xenidis_dhmitris

1. Ονοματεπώνυμο:
Βαθμός:
ΘΕΜΑ Α
Α1. Πότε δύο συναρτήσεις f και g λέγονται ίσες; (Μονάδες 6)
Α2. α. Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α θα λέμε ότι παρουσιάζει στο x0 ∈ A (ολικό) μέγιστο;
(Μονάδες 3)
β. Πότε μια συνάρτηση f : A → R λέγεται συνάρτηση «1-1»; (Μονάδες 6)
Α3. Να χαρακτηρίσετε τις παρακάτω προτάσεις ως σωστές (Σ) ή λανθασμένες (Λ).
1. Αν ορίζεται η f ◦ g και η g ◦ f, τότε ισχύει πάντα f ◦ g = g ◦ f.
2. Αν για την συνάρτηση f ορίζεται η αντίστροφή της f−1
τότε θα ισχύει f(f−1
(x)) = x, για κάθε x ∈ D−1
f .
3. Αν η συνάρτηση f είναι γνησίως μονότονη σε ένα διάστημα Δ, τότε η γραφική της παράσταση τέμνει τον άξονα x x
σε ένα σημείο.
4. Αν μια συνάρτηση f ορίζεται στα ∆1 ∪ ∆2 και είναι γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε κάθε ένα από τα ∆1 και ∆2, τότε
θα είναι πάντα γνησίως αύξουσα (φθίνουσα) σε όλο το πεδίο ορισμού της.
5. Αν η f : A → R είναι γνησίως αύξουσα στο A, τότε ισχύει ότι για κάθε x1, x2 ∈ A με x1 > x2 και f(x1) > f(x2).
(Μονάδες 5 x 2 = 10)
ΘΕΜΑ B
Έστω συνάρτηση f : R → R για την οποία ισχύει: 3f(x) + 2f3
(x) = 4x + 1 για κάθε x ∈ R.
Β1. Nα αποδείξετε ότι η f αντιστρέφεται και να ορίσετε την f−1
. (Μονάδες 7)
B2. Να αποδείξετε ότι η f−1
είναι γνησίως αύξουσα. (Μονάδες 5)
Β3. Να βρείτε τα σημεία τομής των γραφικών παραστάσεων των συναρτήσεων f και f−1
, αν γνωρίζετε ότι αυτά βρίσκονται
πάνω στην ευθεία με εξίσωση y = x. (Μονάδες 6)
B4. Να λυθεί η εξίσωση f(2ex−1
) = f(3 − x). (Μονάδες 7)

2. ΘΕΜΑ Γ
Έστω συνάρτηση f : R → R για την οποία:
f(x) =
ex
− 2017x
2016x
Γ1. Να αποδείξετε ότι η f είναι γνησίως φθίνουσα. (Μονάδες 8)
Γ2. Να βρείτε που τέμνει η Cf τον άξονα x x. (Μονάδες 4)
Γ3. Να βρείτε το πρόσημο της f για τις διάφορες τιμές του x. (Μονάδες 6)
Γ4. Nα βρείτε το πλήθος των λύσεων της f(x) = k για τις διάφορες τιμές του k. (Μονάδες 7)
ΘΕΜΑ Δ
Έστω f, g : R → R συναρτήσεις με
f(x) = ex
+ x.
Δ1. Nα ορίσετε την f(g(x)). (Μονάδες 4)
Αν επιπλέον, για την f(g(x)) ισχύει ότι είναι ίση με την h(x) = 3x + 1,
Δ2. Να δείξετε ότι η g(x) είναι «1-1» (Μονάδες 5), υπολογίσετε την τιμή g(0) (Μονάδες 4).
Δ3. Να αποδείξετε ότι η εξίσωση g(x) = 0 έχει μοναδική λύση, την οποία και να βρείτε. (Μονάδες 4)
Δ4. Να αποδείξετε ότι η f(g(x)) − 1 = 3e1999
έχει μοναδική θετική λύση. (Μονάδες 8)
ΔΙΑΡΚΕΙΑ ΕΞΕΤΑΣΗΣ MIΑ ΚΑΙ ΜΙΣΗ (1,5) ΩΡΕΣ
Page 2