òîäîðõîéëò
Õýðýâ z = f (x; y) ôóíêöèéí x àðãóìåíòàä ∆x, y-àðãóìåíòàä
∆y-°°ð÷ë°ëòèéã íýãýí çýðýã (x + ∆x; y + ∆y) ∈ D áàéõààð
°ã°õ°ä ãàðàõ ôóíêöèéí °°ð÷ë°ëò
∆z = f (x + ∆x; y + ∆y) − f (x; y)
-èéã z = f (x; y)-èéí á³òýí °°ð÷ë°ëò ãýíý.
Ñàíàìæ
∆z = ∆x z + ∆y z áàéæ áîëíî.

16. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò
Æèøýý
z = x2 · y ôóíêöèéí õóâüä
∆x z = (x + ∆x)2
y − x2
y = x2
y + 2x · ∆x · y + (∆x)2
y − x2
y =
= (2x + ∆x) · ∆x · y
∆y z = x2
(y + ∆y) − x2
y = x2
· ∆y
∆z = (x + ∆x)2
(y + ∆y) − x2
y
= [x2
+ 2x∆x + (∆x)2
](y + ∆y) − x2
y
= 2x · ∆x · y + (∆x)2
y + x2
∆y + x2
∆y
+2x∆y∆x + (∆x)2
∆y
áàéõ áà
∆z = ∆x z + ∆y z
áàéíà.

17. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí áà á³òýí °°ð÷ë°ëò
1-èéí ðã°òã°ë
“³íèé àäèëààð z = f (x1; x2; ...; xn) ôóíêöèéí òóõàéí áà
á³òýí °°ð÷ë°ëòèéã áè÷âýë
∆x1 = f (x1 + ∆x1, x2, ..., xn) − f (x1, x2, ..., xn)
∆x2 = f (x1, x2 + ∆x2, ..., xn) − f (x1, x2, ..., xn)
....................................
∆xn = f (x1, x2, ..., xn + ∆xn) − f (x1, x2, ..., xn)
∆z = f (x1 + ∆x1; x2 + ∆x2; ...; xn + ∆xn) − f (x1, x2, ..., xn)
áàéíà.

18. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
Äàâõàð õÿçãààð
Õàâòãàéí M0 áà M öýãèéí õîîðîíäàõü çàéã
ρ(M, M0) = (x − x0)2 + (y − y0)2
ãýæ òýìäýãëüå.

19. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
Äàâõàð õÿçãààð
Õàâòãàéí M0 áà M öýãèéí õîîðîíäàõü çàéã
ρ(M, M0) = (x − x0)2 + (y − y0)2
ãýæ òýìäýãëüå.
Òîäîðõîéëò
M0(x0, y0) öýãèéí õóâüä ρ(M, M0) < ε í°õö°ëèéã õàíãàñàí
M(x, y) öýã³³äèéí îëîíëîãèéã M0(x0, y0) öýãèéí ε îð÷èí
ãýíý.
M0(x0, y0) öýãèéí îð÷èí ãýäýã
íü ãåîìåòðèéí ³³äíýýñ M0(x0, y0)
öýã äýýð ò°âòýé ε ðàäèóñòàé
äóãóéí á³õ öýã³³äèéí îëîíëîã
þì.

20. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
Äàâõàð õÿçãààð
Òîäîðõîéëò
∀ε > 0 òîî àâàõàä ρ(M, M0) < δ áàéõ M(x, y) öýã³³äèéí
õóâüä
|f (M) − A| < ε
òýíöýòãýë áèø áèåëýãäýæ áàéõààð δ = δ(ε) > 0 òîî îëäîæ
áàéâàë A − const òîîã M → M0(x0, y0) ³åèéí f (x, y)
ôóíêöèéí äàâõàð õÿçãààð ãýæ íýðëýýä
lim
M→M0
f (M) = A áóþó lim
x → x0
y → y0
f (x, y) = A (2)
ãýæ òýìäýãëýíý.

21. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
Äàâõàð õÿçãààð
Æèøýý
lim
x → 0
y → 0
a−
√
a2−xy
xy õÿçãààðûã îë.

22. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
Äàâõàð õÿçãààð
Æèøýý
lim
x → 0
y → 0
a−
√
a2−xy
xy õÿçãààðûã îë.
lim
x → 0
y → 0
a−
√
a2−xy
xy = lim
x → 0
y → 0
(a−
√
a2−xy)(a+
√
a2−xy)
xy·(a+
√
a2−xy)
= lim
x → 0
y → 0
xy
xy·(a+
√
a2−xy)
= lim
x → 0
y → 0
1
(a+
√
a2−xy)
= 1
2a .

23. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
Äàðààëñàí õÿçãààð
Òîäîðõîéëò
z = f (x, y), x ∈ X, y ∈ Y ôóíêöèéí õóâüä y-ûã áýõëýýä x → a
³åèéí f (x, y) ôóíêöèéí õÿçãààð íü îðøèí áàéâàë òýð íü
åð°íõèéä°° y-ýýñ õàìààðñàí ôóíêö áàéíà.
lim
x→a
f (x, y) = φ(y).
Ýíý ôóíêöýýñ y → b ³åèéí õÿçãààð àâáàë
lim
y→b
φ(y) = lim
y→b
(lim
x→a
f (x, y)) (3)
áîëíî. (4)-èéã äàðààëñàí õÿçãààð ãýæ íýðëýíý.
“³íèé àäèëààð
lim
x→a
lim
y→b
f (x, y) = lim
x→a
ψ(x) (4)
ãýñýí äàðààëñàí õÿçãààðûí òóõàé ÿðüæ áîëíî.

24. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
Äàðààëñàí õÿçãààð
Æèøýý
f (x, y) = 5x−3y+x2+y2
x+y ôóíêöèéí x → 0, y → 0 ³åèéí á³õ
áîëîìæò äàðààëñàí õÿçãààðûã îë.

25. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
Äàðààëñàí õÿçãààð
Æèøýý
f (x, y) = 5x−3y+x2+y2
x+y ôóíêöèéí x → 0, y → 0 ³åèéí á³õ
áîëîìæò äàðààëñàí õÿçãààðûã îë.
lim
y→0
lim
x→0
5x − 3y + x2 + y2
x + y
= lim
y→0
(y − 3) = −3
lim
x→0
lim
y→0
5x − 3y + x2 + y2
x + y
= lim
x→0
5x + x2
x
= 5.

26. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òàñðàëòã³é ÷àíàð
Òîäîðõîéëò
Õýðýâ M0(x0, y0) öýã íü f (x, y) ôóíêöèéí òîäîðõîéëîãäîõ ìóæèéí
öýã áàéõ áà
lim
x → x0
y → y0
f (x, y) = f (x0, y0) (5)
òýíöýòãýë áèåëýãäýæ áàéâàë z = f (x, y) ôóíêöèéã M0(x0, y0) öýã
äýýð òàñðàëòã³é ôóíêö ãýíý.
Áèä x = x0 + ∆x, y = y0 + ∆y ãýâýë (6)-èéã
lim
∆x → 0
∆y → 0
f (x0 + ∆x, y0 + ∆y) = f (x0, y0) (6)

27. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë
Òîäîðõîéëò
z = f (x; y) ôóíêöèéí M0(x0; y0) öýã äýýðõ x-ýýð àâñàí
òóõàéí °°ð÷ë°ëòèéã àðãóìåíò x-èéí °°ð÷ë°ëò ∆x-ä
õàðüöóóëñàí õàðüöàà
∆x z
∆x
-ààñ ∆x → 0 ³åèéí õÿçãààð àâàõàä
ò°ãñã°ë°ã òîî ãàðàõ áîë ýíý õÿçãààðûã f (x; y) ôóíêöýýñ
M0(x0; y0) öýã äýýðõ x-ýýð àâñàí òóõàéí óëàìæëàë ãýýä
∂z
∂x
;
∂f (x0; y0)
∂x
; zx ; fx (x0; y0)
ãýæ òýìäýãëýíý.

28. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë
Òîäîðõîéëò
°ð°°ð õýëáýë:
∂z
∂x
= lim
∆→0
∆x z
∆x
= lim
∆x→0
f (x0 + ∆x; y0) − f (x0; y0)
∆x
(7)

29. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë
Òîäîðõîéëò
°ð°°ð õýëáýë:
∂z
∂x
= lim
∆→0
∆x z
∆x
= lim
∆x→0
f (x0 + ∆x; y0) − f (x0; y0)
∆x
(7)
∂z
∂y
= lim
∆→0
∆y z
∆y
= lim
∆y→0
f (x0; y0 + ∆y) − f (x0; y0)
∆y
(8)

30. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë
Òîäîðõîéëò
°ð°°ð õýëáýë:
∂z
∂x
= lim
∆→0
∆x z
∆x
= lim
∆x→0
f (x0 + ∆x; y0) − f (x0; y0)
∆x
(7)
∂z
∂y
= lim
∆→0
∆y z
∆y
= lim
∆y→0
f (x0; y0 + ∆y) − f (x0; y0)
∆y
(8)
Æèøýý
z = x2y2 + ln(5x + 4y) + 1 ôóíêöýýñ x, y-àðãóìåíòóóäààð
àâñàí òóõàéí óëàìæëàëóóäûã îë.

31. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí òóõàéí óëàìæëàë
Òîäîðõîéëò
°ð°°ð õýëáýë:
∂z
∂x
= lim
∆→0
∆x z
∆x
= lim
∆x→0
f (x0 + ∆x; y0) − f (x0; y0)
∆x
(7)
∂z
∂y
= lim
∆→0
∆y z
∆y
= lim
∆y→0
f (x0; y0 + ∆y) − f (x0; y0)
∆y
(8)
Æèøýý
z = x2y2 + ln(5x + 4y) + 1 ôóíêöýýñ x, y-àðãóìåíòóóäààð
àâñàí òóõàéí óëàìæëàëóóäûã îë.
∂z
∂x = 2xy2 + 5
5x+4y ; ∂z
∂y = 2x2y + 4
5x+4y

32. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí á³òýí äèôåðåíöèàë
Òîäîðõîéëò
Õýðýâ z = f (x; y) ôóíêöèéí M0(x0; y0) öýã äýýðõ á³òýí
°°ð÷ë°ëò íü (2) õýëáýðòýé áè÷èãäýõ áîë z = f (x; y)-èéã
M0(x0; y0) öýã äýýð äèôôåðåíöèàë÷ëàãäàõ ôóíêö ãýæ íýðëýõ
áà ýíýõ³³ °°ð÷ë°ëòèéí ∆x, ∆y-òàé õàðüöóóëàõàä øóãàìàí
áàéõ õýñãèéã f (x; y) ôóíêöèéí á³òýí äèôôåðåíöèàë ãýíý.
dz =
∂f
∂x
dx +
∂f
∂y
dy (9)

33. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí á³òýí äèôåðåíöèàë
Òîäîðõîéëò (9)-èéí °ðã°òã°ë
z = f (x1; x2; ...; xn) ãýñýí n õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí á³òýí
äèôôåðåíöèàë:
dz =
∂f
∂x1
dx1 +
∂f
∂x2
dx2 + · · · +
∂f
∂xn
dxn
áàéíà.

34. ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-
2
Àãóóëãà
Îëîí
õóâüñàã÷òàé
ôóíêö
(ÎÕÔ)
(ÎÕÔ)-èéí
òîäîðõîéëîãäîõ
ìóæ
(ÎÕÔ)-èéí
òóõàéí áà
á³òýí
°°ð÷ë°ëò
Õî¼ð
õóâüñàã÷òàé
ôóíêöèéí
õÿçãààð,
òàñðàëòã³é
÷àíàð
Äàâõàð
õÿçãààð
Äàðààëñàí
õÿçãààð
(ÎÕÔ)-èéí
òàñðàëòã³é
÷àíàð
(ÎÕÔ)-èéí
(ÎÕÔ)-èéí á³òýí äèôåðåíöèàë
Òîäîðõîéëò (9)-èéí °ðã°òã°ë
z = f (x1; x2; ...; xn) ãýñýí n õóâüñàã÷òàé ôóíêöèéí á³òýí
äèôôåðåíöèàë:
dz =
∂f
∂x1
dx1 +
∂f
∂x2
dx2 + · · · +
∂f
∂xn
dxn
áàéíà.
Æèøýý
u = xy − y
x + zx + z2 ôóíêöèéí á³òýí äèôôåðåíöèàëûã îë.
∂u
∂x = y + y
x2 + z, ∂u
∂y = x − 1
x , ∂u
∂z = x + 2z.
dz = (y +
y
x2
+ z)dx + (x −
1
x
)dy + (x + 2z)dz.