parabola

1. ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน
โดยใชโปรแกรม GSP
หนวยการเรียนรูที่ 3
เรื่อง
พาราโบลา
ชื่อ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ชั้น . . . . . . . . เลขที่ . . . . . .

2. ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน
โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 เรื่อง พาราโบลา
คําชี้แจง ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP
ชุดที่ 3 มี 2 ตอน ไดแก
ตอนที่ 1 นิยามของพาราโบลา (ใชเวลา 2 คาบ)
ตอนที่ 2 พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด (ใชเวลา 2 คาบ)
1. ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3 ประกอบดวย
– กิจกรรมการเรียนรูที่ 1 นิยามของพาราโบลา
– กิจกรรมการเรียนรูที่ 2 พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด
– แบบฝกหัดที่ 1
– แบบฝกหัดที่ 2
– แบบทดสอบทายชุดการเรียนที่ 3
2. ใหนักเรียนศึกษาชุดการเรียนนี้โดยการใชโปรแกรม GSP ทํากิจกรรมการเรียนรูที่ 1 ตาม
คําแนะนําที่มีอยูในชุดการเรียน เพื่อคนหานิยามของพาราโบลาและทําแบบฝกหัดที่ 1 เมื่อทํา
แบบฝกหัดเสร็จแลว ครูจึงเฉลยแบบฝกหัดพรอมกันทั้งหอง
3. ใหนักเรียนใชโปรแกรม GSP ทํากิจกรรมการเรียนรูที่ 2 เพื่อสํารวจพาราโบลาที่มีจุด (h,k)
เปนจุดยอด แลวทําการสรุป และทําแบบฝกหัดที่ 2 เมื่อทําแบบฝกหัดเสร็จแลว ครูจึงเฉลยแบบฝกหัด
พรอมกันทั้งหอง ทั้งนี้ในระหวางที่นักเรียนทํากิจกรรม ถาหากเกิดปญหาในการเรียนก็สามารถที่จะ
ซักถามครูหรือเพื่อน ๆ ได
4. หลังจากนั้นใหนักเรียนทุกคนทําแบบทดสอบทายชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวน
สอบสวน ชุดที่ 3 โดยใหเวลาในการทําประมาณ 20 นาที เพื่อเปนคะแนนเก็บระหวางเรียนของนักเรียน
แตละคน

3. จุดประสงคการเรียนรู
เมื่อนักเรียนศึกษาชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP
ชุดที่ 3 แลวนักเรียนสามารถ
1. อธิบายความหมายของพาราโบลาได
2. บอกสวนตาง ๆ ของพาราโบลาเมื่อกําหนดความสัมพันธที่มีกราฟเปนพาราโบลาได
3. เขียนความสัมพันธและกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (0,0) จากสมบัติที่กําหนดได
4. เขียนความสัมพันธและกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (h,k) จากสมบัติที่กําหนดได
เวลาที่ใช 4 คาบ
สื่อการเรียนรู
1. โปรแกรม GSP (Geometer’s Sketchpad)
2. ชุดการเรียนคณิตศาสตรแบบสืบสวนสอบสวน โดยใชโปรแกรม GSP ชุดที่ 3
การประเมินผลการเรียนรู
ใหนักเรียนแตละคนทําแบบทดสอบทายชุดการเรียนแบบสืบสวนสอบสวน โดยใช
โปรแกรม GSP ชุดที่ 3 ดวยตนเอง เพื่อประเมินความรูที่ไดเรียนมา

4. กิจกรรมการเรียนรู โดยใชโปรแกรม GSP
1. ใหนักเรียนใชโปรแกรม GSP สราง Graph Paper ดังรูปที่ 1
รูปที่ 1 Graph Paper
2. จากจุดศูนยกลาง ใหนักเรียนลงจุด 1 จุด พรอมทั้งตั้งชื่อ (เชน จุด A) ไวบนเสนตรงใน
แนวนอน หลังจากนั้นใหสรางเสนตรง 1 เสนซึ่งตั้งฉากกับเสนตรงในแนวนอน โดยที่เสนตั้งฉากนี้
อยูหางจากจุดที่นักเรียนไดลงไวเปนระยะทางเทากับที่จุด ๆ นั้นอยูหางจากจุดศูนยกลาง
3. ใหนักเรียนสรางจุดตัดของเสนตรงในแนวตั้งกับเสนรอบวงกลม โดยจุดที่นักเรียนลงไป
นั้นจะตองอยูหางจากจุดศูนยกลางและเสนตั้งฉากที่สรางขึ้นในขอ 2 เปนระยะทางเทากัน ใหไดอีก
ประมาณ 8 – 10 จุด
4. สรางรอยทางเดินของจุดที่ไดสรางไวตามเงื่อนไข แลวใหนักเรียนสังเกตลักษณะรอย
การเดินของจุดเหลานั้นวามีรูปเปนอยางไร
5. ใหนักเรียนเพิ่มหนาใหมจากตัวเลือกเอกสาร หลังจากนั้นใหสรางระบบพิกัดขึ้นมา (โดย
เลือกเปนกริดจัตุรัส) ดังรูปที่ 2
รูปที่ 2 ระบบพิกัด (กริดจัตุรัส)
กิจกรรมการเรียนรูที่ 1
นิยามของพาราโบลา

5. 6. สรางเสนตั้งฉากกับแกน X 1 เสน โดยใหหางจากจุดกําเนิด 2 – 5 หนวย (แลวแต
นักเรียนจะเลือก) และลงจุดอิสระไวบนเสนตั้งฉากนั้น 1 จุด จากนั้นคลิกเลือกเสนตั้งฉากที่ไดสราง
ไวพรอมกับจุดอิสระแลวสรางเสนตั้งฉากเพิ่มอีก 1 เสน ดังรูปที่ 3
รูปที่ 3
7. ลงจุดในระบบพิกัด 1 จุด บนแกน X โดยใหหางจากจุดกําเนิดเปนระยะทางเทากับ
ระยะทางที่เสนตั้งฉากเสนแรกหางจากจุดกําเนิด (เชน ถาเสนตั้งฉาก คือ X = –3 แลวจุดที่ตองลง
คือ จุด (3 , 0) เปนตน) จากนั้นสรางสวนของเสนตรงเชื่อมจุดที่ลงบนแกน X นี้กับจุดอิสระที่ลงไว
ในขอ 6 ดังรูปที่ 4
รูปที่ 4
8. ใหนักเรียนสรางจุดตัดระหวางสวนของเสนตรงกับแกน Y แลวสรางเสนตั้งฉากระหวาง
สวนของเสนตรงกับจุดตัดนี้ ดังรูปที่ 5

6. รูปที่ 5
9. จากรูปที่ 5 นักเรียนจะพบเสนตั้งฉาก 2 เสนตัดกัน ใหนักเรียนสรางจุดตัด ณ ตําแหนงนี้
แลวสรางสวนของเสนตรงเชื่อมกับจุดบนแกน X ที่สรางจากขอ 7 หลังจากนั้นใหทําการซอนเสน
ตาง ๆ ที่ไมใช จนเหลือสวนของเสนตรงกับจุด ดังรูปที่ 6
สรางจุดตัด
ซอน
รูปที่ 6
10. ใหนักเรียนใชคําสั่งการวัดเพื่อวัดความยาวสวนของเสนตรงทั้ง 2 เสน จากนั้นใหสราง
ปุมเพื่อเคลื่อนที่จุดบนเสนตั้งฉากและสรางรอยทางเดินของจุดตัดที่ไดจากขอ 9 แลวใหนักเรียน
สังเกตลักษณะรอยการเดินของจุด กับความยาวสวนของเสนตรงทั้ง 2 เสนในขณะที่จุดตัดกําลัง
เคลื่อนที่ แลวสรุปเปนนิยามของพาราโบลา

7. V
พาราโบลา (Parabola)
บทนิยาม พาราโบลา คือ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
เสนตรงคงที่ เรียกวา ไดเรกตริกซ ของพาราโบลา
จุดคงที่ เรียกวา โฟกัส ของพาราโบลา
เสนตรงซึ่งผานโฟกัสและตั้งฉากกับไดเรกตริกซ เรียกวา แกน ของพาราโบลา
จุดที่พาราโบลาตัดแกนของพาราโบลา เรียกวา จุดยอด ของพาราโบลา
P
F
L
D
จากรูป เสนตรง L เปน . . . . . . . . . . . . . . .
จุด F เปน . . . . . . . . . . . . . .
เสนตรงที่ผาน FV เปน . . . . . . . . . . . . . . .
จุด V เปน . . . . . . . . . . . . . .
P เปนจุดใดๆ บนโคงพาราโบลา ซึ่ง |PF | . . . . . |PD | เสมอ
พาราโบลาที่มีจุด (0,0) เปนจุดยอด
กรณีที่ 1 โฟกัสอยูที่จุด (c,0) ไดเรกตริกซ คือ เสนตรง x = -c

8. ให P(x,y) เปนจุดใดๆ บนพาราโบลา และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซที่จุด D
จากบทนิยาม จะได PF . . . PD
นั่นคือ 22
...)(...)( −+− yx = | X – . . . |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
นั่นคือ สมการพาราโบลาที่มีโฟกัสอยูที่จุด (c,0) ไดเรกตริกซ
เปนเสนตรง x = -c คือ . . . . . . . . . . . . .
ถา c > 0 จะได . . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดทาง . . . . . .
ถา c < 0 จะได . . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดทาง . . . . . .
กรณีที่ 2 โฟกัสอยูที่จุด (0,c) ไดเรกตริกซ คือ เสนตรง y = - c
จากรูป P(x,y) เปนจุดๆ บนพาราโบลา และ PD ตั้งฉากกับไดเรกตริกซที่จุด D ในทํานองเดียวกัน
สมการพาราโบลาที่โฟกัสอยูที่จุด (0,c) ไดเรกตริกซ
เปนเสนตรง y = -c คือ . . . . . . . . . . .
ถา c > 0 จะได . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดดาน . . . . . . .
ถา c < 0 จะได . . . . . . . . . . เปนสมการของพาราโบลาที่มีกราฟเปดดาน . . . . . . .

9. 1. จากความสัมพันธที่กําหนดให ซึ่งมีกราฟเปนพาราโบลา จงหาโฟกัส สมการของไดเรกตริกซ
แกนสมมาตร พรอมเขียนกราฟโดยใชโปรแกรม GSP
1) { (x,y) ∈ RxR | x2
= -12y }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) { (x,y) ∈ RxR | y2
– 4x = 0 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. จงหาสมการพาราโบลา ที่มีสมบัติตอไปนี้
1) มี (5,0) เปนโฟกัส และไดเรกตริกซ คือ เสนตรง x = -5
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
แบบฝกหัดที่ 1

10. 2) มีจุด (0,0) เปนจุดยอดและจุด (0,-
2
3
) เปนโฟกัส
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) ผานจุด (1,5) และโฟกัสอยูบนแกน Y
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4) ไดเรกตริกซ คือ เสนตรง x = -2 และโฟกัสอยูที่จุด (2,0)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5) กราฟตะแคงซาย และผานจุด (– 2 , 3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

11. กิจกรรมการเรียนรู โดยใชโปรแกรม GSP
1. ใหนักเรียนใชโปรแกรม GSP สรางกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุด (0,0)
ขึ้นมา 1 รูป โดยเลือกเมนูแลวไปที่ กราฟ วาดกราฟของฟงกชันใหม แลวใสสมการ
พาราโบลาเขาไป
(หมายเหตุ : นักเรียนตองจําไววาโปรแกรม GSP จะเขียนกราฟของฟงกชันเทานั้น เชน
ถาตองการกราฟพาราโบลาจากสมการ xy 202
= นักเรียนจะตองจัดสมการใหมใหอยูใน
รูปของฟงกชัน คือ xy 20= ซี่งก็คือ xxf 20)( = หรือ yx 202
= นักเรียนจะตอง
จัดสมการใหมใหอยูในรูปของฟงกชัน คือ
20
2
x
y = ซี่งก็คือ
20
)(
2
x
xf = นั่นเอง )
2. ใหนักเรียนเลื่อนกราฟพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่จุด (0,0) ที่นักเรียนสรางขึ้น ไปไวที่
จุด (h,k) แลวแตนักเรียนจะกําหนด โดยมีขั้นตอน ดังนี้
2.1 คลิกเลือกจุดยอด (0,0) แกน x แกน y และกราฟพาราโบลาที่สรางไว แลวทํา
การคัดลอก จากนั้นใหซอนกราฟพาราโบลารูปเดิม ก็จะไดดังรูปที่ 1
รูปที่ 1
2.2 ใหนักเรียนทําการสแนพจุด โดยเลือกเมนูแลวไปที่ กราฟ สแนพจุด
จากนั้นใหลงจุดอิสระ (h,k) ไวที่พิกัดใด ๆ ก็ได 1 จุด พรอมทั้งตั้งชื่อ เชน จุด A แลวสรางปุมการ
เคลื่อนที่เพื่อเลื่อนจุดยอดไปหาจุด A และสรางปุมการเคลื่อนที่เพื่อเลื่อนจุดยอดไปหาจุดกําเนิด
(0,0) ดวย ดังรูปที่ 2 หลังจากนั้นใหนักเรียนลองเลื่อนจุด A ไปไวที่พิกัดตาง ๆ แลวกดปุมเลื่อน
จุดยอดของกราฟพาราโบลาไปหาจุด A พรอมทั้งสังเกตพิกัดของจุดยอดของกราฟพาราโบลาที่
เปลี่ยนไปตามจุด A เชน
– พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะไดจุดยอดของพาราโบลา คือ . . . . . . . . .
– พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะไดจุดยอดของพาราโบลา คือ . . . . . . . . .
– พิกัดของจุด A คือ . . . . . . . . . จะไดจุดยอดของพาราโบลา คือ . . . . . . . . .
กิจกรรมการเรียนรูที่ 2
พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด

12. 3. จากพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเลื่อนขนานแกนไปที่ (h,k) ดังนั้น
สมการพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม คือ (x′)2
= 4Cy′ และ (y′)2
= 4Cx′ แตจากการเลื่อน
ขนานของแกน นักเรียนทราบมาแลววา x′ = ……… และ y′ = ……….. ดังนั้น จะไดสมการ
พาราโบลาเทียบกับแกนเดิม คือ (……….)2
= 4C(……….) และ (……….)2
= 4C(……….)
ตามลําดับ
4. ใหนักเรียนสรางหนาเอกสารใหม แลวสรางกราฟของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k)
ตามขั้นตอนตอไปนี้
4.1 สรางระบบพิกัดเปนกริดแบบจัตุรัส แลวไปที่ กราฟ พารามิเตอรใหม ตั้ง
ชื่อ h และคาเปน 0 ดังรูปที่ 3 โดยใหนักเรียนใชคําสั่งพารามิเตอรใหมนี้สรางคาของ k และ c
ตามลําดับ
รูปที่ 2
รูปที่ 3

13. 4.2 ใหนักเรียนใชคําสั่ง วาดกราฟของฟงกชันใหม เพื่อเขียนกราฟพาราโบลาที่มี
จุดยอดที่จุด (h,k) ซึ่งนักเรียนจะตองจัดสมการใหมใหอยูในรูปของฟงกชัน โดยสมการพาราโบลา
(x-h)2
= 4C(y-k) จัดสมการใหมเปน ( ) k
c
hx
y +
−
=
4
2
และสมการพาราโบลา (y-k)2
= 4C(x-h)
จัดสมการใหมเปน ( ) khxcy +−±= 4 เมื่อนักเรียนจัดสมการใหมไดแลวใหสรางสมการ
ในคําสั่งวาดกราฟของฟงกชันใหม โดยแทนคาของ h , k และ c ดวยคาพารามิเตอรที่ไดสรางไว
ก็จะไดกราฟพาราโบลาตามตองการ ดังรูปที่ 4 (เปนกราฟของสมการ (x-h)2
= 4C(y-k))
รูปที่ 4
4.3 ใหนักเรียนคลิกเลือกคาพารามิเตอร h , k หรือ c คาใดคาหนึ่งหรือจะเลือกพรอม
กันก็ได แลวกดปุม + หรือ – เพื่อทําการเพิ่มหรือลดคาของพารามิเตอร ซึ่งการกระทําดังกลาวจะ
ทําใหจุดยอดของกราฟเปลี่ยนไป (เมื่อคาของ h หรือ k เปลี่ยน) และขนาดของกราฟพาราโบลาจะ
เปลี่ยน (เมื่อคาของ c เปลี่ยน) หลังจากนั้นใหนักเรียนสังเกตจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซ
ของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) เมื่อเทียบกับจุดยอดอยูที่จุด (0,0) เพื่อสรุปเปนรูปแบบในการ
หาจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซของพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (h,k) ตอไป

14. c
c
พาราโบลาที่มีจุด (h,k) เปนจุดยอด
จากพาราโบลาที่มีจุดยอดที่จุด (0,0) และเลื่อนแกนทางขนานไปที่ (h,k) ดังนั้น
สมการพาราโบลาเมื่อเทียบกับแกนใหม คือ (x′)2
= 4cy′ และ (y′)2
= 4cx′ แต y′ = y – k
และ x′ = x – h ดังนั้น สมการพาราโบลาเทียบกับแกนเดิม คือ (x-h)2
= 4c(y-k) และ
(y-k)2
= 4c(x-h) ตามลําดับ ซึ่งมีรายละเอียดดังตารางขางลาง
สมการ (x-h)2
= 4c(y-k) สมการ (y-k)2
= 4c(x-h)
Y Y′ Y Y′
x =……..
F(…… , ……) D
V(h,k) F(…… , …...) X′
V(h,k) X′
y =…….. D
O X O X
จุดยอด (h,k) จุดยอด (h,k)
โฟกัส (… , ……) โฟกัส (…… , …)
สมการไดเรกตริกซ y = …… สมการไดเรกตริกซ x = ……
แกนพาราโบลา เสนตรงขนานกับแกน … แกนพาราโบลา เสนตรงขนานกับแกน …
ความยาวเลตัสเรกตัม |……| ความยาวเลตัสเรกตัม |……|
c > 0 กราฟพาราโบลาเปด…… c > 0 กราฟพาราโบลาเปด……
c < 0 กราฟพาราโบลาเปด…… c < 0 กราฟพาราโบลาเปด……

15. ตัวอยางที่ 1 จงหาสมการของพาราโบลาที่มีจุดยอดอยูที่ (-1,4) และมี (-1,1) เปนโฟกัส
วิธีทํา พิจารณาจากจุด (-1,4) และ (-1,1) ซึ่งอยูในแนวเสนตรงขนานแกน y
ดังนั้น สมการ คือ (x-h)2
= 4c(y-k)
เนื่องจากจุด (-1,4) เปนจุดยอด จะได h = –1 และ k = 4
และจุด (-1,1) เปนโฟกัส เทียบกับ (h,k+c)
ดังนั้น k+c = 1
หรือ 4+c = 1
นั่นคือ c = -3
ดังนั้นสมการพาราโบลา คือ (x+1)2
= -12(y-4)
หรือ x2
+2x+12y-47 = 0
ตัวอยางที่ 2 จงหาจุดยอด โฟกัสและสมการไดเรกตริกซ พรอมเขียนกราฟจากสมการ
พาราโบลา y2
-8y+8x-8 = 0
วิธีทํา จากสมการ 08882
=−+− xyy
จัดสมการใหม 8882
+−=− xyy
2481682
+−=+− xyy
( ) ( )384
2
−−=− xy
เมื่อเทียบกับสมการ (y-k)2
= 4c(x-h) จะไดวา
84 −=c
2−=c
ดังนั้น จุดยอด คือ (3 , 4)
โฟกัส คือ (h+c,k) = (1 , 4)
และสมการไดเรกตริกซ คือ x = h – c
x = 3 – (– 2) = 5

16. 1. จงหาจุดยอด โฟกัส และสมการไดเรกตริกซ พรอมทั้งเขียนกราฟของความสัมพันธตอไปนี้
โดยใชโปรแกรม GSP
1) { (x,y) ∈ RxR | x2
+6x-8y+41 = 0 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) { (x,y) ∈ RxR | y2
-4y+6x-8 = 0 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) { (x,y) ∈ RxR | 3x2
-12x-y+12 = 0 }
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
แบบฝกหัดที่ 2

17. 2. จงหาสมการพาราโบลา ที่มีสมบัติตอไปนี้
1) จุดยอดอยูที่จุด (3,4) และโฟกัสอยูที่จุด (1,4)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) จุดยอดอยูที่จุด (-2,6) และโฟกัสอยูที่จุด (-2,-2)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) จุดยอดอยูที่ (-4,3) และเสนไดเรกตริกซ คือ x+5 = 0
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4) จุดยอดอยูบนเสนตรง x = 3 และผานจุด (5,0) และ (-1,3)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18. 1. จากสิ่งที่กําหนดใหตอไปนี้ จงหาสมการของพาราโบลา
1) จุดยอดอยูที่จุด (0,0) และโฟกัสอยูที่จุด (0,
2
5
)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) จุดยอดอยูที่จุด (0,0) และไดเรกตริกซคือเสนตรง y = -2
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) โฟกัสอยูที่จุด (–2,0) และไดเรกตริกซคือเสนตรง x = 4
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4) จุดยอดอยูที่ (0,3) โฟกัสอยูที่ (0,–1)
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5) มีจุด (3,5) และจุด (3,–3) เปนจุดปลายของเลตัสเรกตัม
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
แบบทดสอบทายชุดการเรียนที่ 3

19. 2. จงหาจุดยอด โฟกัส และสมการไดเรกตริกซ จากสมการพาราโบลาตอไปนี้
1) 0122
=+ xy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2) 0122
=+ yx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3) 522
++= xxy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4) 07262
=+−+ yxx
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5) 08642
=−+− xyy
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .