1

Київ
Видавничий дім «Освіта»
2019
Г. П. Бевз
В. Г. Бевз
В. М. Владіміров
Н. Г. Владімірова
Алгебра і початки аналізу
«Алгебра і початки аналізу (профільний рівень)»
підручник для 11 класу закладів загальної середньої освіти

Умовні позначки
«Екологічна безпека і сталий розвиток»
«Здоров’я і безпека»
«Громадянська відповідальність»
«Підприємливість та фінансова грамотність»
Задачі, що було запропоновано під час ЗНО.
Освіта — скарб, праця — ключ до нього.
П. Буаст
ШАНОВНІ УЧНІ ТА УЧЕНИЦІ!
Цей навчальний рік — визначальний у вашому житті, оскільки ви стоїте на
порозі вибору майбутньої професії. У цьому вам допоможуть знання з математики
та уміння використовувати їх на практиці. Підручник адресовано учням, які вивча-
ють математику на профільному рівні. Її вивчення сприятиме свідомому і міцному
оволодінню системою математичних знань, навичок і умінь, які знадобляться вам
у повсякденному житті та майбутній трудовій діяльності, допоможуть у вивченні
інших шкільних дисциплін та продовженні навчання у вищих закладах освіти.
За цим підручником ви будете завершувати вивчення алгебри і початків аналі-
зу в середній школі. Щоб уявити весь її курс і зрозуміти, яке місце посідає в ній
матеріал 11 класу, розгляньте поданий нижче перелік тем. Матеріал, позначений
маркерами ( ), ви вивчатимете цього року.
Функції
Многочлени
Рівняння та нерівності
Степенева функція
Тригонометричні функції
Тригонометричні рівняння
і нерівності
Похідна та її застосування
 Показникова та логарифмічна
функції
 Показникові рівняння і нерівності
 Логарифмічні рівняння і нерівності
 Інтеграл та його застосування
 Елементи комбінаторики, теорії
ймовірностей
 Рівняння, нерівності та їх системи
З окремими темами ви вже ознайомилися, а більшість — зовсім нові. Намагайтеся
опанувати їх. У кожному параграфі підручника викладено теоретичні відомості і
задачі на їх засвоєння та застосування. Читаючи теорію, основну увагу звертайте
на слова, виділені курсивом і жирним шрифтом. Їх треба розуміти і застосовувати
до розв’язування задач. Майже в усіх параграфах підручника є рубрика «Хочете
знати ще більше?», в якій містяться додаткові відомості для зацікавлених. Від-
повідаючи на запитання рубрики «Перевірте себе», ви зможете краще закріпити,
узагальнити і систематизувати нові знання.
Знати математику — це насамперед уміти користуватися нею. А для цього слід
розв’язувати багато задач. У підручнику подано задачі різних рівнів складності.
Їх поділено на групи: «Виконайте усно», група А, група Б, група В і «Задачі для
повторення».
Особливістю цього підручника є включення до кожної навчальної теми задач,
що в різні роки пропонувалися під час ЗНО. Розв’язування таких задач допоможе
у підготовці до одного з найвідповідальніших іспитів у вашому житті.
Окремі задачі містять реальні дані, що стосуються використання та збереження
природних ресурсів, безпеки й охорони здоров’я, планування господарської ді-
яльності, складання сімейного бюджету та реальної оцінки власних можливостей
тощо. Для цих задач використано спеціальні позначки, пояснення яких можна
побачити на звороті титулу.
У рубриці «Виконаємо разом» подано декілька задач із розв’язаннями, і, перш
ніж виконувати домашнє завдання (номери цих завдань виділено синім кольором),
радимо проглянути їх.
Перевірити, як ви засвоїли новий матеріал та добре підготуватися до зовнішнього
незалежного оцінювання, ви можете, розв’язуючи задачі та виконуючи завдання
з рубрики «Перевіряємо набуті компетентності».
Сподіваємося, що вивчення алгебри і початків аналізу за цим підручником буде
для вас цікавим і нескладним.
Автори

Костянтин Феофанович ЛЕБЕДИНЦЕВ
(1878–1925)
Українськийматематик,педагог-новатор,член
Київського фізико-математичного товариства.
Його професійна діяльність стосувалася рефор-
муванняматематичноїосвітитавпровадженнявїї
систему демократичних новітніх ідей. У його під-
ручнику «Керівництво алгебри» функції вперше
ввійшли до курсу алгебри як органічна складова.
Академік О. Ю. Шмідт назвав його «найкращим
сучасним підручником з алгебри».
Розділ 1Розділ 1
НАБУВАЄМО ДОСВІДУ ТА КОМПЕТЕНТНОСТЕЙ
ПОКАЗНИКОВІ ТА
ЛОГАРИФМІЧНІ ФУНКЦІЇ
Exponential and
Logarithmic Functions
xO 1
1
2
3
4
5
y
–1
–1
–2
–2
2 3 4 5
y  ax
y  x
a > 1
y  loga
x
a
0 < a < 1
xO 1
1
2
3
4
5
y
–1
–1
–2
–2
2 3 4 5
y  ax
y  x
y  loga
x
б
ПОКАЗНИКОВА ТА ЛОГАРИФМІЧНА ФУНКЦІЇ 5
§1Степінь з дійсним
показником
Degrees with Valid Indicators
Пригадайте, як поступово розширювалося поняття степеня. Спочатку
вводилося поняття степеня числа з натуральним показником n:
1
... , , 2; .n
n
a a a a a n N n a a       
Потім розглядалися степені з цілим показником: a0
 1;
1n
n
a
a

  0 ;a 
нарешті — з довільним раціональним показником степеня:
m
n mn
a a (a > 0).
Математики часто використовують також степені з довільними дійсни-
ми показниками. Множина дійсних чисел складається з чисел раціональ-
них та ірраціональних. Що таке степені з раціональними показниками, ви
вже знаєте. Введемо поняття степеня з ірраціональним показником на
прикладі числа 2
3 . Нехай
(n
): 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ... (*)
нескінченна послідовність раціональних наближень числа 2 з точністю
до десятих, сотих, тисячних і т. д. Тобто це послідовність раціональних
чисел, які досить близько наближаються до 2. Тоді
(an
): 31,4
; 31,41
; 31,414
; 31,4142
; 31,41421
; ... (**)
послідовність чисел (степенів з раціональними показниками), які як за-
вгодно близько наближаються до деякого дійсного числа. Це дійсне число
і прийнято вважати значенням степеня 2
3 .
Наближені значення (з точністю до десятих, сотих, тисячних і т. д.) для
степенів 2
3 і 2
5 подано в таблиці, виконаній за допомогою програми
Microsoft Excel (мал. 1).
Мал. 1

Розділ 16
Якими не були б дійсні числа a > 0 і , степінь a
завжди має зміст,
тобто дорівнює деякому дійсному числу. Для таких степенів справджуються
властивості:
1) ar
· as
 ar+s
; 2) ar
: as
 ar–s
; 3) (ar
)s
 ar·s
; 4) (ab)r
 ar
br
; 5) ,
r r
r
a a
b b
  
  
  
де a > 0, b > 0, r  R, s R.
Вирази, що містять степені з дійсними показниками, можна перетво-
рювати так само, як вирази зі степенями з раціональними показниками.
Приклад.
      
22 1 1 12
12 2 2 2
2
1 1 1
2 2 2
49 7 7 7
7 .
7 7 7
a a a a
a
a a a
   

  
   
   
  
Як ви вже знаєте, степені із дробовими показниками розглядають за
умови, що їх основи — числа додатні. Так само і степені з ірраціональни-
ми показниками розглядають за умови, що основи степенів — числа до-
датні. Але якщо  > 0 , то 0

існує і 0

 0. А наприклад, вирази 0–0,5
,  
1
82 ,
(–)1,3
,   2
3 — не мають змісту. Це — записи, які не позначають ніяких
чисел.
Знаючи тільки степені з раціональними показниками, ви раніше і сте-
пеневі функції розглядали не всі, а тільки такі, показники степенів яких
були раціональними числами. Тепер поняття степеневої функції можна
розширити. Степеневою далі називатимемо функцію y  x
, де  — до-
вільне дійсне число. Зокрема, функції 2
,y x y  x–
— степеневі. Влас-
тивості цих функцій такі самі, як і властивості степеневих функцій з ра-
ціональними показниками степенів.
Якщо  — додатне ірраціональне число, то функція y  x
визначена на
проміжку  0; ;  така ж і множина її значень. Якщо ж ірраціональне
число  від’ємне, то областю визначення і областю значень функції y  x
є проміжок  0; .  Властивості таких функцій вказано в таблиці.
Властивості степеневої функції y  x
, R
x
 > 0  < 0
D(y)  0;   0; 
E(y)  0;   0; 
y > 0  0;   0; 
спадає —  0; 
зростає  0;  —
Кілька графіків таких функцій зображено на
малюнках 2, 3.
Для окремих значень  цю функцію можна розгля-
дати і на ширшій області визначення. Зокрема, при
натуральних  вона визначена на R (мал. 4, а), а
при цілих від’ємних — на множині    ;0 0;  
(мал. 4, б). У цих випадках при парних значеннях 
функція y  x
парна, а при непарних  — непарна.
ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?
Наведене на с. 5 пояснення поняття степеня з ір-
раціональним показником з погляду математики не
зовсім коректне, бо в ньому вжито нематематичне
поняття «близько наближається». У математиці йому
відповідає поняття границя послідовності. Число a
називають границею нескінченної послідовності
a1
, a2
, a3
, ..., an
, ... , якщо для будь-якого додатного
числа  існує номер члена послідовності N() такий,
що для всіх n > N() виконується нерівність .na a  
Тому правильніше було б сказати, що коли границею
послідовності (n
) є число 2, то границею послідов-
ності (an
) є число 2
3 . Узагалі, якщо a > 0 — число
дійсне, а  — ірраціональне, то під степенем a
розу-
міють границю нескінченної послідовності 1
,a 2
,a
..., ,n
a
..., де 1
, 2
, ..., n
, ... — нескінченна послі-
довність, границею якої є число . Коректність тако-
го означення обґрунтовано у строгих курсах матема-
тичного аналізу.
1 x
y
1
2
3
–1 O
y  x4
a
1 2–1
–1
–3
–2
–4
x
y
O
1
2
3
4
yx–3
б
Мал. 4
O
1
1 2
2
3
x
y
y  x
O
1
1 2 3
2
3
x
y
2
y x
Мал. 2
O
1
1 2
2
3
x
y
0,5
y x
O
1
1 2 3
2
3
x
y
y  x–
Мал. 3
a
a
б
б

Розділ 18
ПЕРЕВІРТЕ СЕБЕ
1. Що таке степінь числа з натуральним показником?
2. Якою рівністю можна визначити степінь числа з цілим від’ємним по-
казником? А з дробовим показником?
3. Що розуміють під степенем додатного числа з ірраціональним показ-
ником?
4. Які властивості мають степені з довільними дійсними показниками?
5. Як можна перетворювати вирази, що містять степені з довільними
дійсними показниками?
ВИКОНАЄМО РАЗОМ
1 Чи проходить графік функції y  x0,75
через точку M(16; 8)?
Розв’язання. Якщо x  16, то
3
0,75 4
16 16 8.y   
Відповідь. Проходить.
2 Відомо, що графік функції y  x
проходить через точку
1
2; .
4
 
 
 
P
Чому дорівнює ?
Розв’язання.
1
2 ,
4

 2–2
 2
, звідси   –2.
Відповідь. –2.
3 Спростіть вираз
2 2 1
2
5 5
.
5


 2 2 1 2 1
2 2
5 5 5 1 5 1 4
1 0,8.
5 55 5
 
 
    
Відповідь. 0,8.
4 Порівняйте числа: а)
3
4
7
 
 
 
і
3
7
;
4
 
 
 
б) (2,5)–
і (5,2)–
.
Розв’язання. а) Функція 3
y x (x > 0) — зростаюча, бо 3 0. Оскіль-
ки
4 7
,
7 4
 то
3 3
4 7
.
7 4
   
   
   
б) Функція y  x–
(x > 0) — спадна, бо – < 0, тому (2,5)–
> (5,2)–
.
ВИКОНАЙТЕ УСНО
Обчисліть (1–3).
1. а)
1
4
81 ; б)
1
4
625 ; в)
1
4
0,0016 ; г)
1
4
1 .
2. а) 490,5
; б) 6,250,5
; в) 0,00160,5
; г) 00,5
.
3. а) 4–1
; б) 2–1
; в) 0,5–1
; г) (–1)–1
.
4. Який із поданих нижче виразів не існує:
а) (–4)–1
; б) 20
; в) (–5)0,5
; г) (–1)0
; ґ) 
; д) 3
0 ?
5. Укажіть область визначення функції:
а) y  x3
; б) 3
;y x
 в)
3
7
;y x г) y  x–0,5
.
6. а) (–4)–1
· 22
; б) 232
· 0,530
; в) 50,5
· 51,5
; г) 
: 1+
.
7. а)
sin cos
6 3
5 5 ;
 
 б) (23tg 3
)ctg 3
; в) (52)0,5
: (52)0,5cos 
.
РІВЕНЬ А
8. Подайте у вигляді степеня з основою 2 число:
а) 8; б)
1
;
16
в) 2; г) 0,25; ґ) 1024; д) 0,5; е) 3
4; є)0,0625.
9. Подайте у вигляді степеня з основою 3 число:
а) 81; б) 27; в) 2
9 ; г) 81–1
; ґ) 3
9; д) 1; е) 7290,25
; є) 27
.
10. Обчисліть:
а) 320,4
; в) 273
: 94
; ґ) 33
16 4; е) (81–1
)0,25
;
б)  
2
2
9 ; г) 25
· 5–2
; д) 0,25
49 7; є) 2
· 0,5
.
11. (ЗНО, 2017). Нехай m і n довільні дійсні числа, а — довільне додатне
число, а  0. До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення
(А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
Початок речення Закінчення речення
1 Якщо (аm
)n
 а4
, то А m + n  4
2 Якщо аm
· аn
 а4
, то Б m – n  4
3 Якщо 8
,m n
a a то В mn  4
4
Якщо 4
1
,
n
m
a
a a
 то
Г m 4n
Д m 8n
12. Обчисліть за допомогою калькулятора чи програми Excel з точністю
до сотих:
а) 2
; б) 3,8
; в) 2
5 ; г) 8+1
; ґ) 0,52
; д) 2
2,9 .

13. Чи має значення вираз:
а)  
2
35 ; б)
11
43
7 ; в)
5
7
0 ; г) (–1)
; ґ) (–3)–8
; д)
4
3
0 ;

е) 3
0 ; є) 
?

Розділ 110
Спростіть вираз (14–15).
14. а) (a – x0,5
)(a + x0,5
); в) (x – 4) : (x0,5
+ 2);
б)    1 1
2 2
: ;a b a b  г)   1 1 1 1
2 4 2 4
.c p c p 
15. а)   1 2 1
3 3 3
1 1 ;  x x x в)   1 2 1
3 3 3
2 2 4 ;n n n  
б)    1
3
8 : 2 ;a a  г)    1 2
3 3
1 : 1 .x x x  
16. (ЗНО, 2016, 2018).
а) Якщо
1
2 ,
5
a
 то 26–а

А Б В Г Д
12,8 59 69 240 320
б) Якщо 2а
3, то 4а+1

А Б В Г Д
12 13 18 36 64
17. Порівняйте області визначення функцій:
а) 5
2y x  і
1
5
( 2) ;y x  б) 3
1
1x 
і
1
3
( 1) .x


18. Зростаючою чи спадною є функція:
а) y  x0,3
; б) 3
;y x
 в)
3
7
;y x г) y  x–0,5
?
Побудуйте схематично графік однієї з функцій.
19. Порівняйте числа:
а) 80,3
і 90,3
; б) 3
7
і 3
8 ;
в) 2
8
і 2
9 ;
г) 0,5
і 0,4
.
20. Чи проходить графік функції y  x–0,5
через точку A, якщо:
а) A(4; 5); б) A(4; 0,5); в) A(4; –0,5); г) A(25; 0,2)?
21. Чи проходить графік функції 3
y x через точку M, якщо:
а) M(1; 1); б)  3; 3 ;M в)  3; 3 ;M г) M(0; 0)?
22. При якому значенні  графік функції y  x
проходить через точку
1
2; ?
4
 
 
 
K А через точку M(25; 0,2)?
23. Знайдіть , якщо відомо, що графік функції y  x
проходить через
точку:
а) P(2; 8); б) P(0,2; 5); в)  3;81 .P
24. На проміжку [1; 10] із кроком 0,5 за допомогою калькулятора чи про-
грами Excel складіть таблицю значень функції: а) y  x0,25
; б) y  x–0,25
.
Побудуйте графіки цих функцій на міліметровому папері.
25. Побудуйте схематично графік степеневої функції:
а) y  x0,5
; б) y  x1,5
; в) y  x–2
; г) y  x–0,5
.
26. Доведіть, що графік кожної степеневої функції проходить через точку
A(1; 1).
РІВЕНЬ Б
27. Подайте у вигляді степеня число:
а)
4
27
;
9
б)
3
5
;
125
в)
11
6
2
;
3
 
 
 
г)
5
3
1
;
25
 
 
 
ґ) 3
4 9
;
9 4
 д)
3
3 9
.
3
28. (ЗНО, 2008, 2009). Обчисліть:
а)
5 3
3 4
3
3 81
3


А Б В Г Д
1
3
9
1
3
3 3
б)
1,6 4,8
2
3
2 4
8


(завдання з відкритою відповіддю).
29. а)
2
3
343 ;

в)  1 21
6 32
8 : 8 :8 ; ґ)
1
2
0,753
8 :81 ;
б)
1
4 8
8
64
;
3

 
 
 
г)
2
3 9
0,4
6
27
243 ;
125
 
 
 
д)
1
0,5
311 17
1 4 .
25 27
 
   
  
  
30. а) 5 5
8 8 ;
 в)   
8
2
0,5 ; ґ)  
1 2
1 2
5 ;


б) 2 2 2
3 :9 ; г) 2 3 5 5
2 8 ;
 д)    
2 5 0
2 5
5 5 .



31. Обчисліть, користуючись калькулятором:
а)  
2
3 ; б)  
3
2 ; в) 5
; г) (2 + )
; ґ)  2 1 ;

 д)  3 2 .

32. а)  2 1 2 1 2
2 2 :2 ; 
 б) (3
+ 3–2
) : 3
.
33. а)   
2 22
3 2
8
2 ;
2
 б)
3 1
3
1
1 9
9 .
9 9
 

 
  
 
34. Знайдіть область визначення виразу:
а)  
3
75 ;x

 б)  
3
43 ;a

 в)
3
2 ;x

 г)
5
33
;a a ґ)  
2
38 ;x д)
3
72
4 .x 
35. Порівняйте області визначення функцій:
a)
1
2 3
( 2)y x x   і 3 2
2;y x x   б)
1
5
2
1
9
x
y
x
 
  
 
і 5
2
1
.
9
x
y
x



Подайте у вигляді степеня вираз (36–37).
36. а)
1
1
0,52
2
3
;
a a
a
б)    
122,5 5
;y y

в)
2 1
2 2
2 1
1
.x
x


 
 
 
 

Розділ 112
37. а)
11
32
1
3
;
x x
x

б)  
23
27 14
;y y

в)
3 1
3 1 3
23 1
.
a a
aa

 

 
 
 
РІВЕНЬ В
38. а)
  x x x
x x
  

2 3 2 3 3
4 3 3
1 1
; в)    
0,5
1
2 2 2
4 ;x y x y

  
 
   
б)
1 1
2 4
0,75 0,5 1
2
1
;
1
 



a a a
a a
a
г)  1 1 1 1
2 2 2 2
1 1
2 2
.
ab
a b a b
a a b
 
  
 
 
39. а)
10,5
2
1,5
1 1
: 2 ;
11
c c
c
cc c
 

 
в)
 0,25 0,25
1 1 1 1
2 4 4 2
2
;
x y
x y
x y x y
   

 

б)
1 1
2 4 4 2
3 1 1 1
4 2 4 2 2
;
x y x y x y
x x y x y
 

 

 
г)
3 3
1 1 1 1 2 2
2 2 2 2
1
.
 
 
 
 
b a b
a ab b
a a b a a b
40. а)  2 2
ctg
7sin cos tg
5 5 7
2 2 3 ;

  
  б)     2
1
cos
12 2tg2sin 1 tg
812 84 0,9 .

 


41. а)
2 2 2
cos sin cos
6 6 3
25 :25 0,09 0,09 ;
  
  б)
2 2
cos sin
cos120 13 13
64:64 13 13 .
 

 
42. (ЗНО, 2009). Розташуйте в порядку зростання числа 230
, 320
, 710
.
А Б В Г Д
710
, 230
, 320
710
, 320
, 230
230
, 320
, 710
230
, 710
, 320
320
, 230
, 710
43. Відомо, що функція 2
y x при x  c має значення m. Чому дорівнює
значення цієї функції при: а) x  2c; б) x  c–2
?
44. На проміжку [1; 5] із кроком 0,5 за допомогою калькулятора чи про-
грами Excel складіть таблицю значень функції: а) 3
;y x б) 3
.y x

Побудуйте графіки цих функцій на міліметровому папері.
45. Доведіть, що графіки функцій 3
y x

 і
3
,
y x задані на  0; ,  симе-
тричні відносно прямої y  x.
46. На малюнку 5 подано графік функції y  xcos 1
, побудований за допо-
могою програмного забезпечення. Побудуйте графіки функцій:
а) y  2xcos 1
; б) y  1 + xcos 1
; в) y  –xcos 1
.
47. На малюнку 5 подано графік функції y  xcos 2
, побудований за допо-
могою програмного забезпечення. Побудуйте графіки функцій:
а) y  –xcos 2
; б) y  xcos 2
– 3; в) y  0,5xcos 2
.
y  xcos 2
y  xcos 1
Мал. 5
48. Побудуйте схематично графік функції:
а) y  xsin 1
; б) 0,3
;y x в) y  x–1
; г) 1 3
;y x 
 ґ) 2 2
;y x x  д) y  x –4
.
ВПРАВИ ДЛЯ ПОВТОРЕННЯ
49. Задача із французького математичного фольклору. Кілька осіб ма-
ють заплатити 800 франків судових витрат. Але троє не мають грошей,
тому кожен з решти заплатив на 60 франків більше, ніж планувалося.
Скільки осіб взяло участь у погашенні судових витрат?
50. Розв’яжіть систему подвійних нерівностей:
а)
0 1 2 1,
3 3 4 5;
x
x
  

  
б)
1 5 3 3,
3 3 2 1.
x
x
  

   
51. Побудуйте графік рівняння:
а) 2x + 3y  6; б) xy  12; в) x2
+ y2
 4; г) y2
– x  0; ґ) 1x y  .
§2Показникова функція
Exponential Functions
Розглянемо функцію, задану рівністю y  2x
. Складемо таблицю її зна-
чень для кількох значень аргументу.
X –2 –1 0 1 2 3
Y
1
4
1
2
1 2 4 8

Розділ 114
На малюнку 6, а позначено точки, координати яких відповідають цій
таблиці. Коли б на цій самій координатній площині позначити більше точок
з координатами x, y, що задовольняють рівність y  2x
, вони розмістилися б,
як показано на малюнку 6, б. А якщо для кожного дійсного значення x
обчислити відповідне значення y і позначити на координатній площині
точки з координатами x і y, вони розмістяться на одній нескінченній кривій
(мал. 6, в). Ця крива — графік функції y  2x
.
1
1–1–2 2 3 x
y
O
2
4
6
8
a
1
1–1–2 2 3 x
y
O
2
4
6
8
б
1
1–1–2 2 3 x
y
y  2x
O
2
4
6
8
в
Мал. 6
Графік функції y  2x
розміщений у I і II координатних чвертях. Коли
x –, він як завгодно близько підходить до осі Ox, але спільних точок з
нею не має. Говорять, що графік функції y  2x
асимптотично наближається
до осі Ox, що вісь Ox — асимптота цього графіка. Коли x необмежено
збільшується, графік функції y  2x
усе далі відходить від осі Ox. Як ба-
чимо, функція y  2x
визначена на множині всіх дійсних чисел, її область
значень — проміжок (0; + ). На всій області визначення функція зростає;
вона ні парна, ні непарна, ні періодична.
Розглянута функція y  2х
— приклад показникової функції, а саме —
показникова функція з основою 2.
Показниковою функцією називається функція, задана формулою
y  ax
, де a > 0 і 1.a 
Приклади інших показникових
функцій: y  3x
, y  0,5x
,  2 .
x
y 
Їхні графіки зображені на малюнку 7.
Згідно з означенням функція y  1x
не
є показниковою.
Зазначимо основні властивості
показникової функції.
1) Область визначення функції
y  ax
— множина R, бо при кожному
додатному a і дійсному x вираз aх
ви-
значений.
y
xO
y  3x
y  0,5x
8
6
4
2
21 3 4–1–2–3–4
 2
x
y 
Мал. 7
2) Область значень функції y  ax
— множина  0; ,  бо якщо основа a
степеня додатна, то додатний і степінь ax
. Отже, функція y  ax
набуває
тільки додатних значень.
3) Якщо a > 1, функція y  ax
зростає, а якщо 0 < a < 1 — спадає. Цю
властивість добре видно на графіках функцій (мал. 7).
4) Функція y  ax
кожного свого значення набуває тільки один раз. Тобто
пряму, паралельну осі Ox, графік показникової функції може перетнути
тільки в одній точці. Це випливає із властивості 3.
5) Функція y  ax
ні парна, ні непарна, ні періодична. Оскільки кожного
свого значення вона набуває тільки один раз, то не може бути парною або
періодичною. Не може вона бути і непарною, бо не набуває ні від’ємних,
ні нульових значень.
6) Графік кожної показникової функції проходить через точку A(0; 1),
бо якщо 0,a  то a0
 1.
Під час розв’язування задач і вправ, пов’язаних із показниковою функ-
цією, особливо часто використовують третю властивість, у якій вказується
на монотонність показникової функції, тобто її зростання чи спадання.
Зокрема, з неї випливають такі твердження.
1. Якщо a > 0, 1a  і 1 2
,x x
a a то x1
 x2
.
2. Якщо a > 1 і 1 2
,x x
a a то x1
> x2
.
3. Якщо 0 < a < 1 і 1 2
,x x
a a то x1
< x 2
.
Придивіться до графіків показникових функцій y  2x
і y  3x
(мал. 8).
Кутовий коефіцієнт дотичної, проведеної в точці A(0; 1) до графіка функції
y  2x
, менший від 1, а до графіка функції y  3x
більший за 1. А чи існує
така показникова функція, що кутовий коефіцієнт дотичної до її графіка
в точці A(0; 1) дорівнює 1? Існує (мал. 9). Основа цієї показникової функ-
ції — ірраціональне число 2,71828..., яке прийнято позначати буквою e.
Показникова функція y  ex
у математиці і в багатьох прикладних науках
трапляється досить часто, її називають експонентою (від лат. exponens —
виставляти напоказ).
y
x
а
A
O
y  2x
5
7
3
1
21 3–1–2
y
x
б
A
O
y  3x
5
7
3
1
21 3–1–2
Мал. 8
y
y  ex
x
A
1
1
3
5
2–1–2 O
Мал. 9

Розділ 116
ХОЧЕТЕ ЗНАТИ ЩЕ БІЛЬШЕ?
До показникової функції іноді відносять також функції виду y  cakx+b
 0, 0 . k c За допомогою таких функцій описують багато різних процесів,
пов’язаних із фізикою, хімією, біологією, економікою, соціологією тощо.
Наприклад, процеси новоутворення і розпаду речовини можна описати за
допомогою формули P  P0
ekt
, де P — кількість новоутвореної речовини
(або речовини, що розпалася) в момент часу t; P0
— початкова кількість
речовини; k — стала, значення якої визначається для конкретної ситуації.
Відповідні приклади доберіть самостійно.
1. Сформулюйте означення показникової функції.
2. Яка область визначення показникової функції? А область значень?
3. Через яку точку проходить графік кожної показникової функції?
4. Чи може значення показникової функції бути від’ємним? А дорівню-
вати нулю?
5. За якої умови показникова функція зростає? А за якої — спадає?
1 Порівняйте з одиницею число: а) 0,51,5
; б)  
0,2
5 .

Розв’язання. а) Подамо число 1 у вигляді степеня з основою 0,5. Маємо:
1  0,50
. Оскільки функція y  0,5x
— спадна і 1,5 > 0, то 0,51,5
< 0,50
,
звідси 0,51,5
< 1; б)  
0
1 5 ;  5
x
y  — функція зростаюча і –0,2 < 0,
тому    
0,2 0
5 5 ,

 звідси  
0,2
5 1.


2 Функцію f(x)  0,5x
задано на проміжку [–2; 3]. Знайдіть її найменше
і найбільше значення.
Розв’язання. Оскільки 0,5 < 1, то дана функція спадна. Тому наймен-
шого значення вона набуває в точці 3x  , а найбільшого — в точці x  –2.
Тоді
[ 2; 3]
min

f(x)  f(3)  0,53
 0,125, a
[ 2; 3]
max

f(x)  f(–2)  0,5–2
 4.
Відповідь. 0,125 і 4.
3 Побудуйте графік функції 0,5 .x
y 
Розв’язання. Функція 0,5x
y  — парна (пере-
вірте). Графік парної функції симетричний від-
носно осі Oy, тому досить побудувати графік
заданої функції для x  0 і відобразити його
y
x
2
O
1
1 2–1–2
Мал. 10
симетрично відносно осі Oy. Якщо x  0, то 0,5 0,5 .x x
 Побудуємо графік
функції y  0,5x
для x  0 і відобразимо його симетрично відносно осі Oy
(мал. 10).
52. Які з функцій y  x1,5
; y  x5–x
; y  x
; 2x
y  показникові?
53. Чи можна вважати показниковою функцію y  (–2)x
? А функцію y  2–x
?
а) y  2,5x
; б) y  ex
; в) y  0,5x
; г) y  3–x
; ґ) y  x
?
55. Чи може графік показникової функції ( 0, 1)  x
y a a a перетинати
вісь абсцис?
56. У якій точці графік показникової функції x
y a перетинає вісь орди-
нат при будь-якому значенні 0, 1? a a
57. Чи може показникова функція бути:
а) парною; б) непарною; в) періодичною?
58. Чи мають спільні точки графіки функцій:
а) y  2x
і y  2; б) y  2x
і y  2x; в) y  2x
і y  –2x; г) y  2x
і y  –2?
РІВЕНЬ А
59. Обчисліть координати кількох точок графіка функції y  1,5x
і нане-
сіть їх на координатну площину.
60. Побудуйте графік функції: а) 2x
y  ; б)
1
.
2
 
  
 
x
y
61. Побудуйте графік функції: а) 3x
y  ; б)
1
.
3
 
  
 
x
y
62. (ЗНО, 2015). На якому малюнку зображено ескіз графіка функції у  2–х
?
А Б В Г Д
1
–1
10
y
x
1
–1
10
y
x
1
–1
10
y
x
1
–1
10
y
x
1
–1 1
0
y
x
63. Перемалюйте в зошит таблицю і заповніть її (із точністю до 10–3
).
х –3,5 –2,5 –1,5 1,5 2,5 3
2x
0,5x

Розділ 118
64. За допомогою калькулятора знайдіть із точністю до 10–3
значення
функції y  1,7x
, якщо: а) x  0,5; б) x  1,3; в) 3.x 
65. Використовуючи малюнок 11, знайдіть:
1) наближені значення функції
3
2
x
y
 
  
 
у точках з абсцисами:
а) –4; –2; 0; 1; 3; 4; б) –3,5; –1,5; 0,5; 2,5;
2) при яких значеннях аргументу x значення функції
3
2
x
y
 
  
 
дорів-
нює: а) 0,25; б) 0,4; в) 0,5; г) 1,2; ґ) 1,5; д) 2,8; е) 3,5?
66. Використовуючи малюнок 12, знайдіть:
1) наближені значення функції
2
3
x
y
 
  
 
у точках з абсцисами:
а) –4; –2; 0; 1; 3; б) –3,5; –1,5; 0,5; 2,5; 4;
2) за яких значень аргументу x значення функції
2
3
x
y
 
  
 
дорівнює:
а) 0,25; б) 0,4; в) 0,5; г) 1,2; ґ) 1,5; д) 2,8; е) 3,5?
Мал. 11
x
y
1
1
3
5
–1–2–3–4 2 3 4 5O
3
2
x
y
 
   
Мал. 12
x
y
1
1
3
5
–1–2–3–4 2 3 4 5O
2
3
x
y
 
   
67. Опишіть властивості функції: а)
3
;
2
x
y
 
  
 
б)
2
.
3
x
y
 
  
 
а) y  0,7x
; в)  2 ;
x
y  ґ) y  –x
; е)  5 1 ;
x
y   ж) y  e–x
;
б)
3
;
x
y
 
  
 
г) y  2–x
; д) ;x
y e є)
9
;
11
x
y
 
  
 
з)
1
?
5 2
x
y
 
  
 
69. Порівняйте з одиницею число:
а) 5
8 ;
б) 0,32
; в)
5 2
;
4

 
 
 
г)  
3
2 ; ґ)
3
;
2
e 
 
 
д) 1,73
.
70. Порівняйте з одиницею число:
а) 0,7
5 ;
б) 3
0,2 ;
в) ( 11) ;
г)
 
 
 
3
;
6
ґ)
8
1
;
3
 
 
 
д) .
2
e
 
 
 
а) 3
4
і 2
4 ;
в)
1,4
1
2
 
 
 
і
2
1
;
2
 
 
 
ґ)
0,2
4
5
 
 
 
і
1,2
4
;
5
 
 
 
б) 3
e і 1,7
e ; г)
1
9

 
 
 
і
3,14
1
;
9
 
 
 
д) 5–0,2
і 5–1,2
.
а) 3,5
2 і 3,7
2 ; б)   3
0,5 і   5
0,5 ; в)  3
5 і   3
0,2 ;

г)  
5
0,6 і  
2
0,6 .
73. Порівняйте з одиницею число ( 0):a a
а) 2,7 2,2
a a ; в) 7 5
a a ; ґ) 0,3 0,5
a a ;
б) 0,6 0,8
a a 
 ; г) 2 3 3 2
a a ; д) 3 10
a a 
 .
74. Порівняйте з одиницею число ( 0):a a
а) 1,3 1,7
a a ; б) 2,7 2,5
a a 
 ; в) 6 40
a a ; г) 9
a a
 .
75. Порівняйте числа a і b:
а) 2 2a b
 ; в) 0,5 0,5a b
 ; ґ) ( 0,3) ( 0,3)a b
 ;
б) a b
   ; г) 0,3 0,3a b 
 ; д) 1 1
(1,7) (1,7)a b 
 .
76. Порівняйте числа a і b:
а) 7,3 7,3a b
 ; б) 2 2a b
   ; в) 0,6 0,6a b
 ; г) 1,3 1,3a b 
 .
77. Чи проходить графік функції y  4x
через точку A, якщо:
а) A(4; 16); б) A(4; 256); в) A(–2; –0,5); г) A(–2; 0,0625)?
78. Чи проходить графік функції  3
x
y  через точку M, якщо:
а)  1; 3 ;M б)  3; 3 ;M в) M(2; 3); г) M(0; 0)?
79. Знайдіть a, якщо відомо, що графік функції y  ax
проходить через
точку: а) P(2; 9); б) P(0,5; 0,2); в) P(–1; 0,5).
80. Знайдіть найбільше і найменше значення функції:
а) y  3x
на проміжку [–1; 4];
б) y  0,25x
на проміжку [–0,5; 3].
а)
1
3
x
y
 
  
 
на проміжку [–1; 4];
б) y  4x
на проміжку [–0,5; 3].
82. Побудуйте графік функції:
а) y  3x–2
; в) y  0,5x+3
; ґ) y  3–x
; е) y  –2x
;
б) y  2x
+1; г) y  2–x
– 3; д) y  ех
+ 2; є) y  – ех+2
.
а) y  2х+2
; б) y 
3
1
3
x
 
 
 
; в) y  2–x
; г) y  –2x
+ 4.

Розділ 120
РІВЕНЬ Б
84. Знайдіть основу показникової функції y  ax
, якщо її графік проходить
через точку: а) A(5; 32); б) B(–1; 2); в) C(–2; 4).
85. Чи існує показникова функція y  ax
, графік якої проходить через
точку: а) A(1; 5); б) B(2; 1); в) O(0; 0); г) C(0; 7)?
86. Коли CD-програвач вимикають, то сила струму в ньому зменшується за
формулою I(t)  24 · (0,25)t
(ампер), де t — час у секундах. Побудуйте
графік функції I(t). Знайдіть:
а) силу струму в момент вимкнення CD-програвача;
б) I(t), якщо t  1, 2, 3, 4 (с);
в) як довго сила струму у вимкненому CD-програвачі перевищує
4 А (скористайтеся графіком залежності I(t)  24 · (0,25)t
)?
87. Побудуйте графік функції y  4 · 2x–2
. Чи є ця функція показниковою?
Опишіть її властивості.
88. Побудуйте графік функції y  0,5 · 2x
. Опишіть її властивості.
89. Побудуйте графіки функцій: а) y  1x
; б) y  0x
. Чи вважають ці функ-
ції показниковими?
а) 2 3x
y   ; в) 2 2x
y   ; ґ) 3
2 2x
y 
  ;
б) 2 2x
y   ; г) 3
2 1x
y 
  ; д)
2
2
4
x
y    .
а) 3 2x
y   ; б) 1 3 x
y 
  ; в) 9 3x
y   ; г) 2
3 2x
y 
  .
92. (ЗНО, 2006). Знайдіть область визначення функції y 
2
.
2 1x
x 

А Б В Г Д
   2; 0 0;    2;      2; 0 0;     ; 2  1x 
93. Знайдіть область значень функції:
а) y  3x
– 2; б) y 0,5x
+ 1; в) 7x
y  ; г)
1
5
x
y
 
  
 
.
94. Знайдіть найменше і найбільше значення функції f(x)  25x
на проміжку:
а)
3 3
; ;
2 2
 
  
б) [–1; 0]; в)
1
; 1 ;
2
 
  
г)
1
; 2,5 .
4
 
  
95. Розв’яжіть графічно рівняння:
а) 3x
 4 – x; в) 4x
+ x  5; ґ) 2x+2
 3x + 5;
б) 0,5 5;x
x  г) 1 ;x
e x  д) x
+ x0,5
 1.
96. Установіть графічно кількість коренів рівняння:
а) 1 8
2 ;x
x

 б) 21
3 ;
2
x
x
 
  
 
в) 3 1 .x
x 
97. Розв’яжіть графічно нерівність:
а) 2x
> 4; б) 0,5x
 8; в)  2 0,5.
x

98. Чи можуть перетинатися графіки функцій y  2х
і y  2x+1
?
99. Установіть відповідність між функціями (1–4) та кількістю їх спіль-
них точок (А–Д).
1 5x
y  і y x  А три
2 2x
y  і siny x Б дві
3 3x
y  і cosy x В одна
4
1
2
x
y
 
  
 
і 2
1y x  Г жодної
Д безліч
100. Використовуючи властивість зростання функції y  2x
, розв’яжіть
рівняння і нерівності:
а) 2x
 16; 2x
> 16; 2x
 16;
б) 2x
 0,25; 2x
 0,25; 2x
< 0,25;
в) 2 32;x
 2 32;x
 2 32.x

101. Використовуючи властивість спадання функції y  0,2x
, розв’яжіть
рівняння і нерівності:
а) 0,2x
 0,04; 0,2x
> 0,04; 0,2x
 0,04;
б)
1
0,2 ;
625
x

1
0,2 ;
625
x

1
0,2 ;
625
x

в) 0,2x
 25; 0,2x
> 25; 0,2x
< 25.
РІВЕНЬ В
102. Ентомолог, вивчаючи причини нашестя сарани, дослідив, що площа
(у м2
), заражена сараною, змінюється за формулою Sn
 1000 · 20,2n
, де
n — кількість тижнів після зараження. Знайдіть: а) початкову площу
зараження; б) яку площу було заражено через 5 тижнів; в) яку площу
було заражено через 10 тижнів?
103. Під час вирощування бактерій маса культури змінюється за формулою
  2
2
t
m t e  (г), де t — час у годинах, що минув від початку розмно-
ження. Знайдіть масу культури через: а) 30 хв; б) 40 хв; в) 1 год;
г) 3 год; ґ) 4 год; д) 6 год. Побудуйте відповідний графік.

Розділ 122
104. Дослідіть на парність функцію:
а) 2 2 ;x x
y 
  б) cos2
5 ;x
y  в)
2
3
7
;
1
x
y
x


г)
3 1
;
3 1
x
x
y



ґ) (3 2 2) (3 2 2) .x x
y    
а) 5 5 ;x x
y 
  б) sin4
3 ;x
y  в)
1
2
7
;
1
x
y
x



г)
2 1
;
2 1
x
x
y



ґ) (2 3) (2 3) .x x
y    
а) 2 2
0,5 ;x x
y   
 б)
2
2 4
;
2 2
x
x
y



в)
9 1
;
3 1
x
x
y



г)
2
4 2 4
.
4 2
x x
x
y
 


а) 1 1
2 ;x x
y   
 б)
2
3 9
;
3 3
x
x
y



в)
4 1
;
2 1
x
x
y



г)
2
2 2
.
2 1
x x
x
y



108. (ЗНО, 2005). Укажіть найбільше значення функції
sin 1
1
2.
3

 
  
 
x
y
а) sin
3 ;x
y  б)
2
1 sin 3
2 ;x
y 
 в) 6 cos5 3 sin5 3
0,25 . 
 x x
y
а) cos
2 ;x
y  б)
2
1 cos 3
4 ;x
y 
 в) y  53sin 2x+4cos 2x+5
.
111. Для кожного значення параметра a знайдіть кількість коренів рів-
няння 2 2 3 .x
a  
112. Для кожного значення параметра a знайдіть кількість коренів рів-
няння
1
0,5 .
2
x
a
 
  
 
113. При якому значенні параметра a рівняння 2 2
2 x
x a
  має єдиний
розв’язок?
114. Установіть, скільки спільних точок залежно від значення параметра a
мають графіки рівнянь 0x
e y  та .x y a 
115. У геометричній прогресії b1
 0,25, q  2. Знайдіть b10
і S10
.
а) y  1 – cos x; б) y  2sin(x – 1); в)
1
;y x
x
  г) 2 .y x
117. Побудуйте графік функції і визначте її основні властивості:
а) y  x2
– 2x – 1; в) y  1 + 4x – x2
;
б) y  4x2
– 4x + 5; г) y  5x2
+ 10x + 4.
§3 Показникові рівняння
Exponential Equations
Рівняння називають показниковим, якщо його невідомі входять лише до
показників степенів.
Приклади.
9 3,x
 4x
+ 2x+1
 3,    3 2 2 3 2 2 2.
x x
   
Існує багато видів показникових рівнянь і різних підходів до їх
розв’язування. Основними методами розв’язування показникових рівнянь є:
I. Метод зведення обох частин рівняння до степенів з однаковими осно-
вами.
II. Метод уведення нової змінної.
III. Функціонально-графічний метод.
Розглянемо кожен із цих методів докладніше.
I. Метод зведення обох частин рівняння до степенів з однаковими осно-
вами застосовують у рівняннях, які можна звести до виду af(x)
 a(x)
. Такі
рівняння розв’язують на основі монотонності показникової функції.
Якщо a > 0, 1,a  то рівняння af(x)
 a(x)
і f(x)  (x) — рівносильні.
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння: а)
4 3
3 ;
9 8
x
 
 
 
б) 3x
 7x
.
Розв’язання. а) Подамо праву частину рівняння у вигляді неправиль-
ного дробу:
4 27
9 8
 
 
 
x
і запишемо у вигляді:
2 3
2 2
,
3 3
x 
   
   
   
звідси 2x  –3,
x  –1,5.
б) Оскільки 7x
> 0, поділимо обидві частини рівняння 3x
 7x
на 7x
. Ма-
ємо:
3
1,
7
x
x
 або
3
1.
7
x
 
 
 
Запишемо число 1 у вигляді степеня з основою
3
,
7
тоді
0
3 3
,
7 7
x
   
   
   
звідси x  0.
Існують двочленні рівняння виду , , x c
a b b a члени
яких ви поки що не можете звести до степенів з одна-
ковими основами.
Якщо b > 0, то рівняння має один розв’язок, оскільки
пряма y  b завжди перетинає графік показникової функ-
ції в одній точці. Як записати такий розв’язок, напри-
клад рівняння 3x
 1,5 (мал. 13), ви дізнаєтеся пізніше.
x
y  3x
y  1,5
x
y
3
2
1
O 1
Мал. 13

Розділ 124
Якщо b  0, то рівняння розв’язків не має, оскільки показникова функ-
ція набуває лише додатних значень.
II. За допомогою методу введення нової змінної розв’язують багато видів
рівнянь. Розглянемо розв’язування деяких із них на конкретних прикладах.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння: а) 25x
+ 25x – 1
+ 25x–2
+ 25x–3
 120;
б) 52x
– 5x
 600; в) 27x
+ 12x
 2 · 8x
.
Розв’язання. а) У показнику кожного степеня цього рівняння міститься
один і той самий вираз 5x. Позначимо найменший показник степеня буквою
t (5x –3  t). Тоді рівняння матиме вигляд:
2t+3
+ 2t+2
+ 2t+1
+ 2t
 120, або 2t
· 23
+ 2t
· 22
+ 2t
· 21
+ 2t
 120.
Винесемо спільний множник 2t
за дужки. Маємо:
2t
(23
+ 22
+ 21
+ 1)  120, або 2t
· 15  120. Звідси 2t
 8, або 2t
 23
. Отже,
t  3. Оскільки t  5x – 3, то 5x – 3  3, звідси x  1,2.
Розв’язуючи такі рівняння, не обов’язково вводити нову змінну, а можна
одразу виносити спільний множник за дужки.
25x–3
(23
+ 22
+ 2 + 1)  120, або 25x–3
· 15  120.
Звідси 25x–3
 8, 25x+3
 23
, x  1,2.
Саме тому цей спосіб називають способом винесення спільного множника
за дужки.
б) Нехай 5x
 y, тоді 52x
 y2
. Підставимо y в дане рівняння. Маємо:
y2
– y  600, або y2
– y – 600  0. Корені останнього рівняння: y1
 –24;
y2
 25 (перевірте).
Оскільки y  5x
> 0, то y1
 –24 — сторонній корінь. Якщо y  25, то
5x
 25, або 5x
 52
. Отже, x  2.
в) Запишемо дане рівняння у вигляді 33x
+ 22x
· 3x
– 2 · 23x
 0. Поділимо
кожен член рівняння на 23x
. Маємо:
3
3 3
2 0.
2 2
x x
   
     
   
Нехай
3
2
x
y
 
 
 
(y > 0), тоді y3
+ y – 2  0.
Оскільки y3
+ y – 2  y3
– 1 + y – 1  (y – 1)(y2
+ y + 1) + (y – 1) 
 (y – 1)(y2
+ y + 2), то рівняння y3
+ y – 2  0 має один корінь y  1, бо
рівняння 2
2 0y y   коренів не має ( 0).D  Отже,
3
1,
2
x
 
 
 
звідси x  0.
III. Функціонально-графічний метод полягає в тому, що, знайшовши
корені рівняння за допомогою побудови графіків або шляхом добору, до-
водять: інших коренів рівняння не має.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння:
3
1 0,5 .
2
x
x 
  
 
Розв’язання. Графічно або методом спроб переконуємося, що x  1 —
корінь рівняння. Оскільки
3
2
x
y
 
  
 
— зростаюча функція, бо
3
1,
2
 а
y  1 + 0,5x
— спадна (0,5 < 1), то інших коренів рівняння не має.
Розгладають також і системи показникових рівнянь.
Приклад 4. Розв’яжіть систему рівняннь:
2 3 18,
2 3 12.
x y
y x
  

 
Розв’язання. Почленно помножимо і поділимо рівняння системи.
Отримаємо систему:
2 3 216,
3
2 3 ,
2
x y x y
x y y x
 
 
  


 

або
3
1
6 6 ,
2 2
,
3 3
x y
x y

 
 

   
   
   
звідки
3,
1.
x y
x y
 

  
Додамо і віднімемо рівняння утвореної системи. Отримаємо:
2 2,
2 4,
x
y



або
1,
2.
x
y



Отже, розв’язком системи рівнянь є пара чисел (1; 2).
Показникові рівняння — окремий вид трансцендентних рівнянь. Ви вже
знаєте, що до трансцендентних належать тригонометричні рівняння. Транс-
цендентними також є рівняння, в яких поєднуються трансцендентні ви-
рази з алгебраїчними: 5x+1
+ 5x > 10, 2 2,x
x  x
– 1  sin x.
Тільки для деяких із подібних рівнянь можна вказати точні розв’язки.
Їх наближені корені знаходять іншими способами, зокрема графічним.
Рівняння виду (f(x))(x)
 (f(x))(x)
, де f(x), (x) і (x) — функції змінної x,
називаються показниково-степеневими.
Їх розв’язують, перевіряючи, чи не будуть розв’язками даного рівняння
корені рівнянь:
f(x)  1, f(x)  –1, f(x)  0, (x)  (x).
Отримані у такий спосіб корені підлягають перевірці.
Приклад 5. Розв’яжіть рівняння х1–x
 xx+2
.
Розв’язання. 1) Підставимо x  1 у дане рівняння. Маємо: 10
 13
, або
1  1. Отже, x  1 — корінь даного рівняння.
2) Якщо x  0, то маємо правильну рівність 01
 02
. Отже, x  0 — корінь
даного рівняння.
3) Якщо x  –1, отримаємо рівність (–1)2
 (–1)1
, або 1  –1. Рівність
неправильна, отже, x  –1 — сторонній корінь.
4) Розв’яжемо рівняння 1 – x  x + 2.
Його корінь x  –0,5 < 0. Це сторонній корінь, бо (–0,5)1,5
не існує.
Відповідь. 0; 1.
1. Які рівняння називають показниковими?
2. Наведіть приклади показникових рівнянь.
3. Якому рівнянню рівносильне рівняння af(x)
 a(x)
при a > 0, a  1?
4. Скільки розв’язків може мати рівняння ax
 b (a > 0, a  1)?
5. Які методи розв’язування показникових рівнянь ви знаєте?

Розділ 126
1 Розв’яжіть рівняння 4x – 5
 82x
.
Розв’язання. Запишемо праву та ліву частини як степені числа 2:
(22
)x–5
 (23
)2x
, або 22x–10
 26x
. Звідси 2x – 10  6x, 4x  –10, x  –2,5.
Відповідь. –2,5.
2 Розв’яжіть рівняння 1 1 2
6 2 6 6 2 2 8 2 .x x x x x  
      
Розв’язання. Винесемо у лівій та правій частинах рівняння спільний
множник за дужки. Отримаємо: 6 (6 2) 2 (6 2 8 4),x x
     або 6 4 2 36.x x
  
Запишемо отримане рівняння у вигляді
6 36
,
42
x
x
 або 3 9,x
 звідси 2.x 
Відповідь. 2.
3 Розв’яжіть рівняння 32x+1
+ 4 · 15x
 3 · 52x+1
.
Розв’язання. Запишемо рівняння у вигляді 3 · 32x
+ 4 · 3x
· 5x
 15 · 52x
.
Поділимо ліву та праву частини рівняння на 52x
. Маємо:
2
3 3
3 4 15.
5 5
x x
   
      
   
Позначимо
3
5
x
y
 
 
 
(y > 0) і підставимо y в дане рівняння. Маємо:
3y2
+ 4y – 15  0, звідси 1
5
,
3
y y2
 –3 (сторонній корінь).
Якщо 1
5
,
3
y  то
3 5
,
5 3
x
 
 
 
або
1
3 3
.
5 5
x 
   
   
   
Отже, x  –1.
4 Розв’яжіть рівняння    3 8 3 8 6.
x x
   
Розв’язання. Знайдемо добуток основ степенів:
  3 8 3 8 3 8 3 8 9 8 1.        
Тобто
1
3 8 .
3 8
 

Позначимо  3 8
x
y  (y > 0), тоді   1
3 8 .
x
y
 
Перейдемо до рівняння зі змінною y:
1
6,y
y
  або y2
– 6y + 1  0, звід-
си 1 3 8,y   2 3 8.y  
Маємо:
 
 
3 8 3 8,
3 8 3 8;
x
x

  

   
1
2
2,
2.
x
x


 
Відповідь. –2; 2.
5 Розв’яжіть рівняння 2x
1 – x.
Розв’язання. Розглянемо функції ( ) 2x
f x  і ( ) 1 .g x x  Оскільки функ-
ція ( )f x є зростаючою, а функція ( )g x — спадною, то рівняння може мати
не більше одного кореня. Підбором встановлюємо, що 0x  .
118. Скільки розв’язків має рівняння:
а) 12x
 3; б) 1 + 2x
 0; в) 5x
 0; г) 32x
 4?
119. Чи має розв’язки рівняння:
а) 10x
 –10; б) 7x

1
7
; в) 5x
 0,2; г) 5x
 (–5)2
; ґ) 4x
 0?
120. Розв’яжіть рівняння:
а) 3x
 81; б) 7x
 1; в) 5x
 625; г) 6x
 –2; ґ) 4–x
 16.
121. При якому значенні параметра a рівняння має корені:
а) 7 ;x
a б) 5
3 ;x
a
  в)
2
1
;
6
x
a
 
 
 
г) 2 1 ?
 x
a
РІВЕНЬ А
Розв’яжіть рівняння (122–124).
122. а) 4x–2
 16; в) 4
3 27;x
 ґ) 3 1
2 32;x
 е) 52x–1
 125;
б) 2 1
8 2 2;x
 г) 2 3
36 216 ;x x 
 д)  
1
7 49;


x
є) 0,42x+4
 0,163х
.
123. а) 3х+3
 81; в) 5
2 16;x
 ґ) 2 6
0,2 25;x
 е) 64x–5
 216;
б) 2
25 5 5;x
 г) 0,34x–4
 0,093х
; д) 2 6
49 343 ;x x 
 є)  
2 4
2 5
11 121 .
x
x



124. а)
3 8 64
;
2 9 27
x x
   
    
   
в)
1 9 27
;
2 25 250
x
 
 
 
ґ)
4
4 11
2 ;
2
x
x

 
 
 
e)
1 2 2
5 6
.
6 5
 
   
   
   
x x
б)
2 49 343
;
7 8 64
x x
   
    
   
г)
27 2187
;
8 128
x
 
 
 
д)
2 3
5 11
3 ;
9
x
x

 
 
 
є)
3 2 4 3
7 3
.
3 7
x x 
   
   
  
125. (ЗНО, 2007, 2008). Розв’яжіть рівняння:
а) 3 3
8 2 2; x
б)
2 3
3 .
6
x

Розв’яжіть рівняння, використовуючи спосіб винесення спільного множ-
ника за дужки (126–127).
126. а) 3x+1
+ 3x
 108; г) 1 2
4 4 4 84;x x x 
  
б) 2x
– 2x–2
 12; ґ) 3x+2
+ 3x+1
+ 3x
 39;
в) 2x+2
+ 2x
 5; д) 2 1
5 3 5 5 255.x x x 
   
127. а) 2 · 3x+1
+ 3x+3
 33; в) 5x+2
+ 11 · 5x
 180;
б) 3x+1
– 2 · 3x–2
 75; г) 5 · 0,5x–3
+ 0,5x+1
 162.

Розділ 128
Розв’яжіть рівняння заміною змінної (128–129).
128. а) 62x
– 4 · 6x
– 12  0; г) 64x
– 8x
– 56  0;
б) 9x
– 8 · 3x
 9; ґ) 72x
+ 7  8 · 7x
;
в) 100x
– 11 · 10x
+ 10  0; д) 4x
– 9 · 2x
+ 8  0.
129. а) 22x
– 3 · 2x
+ 2  0; г) 32x
– 2 · 3x
– 3  0;
б) 9x
– 6 · 3x
– 27  0; ґ) 4x
– 14 · 2x
– 32  0;
в) 52x
– 3 · 5x
– 10  0; д) 32x
– 12 · 3x
+ 27  0.
РІВЕНЬ Б
130. При яких значеннях змінної значення виразу дорівнює одиниці:
а)
2
0,3 ;x x
б)
2
4
7 ;x 
в) 5x(x+3)
; г)
2
3 2
0,5 ;x x 
ґ) 1
4 ?x 
131. При яких значеннях змінної значення виразу дорівнює одиниці:
а)
2
9
;x 
 б)
2
5 ;
x x
в) 0,1x(x+3)
; г)   ;
x
e  ґ) 3 ?x x
132. а)
2
2 1 1
2 0,25 ;
128
x x 
  в)
2
5 1,5 2
2 ;
8
x x 

б)
24 5 4
4 8 2 8;x x x 
  г)
2
4 3 1 3
1
9 27 .
27
x


 
133. а)
2
2
3 2 1
1 1
3 2 ;
9 3
 
   
     
   
x x
x
x в)
2
0,25
4
25
5 ;
5
x x 

б)
23 2
36 6 216 ;x x x
  г)
2
6 3 5 0,41
16 32 .
8
x
x 
  
 
134. а) 8x+1
 5x+1
; б) 13x–3
– 113–x
 0; в) 5x
· 22x
 400; г) 2x
· 32x
 324.
135. а) 2x+1
+ 3 · 2x–1
– 5 · 2x
+ 6  0;
б) 3x+1
– 2 · 3x–1
– 4 · 3x–2
 17;
в) 73x+3
+ 73x+2
+ 73x+1
 57;
г) 44x–1
+ 44x–2
+ 44x–3
 168;
ґ) 33x+1
– 4 · 27x–1
+ 91,5x–1
 80;
д) 12 1 6 1 4 1
2 4 8 40.x x x  
  
136. а) 2x–1
– 3x
 3x–1
– 2x+2
;
б) 52x–1
+ 22x
– 52x
+ 22x+2
 0;
в) 5x
+ 2 · 5x+1
– 33x+2
– 33x+1
+ 33x
 0;
г) 3x+2
+ 3x+1
+ 3x
 4x+2
– 4x+1
+ 4x
.
137. а) 2 2
4 16 10 2 ;x x 
   в) 1
8 2 4 ;x x
 
б)
2 1
1
3 10 3 ;
3
x
x

 
   
 
г)
2 2
1 3
9 36 3 3 0. 
   x x
138. а) 1 1
4 13 6 9 0;x x x 
    г) 2 2
2 2 14 3 7 0;x x x
    
б) 0,5
16 3 8 4 0;x x x
    ґ) 2 12 9 6 4 3 0;     x x x
в) 23x
– 6 · 22x
+ 12 · 2x
– 8  0; д) 8 2 4 2 2 0.x x x
    
139. а) 1 2 1
4 2 0;x x  
  в)  
4
1 4
2 5 2 2 0;

 
  
x
x
б)
1
6 5 6 ;
36
  
    
 
x
x
г) (2х
+ 10)2x–2
 36.
140. а) 3 · 16x
+ 2 · 81x
 5 · 36x
; в) 32x+4
+ 45 · 6x
 9 · 22x+2
;
б) 18x
– 8 · 6x
– 9 · 2x
 0; г) 12x
– 6x+1
+ 8 · 3x
 0.
141. а) 5 7 2 ;x
x  б) 3 16
2 ;x
x

 в) 3 4 5 . x x x
142. а) 7 10 3 ;x
x  б) 1 128
4 ;x
x

 в) 5 12 13 . x x x
143. Установіть відповідність між рівнянням (1–4) та проміжком, до якого
належать його розв’язки (А–Д) .
1 3
5 5 5
 х
А (–1; 0)
2
0,5
4 3 19 x x
Б (2; 3,5)
3
2 9 3
3 16 8
х х
   
    
   
В (–0,5; 0,5)
4 3 27х
Г (0,5; 1,5)
Д (1,5; 3)
144. Розв’яжіть систему рівнянь:
а)
3 27,
4 0,25;
x y
x y


 


б)
2
3 3,
2 2 12;

 

 
x y
x y
в)
3
2 1
6 6,
2 2 ;

 
 


x y
y x
г)
3,
4 4 20.
 

 
x y
x y
145. Відомо, що маса m(t) радіоактивної речовини (у грамах), що залиша-
ється через t років розпаду, задається формулою m(t) =1000 · 2–0,003t
.
Знайдіть:
а) початкову масу радіоактивної речовини;
б) масу радіоактивної речовини, що залишиться через 10 років;
в) проміжок часу, протягом якого кількість речовини зменшиться вдвоє
(період піврозпаду).
146. (ЗНО, 2009). Розв’яжіть систему рівнянь
2
2
1
3 ,
3
3 3 4 3.
x y
x y



  
Для одержаного розв’язку 0 0( ; )x y системи обчисліть добуток 0 0.x y
РІВЕНЬ В
147. а)    4 4
3 2 2 3 2 2 34;
x x
    б)    2 3 2 3 4.
x x
   
148. а)    3 10 10 3 6;
x x
    б)    2 3 2 3 2.
x x
   

Розділ 130
149. а)
2
1 cos2 cos
2 3 2 2 0;x x
    б)
2
cos sin
5 5 5 .x x
 
150. а)
2 2
cos sin
3 5 3 2 0;x x
    б) sin cos sin2
(4 ) 5 2 12.x x x
  
151. а)
3 2 1
;
x x 
   б) 2 1 2 2 5.x x
   
152. а)
2 1 4 3
;
x x
e e
 
 б) 3 9 3 1 4.x x
   
153. а)
2
2 5
4 3 (3 1) 0;
   x x
x x б) 1
25 5 9 5 2.
   x x x
154. а)
2
2 3
6 5 (7 1) 0;
   x x
x x б) 16 2 4 7 4 3.    x x x
155. а)
2 2 2
2 6 3 3 1 2 6 3
3 6 2 ;x x x x x x     
 
б)
2 2
2 2 12 6
3 3 2 3 ;x x x x  
  
в) 31–x
· 22x
+ 7 · 2x
 6 · 3x
;
г) 27 · 2–3x
+ 9 · 2x
– 23x
– 27 · 2–x
 8.
156. а) 2
2
18 6
3 3 2;
3 3
x x
x x
    в) 53x
+ 9 · 5x
+ 27 · 5–3x
+ 27 · 5–x
 27;
б) 3
3 1
8 6
2 6 2 1;
2 2
x x
x x
     г) 32x
– 12 · 3–2x
– 2 · 3x
– 2 · 3–x
 1.
157. а)
2
1 1
;x x
x x 
 б)    
1
31 1 ;
x
x x   в)    
2
10 3 1
2 2 .
x x
x x

  
Розв’яжіть систему рівнянь (158–159).
158. а)
2 3 108,
3 2 72;
x y
x y
  

 
б)
3 4 19,
2 3 3 4 54;
x y
x y
  

   
в)
2
2
7 7 28,
7 12.
x x
x
y
y y
   

   
159. а)
2 3 7,
3 2 2 3 18;
x y
x y
  

   
б)
7 25 0,
5 49 0;
x
x
y
y
  

 
в)
2
2
2 2 10,
2 15.
   

  
x x
x
y
y y
160. (ЗНО, 2005). Знайдіть добуток xy, якщо пара ( ; )x y є розв’язком сис-
теми рівнянь
3 3
2 2 2,
2 2 56.
x y
x y

  

  
161. Металеву кульку, температура якої 120 С, помістили у приміщення
з температурою 20 С. Через скільки хвилин температура кульки ста-
новитиме 84 С, якщо закон охолодження тіла виражається формулою
D  D0
· bkt
, де D — різниця між температурою тіла, яке охолоджується,
і температурою навколишнього середовища; D0
— початкова різниця
температур тіла і середовища; t — час (у хвилинах), b і k — сталі
величини, які залежать від форми тіла й матеріалу? Для даного тіла
b  0,8; k  0,1.
162. Формула виведення медичних препаратів з організму має вигляд
c  c0
e–kt
, де c — концентрація медичного препарату в організмі через t
годин, c0
— початкова концентрація препарату. Знайдіть приблизний
час, за який концентрація медичного препарату в організмі людини
зменшиться на 20 %, якщо коефіцієнт k виведення цього препарату
з організму дорівнює 2.
163. Для кожного значення параметра a знайдіть кількість коренів рівнян-
ня 2 2
5 (2 2) 5 3 2 1 0.x x
a a a      
164. При яких значеннях параметра a має єдиний корінь рівняння
2
9 ( 1) 3 2 0?     x x
a a a
165. (ЗНО, 2016). Розв’яжіть рівняння
2 2
2 1
(4 4) 4 2 2
0
5 5 5 5 5x a x a x
x a x a a
 
   

   
залежно від значень параметра .a
166. Для поданих нижче функцій запишіть обернені та побудуйте їхні
графіки:
а) y  3x + 1; б) y  x3
; в) ;y x г) y  tg x.
167. Спростіть вираз:
а) 1 3 1 3 2 3
9 3 3 ;   
  в) 3 2 1 2 4 2
4 2 2 ;   
 
б)  1 2 2 2 1 2 2
25 5 5 ;  
  г)  2 3 3 1 2 3
2 4 2 . 
 
168. За якої умови покладений до банку під прості відсотки капітал через
два роки збільшиться на 44 %?
§4 Показникові нерівності
Inequalities Exponential
Нерівність називають показниковою, якщо її невідомі входять лише до
показників степенів.
Наприклад:
2
3
2 1 2 51
3 9 27; 8 ; 5 25.
2

  
    
 
x x
xx x x
Для розв’язування показникових нерівностей використовують ті самі
методи, що і для розв’язування показникових рівнянь. А також правила
розв’язування найпростіших показникових нерівностей, тобто нерівностей
виду af(x)
 a(x)
чи af(x)
 a(x)
, де a > 0, 1.a 
Розв’язуючи найпростіші показникові нерівності, використовують моно-
тонність (зростання чи спадання) показникової функції. Наприклад:
1. Якщо a > 1, то нерівності af(x)
> a(x)
і f(x) > (x) — рівносильні.
2. Якщо 0 < a < 1, то нерівності af(x)
> a(x)
і f(x) < (x) — рівносильні.

Розділ 132
Приклад 1. Розв’яжіть нерівність:
а) 2х
· 3x
> 36; б)
4
2
6
2 8 9
.
3 27 4

   
   
   
x
Розв’язання. Подамо праву та ліву частини нерівності у вигляді степеня
з основою 6 : 6x
> 62
.
Оскільки 6 > 1, то x > 2, або  2; .x  
б) Перетворимо праву та ліву частини нерівності:
4
2
6
2 8 9
;
3 27 4
x

   
   
   
343 2 8 1 82 6 12 42 2 2 2 2 2 2 2
; ; .
3 3 3 3 3 3 3 3
x x x               
                                   
Оскільки
2
0 1,
3
  то остання нерівність рівносильна нерівності 1 8,
4
x
 
звідки 7,
4
x
 або 28.x  Отже,  28; .  x
Приклад 2. Розв’яжіть нерівність: 2 3 4 1 2
2 2 2 5 5 .x x x x x    
   
Розв’язання. Винесемо за дужки у лівій частині нерівності спільний
множник 2x
, а у правій частині 5 .x
Отримаємо нерівність:
2 (4 8 16) 5 (5 25)x x
    , або 2 ( 20) 5 ( 20),x x
     звідки 2 5 .x x

Поділимо обидві частини нерівності на 5x
і отримаємо рівносильну не-
рівність
2
1,
5
x
 
 
 
або
0
2 2
,
5 5
x
   
   
   
звідки 0x  (бо
2
0 1
5
  ).
Отже,  0; .  x
Приклад 3. Розв’яжіть нерівність: 3 · 72x
– 2 · 7x
– 1 < 0.
Розв’язання. Нехай 7x
 y, тоді 72x
 y2
. Підставимо у в дану нерівність.
Маємо: 3y2
– 2y – 1 < 0. Оскільки квадратний тричлен 3y2
– 2y – 1 має
корені
1
3
 і 1, то множиною розв’язків відповідної нерівності буде:
1
1,
3
y   або
1,
1
.
3
y
y



 
Оскільки y  7x
> 0, то умова
1
3
y   виконується завжди. Якщо y < 1,
то 7x
< 1, або 7x
< 70
. Отже, x < 0, або  ;0 .x 
Приклад 4. Розв’яжіть нерівність:
2
2
(sin1,3) 1 cos 1,3.

 
x x
Розв’язання. Оскільки 2 2
1 cos 1,3 sin 1,3  , то отримаємо нерівність
2
2
(sin1,3) sin 1,3.
x x

Враховуючи, що 0 sin1,3 1  , перейдемо до рівносильної нерівності
2
2.x x  Розв’яжемо дану нерівність.
Вона рівносильна системі нерівностей:
x x x x
x x x x
      
 
       
2 2
2 2
2, 2 0,
або
2, 2 0.
Розв’язком першої нерівності є проміжок (–1; 2), а друга нерівність ви-
конується для всіх Rx , оскільки дискримінант відповідного квадратно-
го рівняння від’ємний.
Отже, ( 1; 2). x
Приклад 5. Розв’яжіть нерівність:  2 2 1
2 5 2 7 8 7 1 0.
      x x
x x
Розв’язання. Дана нерівність рівносильна сукупності:
x x
x x
x x

    

   

   
2 1
2
2
7 8 7 1 0,
2 5 2 0,
2 5 2 0.
Розв’яжемо першу нерівність системи. Запишемо її у вигляді
2
7 7 8 7 1 0x x
     ізробимозаміну 7 .x
y Отримаємонерівність 2
7 8 1 0,y y  
розв’язки якої
1
7
y  або 1.y  Повертаючись до заміни, отримаємо:
x
x




1
7 ,
7
7 1,
або
x
x

 


1
0
7 7 ,
7 7 ,
звідки
x
x
 
 
1,
0,
тобто    ; 1 0; .x    
Розв’яжемо другу нерівність системи. Оскільки рівняння 2
2 5 2 0x x  
має корені 1 22, 0,5,   x x то нерівність 2
2 5 2 0x x    або 2
2 5 2 0x x  
виконується для всіх ( 2; 0,5).  x
Повертаючись до системи, отримаємо (мал. 14):
   x
x
x x
    

  
    
; 1 0; ,
( 2; 0,5),
2; 0,5. Мал. 14
0 x–1
–0,5
–2
Отже,    2; 1 0,5 .x   
1. Які нерівності називають показниковими?
2. Наведіть приклади показникових нерівностей.
3. Які методи розв’язування показникових нерівностей ви знаєте?
4. Які властивості показникової функції використовують для розв’язуван-
ня нерівностей?
5. Які нерівності називають найпростішими показниковими нерівно-
стями?
6. Як розв’язують найпростіші показникові нерівності?

Розділ 134
1 Розв’яжіть нерівність
2
3 1
8 .
4
  
  
 
x
x
Розв’язання. Запишемо праву та ліву частини нерівності як степені
числа 2:  
3
3 2 2
2 (2 ) ,



x
x
або 29–3x
< 2–4x
. Оскільки 2 > 1, то остання нерів-
ність рівносильна нерівності 9 – 3x < –4x, звідси x < –9.
Відповідь. ( ; 9). 
2 Розв’яжіть нерівність 3x+1
– 2 · 3x–2
 75.
Розв’язання. Запишемо нерівність у вигляді 3x
· 3 – 2 · 3x
· 3–2
 75, або
2
3 3 3 75.
9
   x x
Винесемо 3x
за дужки і спростимо утворену нерівність:
2
3 3 75,
9
x  
   
 
25
3 75,
9
x
  3x
 27, x  3, або  3; .x  
У даній нерівності можна було відразу винести за дужки 2
3 .x
Отрима-
ли б нерівність 2 3
3 (3 2) 75,x
  або 2
3 25 75,x
  звідки 2
3 3,x
 2 1,x  
3.x  Отже,  3; .x 
Відповідь.  3; . 
3 Розв’яжіть нерівність 32x+1
+ 4 · 15x
– 3 · 52x+ 1
> 0.
Розв’язання. Запишемо нерівність у вигляді
3 · 32x
+ 4 · 3x
· 5x
– 15 · 52x
> 0.
Поділимо ліву та праву частини рівняння на 52x
. Маємо:
2
3 3
3 4 15 0.
5 5
x x
   
       
   
Позначимо
3
5
x
y
 
 
 
(y > 0) і підставимо y в дану нерівність. Маємо:
3y2
+ 4y – 15 > 0. Знайдемо корені відповідного квадратного рівняння. Отримає-
мо: 1 2
5
3, .
3
  y y Тоді нерівність має розв’язки
3,
5
3
 

 

y
y
або
3
3,
5
3 5
.
5 3
x
x
 
  
 

    
Перша нерівність
3
3
5
x
 
  
 
не має розв’язків, оскільки
3
0
5
x
 
 
 
.
Розв’яжемо другу нерівність:
3 5
5 3
x
 
 
 
, або
1
3 3
.
5 5
x 
   
   
   
Оскільки
3
1
5
 , то остання нерівність рівносильна нерівності 1.x  
Відповідь. ( ; 1). 
4 Розв’яжіть нерівність 2
8 2 4 4 6 3 4 .     x x x
Розв’язання. Зробимо заміну 4x
y і отримаємо нерівність
2
8 2 6 3 ,y y y    яка рівносильна сукупності систем:
y
y y y
y
y y
  

   
  
   
2 2
2
6 3 0,
8 2 (6 3 ) ;
6 3 0,
8 2 0.
Розв’яжемо другу нерівність першої системи: 2 2
8 2 36 36 9 ,y y y y    
2 2
10 38 28 0, 5 19 14 0, ( 1)( 2,8) 0, 1 2,8.          y y y y y y y
Розв’яжемо першу систему:  
y y
y
y y
   
 
    
6 3 0, 2,
1; 2 .
1 2,8; 1 2,8,
Розв’яжемо другу систему:
 
y y y
y
y y yy y
    
  
         
2
6 3 0, 2, 2,
2; 4 .
( 4)( 2) 0; 2 4,8 2 0;
Об’єднавши розв’язки першої та другої систем, отримаємо:  1; 4 .y
Повертаючись до заміни, маємо: 1 4 4,x
  або 0 1
4 4 4 .x
  Оскільки 4 1,
то дана нерівність рівносильна нерівності 0 1.x  Отже,  0; 1 .x
Відповідь.  0; 1 .
5 Розв’яжіть графічно нерівність 2x
< x + 1.
Розв’язання. Побудуємо в одній системі
координат графіки функцій y  2x
і y  x + 1
(мал. 15). Вони перетинаються в точках
A(0; 1) і B(1; 2) (перевірте підстановкою).
Значення 2x
менші за відповідні значення
x + 1, якщо 0 < x < 1.
Відповідь. (0; 1).
169. Розв’яжіть нерівність:
а) 7
5 5 ;x
 б) 2 4
6 6 ;x
 в) 5
(0,3) (0,3) ;x
 г) 2
(2,3) (2,3) .x 

170. Чи має розв’язки нерівність:
а) 10x
> 10; б) 7x
< –9; в) 5x
 0,5; г) 5x
> –5; ґ) 4x
 0?
а) 3x
> 1; б) 7x
< 49; в) 5x
 125; г) 15x
> –2; ґ)4x
–0,25.
172. а) При яких значеннях параметра a нерівність 2x
a має розв’язки?
б)Приякихзначенняхпараметра a нерівність (0,2)x
a немаєрозв’язків?
x
B
A
y
y  x + 1
y  2x
1
2
1
O
Мал. 15

Розділ 136
РІВЕНЬ А
Розв’яжіть нерівності (173–174).
173. а) 2x+1
 16; в) 32–x
< 27; ґ) 4x–1
 32; е) 8x+2
> 128;
б) 2x–3
< 32; г) 0,1x
> 10–3
; д) 10x+7
< 0,001;є)
2
4
0,2 0,008.x x

174. а) 9–x
> 27; в) 8–x
 16; ґ) 38–2x
< 1; е) 48+5x
> 1;
б) 52x
< 25x+1
; г) x
< 2+3x
; д)
2
3 2
5 5 ;x x 
 є) 0,13x
< 0,12x–3
.
Розв’яжіть нерівність, використавши спосіб винесення спільного множника
за дужки (175–178).
175. а) 4x+1
+ 4x
< 320; в) 2x+2
+ 2x
>5; ґ) 2x
– 2x–2
 12;
б) 3x+2
+ 3x+1
+ 3x
> 39; г) 1 2
2 2 2 52;x x x 
   д) 1 2
7 2 7 7 36.x x x 
   
176. а) 5x+1
+ 5x
> 150; б) 3x+2
+ 3x–1
< 28; в) 2 · 3x+1
– 3x
< 15.
177. а) 2 · 3x+1
+ 3x+3
 33; б) 5x+2
+ 11 · 5x
 180; в) 3x+1
– 2 · 3x–2
 75.
178. (ЗНО, 2018). Розв’яжіть нерівність 3
2 2 144.x x
 
Розв’яжіть нерівність заміною змінної (179–180).
179. а) 2
2 8 2 20 0;x x
    в) 36 6 30 0;x x
   ґ) 9x
+ 3x+1
> 108;
б) 4x
+ 2x+1
> 80; г)132x+1
– 13x
< 12; д) 32x+1
> 10 · 3x
– 3.
180. а) 2
3 3 6 0;x x
   в) x x
  25 5 30 0; ґ)49 5 7 14 0;x x
   
б) 16 6 4 8 0;x x
    г) 2 1
0,5 5 0,5 2 0;x x
    д) 3 25 14 5 5.x x
   
181. Знайдіть найбільший цілий розв’язок нерівності:
а)
2
1
81;
3
x
 
 
 
б) 3 4
2 16;x
 в) 2 1 2 1
3 5 ;x x 
 г) 3x+2
– 3x
 8.
182. Знайдіть найменший цілий розв’язок нерівності:
а) 3 5 3 5
7 6 ;x x 
 б)
2
2 1 1
3 ;
81
x

  
  
 
в)
6 5
3 64
;
4 27
x
   
   
   
г)
2
2 7
(0,6) 2 .
9
x  
  
 
РІВЕНЬ Б
183. При яких значеннях змінної значення виразу не перевищує одиницю:
а)
2
0,3 ;x x
б)
2
4
7 ;x 
в) 5x(x+3)
; г)
2
3 2
0,5 ;x x 
ґ) 1
4 ?x 
184. При яких значеннях змінної значення виразу не менше одиниці:
а)
2
9
;x 
 б)  
x x2
5 ; в) 0,1x(x+3)
; г)   ;
x
e  ґ) 3 ?x x
Розв’яжіть нерівність (185–188).
185. а) 3x+0,5
· 3x–2
> 3; в) 13 1
8 4 ;
16
x x
 
б)
2
2 2
3
1 1
2 ;
2 4
x
x 
  
 
г) x


 
2
3 14 3
1
9 27 .
27
186. а) 0,5x+7
· 0,51–2x
< 2; в) 2 1 1
2 4 ;
8
x x 
 
б)
2
5 0,5 1
3 ;
27 3
x x 
 г)
2
5
5 3 5 1
4 8 .
2
x x

   
  
 
187. а)
2
5 25;x x
 в)
2
5
51
9 ;
3
x
x 
 
 
ґ)
2
3
8
2 1;
x x
x
 


б)  
2 71
1 12( 5) ( 5 ) ;
x
x x 
 г)
2
2
9
9
1
3 ;
3
x x
x
x


  
  
 
д) 5 2 4
(0,04) (0,2) .x x 

188. а)
2
3
3 81;x x
 в)
2
3
3 1
49 ;
7
x
x  
  
 
ґ)
2
3 5
9
3 1;
x x
x
 


б)
5
3
2
1
( 7) ;
7
x
x x
x




 
  
 
г)
2
3
3
8
8
1
2 ;
2
x
x
x
x


  
  
 
д) 1 2 6
(0,09) (0,3) .x x 

Використайте спосіб винесення спільного множника за дужки і розв’яжіть
нерівність (189–191).
189. а) 2 1 1
3 3 5 3 7 4 7 ;x x x x x  
      б) 1 1 2
7 2 5 7 2 .  
   x x x x
190. а) 5x+0,5
– 9x
 9x–1
– 5x–0,5
; б) 1 11 1
9 3 4 9 6 4 .
3 2
x x x x 
      
191. а) 2 1 1
5 4 5 5 6 6 ;x x x x x  
     б) 1 4 2
3 2 55 2 3 .  
   x x x x
192. а)
25
5 24 ;
5
x
x
  б) 3x
+ 33–x
 12.
193. а)
8
2 16,5;
2
x
x
  б) 2x+2
– 22–x
 15.
194. а) 5 1 5
4 5 2 16 0;x x  
    в) 1
4 6 2 4 0;x x 
   
б)
2 1
1
10 3 3 0;
3
x
x

 
    
 
г)
1
1
1
6 5 6 0.
36
x
x
  
    
 
195. а) 2 2 2
4 2 32 0;x x  
   в)  
2
1 2
3 10 3 3 0;
x
x

 
  
б)
2 2
1
5 2 1 0;
2
x
x

 
    
 
г)
2
2
3
1 1
9 36 3 0.
3
x
x

  
    
 
196. Знайдіть область визначення функції:
а) 2 3 3 2 ;x x
y     в) 2
2 6 2 8;x x
y    
б)
1
2
4 3 4 16
;
25
x x
y
x

  


г)
4
3 9 3 8
.
16 2
x x
x
y

  



Розділ 138
197. Установіть відповідність між нерівностями (1–4) та рівносильними їм
нерівностями (А–Д).
1
2 4 3 3
6 2 3x x x  
  А х  –1
2    
2
3 2
sin3 sin3
x x
 Б
2
1
3
x  
3 9 6 3 27 0x x
    В х  2
4 0,4x2 –1
 0,40
Г х  1
Д –1  x  1
РІВЕНЬ В
а) 5 4 7 10 2 25 0;x x x
      в) 12x
– 6x+1
+ 8 · 3x
 0;
б) 4 · 4x
– 6x
< 18 · 9x
; г) 22x+1
> 5 · 6x
– 32x+1
.
199. а) 3 16 5 36 2 81 0;x x x
      б) 18x
– 8 · 6x
– 9 · 2x
 0.
200. а)
1 3 2 53 1 5
3 9 ;
x xx x  
 в)    
2
5 8
sin2 0,5 1 cos4 ;
x x 
 
б)
2
1
3 4
0;
4 2 80x x
x x

 

 
г)    5 2 6 5 2 6 10.
x x
   
201. а)  3 1 3 7 31 3
0,2 125 ;
x x xx   
 в)  
2
3 2
cos6 1 sin 6;
x x
 
б)
2 1
2
5 5 4
0;
4 5

 

 
x x
x x
г)    7 4 3 7 4 3 14.
x x
   
202. (ЗНО, 2014). Розв’яжіть нерівність
10 16 5
0.
2
x x
x
 


У відповідь запишіть
суму всіх цілих розв’язків нерівності на проміжку  3; 7 .
203. а) 4 2 2 4 2 ;x x x
    в)  2 2 1
12 3 4 3 1 0;x x
x x 
     
б)
2
2
5 10 15;x 
  г) 2 1 2 1 4.x x
   
204. а) 2
5 6 5 5 8 2 5 ;x x x
      в)  2 2 1
15 2 5 6 5 1 0;x x
x x 
     
б)
2
6
3 7 20;x 
  г) 4 1 4 2 5.x x
   
Розв’яжіть графічно нерівність (205–206).
205. а) x x
x



3
2 ;
1
б) x
x 0,5 5; в) 3x
+ 2x2
> 4x + 1.
206. а) ex
+ 1 > sin x; б) 3x–1
< x–1
; в) (x – 1)2
+ 2x
> 2.
207. Знайдіть цілі розв’язки нерівності:
а) 0,04 < 0,2x
< 125; б) 0,1 < x
< 10; в) 0,1 < 2x+3
< 10; г) 0,1  ex
< 10.
208. Для кожного значення параметра a розв’яжіть нерівність
3 1
5 .
25
a
x

  
  
 
209. Для кожного значення параметра a розв’яжіть нерівність
 2 1
3 10 3 3 0.x x
x a 
    
210. (ЗНО, 2018 ). Розв’яжіть нерівність
2
(9 36 36)( 4)
0
2x
x x a
a
  


залежно від значень параметра a.
211. Розв’яжіть нерівність 2
5 24 2.x x x   
212. Розв’яжіть рівняння 2 2 2
sin sin 2 sin 3 0.x x x  
213. Напишіть рівняння дотичної, проведеної до графіка функції 4 2y x 
у точці 0 0.x 
§5 Логарифми та
їх властивості
Logarithms and their Properties
У попередньому параграфі ви знаходили корені рівняння
виду ax
 b. Наприклад: 2x
 4, x  2; 2x
 8, x  3. А який
корінь має рівняння 2x
 5? За допомогою графічного ме-
тоду можна переконатися, що воно має єдиний розв’язок
(мал. 16). Це число більше за 2 і менше за 3, але як його
записати?
Для запису коренів показникового рівняння використо-
вують поняття «логарифм» і відповідний символ. Коренем
рівняння 2x
 5 є число, яке записують у вигляді log2
5 і
читають «логарифм числа 5 за основою 2».
Розглянемо загальний випадок.
Нехай a і  — дійсні числа і a > 0, 1.a  Якщо a
 b, то число  на-
зивають логарифмом числа b за основою a.
Логарифмом числа b за основою a (a > 0 і 1a  ) називають показник степе-
ня, до якого треба піднести число a, щоб отримати b.
Логарифм числа b за основою a позначають символом loga
b.
xO
y
y  2x
2
6
2 4–2
Мал. 16

Розділ 140
Приклади: log2
8  3, бо 23
 8;
1
3
log 9 2,  бо
2
1
9;
3

 
 
 
2
log 4 4, бо  
4
2 4.
Основою логарифма може бути довільне додатне число, крім одиниці.
Як відомо, коли a > 0 і 1,a  то область визначення показникової функції
y  ax
— множина всіх дійсних чисел R, а область значень — множина всіх
додатних дійсних чисел. Тому при таких значеннях a для будь-якого до-
датного числа b знайдеться таке , що a
 b. Іншими словами: при будь-
якій основі a, де a > 0 і 1,a  існує логарифм кожного додатного числа.
Логарифм від’ємного числа і нуля не існує.
Корисно пам’ятати, що для кожного a > 0 і 1a 
loga
1  0 і loga
a  1 (чому?).
Знаходження логарифма числа називають логарифмуванням. Ця опе-
рація обернена до операції піднесення до степеня з відповідною основою.
Піднесення до степеня Логарифмування
25
 32 log2
32  5
 
4
5 25 5
log 25 4
0,13
 0,001 log0,1
0,001  3
Згідно з означенням логарифма, якщо а
 b, то   loga
b. Це — різні
записи тієї самої залежності. З них випливає рівність
log
,a b
a b
яку називають основною логарифмічною тотожністю. Вона правильна для
будь-яких додатних a і b  1 .a 
Наприклад: 2log 32
2 32,   5
log 25
5 25; 0,1log 0,001
0,1 0,001.
За допомогою основної логарифмічної тотожності будь-яке додатне число
можна подати у вигляді степеня, що має задану основу.
Наприклад: 5log 7
7 5 ; 12log 7
7 12 ; 0,5log 7
7 0,5 .
Доведемо ще кілька важливих властивостей логарифмів
(при додатних x, y, a, 1a  і Rp ):
1) loga
(xy)  loga
x + loga
у,
2) log log log ;a a a
x
x y
y
  
3) loga
xp
 p · loga
x.
1) За основною логарифмічною тотожністю та основною властивістю
степеня
log log log log
.
  a a a ax y x y
xy a a a
Отже, loga
x + loga
y — показник, до якого треба піднести число a, щоб
дістати xy, тобто loga
(xy)  loga
x + loga
y.
Цю формулу можна узагальнити на три і більше множників:
loga
(xyz)  loga
x + loga
y + loga
z.
Коротко говорять:
логарифм добутку дорівнює сумі логарифмів множників.
2) Доведення аналогічне до попереднього:
log
log log
log
,
a
a a
a
x
x y
y
x a
a
y a

  звідси log log log .a a a
x
x y
y
 
Коротко говорять:
логарифм частки дорівнює різниці логарифмів діленого і дільника.
3) Піднесемо обидві частини тотожності log
 a x
x a до степеня p:
 log log
. a a
p
x p xp
x a a
Отже, loga
xp
 p loga
x.
Доведені формули можна використовувати і справа наліво, наприклад:
log12
3 + log12
4  log12
3 · 4  log12
12  1;
2
5 5 5 5 5
50
log 50 log 2 log log 25 log 5 2.
2
    
У логарифмах переходити від однієї основи до іншої можна за формулою
переходу
log1
log log .
log log
b
a b
b b
x
x x
a a
    
де a > 0, 1,a  b > 0, 1,b  x > 0.
Доведемо цю формулу. Оскільки додатні числа x і loga x
a рівні, то рівні
і їх логарифми за основою b. Тому
 log
log log log log ,a x
b b a bx a x a  
звідки й випливає доводжувана формула.
Зверніть увагу! Як наслідки з формули переходу можна отримати такі
формули:
1
log ;
log
a
b
b
a

1
log log .k aa
b b
k

Доведіть їх самостійно.
Приклад 1. Спростіть вираз log5
6 · log6
7 · log7
8 · log8
9.
Розв’язання. Зведемо всі логарифми до основи 5. Маємо:
5 5 5
5 5
5 5 5
log 7 log 8 log 9
log 6 log 9.
log 6 log 7 log 8
   
Особливо часто використовують логарифми за основами 10 і e, їх нази-
вають десятковими і натуральними логарифмами. Замість log10
a і loge
a
пишуть відповідно lg a і ln a.
Властивості логарифмів, які розглядалися в параграфі, правильні за
умови, що змінні набувають додатних значень. За допомогою модуля можна
розширити використання деяких формул. Наприклад:

Розділ 142
2
log 2 log ,n
a ax n x ,n Z a > 0, 1;a 
log log log ,a a axy x y  xy > 0, a > 0, 1.a 
Для перетворення виразів та розв’язування рівнянь і нерівностей ви-
користовують й інші формули, що містять логарифми:
log log ;aa
x x
 


log log
.c cb a
a b
Доведіть їх самостійно.
1. Що таке логарифм числа a за основою b? Як його записують?
2. Якою може бути основа логарифма?
3. Чи існує логарифм від’ємного числа? А нуля?
4. Яку рівність називають основною логарифмічною тотожністю?
5. Чому дорівнює логарифм добутку? А частки?
6. Які логарифми називають десятковими? А натуральними? Як їх за-
писують?
7. Яку рівність називають формулою переходу?
1 Обчисліть: а) 51 0,5log 10
25 ;
б) 3lg 5 + 0,5lg 64; в) 5
1
log 3
81 .
Розв’язання. а)   5
5 5
log 101 0,5log 10 log 100,5
25 25: 25 25:5 25:10 2,5;
   
б) 3lg 5 + 0,5lg 64  lg 53
+ lg 640,5
 lg 125 + lg 8  lg 1000  3;
в)    3
5 3
1
4log 5log 3 log 54 4
81 3 3 5 625.   
2 Розв’яжіть рівняння: 32x
– 5 · 3x
+ 6  0.
Розв’язання. Нехай 3x
 y, тоді 32x
 y2
. Підставимо y в дане рівняння.
Маємо: y2
– 5y + 6  0, звідси y1
 2; y2
 3.
Оскільки у  3x
, то 3x
 2, x  log3
2, або 3x
 3, x  1.
Відповідь. 1; log3
2.
3 Знайдіть x із рівності:
log0,3
x  0,5log0,3
a – 2log0,3
b + log0,3
c.
Розв’язання. 0,3 0,3 0,3 0,3log 0,5log 2log logx a b c   
0,5 2
0,3 0,3 0,3 0,3 2
log log log log .
ac
a b c
b
   
Оскільки 0,3 0,3 2
log log ,
ac
x
b
 то 2
.
ac
x
b

Відповідь. 2
.
ac
b
4 Обчисліть log6
16, якщо log12
2  a.
 
4
12 12 12
6
12 12 12 12
log 16 log 2 4log 2 4
log 16 .
log 6 log 12:2 log 12 log 2 1
a
a
   
 
Відповідь.
4
.
1
a
a
214. а) log2
1; б) log2
32; в) log2
0,5; г) log2
4; ґ) log2
2.
215. а) log3
3; б) log3
81; в) log3
27; г) log3
1; ґ) log3
9.
216. а) log0,5
2; б) log0,5
1; в) log0,5
0,5; г) log0,5
4; ґ) log0,5
8.
217. а) log25
5; б) 5
log 5; в) 3log 3; г) lg 0,01; ґ) 3
log 9.
218. а) 3x
 8; б) 7x
 5; в) 125x
 6; г) 4x
 6.
219. а) log3
x  2; б) log2
x  5; в) log9
x  0,5; г) lg x  3.
220. Спростіть вираз:
а) 3log
3 ;x
б)  7log 1
7 ;y
в) 32log
3 ;x
г)  7log 1
49 .y
Знайдіть x (221–222).
221. а) log2
x  log2
a + log2
c; б) log2
x  2log2
a + log2
c.
222. а) loga
x  loga
15 – loga
3; б) loga
x  0,5loga
64 – loga
4.
РІВЕНЬ А
223. Покажіть, що:
а) log2
16  4; б) log5
125  3; в) 3
log 81 8.
224. Запишіть за допомогою логарифмів співвідношення:
а) 54
 625; б) 90,5
 3; в) 41,5
 8; г) 60
 1; ґ) 10–3
 0,001; д) a3x
 c.
225. Запишіть за допомогою показника степеня співвідношення:
а) log3
81  4; в) 64
1
log 2 ;
6
 ґ) log5
2x  2;
б) log2
64  6; г) log4
x  3; д) logx
49  2.
226. Чи правильна рівність:
а) 3
log 9 4; б) log0,5
4  –2; в) 9log 3 0,25?
227. а) log4
64; в) log2
0,25; ґ) lg10
100 000; е) 3log 3;
б) log2
256; г) log25
5; д) lg10
0,01; є) log2
8.
228. а) log2
64; в) log5
25; ґ) log2
0,125; е) log4
16;
б) log2
128; г) log5
125; д) log9
3; є) log36
6.

Розділ 144
229. а) lg 10 000; в) lg 10; ґ) lg 10; е)
1
lg ;
100
б) lg 0,001; г) lg 0,1; д) 3
lg 10; є) 2
lg100 .
230. (ЗНО, 2017). Укажіть проміжок, якому належить число 2log 9.
А Б В Г Д
(0; 1) (1; 2) (2; 3) (3; 4) (4; 5)
231. Обчисліть значення виразу, скориставшись основною логарифмічною
тотожністю:
а) 3log 25
3 ; в) 3log 1
3 ; ґ) 2log 6
2 ; е) 4log 16
4 ;
б) 7log 0,3
7 ; г) 1,1log 10
1,1 ; д) 3log 3
3 ; є) 0,5log 7
0,5 .
232. Спростіть вираз. При яких значеннях а це можливо:
а) loga
8 + loga
2; в) log2a
8 – log2a
2; ґ) loga+1
40 – loga+1
5;
б) loga
4 + loga
5; г) loga
5 + loga
0,4; д) loga
2 + loga
3 + loga
4?
Подайте вираз у вигляді логарифма (233–234).
233. а) 1 + log5
3; в) log5
4 – 1; ґ) log5
9 + log5
4 + log5
2;
б) 2 + log5
2; г) log5
40 – 2; д) log5
6 – log5
2 – log5
3.
234. а) 5lg 2 + lg 3; в) 3lg 4 –lg 8; ґ) 2lg 3 + 3lg 2;
б) 2lg 5 – 3lg 2; г)
1
lg4 lg3;
2
 д)
1
lg8 2lg2.
3

235. Обчисліть значення виразу:
а) 5log 4
5 1; в) 0,3log 0,3
0,3 3; ґ) lg 300 – lg 3;
б) 1,2log 7
1,2 2; г) log15
3 + log15
5; д) lg50 2lg 2.
236. (ЗНО,2012).Обчислітьзначеннявиразу log 500 log 4,a a якщо 5
1
log .
4
a 
237. Обчисліть, користуючись калькулятором:
а) lg 23; б) ln 48; в) lg 0,378; г) lg 1,3.
238. а) log2
x  3; б) log0,5
x  –2; в) lg x  3.
239. а) 4x
 5; б) 6x
 2; в) 5x–1
 8.
240. За якою основою логарифм числа 729 дорівнює 6?
РІВЕНЬ Б
241. Знайдіть логарифм за основою 3 поданого нижче числа:
а)
1
;
27
б) 729; в) 4
9; г)
1
;
3
ґ) 3
3 .
242. Подайте числа –2; 3; –1; –0,5; 0; 0,5; 1; 3; 2 у вигляді логарифмів
за основою: а) 5; б) 0,1; в) 11; г) 2,5; ґ) 5.
243. Знайдіть число, логарифм якого за основою 5 дорівнює:
а) 5; б) –1; в) 0; г) 0,5; ґ) 4.
244. а)  1 3
3
log log 27 ; в) log6
(3log2
4)5
; ґ)  4 3log log 81 ;
б) 3 1
5
1
log log ;
125
 
 
 
г)  8
2 5log log 5 ; д) lg (5lg 100)8
.
245. а) 25
1
2log 25 log 64;
3
 в) 4log6
216 – 2 log0,5
(log3
81);
б) 2 1
3
1
2log 3log 27;
4
 г)  1 4 16
5
5log 625 8log log 256 .
246. а) 3log 2
27 ;
б)
2
1
log
31
;
8
 
 
 
в)
5log 10
1
;
125
 
 
 
г) 22 log 5
2 ;
ґ) 32 log 10
3 ;
д) 52 log 10
5 .
247. а) 251 log 15
25 ;
б) 3log 4 1
5 3 ;
 в) 5log 10 2
4 5 ;
 г) 3log 6 1
27 ;
ґ)
2log 3 1
1
;
8

 
 
 
д)
1
lg 2
21
.
100

 
 
 
248. а)   13
4
log 25log 3
3
2
log 81 16 ;
5
  в)
2 3
1
log log 5
4
3 ;

б)   65
3
log 3log 82
lg10 9 ;
3
  г)
9 5
1
log 2 log
25
9 .

249. (ЗНО, 2006). Обчисліть: 3log 14 0,51
9 .
25

 Відповідь запишіть десятковим
дробом.
250. Знаючи, що loga
b  8 (a > 0, 1,a  b > 0), обчисліть:
а) loga
ab; б) log ;a
a
b
в) log ;a
b
a
г) loga
(a2
b); ґ) log ;a ab д)  
2
3log .a ab
251. Відомо, що logb
2  p, logb
3  x, logb
5  r (b > 0, 1b  ). Знайдіть:
а) logb
60; б) logb
108; в) logb
 45; г)
5 3
log ;
2
b
 
 
 
ґ)
5
log ;
32
b
 
 
 
д) logb
(0,2).
252. (ЗНО, 2007). Обчисліть значення виразу 2 2
log log 1,a ab b  якщо
log 0,2.ab a 
Знайдіть x із рівності (253–254).
253. а) 3 3 3
1
log 27 log log ;
3
x
 
  
 
в) 5 5 5log 125 log 5 log ;x 
б) 5 5
1
log log 8 2;
3
x   г) log20
x  1 + log20
10.
254. а) log3
x  3 – log3
2 – 2log3
5; г) x
 
    
 
5 5 5 5
4
log 3 log log 3 log 8;
3
б) log7
x  1 – 3log7
2 + log7
20; ґ) log7
x  3log7
2 + 0,5log7
25 – 2log7
2;
в) 3 3 3
1
log 2 log 4 log 5;
2
x    д) ln x  2ln 5a + ln b – 0,5ln c – ln a2
.

Розділ 146
255. Установіть відповідність між виразами (1–4) та їхніми значеннями
(А–Д), якщо log 3 4a   .
1 loga
81 3 А 6
2 log 4
1 3
a
Б 2,4
3 log 1
9
3a
В 18
4 log
3
27a Г 10
Д 1
256. а) 9x
– 5 · 3x
+ 6  0; в) 72x+1
– 6 · 49x
 5;
б) 2 · 4x+1
+ 10  3 · 2x+3
; г) 9x+1
+ 6  189 · 3x–2
.
257. а) 9x
–6 · 3x
+ 5  0; в) 2 · 52x
– 3 · 5x
+ 1  0;
б) 152x+1
– 15x
 2; г) 5x+2
– 5x
 40.
258. При яких значеннях змінної має зміст вираз:
а) log2
(3 – 5x); в) lg(9 – x2
); ґ) ln(x2
– 2x);
б)
2 5
lg ;
1
x
x


г) 3log ;x д) logx
(4 – x2
)?
а) log2
3 · log3
4 · log4
5 · log5
6 · log6
7 · log7
8;
б) lg 2 : (log5
4 · log6
5 · log7
6 · log8
7 · log9
8 · log10
9).
260. (ЗНО, 2005). Обчисліть: 2 3 4 5 6 7log 3 log 4 log 5 log 6 log 7 log 8.    
РІВЕНЬ В
261. Прологарифмуйте обидві частини рівняння і знайдіть його корені:
а) 2x+1
 6; в) 8x+1
 3x
; ґ) 8x–2
 10x
;
б)
1
1
5 ;
3
x
x

 
 
 
г) 1 1
12 ;
5
x
x  
  
 
д)
1
3
3 .
8
x
x

 
  
 
262. а) 65
31
log 3log 3
9 3 ; г)
25
1
log 64
3
3 365 log 6 log 3; 
б) 4 3
2 3 3 2log log 9 log log 4; ґ)
2 lg16
lg36
6 ;

в) lgtg38 lgtg52 ; 
д)
2sintg
63
log 0,1log 4
3 4 .
 
 
 

263. а) 23
21
log 5log 6
36 5 ; в)
2 lg9
lg144
12 ;

ґ)
3
1
log 8
6
45
9 log 8 log 25; 
б) lgtg17 lgtg73 ; 
г)
2sin ctg
4 6
log 0,2 log 10
2 9 ;
  
 
 
 д) 34 34
4 3 3 4log log 9 log log 4.
264. а)
 
 
7
49
log 3 2
;
log 5 24


в) 3 3log 5 log 73
0,1257 log 4 5 ; 
б)    2 3 2 3log log 5 2 log log 7 40 ;   г)
 lg lg2
lg2
2 .
265. (ЗНО, 2010). Обчисліть 7
2
log 3
32log 8 3 .
266. Доведіть, що, коли a > 0, 1,a  b > 0, 1,b  0,n  то:
а) loga
b · logb
a  1; б) log log ;n
n
aa
b b в) alg b
 blg a
; г)
lg ln
.
lg ln
a a
b b

267. Доведіть, що:
а) 2 2log 5 log 3
3 5 ; б) 5 5log 4 log 7
7 4 ; в) log3
7 + log7
3 > 2; г)
1
7
log 5
7 0,2.
268. Виразіть через a:
а) log49
32, якщо log2
14  a; б) log98
28, якщо log2
7  a.
269. Виразіть через a і b:
а) log15
49, якщо log7
9  a; log7
45  b;
б) log30
240, якщо log2
5  a; log2
3  b.
а) lgtg5 lgtg10 ... lgtg55 lgtg60 ;    
б)      lgcos 60 lgcos 50 lgcos 40 ... lgcos40 lgcos50 lgcos60 ;            
в) lg(sin 15) · lg(sin 30) · lg(sin 45) · ... · lg(sin 120);
г) lg(tg 1) + lg(tg 2) + ... + lg(tg 89).
271. Спростіть вираз, якщо a > 0, 1,a  b > 0, 1:b 
а)  log log 2 log log log ,a b a ab ab a b b b    1;ab 
б)  2 3
2 2
6 log log 1 log log log ,b a aaa
a b b b b    a > 1.
272. Доведіть нерівність:
а)
2 5
1 1
2;
log log
 
 
в)
2 5
1 1 1
4.
log log lg
  
  
б)
ln1 ln2 ln3 ln4 ln5 ln6
ln3,5;
6
    

а) y  2x+1
; б) y  2x
+ 1; в) 2 ;x
y  г) 0,5 1 .x
y  
а) 32x
+ 8 · 9x
– 9 > 0; в) 3 · 24x
– 16x
– 32 < 0;
б) 54x
– 25x+3
< 0; г) 0,2x – 5
– 0,04x
> 0.
275. Із перевернутих 28 кісточок доміно навмання беруть одну. Яка ймо-
вірність того, що на ній виявиться всього: а) 2 очки; б) 5 очок?

Розділ 148
§6 Логарифмічна функція
Logarithmic Function
Як відомо, коли a > 0 і 1,a  то кожному додатному значенню x відпо-
відає єдине значення loga
x. Тому рівність y  loga
x задає деяку функцію
з областю визначення  0; . 
Функцію, задану формулою y  loga
x (a > 0, 1a  ), називають логарифміч-
ною функцією з основою a.
Приклади логарифмічних функцій: y  log2
x, y  lg x, y  ln x.
Як пов’язані між собою функції y  loga
x і y  ax
?
З курсу 10 класу ви вже знаєте, що монотонна на деякому проміжку
функція є оборотною, тобто вона має обернену. Функція y  ax
монотонна
на множині дійсних чисел, тому оборотна. Оберненою до неї є логарифмічна
функція y  loga
x.
Дійсно, з рівності y  ax
за означенням логарифма можна виразити х
через у, матимемо х  loga
у. Якщо у здобутій рівності замість х напишемо
у, а замість у — х, то дістанемо y  loga
x. Отже, функція y  loga
x обернена
до функції y  ax
.
З 10 класу вам також відомо, що графіки взаємно обернених функцій,
побудовані в одній системі координат, симетричні відносно прямої у  х.
На малюнку 17, а зображено графіки показникової та логарифмічної функ-
ції за умови, що a > 1, а на малюнку 17, б — графіки показникової та
логарифмічної функції за умови, що 0 < a < 1.
xO 1
1
2
3
4
5
y
–1
–1
–2
–2
2 3 4 5
y  ax
y  x
a > 1
y  loga
x
a
0 < a < 1
xO 1
1
2
3
4
5
y
–1
–1
–2
–2
2 3 4 5
y  ax
y  x
y  loga
x
б
Мал. 17
З означення оберненої функції випливає, що область визначення однієї
з них є областю значень другої і навпаки. Тобто
D(ах
) Е(loga
x) і D(loga
x) Е(ах
).
Слід звернути увагу й на таке. Якщо одна із двох взаємно обернених
функцій на всій області визначення зростає (спадає), то і друга зростає
(спадає).
З усього сказаного випливають такі властивості функції y  loga
x.
1. Область визначення — проміжок (0; +).
2. Область значень — множина R.
3. Функція зростає на всій області визначення, якщо a > 1.
У випадку коли 0 < a < 1, функція спадає.
4. Функція ні парна, ні непарна, ні періодична.
5. Якщо a > 1, то значення функції y  loga
x додатні при x > 1 і від’ємні
при 0 < x < 1.
6. Якщо 0 < a < 1, то значення функції y  loga
x додатні при 0 < x < 1
і від’ємні при x > 1.
7. Графік функції завжди проходить через точку A(1; 0).
Кілька графіків логарифмічних
функцій зображено на малюнку 18.
Якщо відоме значення основи
логарифма, то графік логарифміч-
ної функції можна побудувати за
точками, склавши попередньо та-
блицю значень. Побудуйте у такий
спосіб графіки функцій y  log5
x
і y  log0,5
x і переконайтеся, що
перша з них — зростаюча, а дру-
га — спадна.
Зверніть увагу на твердження,
які випливають із монотонності логарифмічної функції і виконуються для
всіх x з її області визначення:
1) якщо a > 0, 1a  і loga
x1
 loga
x2
, то x1
 x2
;
2) якщо a > 1 і loga
x1
> loga
x2
, то x1
> x2
;
3) якщо 0 < a < 1 і loga
x1
> loga
x2
, то x1
< x2
.
Ви вже знаєте, що графіки функцій y  loga
x і y  ax
— симетричні від-
носно прямої y  x. А як розташовані графіки функцій y  loga
x і 1log ?
a
y x
Оскільки 11log log log ,aa
a
x x x   то зрозуміло, що функції y  loga
x і
1log
a
y x дляоднаковихзначень
аргументівнабуваютьпротилеж-
них значень. Це означає, що їхні
графіки симетричні відносно осі
Ox. Прикладом є графіки функ-
цій y  log3
x і 1
3
log ,y x зобра-
жені на малюнку 19.
x
y
y  log2
x
y  log0,25
x
y  lnx
y  lgx
O 1
1
–1
2 3 4 5
Мал. 18
x
y
y  log3
x
1
1 9O
1
3
logy x
Мал. 19

Розділ 150
Показникові й логарифмічні функції зручні для моделювання процесів,
пов’язаних зі зростанням населення, капіталу, розмноженням бактерій,
зміною атмосферного тиску, радіоактивним розпадом і т. п. Тому їх часто
використовують під час розв’язування прикладних задач.
1. Сформулюйте означення логарифмічної функції.
2. Яка область визначення логарифмічної функції? А область значень?
3. Через яку точку проходить графік кожної логарифмічної функції?
4. Чи може аргумент логарифмічної функції бути від’ємним? А дорів-
нювати нулю?
5. За якої умови логарифмічна функція зростає? А за якої — спадає?
6. Яка функція є оберненою до логарифмічної? Як розташовані графіки
цих функцій?
1 Знайдіть область визначення функції y  lg(2 + x – x2
).
Розв’язання. Областю визначення логарифмічної функції є проміжок
 0; ,  тому 2 + x – x2
> 0 або x2
– x – 2 < 0. Корені рівняння x2
– x – 2  0
дорівнюють –1 і 2, тому множина розв’язків нерівності така: –1 < x < 2.
Відповідь. (–1; 2).
2 Порівняйте числа: а) log0,1
9 і log0,1
0,9; б) 1
2
log 10 і 1
3
log 10.
Розв’язання. а) Функція y  log0,1
x — спадна, бо 0,1 < 1.
Оскільки 9 > 0,9, то log0,1
9 < log0,1
0,9.
б) Зведемо кожний з логарифмів до основи 10: 1
2
1
log 10
1
lg
2
, 1
3
1
log 10 .
1
lg
3
Оскільки функція у = lgx зростаюча і 
1 1
2 3
, то 
1 1
lg lg .
2 3
Враховуючи,
що 
1
lg 0
2
і 
1
lg 0,
3
отримаємо
1
1
lg
2
<
1
.
1
lg
3
Отже, 1 1
2 3
log 10 log 10.
а) y  log0,3
x; б) y  ln x; в) y  log2
x; г) y  lg x?
277. Додатним чи від’ємним є значення функції 3
logy x в точці x0
:
а) x0
 5; б) x0
 0,1; в) x0
 1,5; г) x0
 e?
278. Додатним чи від’ємним є значення функції y  log0,1
x в точці x0
:
а) x0
 ; б) x0
 0,1; в) 0 1,2;x  г) x0
 0,1e?
279. Вкажіть область визначення функції:
а) y  log
(x – 3); б) y  ln(x + 1); в) y  log2
x2
; г) y  lg(–x).
280. Порівняйте з одиницею числа:
а) log49
3; б) log2
14; в) log98
128; г) log2
e.
281. Один з учнів стверджує, що
на малюнку 20 зображено гра-
фік функції 0,25log ,y x а
другий каже, що цей графік
відповідаєфункції 4log .y x
Хто з них має рацію?
РІВЕНЬ А
282. Побудуйте графіки функції y  3x
і функції, оберненої до неї.
283. Заповніть таблицю і побудуйте графік функції y  log8
x.
x 0,25 0,5 1 2 4 8
log8
x
284. Використовуючи малю-
нок 21, знайдіть набли-
жені значення функції
y  log2,5
x у точках з
абсцисами:
а) 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7;
б) 0,4; 1,4; 2,5; 3,8;
6,25.
285. Використовуючи ма-
люнок 21, установіть,
при яких значеннях
аргументу x значення
функції y  log2,5
x до-
рівнює:
а) –1; –2; –3; 0; 1; 2; б) –0,5; –2,2; 0,4; 1,4; 2.
а) y  log4
x; б) 1
2
log ;y x в) y  lg x.
287. а) 2log ;y x б) 1
3
log ;y x в) y  ln x.
288. Опишіть властивості функції:
а) y  log2,5
x; б) y  log0,5
x.
x
y
1 4O–1
Мал. 20
1
1
y
xO
Мал. 21

Розділ 152
289. Чи проходить графік функції 3
logy x через точку:
а) A(6; 27); б) B(27; 6); в)  3;1 ?C
290. Знайдіть a, якщо відомо, що графік функції y  loga
x проходить через
точку:
а) M(8; 3); б) M(8; –3); в) M(121; 2); г) M(81; –4).
291. (ЗНО, 2016). Обчисліть значення функції 2
1
3
log ( 7) y x у точці 0 4.x 
Порівняйте з нулем число (292–293).
292. а) log0,5
5; б) log0,5
0,1; в) log2
0,5; г) lg 4.
293. а) log25
7; б) 5
log 50; в) 0,5log 3; г) ln 0,01.
РІВЕНЬ Б
а) log2
0,4 і log2
0,6; в) log0,2
1,4 і log0,2
4,1; ґ) log3
2,7 і log3
2,5;
б) log2
3 і log2
; г) log0,5
e і log0,5
; д) log0,5
4 і log0,5
5.
295. Знайдіть область визначення функції:
а) y  log3
2x; б) y  ln(x – 3); в) y  log9
(x + 5); г) y  lg (1 – x).
296. а) 2log ( 8);y x  б) lg(2 5);y x  в) ln(7 );y x  г) 3
log (3 9). y x
297. (ЗНО, 2013). Укажіть область визначення функції 3log ( 9)y x  .
298. Яке з чисел більше:
а) log2
0,4 чи log0,2
0,4; в) log0,2
4 чи log2
1,6; ґ) ln 3 чи lg ;
б) log2
3 чи ln 0,01; г) log25
0,7 чи lg 4; д) 1
7
log 8 чи 7
1
log ?
8
299. Яке з чисел менше:
а) log2
10 чи log5
30; г) log0,3
2 чи log5
3;
б) 0,2log 2 чи log0,7
0,3; ґ) log0,1
0,25 чи log0,5
0,25;
в) log3
5 чи log7
4; д) log3
10 чи log8
57?
300. Порівняйте числа a і b, якщо правильна нерівність:
а) log5
a >log5
b; в) lg a < lg b; ґ) log3
a < log3
b;
б) 1 1
5 5
log log ;a b г) ln a > ln b; д) log0,4
a > log0,4
b.
Знайдіть область визначення функції (301–302).
301. а) y  log8
(x2
– 3x – 4); в) 2
1
log ;
2
x
y
x



б)
2
0,7
9
log ;
5
x
y
x



г) 2
4
log .
4
x
x
y
x



302. а) y  log
(2x
– 2); в) y  log3
(3x–1
– 9);
б)  2
3
log 5 6 ;y x x    г) y  logx
(x – 0,5).
Побудуйте графік функції (303–304).
303. а) y  log2
(x – 1); в) y  log0,5
x – 1; ґ)  1
3
log 1 ;y x 
б) y  1 + log2
(x – 1); г) y  1 + log4
x; д) 31 0,5log . y x
304. а) y  log3
(x – 2); в) y  log3
x – 2;
б) y  log3
x – log3
2; г) y  log3
(2 – x).
305. Скільки розв’язків має рівняння:
а) 2log2
x  –2x + 3; в) 1
2
2 log ;x ґ) lg ;x x
б) log2
x  sin x; г) 1
3
log 2 5;x x  д) lg x  2–x
?
а) log3
x  1 – x; б) x – 1  3log4
x; в) 2log 3 ;x x  г) 0,5
2
log .x
x
 
а) log5
x > log5
3; в) lg x < lg 4; ґ) log3
x < 2;
б) 1 1
5 5
1
log log ;
8
x  г) ln x > ln 0,5; д) log0,4
x > 2.
РІВЕНЬ В
Розв’яжіть графічно нерівність (308–309).
308. а) log 2 х < 3 – x; в) 4
1
log ;
3 3
x
x  
б) 2
3log 1 ;x x  г)
 2
ln 6
4.
x x
e x

 
309. а) x < 11 – lg x; б) 0,2
1
log ;
4
x
x

 в) 1
2
log 1;x x  г)
 x x
e x

 
2
ln 4
4 1.
а) lg 12 і log15
16; в) log3
6 і 1,5; ґ) lg 105 і  7log 45 2 ;
б) 3log 7
3 і 7log 3
7 ; г) 2
2log 5 і log2
20; д) 2log3
2 і log2
3.
Знайдіть область визначення функції (311–312).
311. а)
 
5
2
3
log 3
;
log 2
x
y
x x


 
в) 2
tgtg 1 log 2cos 1 ;
2
x
x
y x
 
    
 
б)
 
 
2
2
4
log 2 4
;
log 8x
x x
y
x
  


г)  2
sin 3 cos
log 3 2 .x x
y x x
  
312. а)
 
1
2
2
log 2
;
log 2 3
x
y
x x


 
в) 2
ctg1 ctg log 1 2sin ;
2
x
x
y x
 
    
 
б)
 
 
2
5 5
2
3
log 5 4 log 27
;
log 30x
x x
y
x x
  

 
г)  2
sin coslog 4 3 .x xy x x  

Розділ 154
Побудуйте графік функції (313–316).
313. а) 2log ;y x б) 2log ;y x в) 2log 3 ;y x  г) 21 log .y x 
314. а) 1
2
log ;y x в) 1
2
log 4 ;y x  ґ)
1
log 3
3 ;x
y 
б) 1
2
log ;y x г) 3log
3 ;
x
y д) 1
2
1 log .y x  
315. а) y  logx
1; б) 2
2
log ;x
y x в)
1
log 3
3 x
y  г) 3log
3 ;
x
y 
б) log cos ;y x г) y  log0,5
tg x + log0,5
ctg x.
316. а) log ;xy x б) 42log
4 ;x
y 
 в)
2
log sin .y x
317. Знайдіть f(–4), якщо log2
f(x)  3 + x.
318. Знайдіть найбільше і найменше значення функції f(x) на проміжку I:
а) f(x)  log8
x,  0,5; 8 ;I  в) f(x)  log2
(1 + x2
), I  [–1; 2];
б)   0,5log ,f x x  0,25; 1 ;I  г)   2
2log 4 ,f x x x  I  [1; 3].
319. Доведіть нерівність:
а) logn
(n + 1) > logn+1
(n + 2), ,n N n  2;
б)      2 2
3 3 3log log 0,5 1 2log ,m n mn m n     m > 0, n > 0. З’ясуйте,
для яких m і n виконується рівність.
320. При яких значеннях параметра a графік функції log ( 2)ay ax  про-
ходить через точку (1; 2)?A При знайденому значенні параметра a
побудуйте графік даної функції.
321. При яких значеннях параметра a функція 2
2 2
log ( 2 4 )a
y x x a    ви-
значена на множині всіх дійсних чисел?
322. При яких значеннях параметра a областю визначення функції
2 2
2log (4 6 9)y a x x    є проміжок ( 2; 8)?
323. Обчисліть: а) 24log 3
2 ; б) 3log 5
9 ; в) 2log 7
8 ; г) 5log 4
5 ;
ґ) 101–lg 5
; д) 102+lg 2
.
324. Прологарифмуйте, використовуючи властивості логарифмів:
а)
2
2log ;
2
P Q
R
 
 
 
б)
3
2log ;
Q
R
 
 
 
в)
2
2 3
log .
R Q
P
 
 
 
325. Спростіть вирази:
а)
 
2 2 2 2
2
2 2
1;
m n
m n



б)
 
2
3 3
2 3 2 3
1 .
m n
m n



§7 Логарифмічні рівняння
Logarithmic Equations
Рівняння називають логарифмічним, якщо його змінні містяться лише під
знаком логарифма.
Приклади. log3
x  2, lg x + lg 4  2, ln(3x – 2)  1 – ln x.
Примітка. Рівняння, які містять змінну не тільки під знаком лога-
рифма, наприклад x + ln x  0, xlgx
 1, не є логарифмічними. Але вони
зводяться до логарифмічних, або під час їх розв’язування використовують
властивості логарифмів. Тому і такі рівняння, а також нерівності будемо
розглядати у цьому та наступному параграфах.
Найпростішими логарифмічними рівняннями називають рівняння виду
loga
x  b, де a > 0 і 1.a
За означенням логарифма для будь-якого дійсного b таке рівняння має
єдиний розв’язок x  ab
.
Розв’язування інших логарифмічних рівнянь ґрунтується на властивостях
логарифмічної функції, означенні та властивостях логарифма.
Розв’язуючи логарифмічні рівняння, потрібно встановити область допус-
тимих значень рівняння або здійснити перевірку отриманих коренів. Для
найпростіших логарифмічних рівнянь, які розв’язують на основі означення
логарифма, область допустимих значень можна не встановлювати (вико-
нуються рівносильні перетворення рівнянь), а перевірку бажано робити
для самоконтролю.
Для логарифмічних рівнянь загального методу розв’язування немає, проте
можна виокремити кілька груп рівнянь, для розв’язування яких викорис-
товують певні способи. Розглянемо ці способи на конкретних прикладах.
I. За означенням логарифма
Приклад 1. Розв’яжіть рівняння log2
(x2
– 4x + 12)  3.
Розв’язання. За означенням логарифма 23
 x2
– 4x + 12. Розв’яжемо
отримане рівняння: x2
– 4x + 12  8, x2
– 4x + 4  0, звідси (x – 2)2
 0 і
x  2.
Перевіркою переконуємося, що х  2 — корінь рівняння:
log2
(22
– 4 · 2 + 12)  log2
8  3.
Приклад 2. Розв’яжіть рівняння logx –1
(x2
– 5x + 2,25)  2.
Розв’язання. Область допустимих значень невідомого визначається з умов:
2
1 0,
1 1,
5 2,25 0,
x
x
x x
 

 
   
або
x
x
x
x

 


 
1,
2,
4,5,
0,5.

Розділ 156
Звідси,  4,5; .  x
Розв’язування даного рівняння зводиться до розв’язування рівняння
x2
– 5x + 2,25  (x – 1)2
, або –3x  –1,25,
5
.
12
x
5
12
x не належить до області допустимих значень.
Відповідь. Рівняння не має дійсних коренів.
II. За властивостями логарифмів та логарифмічної функції
Рівняння виду log ( ) log ( )a af x g x можна розв’язати одним із таких
способів.
а) Розв’язати рівняння ( ) ( )f x g x , яке є наслідком заданого рівняння, і
виконати перевірку знайдених коренів підстановкою їх у задане рівняння.
б) Враховувати ОДЗ даного рівняння, тобто розв’язати одну із систем:
( ) ( ),
( ) 0,



f x g x
f x
або
( ) ( ),
( ) 0.



f x g x
g x
Вибір системи залежить від того, яку з нерівностей ( ) 0f x чи ( ) 0g x
розв’язати легше.
Приклад 3. Розв’яжіть рівняння 2
lg( 3 5) lg(1 2 ).   x x x
Розв’язання. Дане рівняння рівносильне системі
2
3 5 1 2 ,
1 2 0,
    

 
x x x
x
або
2
6 0,
0,5,
   


x x
x
звідси
3,
2,
0,5,
 
  
 
x
x
x
2. x
Приклад 4. Розв’яжіть рівняння
log2
(x – 3) + log2
(x – 1)  3 + log2
(x – 4).
Розв’язання. Подамо число 3 як логарифм за основою 2: 3  log2
8.
Скористаємося властивістю log2
a + log2
b  log2
ab і запишемо рівняння у
вигляді log2
(x – 3)(x – 1)  log2
8(x – 4).
Згідно із твердженням 1 (див. с. 49) маємо: (x – 3)(x – 1)  8(x – 4).
Розв’яжемо це рівняння: x2
– 4x + 3  8x – 32, або x2
– 12x + 35  0, звідси
x1
 5, x2
 7. Перевірку зробіть самостійно.
Відповідь. 5; 7.
III. Введення нової змінної
Багато логарифмічних рівнянь заміною loga
f(x)  y можна звести до
алгебраїчного рівняння з невідомим y.
Приклад 5. Розв’яжіть рівняння (lg x – 6)–1
+ 5 (lg x + 2)–1
 1.
Розв’язання. Замінивши lg x на y, дістанемо рівняння
1 5
1,
6 2
 
 y y
корені якого: y1
 2, y2
 8. Отже, lg x  2, або lg x  8, звідси x1
 100,
x2
 108
.
Перевірка показує, що обидва значення задовольняють рівняння.
Відповідь. 100; 108
.
IV. Графічний спосіб
Деякі логарифмічні рівняння можна
розв’язувати графічно.
Приклад 6. Розв’яжіть графічно рівняння
log4
x  3 – log2
x.
Розв’язання. Побудуємо в одній систе-
мі координат графіки функцій y  log4
x і
y  3 – log2
x (мал. 22). Як бачимо, графіки
цих функцій перетинаються в точці з абсцисою
x  4. Щоб переконатися, що x  4 — корінь
даного рівняння, зробимо перевірку:
log4
4  3 – log2
4; 1  3 – 2; 1  1.
V. Логарифмування
Розглянемо рівняння, у яких змінна міститься не лише під знаком ло-
гарифма, а й в основі степеня. Їх розв’язують способом логарифмування.
Приклад 7. Розв’яжіть рівняння: 2log
16.x
x
Розв’язання. Знайдемо логарифми від обох частин рівняння за основою 2
і спростимо утворене рівняння. Маємо:
2log
2 2log log 16,x
x або log2
x · log2
x  4, (log2
x)2
 4. Звідси:
1) log2
x  2, x1
 4; 2) log2
x  –2, 2
1
0,25.
4
 x
Перевіркою переконуємося, що ці числа є коренями рівняння.
Відповідь. 0,25; 4.
1. Які рівняння називають логарифмічними?
2. Яке рівняння називають найпростішим логарифмічним рівнянням?
3. Які способи розв’язування логарифмічних рівнянь ви знаєте?
1 Розв’яжіть рівняння ln(x – 8) + ln(1 – x)  1.
Розв’язання. Щоб мали зміст вирази ln(x – 8) і ln(1 – x), треба, щоб
одночасно виконувалися нерівності x – 8 > 0 і 1 – x > 0. Система цих не-
рівностей розв’язку не має.
Відповідь. Рівняння не має розв’язків.
2 Розв’яжіть рівняння log5
log4
log3
x  0.
Розв’язання. Перепишемо рівняння так: log5
(log4
log3
x)  0.
x
y
y3–log2
x
ylog4
x
1 2 3 4 5 6
1
–1
–2
O
2
3
4
Мал. 22

Розділ 158
Тоді число, що стоїть у дужках, за означенням логарифма дорівнює 50
,
тобто log4
log3
x  50
або log4
log3
x  1.
Запишемо це рівняння так: log4
(log3
x)  1. Звідси дістаємо log3
x  4,
або x  34
 81.
Оскільки у процесі розв’язування рівняння всі переходи були рівно-
сильними, перевірку можна не робити. Для самоконтролю переконуємося,
що х  81 — корінь рівняння.
3 Розв’яжіть рівняння 2 2
4 4 4log (16 ) log (4 ) 6 log .  x x x
Розв’язання. Областю визначення даного рівняння є множина (0; ). 
Запишемо рівняння у вигляді 2 2
4 4 4(log (16 )) (log (4 )) 6 log .  x x x
Використовуючи властивості логарифмів, отримаємо:
2 2
4 4 4 4 4(log 16 log ) (log 4 log ) 6 log ;    x x x
2 2
4 4 4(2 log ) (1 log ) 6 log .    x x x
Зробимо заміну 4log x t і отримаємо рівняння 2 2
(2 ) (1 ) 6 .    t t t
Виконавши відповідні алгебраїчні перетворення, отримаємо, що 1,t
тобто 4log 1,x тоді 4.x
4 Розв’яжіть рівняння 2
2 22log ( 1) log ( 4) 2.   x x
Розв’язання.Областювизначенняцьогорівнянняємножина (1;4) (4; ).
Помилковою є думка, що дане рівняння рівносильне рівнянню
2 22log ( 1) 2log ( 4) 2,   x x
оскільки областю визначення останнього рівняння є множина (4; ). 
Тому такий перехід звужує область визначення даного рівняння, що може
призвести до втрати коренів, якщо вони належать проміжку (1; 4).
Рівносильним у цьому випадку буде перехід до рівняння
2 22log ( 1) 2log 4 2,   x x
звідси
2 2log ( 1) log 4 1,   x x 2log ( 1) 4 1,  x x ( 1) 4 2.  x x
Дане рівняння рівносильне сукупності систем:
1 4,
( 1)(4 ) 2,
4,
( 1)( 4) 2.
  

  
 

  
x
x x
x
x x
Розв’язавши дані системи, отримаємо:
5 17
2; 3; .
2
x x x

  
Відповідь.
5 17
2; 3; .
2

5 Розв’яжіть систему рівнянь
2 2
3 3
log log 2,
log log 4.
 

 
x y
x y
Розв’язання. ОДЗ: x > 0, y > 0. Перетворимо систему, використовуючи
властивості логарифмів. Маємо:
2
3
log 2,
log 4,



 
x
y
xy
звідси
4,
81,



 
x
y
xy
або
4 ,
81.



x y
xy
Остання система має два розв’язки (18; 4,5) і (–18; –4,5).
З урахуванням ОДЗ задана система має єдиний розв’язок (18; 4,5).
Відповідь. (18; 4,5).
326. а) log3
x  1; г) ln x  1; е) log5
x  –1;
б) lg x  0; ґ) log4
x  2; є) log7
x  –2;
в) ln x  –1; д) log0,1
x  –2; ж) 8
1
log .
3
 x
327. а) logx
16  2; б) logx
5  –1; в) logx
81  –4.
328. а) lg(x + 3)  lg 2; б) log5
6  log5
2x; в) lg x2
 lg 4.
329. а) 2log
2 3;x
б) 3log
3 1; x
в)
5log
1
2.
5
 
 
 
x
330. Скільки коренів має рівняння:
а) 2
2
log ;x
x
б) 3log ; x x в) 7log 8 ? x x
331. Для якого значення параметра a рівняння має корені? Знайдіть ці корені:
а) log 2;a x б) 2log 1;a
x в) 2 2log log 2 .a a
x a
РІВЕНЬ А
Знайдіть корені рівняння, використовуючи означення логарифма (332–333).
332. а) log5
(x – 1)  2; в) log2
(x2
+ 3x)  2;
б) log2
(x2
– 1)  3; г) logx
(x2
– 3x + 6)  2.
333. а) log2
(x + 5)  1; в) log2
(x2
+ x)  1; ґ) log3
(x2
+ 2)  3;
б) logx
(16 – x3
)  3; г)  1
3
log 1 2 2;  x д)  2
16
1
log 3 .
2
x x 
Використовуючи монотонність логарифмічної функції, розв’яжіть рівняння
(334–335).
334. а) 3 3log ( 2) log (7 2 );  x x в) 0,5 0,5log (2 6) log ( 7);  x x
б) 2 0,5
1
log (3 ) log ;
5
 

x
x
г) 2
5 5log (7 ) log (9 3 ).  x x

Розділ 160
335. а) 11 11log ( 8) log (17 2 );  x x в) 0,3 0,3log (3 2) log (6 );  x x
б) 2
55
log ( 1) log ( 5);  x x г) 2
0,7 0,7log ( 2) log ( 2 8).   x x x
336. (ЗНО, 2014). Розв’яжіть рівняння 2
0,4 0,4log (5 8) log ( 3 ).  x x Якщо рів-
няння має єдиний корінь, запишіть його у відповідь. Якщо рівняння
має кілька коренів, запишіть у відповідь їхню суму.
Використовуючи властивості логарифмів, розв’яжіть рівняння (337–338).
337. а) log12
(x – 3) + log12
(x – 2)  1;
б) 1 + log5
(2x – 1)  log5
(7x + 4);
в) log2
(x + 1)  1 + log2
(x – 3);
г) 2log3
x  1 + log3
(2x – 3).
338. а) log2
(x + 3) + log2
(x + 2)  1;
б) log3
(x + 1) – log3
(x + 2)  1 + log3
4;
в) lg(x + 1) – lg(x + 3)  lg 3 – lg(x – 1);
г) log2
(x + 3) – log2
(x – 1)  2 – log2
(2x – 8).
Розв’яжіть рівняння, використовуючи основну логарифмічну тотожність
(339–340).
339. а) 3log 2
5log (3 2) 3 ; x в) 4log ( 2)
4 5;
x
б) 4log (4 1) 2
16 8 7;
 x
x г) 25log ( 3)
5 2.
x
340. а) 6log 2
3log (11 2 ) 6 ; x в) 3log ( 5)
3 2;
x
б) 5log (1 ) 2
25 2 2;
 x
x г) 9log ( 2)
3 4.
x
Розв’яжіть рівняння методом введення нової змінної (341–342).
341. а)    2
2 2log 1 log 1 6 0;    x x в)    2
2 2
log 3 1 log 3 1 1 0;    x x
б) lg2
x + 2lg x – 3  0; г)    2
3 1
3
log 2 log 2 2 0.    x x
342. а)    2
9 92log 5 3log 5 1 0;    x x в) ln2
x – 2ln x  0;
б)    2
2 2
log 2 log 2 8 0;    x x г)    2
4 16log 1 log 1 0,5 0.    x x
а) log2
x  2; б) log0,5
x  –1; в) log2
x  0,5х; г) log0,5
x  1 – х.
РІВЕНЬ Б
Знайдіть корені рівняння (344–345).
344. а) 2
2log ( 1) 1;   x x x в) 2
4
log ( 3 ) 1;
 x
x
б) log (5 2 ) log (3 4);  x xx x г) x xx x x   2
4 4log ( 2 ) log (5 12).
345. а) log (3 2 ) 2; x x в) 4 3
log 16 2;
x
б) 7 7log (2 7) log (6 25);   x xx x г) 2
4 4log ( 4) log (6 9).   x xx x
346. а) log5
x + logx
25  3; в) 2log4
x – 3logx
4  1;
б) log2
(2x – 12) · logx
2  1; г) 16log ( 6) log 4 1.  xx

1

More Related Content

What's hot

Similar to 1

More from pidruchnyk111

Recently uploaded

1