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1. 線形代数の基礎
今回は、線形代数の復習として、
⾏行列の演算及び固有値・固有ベクトル
について説明する。
また、⾏行列の計算について
Rでの計算⽅方法について⽰示す。

2. [テーマ] 講義の構成
⾏行列の四則演算
⾏行列とは
固有値・固有ベクトル
Rでの計算例

3. ⾏行列とは
x3
x1
x2
y1
y2
y3
x
y
O O
y=Ax
BA=I

4. ⾏行列とは
(x1, x2)
点 を点
へと移すことを考える。
(y1, y2)
!
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2

5. ⾏行列とは
(x1, x2)
点 を点
へと移すことを考える。
(y1, y2)
!
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2

6. ⾏行列とは
(x1, x2)
点 を点
へと移すことを考える。
(y1, y2)
これを次のように書く。
!
y1
y2
"
=
!
a11 a12
a21 a22
" !
x1
x2
"
!
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
y = Ax

7. ⾏行列とは
(x1, x2)
点 を点
へと移すことを考える。
(y1, y2)
これを次のように書く。
!
y1
y2
"
=
!
a11 a12
a21 a22
" !
x1
x2
"
!
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
y = Ax

8. ⾏行列とは
(x1, x2)
点 を点
へと移すことを考える。
(y1, y2)
これを次のように書く。
!
y1
y2
"
=
!
a11 a12
a21 a22
" !
x1
x2
"
!
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
y = Ax
⾏行列

9. ⾏行列とは
(x1, x2)
点 を点
へと移すことを考える。
(y1, y2)
これを次のように書く。
!
y1
y2
"
=
!
a11 a12
a21 a22
" !
x1
x2
"
!
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
y = Ax
ベクトル

10. ⾏行列とは
これを
と表す。









y1 = a11x1 + a11x2 + · · · + a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn
.
.
.
ym = am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn
y = Ax y = Ax





y1
y2
.
.
.
ym





=





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
am1 am2 · · · amn












x1
x2
.
.
.
xn








11. y = Ax y = Ax
⾏行列とは
これを
と表す。





y1
y2
.
.
.
ym





=





a11 a12 · · · a1n
a21 a22 · · · a2n
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
am1 am2 · · · amn












x1
x2
.
.
.
xn







← n →
↑
m
↓
↑
n
↓
↑
m
↓









y1 = a11x1 + a11x2 + · · · + a1nxn
y2 = a21x1 + a22x2 + · · · + a2nxn
.
.
.
ym = am1x1 + am2x2 + · · · + amnxn

12. ⾏行列とは
(x1, x2)
点 を点
へと移すことを考える。
(y1, y2)
これを次のように書く。
どんな移り⽅方をするかは、
A によって決まる。
!
y1
y2
"
=
!
a11 a12
a21 a22
" !
x1
x2
"
!
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
O O
x1
x2
y1
y2
y=Ax
x
y = Ax
写像

13. ⾏行列とは
(x1, x2)
点 を点
へと移すことを考える。
(y1, y2)
これを次のように書く。
どんな移り⽅方をするかは、
A によって決まる。
 Aの特徴について調べる。
!
y1
y2
"
=
!
a11 a12
a21 a22
" !
x1
x2
"
!
y1 = a11x1 + a12x2
y2 = a21x1 + a22x2
O O
x1
x2
y1
y2
y=Ax
x
y = Ax

14. ⾏行列の四則演算
x3
x1
x2
y1
y2
y3
x
y
O O
y=Ax
BA=I

15. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 1）
y1 = 0
y2 = 0
O O
x1
x2
y1
y2
x

16. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 1）
y1 = 0 · x1 + 0 · x2
y2 = 0 · x1 + 0 · x2
y1 = 0
y2 = 0
O O
x1
x2
y1
y2
x

17. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 1）
y1 = 0 · x1 + 0 · x2
y2 = 0 · x1 + 0 · x2
y1 = 0
y2 = 0
O =
!
0 0
0 0
"
これより
O O
x1
x2
y1
y2
x

18. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 1）
y1 = 0 · x1 + 0 · x2
y2 = 0 · x1 + 0 · x2
y1 = 0
y2 = 0
O =
!
0 0
0 0
"
これより
⼀一般に ⾏行列のとき、
n × n
O =





0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · 0





これを零⾏行列という

19. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 1）
y1 = 0 · x1 + 0 · x2
y2 = 0 · x1 + 0 · x2
y1 = 0
y2 = 0
O =
!
0 0
0 0
"
これより
⼀一般に ⾏行列のとき、
n × n
O =





0 0 · · · 0
0 0 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · 0





全部の点が原点に移る
⇔ 数字の 0 に相当
これを零⾏行列という

20. ⾏行列と和と差
⾏行列の和
!
a11 a12
a21 a22
"
−
!
b11 b12
b21 b22
"
=
!
0 0
0 0
"
!
a11 a12
a21 a22
"
+
!
b11 b12
b21 b22
"
=
!
a11 + b11 a12 + b12
a21 + b21 a22 + b22
"
!
a11 a12
a21 a22
"
=
!
b11 b12
b21 b22
"
⾏行列の相等
⇔ すべての成分が等しい

21. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 2）
y1 = x1
y2 = x2
O O
x1
x2
y1
y2
y=x
x

22. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 2）
y1 = x1
y2 = x2
y1 = 1 · x1 + 0 · x2
y2 = 0 · x1 + 1 · x2
O O
x1
x2
y1
y2
y=x
x

23. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 2）
これより
y1 = x1
y2 = x2
y1 = 1 · x1 + 0 · x2
y2 = 0 · x1 + 1 · x2
I =
!
1 0
0 1
"
O O
x1
x2
y1
y2
y=x
x

24. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 2）
これより
⼀一般に ⾏行列のとき、
n × n
これを単位⾏行列という
y1 = x1
y2 = x2
y1 = 1 · x1 + 0 · x2
y2 = 0 · x1 + 1 · x2
I =
!
1 0
0 1
"
I =





1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · 1






25. 零⾏行列と単位⾏行列
（例 2）
これより
⼀一般に ⾏行列のとき、
n × n
これを単位⾏行列という
y1 = x1
y2 = x2
y1 = 1 · x1 + 0 · x2
y2 = 0 · x1 + 1 · x2
I =
!
1 0
0 1
"
もともとの点と同じ点に移動
⇔ 数字の 1 に相当
I =





1 0 · · · 0
0 1 · · · 0
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
0 0 · · · 1






26. O O
x
x2
1 y1
y2
⾏行列の例
（例 3）
y1 = 3x1
y2 = x2
・全体から全体へ
・異なる点同⼠士は必ず別の点へ
 移った点を
元の点に戻すことができる
A =
!
3 0
0 1
"

27. O O
x
x2
1 y1
y2
⾏行列の例
（例 4）
y1 = x1 + x2
y2 = 2x1 + 2x2
・全体から直線へ
・異なる点が同じ点へ
A =
!
1 1
2 2
"

28. O O
x
x2
1 y1
y2
⾏行列の例
（例 4）
y1 = x1 + x2
y2 = 2x1 + 2x2
・全体から直線へ
・異なる点が同じ点へ
 移った点を元に戻すこと
ができない
全ての点が
直線 上へ
y2 = 2y1
ある直線 上の点は
すべて同じ点へ
x1 + x2 = k

29. O O
x
x2
1 y1
y2
⾏行列の例
（例 5）
y1 = 2x1 + x2
y2 = x1 + 2x2
・全体から全体へ
・異なる点同⼠士は必ず別の点へ
 元に戻すことができる
A =
!
2 1
1 2
"

30. O O
x
x2
1 y1
y2
⾏行列の例
（例 5）
y1 = 2x1 + x2
y2 = x1 + 2x2
x1 =
2
3
y1 −
1
3
y2
x2 = −
1
3
y1 +
2
3
y2
 元に戻すことができる
A =
!
2 1
1 2
"

31. ⾏行列の例
（例 5）
2
3
y1 −
1
3
y2 =
2
3
(2x1 + x2) −
1
3
(x1 + 2x2)
=
!
4
3
−
1
3
"
x1 +
!
2
3
−
2
3
"
x2 = x1
−
1
3
y1 +
2
3
y2 = −
1
3
(2x1 + x2) +
2
3
(x1 + 2x2)
=
!
−
2
3
+
2
3
"
x1 +
!
−
1
3
+
4
3
"
x2 = x2

32. 


a11 · · · · · · a1m
.
.
.
...
...
.
.
.
al1 · · · · · · alm









b11 · · · b1n
.
.
.
...
.
.
.
.
.
.
...
.
.
.
bm1 · · · bmn






=



c11 · · · c1n
.
.
.
...
.
.
.
cl1 · · · cln



⾏行列の積
cij = ai1b1j + ai2b2j + · · · + aimbmj
=
m
!
k=1
aikbkj
⾏行列の積
各成分は m 回の積を⾜足す
・⾏行列のサイズに注意する。
・同じサイズでも
AB と BA が
等しいとは限らない。

33. 逆⾏行列
BA−1
!= A−1
B
AA−1
= I
b ÷ a =
b
a
a != 0 のとき
逆数
b ×
1
a
=
b
a
B ÷ A の代わりに
割り算について
は、次のように計算できる
となるような、 を⽤用いて
を計算する。
ただし、⼀一般に
BA−1
逆⾏行列
A−1
A = AA−1
= I
ここで、
A−1

34. ⾏行列の積と逆⾏行列
O O
O
x
x
x
1
x y z
1 1
y
y
y
2 2 2
3 3 3
z
z
z
y=Ax z=By=BAx
BA=I
どんな ⾏行列に対しても逆⾏行列が存在するとは限らない。

35. 固有値・固有ベクトル
x3
x1
x2
y1
y2
y3
x
y
O O
y=Ax
BA=I

36. O
x
x2
1
O
y1
y2
固有値・固有ベクトル
Ax = λx
⾏行列 A に対して
を満たす を固有値，x を固有ベクトル という
λ

37. O O
x
x2
1 y1
y2
O
x
x2
1
O
y1
y2
固有値・固有ベクトル
Ax = λx
⾏行列 A に対して
を満たす を固有値，x を固有ベクトル という
λ

38. O O
1
2
2
1
2
1
x
x
2
x
1
x
1
y
x
x y
y=Ax
λ
λ1
2
固有値・固有ベクトル
・固有ベクトル上の点は
変換後も⽅方向が変わらない。
⾏行列で、最⼤大で n 個の
固有値・固有ベクトルがある
n × n
!
Ax1 = λ1x1
Ax2 = λ2x2

39. O O
1
2
2
1
2
1
x
x
2
x
1
x
1
y
x
x y
y=Ax
λ
λ1
2
固有値・固有ベクトル
・固有ベクトル上の点は
変換後も⽅方向が変わらない。
・固有値が正なら同じ向き，
負であれば逆向きに変わる。
⾏行列で、最⼤大で n 個の
固有値・固有ベクトルがある
n × n
!
Ax1 = λ1x1
Ax2 = λ2x2

40. O O
1
2
2
1
2
1
x
x
2
x
1
x
1
y
x
x y
y=Ax
λ
λ1
2
固有値・固有ベクトル
・固有ベクトル上の点は
変換後も⽅方向が変わらない。
・ 値が 0 となる固有値があると
逆⾏行列を持たない。
・固有値が正なら同じ向き，
負であれば逆向きに変わる。
⾏行列で、最⼤大で n 個の
固有値・固有ベクトルがある
n × n
!
Ax1 = λ1x1
Ax2 = λ2x2

41. 対⾓角化
!
Ax1 = λ1x1
Ax2 = λ2x2
２つの固有値の値が異なるとすると
P は逆⾏行列を持つ
２つの固有ベクトルを
とする。
P =
!
x1 x2
"
=
#
x1 x3
x2 x4
$
x1 =
!
x1
x2
"
, x2 =
!
x3
x4
"
AP =
!
λ1x1 λ2x3
λ1x2 λ2x4
"
=
!
x1 x3
x2 x4
" !
λ1 0
0 λ2
"
= P
!
λ1 0
0 λ2
"

42. 対⾓角化









Ax1 = λ1x1
Ax2 = λ2x2
.
.
.
Axn = λnxn
, P = (x1, x2, · · · , xn)
⼀一般に
のとき
P−1
AP =





λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
.
.
.
.
.
.
... 0
0 0 · · · λn





対⾓角化

43. Rでの計算例
x3
x1
x2
y1
y2
y3
x
y
O O
y=Ax
BA=I

45. ⾏行列の計算(1)
> C <-­ solve( A )
> A %*% C
> A <-­ matrix( c( 1, 2, 3, 4), ncol= 2, nrow=2, byrow=T )
> B <-­ matrix( c( 1, 2, 3, 4), ncol= 2, nrow=2 )
> A %*% B
> B %*% A
R

46. ⾏行列の計算(1)
> C <-­ solve( A )
> A %*% C
> A <-­ matrix( c( 1, 2, 3, 4), ncol= 2, nrow=2, byrow=T )
> B <-­ matrix( c( 1, 2, 3, 4), ncol= 2, nrow=2 )
> A %*% B
> B %*% A
R

47. ⾏行列の計算(2)
> P1 <-­ solve(P)
> Q <-­ P1 %*% A %*% P
> D <-­ eigen(A)
> y1 <-­ D$vector[,1]
> y2 <-­ D$vector[,2]
> P <-­ cbind( y1, y2)
R

48. ⾏行列の計算(2)
> P1 <-­ solve(P)
> Q <-­ P1 %*% A %*% P
> D <-­ eigen(A)
> y1 <-­ D$vector[,1]
> y2 <-­ D$vector[,2]
> P <-­ cbind( y1, y2)
R

49. まとめ
x3
x1
x2
y1
y2
y3
x
y
O O
y=Ax
BA=I

50. まとめ
⾏行列の和と差
（成分ごとの和と差）
固有値・
固有ベクトル
⾏行列の積と逆⾏行列
（サイズ）
対⾓角化