「線形代数ならったけど,線形写像と行列の関係が分からないよ！」 という人にオススメのスライドです

1. 線形写像と行列
Hanpen Robot

2. 「線形代数ならったけど,
線形写像と行列の関係が分からないよ！」
という人にｵｽｽﾒのスライドです

3. 今日のテーマ
• 線形写像が行列で表現できること理解しよう！
• 抽象的なn次元空間ではなく，2次元空間を使って,分
かりやすく説明します！
• スライドに間違い等あったら，コメントで教えても
らえると幸いです.

4. 記号の定義
• 𝕧1, 𝕧2 を2次元ベクトル空間𝑉の基底とします.
• 写像 𝜋: ℝ2 → 𝑉を
• 𝜋
𝑥1
𝑥2
= 𝕧1 𝕧2
𝑥1
𝑥2
= 𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2 と定義します.
• 写像 𝜋 は同型写像です. ゆえに，ℝ2
≅ 𝑉 (同一視できるって事)
• 写像 𝜋 が同型写像である事の証明は付録に回します.

5. 線形写像の性質 ←超大事！
• 𝑓: 𝑉 → 𝑉 を線形写像とします.すると，
• 𝑉 ∋ 𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2 ↦ 𝑓(𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2) = 𝑥1 𝑓(𝕧1) + 𝑥2 𝑓(𝕧2)
• 𝑥1 𝑓 𝕧1 + 𝑥2 𝑓 𝕧2 = 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2
𝑥1
𝑥2
• これが線形性です!

6. 線形写像の行列表現
• 𝑓: 𝑉 → 𝑉を線形写像とします.すると，線形性から，以下が成立します.
• 𝑉 ∋ 𝕧 = 𝕧1 𝕧2
𝑥1
𝑥2
↦ 𝑓 𝕧 = 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2
𝑥1
𝑥2
∈ V
• 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2
𝑥1
𝑥2
(1)式
• さて，𝑓 𝕧1 , 𝑓 𝕧2 を𝕧1, 𝕧2の線形結合で表現してみよう！
•
𝑓 𝕧1 = 𝐴𝕧1 + 𝐵𝕧2
𝑓 𝕧2 = 𝐶𝕧1 + 𝐷𝕧2
⇔
𝑓 𝕧1
𝑓 𝕧2
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝕧1
𝕧2

7. 線形写像の行列表現
•
𝑓 𝕧1
𝑓 𝕧2
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝕧1
𝕧2
を転置してみよう！
•
𝑓 𝕧1
𝑓 𝕧2
𝑇
=
𝐴 𝐵
𝐶 𝐷
𝕧1
𝕧2
𝑇
• 𝑓(𝕧1) 𝑓 𝕧2 = 𝕧1 𝕧2
𝐴 𝐶
𝐵 𝐷
(2)式
• ※積の転置に注意！ 𝔸𝔹 𝑇 = 𝔹 𝑇 𝔸 𝑇
• なお， 𝔸, 𝔹は行列です

8. 線形写像の行列表現
• (2)式を(1)式に代入する！
• 𝑓 𝕧1 𝑓 𝕧2
𝑥1
𝑥2
= 𝕧1 𝕧2
𝐴 𝐶
𝐵 𝐷
𝑥1
𝑥2
• ∴ 𝑓 𝕧 = 𝕧1 𝕧2
𝐴 𝐶
𝐵 𝐷
𝑥1
𝑥2
(3)式
• つまり，
• 𝑉 ∋ 𝕧 = 𝕧1 𝕧2
𝑥1
𝑥2
↦ 𝑓 𝕧 = 𝕧1 𝕧2
𝐴 𝐶
𝐵 𝐷
𝑥1
𝑥2
∈ 𝑉 (4)式

9. 線形写像の行列表現
• そういえば，写像𝜋のおかげで，𝑉 ∋ 𝕧1 𝕧2
𝑥1
𝑥2
↔
𝑥1
𝑥2
∈ ℝ2
• という風に同一視できますね. ということは，(4)式は
• ℝ2 ∋
𝑥1
𝑥2
↦
𝐴 𝐶
𝐵 𝐷
𝑥1
𝑥2
∈ ℝ2
• と書き換えることができる. 𝕩 =
𝑥1
𝑥2
, 𝔽 =
𝐴 𝐶
𝐵 𝐷
とおくと・・・
• 𝑉 ∋ 𝕧 ↦ 𝑓 𝕧 ∈ 𝑉 ⇔ ℝ2 ∋ 𝕩 ↦ 𝔽𝕩 ∈ ℝ2
• 線形写像𝑓に行列𝔽が対応している.
• ∴線形写像は基底が 𝕧1, 𝕧2 の時に，行列𝔽 =
𝐴 𝐶
𝐵 𝐷
で表現できる.

10. 写像𝜋が同型写像である事の証明
• 少し難しい話なので，飽きちゃった人は無視してね
• 𝜋
𝑥1
𝑥2
= 𝕧1 𝕧2
𝑥1
𝑥2
は明らかに，ℝ2から𝑉への全射準同型写像である.
• よって，写像𝜋が単射である事を示せばよい.すなわち，
• ker 𝜋 =
𝑥1
𝑥2
∈ ℝ2 𝜋
𝑥1
𝑥2
= 0} =
0
0
(5)式
• が成り立てば良い. 結論から言えば，(5)式は成り立つ.

11. 写像𝜋が同型写像である事の証明
• なぜならば，𝕧1, 𝕧2は基底であるから，
• 𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2 = 0 ⇒ 𝑥1 = 0 かつ 𝑥2 = 0
• が成立する.ゆえに，
• 𝜋
𝑥1
𝑥2
= 𝕧1 𝕧2
𝑥1
𝑥2
= 𝑥1 𝕧1 + 𝑥2 𝕧2 = 0 ⇒
𝑥1
𝑥2
=
0
0
• よって，写像𝜋が同型写像
• 証明終了！

12. END