Риманы тодорхой интеграл буюу интеграл нийлбэрийн, түүний олон хэрглээний тухай

1. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Èíòåãðàë òîîëîë
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Ä. Áàòò°ð1
1Department of Computer Science
Ulaanbaatar University
2015 îíû 2-ð ñàðûí 9
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

2. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Àãóóëãà
1 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
2 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ
àðãóóä
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
3 Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

3. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Àãóóëãà
1 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
2 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ
àðãóóä
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
3 Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

4. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
[a, b] õýð÷èì äýýð y = f(x) ñ°ð°ã áóñ óòãàòàé, òàñðàëòã³é
ôóíêö áîë XOY êîîðäèíàòûí õàâòãàéä õî¼ð õàæóóãààñàà
x = a, x = b øóëóóíóóäààð, äýýðýýñýý- y = f(x) ôóíêöèéí
ãðàôèêààð, äîîðîîñîî -OX òýíõëýãèéí [a, b] õýð÷ìýýð
õàøèãäñàí ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí òàëáàé íü èíòåãðàëûí
ãåîìåòð óòãà àãóóëãà ¼ñîîð
S =
b
a
f(x)dx =
b
a
ydx (1)
òîìü¼îãîîð èëýðõèéëýãäýíý.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

5. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Õýðýâ õàâòãàéí ä³ðñ íü õî¼ð õàæóóãààñàà x = a, x = b
øóëóóíóóäààð, äýýðýýñýý áà äîîðîîñîî [a, b] õýð÷èì äýýð
°ã°ãäñ°í y = f(x), y = g(x) òàñðàëòã³é ôóíêö³³äèéí
ãðàôèêààð õàøèãäñàí á°ã°°ä 0 ≤ f(x) ≤ g(x) í°õöë³³ä
áèåëýãäýíý ãýæ ³çýõýä, óã ä³ðñèéí òàëáàé
S =
b
a
[g(x) − f(x)]dx (2)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

6. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
-
6
0
y
x
y = f(x)
a b
Çóðàã 4.
-
6
r
r
r
r
0
y
xa b
y = f(x)
y = g(x)
Çóðàã 5.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

7. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Õýðýâ [a, b] õýð÷èì äýýð °ã°ãäñ°í y = f(x) òàñðàëòã³é ôóíêö
íü ýåðýã áà ñ°ð°ã òýìäýãòýé óòãóóäûã àâäàã áàéâàë óã
ôóíêöèéí ãðàôèêààð áàéãóóëàãäñàí ìóðóé øóãàìàí
òðàïåöèéí òàëáàé
S =
b
a
|f(x)|dx (3)
òîìü¼îãîîð îëäîíî.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

8. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Õýðýâ [a, b] õýð÷èì äýýð °ã°ãäñ°í y = g(x), y = f(x)
òàñðàëòã³é ôóíêö³³äèéí ãðàôèê ò°ãñã°ë°ã òîîíû åð°íõèé
öýãòýé
(çóðàã 7.) áàéâàë ýäãýýð ìóðóéíóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí
òàëáàé
S =
b
a
|g(x) − f(x)|dx (4)
áàéíà.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

9. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
-
6
r r
rr
y
0 xa
b
y = f(x)
+
−− a1 b1
Çóðàã 6.
-
6
r
r r
r
r
y
0 x
y = g(x)
y = f(x)
a b
Çóðàã 7.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

10. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Õýðýâ ìóðóé øóãàìàí òðàïåöè íü
{(x, y)|0 ≤ x ≤ x(y), c ≤ y ≤ d}
òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìýýð °ã°ãäñ°í (çóðàã 8.) áàéâàë
òàëáàé íü:
S =
d
c
x(y)dy (5)
ßã ò°ñòýé áàéäëààð, {(x, y)|x1(y) ≤ x ≤ x2(y), c ≤ y ≤ d}
òýíöýòãýë áèøèéí ñèñòåìýýð °ã°ãäñ°í (çóðàã 9.) ä³ðñèéí
òàëáàé:
S =
d
c
[x2(y) − x1(y)]dy (6)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

11. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
-
6
r
r
0
y
x
d
c
x = x(y)
Çóðàã 8.
-
6
rr
rr
0 x
y
dr
r
c
x = x1(y x = x2(y)
Çóðàã 9.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

12. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = 1
x , x = 1, x = e, y = 0 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí
ä³ðñèéí òàëáàéã îë.
S
e
1
1
x
dx = ln x|e
1
= ln e − ln 1
= ln e
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

13. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = 1
x , x = 1, x = e, y = 0 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí
ä³ðñèéí òàëáàéã îë.
S
e
1
1
x
dx = ln x|e
1
= ln e − ln 1
= ln e
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

14. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = 1
x , x = 1, x = e, y = 0 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí
ä³ðñèéí òàëáàéã îë.
S
e
1
1
x
dx = ln x|e
1
= ln e − ln 1
= ln e
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

15. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = 1
x , x = 1, x = e, y = 0 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí
ä³ðñèéí òàëáàéã îë.
S
e
1
1
x
dx = ln x|e
1
= ln e − ln 1
= ln e
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

16. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = 1
x , x = 1, x = e, y = 0 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí
ä³ðñèéí òàëáàéã îë.
S
e
1
1
x
dx = ln x|e
1
= ln e − ln 1
= ln e
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

17. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = 1
x , x = 1, x = e, y = 0 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí
ä³ðñèéí òàëáàéã îë.
S
e
1
1
x
dx = ln x|e
1
= ln e − ln 1
= ln e
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

18. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = x2, y = 1 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí òàëáàéã
îë.
x2 = 1 x1 = −1, x2 = 1 òóë
S
1
−1
(1 − x2
)dx =(x −
x3
3
)|1
−1
=(1 −
1
3
) − (−1 −
−1
3
)
=
4
3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

19. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = x2, y = 1 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí òàëáàéã
îë.
x2 = 1 x1 = −1, x2 = 1 òóë
S
1
−1
(1 − x2
)dx =(x −
x3
3
)|1
−1
=(1 −
1
3
) − (−1 −
−1
3
)
=
4
3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

20. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = x2, y = 1 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí òàëáàéã
îë.
x2 = 1 x1 = −1, x2 = 1 òóë
S
1
−1
(1 − x2
)dx =(x −
x3
3
)|1
−1
=(1 −
1
3
) − (−1 −
−1
3
)
=
4
3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

21. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = x2, y = 1 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí òàëáàéã
îë.
x2 = 1 x1 = −1, x2 = 1 òóë
S
1
−1
(1 − x2
)dx =(x −
x3
3
)|1
−1
=(1 −
1
3
) − (−1 −
−1
3
)
=
4
3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

22. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = x2, y = 1 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí òàëáàéã
îë.
x2 = 1 x1 = −1, x2 = 1 òóë
S
1
−1
(1 − x2
)dx =(x −
x3
3
)|1
−1
=(1 −
1
3
) − (−1 −
−1
3
)
=
4
3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

23. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = x2, y = 1 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí òàëáàéã
îë.
x2 = 1 x1 = −1, x2 = 1 òóë
S
1
−1
(1 − x2
)dx =(x −
x3
3
)|1
−1
=(1 −
1
3
) − (−1 −
−1
3
)
=
4
3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

24. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
y = x2, y = 1 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí òàëáàéã
îë.
x2 = 1 x1 = −1, x2 = 1 òóë
S
1
−1
(1 − x2
)dx =(x −
x3
3
)|1
−1
=(1 −
1
3
) − (−1 −
−1
3
)
=
4
3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

25. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
xy = 5, x + y = 6 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí
òàëáàéã îë.
xy = 5
x + y = 6
ñèñòåìèéã áîäâîë
x1 = 1, y = 5
x2 = 5, y = 1
òóë
S =
5
1
(6 − x −
5
x
)dx =(6x −
x2
2
− 5 ln x)|5
1
=(30 −
25
2
− 5 ln 5)
-(5 −
1
2
− 5 ln 1)
=13 − 5 ln 5
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

26. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
xy = 5, x + y = 6 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí
òàëáàéã îë.
xy = 5
x + y = 6
ñèñòåìèéã áîäâîë
x1 = 1, y = 5
x2 = 5, y = 1
òóë
S =
5
1
(6 − x −
5
x
)dx =(6x −
x2
2
− 5 ln x)|5
1
=(30 −
25
2
− 5 ln 5)
-(5 −
1
2
− 5 ln 1)
=13 − 5 ln 5
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

27. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
xy = 5, x + y = 6 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí
òàëáàéã îë.
xy = 5
x + y = 6
ñèñòåìèéã áîäâîë
x1 = 1, y = 5
x2 = 5, y = 1
òóë
S =
5
1
(6 − x −
5
x
)dx =(6x −
x2
2
− 5 ln x)|5
1
=(30 −
25
2
− 5 ln 5)
-(5 −
1
2
− 5 ln 1)
=13 − 5 ln 5
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

28. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
xy = 5, x + y = 6 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí
òàëáàéã îë.
xy = 5
x + y = 6
ñèñòåìèéã áîäâîë
x1 = 1, y = 5
x2 = 5, y = 1
òóë
S =
5
1
(6 − x −
5
x
)dx =(6x −
x2
2
− 5 ln x)|5
1
=(30 −
25
2
− 5 ln 5)
-(5 −
1
2
− 5 ln 1)
=13 − 5 ln 5
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

29. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
xy = 5, x + y = 6 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí
òàëáàéã îë.
xy = 5
x + y = 6
ñèñòåìèéã áîäâîë
x1 = 1, y = 5
x2 = 5, y = 1
òóë
S =
5
1
(6 − x −
5
x
)dx =(6x −
x2
2
− 5 ln x)|5
1
=(30 −
25
2
− 5 ln 5)
-(5 −
1
2
− 5 ln 1)
=13 − 5 ln 5
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

30. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
xy = 5, x + y = 6 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí
òàëáàéã îë.
xy = 5
x + y = 6
ñèñòåìèéã áîäâîë
x1 = 1, y = 5
x2 = 5, y = 1
òóë
S =
5
1
(6 − x −
5
x
)dx =(6x −
x2
2
− 5 ln x)|5
1
=(30 −
25
2
− 5 ln 5)
-(5 −
1
2
− 5 ln 1)
=13 − 5 ln 5
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

31. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
xy = 5, x + y = 6 øóãàìóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñèéí
òàëáàéã îë.
xy = 5
x + y = 6
ñèñòåìèéã áîäâîë
x1 = 1, y = 5
x2 = 5, y = 1
òóë
S =
5
1
(6 − x −
5
x
)dx =(6x −
x2
2
− 5 ln x)|5
1
=(30 −
25
2
− 5 ln 5)
-(5 −
1
2
− 5 ln 1)
=13 − 5 ln 5
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

32. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Àãóóëãà
1 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
2 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ
àðãóóä
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
3 Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

33. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Ìóðóéí ( ˘AB) íóìûí óðò ãýæ óã íóìä áàãòñàí òàõèð
øóãàìûí ì°÷ðèéí òîî ò°ãñã°ëã³é °ñ°õèéí çýðýãöýý õàìãèéí
èõ ì°÷ðèéí óðò íü òýãð³³ òýì³³ëýõ ³åèéí òàõèð øóãàìûí
åð°íõèé óðòûí õÿçãààðûã íýðëýíý.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

34. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
-
6
s
s
s
s
s
s
s
s
0
y
xx0 = a
A = M0
M1
M2
li
Mi−1
Mi
Mi+1
B = Mn
b = xn
sss
s
x1 x2 xi−1 xi xi+1
Çóðàã 16.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

35. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Ýíý òàõèð øóãàìûí i-ä³ãýýð ì°÷ðèéí óðòûã Ïèôàãîðûí
òåîðåì àøèãëàí
li = Mi−1Mi = (xi − xi−1)2 + [f(xi) − f(xi−1)]2
ãýæ îëíî.Ýíý õýñýãò õóâèðãàëò õèéâýë:
li = (xi − xi−1)2 +
[f(xi) − f(xi−1)]2
(xi − xi−1)2
· (xi − xi−1)2
= 12 +
[f(xi) − f(xi−1)]1
(xi − xi−1)
2
· (xi − xi−1)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

36. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Ýíý òàõèð øóãàìûí i-ä³ãýýð ì°÷ðèéí óðòûã Ïèôàãîðûí
òåîðåì àøèãëàí
li = Mi−1Mi = (xi − xi−1)2 + [f(xi) − f(xi−1)]2
ãýæ îëíî.Ýíý õýñýãò õóâèðãàëò õèéâýë:
li = (xi − xi−1)2 +
[f(xi) − f(xi−1)]2
(xi − xi−1)2
· (xi − xi−1)2
= 12 +
[f(xi) − f(xi−1)]1
(xi − xi−1)
2
· (xi − xi−1)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

37. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Îäîî xi = xi − xi−1, fi = f(xi) − f(xi−1) ãýæ òýìäýãëýýä
óðàìæëàëûí òîäîðõîéëîëò àøèãëàâàë
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

38. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
[a, b] õýð÷èì äýýð °ã°ãäñ°í, òàñðàëòã³é y = f(x)
äèôôåðåíöèàë÷ëàãäàõ ôóíêöèéí ãðàôèêèéí íóìûí óðòûã
L =
b
a
1 + [f (x)]2dx (7)
òîìü¼îãîîð îëíî.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

39. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Æèøýý
y = x
3
2 ìóðóéí 0 ≤ x ≤ 5 õýð÷èìä õàðãàëçàõ íóìûí
óðòûã îë.
Ìóðóéí òýãøèòãýëýýñ yx = 3
2 x
1
2 ó÷ðààñ
L =
5
0
1 + y 2dx =
5
0
1 +
9
4
xdx
=
8
27
1 +
9
4
x
3
2
|5
0
=
343
27
−
8
27
= =
335
27
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

40. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Æèøýý
y = x
3
2 ìóðóéí 0 ≤ x ≤ 5 õýð÷èìä õàðãàëçàõ íóìûí
óðòûã îë.
Ìóðóéí òýãøèòãýëýýñ yx = 3
2 x
1
2 ó÷ðààñ
L =
5
0
1 + y 2dx =
5
0
1 +
9
4
xdx
=
8
27
1 +
9
4
x
3
2
|5
0
=
343
27
−
8
27
= =
335
27
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

41. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Æèøýý
y = x
3
2 ìóðóéí 0 ≤ x ≤ 5 õýð÷èìä õàðãàëçàõ íóìûí
óðòûã îë.
Ìóðóéí òýãøèòãýëýýñ yx = 3
2 x
1
2 ó÷ðààñ
L =
5
0
1 + y 2dx =
5
0
1 +
9
4
xdx
=
8
27
1 +
9
4
x
3
2
|5
0
=
343
27
−
8
27
= =
335
27
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

42. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Æèøýý
y = x
3
2 ìóðóéí 0 ≤ x ≤ 5 õýð÷èìä õàðãàëçàõ íóìûí
óðòûã îë.
Ìóðóéí òýãøèòãýëýýñ yx = 3
2 x
1
2 ó÷ðààñ
L =
5
0
1 + y 2dx =
5
0
1 +
9
4
xdx
=
8
27
1 +
9
4
x
3
2
|5
0
=
343
27
−
8
27
= =
335
27
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

43. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Æèøýý
y = x
3
2 ìóðóéí 0 ≤ x ≤ 5 õýð÷èìä õàðãàëçàõ íóìûí
óðòûã îë.
Ìóðóéí òýãøèòãýëýýñ yx = 3
2 x
1
2 ó÷ðààñ
L =
5
0
1 + y 2dx =
5
0
1 +
9
4
xdx
=
8
27
1 +
9
4
x
3
2
|5
0
=
343
27
−
8
27
= =
335
27
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

44. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Æèøýý
y = x
3
2 ìóðóéí 0 ≤ x ≤ 5 õýð÷èìä õàðãàëçàõ íóìûí
óðòûã îë.
Ìóðóéí òýãøèòãýëýýñ yx = 3
2 x
1
2 ó÷ðààñ
L =
5
0
1 + y 2dx =
5
0
1 +
9
4
xdx
=
8
27
1 +
9
4
x
3
2
|5
0
=
343
27
−
8
27
= =
335
27
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

45. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Æèøýý
y = x
3
2 ìóðóéí 0 ≤ x ≤ 5 õýð÷èìä õàðãàëçàõ íóìûí
óðòûã îë.
Ìóðóéí òýãøèòãýëýýñ yx = 3
2 x
1
2 ó÷ðààñ
L =
5
0
1 + y 2dx =
5
0
1 +
9
4
xdx
=
8
27
1 +
9
4
x
3
2
|5
0
=
343
27
−
8
27
= =
335
27
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

46. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
f[ψ(x)]ψ (x)dx = f(t)dt, t = ψ(x)
Æèøýý
y = x
3
2 ìóðóéí 0 ≤ x ≤ 5 õýð÷èìä õàðãàëçàõ íóìûí
óðòûã îë.
Ìóðóéí òýãøèòãýëýýñ yx = 3
2 x
1
2 ó÷ðààñ
L =
5
0
1 + y 2dx =
5
0
1 +
9
4
xdx
=
8
27
1 +
9
4
x
3
2
|5
0
=
343
27
−
8
27
= =
335
27
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

47. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Àãóóëãà
1 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
2 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ
àðãóóä
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
3 Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

48. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Õ°íäë°í îãòëîëûã àøèãëàõ àðãà
XoYZ îãòîðãóéä, õî¼ð õàæóóãààñàà x = a, x = b
õàâòãàéíóóäààð õàøèãäñàí, çààãëàãäñàí (V) áèå
°ã°ãäñ°í á°ã°°ä [a, b] ∀x öýãèéã äàéðñàí, OX
òýíõëýãò ïåðïåíäèêóëÿð õàâòãàéãààð óã áèåèéã
îãòëîõîä õ°íäë°í îãòëîëä ³³ññýí ä³ðñèéí
òàëáàé S(x) íü [a, b] õýð÷èì äýýð òàñðàëòã³é
ôóíêö áàéíà ãýæ ³çüå (çóðàã 17.)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

49. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Õ°íäë°í îãòëîëûã àøèãëàõ àðãà
-
6
r
rr
r
rrr
0
y
x
a
B
ba xi xi+1
Mi
Mi+1
Çóðàã 17.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

50. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Õ°íäë°í îãòëîëûã àøèãëàõ àðãà
õóâààëòûí [xi, xi+1] õýñýãò õàðãàëçàõ (V) áèåèéí
õýñãèéí ýçýëõ³³íèéã, îéðîëöîîãîîð S(xi)
ñóóðüòàé, ∆xi = xi+1 − xi °íä°ðòýé öèëèíäðèéí
ýçýëõ³³íýýð ñîëüæ àâáàë (çóðàã 17.) á³õ (V)
áèåèéí ýçýëõ³³í
|V| ≈
n
i=1
S(xi) · ∆xi
áîëîõ áà, îäîî, λ = max
i
∆xi → 0 ³åä áàðóóí
òàëä áè÷èãäñýí íèéëáýðèéí õÿçãààðûã àâáàë
|V| = lim
λ→0
n
i=1
S(xi) · ∆xi =
b
a
S(x)dx (8)
òîìü¼î ãàðíà.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

51. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³íèéã îëîõ.
Ýëëèïñîèäèéã x = const õàâòãàéãààð îãòëîõîä õ°íäë°í
îãòëîëä ýëëèïñ ³³ñýõ á°ã°°ä ò³³íèé òýãøèòãýë
y2
b2(1 − x2
a2 )
+
z2
c2(1 − x2
a2 )
= 1
áàéíà. Ýíý ýëëèïñèéí õàãàñ òýíõëýã³³ä
a1 = b 1 −
x2
a2
, b1 = c 1 −
x2
a2
áàéíà.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

52. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³íèéã îëîõ.
Ýëëèïñîèäèéã x = const õàâòãàéãààð îãòëîõîä õ°íäë°í
îãòëîëä ýëëèïñ ³³ñýõ á°ã°°ä ò³³íèé òýãøèòãýë
y2
b2(1 − x2
a2 )
+
z2
c2(1 − x2
a2 )
= 1
áàéíà. Ýíý ýëëèïñèéí õàãàñ òýíõëýã³³ä
a1 = b 1 −
x2
a2
, b1 = c 1 −
x2
a2
áàéíà.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

53. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³íèéã îëîõ.
Ýëëèïñîèäèéã x = const õàâòãàéãààð îãòëîõîä õ°íäë°í
îãòëîëä ýëëèïñ ³³ñýõ á°ã°°ä ò³³íèé òýãøèòãýë
y2
b2(1 − x2
a2 )
+
z2
c2(1 − x2
a2 )
= 1
áàéíà. Ýíý ýëëèïñèéí õàãàñ òýíõëýã³³ä
a1 = b 1 −
x2
a2
, b1 = c 1 −
x2
a2
áàéíà.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

54. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³íèéã îëîõ.
Èéìä óã ýëëèïñèéí òàëáàé
S(x) = π · a1b1 = πbc(1 −
x2
a2
), (−a ≤ x ≤ a).
Èéìä, ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³í
V =
+a
−a
πbc(1 −
x2
a2
)dx = πbc(x −
x3
3a2
)|a
−a =
4
3
πabc.
Ýíäýýñ, òóõàéí òîõèîëäîëä, a = b = c áîë a ðàäèóñòàé
á°ìá°ë°ãèéí ýçýëõ³³í V = 4
3 πa3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

55. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³íèéã îëîõ.
Èéìä óã ýëëèïñèéí òàëáàé
S(x) = π · a1b1 = πbc(1 −
x2
a2
), (−a ≤ x ≤ a).
Èéìä, ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³í
V =
+a
−a
πbc(1 −
x2
a2
)dx = πbc(x −
x3
3a2
)|a
−a =
4
3
πabc.
Ýíäýýñ, òóõàéí òîõèîëäîëä, a = b = c áîë a ðàäèóñòàé
á°ìá°ë°ãèéí ýçýëõ³³í V = 4
3 πa3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

56. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³íèéã îëîõ.
Èéìä óã ýëëèïñèéí òàëáàé
S(x) = π · a1b1 = πbc(1 −
x2
a2
), (−a ≤ x ≤ a).
Èéìä, ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³í
V =
+a
−a
πbc(1 −
x2
a2
)dx = πbc(x −
x3
3a2
)|a
−a =
4
3
πabc.
Ýíäýýñ, òóõàéí òîõèîëäîëä, a = b = c áîë a ðàäèóñòàé
á°ìá°ë°ãèéí ýçýëõ³³í V = 4
3 πa3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

57. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2
+
y2
b2
+
z2
c2
= 1 ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³íèéã îëîõ.
Èéìä óã ýëëèïñèéí òàëáàé
S(x) = π · a1b1 = πbc(1 −
x2
a2
), (−a ≤ x ≤ a).
Èéìä, ýëëèïñîèäèéí ýçýëõ³³í
V =
+a
−a
πbc(1 −
x2
a2
)dx = πbc(x −
x3
3a2
)|a
−a =
4
3
πabc.
Ýíäýýñ, òóõàéí òîõèîëäîëä, a = b = c áîë a ðàäèóñòàé
á°ìá°ë°ãèéí ýçýëõ³³í V = 4
3 πa3
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

58. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ³³í
[a, b] õýð÷èì äýýð òàñðàëòã³é, ñ°ð°ã áóñ óòãàòàé
y = f(x) ôóíêöèéí ãðàôèêààð áàéãóóëàãäñàí
ìóðóé øóãàìàí òðàïåöè
{(x, y)| a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)}
OX òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí áèåèéí
ýçýëõ³³íèéã îëîõ áîäëîãî òàâèãäñàí. Ýíý
áîäëîãûí áîäîëò íü °ìí°õ, à) òîõèîëäîëä
áîäñîí áîäëîãûí òóõàéí òîõèîëäîë þì. Ó÷èð
íü, [a, b] x öýãò õàðãàëçàõ õ°íäë°í îãòëîëä
äóãóé ³³ñýõ á°ã°°ä ò³³íèé òàëáàé
S(x) = π · y2 = π[f(x)]2 áàéíà. Èéìä, ýðãýëòèéí
áèåèéí ýçýëõ³³í
VOX = π
b
a
f2
(x)dx (9)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

59. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ³³í
ßã ò°ñòýé áàéäëààð, c ≤ y ≤ ∂ õýð÷èì äýýð
x = g(y) ñ°ð°ã áóñ óòãàòàé, òàñðàëòã³é
ôóíêöèéí ãðàôèêààð áàéãóóëàãäñàí ìóðóé
øóãàìàí òðàïåöè OY òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä
³³ññýí áèåèéí ýçýëõ³³í
VOY = π ·
∂
c
g2
(y)dy (10)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

60. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Ýðãýëòèéí áèåèéí ýçýëõ³³í
Óëìààð, [a, b] õýð÷èì äýýð ñ°ð°ã áóñ óòãàòàé,
òàñðàëòã³é
y = y1(x), y = y2(x), 0 ≤ y1(x) ≤ y2(x)
ôóíêö³³äèéí ãðàôèê áà x = a, x = b
øóëóóíóóäààð õàøèãäñàí ä³ðñ OX òýíõëýãèéã
òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí áèåèéí ýçýëõ³³í
VOX = π
b
a
y2
2 (x) − y2
1 (x) dx (11)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

61. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2 + y2
b2 = 1 ýëëèïñ OX òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí
áèåèéí ýçýëõ³³íèéã îë.
Ýëëèïñ íü êîîðäèíàòûí òýíõëýã³³äýä òýãø õýìòýé
áàéðëàõ ó÷ðààñ êîîðäèíàòûí I ì°÷èä áàéðëàñàí õýñãýýð
õàøèãäñàí ä³ðñ OX òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí
áèåèéí ýçýëõ³³íèéã îëæ, 2-îîð ³ðæ³³ëíý:
VOX = 2 · π
a
0
y2
dx = 2π
a
0
b2
(1 −
x2
a2
)dx
= 2πb2
(x −
x3
3a2
)|a
0 =
4
3
πab2
.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

62. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2 + y2
b2 = 1 ýëëèïñ OX òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí
áèåèéí ýçýëõ³³íèéã îë.
Ýëëèïñ íü êîîðäèíàòûí òýíõëýã³³äýä òýãø õýìòýé
áàéðëàõ ó÷ðààñ êîîðäèíàòûí I ì°÷èä áàéðëàñàí õýñãýýð
õàøèãäñàí ä³ðñ OX òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí
áèåèéí ýçýëõ³³íèéã îëæ, 2-îîð ³ðæ³³ëíý:
VOX = 2 · π
a
0
y2
dx = 2π
a
0
b2
(1 −
x2
a2
)dx
= 2πb2
(x −
x3
3a2
)|a
0 =
4
3
πab2
.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

63. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2 + y2
b2 = 1 ýëëèïñ OX òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí
áèåèéí ýçýëõ³³íèéã îë.
Ýëëèïñ íü êîîðäèíàòûí òýíõëýã³³äýä òýãø õýìòýé
áàéðëàõ ó÷ðààñ êîîðäèíàòûí I ì°÷èä áàéðëàñàí õýñãýýð
õàøèãäñàí ä³ðñ OX òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí
áèåèéí ýçýëõ³³íèéã îëæ, 2-îîð ³ðæ³³ëíý:
VOX = 2 · π
a
0
y2
dx = 2π
a
0
b2
(1 −
x2
a2
)dx
= 2πb2
(x −
x3
3a2
)|a
0 =
4
3
πab2
.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

64. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
x2
a2 + y2
b2 = 1 ýëëèïñ OX òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí
áèåèéí ýçýëõ³³íèéã îë.
Ýëëèïñ íü êîîðäèíàòûí òýíõëýã³³äýä òýãø õýìòýé
áàéðëàõ ó÷ðààñ êîîðäèíàòûí I ì°÷èä áàéðëàñàí õýñãýýð
õàøèãäñàí ä³ðñ OX òýíõëýãèéã òîéðîí ýðãýõýä ³³ññýí
áèåèéí ýçýëõ³³íèéã îëæ, 2-îîð ³ðæ³³ëíý:
VOX = 2 · π
a
0
y2
dx = 2π
a
0
b2
(1 −
x2
a2
)dx
= 2πb2
(x −
x3
3a2
)|a
0 =
4
3
πab2
.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

65. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Àãóóëãà
1 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
2 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ
àðãóóä
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
3 Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

66. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
[a, b] õýð÷èì äýýð òàñðàëòã³é, ñ°ð°ã áóñ óòãàòàé y = f(x)
ôóíêöèéí ãðàôèêààð áàéãóóëàãäñàí ìóðóé øóãàìàí òðàïåöè
{(x, y)| a ≤ x ≤ b, 0 ≤ y ≤ f(x)} OX òýíõëýãèéã òîéðîí
ýðãýõýä ³³ññýí ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé:
POX = 2π
b
a
y · 1 + y 2
x dx = 2π
b
a
f(x) 1 + [f (x)]2dx (12)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

67. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
ðàäèóñòàé á°ìá°ðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.
Ýíý òîõèîëäîëä
f(x) =
√
r2 − x2, (−r ≤ x ≤ r),
f (x) = − x√
r2−x2
áàéõ ó÷ðààñ (12) òîìü¼î ¼ñîîð
P = 2π
r
−r
r2 − x2 · 1 +
x2
r2 − x2
dx = 2π
r
−r
rdx = 4πr2
.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

68. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
Æèøýý
ðàäèóñòàé á°ìá°ðöãèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàéã îë.
Ýíý òîõèîëäîëä
f(x) =
√
r2 − x2, (−r ≤ x ≤ r),
f (x) = − x√
r2−x2
áàéõ ó÷ðààñ (12) òîìü¼î ¼ñîîð
P = 2π
r
−r
r2 − x2 · 1 +
x2
r2 − x2
dx = 2π
r
−r
rdx = 4πr2
.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

69. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã òîäîðõîé áèø èíòåãðàë
àøèãëàæ îëîõ àðãà÷ëàë ïðàêòèêò õýðãýæèõ íü åð°íõèéä°°
õîâîð ³çýãäýë þì. ßàãààä ãýâýë, çàðèì õÿëáàð ýëåìåíòàð
ôóíêö³³äèéí òîäîðõîé áèø èíòåãðàë ýëåìåíòàð
ôóíêö³³äýýð èëýðõèéëýãäýæ ÷àäàõã³é, ýñâýë èõýýõýí í³ñýð
èëýðõèéëýë áàéõ ÿâäàë îëîíòàà òîõèîëääîã. Ýäãýýð
òîõèîëäëóóäàä èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ
ãàðãàõ àðãóóä °ðã°í õýðýãëýãääýã.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

70. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Àãóóëãà
1 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
2 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ
àðãóóä
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
3 Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

71. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Õýðýâ [a, b] õýð÷èì äýýð y = f(x) òàñðàëòã³é, ñ°ð°ã áóñ
óòãàòàé ôóíêö °ã°ãäñ°í á°ã°°ä
b
a
f(x)dx èíòåãðàë áîäîõ
àñóóäàë òàâèãäñàí ãýå. Ýíý áîäëîãûã áîäîõûí òóëä, [a, b]
õýð÷ìèéã n øèðõýã òýíö³³ õýñýãò
a = x0 < x1 < x2 < ... < xi < ... < xn = b
öýã³³äýýð õóâààæ, x = xi øóëóóíóóäûã òàòâàë y = f(x)
ôóíêöèéí ãðàôèêààð áàéãóóëàãäñàí ìóðóé øóãàìàí òðàïåöè
íü n øèðõýã æèæèã õýñýãò õóâààãäàíà.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

72. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Áàéãóóëaìæ ¼ñîîð
h =
b − a
n
, xi = a + ih, (i = 0, 1, 2, ..., n),
áà yi = f(xi) àâ÷ [xi−1, xi] õýð÷èìä õàðãàëçàõ ìóðóé øóãàìàí
òðàïåöèéí òàëáàéã, îéðîëöîîãîîð [xi−1, xi] õýð÷èì äýýð
ñóóðüòàé, yi = f(xi) °íä°ðòýé òýãø °íö°ãòèéí òàëáàéãààð
ñîëèâîë (çóðàã 19.)
b
a
f(x)dx ≈ h · (y0 + y1 + ... + yn−1) =
n−1
i=0
f(xi)∆xi, (5.1)
áîëîõ áà ýíý îéðîëöîî òýíöýòãýë íü òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
ãýæ íýðëýãääýã.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

73. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
-
6
r
r
y = f(x)
f(xi)
y
0 xa bxi−1 xi
Çóðàã 19.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

74. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Àãóóëãà
1 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
ijðñèéí òàëáàéã áîäîæ îëîõ
Ìóðóéí íóìûí óðòûã îëîõ
Áèåèéí ýçýëõ³³íèéã áîäîæ îëîõ
Ýðãýëòèéí áèåèéí ãàäàðãóóãèéí òàëáàé
2 Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ
àðãóóä
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
3 Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

75. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
[a, b] õýð÷ìèéí °ìí°õ äóãààðò õèéãäñýí õóâààëòûã àâ÷,
õóâààëòûí [xi−1, xi] õýð÷èìä õàðãàëçàõ y = f(x) ôóíêöèéí
ãðàôèêààð áàéãóóëàãäñàí ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí õýñãèéã
∆xi = xi − xi−1 °íä°ðòýé, yi−1 = f(xi−1), yi = f(xi) ñóóðüòàé,
Mi−1Mi õýð÷èì õàæóó òàë íü áàéõ øóëóóí øóãàìàí
òðàïåöààð, îéðîëöîîãîîð ñîëèâîë (çóðàã 20.)
-
6
r
r
r
0
y
xa bxi−1 xi
f(xi−1)
f(xi)
Mi−1
Mi
y = f(x)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

76. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
b
a
f(x)dx ≈
f(x0) + f(x1)
2
· (x1 − x0) +
f(x1) + f(x2)
2
· (x2 − x1)
+...+
f(xi−1) + f(xi)
2
·(xi−xi−1)+...+
f(xn−1) + f(xn)
2
·(xn−xn−1) =
=
b − a
2n
f(a) + f(b) + 2
n−1
i=1
f(xi) , (5.2)
òðàïåöèéí òîìü¼î ãàðíà. Ýíý òîìü¼îíû íàðèéâ÷ëàë íü n
òîîã èõýñãýõýä óëàì ñàéæèðíà.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

77. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
- Øóóä áîäâîë
1
0
x2
dx =
x3
3
1
|
0
=
1
3
= 0, 3333...
- Îéðîëöîîãîîð áîäú¼: n = 5 àâ÷ òðàïåöèéí òîìü¼îã ýíý
èíòåãðàëä õýðýãëýå. Òýõýä a = x0 = 0; x1 = 0, 2; x2 =
0, 4; x3 = 0, 6; x4 = 0, 8; x5 = 1 = b áà õàðãàëçàí
f(x0) = 0; f(x1) = 0, 04; f(x2) = 0, 16; f(x3) = 0, 36; f(x4) =
0, 64; f(x5) = 1.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

78. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
- Øóóä áîäâîë
1
0
x2
dx =
x3
3
1
|
0
=
1
3
= 0, 3333...
- Îéðîëöîîãîîð áîäú¼: n = 5 àâ÷ òðàïåöèéí òîìü¼îã ýíý
èíòåãðàëä õýðýãëýå. Òýõýä a = x0 = 0; x1 = 0, 2; x2 =
0, 4; x3 = 0, 6; x4 = 0, 8; x5 = 1 = b áà õàðãàëçàí
f(x0) = 0; f(x1) = 0, 04; f(x2) = 0, 16; f(x3) = 0, 36; f(x4) =
0, 64; f(x5) = 1.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

79. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
- Øóóä áîäâîë
1
0
x2
dx =
x3
3
1
|
0
=
1
3
= 0, 3333...
- Îéðîëöîîãîîð áîäú¼: n = 5 àâ÷ òðàïåöèéí òîìü¼îã ýíý
èíòåãðàëä õýðýãëýå. Òýõýä a = x0 = 0; x1 = 0, 2; x2 =
0, 4; x3 = 0, 6; x4 = 0, 8; x5 = 1 = b áà õàðãàëçàí
f(x0) = 0; f(x1) = 0, 04; f(x2) = 0, 16; f(x3) = 0, 36; f(x4) =
0, 64; f(x5) = 1.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

80. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
- Øóóä áîäâîë
1
0
x2
dx =
x3
3
1
|
0
=
1
3
= 0, 3333...
- Îéðîëöîîãîîð áîäú¼: n = 5 àâ÷ òðàïåöèéí òîìü¼îã ýíý
èíòåãðàëä õýðýãëýå. Òýõýä a = x0 = 0; x1 = 0, 2; x2 =
0, 4; x3 = 0, 6; x4 = 0, 8; x5 = 1 = b áà õàðãàëçàí
f(x0) = 0; f(x1) = 0, 04; f(x2) = 0, 16; f(x3) = 0, 36; f(x4) =
0, 64; f(x5) = 1.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

81. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
òðàïåöèéí òîìü¼î ¼ñîîð,
1
0
x2
dx ≈
1
10
{1+2[0, 04+0, 16+0, 36+0, 64]} =
3, 4
10
= 0, 34.
- n = 10 ãýæ àâáàë
1
0
x2
dx ≈
1
20
{1 + 2 · 2, 85} =
6, 7
20
= 0, 335.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

82. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
òðàïåöèéí òîìü¼î ¼ñîîð,
1
0
x2
dx ≈
1
10
{1+2[0, 04+0, 16+0, 36+0, 64]} =
3, 4
10
= 0, 34.
- n = 10 ãýæ àâáàë
1
0
x2
dx ≈
1
20
{1 + 2 · 2, 85} =
6, 7
20
= 0, 335.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

83. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
òðàïåöèéí òîìü¼î ¼ñîîð,
1
0
x2
dx ≈
1
10
{1+2[0, 04+0, 16+0, 36+0, 64]} =
3, 4
10
= 0, 34.
- n = 10 ãýæ àâáàë
1
0
x2
dx ≈
1
20
{1 + 2 · 2, 85} =
6, 7
20
= 0, 335.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

84. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
òðàïåöèéí òîìü¼î ¼ñîîð,
1
0
x2
dx ≈
1
10
{1+2[0, 04+0, 16+0, 36+0, 64]} =
3, 4
10
= 0, 34.
- n = 10 ãýæ àâáàë
1
0
x2
dx ≈
1
20
{1 + 2 · 2, 85} =
6, 7
20
= 0, 335.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

85. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
òðàïåöèéí òîìü¼î ¼ñîîð,
1
0
x2
dx ≈
1
10
{1+2[0, 04+0, 16+0, 36+0, 64]} =
3, 4
10
= 0, 34.
- n = 10 ãýæ àâáàë
1
0
x2
dx ≈
1
20
{1 + 2 · 2, 85} =
6, 7
20
= 0, 335.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

86. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Æèøýý
1
0
x2dx èíòåãðàëûã îéðîëöîî.
òðàïåöèéí òîìü¼î ¼ñîîð,
1
0
x2
dx ≈
1
10
{1+2[0, 04+0, 16+0, 36+0, 64]} =
3, 4
10
= 0, 34.
- n = 10 ãýæ àâáàë
1
0
x2
dx ≈
1
20
{1 + 2 · 2, 85} =
6, 7
20
= 0, 335.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

87. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Õýäèéãýýð, n òîîíû óòãûã èõýñãýõýä àëäààíû íàðèéâ÷ëàë
ñàéæðàõ áîëîâ÷ òîîöîîîëëûí àæëûí õýìæýý áàñ èõýýõýí
íýìýãäýíý ãýäãèéã ñàíóóëàõ íü ç³éòýé ãýæ ³çýæ
áàéíà.Ãýõäýý, °í°°ãèéí ýðèí ³åä ýíý á³õ àæèëëàãààã ÒÁÝÌ
äýýð èõýâ÷ëýí ã³éöýòãýäýã áîëñîí þì.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

88. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Òýãø °íö°ãòèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Òðàïåöèéí òîìü¼î
Õýäèéãýýð, n òîîíû óòãûã èõýñãýõýä àëäààíû íàðèéâ÷ëàë
ñàéæðàõ áîëîâ÷ òîîöîîîëëûí àæëûí õýìæýý áàñ èõýýõýí
íýìýãäýíý ãýäãèéã ñàíóóëàõ íü ç³éòýé ãýæ ³çýæ
áàéíà.Ãýõäýý, °í°°ãèéí ýðèí ³åä ýíý á³õ àæèëëàãààã ÒÁÝÌ
äýýð èõýâ÷ëýí ã³éöýòãýäýã áîëñîí þì.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

89. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Þóíû °ìí° òýìäýãëýõýä, õàâòãàéí °ã°ãäñ°í
M1(x1, y1), M2(x2, y2), M3(x3, y3) ÿíç á³ðèéí àáñöèññòàé
ãóðâàí öýãèéã äàéðóóëàí y = Ax2 + Bx + C õýëáýðèéí
òýãøèòãýëòýé öîð ãàíö ïàðàáîëûã áàéãóóëæ áîëíî. Óëìààð,
M1(−h, y1), M2(0, y2), M3(h, y3) öýã³³äèéã äàéðñàí
y = Ax2 + Bx + C ïàðàáîëîîð áàéãóóëàãäñàí ìóðóé øóãàìàí
òðàïåöèéí (çóðàã 21.) òàëáàé
S =
h
3
(y1 + 4y2 + y3), (5.3)
òîìü¼îãîîð èëýðõèéëýãäýíý.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

90. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
-
6
r
r
r
0
y
x
M1
M3
M2
−h h
Çóðàã 21.
Ýíä
y1 = Ah2
− Bh + C; y2 = C; y3 = Ah2
+ Bh + C
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

91. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Îäîî [a, b] õýð÷èì äýýð °ã°ãäñ°í y = f(x) òàñðàëòã³é, ñ°ð°ã
áóñ óòãàòàé ôóíêöèéí ãðàôèêààð áàéãóóëàãäñàí ìóðóé
øóãàìàí òðàïåöèéã àâ÷ ³çüå. [a, b] õýð÷ìèéã 2n øèðõýã
òýíö³³ õýñýãò
a = x0 < x1 < x2 < ... < x2k < x2k+1 < x2k+2 < ... < x2n−1 < x2n = b
öýã³³äýýð õóâààæ, x = xk øóëóóíóóäûã òàòàæ y = f(x)
ôóíêöèéí ãðàôèêèéã 2n øèðõýã
M0, M1, M2, ..., M2k , M2k+1, M2k+2, ..., M2n−2, M2n−1, M2n
öýã³³äýýð æèæèã íóìóóäàä õóâààÿ. Óëìààð, äýñ äàðààëñàí
ãóðâàí öýã
M0M1M2, M2M3M4, ..., M2k M2k+1M2k+2, ..., M2n−2M2n−1M2n
á³ðèéã y = ax2 + Bx + C õýëáýðîèéí ïàðàáîëîîð õîëáî¼.
(çóðàã 22.)
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

92. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
“³íèé ³ð ä³íä [x2k , x2k+2] õýð÷èì äýýð ñóóðèëñàí á°ã°°ä
äýýðýýñýý ïàðàáîëîîð õàøèãäñàí n øèðõýã ìóðóé øóãàìàí
òðàïåöè áàéãóóëàãäàíà.
-
6
s
s
s
s
s
s
s
s
s
0
y
x
s sssss
M0
M1
M2
M2k
M2k+1
M2k+2
x0 = a x1 x2 x2k
x2k+1
x2k+2
Çóðàã 22.
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2

93. Òîäîðõîé èíòåãðàëûí õýðýãëýý
Òîäîðõîé èíòåãðàëûí óòãûã îéðîëöîîãîîð áîäîæ ãàðãàõ àðãóóä
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Ïàðàáîëûí òîìü¼î áóþó Ñèìïñîíû òîìü¼î
Èíãýæ áàéãóóëàãäñàí ïàðàáîëîí ìóðóé øóãàìàí òðàïåöèéí
òàëáàé íü, îéðîëöîîãîîð, [x2k , x2k+2] õýð÷èìä õàðãàëçàõ
y = f(x) ôóíêöèéí ãðàôèêààð áàéãóóëàãäñàí ìóðóé øóãàìàí
òðàïåöèéí òàëáàéã èëýðõèéëæ ÷àäàõ ó÷ðààñ (5.3) òîìü¼îãîîð
x2k+2
x2k
f(x)dx ≈
b − a
6n
(y2k + 4y2k+1 + y2k+2), (5.4)
áîëíî. Èéì õýëáýðèéí á³õ òýíöýòãýë³³äèéã ãèø³³í÷ëýí
íýìñýíèé ³ð ä³íä
b
a
f(x)dx ≈
b − a
6n
n−1
k=0
(y2k + 4y2k+1 + y2k+2) =
=
b − a
6n
[y0 +y2n +2(y2 +y4 +...+y2n−2)+4(y1 +y3 +...+y2n−1)],
ÌÀÒÅÌÀÒÈÊ-2