1. Київ
Видавничий дім «Освіта»
2019
Г. П. Бевз
В. Г. Бевз
В. М. Владіміров
Н. Г. Владімірова
Алгебра і початки аналізу
«Алгебра і початки аналізу (профільний рівень)»
підручник для 11 класу закладів загальної середньої освіти
2. Умовні позначки
«Екологічна безпека і сталий розвиток»
«Здоров’я і безпека»
«Громадянська відповідальність»
«Підприємливість та фінансова грамотність»
Задачі, що було запропоновано під час ЗНО.
Освіта — скарб, праця — ключ до нього.
П. Буаст
ШАНОВНІ УЧНІ ТА УЧЕНИЦІ!
Цей навчальний рік — визначальний у вашому житті, оскільки ви стоїте на
порозі вибору майбутньої професії. У цьому вам допоможуть знання з математики
та уміння використовувати їх на практиці. Підручник адресовано учням, які вивча-
ють математику на профільному рівні. Її вивчення сприятиме свідомому і міцному
оволодінню системою математичних знань, навичок і умінь, які знадобляться вам
у повсякденному житті та майбутній трудовій діяльності, допоможуть у вивченні
інших шкільних дисциплін та продовженні навчання у вищих закладах освіти.
За цим підручником ви будете завершувати вивчення алгебри і початків аналі-
зу в середній школі. Щоб уявити весь її курс і зрозуміти, яке місце посідає в ній
матеріал 11 класу, розгляньте поданий нижче перелік тем. Матеріал, позначений
маркерами ( ), ви вивчатимете цього року.
Функції
Многочлени
Рівняння та нерівності
Степенева функція
Тригонометричні функції
Тригонометричні рівняння
і нерівності
Похідна та її застосування
Показникова та логарифмічна
функції
Показникові рівняння і нерівності
Логарифмічні рівняння і нерівності
Інтеграл та його застосування
Елементи комбінаторики, теорії
ймовірностей
Рівняння, нерівності та їх системи
З окремими темами ви вже ознайомилися, а більшість — зовсім нові. Намагайтеся
опанувати їх. У кожному параграфі підручника викладено теоретичні відомості і
задачі на їх засвоєння та застосування. Читаючи теорію, основну увагу звертайте
на слова, виділені курсивом і жирним шрифтом. Їх треба розуміти і застосовувати
до розв’язування задач. Майже в усіх параграфах підручника є рубрика «Хочете
знати ще більше?», в якій містяться додаткові відомості для зацікавлених. Від-
повідаючи на запитання рубрики «Перевірте себе», ви зможете краще закріпити,
узагальнити і систематизувати нові знання.
Знати математику — це насамперед уміти користуватися нею. А для цього слід
розв’язувати багато задач. У підручнику подано задачі різних рівнів складності.
Їх поділено на групи: «Виконайте усно», група А, група Б, група В і «Задачі для
повторення».
Особливістю цього підручника є включення до кожної навчальної теми задач,
що в різні роки пропонувалися під час ЗНО. Розв’язування таких задач допоможе
у підготовці до одного з найвідповідальніших іспитів у вашому житті.
Окремі задачі містять реальні дані, що стосуються використання та збереження
природних ресурсів, безпеки й охорони здоров’я, планування господарської ді-
яльності, складання сімейного бюджету та реальної оцінки власних можливостей
тощо. Для цих задач використано спеціальні позначки, пояснення яких можна
побачити на звороті титулу.
У рубриці «Виконаємо разом» подано декілька задач із розв’язаннями, і, перш
ніж виконувати домашнє завдання (номери цих завдань виділено синім кольором),
радимо проглянути їх.
Перевірити, як ви засвоїли новий матеріал та добре підготуватися до зовнішнього
незалежного оцінювання, ви можете, розв’язуючи задачі та виконуючи завдання
з рубрики «Перевіряємо набуті компетентності».
Сподіваємося, що вивчення алгебри і початків аналізу за цим підручником буде
для вас цікавим і нескладним.
Автори
3. Костянтин Феофанович ЛЕБЕДИНЦЕВ
(1878–1925)
Українськийматематик,педагог-новатор,член
Київського фізико-математичного товариства.
Його професійна діяльність стосувалася рефор-
муванняматематичноїосвітитавпровадженнявїї
систему демократичних новітніх ідей. У його під-
ручнику «Керівництво алгебри» функції вперше
ввійшли до курсу алгебри як органічна складова.
Академік О. Ю. Шмідт назвав його «найкращим
сучасним підручником з алгебри».
Розділ 1Розділ 1
НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ
ПОКАЗНИКОВІ ТА
ЛОГАРИФМІЧНІ ФУНКЦІЇ
Exponential and
Logarithmic Functions
xO 1
1
2
3
4
5
y
–1
–1
–2
–2
2 3 4 5
y ax
y x
a > 1
y loga
x
a
0 < a < 1
xO 1
1
2
3
4
5
y
–1
–1
–2
–2
2 3 4 5
y ax
y x
y loga
x
б
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 5
§1Степінь з дійсним
показником
Degrees with Valid Indicators
Пригадайте, як поступово розширювалося поняття степеня. Спочатку
вводилося поняття степеня числа з натуральним показником n:
1
... , , 2; .n
n
a a a a a n N n a a
Потім розглядалися степені з цілим показником: a0
1;
1n
n
a
a
0 ;a
нарешті — з довільним раціональним показником степеня:
m
n mn
a a (a > 0).
Математики часто використовують також степені з довільними дійсни-
ми показниками. Множина дійсних чисел складається з чисел раціональ-
них та ірраціональних. Що таке степені з раціональними показниками, ви
вже знаєте. Введемо поняття степеня з ірраціональним показником на
прикладі числа 2
3 . Нехай
(n
): 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ... (*)
нескінченна послідовність раціональних наближень числа 2 з точністю
до десятих, сотих, тисячних і т. д. Тобто це послідовність раціональних
чисел, які досить близько наближаються до 2. Тоді
(an
): 31,4
; 31,41
; 31,414
; 31,4142
; 31,41421
; ... (**)
послідовність чисел (степенів з раціональними показниками), які як за-
вгодно близько наближаються до деякого дійсного числа. Це дійсне число
і прийнято вважати значенням степеня 2
3 .
Наближені значення (з точністю до десятих, сотих, тисячних і т. д.) для
степенів 2
3 і 2
5 подано в таблиці, виконаній за допомогою програми
Microsoft Excel (мал. 1).
Мал. 1
4. Розділ 16
Якими не були б дійсні числа a > 0 і , степінь a
завжди має зміст,
тобто дорівнює деякому дійсному числу. Для таких степенів справджуються
властивості:
1) ar
· as
ar+s
; 2) ar
: as
ar–s
; 3) (ar
)s
ar·s
; 4) (ab)r
ar
br
; 5) ,
r r
r
a a
b b
де a > 0, b > 0, r R, s R.
Вирази, що містять степені з дійсними показниками, можна перетво-
рювати так само, як вирази зі степенями з раціональними показниками.
Приклад.
22 1 1 12
12 2 2 2
2
1 1 1
2 2 2
49 7 7 7
7 .
7 7 7
a a a a
a
a a a
Як ви вже знаєте, степені із дробовими показниками розглядають за
умови, що їх основи — числа додатні. Так само і степені з ірраціональни-
ми показниками розглядають за умови, що основи степенів — числа до-
датні. Але якщо > 0 , то 0
існує і 0
0. А наприклад, вирази 0–0,5
,
1
82 ,
(–)1,3
, 2
3 — не мають змісту. Це — записи, які не позначають ніяких
чисел.
Знаючи тільки степені з раціональними показниками, ви раніше і сте-
пеневі функції розглядали не всі, а тільки такі, показники степенів яких
були раціональними числами. Тепер поняття степеневої функції можна
розширити. Степеневою далі називатимемо функцію y x
, де — до-
вільне дійсне число. Зокрема, функції 2
,y x y x–
— степеневі. Влас-
тивості цих функцій такі самі, як і властивості степеневих функцій з ра-
ціональними показниками степенів.
Якщо — додатне ірраціональне число, то функція y x
визначена на
проміжку 0; ; така ж і множина її значень. Якщо ж ірраціональне
число від’ємне, то областю визначення і областю значень функції y x
є проміжок 0; . Властивості таких функцій вказано в таблиці.
Властивості степеневої функції y x
, R
x
> 0 < 0
D(y) 0; 0;
E(y) 0; 0;
y > 0 0; 0;
спадає — 0;
зростає 0; —
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 7
Кілька графіків таких функцій зображено на
малюнках 2, 3.
Для окремих значень цю функцію можна розгля-
дати і на ширшій області визначення. Зокрема, при
натуральних вона визначена на R (мал. 4, а), а
при цілих від’ємних — на множині ;0 0;
(мал. 4, б). У цих випадках при парних значеннях
функція y x
парна, а при непарних — непарна.
ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?
Наведене на с. 5 пояснення поняття степеня з ір-
раціональним показником з погляду математики не
зовсім коректне, бо в ньому вжито нематематичне
поняття «близько наближається». У математиці йому
відповідає поняття границя послідовності. Число a
називають границею нескінченної послідовності
a1
, a2
, a3
, ..., an
, ... , якщо для будь-якого додатного
числа існує номер члена послідовності N() такий,
що для всіх n > N() виконується нерівність .na a
Тому правильніше було б сказати, що коли границею
послідовності (n
) є число 2, то границею послідов-
ності (an
) є число 2
3 . Узагалі, якщо a > 0 — число
дійсне, а — ірраціональне, то під степенем a
розу-
міють границю нескінченної послідовності 1
,a 2
,a
..., ,n
a
..., де 1
, 2
, ..., n
, ... — нескінченна послі-
довність, границею якої є число . Коректність тако-
го означення обґрунтовано у строгих курсах матема-
тичного аналізу.
1 x
y
1
2
3
–1 O
y x4
a
1 2–1
–1
–3
–2
–4
x
y
O
1
2
3
4
yx–3
б
Мал. 4
O
1
1 2
2
3
x
y
y x
O
1
1 2 3
2
3
x
y
2
y x
Мал. 2
O
1
1 2
2
3
x
y
0,5
y x
O
1
1 2 3
2
3
x
y
y x–
Мал. 3
a
a
б
б
5. Розділ 18
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1. Що таке степінь числа з натуральним показником?
2. Якою рівністю можна визначити степінь числа з цілим від’ємним по-
казником? А з дробовим показником?
3. Що розуміють під степенем додатного числа з ірраціональним показ-
ником?
4. Які властивості мають степені з довільними дійсними показниками?
5. Як можна перетворювати вирази, що містять степені з довільними
дійсними показниками?
ВИКОНАЄМО РАЗОМ
1 Чи проходить графік функції y x0,75
через точку M(16; 8)?
Розв’язання. Якщо x 16, то
3
0,75 4
16 16 8.y
Відповідь. Проходить.
2 Відомо, що графік функції y x
проходить через точку
1
2; .
4
P
Чому дорівнює ?
Розв’язання.
1
2 ,
4
2–2
2
, звідси –2.
Відповідь. –2.
3 Спростіть вираз
2 2 1
2
5 5
.
5
Розв’язання.
2 2 1 2 1
2 2
5 5 5 1 5 1 4
1 0,8.
5 55 5
Відповідь. 0,8.
4 Порівняйте числа: а)
3
4
7
і
3
7
;
4
б) (2,5)–
і (5,2)–
.
Розв’язання. а) Функція 3
y x (x > 0) — зростаюча, бо 3 0. Оскіль-
ки
4 7
,
7 4
то
3 3
4 7
.
7 4
б) Функція y x–
(x > 0) — спадна, бо – < 0, тому (2,5)–
> (5,2)–
.
ВИКОНАЙТЕ УСНО
Обчисліть (1–3).
1. а)
1
4
81 ; б)
1
4
625 ; в)
1
4
0,0016 ; г)
1
4
1 .
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 9
2. а) 490,5
; б) 6,250,5
; в) 0,00160,5
; г) 00,5
.
3. а) 4–1
; б) 2–1
; в) 0,5–1
; г) (–1)–1
.
4. Який із поданих нижче виразів не існує:
а) (–4)–1
; б) 20
; в) (–5)0,5
; г) (–1)0
; ґ)
; д) 3
0 ?
5. Укажіть область визначення функції:
а) y x3
; б) 3
;y x
в)
3
7
;y x г) y x–0,5
.
Обчисліть (6–7).
6. а) (–4)–1
· 22
; б) 232
· 0,530
; в) 50,5
· 51,5
; г)
: 1+
.
7. а)
sin cos
6 3
5 5 ;
б) (23tg 3
)ctg 3
; в) (52)0,5
: (52)0,5cos
.
РІВЕНЬ А
8. Подайте у вигляді степеня з основою 2 число:
а) 8; б)
1
;
16
в) 2; г) 0,25; ґ) 1024; д) 0,5; е) 3
4; є)0,0625.
9. Подайте у вигляді степеня з основою 3 число:
а) 81; б) 27; в) 2
9 ; г) 81–1
; ґ) 3
9; д) 1; е) 7290,25
; є) 27
.
10. Обчисліть:
а) 320,4
; в) 273
: 94
; ґ) 33
16 4; е) (81–1
)0,25
;
б)
2
2
9 ; г) 25
· 5–2
; д) 0,25
49 7; є) 2
· 0,5
.
11. (ЗНО, 2017). Нехай m і n довільні дійсні числа, а — довільне додатне
число, а 0. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення
(А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення Закінчення речення
1 Якщо (аm
)n
а4
, то А m + n 4
2 Якщо аm
· аn
а4
, то Б m – n 4
3 Якщо 8
,m n
a a то В mn 4
4
Якщо 4
1
,
n
m
a
a a
то
Г m 4n
Д m 8n
12. Обчисліть за допомогою калькулятора чи програми Excel з точністю
до сотих:
а) 2
; б) 3,8
; в) 2
5 ; г) 8+1
; ґ) 0,52
; д) 2
2,9 .
13. Чи має значення вираз:
а)
2
35 ; б)
11
43
7 ; в)
5
7
0 ; г) (–1)
; ґ) (–3)–8
; д)
4
3
0 ;
е) 3
0 ; є)
?
6. Розділ 110
Спростіть вираз (14–15).
14. а) (a – x0,5
)(a + x0,5
); в) (x – 4) : (x0,5
+ 2);
б) 1 1
2 2
: ;a b a b г) 1 1 1 1
2 4 2 4
.c p c p
15. а) 1 2 1
3 3 3
1 1 ; x x x в) 1 2 1
3 3 3
2 2 4 ;n n n
б) 1
3
8 : 2 ;a a г) 1 2
3 3
1 : 1 .x x x
16. (ЗНО, 2016, 2018).
а) Якщо
1
2 ,
5
a
то 26–а
А Б В Г Д
12,8 59 69 240 320
б) Якщо 2а
3, то 4а+1
А Б В Г Д
12 13 18 36 64
17. Порівняйте області визначення функцій:
а) 5
2y x і
1
5
( 2) ;y x б) 3
1
1x
і
1
3
( 1) .x
18. Зростаючою чи спадною є функція:
а) y x0,3
; б) 3
;y x
в)
3
7
;y x г) y x–0,5
?
Побудуйте схематично графік однієї з функцій.
19. Порівняйте числа:
а) 80,3
і 90,3
; б) 3
7
і 3
8 ;
в) 2
8
і 2
9 ;
г) 0,5
і 0,4
.
20. Чи проходить графік функції y x–0,5
через точку A, якщо:
а) A(4; 5); б) A(4; 0,5); в) A(4; –0,5); г) A(25; 0,2)?
21. Чи проходить графік функції 3
y x через точку M, якщо:
а) M(1; 1); б) 3; 3 ;M в) 3; 3 ;M г) M(0; 0)?
22. При якому значенні графік функції y x
проходить через точку
1
2; ?
4
K А через точку M(25; 0,2)?
23. Знайдіть , якщо відомо, що графік функції y x
проходить через
точку:
а) P(2; 8); б) P(0,2; 5); в) 3;81 .P
24. На проміжку [1; 10] із кроком 0,5 за допомогою калькулятора чи про-
грами Excel складіть таблицю значень функції: а) y x0,25
; б) y x–0,25
.
Побудуйте графіки цих функцій на міліметровому папері.
25. Побудуйте схематично графік степеневої функції:
а) y x0,5
; б) y x1,5
; в) y x–2
; г) y x–0,5
.
26. Доведіть, що графік кожної степеневої функції проходить через точку
A(1; 1).
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 11
РІВЕНЬ Б
27. Подайте у вигляді степеня число:
а)
4
27
;
9
б)
3
5
;
125
в)
11
6
2
;
3
г)
5
3
1
;
25
ґ) 3
4 9
;
9 4
д)
3
3 9
.
3
28. (ЗНО, 2008, 2009). Обчисліть:
а)
5 3
3 4
3
3 81
3
А Б В Г Д
1
3
9
1
3
3 3
б)
1,6 4,8
2
3
2 4
8
(завдання з відкритою відповіддю).
Обчисліть (29–30).
29. а)
2
3
343 ;
в) 1 21
6 32
8 : 8 :8 ; ґ)
1
2
0,753
8 :81 ;
б)
1
4 8
8
64
;
3
г)
2
3 9
0,4
6
27
243 ;
125
д)
1
0,5
311 17
1 4 .
25 27
30. а) 5 5
8 8 ;
в)
8
2
0,5 ; ґ)
1 2
1 2
5 ;
б) 2 2 2
3 :9 ; г) 2 3 5 5
2 8 ;
д)
2 5 0
2 5
5 5 .
31. Обчисліть, користуючись калькулятором:
а)
2
3 ; б)
3
2 ; в) 5
; г) (2 + )
; ґ) 2 1 ;
д) 3 2 .
Спростіть вираз (32–33).
32. а) 2 1 2 1 2
2 2 :2 ;
б) (3
+ 3–2
) : 3
.
33. а)
2 22
3 2
8
2 ;
2
б)
3 1
3
1
1 9
9 .
9 9
34. Знайдіть область визначення виразу:
а)
3
75 ;x
б)
3
43 ;a
в)
3
2 ;x
г)
5
33
;a a ґ)
2
38 ;x д)
3
72
4 .x
35. Порівняйте області визначення функцій:
a)
1
2 3
( 2)y x x і 3 2
2;y x x б)
1
5
2
1
9
x
y
x
і 5
2
1
.
9
x
y
x
Подайте у вигляді степеня вираз (36–37).
36. а)
1
1
0,52
2
3
;
a a
a
б)
122,5 5
;y y
в)
2 1
2 2
2 1
1
.x
x
7. Розділ 112
37. а)
11
32
1
3
;
x x
x
б)
23
27 14
;y y
в)
3 1
3 1 3
23 1
.
a a
aa
РІВЕНЬ В
Спростіть вираз (38–41).
38. а)
x x x
x x
2 3 2 3 3
4 3 3
1 1
; в)
0,5
1
2 2 2
4 ;x y x y
б)
1 1
2 4
0,75 0,5 1
2
1
;
1
a a a
a a
a
г) 1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
.
ab
a b a b
a a b
39. а)
10,5
2
1,5
1 1
: 2 ;
11
c c
c
cc c
в)
0,25 0,25
1 1 1 1
2 4 4 2
2
;
x y
x y
x y x y
б)
1 1
2 4 4 2
3 1 1 1
4 2 4 2 2
;
x y x y x y
x x y x y
г)
3 3
1 1 1 1 2 2
2 2 2 2
1
.
b a b
a ab b
a a b a a b
40. а) 2 2
ctg
7sin cos tg
5 5 7
2 2 3 ;
б) 2
1
cos
12 2tg2sin 1 tg
812 84 0,9 .
41. а)
2 2 2
cos sin cos
6 6 3
25 :25 0,09 0,09 ;
б)
2 2
cos sin
cos120 13 13
64:64 13 13 .
42. (ЗНО, 2009). Розташуйте в порядку зростання числа 230
, 320
, 710
.
А Б В Г Д
710
, 230
, 320
710
, 320
, 230
230
, 320
, 710
230
, 710
, 320
320
, 230
, 710
43. Відомо, що функція 2
y x при x c має значення m. Чому дорівнює
значення цієї функції при: а) x 2c; б) x c–2
?
44. На проміжку [1; 5] із кроком 0,5 за допомогою калькулятора чи про-
грами Excel складіть таблицю значень функції: а) 3
;y x б) 3
.y x
Побудуйте графіки цих функцій на міліметровому папері.
45. Доведіть, що графіки функцій 3
y x
і
3
,
y x задані на 0; , симе-
тричні відносно прямої y x.
46. На малюнку 5 подано графік функції y xcos 1
, побудований за допо-
могою програмного забезпечення. Побудуйте графіки функцій:
а) y 2xcos 1
; б) y 1 + xcos 1
; в) y –xcos 1
.
47. На малюнку 5 подано графік функції y xcos 2
, побудований за допо-
могою програмного забезпечення. Побудуйте графіки функцій:
а) y –xcos 2
; б) y xcos 2
– 3; в) y 0,5xcos 2
.
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 13
y xcos 2
y xcos 1
Мал. 5
48. Побудуйте схематично графік функції:
а) y xsin 1
; б) 0,3
;y x в) y x–1
; г) 1 3
;y x
ґ) 2 2
;y x x д) y x –4
.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
49. Задача із французького математичного фольклору. Кілька осіб ма-
ють заплатити 800 франків судових витрат. Але троє не мають грошей,
тому кожен з решти заплатив на 60 франків більше, ніж планувалося.
Скільки осіб взяло участь у погашенні судових витрат?
50. Розв’яжіть систему подвійних нерівностей:
а)
0 1 2 1,
3 3 4 5;
x
x
б)
1 5 3 3,
3 3 2 1.
x
x
51. Побудуйте графік рівняння:
а) 2x + 3y 6; б) xy 12; в) x2
+ y2
4; г) y2
– x 0; ґ) 1x y .
§2Показникова функція
Exponential Functions
Розглянемо функцію, задану рівністю y 2x
. Складемо таблицю її зна-
чень для кількох значень аргументу.
X –2 –1 0 1 2 3
Y
1
4
1
2
1 2 4 8
8. Розділ 114
На малюнку 6, а позначено точки, координати яких відповідають цій
таблиці. Коли б на цій самій координатній площині позначити більше точок
з координатами x, y, що задовольняють рівність y 2x
, вони розмістилися б,
як показано на малюнку 6, б. А якщо для кожного дійсного значення x
обчислити відповідне значення y і позначити на координатній площині
точки з координатами x і y, вони розмістяться на одній нескінченній кривій
(мал. 6, в). Ця крива — графік функції y 2x
.
1
1–1–2 2 3 x
y
O
2
4
6
8
a
1
1–1–2 2 3 x
y
O
2
4
6
8
б
1
1–1–2 2 3 x
y
y 2x
O
2
4
6
8
в
Мал. 6
Графік функції y 2x
розміщений у I і II координатних чвертях. Коли
x –, він як завгодно близько підходить до осі Ox, але спільних точок з
нею не має. Говорять, що графік функції y 2x
асимптотично наближається
до осі Ox, що вісь Ox — асимптота цього графіка. Коли x необмежено
збільшується, графік функції y 2x
усе далі відходить від осі Ox. Як ба-
чимо, функція y 2x
визначена на множині всіх дійсних чисел, її область
значень — проміжок (0; + ). На всій області визначення функція зростає;
вона ні парна, ні непарна, ні періодична.
Розглянута функція y 2х
— приклад показникової функції, а саме —
показникова функція з основою 2.
Показниковою функцією називається функція, задана формулою
y ax
, де a > 0 і 1.a
Приклади інших показникових
функцій: y 3x
, y 0,5x
, 2 .
x
y
Їхні графіки зображені на малюнку 7.
Згідно з означенням функція y 1x
не
є показниковою.
Зазначимо основні властивості
показникової функції.
1) Область визначення функції
y ax
— множина R, бо при кожному
додатному a і дійсному x вираз aх
ви-
значений.
y
xO
y 3x
y 0,5x
8
6
4
2
21 3 4–1–2–3–4
2
x
y
Мал. 7
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 15
2) Область значень функції y ax
— множина 0; , бо якщо основа a
степеня додатна, то додатний і степінь ax
. Отже, функція y ax
набуває
тільки додатних значень.
3) Якщо a > 1, функція y ax
зростає, а якщо 0 < a < 1 — спадає. Цю
властивість добре видно на графіках функцій (мал. 7).
4) Функція y ax
кожного свого значення набуває тільки один раз. Тобто
пряму, паралельну осі Ox, графік показникової функції може перетнути
тільки в одній точці. Це випливає із властивості 3.
5) Функція y ax
ні парна, ні непарна, ні періодична. Оскільки кожного
свого значення вона набуває тільки один раз, то не може бути парною або
періодичною. Не може вона бути і непарною, бо не набуває ні від’ємних,
ні нульових значень.
6) Графік кожної показникової функції проходить через точку A(0; 1),
бо якщо 0,a то a0
1.
Під час розв’язування задач і вправ, пов’язаних із показниковою функ-
цією, особливо часто використовують третю властивість, у якій вказується
на монотонність показникової функції, тобто її зростання чи спадання.
Зокрема, з неї випливають такі твердження.
1. Якщо a > 0, 1a і 1 2
,x x
a a то x1
x2
.
2. Якщо a > 1 і 1 2
,x x
a a то x1
> x2
.
3. Якщо 0 < a < 1 і 1 2
,x x
a a то x1
< x 2
.
Придивіться до графіків показникових функцій y 2x
і y 3x
(мал. 8).
Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної в точці A(0; 1) до графіка функції
y 2x
, менший від 1, а до графіка функції y 3x
більший за 1. А чи існує
така показникова функція, що кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка
в точці A(0; 1) дорівнює 1? Існує (мал. 9). Основа цієї показникової функ-
ції — ірраціональне число 2,71828..., яке прийнято позначати буквою e.
Показникова функція y ex
у математиці і в багатьох прикладних науках
трапляється досить часто, її називають експонентою (від лат. exponens —
виставляти напоказ).
y
x
а
A
O
y 2x
5
7
3
1
21 3–1–2
y
x
б
A
O
y 3x
5
7
3
1
21 3–1–2
Мал. 8
y
y ex
x
A
1
1
3
5
2–1–2 O
Мал. 9
9. Розділ 116
ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?
До показникової функції іноді відносять також функції виду y cakx+b
0, 0 . k c За допомогою таких функцій описують багато різних процесів,
пов’язаних із фізикою, хімією, біологією, економікою, соціологією тощо.
Наприклад, процеси новоутворення і розпаду речовини можна описати за
допомогою формули P P0
ekt
, де P — кількість новоутвореної речовини
(або речовини, що розпалася) в момент часу t; P0
— початкова кількість
речовини; k — стала, значення якої визначається для конкретної ситуації.
Відповідні приклади доберіть самостійно.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1. Сформулюйте означення показникової функції.
2. Яка область визначення показникової функції? А область значень?
3. Через яку точку проходить графік кожної показникової функції?
4. Чи може значення показникової функції бути від’ємним? А дорівню-
вати нулю?
5. За якої умови показникова функція зростає? А за якої — спадає?
ВИКОНАЄМО РАЗОМ
1 Порівняйте з одиницею число: а) 0,51,5
; б)
0,2
5 .
Розв’язання. а) Подамо число 1 у вигляді степеня з основою 0,5. Маємо:
1 0,50
. Оскільки функція y 0,5x
— спадна і 1,5 > 0, то 0,51,5
< 0,50
,
звідси 0,51,5
< 1; б)
0
1 5 ; 5
x
y — функція зростаюча і –0,2 < 0,
тому
0,2 0
5 5 ,
звідси
0,2
5 1.
2 Функцію f(x) 0,5x
задано на проміжку [–2; 3]. Знайдіть її найменше
і найбільше значення.
Розв’язання. Оскільки 0,5 < 1, то дана функція спадна. Тому наймен-
шого значення вона набуває в точці 3x , а найбільшого — в точці x –2.
Тоді
[ 2; 3]
min
f(x) f(3) 0,53
0,125, a
[ 2; 3]
max
f(x) f(–2) 0,5–2
4.
Відповідь. 0,125 і 4.
3 Побудуйте графік функції 0,5 .x
y
Розв’язання. Функція 0,5x
y — парна (пере-
вірте). Графік парної функції симетричний від-
носно осі Oy, тому досить побудувати графік
заданої функції для x 0 і відобразити його
y
x
2
O
1
1 2–1–2
Мал. 10
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 17
симетрично відносно осі Oy. Якщо x 0, то 0,5 0,5 .x x
Побудуємо графік
функції y 0,5x
для x 0 і відобразимо його симетрично відносно осі Oy
(мал. 10).
ВИКОНАЙТЕ УСНО
52. Які з функцій y x1,5
; y x5–x
; y x
; 2x
y показникові?
53. Чи можна вважати показниковою функцію y (–2)x
? А функцію y 2–x
?
54. Зростаючою чи спадною є функція:
а) y 2,5x
; б) y ex
; в) y 0,5x
; г) y 3–x
; ґ) y x
?
55. Чи може графік показникової функції ( 0, 1) x
y a a a перетинати
вісь абсцис?
56. У якій точці графік показникової функції x
y a перетинає вісь орди-
нат при будь-якому значенні 0, 1? a a
57. Чи може показникова функція бути:
а) парною; б) непарною; в) періодичною?
58. Чи мають спільні точки графіки функцій:
а) y 2x
і y 2; б) y 2x
і y 2x; в) y 2x
і y –2x; г) y 2x
і y –2?
РІВЕНЬ А
59. Обчисліть координати кількох точок графіка функції y 1,5x
і нане-
сіть їх на координатну площину.
60. Побудуйте графік функції: а) 2x
y ; б)
1
.
2
x
y
61. Побудуйте графік функції: а) 3x
y ; б)
1
.
3
x
y
62. (ЗНО, 2015). На якому малюнку зображено ескіз графіка функції у 2–х
?
А Б В Г Д
1
–1
10
y
x
1
–1
10
y
x
1
–1
10
y
x
1
–1
10
y
x
1
–1 1
0
y
x
63. Перемалюйте в зошит таблицю і заповніть її (із точністю до 10–3
).
х –3,5 –2,5 –1,5 1,5 2,5 3
2x
0,5x
10. Розділ 118
64. За допомогою калькулятора знайдіть із точністю до 10–3
значення
функції y 1,7x
, якщо: а) x 0,5; б) x 1,3; в) 3.x
65. Використовуючи малюнок 11, знайдіть:
1) наближені значення функції
3
2
x
y
у точках з абсцисами:
а) –4; –2; 0; 1; 3; 4; б) –3,5; –1,5; 0,5; 2,5;
2) при яких значеннях аргументу x значення функції
3
2
x
y
дорів-
нює: а) 0,25; б) 0,4; в) 0,5; г) 1,2; ґ) 1,5; д) 2,8; е) 3,5?
66. Використовуючи малюнок 12, знайдіть:
1) наближені значення функції
2
3
x
y
у точках з абсцисами:
а) –4; –2; 0; 1; 3; б) –3,5; –1,5; 0,5; 2,5; 4;
2) за яких значень аргументу x значення функції
2
3
x
y
дорівнює:
а) 0,25; б) 0,4; в) 0,5; г) 1,2; ґ) 1,5; д) 2,8; е) 3,5?
Мал. 11
x
y
1
1
3
5
–1–2–3–4 2 3 4 5O
3
2
x
y
Мал. 12
x
y
1
1
3
5
–1–2–3–4 2 3 4 5O
2
3
x
y
67. Опишіть властивості функції: а)
3
;
2
x
y
б)
2
.
3
x
y
68. Зростаючою чи спадною є функція:
а) y 0,7x
; в) 2 ;
x
y ґ) y –x
; е) 5 1 ;
x
y ж) y e–x
;
б)
3
;
x
y
г) y 2–x
; д) ;x
y e є)
9
;
11
x
y
з)
1
?
5 2
x
y
69. Порівняйте з одиницею число:
а) 5
8 ;
б) 0,32
; в)
5 2
;
4
г)
3
2 ; ґ)
3
;
2
e
д) 1,73
.
70. Порівняйте з одиницею число:
а) 0,7
5 ;
б) 3
0,2 ;
в) ( 11) ;
г)
3
;
6
ґ)
8
1
;
3
д) .
2
e
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 19
71. Порівняйте числа:
а) 3
4
і 2
4 ;
в)
1,4
1
2
і
2
1
;
2
ґ)
0,2
4
5
і
1,2
4
;
5
б) 3
e і 1,7
e ; г)
1
9
і
3,14
1
;
9
д) 5–0,2
і 5–1,2
.
72. Порівняйте числа:
а) 3,5
2 і 3,7
2 ; б) 3
0,5 і 5
0,5 ; в) 3
5 і 3
0,2 ;
г)
5
0,6 і
2
0,6 .
73. Порівняйте з одиницею число ( 0):a a
а) 2,7 2,2
a a ; в) 7 5
a a ; ґ) 0,3 0,5
a a ;
б) 0,6 0,8
a a
; г) 2 3 3 2
a a ; д) 3 10
a a
.
74. Порівняйте з одиницею число ( 0):a a
а) 1,3 1,7
a a ; б) 2,7 2,5
a a
; в) 6 40
a a ; г) 9
a a
.
75. Порівняйте числа a і b:
а) 2 2a b
; в) 0,5 0,5a b
; ґ) ( 0,3) ( 0,3)a b
;
б) a b
; г) 0,3 0,3a b
; д) 1 1
(1,7) (1,7)a b
.
76. Порівняйте числа a і b:
а) 7,3 7,3a b
; б) 2 2a b
; в) 0,6 0,6a b
; г) 1,3 1,3a b
.
77. Чи проходить графік функції y 4x
через точку A, якщо:
а) A(4; 16); б) A(4; 256); в) A(–2; –0,5); г) A(–2; 0,0625)?
78. Чи проходить графік функції 3
x
y через точку M, якщо:
а) 1; 3 ;M б) 3; 3 ;M в) M(2; 3); г) M(0; 0)?
79. Знайдіть a, якщо відомо, що графік функції y ax
проходить через
точку: а) P(2; 9); б) P(0,5; 0,2); в) P(–1; 0,5).
80. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
а) y 3x
на проміжку [–1; 4];
б) y 0,25x
на проміжку [–0,5; 3].
81. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
а)
1
3
x
y
на проміжку [–1; 4];
б) y 4x
на проміжку [–0,5; 3].
82. Побудуйте графік функції:
а) y 3x–2
; в) y 0,5x+3
; ґ) y 3–x
; е) y –2x
;
б) y 2x
+1; г) y 2–x
– 3; д) y ех
+ 2; є) y – ех+2
.
83. Побудуйте графік функції:
а) y 2х+2
; б) y
3
1
3
x
; в) y 2–x
; г) y –2x
+ 4.
11. Розділ 120
РІВЕНЬ Б
84. Знайдіть основу показникової функції y ax
, якщо її графік проходить
через точку: а) A(5; 32); б) B(–1; 2); в) C(–2; 4).
85. Чи існує показникова функція y ax
, графік якої проходить через
точку: а) A(1; 5); б) B(2; 1); в) O(0; 0); г) C(0; 7)?
86. Коли CD-програвач вимикають, то сила струму в ньому зменшується за
формулою I(t) 24 · (0,25)t
(ампер), де t — час у секундах. Побудуйте
графік функції I(t). Знайдіть:
а) силу струму в момент вимкнення CD-програвача;
б) I(t), якщо t 1, 2, 3, 4 (с);
в) як довго сила струму у вимкненому CD-програвачі перевищує
4 А (скористайтеся графіком залежності I(t) 24 · (0,25)t
)?
87. Побудуйте графік функції y 4 · 2x–2
. Чи є ця функція показниковою?
Опишіть її властивості.
88. Побудуйте графік функції y 0,5 · 2x
. Опишіть її властивості.
89. Побудуйте графіки функцій: а) y 1x
; б) y 0x
. Чи вважають ці функ-
ції показниковими?
90. Побудуйте графік функції:
а) 2 3x
y ; в) 2 2x
y ; ґ) 3
2 2x
y
;
б) 2 2x
y ; г) 3
2 1x
y
; д)
2
2
4
x
y .
91. Побудуйте графік функції:
а) 3 2x
y ; б) 1 3 x
y
; в) 9 3x
y ; г) 2
3 2x
y
.
92. (ЗНО, 2006). Знайдіть область визначення функції y
2
.
2 1x
x
А Б В Г Д
2; 0 0; 2; 2; 0 0; ; 2 1x
93. Знайдіть область значень функції:
а) y 3x
– 2; б) y 0,5x
+ 1; в) 7x
y ; г)
1
5
x
y
.
94. Знайдіть найменше і найбільше значення функції f(x) 25x
на проміжку:
а)
3 3
; ;
2 2
б) [–1; 0]; в)
1
; 1 ;
2
г)
1
; 2,5 .
4
95. Розв’яжіть графічно рівняння:
а) 3x
4 – x; в) 4x
+ x 5; ґ) 2x+2
3x + 5;
б) 0,5 5;x
x г) 1 ;x
e x д) x
+ x0,5
1.
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 21
96. Установіть графічно кількість коренів рівняння:
а) 1 8
2 ;x
x
б) 21
3 ;
2
x
x
в) 3 1 .x
x
97. Розв’яжіть графічно нерівність:
а) 2x
> 4; б) 0,5x
8; в) 2 0,5.
x
98. Чи можуть перетинатися графіки функцій y 2х
і y 2x+1
?
99. Установіть відповідність між функціями (1–4) та кількістю їх спіль-
них точок (А–Д).
1 5x
y і y x А три
2 2x
y і siny x Б дві
3 3x
y і cosy x В одна
4
1
2
x
y
і 2
1y x Г жодної
Д безліч
100. Використовуючи властивість зростання функції y 2x
, розв’яжіть
рівняння і нерівності:
а) 2x
16; 2x
> 16; 2x
16;
б) 2x
0,25; 2x
0,25; 2x
< 0,25;
в) 2 32;x
2 32;x
2 32.x
101. Використовуючи властивість спадання функції y 0,2x
, розв’яжіть
рівняння і нерівності:
а) 0,2x
0,04; 0,2x
> 0,04; 0,2x
0,04;
б)
1
0,2 ;
625
x
1
0,2 ;
625
x
1
0,2 ;
625
x
в) 0,2x
25; 0,2x
> 25; 0,2x
< 25.
РІВЕНЬ В
102. Ентомолог, вивчаючи причини нашестя сарани, дослідив, що площа
(у м2
), заражена сараною, змінюється за формулою Sn
1000 · 20,2n
, де
n — кількість тижнів після зараження. Знайдіть: а) початкову площу
зараження; б) яку площу було заражено через 5 тижнів; в) яку площу
було заражено через 10 тижнів?
103. Під час вирощування бактерій маса культури змінюється за формулою
2
2
t
m t e (г), де t — час у годинах, що минув від початку розмно-
ження. Знайдіть масу культури через: а) 30 хв; б) 40 хв; в) 1 год;
г) 3 год; ґ) 4 год; д) 6 год. Побудуйте відповідний графік.
12. Розділ 122
104. Дослідіть на парність функцію:
а) 2 2 ;x x
y
б) cos2
5 ;x
y в)
2
3
7
;
1
x
y
x
г)
3 1
;
3 1
x
x
y
ґ) (3 2 2) (3 2 2) .x x
y
105. Дослідіть на парність функцію:
а) 5 5 ;x x
y
б) sin4
3 ;x
y в)
1
2
7
;
1
x
y
x
г)
2 1
;
2 1
x
x
y
ґ) (2 3) (2 3) .x x
y
106. Побудуйте графік функції:
а) 2 2
0,5 ;x x
y
б)
2
2 4
;
2 2
x
x
y
в)
9 1
;
3 1
x
x
y
г)
2
4 2 4
.
4 2
x x
x
y
107. Побудуйте графік функції:
а) 1 1
2 ;x x
y
б)
2
3 9
;
3 3
x
x
y
в)
4 1
;
2 1
x
x
y
г)
2
2 2
.
2 1
x x
x
y
108. (ЗНО, 2005). Укажіть найбільше значення функції
sin 1
1
2.
3
x
y
109. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
а) sin
3 ;x
y б)
2
1 sin 3
2 ;x
y
в) 6 cos5 3 sin5 3
0,25 .
x x
y
110. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
а) cos
2 ;x
y б)
2
1 cos 3
4 ;x
y
в) y 53sin 2x+4cos 2x+5
.
111. Для кожного значення параметра a знайдіть кількість коренів рів-
няння 2 2 3 .x
a
112. Для кожного значення параметра a знайдіть кількість коренів рів-
няння
1
0,5 .
2
x
a
113. При якому значенні параметра a рівняння 2 2
2 x
x a
має єдиний
розв’язок?
114. Установіть, скільки спільних точок залежно від значення параметра a
мають графіки рівнянь 0x
e y та .x y a
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
115. У геометричній прогресії b1
0,25, q 2. Знайдіть b10
і S10
.
116. Дослідіть на парність функцію:
а) y 1 – cos x; б) y 2sin(x – 1); в)
1
;y x
x
г) 2 .y x
117. Побудуйте графік функції і визначте її основні властивості:
а) y x2
– 2x – 1; в) y 1 + 4x – x2
;
б) y 4x2
– 4x + 5; г) y 5x2
+ 10x + 4.
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 23
§3 Показникові рівняння
Exponential Equations
Рівняння називають показниковим, якщо його невідомі входять лише до
показників степенів.
Приклади.
9 3,x
4x
+ 2x+1
3, 3 2 2 3 2 2 2.
x x
Існує багато видів показникових рівнянь і різних підходів до їх
розв’язування. Основними методами розв’язування показникових рівнянь є:
I. Метод зведення обох частин рівняння до степенів з однаковими осно-
вами.
II. Метод уведення нової змінної.
III. Функціонально-графічний метод.
Розглянемо кожен із цих методів докладніше.
I. Метод зведення обох частин рівняння до степенів з однаковими осно-
вами застосовують у рівняннях, які можна звести до виду af(x)
a(x)
. Такі
рівняння розв’язують на основі монотонності показникової функції.
Якщо a > 0, 1,a то рівняння af(x)
a(x)
і f(x) (x) — рівносильні.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння: а)
4 3
3 ;
9 8
x
б) 3x
7x
.
Розв’язання. а) Подамо праву частину рівняння у вигляді неправиль-
ного дробу:
4 27
9 8
x
і запишемо у вигляді:
2 3
2 2
,
3 3
x
звідси 2x –3,
x –1,5.
б) Оскільки 7x
> 0, поділимо обидві частини рівняння 3x
7x
на 7x
. Ма-
ємо:
3
1,
7
x
x
або
3
1.
7
x
Запишемо число 1 у вигляді степеня з основою
3
,
7
тоді
0
3 3
,
7 7
x
звідси x 0.
Існують двочленні рівняння виду , , x c
a b b a члени
яких ви поки що не можете звести до степенів з одна-
ковими основами.
Якщо b > 0, то рівняння має один розв’язок, оскільки
пряма y b завжди перетинає графік показникової функ-
ції в одній точці. Як записати такий розв’язок, напри-
клад рівняння 3x
1,5 (мал. 13), ви дізнаєтеся пізніше.
x
y 3x
y 1,5
x
y
3
2
1
O 1
Мал. 13
13. Розділ 124
Якщо b 0, то рівняння розв’язків не має, оскільки показникова функ-
ція набуває лише додатних значень.
II. За допомогою методу введення нової змінної розв’язують багато видів
рівнянь. Розглянемо розв’язування деяких із них на конкретних прикладах.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння: а) 25x
+ 25x – 1
+ 25x–2
+ 25x–3
120;
б) 52x
– 5x
600; в) 27x
+ 12x
2 · 8x
.
Розв’язання. а) У показнику кожного степеня цього рівняння міститься
один і той самий вираз 5x. Позначимо найменший показник степеня буквою
t (5x –3 t). Тоді рівняння матиме вигляд:
2t+3
+ 2t+2
+ 2t+1
+ 2t
120, або 2t
· 23
+ 2t
· 22
+ 2t
· 21
+ 2t
120.
Винесемо спільний множник 2t
за дужки. Маємо:
2t
(23
+ 22
+ 21
+ 1) 120, або 2t
· 15 120. Звідси 2t
8, або 2t
23
. Отже,
t 3. Оскільки t 5x – 3, то 5x – 3 3, звідси x 1,2.
Розв’язуючи такі рівняння, не обов’язково вводити нову змінну, а можна
одразу виносити спільний множник за дужки.
25x–3
(23
+ 22
+ 2 + 1) 120, або 25x–3
· 15 120.
Звідси 25x–3
8, 25x+3
23
, x 1,2.
Саме тому цей спосіб називають способом винесення спільного множника
за дужки.
б) Нехай 5x
y, тоді 52x
y2
. Підставимо y в дане рівняння. Маємо:
y2
– y 600, або y2
– y – 600 0. Корені останнього рівняння: y1
–24;
y2
25 (перевірте).
Оскільки y 5x
> 0, то y1
–24 — сторонній корінь. Якщо y 25, то
5x
25, або 5x
52
. Отже, x 2.
в) Запишемо дане рівняння у вигляді 33x
+ 22x
· 3x
– 2 · 23x
0. Поділимо
кожен член рівняння на 23x
. Маємо:
3
3 3
2 0.
2 2
x x
Нехай
3
2
x
y
(y > 0), тоді y3
+ y – 2 0.
Оскільки y3
+ y – 2 y3
– 1 + y – 1 (y – 1)(y2
+ y + 1) + (y – 1)
(y – 1)(y2
+ y + 2), то рівняння y3
+ y – 2 0 має один корінь y 1, бо
рівняння 2
2 0y y коренів не має ( 0).D Отже,
3
1,
2
x
звідси x 0.
III. Функціонально-графічний метод полягає в тому, що, знайшовши
корені рівняння за допомогою побудови графіків або шляхом добору, до-
водять: інших коренів рівняння не має.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння:
3
1 0,5 .
2
x
x
Розв’язання. Графічно або методом спроб переконуємося, що x 1 —
корінь рівняння. Оскільки
3
2
x
y
— зростаюча функція, бо
3
1,
2
а
y 1 + 0,5x
— спадна (0,5 < 1), то інших коренів рівняння не має.
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 25
Розгладають також і системи показникових рівнянь.
Приклад 4. Розв’яжіть систему рівняннь:
2 3 18,
2 3 12.
x y
y x
Розв’язання. Почленно помножимо і поділимо рівняння системи.
Отримаємо систему:
2 3 216,
3
2 3 ,
2
x y x y
x y y x
або
3
1
6 6 ,
2 2
,
3 3
x y
x y
звідки
3,
1.
x y
x y
Додамо і віднімемо рівняння утвореної системи. Отримаємо:
2 2,
2 4,
x
y
або
1,
2.
x
y
Отже, розв’язком системи рівнянь є пара чисел (1; 2).
Показникові рівняння — окремий вид трансцендентних рівнянь. Ви вже
знаєте, що до трансцендентних належать тригонометричні рівняння. Транс-
цендентними також є рівняння, в яких поєднуються трансцендентні ви-
рази з алгебраїчними: 5x+1
+ 5x > 10, 2 2,x
x x
– 1 sin x.
Тільки для деяких із подібних рівнянь можна вказати точні розв’язки.
Їх наближені корені знаходять іншими способами, зокрема графічним.
Рівняння виду (f(x))(x)
(f(x))(x)
, де f(x), (x) і (x) — функції змінної x,
називаються показниково-степеневими.
Їх розв’язують, перевіряючи, чи не будуть розв’язками даного рівняння
корені рівнянь:
f(x) 1, f(x) –1, f(x) 0, (x) (x).
Отримані у такий спосіб корені підлягають перевірці.
Приклад 5. Розв’яжіть рівняння х1–x
xx+2
.
Розв’язання. 1) Підставимо x 1 у дане рівняння. Маємо: 10
13
, або
1 1. Отже, x 1 — корінь даного рівняння.
2) Якщо x 0, то маємо правильну рівність 01
02
. Отже, x 0 — корінь
даного рівняння.
3) Якщо x –1, отримаємо рівність (–1)2
(–1)1
, або 1 –1. Рівність
неправильна, отже, x –1 — сторонній корінь.
4) Розв’яжемо рівняння 1 – x x + 2.
Його корінь x –0,5 < 0. Це сторонній корінь, бо (–0,5)1,5
не існує.
Відповідь. 0; 1.
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1. Які рівняння називають показниковими?
2. Наведіть приклади показникових рівнянь.
3. Якому рівнянню рівносильне рівняння af(x)
a(x)
при a > 0, a 1?
4. Скільки розв’язків може мати рівняння ax
b (a > 0, a 1)?
5. Які методи розв’язування показникових рівнянь ви знаєте?
14. Розділ 126
ВИКОНАЄМО РАЗОМ
1 Розв’яжіть рівняння 4x – 5
82x
.
Розв’язання. Запишемо праву та ліву частини як степені числа 2:
(22
)x–5
(23
)2x
, або 22x–10
26x
. Звідси 2x – 10 6x, 4x –10, x –2,5.
Відповідь. –2,5.
2 Розв’яжіть рівняння 1 1 2
6 2 6 6 2 2 8 2 .x x x x x
Розв’язання. Винесемо у лівій та правій частинах рівняння спільний
множник за дужки. Отримаємо: 6 (6 2) 2 (6 2 8 4),x x
або 6 4 2 36.x x
Запишемо отримане рівняння у вигляді
6 36
,
42
x
x
або 3 9,x
звідси 2.x
Відповідь. 2.
3 Розв’яжіть рівняння 32x+1
+ 4 · 15x
3 · 52x+1
.
Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді 3 · 32x
+ 4 · 3x
· 5x
15 · 52x
.
Поділимо ліву та праву частини рівняння на 52x
. Маємо:
2
3 3
3 4 15.
5 5
x x
Позначимо
3
5
x
y
(y > 0) і підставимо y в дане рівняння. Маємо:
3y2
+ 4y – 15 0, звідси 1
5
,
3
y y2
–3 (сторонній корінь).
Якщо 1
5
,
3
y то
3 5
,
5 3
x
або
1
3 3
.
5 5
x
Отже, x –1.
Відповідь. –1.
4 Розв’яжіть рівняння 3 8 3 8 6.
x x
Розв’язання. Знайдемо добуток основ степенів:
3 8 3 8 3 8 3 8 9 8 1.
Тобто
1
3 8 .
3 8
Позначимо 3 8
x
y (y > 0), тоді 1
3 8 .
x
y
Перейдемо до рівняння зі змінною y:
1
6,y
y
або y2
– 6y + 1 0, звід-
си 1 3 8,y 2 3 8.y
Маємо:
3 8 3 8,
3 8 3 8;
x
x
1
2
2,
2.
x
x
Відповідь. –2; 2.
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 27
5 Розв’яжіть рівняння 2x
1 – x.
Розв’язання. Розглянемо функції ( ) 2x
f x і ( ) 1 .g x x Оскільки функ-
ція ( )f x є зростаючою, а функція ( )g x — спадною, то рівняння може мати
не більше одного кореня. Підбором встановлюємо, що 0x .
Відповідь. 0.
ВИКОНАЙТЕ УСНО
118. Скільки розв’язків має рівняння:
а) 12x
3; б) 1 + 2x
0; в) 5x
0; г) 32x
4?
119. Чи має розв’язки рівняння:
а) 10x
–10; б) 7x
1
7
; в) 5x
0,2; г) 5x
(–5)2
; ґ) 4x
0?
120. Розв’яжіть рівняння:
а) 3x
81; б) 7x
1; в) 5x
625; г) 6x
–2; ґ) 4–x
16.
121. При якому значенні параметра a рівняння має корені:
а) 7 ;x
a б) 5
3 ;x
a
в)
2
1
;
6
x
a
г) 2 1 ?
x
a
РІВЕНЬ А
Розв’яжіть рівняння (122–124).
122. а) 4x–2
16; в) 4
3 27;x
ґ) 3 1
2 32;x
е) 52x–1
125;
б) 2 1
8 2 2;x
г) 2 3
36 216 ;x x
д)
1
7 49;
x
є) 0,42x+4
0,163х
.
123. а) 3х+3
81; в) 5
2 16;x
ґ) 2 6
0,2 25;x
е) 64x–5
216;
б) 2
25 5 5;x
г) 0,34x–4
0,093х
; д) 2 6
49 343 ;x x
є)
2 4
2 5
11 121 .
x
x
124. а)
3 8 64
;
2 9 27
x x
в)
1 9 27
;
2 25 250
x
ґ)
4
4 11
2 ;
2
x
x
e)
1 2 2
5 6
.
6 5
x x
б)
2 49 343
;
7 8 64
x x
г)
27 2187
;
8 128
x
д)
2 3
5 11
3 ;
9
x
x
є)
3 2 4 3
7 3
.
3 7
x x
125. (ЗНО, 2007, 2008). Розв’яжіть рівняння:
а) 3 3
8 2 2; x
б)
2 3
3 .
6
x
Розв’яжіть рівняння, використовуючи спосіб винесення спільного множ-
ника за дужки (126–127).
126. а) 3x+1
+ 3x
108; г) 1 2
4 4 4 84;x x x
б) 2x
– 2x–2
12; ґ) 3x+2
+ 3x+1
+ 3x
39;
в) 2x+2
+ 2x
5; д) 2 1
5 3 5 5 255.x x x
127. а) 2 · 3x+1
+ 3x+3
33; в) 5x+2
+ 11 · 5x
180;
б) 3x+1
– 2 · 3x–2
75; г) 5 · 0,5x–3
+ 0,5x+1
162.
15. Розділ 128
Розв’яжіть рівняння заміною змінної (128–129).
128. а) 62x
– 4 · 6x
– 12 0; г) 64x
– 8x
– 56 0;
б) 9x
– 8 · 3x
9; ґ) 72x
+ 7 8 · 7x
;
в) 100x
– 11 · 10x
+ 10 0; д) 4x
– 9 · 2x
+ 8 0.
129. а) 22x
– 3 · 2x
+ 2 0; г) 32x
– 2 · 3x
– 3 0;
б) 9x
– 6 · 3x
– 27 0; ґ) 4x
– 14 · 2x
– 32 0;
в) 52x
– 3 · 5x
– 10 0; д) 32x
– 12 · 3x
+ 27 0.
РІВЕНЬ Б
130. При яких значеннях змінної значення виразу дорівнює одиниці:
а)
2
0,3 ;x x
б)
2
4
7 ;x
в) 5x(x+3)
; г)
2
3 2
0,5 ;x x
ґ) 1
4 ?x
131. При яких значеннях змінної значення виразу дорівнює одиниці:
а)
2
9
;x
б)
2
5 ;
x x
в) 0,1x(x+3)
; г) ;
x
e ґ) 3 ?x x
Розв’яжіть рівняння (132–142).
132. а)
2
2 1 1
2 0,25 ;
128
x x
в)
2
5 1,5 2
2 ;
8
x x
б)
24 5 4
4 8 2 8;x x x
г)
2
4 3 1 3
1
9 27 .
27
x
133. а)
2
2
3 2 1
1 1
3 2 ;
9 3
x x
x
x в)
2
0,25
4
25
5 ;
5
x x
б)
23 2
36 6 216 ;x x x
г)
2
6 3 5 0,41
16 32 .
8
x
x
134. а) 8x+1
5x+1
; б) 13x–3
– 113–x
0; в) 5x
· 22x
400; г) 2x
· 32x
324.
135. а) 2x+1
+ 3 · 2x–1
– 5 · 2x
+ 6 0;
б) 3x+1
– 2 · 3x–1
– 4 · 3x–2
17;
в) 73x+3
+ 73x+2
+ 73x+1
57;
г) 44x–1
+ 44x–2
+ 44x–3
168;
ґ) 33x+1
– 4 · 27x–1
+ 91,5x–1
80;
д) 12 1 6 1 4 1
2 4 8 40.x x x
136. а) 2x–1
– 3x
3x–1
– 2x+2
;
б) 52x–1
+ 22x
– 52x
+ 22x+2
0;
в) 5x
+ 2 · 5x+1
– 33x+2
– 33x+1
+ 33x
0;
г) 3x+2
+ 3x+1
+ 3x
4x+2
– 4x+1
+ 4x
.
137. а) 2 2
4 16 10 2 ;x x
в) 1
8 2 4 ;x x
б)
2 1
1
3 10 3 ;
3
x
x
г)
2 2
1 3
9 36 3 3 0.
x x
138. а) 1 1
4 13 6 9 0;x x x
г) 2 2
2 2 14 3 7 0;x x x
б) 0,5
16 3 8 4 0;x x x
ґ) 2 12 9 6 4 3 0; x x x
в) 23x
– 6 · 22x
+ 12 · 2x
– 8 0; д) 8 2 4 2 2 0.x x x
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 29
139. а) 1 2 1
4 2 0;x x
в)
4
1 4
2 5 2 2 0;
x
x
б)
1
6 5 6 ;
36
x
x
г) (2х
+ 10)2x–2
36.
140. а) 3 · 16x
+ 2 · 81x
5 · 36x
; в) 32x+4
+ 45 · 6x
9 · 22x+2
;
б) 18x
– 8 · 6x
– 9 · 2x
0; г) 12x
– 6x+1
+ 8 · 3x
0.
141. а) 5 7 2 ;x
x б) 3 16
2 ;x
x
в) 3 4 5 . x x x
142. а) 7 10 3 ;x
x б) 1 128
4 ;x
x
в) 5 12 13 . x x x
143. Установіть відповідність між рівнянням (1–4) та проміжком, до якого
належать його розв’язки (А–Д) .
1 3
5 5 5
х
А (–1; 0)
2
0,5
4 3 19 x x
Б (2; 3,5)
3
2 9 3
3 16 8
х х
В (–0,5; 0,5)
4 3 27х
Г (0,5; 1,5)
Д (1,5; 3)
144. Розв’яжіть систему рівнянь:
а)
3 27,
4 0,25;
x y
x y
б)
2
3 3,
2 2 12;
x y
x y
в)
3
2 1
6 6,
2 2 ;
x y
y x
г)
3,
4 4 20.
x y
x y
145. Відомо, що маса m(t) радіоактивної речовини (у грамах), що залиша-
ється через t років розпаду, задається формулою m(t) =1000 · 2–0,003t
.
Знайдіть:
а) початкову масу радіоактивної речовини;
б) масу радіоактивної речовини, що залишиться через 10 років;
в) проміжок часу, протягом якого кількість речовини зменшиться вдвоє
(період піврозпаду).
146. (ЗНО, 2009). Розв’яжіть систему рівнянь
2
2
1
3 ,
3
3 3 4 3.
x y
x y
Для одержаного розв’язку 0 0( ; )x y системи обчисліть добуток 0 0.x y
РІВЕНЬ В
Розв’яжіть рівняння (147–157).
147. а) 4 4
3 2 2 3 2 2 34;
x x
б) 2 3 2 3 4.
x x
148. а) 3 10 10 3 6;
x x
б) 2 3 2 3 2.
x x
16. Розділ 130
149. а)
2
1 cos2 cos
2 3 2 2 0;x x
б)
2
cos sin
5 5 5 .x x
150. а)
2 2
cos sin
3 5 3 2 0;x x
б) sin cos sin2
(4 ) 5 2 12.x x x
151. а)
3 2 1
;
x x
б) 2 1 2 2 5.x x
152. а)
2 1 4 3
;
x x
e e
б) 3 9 3 1 4.x x
153. а)
2
2 5
4 3 (3 1) 0;
x x
x x б) 1
25 5 9 5 2.
x x x
154. а)
2
2 3
6 5 (7 1) 0;
x x
x x б) 16 2 4 7 4 3. x x x
155. а)
2 2 2
2 6 3 3 1 2 6 3
3 6 2 ;x x x x x x
б)
2 2
2 2 12 6
3 3 2 3 ;x x x x
в) 31–x
· 22x
+ 7 · 2x
6 · 3x
;
г) 27 · 2–3x
+ 9 · 2x
– 23x
– 27 · 2–x
8.
156. а) 2
2
18 6
3 3 2;
3 3
x x
x x
в) 53x
+ 9 · 5x
+ 27 · 5–3x
+ 27 · 5–x
27;
б) 3
3 1
8 6
2 6 2 1;
2 2
x x
x x
г) 32x
– 12 · 3–2x
– 2 · 3x
– 2 · 3–x
1.
157. а)
2
1 1
;x x
x x
б)
1
31 1 ;
x
x x в)
2
10 3 1
2 2 .
x x
x x
Розв’яжіть систему рівнянь (158–159).
158. а)
2 3 108,
3 2 72;
x y
x y
б)
3 4 19,
2 3 3 4 54;
x y
x y
в)
2
2
7 7 28,
7 12.
x x
x
y
y y
159. а)
2 3 7,
3 2 2 3 18;
x y
x y
б)
7 25 0,
5 49 0;
x
x
y
y
в)
2
2
2 2 10,
2 15.
x x
x
y
y y
160. (ЗНО, 2005). Знайдіть добуток xy, якщо пара ( ; )x y є розв’язком сис-
теми рівнянь
3 3
2 2 2,
2 2 56.
x y
x y
161. Металеву кульку, температура якої 120 С, помістили у приміщення
з температурою 20 С. Через скільки хвилин температура кульки ста-
новитиме 84 С, якщо закон охолодження тіла виражається формулою
D D0
· bkt
, де D — різниця між температурою тіла, яке охолоджується,
і температурою навколишнього середовища; D0
— початкова різниця
температур тіла і середовища; t — час (у хвилинах), b і k — сталі
величини, які залежать від форми тіла й матеріалу? Для даного тіла
b 0,8; k 0,1.
162. Формула виведення медичних препаратів з організму має вигляд
c c0
e–kt
, де c — концентрація медичного препарату в організмі через t
годин, c0
— початкова концентрація препарату. Знайдіть приблизний
час, за який концентрація медичного препарату в організмі людини
зменшиться на 20 %, якщо коефіцієнт k виведення цього препарату
з організму дорівнює 2.
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 31
163. Для кожного значення параметра a знайдіть кількість коренів рівнян-
ня 2 2
5 (2 2) 5 3 2 1 0.x x
a a a
164. При яких значеннях параметра a має єдиний корінь рівняння
2
9 ( 1) 3 2 0? x x
a a a
165. (ЗНО, 2016). Розв’яжіть рівняння
2 2
2 1
(4 4) 4 2 2
0
5 5 5 5 5x a x a x
x a x a a
залежно від значень параметра .a
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
166. Для поданих нижче функцій запишіть обернені та побудуйте їхні
графіки:
а) y 3x + 1; б) y x3
; в) ;y x г) y tg x.
167. Спростіть вираз:
а) 1 3 1 3 2 3
9 3 3 ;
в) 3 2 1 2 4 2
4 2 2 ;
б) 1 2 2 2 1 2 2
25 5 5 ;
г) 2 3 3 1 2 3
2 4 2 .
168. За якої умови покладений до банку під прості відсотки капітал через
два роки збільшиться на 44 %?
§4 Показникові нерівності
Inequalities Exponential
Нерівність називають показниковою, якщо її невідомі входять лише до
показників степенів.
Наприклад:
2
3
2 1 2 51
3 9 27; 8 ; 5 25.
2
x x
xx x x
Для розв’язування показникових нерівностей використовують ті самі
методи, що і для розв’язування показникових рівнянь. А також правила
розв’язування найпростіших показникових нерівностей, тобто нерівностей
виду af(x)
a(x)
чи af(x)
a(x)
, де a > 0, 1.a
Розв’язуючи найпростіші показникові нерівності, використовують моно-
тонність (зростання чи спадання) показникової функції. Наприклад:
1. Якщо a > 1, то нерівності af(x)
> a(x)
і f(x) > (x) — рівносильні.
2. Якщо 0 < a < 1, то нерівності af(x)
> a(x)
і f(x) < (x) — рівносильні.
17. Розділ 132
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність:
а) 2х
· 3x
> 36; б)
4
2
6
2 8 9
.
3 27 4
x
Розв’язання. Подамо праву та ліву частини нерівності у вигляді степеня
з основою 6 : 6x
> 62
.
Оскільки 6 > 1, то x > 2, або 2; .x
б) Перетворимо праву та ліву частини нерівності:
4
2
6
2 8 9
;
3 27 4
x
343 2 8 1 82 6 12 42 2 2 2 2 2 2 2
; ; .
3 3 3 3 3 3 3 3
x x x
Оскільки
2
0 1,
3
то остання нерівність рівносильна нерівності 1 8,
4
x
звідки 7,
4
x
або 28.x Отже, 28; . x
Приклад 2. Розв’яжіть нерівність: 2 3 4 1 2
2 2 2 5 5 .x x x x x
Розв’язання. Винесемо за дужки у лівій частині нерівності спільний
множник 2x
, а у правій частині 5 .x
Отримаємо нерівність:
2 (4 8 16) 5 (5 25)x x
, або 2 ( 20) 5 ( 20),x x
звідки 2 5 .x x
Поділимо обидві частини нерівності на 5x
і отримаємо рівносильну не-
рівність
2
1,
5
x
або
0
2 2
,
5 5
x
звідки 0x (бо
2
0 1
5
).
Отже, 0; . x
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність: 3 · 72x
– 2 · 7x
– 1 < 0.
Розв’язання. Нехай 7x
y, тоді 72x
y2
. Підставимо у в дану нерівність.
Маємо: 3y2
– 2y – 1 < 0. Оскільки квадратний тричлен 3y2
– 2y – 1 має
корені
1
3
і 1, то множиною розв’язків відповідної нерівності буде:
1
1,
3
y або
1,
1
.
3
y
y
Оскільки y 7x
> 0, то умова
1
3
y виконується завжди. Якщо y < 1,
то 7x
< 1, або 7x
< 70
. Отже, x < 0, або ;0 .x
Приклад 4. Розв’яжіть нерівність:
2
2
(sin1,3) 1 cos 1,3.
x x
Розв’язання. Оскільки 2 2
1 cos 1,3 sin 1,3 , то отримаємо нерівність
2
2
(sin1,3) sin 1,3.
x x
Враховуючи, що 0 sin1,3 1 , перейдемо до рівносильної нерівності
2
2.x x Розв’яжемо дану нерівність.
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 33
Вона рівносильна системі нерівностей:
x x x x
x x x x
2 2
2 2
2, 2 0,
або
2, 2 0.
Розв’язком першої нерівності є проміжок (–1; 2), а друга нерівність ви-
конується для всіх Rx , оскільки дискримінант відповідного квадратно-
го рівняння від’ємний.
Отже, ( 1; 2). x
Приклад 5. Розв’яжіть нерівність: 2 2 1
2 5 2 7 8 7 1 0.
x x
x x
Розв’язання. Дана нерівність рівносильна сукупності:
x x
x x
x x
2 1
2
2
7 8 7 1 0,
2 5 2 0,
2 5 2 0.
Розв’яжемо першу нерівність системи. Запишемо її у вигляді
2
7 7 8 7 1 0x x
ізробимозаміну 7 .x
y Отримаємонерівність 2
7 8 1 0,y y
розв’язки якої
1
7
y або 1.y Повертаючись до заміни, отримаємо:
x
x
1
7 ,
7
7 1,
або
x
x
1
0
7 7 ,
7 7 ,
звідки
x
x
1,
0,
тобто ; 1 0; .x
Розв’яжемо другу нерівність системи. Оскільки рівняння 2
2 5 2 0x x
має корені 1 22, 0,5, x x то нерівність 2
2 5 2 0x x або 2
2 5 2 0x x
виконується для всіх ( 2; 0,5). x
Повертаючись до системи, отримаємо (мал. 14):
x
x
x x
; 1 0; ,
( 2; 0,5),
2; 0,5. Мал. 14
0 x–1
–0,5
–2
Отже, 2; 1 0,5 .x
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1. Які нерівності називають показниковими?
2. Наведіть приклади показникових нерівностей.
3. Які методи розв’язування показникових нерівностей ви знаєте?
4. Які властивості показникової функції використовують для розв’язуван-
ня нерівностей?
5. Які нерівності називають найпростішими показниковими нерівно-
стями?
6. Як розв’язують найпростіші показникові нерівності?
18. Розділ 134
ВИКОНАЄМО РАЗОМ
1 Розв’яжіть нерівність
2
3 1
8 .
4
x
x
Розв’язання. Запишемо праву та ліву частини нерівності як степені
числа 2:
3
3 2 2
2 (2 ) ,
x
x
або 29–3x
< 2–4x
. Оскільки 2 > 1, то остання нерів-
ність рівносильна нерівності 9 – 3x < –4x, звідси x < –9.
Відповідь. ( ; 9).
2 Розв’яжіть нерівність 3x+1
– 2 · 3x–2
75.
Розв’язання. Запишемо нерівність у вигляді 3x
· 3 – 2 · 3x
· 3–2
75, або
2
3 3 3 75.
9
x x
Винесемо 3x
за дужки і спростимо утворену нерівність:
2
3 3 75,
9
x
25
3 75,
9
x
3x
27, x 3, або 3; .x
У даній нерівності можна було відразу винести за дужки 2
3 .x
Отрима-
ли б нерівність 2 3
3 (3 2) 75,x
або 2
3 25 75,x
звідки 2
3 3,x
2 1,x
3.x Отже, 3; .x
Відповідь. 3; .
3 Розв’яжіть нерівність 32x+1
+ 4 · 15x
– 3 · 52x+ 1
> 0.
Розв’язання. Запишемо нерівність у вигляді
3 · 32x
+ 4 · 3x
· 5x
– 15 · 52x
> 0.
Поділимо ліву та праву частини рівняння на 52x
. Маємо:
2
3 3
3 4 15 0.
5 5
x x
Позначимо
3
5
x
y
(y > 0) і підставимо y в дану нерівність. Маємо:
3y2
+ 4y – 15 > 0. Знайдемо корені відповідного квадратного рівняння. Отримає-
мо: 1 2
5
3, .
3
y y Тоді нерівність має розв’язки
3,
5
3
y
y
або
3
3,
5
3 5
.
5 3
x
x
Перша нерівність
3
3
5
x
не має розв’язків, оскільки
3
0
5
x
.
Розв’яжемо другу нерівність:
3 5
5 3
x
, або
1
3 3
.
5 5
x
Оскільки
3
1
5
, то остання нерівність рівносильна нерівності 1.x
Відповідь. ( ; 1).
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 35
4 Розв’яжіть нерівність 2
8 2 4 4 6 3 4 . x x x
Розв’язання. Зробимо заміну 4x
y і отримаємо нерівність
2
8 2 6 3 ,y y y яка рівносильна сукупності систем:
y
y y y
y
y y
2 2
2
6 3 0,
8 2 (6 3 ) ;
6 3 0,
8 2 0.
Розв’яжемо другу нерівність першої системи: 2 2
8 2 36 36 9 ,y y y y
2 2
10 38 28 0, 5 19 14 0, ( 1)( 2,8) 0, 1 2,8. y y y y y y y
Розв’яжемо першу систему:
y y
y
y y
6 3 0, 2,
1; 2 .
1 2,8; 1 2,8,
Розв’яжемо другу систему:
y y y
y
y y yy y
2
6 3 0, 2, 2,
2; 4 .
( 4)( 2) 0; 2 4,8 2 0;
Об’єднавши розв’язки першої та другої систем, отримаємо: 1; 4 .y
Повертаючись до заміни, маємо: 1 4 4,x
або 0 1
4 4 4 .x
Оскільки 4 1,
то дана нерівність рівносильна нерівності 0 1.x Отже, 0; 1 .x
Відповідь. 0; 1 .
5 Розв’яжіть графічно нерівність 2x
< x + 1.
Розв’язання. Побудуємо в одній системі
координат графіки функцій y 2x
і y x + 1
(мал. 15). Вони перетинаються в точках
A(0; 1) і B(1; 2) (перевірте підстановкою).
Значення 2x
менші за відповідні значення
x + 1, якщо 0 < x < 1.
Відповідь. (0; 1).
ВИКОНАЙТЕ УСНО
169. Розв’яжіть нерівність:
а) 7
5 5 ;x
б) 2 4
6 6 ;x
в) 5
(0,3) (0,3) ;x
г) 2
(2,3) (2,3) .x
170. Чи має розв’язки нерівність:
а) 10x
> 10; б) 7x
< –9; в) 5x
0,5; г) 5x
> –5; ґ) 4x
0?
171. Розв’яжіть нерівність:
а) 3x
> 1; б) 7x
< 49; в) 5x
125; г) 15x
> –2; ґ)4x
–0,25.
172. а) При яких значеннях параметра a нерівність 2x
a має розв’язки?
б)Приякихзначенняхпараметра a нерівність (0,2)x
a немаєрозв’язків?
x
B
A
y
y x + 1
y 2x
1
2
1
O
Мал. 15
20. Розділ 138
197. Установіть відповідність між нерівностями (1–4) та рівносильними їм
нерівностями (А–Д).
1
2 4 3 3
6 2 3x x x
А х –1
2
2
3 2
sin3 sin3
x x
Б
2
1
3
x
3 9 6 3 27 0x x
В х 2
4 0,4x2 –1
0,40
Г х 1
Д –1 x 1
РІВЕНЬ В
198. Розв’яжіть нерівність:
а) 5 4 7 10 2 25 0;x x x
в) 12x
– 6x+1
+ 8 · 3x
0;
б) 4 · 4x
– 6x
< 18 · 9x
; г) 22x+1
> 5 · 6x
– 32x+1
.
199. а) 3 16 5 36 2 81 0;x x x
б) 18x
– 8 · 6x
– 9 · 2x
0.
Розв’яжіть нерівність (200–201).
200. а)
1 3 2 53 1 5
3 9 ;
x xx x
в)
2
5 8
sin2 0,5 1 cos4 ;
x x
б)
2
1
3 4
0;
4 2 80x x
x x
г) 5 2 6 5 2 6 10.
x x
201. а) 3 1 3 7 31 3
0,2 125 ;
x x xx
в)
2
3 2
cos6 1 sin 6;
x x
б)
2 1
2
5 5 4
0;
4 5
x x
x x
г) 7 4 3 7 4 3 14.
x x
202. (ЗНО, 2014). Розв’яжіть нерівність
10 16 5
0.
2
x x
x
У відповідь запишіть
суму всіх цілих розв’язків нерівності на проміжку 3; 7 .
Розв’яжіть нерівність (203–204).
203. а) 4 2 2 4 2 ;x x x
в) 2 2 1
12 3 4 3 1 0;x x
x x
б)
2
2
5 10 15;x
г) 2 1 2 1 4.x x
204. а) 2
5 6 5 5 8 2 5 ;x x x
в) 2 2 1
15 2 5 6 5 1 0;x x
x x
б)
2
6
3 7 20;x
г) 4 1 4 2 5.x x
Розв’яжіть графічно нерівність (205–206).
205. а) x x
x
3
2 ;
1
б) x
x 0,5 5; в) 3x
+ 2x2
> 4x + 1.
206. а) ex
+ 1 > sin x; б) 3x–1
< x–1
; в) (x – 1)2
+ 2x
> 2.
207. Знайдіть цілі розв’язки нерівності:
а) 0,04 < 0,2x
< 125; б) 0,1 < x
< 10; в) 0,1 < 2x+3
< 10; г) 0,1 ex
< 10.
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 39
208. Для кожного значення параметра a розв’яжіть нерівність
3 1
5 .
25
a
x
209. Для кожного значення параметра a розв’яжіть нерівність
2 1
3 10 3 3 0.x x
x a
210. (ЗНО, 2018 ). Розв’яжіть нерівність
2
(9 36 36)( 4)
0
2x
x x a
a
залежно від значень параметра a.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
211. Розв’яжіть нерівність 2
5 24 2.x x x
212. Розв’яжіть рівняння 2 2 2
sin sin 2 sin 3 0.x x x
213. Напишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції 4 2y x
у точці 0 0.x
§5 Логарифми та
їх властивості
Logarithms and their Properties
У попередньому параграфі ви знаходили корені рівняння
виду ax
b. Наприклад: 2x
4, x 2; 2x
8, x 3. А який
корінь має рівняння 2x
5? За допомогою графічного ме-
тоду можна переконатися, що воно має єдиний розв’язок
(мал. 16). Це число більше за 2 і менше за 3, але як його
записати?
Для запису коренів показникового рівняння використо-
вують поняття «логарифм» і відповідний символ. Коренем
рівняння 2x
5 є число, яке записують у вигляді log2
5 і
читають «логарифм числа 5 за основою 2».
Розглянемо загальний випадок.
Нехай a і — дійсні числа і a > 0, 1.a Якщо a
b, то число на-
зивають логарифмом числа b за основою a.
Логарифмом числа b за основою a (a > 0 і 1a ) називають показник степе-
ня, до якого треба піднести число a, щоб отримати b.
Логарифм числа b за основою a позначають символом loga
b.
xO
y
y 2x
2
6
2 4–2
Мал. 16
