teach

1. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 1 - ม.ต้น www.focus-physics.com
พาราโบลา
สมการพาราโบลา
หมายถึง สมการกาลังสองที่เขียนได้ในรูป y = ax2
+ bx + c เมื่อ x แทนจานวนจริง; a, b, c เป็นค่าคง
ตัว และ a  0 หมายเหตุ ถ้า a = 0 จะได้y = bx + c ซึ่งเป็นสมการเชิงเส้นจะได้กราฟเป็นเส้นตรงนั่น
คือ พาราโบราเป็นกราฟที่เกิดจากสมการ y = ax2
+ bx + c
รูปทั่วไป y = ax2
+ bx + c เมื่อ x แทนจานวนจริง a, b, c เป็นค่าคงที่ และ a  0
ถ้า c = 0 จะได้ว่า y = ax2
+ bx
ถ้า b = 0 จะได้ว่า y = ax2
+ c
ถ้า b = 0 และ c = 0 จะได้ว่า y = ax2
ลักษณะของกราฟ
1. ถ้า a เป็นบวกกราฟเป็นพาราโบลาหงาย จุดยอดที่ได้เป็นจุดต่าสุด
2. ถ้า a เป็นลบกราฟเป็นพาราโบลาคว่า จุดยอดที่ได้เป็นจุดสูงสุด
3. ถ้า a มีค่ามากกราฟจะแคบ กว่าสมการที่ a มีค่าน้อย (พิจารณาเฉพาะตัวเลข)
สมการ จุดยอด แกนสมมาตร ค่าต่าสุด/ค่าสูงสุด
1. y = ax2
( 0 , 0 ) x = 0 0
2. y = ax2
+ c ( 0 , c ) x = 0 c
3. y = a (x - h)2
( h , 0 ) x = h 0
4. y = a (x - h)2
+ c ( h , c ) x = h c
5. y = ax2
+ bx + c ( - b
2a
,
2
4ac b
4a

) x = - b
2a
2
4ac b
4a


2. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 2 - ม.ต้น www.focus-physics.com
ให้สมการถามหาจุดต่างๆ
1.) กาหนดให้  
2
y 5 x 3 1   แล้วพิจารณาข้อใดต่อไปนี้กล่าวไม่ถูกต้อง
1. เป็นกราฟพาราโบลาหงาย 2. จุดยอดหรือจุดต่าสุด คือ  3, 1
3. แกนสมมาตร คือ x 3 4. ค่าสูงสุด คือค่า y 1
จากสมการ  
2
y a x h k   จะได้ h 3,k 1  และ a 5
1. a > 0 จะได้พาราโบลาหงาย
2. จุดยอดหรือจุดต่าสุด คือ    h,k 3,1
3. แกนสมมาตร คือ x h จะได้ x 3
4. ค่าต่าสุด คือค่า y k จะได้ y 1 (ตอบข้อ 2)
2.) กราฟในข้อใดมีจุดยอดที่  3, 5
1. 2
y 3x 6x 5    2. 2
y 5x 30x 50   
3. 2
y 6x 36x 59   4. 2
y 7x 42x 69  
จาก 2
y 5x 30x 50    จะได้ a 5,b 30,c 50    
 
b 30
h 3
2a 2 5
    

 
 
22
30b 900
k c 50 50 50 45 5
4a 4 5 20
            
 
 จุดยอด คือ    h,k 3, 5  (ตอบข้อ 2)
3.) กราฟในข้อใดมีจุดยอดที่  2, 3
1. 2
y x 4x 1   2. 2
y x 4x 2   
3. 2
y x 4x 4    4. 2
y x 4x 1  
จุดยอด คือ    h,k 2, 3 
จากสมการ  
2
y a x h k  
แทนค่า  
2
y x 2 3  
2
y x 4x 4 3   
2
y x 4x 1   (ตอบข้อ 1)

3. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 3 - ม.ต้น www.focus-physics.com
4.) จงหาจุดยอดและจุดตัดแกน x ของพาราโบลา ที่มีสมการ 2
2x 16x 24 y 0   
1. จุดยอดคือ  4,8 และจุดตัดแกน x คือ  2,0 และ  6,0
2. จุดยอดคือ  4, 8 และจุดตัดแกน x คือ  2,0 และ  6,0
3. จุดยอดคือ  4, 8  และจุดตัดแกน x คือ  2,0 และ  6,0
4. จุดยอดคือ  4,8 และจุดตัดแกน x คือ  2,0 และ  6,0
จากสมการ 2
2x 16x 24 y 0   
จัดรูปจะได้ 2
y 2x 16x 24    จะได้ a 2,b 16   และ c 24 
 
b 16 16
h 4
2a 2 2 4
     
 
 
 
22
16b 256
k c 24 24 32 8
4a 4 2 8
        
 
 จุดยอด คือ    h,k 4,8 (ตอบข้อ 4)
5.) ค่า y จากสมการ 2
y x 2x 5   สูงที่สุดหรือต่าที่สุดเท่ากับข้อใด
1. ค่าต่าที่สุด –1 2. ค่าต่าที่สุด 4
3. ค่าสูงที่สุด 4 4. ค่าสูงที่สุด –1
จากสมการ 2
y x 2x 5   จะได้ a 1,b 2,c 5  
a 0 กราฟหงายได้ค่าต่าสุดคือ ค่า  
 
22
12b
k c 15
4a 4 3
    

144
15 15 12 3
12
       

(ตอบข้อ 2)
6.) กราฟของสมการ 2
y 12x 3x 15   มีจุดสูงสุดหรือต่าสุดคือจุดใด
1. จุดต่าสุด  2, 3 2. จุดต่าสุด  2, 1
3. จุดสูงสุด  2, 3 4. จุดสูงสุด  2, 1
จากสมการ 2
y 12x 3x 15   จะได้ a 3,b 12,c 15    
 
b 12
h 2
2a 2 3
    

 
 
22
12b 144
k c 15 15 15 12 3
4a 4 3 12
            
 
 เนื่องจาก a<0 จุดยอดหรือจุดสูงสุด คือ    h,k 2, 3  (ตอบข้อ 3)

4. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 4 - ม.ต้น www.focus-physics.com
7.) กราฟของ 2
y 2x 4x 5   มีเส้นตรงใดเป็นแกนสมมาตร
1. x 2  2. x 1 
3. x 1 4. x 2
จาก 2
y 2x 4x 5   จะได้ a 2,b 4,c 5   
แกนสมมาตรคือ แกน
 
b 4
x h 1
2a 2 2
       (ตอบข้อ 2)
8.) กราฟของสมการในข้อใดต่อไปนี้ที่มีจุด  1,5 เป็นจุดยอดสูงสุด
1. 2
y x 2x 2   2. 2
y x 2x 4   
3. 2
y x 2x 8    4. 2
y x 2x 6  
จุดยอดคือ    h,k 1,5  และได้จุดสูงสุด a<0 หรือ a เป็นลบ
จากสมการ  
2
y a x h k  
แทนค่า  
2
y x 1 5   
 2
y x 2x 1 5    
2
y x 2x 1 5    
2
y x 2x 4    (ตอบข้อ 2)
9.) จุดวกกลับของกราฟพาราโบลา 2
y 2x 8x 15   คือข้อใด
1.  2,7 2.  2, 7 
3.  2, 7 4.  2,7
2
y 2x 8x 15  
จาก 2
y ax bx c   จะได้ a 2,b 8,c 15   
จุดวกกลับหาจาก  
 
 
 
22
8 8b b
,c ,15
2a 4a 2 2 4 2
   
           
 2,7 (ตอบข้อ 1)

5. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 5 - ม.ต้น www.focus-physics.com
10.) จากสมการ 2
y x x 1   ข้อใดเป็นจริง
1. จุดยอดคือ 1 3
,
2 4
 
 
 
2. แกนสมมาตรคือ 1
x 0
2
 
3. ตัดแกน xที่ 1 3
,0 , ,0
2 4
   
   
   
4. ไม่มีข้อใดถูก
สมการ 2
y x x 1  
จาก 2
y ax bx c   จะได้ a 1,b 1,c 1   
 
 
1b 1
h
2a 2 1 2

     และ
 
2
b 1 3
k c 1
4a 4 1 4
    
 จุดยอดคือ  
1 3
h,k ,
2 4
 
  
 
ตอบข้อ 1)
11.) พาราโบลา 2
y x 2x 6   ค่าต่าสุดคือข้อใด
1. –7 2. –4 3. –12 4. 5
พาราโบลา 2
y x 2x 6  
จาก 2
y ax bx c   จะได้ a 1,b 2,c 6    
 ค่าต่าสุด คือ ค่า  
 
22
2b
k c 6 6 1 7
4a 4 1

          (ตอบข้อ 1)
12.) จากสมการพาราโบลา 2
y 5x 40x 100    ข้อใดถูก
1. พาราโบลาหงาย 2. พาราโบลาคว่า
3. เป็นเส้นตรงผ่านจุด  0,0 4. เป็นเส้นตรงผ่านจุด  0,C
พาราโบลา 2
y 5x 40x 100   
จาก 2
y ax bx c   จะได้ a 5,b 40,c 100    
จะได้พาราโบลาคว่า เพราะ a 5  ซึ่ง a < 0 (ตอบข้อ 1)

6. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 6 - ม.ต้น www.focus-physics.com
13.) กราฟของสมการในข้อใดมี 1 49
,
2 4
 
 
 
เป็นจุดสูงสุด
1. 2
y x x 12   2. 2
y x x 12   
3. 2
y x 2x 11   4. 2
y x 2x 11   
กราฟจะมีจุดสูงสุดเมื่อ a < 0  ตัวเลือก 1 และ 3 ไม่ใช่แน่นอน เพราะ a > 0
จากข้อ 2 2
y x x 12   
จาก 2
y ax bx c   จะได้ a 1,b 1,c 12   
 จุดสูงสุดคือ  
   
2 2
b b 1 1 1 49
h,k ,c ,12 ,
2a 4 2 1 4 1 2 4
    
                 
(ตอบข้อ 2)
14.) กราฟของสมการ 2
y 4x 40x 107    มีจุดต่าสุดหรือสูงสุดที่จุดใด
1. จุดสูงสุดที่  5,7 2. จุดสูงสุดที่  7,5
3. จุดสูงสุดที่  5, 7  4. จุดต่าสุดที่  7, 5
5. จุดต่าสุดที่  5, 7
สมการ 2
y 4x 40x 107   
จาก 2
y ax bx c   จะได้ a 4,b 40,c 107     
 
b 40
h 5
2a 2 4

     

 
 
22
40b
k c 107 107 100 7
4 4 4

         

เนื่องจาก a < 0 จะได้จุดสูงสุดอยู่ที่    h,k 5, 7   (ตอบข้อ 3)

7. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 7 - ม.ต้น www.focus-physics.com
1. จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้
(1)  
2
y 2 x 1 3   เป็นกราฟพาราโบลาหงาย จุดยอดอยู่ที่ (1, 3)
(2)  
2
y 1 x 4   เป็นกราฟพาราโบลาคว่า จุดยอดอยู่ที่ (–4, 1)
ข้อใดต่อไปนี้ถูก
ก. (1) ถูก และ (2) ถูก ข. (1) ถูก และ (2) ผิด
ค. (1) ผิด และ (2) ถูก ง. (1) ผิด และ (2) ผิด
วิธีทา
1.  
2
y 2 x 1 3    
2
y a x h k   
   a 2 h,k 1,3   
เป็นกราฟพาราโบลาหงาย จุดยอดอยู่ที่ (1, 3) ถูกต้อง
2.  
2
y 1 x 4    
2
y a x h k   
   a 1, h,k 4,1    
เป็นกราฟพาราโบลาคว่า จุดยอดอยู่ที่ (–4, 1) ถูกต้อง
2. กราฟของสมการในข้อใดมีจุดยอดอยู่บนแกน Y
ก.  2
1x2y  ข. 2
y 2x 1  
ค.   21xy
2
 ง.   12xy
2

วิธีทา 2
y 2x 1  2
y ax k  
มีจุดยอดอยู่บนแกน Y
3. กราฟของสมการในข้อใดต่อไปนี้ ที่มีจุด (–1, 4) เป็นจุดยอดสูงสุด
ก. 3x2xy 2
 ข. 3x2xy 2

ค. 3x2xy 2
 ง. 3x2xy 2
 
วิธีทา ใช้สูตร
2
b b
h , k c
2a 4a
   
ต้องทดสอบทีละข้อแต่ข้อที่มีจุดยอดอยู่ 1,4 ตรงกับข้อ ง.
2 2
y x 2x 3 y ax bx c       
2
b b
h , k c
2a 4a
   
 
 
 
 
2
2 2
h , k 3
2 1 4 1
 
   
 

8. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 8 - ม.ต้น www.focus-physics.com
2 4
h , k 3
2 4

   
 
h 1, k 3 1   
h 1, k 4  
เทคนิคคิดลัด ท่องจาไว้เลย จุดยอด จุดตัด จุดสัมผัส จุดผ่าน
เราสามรถเอาจุดเหล่านี้ไปแทนคาตอบแล้วตรวจคาตอบได้เลย
ก. 3x2xy 2

ข้อนี้เอาจุดยอดไปแทน x 1, y 4   จะได้    
2
4 1 2 1 3    
4 1 2 3  
4 2 ข้อนี้จึงผิด
ข. 3x2xy 2

ข้อนี้เอาจุดยอดไปแทน x 1, y 4   จะได้    
2
4 1 2 1 3    
4 1 2 3  
4 6 ข้อนี้จึงผิด
ค. 3x2xy 2

ข้อนี้เอาจุดยอดไปแทน x 1, y 4   จะได้    
2
4 1 2 1 3     
4 1 2 3   
4 0 ข้อนี้จึงผิด
ง. 3x2xy 2

ข้อนี้เอาจุดยอดไปแทน x 1, y 4   จะได้    
2
4 1 2 1 3     
4 1 2 3   
4 4 ข้อนี้ถูกต้อง
4. สมการของพาราโบลาในข้อใดต่อไปนี้ มีเส้นตรง x = 1 เป็นแกนสมมาตร
ก. 1x5y 2
 ข. 1x5y 2

ค.  2
1x5y   ง.  2
1x5y 
 
2
y a x h k  
x h เทียบจากสมการข้างบน
ข้อที่ถูกคือข้อ ค  2
1x5y  มีเส้นตรง x = 1 เป็นแกนสมมาตร

9. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 9 - ม.ต้น www.focus-physics.com
5. กาหนดสมการ 99x28x2y 2
 ข้อความใดต่อไปนี้สอดคล้องกับสมการข้างต้น
ก. จุดยอดของกราฟอยู่ใต้แกน X ข. จุดยอดของกราฟอยู่เหนือแกน X
ค. กราฟตัดแกน X ง. จุดสูงสุดของกราฟคือ (7, 1)
วิธีทา จากสมการพาราโบลา 99x28x2y 2

หน้า 2
x เป็นบวกแสดงว่ากราฟหงาย จะมีจุดยอดอยู่ที่ จุด
 
 
28b
x 7
2a 2 2

    
 
 
22
28b
y c 99 8
4a 4 2

    
6. กราฟ 9x3x12y 2
 มีจุดสูงสุดหรือต่าสุดตามข้อใด
ก. จุดสูงสุด (2, –3) ข. จุดสูงสุด (2, 3) 
ค. จุดต่าสุด (2, –3) ง. จุดต่าสุด (2, 3)
วิธีทา จากสมการพาราโบลา 9x3x12y 2

หน้า 2
x ติดลบแสดงว่ากราฟคว่า จะมีจุดสูงสุดอยู่ที่ จุด
 
b 12
x 2
2a 2 3
    

 
 
22
12b
y c 9 3
4a 4 3
     

7. ข้อใดกล่าวไม่ถูกต้อง เกี่ยวกับกราฟพาราโบลาที่มีสมการ 2
x4x42y 
ก. กราฟเป็นรูปพาราโบลาคว่า ข. แกนสมมาตรคือเส้นตรง 2x + 1 = 0
ค. ค่าสูงสุดของ y = 3 ง. จุดสูงสุดของกราฟคือ 





3,
2
1

8. กราฟของสมการในข้อใดไม่ตัดแกน X
ก. 1xy 2
 ข. 2
x1y  ค. 2
x1y   ง.   11xy
2

ข้อ ก. 1xy 2
 กราฟหงายมีจุยอดที่จุด  0 1, จึงตัดแกน
ข้อ ข. 2
x1y  กราฟคว่ามีจุยอดที่จุด  0 1, จึงตัดแกน
ข้อ ค. 2
x1y  กราฟคว่ามีจุยอดที่จุด  0 1, จึงไม่ตัดแกน
ข้อง.   11xy
2
 กราฟหงายมีจุยอดที่จุด  1 1, จึงตัดแกน

10. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 10 - ม.ต้น www.focus-physics.com
ให้กราฟมาถามหาส่วนต่างๆ
9. พาราโบลาตามรูปน่าจะเขียนได้จากสมการในข้อใด
วิธีทา สังเกตว่าจุดยอดอยู่ในจตุภาคที่1 แสดงว่าจุดยอด  h,k เป็นบวกทั้งคู่
ที่จริงเวลาทาข้อสอบจริงๆต้องตรวจสอบทุกข้อคาตอบดูว่าจุดยอดเป็นบวกทั้งคู่  h,k
ข้อนี้คาตอบที่ ถูกคือ ข้อ ง. 6x4xy 2

2 2
y x 4x 6 y ax bx c      
   
2 22
y x 2 2 6 y a x h k       
 
2
y x 2 2  
   h,k 2,2
10. จากรูปเป็นกราฟของสมการในข้อใด
วิธีทา สังเกตว่าจุดยอดอยู่ในจตุภาคที่1 แสดงว่าจุดยอด  h,k เป็นบวกทั้งคู่
ข้อนี้ จัดสมการให้อยู่ในรูปนี้ 2
y ax bx c   จะเห็นว่าข้อ ค และข้อ ง
กราฟหงายจึงผิดเพราะหน้า 2
x เป็นบวก ข้อ ก และ ข้อ ข เป็นกราฟคว่า
จึงต้องทา ก และ ข เท่านั้น
เทคนิคคิดลัด ท่องจาไว้เลย จุดยอด จุดตัด จุดสัมผัส จุดผ่าน
เราสามารถเอาจุดเหล่านี้ไปแทนคาตอบแล้วตรวจคาตอบได้เลย
ก. 0x12x3y2 2

ข้อนี้เอาจุดยอด x 2 , y 6  ไปแทนจะได้จะได้      
2
2 6 3 2 12 2 0  
48 0 ข้อนี้ผิด
Y
6
X
2
ก. 0x12x3y2 2

ข. 0x12x3y2 2
 
ค. 0x12x3y2 2

ง. 0x12x3y2 2

ก. 4x4xy 2

ข. 2x4xy 2

ค. 4x4xy 2

ง. 6x4xy 2
 
Y
X

11. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 11 - ม.ต้น www.focus-physics.com
ข. 0x12x3y2 2

ข้อนี้เอาจุดยอด x 2 , y 6  ไปแทนจะได้จะได้      
2
2 6 3 2 12 2 0  
0 0 ข้อนี้จึงถูกต้อง
11. จากกราฟของ 2
x3y  มีส่วนที่แรเงาเป็นรูปสี่เหลี่ยมมุมฉาก โดยที่ AB = CD = EF = a จงหา DE
วิธีทา 2
DE y 3x 
   
2 2
DE 3 3a 3 2a 
2 2
DE 27a 12a 
2
DE 15a
12. กราฟใดแสดงความสัมพันธ์ 1x4x2y 2

Y Y
ก. ข.
X X
Y Y
ค. ง.
X X
Y
E F
C D
A B
x
ก. 2
a8
ข... 2
a10
ค. 2
a15 
ง... 2
a18

12. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 12 - ม.ต้น www.focus-physics.com
13. จากรูปเป็นกราฟ ซึ่งกาหนดด้วยสมการ cbxaxy 2
 จงพิจารณาว่าข้อใดถูกต้อง
14. จากรูปเป็นกราฟ ซึ่งกาหนดด้วยสมการ cbxaxy 2
 จงพิจารณาว่าข้อใดถูกต้อง
15. จากกราฟพาราโบลาลักษณะดังรูป ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง
16. จากกราฟ พาราโบลาที่มีสมการ cbxaxy 2
 มีลักษณะดังรูป ข้อใดต่อไปนี้เป็นจริง
ก. b > 0 และ c > 0
ข. b > 0 และ c < 0
ค. b < 0 และ c > 0
ง. b < 0 และ c < 0
Y
X
O
ก. b > 0 และ c > 0
ข. b > 0 และ c < 0
ค. b < 0 และ c > 0
ง. b < 0 และ c < 0
ก. a > 0, ac4b2

ข. a > 0, ac4b2
 
ค. a < 0, ac4b2

ง. a < 0, ac4b2

Y
X
Y
X
ก. a > 0, ac4b2

ข. a > 0, ac4b2

ค. a < 0, ac4b2
 
ง. a < 0, ac4b2

Y
cbxaxy 2

X
O

13. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 13 - ม.ต้น www.focus-physics.com
จัดเป็นกาสองสมบูรณ์
17. ถ้า 13x12x3y 2
 และ   khxay
2
 แล้ว a, h, k ตรงกับข้อใดตามลาดับ
ก. 1, 2, 3 ข. 3, 2, 1 ค. 1, 3, 5 ง. 5, 3, 1
วีธีทา 13x12x3y 2

2
y 3(x 4x) 13  
2
y 3(x 4x 4 4) 13    
2
y 3(x 2) 12 13   
2
y 3(x 2) 1   (ตอบข้อ 2)
15.) ถ้าสมการ  
2
y a x h k   เมื่อ a 0 เป็นสมการทั่วไปของพาราโบลาซึ่งมีจุดยอดอยู่ที่
จุด  h,k และจากสมการ 2
y 7 x 6x   แล้ว a h มีค่าเท่าใด
1. –2 2. 3 3. 4 4. 5
สมการ y 7 2
x 6x 
จัดรูป y 2
x 6x 7   จะได้ a 1,b 6   และ c 7
 
b 6
h 3
2a 2 1

    
a h 3 1 4     (ตอบข้อ 3)
16.) เปลี่ยนสมการ 2
y 2x 4 x   ให้อยู่ในรูป  
2
y a x h k   ได้เท่ากับข้อใด
1.  
2
y x 1 3    2.  
2
y x 1 3   
3.  
2
y x 1 3    4.  
2
y x 1 3   
จากสมการ 2
y 2x 4 x  
จะได้  2
y x 2x 4   
 2 2 2
y x 2x 1 1 4     
 
2
y x 1 3    (ตอบข้อ 4)

14. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 14 - ม.ต้น www.focus-physics.com
17.)  
2
y 2 x 1 3   ทาให้อยู่ในรูป 2
y ax bx c   ตรงกับข้อใด
1. 2
y 2x 4x 5    2. 2
y 2x 4x 9   
3. 2
y 2x 4x 6   4. 2
y 2x 4x 5  
จากสมการ  
2
y 2 x 1 3  
จะได้  2
y 2 x 2x 1 3   
2
y 2x 4x 2 3   
2
y 2x 4x 5   (ตอบข้อ 4)
1.จากสมการ 2
y x 8x 1   จงทาให้อยู่ในรูป  
2
y a x h k   คือข้อใด
ก.  
2
y x 4 17   ข.  
2
y x 4 1  
8.  
2
y x 4 15   ง.  
2
y x 4 17  
2.จากสมการ 2
y 2x 8x 1   จงทาให้อยู่ในรูป  
2
y a x h k   คือข้อใด
ก .  
2
y 2 x 2 7   ข.  
2
y 2 x 2 5  
ค.  
2
y 2 x 2 3   ง .  
2
y 2 x 4 31  
ถามหาตัวแปร
18.) พาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น 2
y c 2x x   มีค่าสูงสุดเท่ากับ –2 จะมีจุดตัดแกน y คือ
จุดใด
1.  0, 1 2.  0, 2 3.  0, 3 4.  0, 4
จากสมการ 2
y c 2x x   จะได้ a 1,b 2,c c    
ค่าสูงสุด คือ
2
b
k c
4a
 
 
 
2
2
c
4 1



2 
c 1 2 
c 3 
 จะได้สมการพาราโบลาคือ 2
y 3 2x x   
จุดตัดแกน y คือ แทน x = 0 จะได้ y 3  นั่นคือ  0, 3 (ตอบข้อ 3)

15. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 15 - ม.ต้น www.focus-physics.com
18. ถ้า a และ b เป็นจานวนจริงที่ทาให้กราฟของสมการ     3x1bx1ay 2
 ตัดแกน X
ที่จุด (–1, 0) และ (1, 0) แล้วค่าของ 22
ba  เท่ากับข้อใดต่อไปนี้
ก. 5 ข. 10 ค. 15 ง. 20
วิธีทา โจทย์ข้อนี้และลักษณะแบบนี้จาไว้คิดลัดไม่ได้ต้องคิดตรงๆๆ
จากสมการ     3x1bx1ay 2

เอา จุด (–1, 0) ไปแทนจะได้      
2
0 a 1 1 b 1 1 3      
a b 3 
เอา จุด (1, 0) ไปแทนจะได้      
2
0 a 1 1 b 1 1 3    
a b 5 
2a 8
a 4 และจะได้ b 1
2 2 2 2
a b 4 1  
2 2
a b 16 1  
2 2
a b 15 
19. ถ้าพาราโบลารูปหนึ่งมีสมการเป็น 2
xx2cy  มีค่าสูงสุดเท่ากับ 2 แล้ว c มีค่าเท่าใด
ก. 1 ข. 2 ค. –1 ง. –2
วิธีทา จากสมการพาราโบลา 2
xx2cy 
2
b
y c
4a
 
 
 
2
2
2 c
4 1

 

c 1
20. ถ้าจุดสูงสุดของพาราโบลา 2
y c 2x 2x   อยู่บนเส้นตรง 2y – 3 = 0 แล้ว c มีค่าเท่าใด
ก. 1 ข. 2 ค. –1 ง. –2
วีธีทา จุดสูงสุดอยุ่บนแกน 3
2y 3 0 y
2
   
หมายความว่าจุดยอดอยู่ที่จุด
 
b 2 1
x
2a 2 2 2
    

1 3
,
2 2
 
  
 
แทนจุดยอดในสมการ 2
y c 2x 2x  
2
3 1 1
c 2 2
2 2 2
   
     
   

16. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 16 - ม.ต้น www.focus-physics.com
3 1
c 1
2 2
  
c 1
21. ถ้ากราฟของสมการ   k3x2y
2
 ผ่านจุด (–4, 3) แล้ว k จะมีค่าตรงกับข้อใด
ก. 1 ข. 2 ค. –1 ง. –2
วิธีทา
จาก   k3x2y
2

แทนจะผ่าน(–4, 3) จะได้  
2
3 2 4 3 k   
3 2 k 
k 1 
การเลื่อนแกน
22. กราฟของสมการในข้อใดต่อไปนี้ เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ 2
x3y 
ตามแนวแกน X ไปทางซ้าย 4 หน่วย
ก. 4x3y 2
 ข. 4x3y 2

ค.  2
4x3y  ง.  2
4x3y 
วิธีทา จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ 2
x3y  ตามแนวแกน X ไปทางซ้าย 4 หน่วย
  
22
y 3x y 3 x 4    
 
2
y 3 x 4 
19.) เรือลาหนึ่งจอดทอดสมออยู่ที่จุดยอดของกราฟพาราโบลา  
2
y x 2 5   ถ้ากราฟ
เคลื่อนที่ไปตามเรือ โดยที่เรือแล่นไปทางทิศตะวันออกเป็นระยะ 10 ไมล์ทะเลแล้ว แล่นลงไป
ทางทิศใต้อีก 6 ไมล์ทะเล จึงจอดทอดสมออีกครั้งหนึ่ง จงหาสมการพาราโบลาใหม่
1.  
2
y x 8 1   2.  
2
y x 10 6  
3.  
2
y x 8 11   4.  
2
y x 12 11  
จาก  
2
y x 2 5  
สมการ  
2
y x h k   จะได้ h 2,k 5  
สมการใหม่  
2
y x h k  
 
2
y x 8 1   (ตอบข้อ 1)

17. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 17 - ม.ต้น www.focus-physics.com
23. กราฟของสมการในข้อใดต่อไปนี้ เป็นภาพที่ได้จากการเลื่อนขนานกราฟของสมการ
5x8x2y 2
 ตามแนวแกน X ไปทางขวา 4 หน่วย
ก. 5x4x2y 2
 ข. 5x4x2y 2

ค. 5x8x2y 2
 ง. 5x8x2y 2

ถามหาระยะระหว่างจุด
24. จุดยอดของพาราโบลาซึ่งมีสมการเป็น 2
x2x1629y  อยู่ห่างจากจุดกาเนิดกี่หน่วย
ก. 1 ข. 3 ค. 5 ง. 7
วีธีทา 2
x2x1629y 
 
 
16b
x 4
2a 2 2

    
 
 
22
16b
y c 29 3
4a 4 2

     
ได้จุดยอดคือ  4, 3 ห่างจากจุดกาเนิด 0,0
สูตรการหาระยะระหว่างจุดสองจุด    
2 2
2 1 2 1d x x y y   
   
2 2
d 4 0 3 0    
d 25 5 
1. กาหนด y = x2
+ 3 และ y = x 2
- 8x + 16 ถ้าเขียนกราฟของสมการทั้ง 2 บนแกนเดียวกัน แล้วจุด
ยอดของกราฟทั้ง 2 อยู่ห่างกันกี่หน่วย
ก. 3 หน่วย ข. 4 หน่วย ค. 5 หน่วย ง. 8 หน่วย
2. ถ้ากราฟพาราโบรา y = x 2
+14x + 48 ตัดแกน x ที่จุด A และ B ระยะทางจาก A ถึง B ยาวกี่หน่วย
ก. 2 หน่วย ข. 6 หน่วย ค. 8 หน่วย ง. 14 หน่วย
3.A เป็นจุดยอดของพาราโบลา 3x2xy 2
 จุด B และ C เป็นจุดตัดแกน X จุด A อยู่ห่างจากจุด
กึ่งกลางของ BC เป็นระยะเท่าใด
ก. 1 หน่วย ข. 2 หน่วย ค. 3 หน่วย ง. 4 หน่วย

18. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 18 - ม.ต้น www.focus-physics.com
บอกส่วนต่างๆหาพื้นที่
25. ถ้าพาราโบลา 8x15x2y 2
 ตัดแกน Y ที่จุด A และตัดแกน X ที่จุด B และ C พื้นที่
สามเหลี่ยม ABC มีค่ากี่ตารางหน่วย
ก. 15 ข. 17 ค. 30 ง. 34 
ขั้นที่1
8x15x2y 2
 ตัดแกน Y ให้x 0       
2
y 2 0 15 0 8 8 0,8     
ขั้นที่2
8x15x2y 2
 ตัดแกน X ให้y 0  2
0 2x 15x 8  
2
2x 15x 8 0  
  2x 1 x 8 0  
1
x 8,
2
 
จะได้จุดทั้งสามคือ    
1
A 0,8 , B 8,0 , C ,0
2
 
    
 
สูตรการหาพื้นที่
1
0 8 01
2
2
8 0 0 8

 
1
0 8 01
2
2
8 0 0 8

 
   
1
0 0 4 64 0 0
2
      
1 68
68 36
2 2
    
26. ถ้าพาราโบลา 5x6xy 2
 ตัดแกน Y ที่จุด A และตัดแกน X ที่จุด B และ C พื้นที่สามเหลี่ยม
ABC มีค่ากี่ตารางหน่วย
ก. 5 ข. 10 ค. 15 ง. 20
27. ถ้ากราฟพาราโบลา   x5x3y  มีจุด A เป็นจุดยอด และตัดแกน X ที่จุด B และ C
สามเหลี่ยม ABC มีพื้นที่กี่ตารางหน่วย
ก. 24 ข. 46 ค. 64 ง. 80

19. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 19 - ม.ต้น www.focus-physics.com
บอกส่วนต่างๆหาสมการ
28. พาราโบลามีจุดยอดอยู่ที่จุด (–2, 1) และผ่านจุด (–3, 2), (1, 10) มีสมการตรงกับข้อใด
ก.   12xy
2
 ข.   12xy
2
 
ค.  2
2x1y  ง.  2
2x1y 
วิธีทา ข้อนี้จริงๆมันง่ายมาก ดูแต่ละข้อแล้วเปรียบเทียบกับสมการ
 
2
y a x h k   จะมีจุดยอดอยู่ที่  h,k
ข้อนี้โจทย์บอก พาราโบลามีจุดยอดอยู่ที่จุด (–2, 1) ข้อ ก และ ค ผิดแล้วดูดีๆๆ
เหลือ ข้อ ข และ ข้อ ง
เทคนิคคิดลัด ท่องจาไว้เลย จุดยอด จุดตัด จุดสัมผัส จุดผ่าน
เราสามรถเอาจุดเหล่านี้ไปแทนคาตอบแล้วตรวจคาตอบได้เลย
ข.   12xy
2

ข้อนี้เอาจุดผ่าน x 1, y 10  ไปแทนจะได้จะได้  
2
10 1 2 1  
10 10 ข้อนี้ถูกต้อง
ง.  2
2x1y 
ข้อนี้เอาจุดผ่าน x 1, y 10  ไปแทนจะได้จะได้  
2
10 1 1 2  
10 8  ข้อนี้จึงผิด
29. พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่จุด (–1, 1) ตัดแกน X ที่จุด (–3, 0), (1, 0) มีสมการตรงกับข้อใด
ก. 03x2x4y 2
 ข. 03x2x4y 2

ค. 03x2xy4 2
  ง. 03x2xy4 2

วิธีทาข้อนี้จะต่างจากข้อที่แล้วนิดหน่อย ตรงบอกสมการพาราโบลาในรูปทั่วไปมาให้
คงมองยากนิดหนึ่ง ใช้คิดลัดเลย
เทคนิคคิดลัด ท่องจาไว้เลย จุดยอด จุดตัด จุดสัมผัส จุดผ่าน
เราสามรถเอาจุดเหล่านี้ไปแทนคาตอบแล้วตรวจคาตอบได้เลย
ก. 03x2x4y 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 1, y 0  จะได้    
2
0 4 1 2 1 3 0   
3 0 ข้อนี้จึงผิด
ข. 03x2x4y 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 1, y 0  จะได้    
2
0 4 1 2 1 3 0   
6 0  ข้อนี้จึงผิด

20. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 20 - ม.ต้น www.focus-physics.com
ค. 03x2xy4 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 1, y 0  จะได้      
2
4 0 1 2 1 3 0   
0 0 ข้อนี้ถูกต้อง
ง. 03x2xy4 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 1, y 0  จะได้      
2
4 0 1 2 1 3 0   
0 0 ข้อนี้ถูกต้อง
เมื่อแทนแล้วบังเอิญมีข้อที่ถูกสองข้อให้ลองแทนอีกจุดหนึ่งที่ยังไม่ใช้จะจาแนกคาตอบได้ทันที
ค. 03x2xy4 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 1, y 1   จะได้      
2
4 1 1 2 1 3 0     
0 0 ข้อนี้ถูกต้อง
ง. 03x2xy4 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 1, y 1   จะได้      
2
4 1 1 2 1 3 0     
8 0 ข้อนี้ผิด
30. พาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่จุด (–2, 1) และตัดแกน y ที่จุด (0, 3) มีสมการตรงกับข้อใด
ก.   12x2y
2
 ข.   12x2y
2

ค.   12x
2
1
y
2
  ง.   12x
2
1
y
2

วิธีทา ข้อนี้จริงๆมันง่ายมาก ดูแต่ละข้อแล้วเปรียบเทียบกับสมการ
 
2
y a x h k   จะมีจุดยอดอยู่ที่  h,k
ข้อนี้โจทย์บอก พาราโบลามีจุดยอดอยู่ที่จุด (–2, 1) ข้อ ข และ ง ผิดแล้วดูดีๆๆ
เหลือ ข้อ ก และ ข้อ ค
เทคนิคคิดลัด ท่องจาไว้เลย จุดยอด จุดตัด จุดสัมผัส จุดผ่าน
เราสามรถเอาจุดเหล่านี้ไปแทนคาตอบแล้วตรวจคาตอบได้เลย
ก.   12x2y
2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 0 , y 3  ไปแทนจะได้จะได้  
2
3 2 0 2 1  
3 9 ข้อนี้ผิด
ค.   12x
2
1
y
2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 0 , y 3  ไปแทนจะได้จะได้  
21
3 0 2 1
2
  
3 3 ข้อนี้จึงถูกต้อง

21. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 21 - ม.ต้น www.focus-physics.com
31. ให้ P เป็นจุดตัดของเส้นตรงมีสมการเป็น y = 2x + 10 และ y = –3x + 5 ถ้ากราฟของพาราโบลา
ผ่านจุด (–2, 5) และมีจุดสูงสุดที่จุด P แล้วสมการของพาราโบลาคือสมการในข้อใดต่อไปนี้
ก. 7xxy 2
 ข. 3x3x2y 2

ค. 5x6x3y 2
  ง. 1x5x4y 2

วิธีทาข้อนี้จะต่างจากข้อที่แล้วนิดหน่อย ตรงบอกสมการพาราโบลาในรูปทั่วไปมาให้
คงมองยากนิดหนึ่ง ใช้คิดลัดเลย
เทคนิคคิดลัด ท่องจาไว้เลย จุดยอด จุดตัด จุดสัมผัส จุดผ่าน
เราสามรถเอาจุดเหล่านี้ไปแทนคาตอบแล้วตรวจคาตอบได้เลย
ก. 7xxy 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 2 , y 5   จะได้    
2
5 2 2 7     
5 5
ข. 3x3x2y 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 2 , y 5   จะได้    
2
5 2 2 3 2 3    
5 5
ค. 5x6x3y 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 2 , y 5   จะได้    
2
5 3 2 6 2 5     
5 5
ง. 1x5x4y 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 2 , y 5   จะได้    
2
5 4 2 5 2 1    
5 5
เมื่อแทนแล้วบังเอิญมีข้อที่ถูกต้องทั้ง 4 ตัวเลือกเลย เพราะคนออกข้อสอบแกล้งเราแน่เลย
ที่ทาให้ดูทั้งหมดกาลังจะบอกน้องๆว่าจุดที่หามายากที่สุดจะเป็นไม้ตายของโจทย์แบบนี้
เราไปหาจุดตัดมาแล้วเอาไปแทนอีกรอบจะออกเลย
y = 2x + 10 และ y = –3x + 5
จะได้ว่า 2x 10 3x 5   
5x 5 
x 1 
y 8
ค. 5x6x3y 2

ข้อนี้เอาจุดตัด x 1, y 8   จะได้    
2
8 3 1 6 1 5     
8 8

22. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 22 - ม.ต้น www.focus-physics.com
ให้น้องทดสอบข้อที่เหลือดูจะมีข้อถูกเพียงข้อเดียว คือ ค ครับ
1.พาราโบลาที่ผ่านจุด (–5, 9) และจุด (3, 9) จะมีสมการแกนสมมาตรตรงกับข้อใดต่อไปนี้
ก. x + 1 = 0  ข. x – 1 = 0 ค. x + 2 = 0 ง. x – 2 = 0
2.จุดตัดของกราฟคู่ใดเป็นจุดยอดของกราฟ   52x3y
2

ก. xy = 10 กับ 2x – y + 1 = 0 ข. xy = 10 กับ 2x – y – 1 = 0
ค. xy = –10 กับ 2x – y + 1 = 0 ง. xy = –10 กับ 2x – y – 1 = 0
3.สมการ   181x2y
2
 ค่าของ y > 0 เมื่อใด
ก. –4 < x < –2 ข. –2 < x < 4
ค. 4 < x < 10 ง. x > 10
4. พาราโบราที่มีจุดยอดที่ (1, 9) ตัดแกน x ที่ (-2, 0) กับ (4, 0) จะมีสมการตามข้อใด
ก. y = x 2
– 2x – 8 ข. y = -x 2
– 2x + 8 ค. y = -x 2
+ 2x + 8 ง. y = -x 2
– 4x + 8
5.ข้อใดเป็นกราฟพาราโบราที่มีจุดยอด (-1, -8) และตัดแกน x ที่จุด (-3, 0)
ก. y = (x + 1) 2
- 8 ข. y = (x – 1) 2
+ 8 ค. y = 2(x + 1) 2
- 8 ง. y = (2x – 1) 2
6.สมการพาราโบลาที่มีจุดยอดอยู่ที่ (1, 1)และจุดตัดบนแกน y เป็น  1,0  คือข้อใด
ก.  2
y 2 x 1 1    ข.  
21
y x 1 1
2
   
ค.  2
y 2 x 1 1    ง.  
21
y x 1
2
  
7.ให้จุด (d, 0) เมื่อ d < 0 เป็นจุดที่กราฟของพาราโบลา 1xx2y 2
 ตัดแกน X ถ้าเส้นตรง L
ซึ่งมีสมการเป็น y = ax +b ผ่านจุด (d, 0) และจุดยอดของพาราโบลานี้แล้ว ข้อใดต่อไปนี้เป็นสมการ
ของเส้นตรง L
ก. 6x + 4y – 3 = 0 ข. 6x – 4y – 3 = 0
ค. 4x – 6y – 3 = 0 ง. 6x – 4y + 3 = 0

23. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 23 - ม.ต้น www.focus-physics.com
การหาค่ามากสุด
20.) สามเหลี่ยมรูปหนึ่งมีฐานยาว 2x 4 สูง 10 x จะมีพื้นที่มากที่สุดกี่ตารางหน่วย
1. 30 2. 36 3. 40 4. 42 5. 48
พ.ท. 
1
2
  ฐานสูง
   
1
2x 4 10 x
2
    
 21
2x 16x 40
2
   
2
x 8x 20   
สมการรูปทั่วไป 2
y ax bx c   จะได้ a 1,b 8   และ c 20
จากโจทย์ถาม พ.ท. มากสุด นั่นคือ ค่าสูงสุด คือค่า
2
b
k c
4a
 
 
 
2
8
20 20 16 36
4 1
    

 จะมีพื้นที่มากที่สุด 36 ตารางหน่วย (ตอบข้อ 2)
21.) ต้องการล้อมรั้วรอบที่ดินสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยด้านหนึ่งติกับแม่น้าโดยมีลวดยาว 100 เมตร
1. 12.5 เมตร 2. 20 เมตร 3. 25 เมตร 4. 50 เมตร
พ.ท.สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง ยาว
 x 100 2x 
2
2x 100x  
สมการรูปทั่วไป 2
y ax bx c  
จะได้ a 2,b 100   และ c 0
ค่าของ
 
b 100 100
x h 25
2a 2 2 4
      
 
จะต้องล้อมรั้วให้มีด้านกว้างยาว 25 เมตร จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด (ตอบข้อ 3)

24. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 24 - ม.ต้น www.focus-physics.com
22.) ต้องการล้อมรั้วรอบที่ดินสี่เหลี่ยมผืนผ้าและด้านหนึ่งติดถนน โดยที่ด้านที่ติดถนนจะไม่ล้อมรั้ว
ซึ่งมีลวดหนามยาว 50 เมตร จงหาว่าจะต้องให้ด้านกว้างยาวเท่าไร จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด
1. 12 เมตร 2. 12.5 เมตร 3. 15 เมตร 4. 15.5 เมตร
พ.ท. สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง ยาว
 x 50 2x 
2
2x 50x  
สมการรูปทั่วไป 2
y ax bx c   จะได้ a 2,b 50   และ c 0
ค่าของ
 
b 50 50
x h 12.5
2a 2 2 4
      
 
 จะต้องล้อมรั้วให้มีด้านกว้างยาว 12.5 เมตร จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด (ตอบข้อ 2)
23.) สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีความยาว x 30 เมตร กว้าง 20 x เมตร จงหาว่าด้านที่สั้นที่สุด
จะต้องยาวเท่าใดจึงจะทาให้สี่เหลี่ยมรูปนี้มีพื้นที่มากที่สุด
1. 15 เมตร 2. 20 เมตร 3. 25 เมตร 4. 30 เมตร
พ.ท.สี่เหลี่ยมผืนผ้า = กว้าง ยาว
  x 30 20 x  
2
x 10x 600   
สมการรูปทั่วไป 2
y ax bx c   จะได้ a 1,b 10    และ c 600
ค่าของ
 
b 10 10
x h 5
2a 2 1 2

       

 ด้านกว้าง 20 x   20 5 25    เมตร
ด้านยาว x 30  5 30 25    เมตร (ตอบข้อ 3)

25. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 25 - ม.ต้น www.focus-physics.com
24.) มีไม้ทารั้วยาว 40 เมตร ต้องการกั้นรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าซึ่งอยู่ติดแม่น้าโดยกั้นรั้วเพียง
3 ด้าน เพื่อปลูกผักขาย จะต้องกั้นรั้วอย่างไรจึงจะได้พื้นที่มากที่สุด
1. ยาว 10 ม. กว้าง 15 ม. 2. ยาว 20 ม. กว้าง 10 ม.
3. ยาว 32 ม. กว้าง 4 ม. 4. ยาว 30 ม. กว้าง 5 ม.
จะได้ พื้นที่  = กว้างยาว
 y x 40 2x 
2
y 40x 2x 
2
y 2x 40x  
จาก 2
y ax bx c   จะได้ a 2,b 40,c 0   
 
b 40
h 10
2a 2 2
    

 จะต้องกั้นให้ ด้านกว้างยาว = 10 เมตร
ด้านยาว ยาว = 40 – 2(10) = 20 เมตร
จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด (ตอบข้อ 2)
25.) ต้องการล้อมรั้วรอบที่ดินรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าให้ได้พื้นที่มากที่สุด เพื่อทาสนามเด็กเล่นติดกับ
ถนน โดยใช้ไม้ทารั้วยาว 100 เมตร และล้อมรั้วเพียงสามด้านเท่านั้น อยากทราบว่าด้านที่อยู่
ติดกับถนนที่ไม่ได้ล้อมรั้วจะมีความยาวได้มากที่สุดเท่าใด
1. 25 เมตร 2. 48 เมตร 3. 50 เมตร 4. 54 เมตร
พื้นที่  = กว้างยาว
 y x 100 2x 
2
y 100x 2x 
2
y 2x 100x  
จาก 2
y ax bx c   จะได้ a 2,b 100,c 0   
 
b 100
h 25
2a 2 2
    

 ด้านกว้าง ยาว = 25 เมตร
ด้านยาว ยาว = 50 เมตร
จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด
 ด้านที่ไม่ล้อมรั้วยาว = 50 เมตร (ตอบข้อ 3)

26. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 26 - ม.ต้น www.focus-physics.com
26.) เชือกเส้นหนึ่งยาว 100 เมตร นามาขึงล้อมรอบพื้นที่รูปสี่เหลี่ยมมุมฉากสามด้าน ที่มีด้านหนึ่ง
ติดริมแม่น้าไม่ต้องขึง จงหาว่าจะขึงเชือกล้อมรอบพื้นที่ได้มากที่สุดกี่ตารางเมตร
1. 1,250 2. 1,050 3. 650 4. 625
จากข้อ 30 จึงจะได้พื้นที่มากที่สุด 25 50 1,250   ตาราเมตร (ตอบข้อ 1)
27.) มีวัสดุทารั้วยาว 100 เมตร ต้องการล้อมรั้วที่ดินที่อยู่ริมฝั่งแม่น้าเป็นรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า โดยมี
ความยาวของด้ายกว้าง x เมตร และพื้นที่ของที่ดินที่ล้อมได้ A ตารางเมตร ถ้า 3 x 10 
แล้วพื้นที่ A มีค่าอยู่ช่วงใด
1. 282 A 800  2. 318 A 1,200 
3. 100 A 982  4. 100 A 800 
จากข้อ 30 จะได้พื้นที่ 2
A 2x 100x   
จาก 3 x 10 
2
9 x 100 
2
200 2x 18    
300 100x 1000 
2
100 2x 100x 982    (ตอบข้อ 3)
1. เมื่อโยนก้อนหินขึ้นไปในอากาศในเวลา t ใด ๆ ระยะความสูง h (เมตร) ของก้อนหินจากพื้นเป็นไป
ตามสมการ h = 240t – 5t 2
จงหาว่าก้อนหินถูกโยนขึ้นไปได้สูงสุดเป็นระยะทางเท่าใด
ก. 2,880 เมตร ข. 2,400 เมตร ค. 2,440 เมตร ง. 2,350 เมตร
2. สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปหนึ่งมีด้านหนึ่งยาว x + 2 นิ้ว อีกด้านหนึ่งยาว 8 – x นิ้ว จงหาพื้นที่ของ
สี่เหลี่ยมผืนผ้ารูปนี้มากที่สุดเมื่อ xมีค่าเท่าไร
ก. 1.5 นิ้ว ข. 2 นิ้ว ค. 2.5 นิ้ว ง. 3 นิ้ว
3. กาหนดให้ y = -x2
– 4x + 5 พื้นที่รูปสามเหลี่ยมที่ลากเชื่อมจุดยอดและจุดตัดแกน x ของพาราโบลา
รูปนี้มีค่าตรงกับข้อใด
ก. 15 ตารางหน่วย ข. 32 ตารางหน่วย ค. 42 ตารางหน่วย ง. 63 ตารางหน่วย
4.ผลิตผลด้านการเกษตรชนิดหนึ่ง เสียค่าใช้จ่ายคิดเป็นเงินไร่ละ
x
300
4x2.0  บาท ขายผลิตผล
คิดเป็นเงินไร่ละ x2600  บาท และเสียค่าขนส่งอีกคิดเป็นเงินไร่ละ 24 บาท โดย x หมายถึงจานวน
ไร่ที่ผลิตต่อเดือน ถ้าต้องการให้ได้กาไรมากที่สุด จะต้องใช้เนื้อที่การผลิตจานวนกี่ไร่
ก. 85 ข. 130  ค. 185 ง. 572

27. บันไดเซียนคณิตศาสตร์คิดลัดขั้นเทพ - 27 - ม.ต้น www.focus-physics.com
5.ชาวสวนคนหนึ่งมีลวดหนามยาว 80 เมตร หากต้องการใช้ล้อมรั้วที่ดินรูปสี่เหลี่ยมจานวน 3 แปลง
ดังรูป ถามว่าพื้นที่รวมมากที่สุดที่ชาวสวนสามารถล้อมได้เป็นเท่าไร
ก. 192 ตารางเมตร ข. 200 ตารางเมตร
ค. 220 ตารางเมตร ง. 234 ตารางเมตร
6.ถ้า 2x + y = 10 แล้วค่าสูงสุดของ xy จะเป็นเท่าใด
ก. 6 ข. 9 ค. 12 ง. 18