Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

Διαγώνισμα + λύσεις από το Β΄ Αρσάκειο Εκάλης 21/10/2019

2,766 views

Published on

Επιμέλεια: Οι καθηγητές του Β Αρσακείου Εκάλης αποκλειστικά για το lisari.blogspot.com

Published in: Education
  • Be the first to comment

Διαγώνισμα + λύσεις από το Β΄ Αρσάκειο Εκάλης 21/10/2019

  1. 1. ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΟΣ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΣ ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΗ ΥΛΗ : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ ΔΕΥΤΕΡΑ 21 ΟΚΤΩΒΡΙΟΥ 2019 ΘΕΜΑ Α Α1. Να δώσετε τους ακόλουθους ορισμούς : α) Συνάρτηση 1-1 (μονάδες 3) β) Σύνθεση της συνάρτησης f με τη συνάρτηση g (μονάδες 3) Μονάδες 6 Α2. Να αποδείξετε ότι, αν f είναι μία αντιστρέψιμη συνάρτηση τότε οι γραφικές παραστάσεις των f και 1 f  είναι συμμετρικές ως προς την ευθεία y x. Μονάδες 5 Α3. Να χαρακτηρίσετε καθένα από τους ακόλουθους ισχυρισμούς ως αληθή ή ψευδή. Στους ισχυρισμούς 4 και 5 να αιτιολογήσετε την απάντησή σας (μονάδες 4). 1. Αν η συνάρτηση f δεν είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα Δ τότε για οποιαδήποτε 1 2x ,x  με 1 2x x ισχύει    1 2f x f x . 2. Αν μία συνάρτηση δεν είναι 1-1 τότε αποκλείεται να είναι γνησίως μονότονη. 3. Αν f είναι συνάρτηση με πεδίο ορισμού το Α και υπάρχει αριθμός Μ τέτοιος ώστε για κάθε x A να ισχύει f (x) M τότε είναι βέβαιο ότι η f παρουσιάζει μέγιστη τιμή το Μ. 4. Αν f, g είναι συναρτήσεις τέτοιες ώστε να ορίζεται η gof τότε είναι βέβαιο ότι gof fA  . 5. Σε οποιαδήποτε συνάρτηση f :A  ισχύει ότι, για οποιαδήποτε 1 2x ,x A με    1 2f x f x έπεται ότι 1 2x x . Μονάδες 14 ΘΕΜΑ Β B1. Θεωρούμε τις συναρτήσεις  f (x) ln x ln x 1 1    ,  g(x) ln x 1 1   . α. Να εξετάσετε αν f g , αιτιολογώντας πλήρως την απάντησή σας. Στην περίπτωση που f g να βρείτε το ευρύτερο υποσύνολο του στο οποίο ισχύει f(x) g(x) . Μονάδες 8 β. Να εξετάσετε αν η συνάρτηση f έχει ελάχιστο το ln 2 . Μονάδες 5 27.10.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 1 of 3
  2. 2. B2. Να αντιστοιχίσετε κάθε μία από τις ακόλουθες συναρτήσεις με τη γραφική της παράσταση που φαίνεται στον παρακάτω πίνακα (περισσεύουν καμπύλες). 1. f(x) x 2. f(x) ln x  3. x f(x) e Α. Β. Γ. Δ. Ε. ΣΤ. Μονάδες 12 ΘΕΜΑ Γ Δίνεται η συνάρτηση 2 f (x) 1 x x   , x 0 και συνάρτηση g :  τέτοια ώστε  3 g x 1 2x 1   για κάθε x . Γ1.α) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα. (Μονάδες 5) β) Να αποδείξετε ότι η f είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε τον αριθμό 1 f (1) . (Μονάδες 4) Γ2. Να βρείτε τη συνάρτηση g. (Μονάδες 6) 27.10.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 2 of 3
  3. 3. Γ3. Με δεδομένο ότι 3 3 2 x 1 1, x 1 g(x) 2 1 x 1, x 1           α. να βρείτε τη συνάρτηση gof . (Μονάδες 5) β. να λύσετε την ανίσωση   4 3 g f (x) 1 2   . (Μονάδες 5) ΘΕΜΑ Δ Δίνεται η συνάρτηση x x e 3 h(x) 1 e    , * x  και η συνάρτηση f της οποίας η γραφική παράσταση φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Δ1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση h είναι αντιστρέψιμη και να βρείτε την αντίστροφή της. (Μονάδες 6) Δ2.α. Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f και της συνάρτησης 1 f(x) . (Μονάδες 3) β. Να λύσετε την εξίσωση  2 12 f 1 x 2f 3 x 2          . (Μονάδες 3) Δ3. α. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f δεν είναι 1-1. (Μονάδες 2) β. Να γράψετε τα διαστήματα μονοτονίας της συνάρτησης f και να εξετάσετε αν είναι 1-1 η συνάρτηση  x f e . (Μονάδες 4) Δ4.α. Να βρείτε το σύνολο τιμών και τα ακρότατα της συνάρτησης f . (Μονάδες 4) β. Να βρεθούν, αν υπάρχουν, τα κοινά σημεία των γραφικών παραστάσεων των f και h. (Μονάδες 3) 27.10.2019 Αποκλειστικά στο lisari.blogspot.gr Page 3 of 3

×