ЗШ №10 м.Світловодська, profile picture
Uploaded byЗШ №10 м.Світловодська
18,728 views

Підготовка до ЗНО (планіметрія)

Ізюмченко Л.В., Ткаченко Л.А. Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія) / Л.В.Ізюмченко, Л.А.Ткаченко. – Кропивницький: КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», 2017

Embed presentation

Downloaded 116 times
1 / 101
2 / 101
3 / 101
4 / 101
5 / 101
6 / 101
7 / 101
8 / 101
9 / 101
10 / 101
11 / 101
12 / 101
13 / 101
14 / 101
15 / 101
16 / 101
17 / 101
18 / 101
19 / 101
20 / 101
21 / 101
22 / 101
23 / 101
24 / 101
25 / 101
26 / 101
27 / 101
28 / 101
29 / 101
30 / 101
31 / 101
32 / 101
33 / 101
34 / 101
35 / 101
36 / 101
37 / 101
38 / 101
39 / 101
40 / 101
41 / 101
42 / 101
43 / 101
44 / 101
45 / 101
46 / 101
47 / 101
48 / 101
49 / 101
50 / 101
51 / 101
52 / 101
53 / 101
54 / 101
55 / 101
56 / 101
57 / 101
58 / 101
59 / 101
60 / 101
61 / 101
62 / 101
63 / 101
64 / 101
65 / 101
66 / 101
67 / 101
68 / 101
69 / 101
70 / 101
71 / 101
72 / 101
73 / 101
74 / 101
75 / 101
76 / 101
77 / 101
78 / 101
79 / 101
80 / 101
81 / 101
82 / 101
Most read
83 / 101
84 / 101
85 / 101
86 / 101
87 / 101
88 / 101
Most read
89 / 101
90 / 101
91 / 101
92 / 101
93 / 101
94 / 101
95 / 101
96 / 101
97 / 101
98 / 101
Most read
99 / 101
100 / 101
101 / 101
КОМУНАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «КІРОВОГРАДСЬКИЙ ОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ ІМЕНІ ВАСИЛЯ СУХОМЛИНСЬКОГО» Ізюмченко Л.В., Ткаченко Л.А. (З ДОСВІДУ РОБОТИ ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ КОМУНАЛЬНОГО ЗАКЛАДУ «ПЕДАГОГІЧНИЙ ЛІЦЕЙ КІРОВОГРАДСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ КІРОВОГРАДСЬКОЇ ОБЛАСТІ», КАНДИДАТА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ НАУК ІЗЮМЧЕНКО ЛЮДМИЛИ ВОЛОДИМИРІВНИ) Кропивницький 2017 Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія)
2 УДК 37.09+372.851 И 57 Друкується за рішенням науково-методичної ради комунального закладу «Кіровоградський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти імені Василя Сухомлинського» (від 13 червня 2017 року, протокол №3) Ізюмченко Л. В., Ткаченко Л. А. Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія) / Л. В. Ізюмченко, Л. А. Ткаченко. – Кропивницький: КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», 2017. – 100 с. Рецензенти: О.П. Макарчук – старший викладач кафедри прикладної математики, статистики та економіки Центральноукраїнського державного педагогічного університету імені Володимира Винниченка, кандидат фізико-математичних наук; О.Л. Свириденко – вчитель математики Кіровоградського обласного навчально-виховного комплексу (гімназія-інтернат – школа мистецтв), заслужений вчитель України. Посібник містить необхідний ілюстрований матеріал до теоретичної частини та практичну частину (приклади розв’язання задач, задачі для самостійного опрацювання), а також тестові завдання шкільного курсу геометрії з теми «Планіметрія», що допоможе більш раціонально розподілити час при підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання. Завдання різнорівневі і включають всі основні типи тестів, які використовуються при проведенні зовнішнього незалежного оцінювання. Видання стане реальним помічником учням загальноосвітніх навчальних закладів та вчителям математики – для всіх, хто бажає систематизувати і повторити шкільний курс геометрії з даної теми та досконало, поглиблено і всебічно підготуватись до участі в зовнішньому незалежному оцінюванні. Відповідальна за випуск – Корецька Л.В © КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», 2017
3 Зміст Передмова 4 Розділ І. Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості 6 Теоретичні відомості 6 Приклади розв’язання задач 11 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 14 Відповіді до завдань для самостійної роботи 23 Розділ ІІ. Коло та круг 24 Теоретичні відомості 24 Приклади розв’язання задач 31 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 36 Відповіді до завдань для самостійної роботи 47 Розділ ІІІ. Трикутники 48 Теоретичні відомості 48 Приклади розв’язання задач 57 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 64 Відповіді до завдань для самостійної роботи 81 Розділ ІV. Чотирикутники 82 Теоретичні відомості 82 Приклади розв’язання задач 90 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 92 Відповіді до завдань для самостійної роботи 96 Список використаних джерел 97
4 Передмова Математика як шкільний предмет має достатній потенціал для формування та розвитку якостей, необхідних людині, щоб бути успішною у сучасному житті. Значимість та успішність кожного громадянина суспільства на ринку праці надзвичайно зростає завдяки його математичній підготовці та вмінню використовувати її у своїй трудовій діяльності, адже кожна галузь суспільного життя потребує своєї математики. У запропонованому посібнику висвітлюються деякі аспекти підготовки учнів до зовнішнього незалежного оцінювання з математики, зокрема, узагальнено й систематизовано матеріал шкільного курсу геометрії з розділу «Планіметрія». Тематика завдань відповідає чинній програмі з предмету за новим державним стандартом та програмі зовнішнього незалежного оцінювання: – найпростіші геометричні фігури на площині (розглядаються найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості: точка, пряма, промінь, відрізок, поняття «лежати між» (двома іншими точками), поняття ламаної, кута; аксіоми планіметрії; суміжні та вертикальні кути, їхні властивості; бісектриса кута та її властивості; паралельні та перпендикулярні прямі; поняття перпендикуляра та похилої, серединного перпендикуляра; відстань від точки до прямої; ознаки паралельності прямих; теорема Фалеса, узагальнена теорема Фалеса); – коло, круг (розглядаються питання кола, круга та їхніх елементів; центральних, вписаних кутів та їхні властивості; властивості двох хорд, що перетинаються; дотичні до кола та їхні властивості); – трикутники (види трикутників та їхні основні властивості; ознаки рівності трикутників; медіана, бісектриса, висота трикутника та їхні властивості; теорема про суму кутів трикутника; нерівність трикутника; середня лінія трикутника та її властивості; коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник; теорема Піфагора, пропорційні відрізки прямокутного трикутника; теореми синусів та косинусів);
5 – чотирикутники та їхні елементи (досліджуються чотирикутники та їхні елементи: паралелограм та його властивості, ознаки паралелограма; прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та їхні властивості, середня лінія трапеції; вписані та описані навколо кола чотирикутники); многокутники (розглянуто многокутники, їхні елементи, опуклі многокутники, периметр, сума кутів многокутника; правильний многокутник та його властивості; вписані в коло та описані навколо кола многокутники). Кожен розділ містить необхідний ілюстрований матеріал до теоретичної частини та практичну частину (приклади розв’язування задач, задачі для самостійного опрацювання), що дасть змогу більш раціонально розподілити час при підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання. Вибрана форма оформлення змісту посібника дозволяє вчителеві використовувати подані матеріали для підготовки школярів до тестування з предмета, допоможе організувати планомірне вивчення і системне повторення основних понять геометрії та теоретичних відомостей із запропонованих розділів предмета та опанувати основні прийоми і методи розв’язування завдань. Посібник призначений для використання у процесі самостійної підготовки учнів загальноосвітніх шкіл до зовнішнього незалежного оцінювання. Видання стане у нагоді вчителям математики, учням основної та старшої школи та усім, хто займається підготовкою до зовнішнього незалежного оцінювання. Завдяки даному посібнику Ви досягнете бажаних результатів. Бажаємо успіхів!
6 Розділ І Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості У цьому розділі повторюємо з учнями найпростіші геометричні фігури – точку, пряму, промінь, відрізок, поняття «лежати між» (двома іншими точками), поняття ламаної, кута; аксіом планіметрії; суміжні та вертикальні кути, їхні властивості; бісектрису кута та її властивості; паралельні та перпендикулярні прямі; поняття перпендикуляра та похилої, серединного перпендикуляра; відстань від точки до прямої; ознаки паралельності прямих; теорему Фалеса, узагальнену теорему Фалеса. Теоретичні відомості – Точка – неозначуване поняття. Уявлення про точку дає слід на аркуші паперу, зроблений добре загостреним олівцем. Позначають точки великими латинськими буквами А, В, С,.. – Пряма – неозначуване поняття. Уявлення про пряму дають: туго натягнута нитка; промінь світла, який проходить крізь вузький отвір. Позначають прямі латинськими буквами a, b, c,…або AC, BC… Пряма нескінченна. Пряма розбиває площину на дві півплощини. – Площина – неозначуване поняття. Уявлення про площину дають: поверхня стола, поверхня віконного скла, поверхня озера в тиху погоду, тощо. Площину мислять необмеженою, ідеально рівною і гладенькою. Позначають площини малими грецькими буквами Промінь AC (півпряма) – частина прямої a, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежить по один бік від даної на ній точки A (A – початок променя). – Доповняльними називають різні промені однієї і тієї самої прямої зі спільним початком. – Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї
7 прямої, що лежать між двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. Відрізок позначають, записуючи його кінці. Коли говорять або пишуть «відрізок АВ», то мають на увазі відрізок з кінцями в точках А і В. Кожний відрізок має певну довжину більшу від нуля. – Ламаною , ,… називається фігура, яка складається з точок , ,… і відрізків , … , що їх сполучають. Точки , ,… – називають вершинами ламаної, а відрізки , … – ланками ламаної. Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів. – Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок (довжина ламаної не менша за довжину відрізка, що сполучає її кінці). – Кутом називається фігура, яка складається з точки – вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять з цієї точки, – сторін кута. Слово кут замінюють символом . Позначають кут трьома великими літерами або однією (або цифрою): точка О – вершина кута; – сторони кута. Кут можна розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо своєї початкової точки О. Напрям обертання проти годинникової стрілки умовно називають додатнім, а за годинниковою стрілкою – від’ємним. – Бісектриса – промінь, який виходить з вершини кута й ділить його на дві рівні частини. ОА – бісектриса, . – Повним називається кут, отриманий від повного оберту променя навколо своєї початкової точки, =360о . – Розгорнутим називається кут, якщо його сторони є доповняльними півпрямими однієї прямої (сторони утворюють пряму) АОВ =
8 – Прямим називається кут, який дорівнює половині розгорнутого кута (кут, градусна міра якого дорівнює ). АОВ = . – Тупим називається кут, який більший за прямий кут, але менший від розгорнутого. F – тупий; F – Гострим називається кут, який менший від прямого. F – гострий; F – Вертикальними називаються два кути, сторони одного з яких є доповняльними променями сторін другого. АОВ СОD – вертикальні, АОС і ВОD – вертикальні. ВЛАСТИВОСТІ ВЕРТИКАЛЬНИХ КУТІВ – Вертикальні кути рівні між собою АОВ СОD, АОС= ВОD – Бісектриси вертикальних кутів утворюють розгорнутий кут. КУТИ ПРИ ПЕРЕТИНІ ДВОХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ – При перетині двох прямих третьою прямою ( січною) утворюються пари кутів: –внутрішні односторонні; –зовнішні різносторонні; – зовнішні односторонні.
9 – Суміжними називаються кути, в яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями (півпрямими). АВС СВD – суміжні. ВЛАСТИВОСТІ СУМІЖНИХ КУТІВ – Сума суміжних кутів дорівнює ( АВ СВD = – Кут, суміжний з прямим кутом, є прямим; – кут, суміжний з гострим кутом, є тупим; – кут, суміжний з тупим кутом, є гострим. – Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні. – Чим більший кут, тим менший суміжний з ним, і навпаки. – Бісектриси суміжних кутів утворюють прямий кут. – Якщо суміжні кути рівні, то вони прямі. ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ Паралельними називаються дві прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються, позначаються паралельні прямі так: . Аксіома паралельності: Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій. Ознаки паралельності: –Якщо дві різні прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою. Якщо – Якщо при перетині двох прямих третьою: 1) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює , то такі прямі паралельні; 2) внутрішні різносторонні кути рівні: , то такі прямі паралельні; 3) відповідні кути рівні: , то такі прямі паралельні; 4) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює :
10 , то такі прямі паралельні; 5) зовнішні різносторонні кути рівні: , то такі прямі паралельні. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною (с), то їхні властивості формулюватимуться аналогічно до ознак (як обернені теореми). – Кути з відповідно паралельними сторонами або рівні, або в сумі складають . ТЕОРЕМА ФАЛЕСА – Якщо на одній із двох прямих відкладено декілька рівних (пропорційних) відрізків і через їх кінці проведені паралельні прямі, які перетинають другу пряму, то й на ній відкладуться рівні (пропорційні) відрізки: якщо і , то . ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ. ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ – Перпендикулярними називаються дві прямі, які перетинаються під прямим кутом ( ). – Перпендикуляром до даної прямої називають відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який має одним із своїх кінців точку їх перетину. Цей кінець відрізка називають основою перпендикуляра (АВ – перпендикуляр, В – основа). – Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму і до того ж тільки одну.
11 – Через кожну точку поза даною прямою можна провести перпендикулярну до неї пряму і до того ж тільки одну. – Дві прямі (площини), які перпендикулярні до третьої, паралельні між собою. – Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої. – З будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна провести перпендикуляр на цю пряму і до того ж тільки один. – Відстань від точки до прямої дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з даної точки на пряму (якщо точка лежить на прямій, то вважають, що відстань від цієї точки до прямої дорівнює нулю). – Відстань між паралельними прямими дорівнює відстані від будь-якої точки однієї прямої до другої прямої. – Кути з відповідно перпендикулярними сторонами або рівні або в сумі складають Приклади розв’язання задач Проілюструємо на прикладах основні теоретичні факти цього пункту. Зауважимо, що підбираючи приклади у цьому пункті, ми звернули свою увагу у першу чергу на задачі, які потребують додаткового дослідження взаємного розташування об’єктів, чи невизначені задачі. Приклад 1. На прямій а вибрано три точки А, В, С так, що АВ=3,8 см, АС=4,1 см. Обчисліть відстань між точками В і С. А Б В Г Д 0,3 см 3,95 см 7,9 см 0,3 см або 7,9 см 8 см Розв’язання. Для трьох різних точок на прямій тільки одна з них лежить між двома іншими. Зафіксуємо одну з точок на прямій а, наприклад, точку А, тоді точки В і С лежать на прямій а або по один бік від неї (враховуючи умову, отримаємо, що точка В лежить між А і С), або по різні боки (точка А лежить між точками В і С). У першому випадку ВС=4,1–3,8=0,3 см, у другому ВС=4,1+3,8=7,9 см.
12 Відповідь: Г. Приклад 2. Від точки С відрізка АВ по різні боки від прямої АВ проведено два промені СD і СF так, що кути АСD і ВСD відносяться як 7:2, а промінь СF – бісектриса АСВ. Знайдіть FСD. А Б В Г Д 20о 40о 130о 140о 230о Розв’язання. За умовоюАСВ=180о , АСD:ВСD=7:2, АСD=7х, ВСD=2х, а тому 7х+2х=180о ,х=20о , ВСD=40о . СF – бісектриса АСВ, АСВ=180о , а тому FСВ=90о . FСD=FСВ+ВСD=130о . Відповідь: В. Приклад 3. При перетині двох прямих утворилися чотири кути, два з яких мають градусні міри   00 33;32  xx . Якого найбільшого значення може набувати найменший кут? А Б В Г Д 10о 36о 50о 69о 83о Розв’язання. При перетині двох прямих утворилися чотири кути, нехай один з них має градусну міру  0 32 x . Тоді один з трьох кутів, що лишилися, відповідно, дорівнює  0 33x . Маємо два принципово різних випадки: або пара кутів – вертикальні, або суміжні, а тому маємо дві можливості:          .8333;9732,50,1803332 ;111691801;693332,36,3332 000 00000 xxxxx xxxxx Тоді найменший кут між прямими може набувати значень 69о або 83о і найбільше значення найменшого кута 83о . Відповідь: Д.
13 Приклад 4. При перетині двох паралельних прямих січною утворилися вісім кутів. Відомо, що сума трьох із восьми кутів дорівнює 306о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д Лише 51о Лише 54о Лише 78о 54о або 78о Лише 102о Розв’язання. При перетині двох паралельних прямих січною утворилися вісім кутів, причому 1=3=5=7; 2=4=6=8 (маємо дві різні множини рівних між собою кутів). Тоді маємо два принципово різних випадки: або усі три кути з однієї множини: 3х=306о , х=102о ;кут, суміжний з цим, буде меншим: 180о –102о =78о ; або два – з різних множин (в сумі дають 180о ), а третій – з однієї із них, а тому х+180о =306о , х=126о , суміжний з цим кут буде меншим: 180о –126о =54о . Відповідь: Г. Приклад 5. Із точки А до прямої а проведено похилу АВ і перпендикуляр АС, точки В і С – основи похилої і перпендикуляра, відповідно. АВ=25 см, АС=24 см. Обчисліть: а) довжину проекції похилої АВ на пряму а; б) тригонометричні функції кута між перпендикуляром і похилою; в) відстань від точки С до прямої АВ; г) довжину проекції відрізка АС на пряму АВ; д) довжину відрізка АК, який відтинає серединний перпендикуляр до відрізка АВ на прямій АС. Розв’язання: а) АВ – похила, АС – перпендикуляр, ВС – проекція похилої АВ на пряму а. За теоремою Піфагора    749242524252425; 2222  BCACABBC ; б) кут між перпендикуляром АС і похилою АВ – це ВАС, позначимо його через ; тоді 25 24 cos  AB AC  ; 25 7 sin  AB BC  ; 24 7  AC BC tg ; 7 24  BC AC ctg ;
14 в) для відшукання відстані від точки С до прямої АВ опустимо перпендикуляр СН з точки С на пряму АВ. Тоді АСН – прямокутний, Н=90о , А=; АС – гіпотенуза, СН – протилежний катет, а тому 72,6 25 168 25 7 24sin  ACCH ; г) проекцією відрізка АС на пряму АВ є відрізок АН, який у прямокутному АСН є прилеглим катетом, а тому 04,23 25 576 25 24 24cos  ACAH ; д) для відшукання довжини відрізка АК, який відтинає серединний перпендикуляр МК до відрізка АВ на прямій АС, розглянемо прямокутний АМК: М=90о , А=; М – середина АВ, довжина 2 25 2  AB AM ; АК – гіпо- тенуза, АМ – прилеглий катет, а тому 02,13 48 1 13 48 625 25 24 : 2 25 cos   AM AK . Відповідь: а) 7BC ; б) 25 24 cos  AB AC  ; 25 7 sin  AB BC  ; 24 7  AC BC tg ; 7 24  BC AC ctg ; в) 72,6CH ;г) 04,23AH ;д) 48 1 13AK . Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 1. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них утричі менший за інший. А Б В Г Д 22,5о ; 67,5о 30о ; 90о 40о ; 120о 45о ; 135о 60о ; 120о 2. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 42° більший за інший. А Б В Г Д 24о ; 66о 64о ; 116о 69о ; 111о 74о ; 116о 79,5о ; 100,5о 3. Дві прямі перетинаються у точці О, градусні міри кутів задані на рисунку. Обчисліть х: А Б В Г Д 5о  o 29 183 9о 10о 51о
15 4. Дві прямі перетинаються у точці О, градусні міри кутів задані на рисунку. Обчисліть х: А Б В Г Д 15о 17о 26о 56о 63о 5. Дві прямі перетинаються, градусні міри кутів задані на рисунку. Використовуючи рисунок, обчисліть різницю yx  : А Б В Г Д –8о –4о 2о 4о 8о 6. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо відомо, що сума трьох з кутів, що утворилися при цьому, дорівнює 240°. А Б В Г Д 40о 60о 80о 100о 120о 7. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо відомо, що сума двох з кутів, що утворилися при цьому, дорівнює 200°. А Б В Г Д 50о 60о 80о 100о 160о 8. Виберіть усі неправильні твердження, використовуючи рисунок: І. Точка В лежить між точками А і С. ІІ. Точка С лежить на відрізку АВ. ІІІ. Точка А лежить на промені СВ. ІV. Точка С лежить на промені АВ. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише І, ІІІ та ІV 9. Відомо, що довжини відрізків АМ=2,3 см, АВ=3,1 см,МВ=0,8 см. Які з наведених тверджень є правильними для даних точок А, В, М?
16 І. Точка В лежить на промені АМ. ІІ. Точка А лежить на промені МВ. ІІІ. Точка М лежить на промені АВ. ІV. Точки А, В і М не лежать на одній прямій. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІІ лише ІV 10. Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, удвічі більший за суму двох суміжних з ним кутів. Обчисліть більший із кутів. А Б В Г Д 36о 60о 72о 120о 144о 11. Точка А є внутрішньою точкою відрізка ВС. Які з наведених тверджень є правильними для даних точок А, В, С? І. АВ+АС=ВС; ІІ. АВ+ВС=АС; ІІІ. АВ+ВС>АС; ІV. на відрізку ВС існує єдина точка А, сума відстаней від якої до кінців відрізка ВС дорівнює довжині відрізка ВС. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише І та ІІІ лише ІІІ лише І, ІІІ та ІV 12. Виберіть усі правильні твердження, використовуючи рисунок: І. Якщо АС=5,3 см і АВ=2,8 см, то ВС=2,5 см. ІІ. Якщо АС=5,3 см і ВС=2,8 см, то АВ=8,1 см. ІІІ. Виконується умова для векторів CAAB  . А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ 13. Відомо, що АВ=6,3 см, АС=4,2 см, ВС=2,1 см. Виберіть усі правильні твердження: І. Точки А, В, С на площині утворюють трикутник.
17 ІІ. Має місце векторна рівність CBCA 2 . ІІІ. Точка С поділяє відрізок АВ у відношенні 1:2. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ 14. На відрізку АВ завдовжки 5,1 м вибрано точку K так, що АK:KВ=9:8. Чому дорівнює довжина відрізка KВ? А Б В Г Д 0,3 м 2,4 м 2,7 м 3 м 3,3 м 15. На відрізку АВ завдовжки 4,9 см лежить точка С, причому довжина АС більша за довжину СВ на 2,5 см. Чому дорівнює довжина СВ? А Б В Г Д 1,2 см 2,4 см 2,25 см 2,5 см 3,7 см 16. Промінь ОС ділить АОВ = 114о на два кути так, що один з них утричі менший за інший. Знайдіть більший з кутів, які при цьому утворилися. А Б В Г Д 28,5о 38о 76о 82о 85,5о 17. Дано градусні міри двох кутівАОС=СОВ=125о . Обчисліть х, використовуючи дані рисунка. А Б В Г Д 55о 70о 110о 125о 235о 18.АОС – розгорнутий, проведено промінь ОВ так, що ВОС = 122о та промінь ОK так, що ОK– бісектриса ВОС. Обчисліть АОK. А Б В Г Д 58о 61о 116о 119о 122о 19. Промінь ОK проходить всередині кута АОВ, причому градусні міри АОВ=96о , АОK=48о . Виберіть усі неправильні твердження серед наведених: І. ОK – бісектриса АОВ;
18 ІІ. Градусна міра кута, суміжного з ВОK, дорівнює 132о ; ІІІ. Градусні міри кутів пов’язані співвідношенням АОK=2ВОK; ІV. Точка, що лежить на промені ОK, рівновіддалена від прямих ОА і ОВ. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише ІIІ та ІV 20. Градусна міра АВС=100о , ВK – його бісектриса. На продовженні променя KВ (за точку В) вибрали точку М. Чому дорівнює градусна міра АВМ? А Б В Г Д 50о 80о 110о 130о 150о 21. Від точки С відрізка АВ проведено в один бік від прямої АВ два промені СD і СF так, що СF – бісектриса АСD. Кути АСD і ВСD відносяться як 3:2. Знайдіть FСВ. А Б В Г Д 54о 72о 108о 120о 126о 22. На відрізку АВ вибрали точку О і через неї провели промінь ОС так, що ВОС=80о , та промінь ОМ, що є бісектрисою АОС (точки М і С лежать в одній півплощині від прямої АВ). Виберіть неправильне твердження: І. Градусна міра АОС=100о ; ІІ. Градусна міра МОВ=130о ; ІІІ. Градусна міра МОС=100о ; ІV. Бісектриса ВОС перпендикулярна до ОМ; V. Бісектриса МОС утворює з АО кут, градусна міра якого 75о . А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише V 23. На якому із рисунків прямі а і b паралельні?
19 А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІ І, ІІ та ІІІ 24. На якому із рисунків прямі а і b не є паралельними? А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІ лише І та ІІІ 25. При перетині двох паралельних прямих січною утворилося вісім кутів. Відомо, що сума двох із восьми кутів дорівнює 220о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д 40о 50о 70о 80о 110о 26. При перетині двох паралельних прямих січною утворилося вісім кутів. Відомо, що сума двох із восьми кутів дорівнює 80о . Укажіть градусну міру найбільшого із восьми кутів. А Б В Г Д 40о 80о 100о 120о 140о 27. При перетині двох паралельних прямих січною утворилося вісім кутів. Відомо, що сума трьох більших із восьми кутів дорівнює 330о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д 70о 75о 80о 110о Встановити неможливо
20 28. При перетині двох паралельних прямих січною утворилися вісім кутів. Відомо, що сума трьох із восьми кутів дорівнює 366о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д Лише 6о Лише 58о Лише 61о 6о або 58о Лише 122о 29. Паралельні прямі перетинають сторони кута О, відтинаючи на них відрізки, довжини яких позначені на рисунку (у см). Обчисліть х (у см). А Б В Г Д 0,5 см 1 см 1,2 см 2,25 см 6⅔ см 30. Паралельні прямі АВ і СD перетинають сторони О (див. рисунок), причому ОА=8 см, АС=2 см, ОВ=6 см. Обчисліть довжину відрізка ВD. А Б В Г Д 0,5 см 1 см 1,5 см 2 см 2⅔ см 31. Паралельні прямі АВ і СD перетинають сторони О (див. рисунок), причому ОС=15 см, ОА=12 см, ВD=2 см. Обчисліть довжину відрізка ОВ. А Б В Г Д 1,5 см 1,6 см 2,5 см 8 см 10 см 32. Із точки А до прямої а проведено перпендикуляр і похилу, Н – основа перпендикуляра, В – основа похилої на прямій а. Виберіть усі неправильні твердження: І.Довжини відрізків пов’язані співвідношенням АН<AB; ІІ.АВ=АН+НВ;
21 ІІІ. Градусна міра АНВ=90о ; ІV. Відстань від точки А до прямої а задає відрізок АВ. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише ІІ та ІV 33. Із точки до прямої а проведено дві похилі завдовжки 34 см і 10 см. Менша похила утворює з прямою а кут 60о . Знайдіть довжину проекції більшої похилої до прямої а. А Б В Г Д 32 см 6 см 8 см 222 см 342 см 34. Промінь ОС проходить всередині кута АОВ, причому градусні міри АОВ=72о , АОС=36о . Установіть відповідність між питаннями (1–4) у лівому стовпці та відповідями (А–Д) у правому стовпці: 1) градусна міра ВОС, дорівнює 2) градусна міра кута, суміжного з ВОС, дорівнює 3) пряма, перпендикулярна до ОС, утворює з ОА кут 4) пряма, перпендикулярна до ОС, утворює з бісектрисою кута ВОС кут, градусна міра якого А 18о Б 36о В 54о Г 72о Д 144о 35. Використовуючи дані рисунка, установіть відповідність між питаннями (1–5) у лівому стовпці та відповідями (А–Е) у правому стовпці: 1) величина кута х 2) величина кута у 3) величина кута z 4) величина кута між прямими a і b 5) величина кута між прямими с і d А 0о Б 5о В 57о Г 118о Д 119о Е123о 36. Із точки А до прямої а проведено перпендикуляр АН і похилу АВ, причому Н і В – основи перпендикуляра і похилої на прямій а, відповідно. АВ=13, АН=5. Установіть відповідність між питаннями (1–4) у лівому стовпці та відповідями (А–Д) у правому стовпці: 1) відстань від точки Н до середини похилої АВ дорівнює А 2,4
22 2) довжина проекції похилої АВ на пряму а дорівнює 3) серединний перпендикуляр до відрізка АН відтинає на АВ відрізок АК, довжина якого дорівнює 4) тангенс кута між перпендикуляром АН і похилою АВ дорівнює Б 2,5 В 6 Г 6,5 Д 12 37. При перетині двох прямих а і b січною прямою с утворилося вісім кутів (див. рисунок). Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці(А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) 1 і 5; 2) 4 і 6; 3) 2 і 7; 4) 1 і 3. А) внутрішні односторонні; Б) відповідні; В) суміжні; Г) зовнішні різносторонні; Д) внутрішні різносторонні. 38. При перетині двох прямих а і b січною прямою с утворилося вісім кутів (див. рисунок). Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) 1 і 7; 2) 4 і 8; 3) 3 і 6; 4) 5 і 8. А) внутрішні різносторонні; Б) вертикальні; В)зовнішні односторонні; Г) суміжні; Д)відповідні. 39. Прямі а і b перетнуто січними прямими (див. рисунок). Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
23 1) яку назву мають кути, градусна міра яких позначена на рисунку у 83о та 97 о ; 2) яке взаємне положення прямих а і b; 3) яку назву мають кути, градусна міра яких позначена на рисунку у 87о та х о ; 4) обчисліть у градусах х. А) паралельні; Б) внутрішні односторонні; В) внутрішні різносторонні; Г) перетинаються; Д) 87о ; Е) 97о . 40. Із точки А до прямої а проведено перпендикуляр АН і похилу АВ так, що довжини АН=4 см, АВ=5 см. Доберіть правильну відповідь у правому стовпці на питання лівого стовпця: 1) відстань від точки А до прямої а дорівнює 2) довжина проекції відрізка АВ на пряму а дорівнює 3) відстань від точки Н до прямої АВ дорівнює 4) довжина проекції відрізка АН на пряму АВ дорівнює 5) серединний перпендикуляр до ВН відтинає від АВ відрізок АК завдовжки а) 2,4 см б) 2,5 см в) 3 см г) 3,2 см д) 4 см е) 5 см Відповіді до завдань для самостійної роботи (Розділ І) 1. Г; 2. В; 3. В; 4. Б; 5. Д; 6. Б; 7. В; 8. Б; 9. Г; 10. Д; 11. В; 12. А; 13. Б; 14. Б; 15. А; 16. Д; 17. В; 18. Г; 19. В; 20. Г; 21.Д; 22. В; 23.Г; 24. Б; 25.В; 26. Д; 27.А; 28.Б; 29.Б; 30.В; 31. Г; 32. Д; 33. В; 34. 1Б; 34. 2Д; 34. 3В; 34. 4Г; 35. 1Г; 35. 2Е; 35. 3В; 35. 4А; 35. 5Б; 36. 1Г; 36. 2Д; 36. 3В; 36. 4А; 37. 1Б; 37. 2А; 37. 3Г; 37. 4В; 38. 1В; 38. 2Д; 38. 3А; 38. 4Б; 39. 1Б; 39. 2А; 39. 3В; 39. 4Д; 40. 1Д; 40. 2В; 40. 3А; 40. 4Г; 40. 5Б.
24 Розділ ІІ Коло та круг У цьому пункті повторюємо з учнями коло, круг та їхні елементи; центральні, вписані кути та їхні властивості; властивості двох хорд, що перетинаються; дотичну до кола та її властивості. Теоретичні відомості Коло - Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається центром кола. - Радіусом називається відрізок, що сполучає точку кола з його центром або відстань від точок кола до його центра. (Позначається радіус R або r). - Хордою називається відрізок, що сполучає дві точки кола. - Діаметром називається хорда, що проходить через центр кола. (Позначають діаметр D або d). - О – центр кола; ОА – радіус; ВС – хорда; MN – діаметр. - Кругом називають множину точок площини, відстань яких від даної точки (центра кола) не перевищує даної відстані (радіуса круга), або частина площини, яка обмежується колом. ВЛАСТИВОСТІ - Діаметр – найбільша хорда кола; - діаметр дорівнює подвоєному радіусу кола D=2R (d=2r); - діаметр, проведений перпендикулярно до хорди, ділить хорду на дві рівні частини. Якщо CD AB, то AM = MB = 1/2AB; - діаметр, який проходить через середину хорди, відмінної від діаметра, є перпендикулярним до
25 хорди, якщо AM = MB = 1/2AB, то CD AB. - рівні хорди кола рівновіддалені від центра. Якщо AB = CD і OK CD, OM AB, то OK = OM. - якщо дві хорди кола рівновіддалені від центра, то вони рівні. Якщо OK AB, OM CD, OK = OM, то AB = CD. - відстань від центра кола до хорди визначається зі співвідношення: + = , де а – довжина хорди; – радіус; –відстань до хорди. - якщо AB – хорда, AC – діаметр і BD AC, то =AD AC; =AD DС. - для даної точки М всередині кола добуток відрізків хорди, на які ділить їх дана точка, є величина постійна: - AM · MB = (R+OM)  (R–OM) = – , де R – радіус кола
26 - якщо хорди AB і CD кола перетинаються в точці S, то AS · BS = CS · DS. Дуги і хорди кола Дуга – частина кола, обмежена двома його точками (позначають АВ). ВЛАСТИВОСТІ - рівні дуги стягують рівні хорди. Якщо AB = CD, то AB = CD; - рівні хорди стягують рівні дуги. Якщо AB = CD, то AB = CD. - діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить дугу, яка стягує хорду, на дві рівні частини. Якщо AB CD і CD – діаметр, то AD = DВ. - якщо діаметр проходить через середину хорди (відмінної від діаметра), то він ділить дугу, яку стягує хорда, на дві рівні частини. Якщо AM = MB і CD – діаметр, то AD = ВD.
27 - паралельні хорди відтинають на колі рівні дуги. Якщо AB CD, то AС = ВD. - дві рівні хорди, які мають спільний кінець і утворюють кут , поділяють коло на три рівні дуги. Якщо AB = ВC, ABC = , то AB = ВC = АС = . - якщо хорда дорівнює радіусу кола, то хорда відтинає від кола дугу, що становить 1/6 частину кола. Якщо AB = АО = ВО, то AB =1/6АВА = . - якщо дві хорди мають спільний кінець і утворюють кут , то інші кінці хорд поділяють коло на дві рівні частини (спираються на діаметр). Якщо AB ВC, то АВС =АС= . - якщо дві хорди мають спільний кінець і утворюють кут , то інші кінці хорд відтинають від кола дугу, яка становить 1/6 частину кола. Якщо АВС= , то АС =1/6АВСА = .
28 Дотичні та січні кола - Дотична до кола – пряма, яка має з колом одну спільну точку (точку дотику); d – дотична до кола; M – точка дотику. - Січна – пряма, яка має з колом дві спільні точки; b – січна. ВЛАСТИВОСТІ - дотична, перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику: ОМ d; - якщо пряма проходить через кінець діаметра і перпендикулярна до нього, то ця пряма дотична. - якщо з однієї точки до даного кола проведені дві дотичні, то відрізки дотичних рівні між собою: АВ = АС; - якщо коло дотикається сторін кута, то центр кола лежить на бісектрисі кута;АО – бісектриса. - якщо з точки поза колом проведені до нього дотична і січна, то квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку всього відрізка до січної на його зовнішню частину: = AB · AC.
29 SA  SB =SC  SD BS AS = DS  CS = – , R – радіус кола. SASB = Взаємне розташування прямої і кола Якщо відстань ОМ від центра кола до прямої: більша радіуса (OM>R), то пряма не має спільних точок з колом; дорівнює радіусу ( , то пряма дотикається до кола;
30 менша радіуса ( , то коло відтинає на прямій хорду довжиною Взаємне розташування двох кіл Якщо О1О2 >R+r, то спільні точки відсутні Якщо О1О2 = R+r, то одна спільна точка Якщо R–r <О1О2 <R+r, то дві спільні точки Якщо О1О2 <R–r, то спільні точки відсутні Якщо О1О2 = R–r, то одна спільна точка
31 Спільні дотичні двох кіл Якщо кола перетинаються, тобто R – r<О1О2 <R + r, то є дві спільні дотичні Приклади розв’язання задач Проілюструємо на прикладах основні теоретичні факти цього пункту. Приклад 1. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і точка О лежить на відрізку ВС, градусна міра кута ВСА дорівнює 33 о (див. рисунок). Чому дорівнюють градусні міри кутів АОВ і АВС? Розв’язання. Кут ВОС – розгорнутий, його градусна міра 180 о . ВАС – вписаний, спирається на ту ж саму дугу, а тому його градусна міра 90 о (кут, що спирається на діаметр, прямий). Кут ВСА вписаний, спирається на дугу АВ, а кут ВОА – центральний, спирається на ту ж саму дугу, а тому його градусна міра дорівнює 233 о =66 о . Градусна міра дуги САВ дорівнює 180 о , а дуги АВ – 66 о , а тому градусна міра дуги АС є їхньою різницею, тобто 114 о ; кут СВА – вписаний, спирається на цю дугу, його градусна міра – половина, тобто 57 о . Перевірка: 1) сума кутів трикутника АВС (33 о , 90 о , 57 о ) дорівнює 180 о ; 2) трикутник ОСА рівнобедрений, а тому САО=ОСА мають градусну міру по 33 о ; кут СОА, відповідно, 180 о –233 о =180 о –66 о =114 о . Кут АОВ – суміжний з СОА, його градусна міра дорівнює 180 о –114 о =66 о (можна
32 і інакше кут АОВ – зовнішній кут трикутника СОА, а тому кут АОВ дорівнює сумі двох кутівСАО+ОСА=233 о =66 о ); 3) трикутник ОАВ рівнобедрений, а тому ОАВ=ОВА і їхня сума дорівнює куту СОА=114 о , звідки ОАВ=ОВА=114 о :2=57 о . Інакше: кут АОВ=66 о , тоді із суми кутів трикутника отримаємо ОАВ=ОВА=(180 о – 66 о ):2=114 о :2=57 о . Відповідь: АОВ=66 о і АВС=57 о . Приклад 2. Точки А, В, С, D лежать на колі з центром у точці О діаметра АВ. Градусні міри кутів ВАD і АDС дорівнюють 20 о і 36 о відповідно (див. рисунок). Обчисліть градусні міри кутів: а) ACB, ADB; б) АОС, СОD, DOB, AOD, COB; в) CAD, CAB, CBA, DBA, DBC, DCB, DCA,CDВ. Упорядкуйте кути CВA, DOB, CAD за зростанням градусних мір. Розв’язання: а) Кути ACB, ADB спираються на діаметр AB, а тому є прямими, градусні міри по 90 о . б) За умовою нам дано два вписаних кутиВАD і АDС, які спираються на дуги ВD і АС (20 о і 36 о ), відповідно. А тому ми маємо градусні міри відповідних центральних кутів: ВОD=40 о і АОС=72 о . Тобто маємо наступні градусні міри дуг: AB=180 о ,DB=40 о ,AC=72 о , а тому CD=180 о – (40 о +72 о )=68 о . Тому центральні кути, відповідно, АОС=72 о (спирається на AC), СОD=68 о (спирається на CD), DOB=40 о (спирається на DВ), AOD=140 о (спирається на АD=AC+CD), COB=108 о (спирається на СВ=CD+DВ). в) Кути цього пункту є вписаними: кут CAD спирається на дугу CD=68 о , а тому CAD=34 о ; CBA – на дугу CА=72 о , а тому CВA=36 о ; CAB – на дугу CВ=68 о +40 о =108 о , а томуCAВ=54 о ; DBA – на дугу АD =72 о +68 о =140 о , а тому DBA =70 о ;
33 DBC – на дугу СD =68 о , а тому DBC =34 о ; DCB – на дугу DВ =40 о , а тому DCB =20 о ; DСA – на дугу DВА =40 о +180 о =220 о , а тому DBA =110 о ; CDВ – на дугу ВАС =180 о +72 о =252 о , а тому CDВ =126 о . Щоб упорядкувати кути за зростанням градусних мір, випишемо їхні значення: CВA=36 о , DOB=40 о , CAD=34 о , а тому CAD <CВA <DOB. Зауважимо, що доцільним, на наш погляд, є завдання перевірити суми кутів трикутників, які при цьому виникають, у тому числі проаналізувати, які з трикутників є рівнобедреними, які прямокутними і чому. Доцільно обчислити повторно кути, скориставшись властивістю адитивності, наприклад, кут CDВ=CDА+АDВ, а тому CDВ=36 о +90 о =126 о . Приклад 3. Точки А, В, С лежать на колі радіуса R, причому довжина хорди АВ дорівнює R3 . Чому дорівнює градусна міра кута АCВ? А Б В Г Д 30 о 45 о 90 о 60 о або 120 о Інша відповідь Розв’язання. Зауважимо, що трикутник АОВ рівнобедрений і його медіана, проведена з точки О, є бісектрисою і висотою, а тому ½ АВ : АО = соsOAB. Враховуючи умову, отримаємо, що соsOAB= 2 3 , а тоді OAB=30 о , звідки AOB=120 о . А тоді, залежно від того, де лежить точка С по відношенню до хорди АВ, матимемо дві можливості: або вписаний кут спирається на дугу 120 о або на дугу 240 о . А оскільки він дорівнює половині градусної міри дуги, то маємо дві відповіді до задачі: або AС2B=60 о , або AС1B=120 о . Відповідь: 60 о або 120 о , відповідь - Г. Приклад 4. Продовження хорд АВ і СD кола перетинаються у точці S (див. рисунок). Обчисліть довжину відрізка SD, якщо довжини AВ = 2 см, BS = 6 см, CD = 8 см. Розв’язання. Кути DCB і DАB – вписані, спираються на одну дугу DВ, а тому рівні; трикутники SAD i SCB подібні за двома
34 кутами (S спільний), а тому SB SC SD SA  або SA  SB = SC  SD. Обчислимо довжини відрізків, використовуючи дані з умови задачі, скористаємося адитивністю довжин відрізків: SA = SB+BA = 2+6 = 8; SC= SD+DC = x+8, а тому отримаємо рівняння x  (x + 8) = 6  8, звідки x2 + 8  x – 48 = 0, коренями рівняння є –12 і 4, умову задовольняє лише додатний корінь, а тому SD = 4 см. Відповідь: 4 см. Приклад 5. Хорди АВ і СD кола перетинаються у точці S (див. рисунок), причому довжини AS = 6 см, BS = 4 см, CS = 8 см. 1. Обчисліть довжину відрізка SD. 2. На скільки відсотків хорда СD більша за хорду АВ? Розв’язання. Кути DCB і DАB – вписані, спираються на одну дугу DВ, вони рівні; трикутники SAD i SCB подібні за двома кутами, а тому SB SC SD SA  , звідки SA  SB = SC  SD. Маємо рівняння 6  4 = 8  x, звідки x = 3, а тому SD = 3 см. Довжина хорди СD = 11 см, хорди АВ = 10 см. Обчислюємо, на скільки хорда СD більша за хорду АВ: 11–10=1 см; 1 см становить від хордиАВ = 10 см 10 відсотків, а тому відповідь на друге питання – 10 %. Відповідь: 3 см, 10 %. Доцільно акцентувати увагу учнів на ідентичній формулі у прикладах 3 і 4 (кожен раз «міряємо від S»), і на відмінностях (у прикладі 3, «міряючи SА», «пробігаємо» ще раз по SВ), уникаючи помилок у механічному множенні відрізків, які при цьому виникають. Наступні приклади можна вважати певним узагальненням попереднього. Приклад 6. Точка М віддалена на 10 см від центра кола, радіус якого дорівнює 12 см. Через цю точку проведено хорду завдовжки 15 см. Обчисліть довжини відрізків, на які ділить точка М хорду. Розв’язання. Нехай точка О – центр кола, з’єднаємо її з точкою М і продовжимо пряму ОМ до перетину з колом, матимемо хорду (діаметр), позначимо її АВ.
35 Іншу хорду, що проходить через точку М, про яку йдеться в умові задачі, позначимо CD (див. рисунок). Нехай CМ = х, тоді МD =15 – х, оскільки АМ = АО + ОМ, то АМ = 22, аналогічно, ВМ = ВО – ОМ, звідки ВМ = 2. З подіб- ності СМВ і AMD маємо МA  МB = МC  МD, звідки 22  2 = х  (15 – х), отримали квадратне рівняння x2 –15  x + 48 = 0, коренями рівняння є 4 і 11. Два різні алгебраїчні розв’язки дають CМ = 4, МD =11, або навпаки, тобто принципово єдину геометричну можливість: довжини відрізків, на які ділить точка М хорду, є 4 і 11 см. Відповідь: 4 і 11 см. Зауважимо, що дану задачу можна розв’язати і інакше, проте у цьому пункті ми акцентуємо увагу на властивостях хорд. Інше розв’язання може виглядати, наприклад, так: CОD – рівнобедрений, ОС=ОD=12 см, CD=15 см, обчислюємо відстань від точки М до прямої CD (висоту трикутника), вона рівна 395,1 см, знаючи цю відстань і відрізок ОМ=10 см, знаходимо відстань d =3,5 см від середини CD до М, що фактично завершує розв’язання задачі, адже шукані в умові задачі відрізки будуть рівні 7,5d. Приклад 7. Обчисліть відстань від центра кола радіуса 14 см до точки K, якщо через неї проходить хорда, яка точкою K ділиться на відрізки 11 і 12 см. Розв’язання. Нехай точка О – центр кола, хорда АВ проходить через точку K. З’єднаємо точку K з центром О і продовжимо до перетину з колом, отримаємо хорду (діаметр) CD, позначимо шукану величину KО через х (див. рисунок), тоді KС=14–х, KD=14+х, KА=12, KВ=11. Маємо KA  KB = KC  KD, 12  11 = (14 – х)  (14 + х). Отримали квадратне рівняння 196–x2 =132, x2 =64, коренями рівняння є 8. Умову задачі задовольняє KО=8 см. Відповідь: 8 см. Приклад 8. Два кола, радіуси яких дорівнюють 1 і 9 см, мають зовнішній дотик. Обчисліть відстань (у см) від точки дотику даних кіл до їхньої спільної зовнішньої дотичної.
36 Розв’язання. Виконаємо рисунок: точка K дотику двох кіл лежить на лінії центрів О1О2, пряма АС – спільна зовнішня дотична точки А і С – точки дотику кіл. Опустимо перпендикуляр KВ на пряму АС, тоді шуканий відрізок є KВ. Проведемо через центр О1 меншого кола пряму, паралельну до АС. Тоді (див. рисунок), АО1ЕС – прямокутник, BD=AО1=СЕ=1 см. Розглянемо трикутник О1ЕО2,у ньому KD||O2E, ЕО2=СО2–СЕ=9–1=8 см, О1О2=О1K+KО2=1+9=10 см. Трикутники О1ЕО2 і О1DK подібні, коефіцієнт подібності 10 1 21 1  OO KO k , а тому 8,08 10 1 2  EOkDK см. Врахуємо, що BK=BD+DK, звідки BK=1+0,8=1,8 см. Відповідь: 1,8 см. Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 1. Знайдіть градусні міри двох дуг кола, на які його поділяють дві точки, якщо градусна міра однієї із дуг на 50 о більша за градусну міру іншої. А Б В Г Д 20о ; 70о 65о ; 115о 40о ; 140о 155о ; 205о 130о ; 230о 2. Знайдіть градусні міри двох дуг кола, на які його поділяють дві точки, якщо градусні міри цих дуг відносяться як 5:7. А Б В Г Д 50о ; 70о 75о ; 105о 135о ; 225о 140о ; 220о 150о ; 210о 3. Знайдіть градусну міру більшої із двох дуг кола, на які його поділяють кінці хорди, якщо градусні міри цих дуг відносяться як 3:7. А Б В Г Д 108о 120о 360о (3/7) 360о (7/3) 252о
37 4. Знайдіть градусну міру меншої із двох дуг кола, на які його поділяють кінці хорди, якщо градусна міра однієї із цих дуг у 4 рази більша за градусну міру іншої. А Б В Г Д 45о 72о 90о 144о 288о 5. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 5 см, яка становить ¾ кола. А Б В Г Д 3,75π см 7,5π см 20/3π см 10π см 40/3π см 6. Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює 80 о , якщо радіус кола 9 см. А Б В Г Д 4 см 2π см (80/9) см 4π см 18π см 7. Знайдіть радіус кола, якщо довжина дуги кола дорівнює 4,5π см, а її градусна міра дорівнює 135 о . А Б В Г Д 2,25 см 3 см 4,5 см 5 см 6 см 8. Знайдіть, яку частину площі круга становить площа сектора, градусна міра дуги якого дорівнює 126 о . А Б В Г Д 10 3 3 1 20 7 8 3 14 5 9. Знайдіть площу сектора з градусною мірою центрального кута 108 о , якщо радіус круга дорівнює 5 см. А Б В Г Д 5π см2 25π/108 см2 7,5 π см2 12,5 π см2 25π см2 10. Знайдіть радіус круга, якщо площа сектора дорівнює 1,2π см2 , а градусна міра дуги сектора складає 27 о . А Б В Г Д 2 см 4 см 5 см 6 см 7 см 11. Знайдіть градусну міру центрального кута сектора, якщо радіус круга 6 см і площа сектора дорівнює 1,5π см2 . А Б В Г Д 15о 20о 30о 45о 50о
38 12. Знайдіть довжину кола, яке обмежує круг площею 49π см2 . А Б В Г Д 7π см 12π см 14π см 28π см 49π см 13. Знайдіть площу круга, якщо його діаметр 5 дм. А Б В Г Д 6,25π дм2 12,5π дм2 15π дм2 25π дм2 50π дм2 14. Знайдіть площу круга, якщо довжина кола, яке обмежує цей круг, 10π м. А Б В Г Д 5π м2 12,5π м2 20π м2 25π м2 50π м2 15. Обруч котиться по прямій і робить один повний оберт, пройшовши при цьому шлях 13π дм. Який діаметр обруча? А Б В Г Д 6,5 дм 13 дм 26 дм 13π дм 42,25 дм 16. Радіус кола збільшили на 20 %. На скільки відсотків при цьому збільшилася довжина кола? А Б В Г Д 1,2 % (20:2π) % 10 % 20 % 44 % 17. Радіус кола збільшили на 20 %. На скільки відсотків при цьому збільшилася площа круга? А Б В Г Д 1,2 % (20:π) % 10 % 20 % 44 % 18. Площа круга складає 25 % від площі іншого круга. Як відноситься радіус меншого кола до радіуса більшого кола? А Б В Г Д 1:4 1:3 1:2 3:4 4:5 19. Довжина кола, яке обмежує один круг, більша на 30% за довжину кола, яке обмежує другий кут. На скільки відсотків площа першого круга більша за площу другого? А Б В Г Д 69 % 60 % 45 % 30 % 15 %
39 20. Площі двох кругів відносяться, як 9:16. Як відносяться діаметри кіл, які обмежують ці круги? А Б В Г Д 7:16 9:16 3:4 27:64 81:256 21. Довжини двох кіл відносяться, як 4:25. Як відносяться площі кругів, обмежених цими колами? А Б В Г Д 16:625 8:125 4:25 2:5 21:25 22. Площі двох кругів відносяться, як 4:9. Скільки відсотків складає довжина кола, яке обмежує більший круг, від довжини кола, яке обмежує інший круг? А Б В Г Д (13/9)·100 % 105 % 150 % 175 % 225 % 23. Знайдіть радіус круга, площа якого чисельно дорівнює площі сектора радіуса 3 м з градусною мірою центрального кута 250 о . А Б В Г Д 2 м 25/12 м 2,2 м 2,5 м 3,6 м 24. Знайдіть градусну міру центрального кута сектора радіуса 12 см, площа якого чисельно дорівнює площі круга радіуса 4 см. А Б В Г Д 120о 100о 80о 60о 40о 25. Квітник, що має вигляд сектора радіуса 8 м з градусною мірою центрального кута 135о , обнесли по периметру земляним валком. Яка довжина земляного валка? Укажіть відповідь, найближчу до точної. А Б В Г Д 24 м 35 м 40 м 50 м 19 м 26. Водноспортивний комплекс площею 628 м2 містить водойму у формі круга, насадження та луг, площі яких співвідносяться як 2:1:1, відповідно. Знайдіть діаметр водойми. Укажіть відповідь, найближчу до точної. А Б В Г Д 10 м 16 м 20 м 28 м 34 м
40 27. Обчисліть площу кільця, утвореного двома концентричними колами (тобто колами, які мають спільний центр), радіуси яких, відповідно 2 і 3 дм. А Б В Г Д 4π дм2 25π дм2 13π дм2 9π дм2 5π дм2 28. Площа кільця, утвореного двома концентричними колами, радіуси яких відрізняються на 2 см, дорівнює 7π см2 . Обчисліть радіуси цих кіл, у відповідь запишіть радіус меншого кола. А Б В Г Д 0,75 см 1,25 см 1,5 см 1,75 см 2,75π см 29. Скільки відсотків складає площа кільця, утвореного двома концентричними колами, радіуси яких, відповідно, 3 і 5 см, від площі великого круга? А Б В Г Д 36 % 40 % 60 % 64 % 80 % 30. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута АОС дорівнює 140 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АВС? А Б В Г Д 40 о 70 о 80 о 90 о 140 о 31. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута АСВ дорівнює 40 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АОВ? А Б В Г Д 20 о 40 о 50 о 80 о 140 о 32. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і точка О лежить на відрізку АС(див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АВС? А Б В Г Д 80 о 90 о 100 о 105 о Встановити неможливо
41 33. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і точка О лежить на відрізку АС, градусна міра кута САВ дорівнює 35 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АСВ? А Б В Г Д 55 о 45 о 35 о 145 о Встановити неможливо 34. (ЗНО, 2011 р.) На рисунку зображено коло з центром у точці О і рівносторонній трикутник АОВ, що перетинає коло в точках М і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну міру кута MDN. А Б В Г Д 15 о 30 о 45 о 60 о 120 о 35. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута ВСА дорівнює 35 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АOВ? А Б В Г Д 35 о 55 о 70 о 145 о Інша відповідь 36. Точки А, В, С лежать на колі, причому довжина хорди АВ дорівнює радіусу кола. Чому дорівнює градусна міра кута АCВ? А Б В Г Д 45 о 60 о 120 о 30 о або 150 о Інша відповідь 37. Точки А, В, С лежать на колі, причому довжини хорд АВ і ВС дорівнюють радіусу кола. Чому дорівнює градусна міра кута АВC? А Б В Г Д 30 о 60 о 120 о 150 о Інша відповідь
42 38. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута АВС дорівнює 100 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АОС? А Б В Г Д 80 о 100 о 160 о 170 о 200 о 39. Точки А, В, С, D лежать на колі і градусна міра кута АВС дорівнює 80 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АDC? А Б В Г Д 40 о 80 о 90 о 100 о 160 о 40. Точки А, В, С, D лежать на колі і градусна міра кута АВС дорівнює 80 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АDC? А Б В Г Д 40 о 80 о 100 о 140 о 160 о 41. Точки А, В, С, D лежать на колі діаметра АВ. Градусна міра кута ВАС дорівнює 66 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АDC? А Б В Г Д 114 о 66 о 33 о 24 о Встановити неможливо 42. Із точки А до кола з центром у точці О проведено дві дотичні, точки дотику до кола В і С. Градусна міра кута АОС дорівнює 50 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута ВАC? А Б В Г Д 25 о 40 о 50 о 60 о 80 о
43 43. Із точки А до кола з центром у точці О проведено дві дотичні, точки дотику до кола В і С. Градусна міра кута ОСВ дорівнює 25 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута ВАC? А Б В Г Д 12,5 о 25 о 50 о 65 о 75 о 44. Точки А, В, С поділяють коло на три дуги, градусні міри яких відносяться як 2:3:4. Чому дорівнює середній за величиною кут трикутника? А Б В Г Д 20 о 30 о 40 о 60 о 80 о 45. Точки А, В, С поділяють коло радіуса 3 см на три дуги, градусні міри яких відносяться як 1:2:3. Чому дорівнює середня за величиною сторона трикутника? А Б В Г Д 1,5 см 3 см 3 см 32 см Інша відповідь 46. Два кола, відстань між центрами яких дорівнює 7 см, мають зовнішній дотик. Площа одного із кіл дорівнює 4π см2 . Знайдіть площу іншого кола. А Б В Г Д 3π см2 10π см2 11π см2 25π см2 49π см2 47. (ЗНО, 2010 р., ІІ сесія). Два кола, довжини яких дорівнюють 9π см і 36π см, мають внутрішній дотик. Знайдіть відстань між центрами цих кіл. А Б В Г Д 13,5 см 18 см 22,5 см 27 см 45 см 48. (ЗНО, 2010 р., І сесія). Два кола дотикаються, причому менше з кіл проходить через центр більшого кола (див. рисунок). Знайдіть площу зафарбованої фігури (у см2 ), якщо менше з кіл обмежує круг площею 64 см2 . А Б В Г Д 64 см2 128 см2 192 см2 256 см2 320 см2
44 49. Знайдіть довжину кола, рівняння якого у прямокутній системі координат 03422  yxyx . А Б В Г Д 1,5π од. 2π од. 3π од. 4π од. 5π од. 50. Знайдіть площу круга, який дотикається до прямих 2x і 5x . А Б В Г Д 3,5π од2 . 7π од2 . 12,25π од2 . 24,5π од2 . 25π од2 . 51. Чому дорівнює площа круга, зображеного на рисунку (у од.2 )? А Б В Г Д 2π од.2 4π од.2 6π од.2 8π од.2 16π од.2 52. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо довжини AK = 8 см, BK = 1 см, CK = 4 см. А Б В Г Д 2 см 3 см 11 см 12 см 32 см 53. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо довжини AВ = 8 см, BK = 1 см, CK = 4 см. А Б В Г Д 1,75 см 2 см 3 см 28 см 32 см 54. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо довжини AС=8 см, BD=1 см, CK=4 см. А Б В Г Д 32 см 5 см 3 см 2 см 0,5 см 55. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо він на 2 см більший за відрізок КС, а довжини AК = 12 см, BК = 2 см. А Б В Г Д 4 см 6 см 8 см 10 см 24 см
45 56. Продовження хорд АВ і СD кола перетинаються у точці S (див. рисунок). Обчисліть довжину хорди СD, якщо довжини AВ = 4 см, BS = 2 см, SD = 3 см. А Б В Г Д 1 см 1,5 см 8/3 см 3 см 6 см 57. Продовження хорд АВ і СD кола перети- наються у точці S (див. рисунок). Обчисліть довжину хорди SD, якщо довжини AВ = 2 см, BS = 4 см, CD = 10 см. А Б В Г Д 1,25 см 1,5 см 2 см 4 см 5 см 58. Обчисліть довжину дотичної SС до кола, використовуючи дані рисунка, якщо довжини AВ= 7 м, BS= 9 м. А Б В Г Д 73 м 8 м 12 м 16 м 21 м 59. Обчисліть довжину хорди AВ (див. рисунок), якщо довжина дотичної до кола SС = 6 см, а довжина BS = 4 см. А Б В Г Д 1,5 см 2 см 8/3 см 5 см 9 см 60. Обчисліть довжину відрізка BS (див. рисунок), якщо довжина дотичної до кола SС= 3 см, а довжина хорди AВ = 8 см. А Б В Г Д 3/8 см 1 см 9/8 см 2 см 8/3 см
46 61. У колі на відстані 24 дм від центра кола проведено хорду завдовжки 14 дм. Знайдіть радіус кола. А Б В Г Д 192 дм 10 дм 25 дм 31 дм 38 дм 62. У колі радіуса 61 см на відстані 60 см від центра кола проведено хорду. Знайдіть довжину цієї хорди. А Б В Г Д 1 см 2 см 11 см 22 см 121 см 63. У колі радіуса 17 дм проведено хорду завдовжки 16 дм. Знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди. А Б В Г Д 1 дм 9 дм 15 дм 25 дм 33 дм 64. У колі радіуса 14 см проведено хорду АВ, яка точкою С ділиться на відрізки 12 і 11 см. Знайдіть відстань від центра кола до точки С хорди АВ. А Б В Г Д 5 см 6 см 7 см 8 см 9 см 65. Точка С віддалена на 4 см від центра кола, радіус якого дорівнює 6 см. Через цю точку проведено хорду АВ завдовжки 9 см. Обчисліть довжини відрізків АС і СВ, на які ділить точка С хорду АВ. А Б В Г Д 1 і 8 см 2 і 7 см 3 і 6 см 3,5 і 5,5 см 4 і 5 см 66. Точки А, В, С, D лежать на колі діаметра АВ. Градусні міри кутів АВD і DВС дорівнюють 18 о і 32 о , відповідно (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–5) і його градусною мірою (А–Е): 1) кут САВ 2) кут САD 3) кут DСВ 4) кут АDС 5) кут АСD А 18о Б 32о В 40о Г 90о Д 108о Е 130о
47 67. Точка М віддалена на 4 см від центра кола, радіус якого дорівнює 10 см. Через цю точку проведено хорду АВ так, що довжини відрізків АМ і МВ відрізняються на 5 см. Обчисліть довжини відрізків АМ і МВ. 68. Два кола, радіуси яких дорівнюють 1 і 25 см, мають зовнішній дотик. Обчисліть відстань (у см) між точками дотику даних кіл з їхньою спільною зовнішньою дотичною. Відповіді до завдань для самостійної роботи (Розділ ІІ) 1 Г; 2 Д; 3 Д; 4 Б; 5 Б; 6. Г; 7. Д; 8. В; 9. В; 10. Б; 11. А; 12. В; 13. А; 14. Г; 15. Б; 16. Г; 17. Д; 18. В; 19. А; 20. В; 21. А; 22. В; 23. Г; 24. Д; 25. Б; 26. В; 27. Д; 28. А; 29. Г; 30. Б; 31. Г; 32. Б; 33. А; 34. Б; 35. В; 36. Г; 37. В; 38. В; 39. Б; 40. В; 41. Г; 42. Д; 43. В; 44. Г; 45. В; 46. Г; 47. А; 48. В; 49. Д; 50. В; 51. Б; 52. А; 53. А; 54. Д; 55. Б; 56. А; 57. В; 58. В; 59. Г; 60. Б; 61. В; 62. Г; 63. В; 64. Г; 65. Д; 66.1В; 66. 2Б; 66. 3Д; 66. 4Е; 66. 5А; 67. 12 і 7 см; 68. 10 см
48 Розділ ІІІ Трикутники У цьому розділі повторюємо з учнями трикутники: види трикутників та їхні основні властивості; ознаки рівності трикутників; медіану, бісектрису, висоту трикутника та їхні властивості; теорему про суму кутів трикутника; нерівність трикутника; середню лінію трикутника та її властивості; коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник; теорему Піфагора, пропорційні відрізки прямокутного трикутника; теорему синусів та теорему косинусів. Теоретичні відомості Трикутник. Медіана, бісектриса, висота трикутника, їх властивості. Види трикутників. Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника Трикутником називають фігуру, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами, а відрізки – сторонами. РІВНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ Рівними називаються трикутники, у яких відповідні сторони рівні та рівні відповідні кути. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ 1) Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
49 2) Якщо сторона і прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні. 3) Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні. ДОДАТКОВІ ОЗНАКИ РІВНОСТІ - Якщо дві сторони і медіана, проведена до третьої сторони трикутника, відповідно дорівнюють двом сторонам і медіані, проведеній до третьої сторони другого трикутника, то такі трикутники рівні. - Якщо два кути і висота, проведена до сторони, до якої прилягають ці кути, одного трикутника, відповідно дорівнюють двом кутам і висоті, проведеній до сторони, до якої прилягають ці кути, другого трикутника, то такі трикутники рівні. - Якщо сторона, висота і медіана, проведені до сторони одного трикутника, відповідно дорівнюють стороні, висоті і медіані, проведеним до цієї сторони другого трикутника, то такі трикутники рівні. - Якщо медіана і кути, на які вона ділить кут, одного трикутника, відповідно дорівнюють медіані й кутам, на які вона ділить кут другого трикутника, то ці трикутники рівні. ВЛАСТИВОСТІ РІВНИХ ТРИКУТНИКІВ 1. У рівних трикутників відповідні сторони рівні. 2. У рівних трикутників відповідні кути рівні. 3. Периметри рівних трикутників рівні. 4. Площі рівних трикутників рівні. ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ Подібними називаються трикутники, у яких відповідні кути рівні, а відповідні сторони – пропорційні.
50 означає: ; ; ; . ВЛАСТИВІСТЬ ПОДІБНИХ ТРИКУТНИКІВ 1. Відповідні лінійні елементи подібних трикутників пропорційні відповідним сторонам. 2. Периметри подібних трикутників відносяться як відповідні сторони: . 3. Площі подібних трикутників відносяться як квадрати відповідних лінійних розмірів: . ВЛАСТИВОСТІ СТОРІН ТРИКУТНИКА У будь-якому трикутнику кожна сторона менша суми двох інших його сторін, але більша їх різниці: . 1. Теорема Чеви. Відрізки , тоді і тільки тоді перетинаються в одній точці, коли . 2. Теорема Менелая. Точки лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли .
51 3. Теорема Стюарта. Якщо , то . ВЛАСТИВОСТІ КУТІВ ТРИКУТНИКІВ 1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º: А + В + С = 180º. 2.Зовнішнім кутом трикутника називається кут, який суміжний з внутрішнім кутом. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів трикутника, не суміжних з ним: 1 = А + С. 3. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута лежить більша сторона. МЕДІАНА ТРИКУТНИКА Медіаною трикутника назива- ється відрізок, що з’єднує вершину кута трикутника з серединою проти- лежної сторони. АМ – медіана, ВМ = МС = ВС. ВЛАСТИВОСТІ МЕДІАНИ 1) Медіана трикутника ділить його на два рівновеликих трикутника: = . 2) Медіана трикутника не менша від висоти й бісектриси трикутника, які проведені з однієї вершини. 3) Довжину медіани трикутника можна обчислити за формулою: ma 2 = .
52 4) Медіана прямокутного трикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи: СМ = АВ = R, де R – радіус описаного кола. 5) Медіани трикутника перетинаються в одній точці (центрі мас трикутника) і діляться цією точкою у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини: . 6) Три медіани трикутника ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників: = = = . 7)Довжини медіан трикутника ma; mb; mс пов’язані зі сторонами а, b,c трикутника співвідношенням: ma 2 + mb 2 + mс 2 = (а2 + b2 + с2 ). 8) Площу трикутника можна обчислити за формулою: = , де ma; mb; mс– медіани трикутника, проведені до сторін а, , с. Зауважимо, що при розв’язуванні задач, у яких фігурує медіана, часто буває зручним добудова трикутника до паралелограма, тобто продовження медіани за точку перетину зі стороною і відкладання на продовженні відрізка, рівного медіані. При цьому корисно пам’ятати, що сума квадратів усіх сторін паралелограма дорівнює сумі квадратів його діагоналей (наслідок із теореми
53 косинусів). СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРИКУТНИКА Середньою лінією трикутника називається відрізок, що сполучає середини двох його сторін. МN – середня лінія трикутника, М – середина АВ, N – середина ВС. ВЛАСТИВОСТІ СЕРЕДНЬОЇ ЛІНІЇ Середня лінія трикутника паралельна до третьої сторони і дорівнює половині цієї сторони: МN АС, МN = АС. БІСЕКТРИСА ТРИКУТНИКА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ Бісектрисою трикутника називається відрізок бісектриси кута, що з’єднує вершину кута з точкою протилежної сторони. AL – бісектриса, ВАL = САL = ВАС. 1) Бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні протилежним сторонам трикутника: С . 2) Бісектриса трикутника не менша від висоти трикутника і не більша від медіани трикутника, які проведені з однієї вершини. 3) Довжину бісектриси можна знайти за однією з формул: АL2 = АВ · АС – LВ · LС;АL = ;la = . 4) Бісектриси внутрішнього й суміжного з ним зовнішнього кута трикутника – перпендикулярні: LС, КС – бісектриси, LС КС.
54 5) Усі бісектриси трикутника перетинаються в одній точці – центрі кола, вписаного в трикутник: = . 6) Бісектриса зовнішнього кута нерівнобедреного трикутника перетинає продовження протилеж- ної сторони в точці, яка віддалена від кінців сторони на відстанях, пропорційних двом іншим сторонам: . 7) Продовження бісектриси перетинається із серединним перпендикуляром у точці, яка лежить на колі, описаному навколо трикутника. 8) Якщо О – точка перетину бісектрис, то АОС= + В; АОВ = + ВОС = + ВИСОТА ТРИКУТНИКА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ Висотою трикутника називають відрізок перпендикуляра, опущеного з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.
55 1) Висота трикутника не більша за бісектрису і медіану, які проведені з однієї вершини: ВН – висота, ВL – бісектриса, ВМ – медіана АВС. 2)Якщо в гострокутному ∆АВС проведені висоти і , то ∆ ∆АВС. 3) Висоту трикутника можна знайти за формулами : =b =csin β ; = = ,де p= . 4) Сума відстаней від основ двох висот трикутника до середини його третьої сторони дорівнює третій стороні: Якщо AM=MB; BF AС, АD MF+МD =АВ. 5)Прямі, які містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці, точка H – ортоцентр трикутника. Якщо трикутник гострокутний, точка Н – внутрішня точка трикутника, якщо прямокутний – лежить на межі (співпадає з вершиною прямого кута), якщо тупокутний – зовні трикутника. 6)Висоти трикутника обернено пропорційні відповідним сторонам, тобто
56 : . 7) Сума обернених чисел до висот трикутника дорівнює числу, оберненому до радіуса вписаного кола + . РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК Рівнобедреним називається трикутник, у якого дві сторони рівні. Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона – основою. ∆АВС – рівнобедрений, АВ = ВС – бічні сторони, АС – основа, А = С – кути при основі рівні. = ; R= = ; r = = tg . РІВНОСТОРОННІЙ (ПРАВИЛЬНИЙ) ТРИКУТНИК Рівностороннім називається трикутник, у якого всі сторони рівні (і всі кути рівні). АВ=ВС=СА=а; А = В = С= ; = = a (R+r). ПЛОЩА ТРИКУТНИКА a = b = c ; absinγ = acsinβ = bcsin α; ; ; =2 sinγsinβ sinα .
57 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ Теорема косинусів. Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними: =  . Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних їм кутів: = =2R, де R – радіус описаного кола. СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ СТОРОНАМИ ТА КУТАМИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА AC, BC – катети(AC BC); AB – гіпотенуза; АСВ= ; + = ; – теорема Піфагора; = ; = tg = = ; ctg = = ; a b.  ;  ;  ; ;  ; ; ; . Приклади розв’язання задач Проілюструємо на прикладах основні теоретичні факти цього пункту. Приклад 1. У трикутнику АВС дано висоту ВН, проведену до сторони АС, і проекцію сторони АВ на АС. Обчисліть довжину сторони ВС, якщо радіус R описаного навколо АВС кола відомий (використайте дані рисунка). Розв’язання. Трикутник АВН прямокутний, у ньому відомі два катети, а тому є можливість (за потреби) порахувати гіпотенузу і усі кути
58 (тригонометричні функції усіх кутів).У трикутнику АВС відомі радіус описаного кола, сторона АВ і кут А(синус кута А), а тому із наслідку теореми синусів можемо знайти сторону ВС. А тому розв’язання виглядає так: 1. АВН: (од.); . 2. АВС: , звідки  або   (од.). Перевірка: 1) Із СВН:  (од.); а тоді ; 2) Із АВС: , звідки  або   (од.). АВН подібний до єгипетського (6; 8; 10), правильно. Інша перевірка: 1) Отримано:ВС=12 од., АВ=10 од. (трикутник АВН: 6; 8; 10). Із СВН: (од.). а тоді (од.), використаємо формулу    , обчислимо площу   , звідки     , отримаємо для радіуса описаного кола    наступне числове значення (за умовою воно має вийти 7,5 од.):     (од.). Отримані числові значення гарантують, що обчислювальної помилки у процесі розв’язання задачі не допущено. Відповідь: 12 од. Приклад 2. Використовуючи дані рисунка, обчисліть невідому сторону трикутника ABC. Розв’язання. Запишемо теорему косинусів, використовуючи відому сторону, яка лежить навпроти заданого в умові кута:    30cos332337 222  xx , спростимо отримане рівняння: 049 2 3 332272  xx , матимемо квадратне рівняння 02292  xx ,
59 розв’язками якого є – 2 та 11, умову задачі задовольняє лише х=11. Відповідь: 11 лін. од. Приклад 3. Обчисліть сторону ВС трикутника АВС, якщо АВ= 24 см і АС=5 см, а градусна міра кута АВС дорівнює 45 о . Скільки розв’язків має задача? Наведіть геометричну інтерпретацію відповіді. Розв’язання. Виконаємо рисунок, застосуємо теорему косинусів:    45cos242245 222  xx . Після спрощення отримаємо квадратне рівняння ,83225 2 xx  звідки ,0782  xx коренями якого є два додатні числа 1x і 7x , а тому задача має два розв’язки. Геометрична інтерпретація: після побудови відрізка АВ заданої довжини і відкладання променя АС так, що АВС=45 о , лишилося побудувати точку С, яка знахо- диться на відстані 5 см від точки А. Геометричне місце точок, яке знаходиться на заданій відстані від заданої точки, є коло з центром у даній точці і радіусом, який дорівнює заданій відстані. У нашій задачі коло з центром у точці А перетинає промінь ВС у двох точках, а тому задача має два розв’язки (два різних трикутники). Коло може перетинати цей промінь в одній точці (наприклад, пряму ВС – у двох точках, а промінь – лише в одній, або дотикатися до променя), може перетинати у двох точках, може взагалі не перетинати його. А тому у загальному випадку задача може мати 0, 1 або 2 розв’язки. Зауважимо, що у обох випадках виконується нерівність трикутника, а тому є дві відповіді до задачі. Відповідь: 1 або 7 см.
60 Приклад 4. Обчисліть найбільший кут трикутника АВС, сторони якого дорівнюють 7, 28 і 17 см. Розв’язання. Упорядкуємо за зростанням сторони трикутника, отримаємо, що 7< 28 <17, перша нерівність очевидна, а друга виконується, оскільки   12828 2  , 289172  . Нас цікавить кут, який лежить навпроти сторони 17 см. Запишемо теорему косинусів:   xcos287228717 222  , виразимо xcos з отриманого рівняння:   2 2 2 1 2112 112 2112 28912849 2872 17287 cos 222        x , маємо табличне значення, а тому  135x – найбільший за величиною кут даного трикутника. Відповідь: 135 о . Приклад 5. У трикутнику АВС сторони АВ, ВС і АС дорівнюють 23 см, 5 см і 7 см, відповідно. Установіть відповідність між кутами (1–4) і їхніми градусними мірами (А, Б, В, Г, Д). Кути 1. АВС 2. АСВ 3. ВАС 4. ВАС+АСВ Градусні міри А) (0 о ; 30 о ) Б) [30 о ; 45 о ) В) [45 о ; 60 о ) Г) [60 о ; 90 о ) Д) [90 о ; 120 о ) Е) [120 о ; 180 о ) Розв’язання. Упорядкуємо за зростанням сторони трикутника: 23 <5<7, тому що   1823 2  , 2552  , очікуваний результат такий: АСВ – найменший,ВАС – середній за величиною,АВС – найбільший. Обчислимо кути: 1)                 10 2 arccos180 10 2 230 491825 2352 7235 cos 222  ABCABC . Оскільки 2 1 10 2 0  і  60 2 1 arccos;900arccos  (врахуємо, що у першій чверті косинус є спадною функцією), отримаємо, що 2 1 arccos 10 2 arccos0arccos  або
61   90;60 10 2 arccos  , а тоді   60;90 10 2 arccos  , звідки   120;90ABC і правильна відповідь 1 Д. 2)   5 4 arccos 5 4 70 56 70 184925 752 2375 cos 222       ACBACB . Оскільки  45 2 2 arccos;30 2 3 arccos;01arccos  і 2 3 5 4 2 2  , бо 5,0 2 1 2 2 2         , 64,0 25 16 5 4 2       , 75,0 4 3 2 3 2         , а тому   45;30 5 4 arccos  , тобто   45;30ACB правильна відповідь 2 Б. 3)   ;45 2 2 2 1 242 42 242 251849 2372 5237 cos 222        BACBAC це табличне значення входить у проміжок )60;45[  , правильна відповідь 3 В. 4) Для обчислення суми кутів ВАС+АСВ, скористаємося властивостями нерівностей (нерівності можна почленно додавати, до обох частин нерівності можна додавати одне і те ж число і т.д.):  45BAC ,   45;30ACB , їхня сума лежить у межах   90;75 ACBBAC , цей проміжок входить у проміжок )90;60[  , відповідь 4 Г. Відповідь: 1 Д, 2 Б, 3 В, 4 Г. Приклад 6. У трикутнику АВС градусна міра АВС=45 о , а сторони АВ і ВС дорівнюють 24 см і 1 см, відповідно. Виберіть проміжок, у який потрапляє довжина медіани, проведеної до третьої сторони АС (у см): А Б В Г Д [2; 3) [3; 3,5) [3,5; 4) [4; 4,5) Інша відповідь Розв’язання. Оскільки розв’язання задачі потребує відшукання медіани, проведеної до сторони АС, добуду- ємо трикутник до паралелограма (див. рисунок).
62 Щоб застосувати основний факт для відшукання медіани трикутника із застосуванням властивостей паралелограма (сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін), знайдемо спочатку сторону АС:   25832145cos2412241 222   AC (за теоремою косинусів), звідки АС=5 см. Для паралелограма АВСK:   22222  BCABBKAC , звідки знайдемо діагональ ВK:     41521242 2222222       ACBCABBK , а тоді 41BK (см). Оскільки 62 =36, 72 =49, то  7;641 BK . А тоді )5,3;3[ 2 7 ;341 2 1 2 1        BKBM , а тому відповідь Б. Зауваження 1. Якщо учень знає формулу для обчислення медіани (див. теоретичні відомості до цього розділу), то після відшукання третьої сторони АС трикутника АВС він може підставляти усі значення сторін безпосередньо у готову формулу медіани. Перший спосіб розв’язування цієї задачі вказує на альтернативне розв’язання цієї задачі, воно є достатньо компактним і універсальним, а тому працює і в тому числі, коли відомі медіана і дві сторони, а треба знайти третю сторону трикутника. Зауваження 2. Задачу можна розв’язати, застосувавши тричі теорему косинусів: перший раз у АВС, щоб знайти третю невідому сторону АС. Другий раз – знову у АВС, щоб, маючи три сторони, знайти косинус кута ВАС (застосування теореми синусів у цьому випадку значно гірше, бо потребуватиме відшукання за синусом косинуса, а це неоднозначна дія, оскільки з основної тригонометричної тотожності cos2 A+sin2 A=1 випливає дві можливості для cos A – плюс і мінус, і потрібне додаткове дослідження, чи кут А є гострим, тоді у косинуса знак плюс, чи кут є тупим, тоді знак мінус. Застосування ж теореми косинусів не потребує ніяких додаткових досліджень і дає одразу косинус потрібного кута). І, враховуючи, що косинус кута А порахований, сторона АВ відома, сторона АМ дорівнює половині АС, є можливість розглянути АВМ, записавши третій, останній, раз теорему косинусів для відшукання невідомої сторони цього трикутника ВМ, яка і є медіаною для початкового АВС.
63 Відповідь: Б. Приклад 7. У трикутнику АВС градусна міра АВС=60 о , а сторони АВ і ВС дорівнюють8см і 3 см, відповідно. Обчисліть довжину бісектриси lа, проведеної до сторони ВС (у см), у відповідь запишіть al21 . Розв’язання. Проаналізуємо нашу задачу. 1. За теоремою косинусів обчислимо третю сторону АС трикутника АВС. 2. Бісектриса АL поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні бічним сторонам АВ і АС. Знайдемо відрізки ВL і LС. 3. За теоремою косинусів обчислимо третю сторону АL трикутника АВL. Реалізація: 1. 492464960cos83283 222   AC , а тому АС = 7 см. 2.BL : LC = BA : AC = 8:7BL = 8x, LC = 7x; оскільки BL + LC = BC, то маємо рівняння 8x + 7x = 3, звідки x = 0,2 см, а тому BL = 1,6 см, LC = 1,4 см. 3.   25 2164 25 525164 5 64 1 64 25 64 60cos8 5 8 28 5 8 2 2 2            AL , а то- му довжина бісектриси 216,121 5 8 25 2164   AL см. Вивчаємо уважно умову задачі з метою запису правильної відповіді. У відповідь записуємо al21 , тобто 6,33216,1216,121  . Відповідь: 33,6. Приклад 8. У трикутнику АВС сторони дорівнюють 35 см, 38 см і 60 см. Обчисліть довжину бісектриси, проведеної до середньої за величиною сторони трикутника. Розв’язання. Аналіз. 1. У нас є три сторони, а тому можна (за потреби) порахувати усі кути (тригонометричні функції потрібних кутів). 2. Бісектриса АL поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні
64 бічним сторонам АВ і АС. Знайдемо відрізки ВL і LС. 3. За теоремою косинусів обчислимо третю сторону АL трикутника АВL. Реалізація: 1. BBCABBCABAC cos2222  , а тому BCAB ACBCAB B    2 cos 222 , 38602 353860 cos 222   B , . 80 67 192202 1967 38202 1273 382032 )731200(3 38602 7333600 cos             B 2. BL : LC = BA : AC = 60:35=12:7BL = 12x, LC =7x; BС = 19x, оскільки BL + LC = BC, а тому маємо рівняння 19x = 38, звідки x = 2 см, а тому BL = 24 см, LC = 14 см. 3.  67161006 80 67 41024106 80 67 246022460 2222222       AL , а тому довжина бісектриси 424962 AL см. Зауваження. Якщо учневі знайома формула: LCLBACABAL 2 , то розв’язання починається з другого пункту (рівняння 19x = 38), висновку: BL = 24 см, LC = 14 см. А далі лишається підставити у формулу:   .42732)73(7)34(21712 2255712722127551214243560  AL Відповідь: 42 см. Важливо звертати увагу на раціональність обчислень, уміння спрощувати вирази, це теж є важливим моментом при підготовці до ЗНО. Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 1. (ЗНО, 2016 р.) Якому значенню серед наведених може дорівнювати довжина сторони АС трикутника АВС, якщо АВ=3 см, ВС=10 см? А Б В Г Д 3 см 5 см 7 см 11 см 15 см
65 2. Якого найменшого цілочислового значення може набувати третя сторона трикутника, дві сторони якого дорівнюють 2 і 10 см? А Б В Г Д 8 см 9 см 10 см 11 см 12 см 3. Якого найбільшого цілочислового значення може набувати периметр трикутника, дві сторони якого дорівнюють 7 і 13 см? А Б В Г Д 27 см 30 см 35 см 39 см 40 см 4. Скільки різних цілочислових значень може набувати третя сторона трикутника, дві сторони якого дорівнюють 5 і 11 см? А Б В Г Д 5 7 9 10 11 5. У яких межах лежить третя сторона а трикутника, дві сторони якого дорівнюють 7 і 11 од.? А Б В Г Д )18;4(a ]18;4[a )17;5(a ]17;5[a )11;7(a 6. Периметр трикутника дорівнює 21 од. У яких межах лежить найбільша сторона а цього трикутника? А Б В Г Д )10;8(a ]10;8[a )5,10;7(a ]5,10;7(a )5,10;7[a 7. Периметр трикутника дорівнює 12 од. У яких межах лежить найменша сторона а цього трикутника? А Б В Г Д )6;0(a ]4;1[a ]4;0(a )6;4[a )6;4(a 8. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 17 м, а одна із сторін 5 м. Якого значення може набувати найбільша сторона трикутника? А Б В Г Д 5 м 6 м або 7 м 6 м 7 м 8 м
66 9. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 21 дм, а одна із сторін 9 дм. Якого значення може набувати найменша сторона трикутника? А Б В Г Д 3 дм 5 дм 6 дм 3 дм або 6 дм 9 дм 10. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, а одна із сторін 4 см. Якого значення може набувати найбільша сторона трикутника? А Б В Г Д 4 см 8 см 10 см 10 см або 16 см 16 см 11. Використовуючи дані рисунка, обчисліть середній за значенням кут трикутника АВС. А Б В Г Д 30 о 40 о 50 о 70 о 90 о 12. Використовуючи дані рисунка, обчисліть градусну міру кута х. А Б В Г Д 55 о 85 о 95 о 135 о 140 о 13. Використовуючи дані рисунка, обчисліть градусну міру кута х. А Б В Г Д 35 о 85 о 90 о 95 о 125 о 14. Використовуючи рисунок, обчисліть градусну міру найменшого кута АВС. А Б В Г Д 10 о 30 о 35 о 40 о 110 о 15. Використовуючи дані рисунка, обчисліть значення кута х (у градусах). А Б В Г Д 50 о 57,5 о 50 о або 57,5 о 60 о 65 о
67 16. Один з кутів рівнобедреного трикутника має градусну міру 64 о . Обчисліть градусну міру меншого за величиною кута цього трикутника. А Б В Г Д 52 о 54 о 56 о 58 о 52 о або 58 о 17. Один з кутів прямокутного трикутника у п’ять разів менший за інший кут трикутника. Обчисліть градусну міру середнього за величиною кута цього трикутника. А Б В Г Д 60 о або 75 о 68 о або 72 о 72 о 72 о або 75 о 75 о 18. У АВС градусні міри кутів А і В дорівнюють 20 о і 40 о , відповідно. Обчисліть кут між висотою і бісектрисою, проведеними із вершини С. А Б В Г Д 5 о 10 о 20 о 30 о 40 о 19. У АВС градусні міри кутів А і В дорівнюють 10 о і 110 о , відповідно. Обчисліть кут між висотою і бісектрисою, проведеними із вершини С. А Б В Г Д 10 о 20 о 30 о 40 о 50 о 20. У АВС градусні міри кутів А і В дорівнюють 50 о і 70 о , відповідно. Виберіть твердження, яке виконується для сторін цього трикутника. А Б В Г Д cba  bac  bca  abc  acb  21. У АВС відомо, що градусні міри кутів А і В дорівнюють 45 о і 30 о , відповідно, а дов- жина 23AC см. Обчисліть довжину середньої за величиною сторони АВС. А Б В Г Д 3 м 4 м 33 м 6 м 63 м
68 22. У трикутнику АВС відомо, що градусні міри кутів А і В дорівнюють 45 о і 75 о , відповідно, а довжина сторони 6AB см. Обчисліть довжину найменшої сторони АВС. А Б В Г Д 1 см 2 см 1,5 см 3 см 2 см 23. У трикутнику АВС сторона АВ=5 см, а градусні міри прилеглих кутів дорівнюють 45 о і 105 о . Обчисліть діаметр кола, описаного навколо АВС. А Б В Г Д 10 см 35 см 25 см 5 см 210 см 24. Використовуючи дані рисунка (усм), обчисліть значення невідомої величини х (у см). А Б В Г Д 5,5 см 6 см 7,5 см 8 см 12 см 25. Обчисліть невідому сторону АВС, якщо дві сторони цього трикутника дорівнюють 7 і 15 см, а кут між ними дорівнює 60 о . А Б В Г Д 3105274 см 10 см 2105274 см 13 см 14 см 26. Сторони паралелограма дорівнюють 25 см і 7 см, а кут між ними дорівнює 135 о . Обчисліть більшу діагональ паралелограма. А Б В Г Д 29 см 23599  см 113 см 10 см 13 см 27. Використовуючи дані рисунка у см, обчисліть невідомий елемент (у см). А Б В Г Д 4 см 5 см 5,5 см 6 см 79 см
69 28. Обчисліть сторону АВАВС, якщо АС= 2 см і ВС= 25 см, а градусна міра кута ВАС дорівнює 135 о . А Б В Г Д 6 см 8 см 21052  см 10 см 146 см 29. Обчисліть сторону АС трикутника АВС, якщо АВ=13 см і ВС=15 см, а градусна міра кута АСВ дорівнює 60 о . А Б В Г Д 6 см 7 см 6 см або 7см 7 см або 8 см 8 см 30. Обчисліть градусну міру кута АСВ трикутника АВС, якщо АВ=13 см, АС=1 см, ВС= 37 см. А Б В Г Д 26 315 arccos 26 23 arccos 30 о 120 о 150 о 31. Обчисліть середній за значенням кут трикутника АВС, сторони якого дорівнюють 13, 25 і 17 см. А Б В Г Д 13 12 arccos 26 27 arccos 45 о 135 о          26 27 arccos 32. Обчисліть периметр АВС, якщо АВ=16 см, АС=21 см, а градусна міра кута ВАС дорівнює 60 о . А Б В Г Д 50 см 52 см 54 см 56 см Інша відповідь 33. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють 3 дм і 25 дм, а кут між ними 45 о . А Б В Г Д 7,5 дм2 25,7 дм2 15 дм2 215 дм2 30 дм2
70 34. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють 63 см і 24 см. А Б В Г Д 6 см2 66 см2 18 см2 36 см2 Трикутник не існує 35. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторона дорівнює 18 дм, а висота, проведена до цієї сторони, дорівнює 25 дм. А Б В Г Д 65 дм2 15 дм2 215 дм2 30 дм2 Інша відповідь 36. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза 37 м, а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 32 м. А Б В Г Д 21 м2 314 м2 614 м2 42 м2 Трикутник не існує 37. Якого найбільшого значення може набувати площа прямокутного трикутника, гіпотенуза якого 9 см? А Б В Г Д 10,125 см2 18 см2 20,5 см2 20,25 см2 40,5 см2 38. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза 9 см, а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 34 см. А Б В Г Д 313 см2 349  см2 318 см2 336 см2 Трикутник не існує 39. Якого найбільшого значення може набувати площа трикутника, дві сторони якого дорівнюють 7 і 13 дм? А Б В Г Д 6 дм2 20 дм2 22,75 дм2 45,5 дм2 91 дм2 40. Знайдіть площу АВС, якщо його сторони дорівнюють 6, 25 і 29 см. А Б В Г Д 512 см2 30 см2 320 см2 245 см2 60 см2
71 41. Знайдіть площу АВС, якщо його периметр дорівнює 64 см, а радіус вписаного кола – 3¾ см. А Б В Г Д 60 см2 90 см2 120 см2 240 см2 Інша відповідь 42. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник АВС, якщо його сторони дорівнюють 11, 13 і 20 см. А Б В Г Д 3 см 4 см 5 см 6 см 6,5 см 43. Знайдіть площу круга, вписаного у трикутник АВС, якщо його сторони дорівнюють 10, 17 і 21 см. А Б В Г Д 3,5π см2 7π см2 10,5π см2 12,25π см2 12,5π см2 44. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, якщо його сторони дорівнюють 4, 13 і 15 см. А Б В Г Д 1,5 см 3 см 4,5 см 6 см 8,125 см 45. Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника дорівнюють 61 і 60 дм, відповідно. Знайдіть радіус кола, вписаного у цей трикутник. А Б В Г Д 4 дм 5 дм 10 дм 11 дм 30,5 дм 46. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 і 24 м. Знайдіть радіус кола, описаного навколо цього трикутника. А Б В Г Д 3 м 12 м 15,5 м 12,5 м 31 м 47. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 6 см, а висота, проведена до основи – 4 см. Обчисліть радіус кола, описаного навколо трикутника. А Б В Г Д 1,5 см 2 см 3,125 см 3,5 см 6,25 см
72 48. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 16 дм, а висота, проведена до основи – 15 дм. Обчисліть радіус кола, вписаного у трикутник. А Б В Г Д 2,4 дм 4,8 дм 6 дм 9,6 дм 9,6(3) дм 49. У рівносторонньому трикутнику сторона основи дорівнює 33 см. Обчисліть радіус кола, вписаного у трикутник. А Б В Г Д 1,5 см 3 см 2 см 3 см 33 см 50. У рівносторонньому трикутнику сторона основи дорівнює 6 дм. Обчисліть радіус кола, описаного навколо трикутника. А Б В Г Д 3 дм 2 дм 2,5 дм 3 дм 32 дм 51. У прямокутному трикутнику катети 12 і 10 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до меншого катета. А Б В Г Д 6,5 см 61 см 342 см 13 см 612 см 52. У прямокутному трикутнику катети 20 і 21 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до гіпотенузи. А Б В Г Д 6 см 14,5 см 20,5 см 541см 29 см 53. У прямокутному АВС точки K i L – середини катетів, довжина відрізка KL=13 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до гіпотенузи. А Б В Г Д 6,5 см 9 см 13 см 26 см Визначити неможливо 54. Медіана АМ поділяє трикутник АВС на два трикутники AВМ і AСМ, площа першого з них дорівнює 7 см2 . Обчисліть площу трикутника АВС. А Б В Г Д 7 см2 10,5 см2 14 см2 21 см2 Інша відповідь
73 55. У рівнобедреному трикутнику бічна сторона дорівнює 37 см, а основа – 24 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до основи. А Б В Г Д 12 см 13 см 18,5 см 24 см 35 см 56. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 7 см, 9 см і 14 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до найбільшої сторони. А Б В Г Д 4 см 5 см 8 см 0,5 409 см 0,5 505см 57. На рисунку AL – бісектриса трикутника АВС. Використовуючи дані рисунка у см, обчисліть невідому сторону х (у см). А Б В Г Д 4,8 см 5 см 6 см 7 см 7,5 см 58. У трикутнику АВС бісектриса AL поділяє сторону ВС на відрізки завдовжки 7 і 3 дм, а периметр АВС дорівнює 25 дм. Обчисліть найбільшу сторону трикутника АВС. А Б В Г Д 4,5 дм 10 дм 10,5 дм 11 дм 15 дм 59. У трикутнику АВС бісектриса AL поділяє сторону ВС на відрізки завдовжки 10,2 і 4,8 см, а периметр трикутника АВС дорівнює 40 см. Установіть вид трикутника АВС. А Б В Г Д Гострокутний різносторонній Гострокутний рівнобедрений Прямокутний Тупокутний Визначити неможливо
74 60. Бісектриса AL поділяє трикутник АВС на два трикутники AВL і AСL, площі яких дорівнюють 16 і 9 см2 , відповідно. Чому дорівнює відношення бічних сторін АВ:АС? А Б В Г Д 4:3 16:9 256:81 2 : 3 Визначити неможливо 61. У трикутнику АВС сторони дорівнюють 6 см, 7 см і 8 см. Обчисліть довжину бісектриси, проведеної до середньої за величиною сторони трикутника. А Б В Г Д 5,25 см 5,5 см 6 см 7 см 7,5 см 62.Точки M, N і K є серединами сторін АВ, ВС і АСАВС, відповідно(див. рисунок). Виберіть продовження речення, так щоб утворилася правильна рівність: вектор MN А Б В Г Д CK AC2 CA 2 1  ABCB  2 1  BCAB  2 1 63.Точки K, M вибрано на сторонах АВ і ВС АВС так, що ВKM=ACB (див. рисунок). Довжини ВМ=4 см, KМ=5 см, АС=6 см. Обчисліть довжину сторони АВ. А Б В Г Д (45)/6 см 4,8 см 5 см 7,5 см 9 см 64. Сторони трикутника відносяться, як 4:5:6. Обчисліть більшу сторону подібного йому трикутника, середня сторона якого дорівнює 8 см. А Б В Г Д 3 26 см 9 см 9,6 см 10 см 12 см
75 65.Через точку перетину медіан трикутника АВС проведено пряму а||AC, яка перетинає сторони АВ і ВС у точках K і M, відповідно. Обчисліть довжину сторони АС трикутника АВС, якщо довжина відрізка KМ=6 см. А Б В Г Д 4 см 6 см 7,5 см 9 см 12 см 66.Точки M і N вибрано на сторонах АВ і ВС трикутника АВС (див. рисунок) так, що ВMN=BAC. Обчисліть довжину сторони АC, якщо довжини ВМ=4 см, AМ=1 см, MN=6 см. А Б В Г Д (45)/6 см 4,8 см 7,5 см 12 см 24 см 67.Пряма l проведена паралельно до сторони ВС АВС так, що перетинає сторони АВ і AC у точках D і F, відповідно(див. рисунок). Обчисліть площуАВС, якщо площа АDF дорівнює 6 м2 , а довжини AD=2 м, DB=3 м. А Б В Г Д 4 м2 9 м2 13,5 м2 15 м2 37,5 м2 68. Точки K і N вибрано на сторонах АВ і ВС трикутника АВС так, що ВNK=BCA(див. рисунок). На скільки відсотків сторона BK менша за сторону AB, якщо площаВKN дорівнює 8 м2 , а площа чотирикутника АKNC дорівнює 10 м2 ? А Б В Г Д 25 % 33,(3) % 40 % 50 % 80 %
76 69. У прямокутному АВС проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 1 см і 15 см (див. рисунок). Чому дорівнює довжина меншого катета? А Б В Г Д 15 – 1 см 3 см 14 см 15 см 4 см 70. У прямокутному АВСС=90о , один з катетів дорівнює 3 см, а проекція іншого катета на гіпотенузу – 8 см. Чому дорівнює проекція першого катета на гіпотенузу? А Б В Г Д 3/8 см 1 см 1,5 см 2 см 8/3 см 71. У прямокутному АВС проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 3дм і 12дм (див. рисунок). Чому дорівнює довжина висоти, проведеної до гіпотенузи? А Б В Г Д 2 дм 3 дм 4 дм 6 дм 3 12 дм 72. У прямокутному АВС проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 1 см і 9 см (див. рисунок). Чому дорівнює площа прямокутного трикутника? А Б В Г Д 30 см2 15 см2 10 см2 9 см2 4,5 см2 73. У прямокутному АВС на катетах, як на сторонах, побудували квадрати. На скільки см2 площа одного квадрата більша за площу іншого квадрата, якщо проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 3 см і 7 см? А Б В Г Д 40 см2 16 см2 4 см2 70 – 30 см2 7 – 3 см2
77 74. У прямокутний АВС вписано коло (див. рис.). Точка дотику кола до гіпотенузи поділила її на відрізки 3 і 10 см. Обчисліть периметр АВС (у дм). А Б В Г Д 2,7 дм 2,8 дм 3 дм 3,2 дм 3,5 дм 75. У рівнобедрений трикутник АВС (АВ=ВС) вписано коло, точки дотику кола до сторін трикутника K, L, M(див. рисунок). Використовуючи дані рисунка (у см), обчисліть периметр АВС (у см). А Б В Г Д 10 см 14 см 15 см 16 см Інша відповідь 76. Кожну сторону трикутника збільшили на 10 %. На скільки відсотків збільшиться площа круга, обмеженого вписаним у даний трикутник колом? А Б В Г Д 10 % 10 % 20 % 21 % 100 % 77. У прямокутному АВСС=90о , а проекції катетів на гіпотенузу 9 і 16 см(див. рисунок). До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1. Довжина висоти СН дорівнює 2. Радіус кола, вписаного у АВС дорівнює 3. Довжина медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює 4. Відстань між основами висоти і медіани, проведеними до гіпотенузи, дорівнює А 3,5 см Б 5 см В 12см Г 12,5 см Д 15 см
78 78. Точки M, N і K лежать на сторонах АВ, ВС і АС трикутника АВС, відповідно, причому АМ=АK=MB=5 см, BN=NC=KC=4 м. Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) KN – 2) ВK – 3) СМ – 4) MN – А середня лінія АВС Б медіана АВС В бісектриса АВС Г паралельна до АВ Д має з АВ спільну точку, яка є зовнішньою по відношенню до відрізка АВ 79. Точки M,N і K є серединами сторін АВ, ВС і АС АВС, відповідно.Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилася правильна рівність. 1) вектор AN 2) вектор BO 3) вектор OM 4) вектор MN А  BCAC  6 1 Б  ACAB  2 1 В  BCAB  2 1 Г  BCAC  6 1 Д  BCBA  3 1 80. Дано довільний АВС. Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) центр вписаного кола – це 2) центр описаного кола – це 3) ортоцентр трикутника – це 4) поділяє кожен відрізок всередині трикутника у відношенні 2:1, почи- наючи від вершини, А точка перетину серединних перпендикулярів Б точка перетину медіан В точка перетину висот Г точка перетину бісектрис Д точка Торрічеллі–Ферма
79 81. Використовуючи схему міс- цевості, на якій зображено будинок (дім), у якому мешкає родина із 4-х осіб, дитячий садок, магазин, місце роботи батьків (офіс) і школу, та указані відстані від дому до дитячого садка – 600 м, від дому до школи – 1 км та від офісу до школи – 200 м, обчисліть та установіть відпо- відності між маршрутом (1–4) у лівому стовпці та відстанями (А–Д) у правому стовпці Маршрут пересування 1. Офіс – Школа – Магазин – Дім 2. Школа – Офіс – Магазин – Дім 3. Школа – Магазин – Дитсадок – Дім 4. Дім – Магазин – Дитсадок – Дім Відстань А 1100 м Б 1200 м В 1300 м Г 1500 м Д 1800 м 82. Обчисліть сторону АВ трикутника АВС (у см), якщо АС=24 см і ВС=31 см, а градусна міра кута ВАС дорівнює 120 о . 83. Обчисліть середній за величиною кут трикутника АВС, сторони якого дорівнюють 40, 7 і 37 см. 84. Обчисліть найбільший за величиною кут трикутника АВС, сторони якого дорівнюють 13, 7 і 8 см. 85. У трикутнику АВС довжини сторін ВС=19 см, АС=16 см, а градусна міра ВАС=120 о . Обчисліть довжину сторони АВ (у см). 86. Сторони АВС відносяться, як 3:5:7, а його периметр дорівнює 30 см. 1) Обчисліть довжину середньої за величиною сторони трикутника (у дм). 2) Обчисліть градусну міру найбільшого кута трикутника.
80 87. Сторони АВС дорівнюють 35 і 2 см, а кут між ними дорівнює 30 о . 1) Обчисліть довжину третьої сторони трикутника (у см). 2) Обчисліть довжину радіуса описаного навколо трикутника кола (у см). 88. У трикутнику АВС довжини сторін 7, 15 і 20 см. 1) Обчисліть площу (у см2 ), трикутника АВС. 2) Обчисліть радіус кола (у см), вписаного у трикутник АВС. 89. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 7 см, 11 см і 12 см. Обчисліть довжину медіани (у см), проведеної до найбільшої сторони. 90. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 8 см, 15 см і 19 см. Обчисліть довжину медіани (у см), проведеної до середньої сторони. 91. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 9 см, 19 см і 20 см. Обчисліть довжину медіани (у см), проведеної до найбільшої сторони. 92. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 11 см, 15 см і 16 см. 1) Обчисліть довжину медіани (у см), проведеної до найменшої сторони. 2) Обчисліть суму довжин медіан (у см), проведеної до двох менших сторін трикутника. 93. У трикутнику АВС сторони дорівнюють 20 дм, 39 дм і 45 дм. Обчисліть довжину бісектриси (у дм), проведеної до середньої за величиною сторони трикутника. 94. У трикутнику АВС сторони дорівнюють 24 м, 37 м і 50 м. Обчисліть довжину бісектриси (у м), проведеної до середньої за величиною сторони трикутника. 95. У прямокутний АВС вписали коло. Точка дотику кола до гіпотенузи поділила її на відрізки 4 см і 6 см. 1) Обчисліть радіус кола, вписаного у трикутник АВС (у см). 2) Обчисліть відношення площі круга, обмеженого описаним навколо трикутника колом, до площі круга, обмеженого вписаним у АВС колом.
81 Відповіді до завдань для самостійної роботи (Розділ ІІІ) 1. Г; 2 Б; 3. Г; 4. В; 5. А; 6. Д; 7. В; 8. Б; 9. Г; 10. В; 11.В; 12.Б; 13.В; 14.Б; 15.А; 16. Д; 17. Г; 18.Б; 19. Д; 20. В; 21.Г; 22.Д; 23.А; 24.В; 25.Г; 26. Д; 27.Б; 28.А; 29. Г; 30. Д; 31.В; 32.Г; 33.А; 34.В; 35.Б; 36.А; 37.Г; 38. Д; 39. Г; 40. Д; 41.В; 42.А; 43.Г; 44.Д; 45.Б; 46.Г; 47.В; 48.Б; 49. А; 50. Д; 51.Г; 52.Б; 53.В; 54.В; 55.Д; 56.А; 57.А; 58.В; 59. В; 60. Б; 61.В; 62.Д; 63.Б; 64.В; 65.Г; 66.В; 67.Д; 68.Г; 69. Д; 70. Б; 71.Г; 72.Б; 73.А; 74.В; 75.Б; 76.Г; 77.1В; 77.2Б; 77.3Г; 77. 4А; 78. 1Д 78.2В; 78.3Б; 78. 4А; 79. 1Б; 79. 2Д; 79. 3А; 79. 4В; 80. 1Г; 80. 2А; 80. 3В; 80. 4Б; 81. 1Б; 81. 2А; 81. 3В; 81. 4Д; 82. 11 см; 83. 60 о ; 84. 120 о ; 85. 5 см; 86.1) 1 дм; 86.2) 120 о ; 87. 1) 7 см; 87.2) 7 см; 88.1) 42см2 ; 88.2) 2см; 89. 7 см; 90. 12,5 см; 91. 11 см; 92.1) 14,5 см; 92.2) 26 см; 93. 24 дм; 94. 30 м; 95.1) 2 см; 95.2) 25:4 або 6,25:1.
82 Розділ ІV Чотирикутники У цьому розділі з учнями повторюємо чотирикутники та їхні елементи; паралелограм та його властивості, ознаки паралелограма; прямокутник, ромб, квадрат, трапецію та їхні властивості, середню лінію трапеції; вписані та описані навколо кола чотирикутники. Теоретичні відомості Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що їх послідовно сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, – сторонами чотирикутника. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Вершини, що не є сусідніми,називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. Периметр чотирикутника – сума довжин усіх його сторін. Кожна сторона чотирикутника менша від суми трьох інших сторін. Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону. На рисунку вище зліва ABCD – опуклий чотирикутник; AC, BD – його діагоналі. На рисунку справа KLMN – неопуклий чотирикутник; KM, LN – його діагоналі.
83 Сума внутрішніх кутів чотирикутника дорівнює 360 o . Сума зовнішніх кутів чотирикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360 o . Площа будь-якого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними:  21214 ;sin 2 1 ddddS kutn  . Навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли суми градусних мір протилежних кутів дорівнюють 180 o : DAB+DCB=180 o , ABC+ADC=180 o . Достатньо виконання однієї рівності, друга при цьому виконується автоматично. Має місце теорема Птолемея: добуток діагоналей вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі добутків протилежних сторін: ac+ bd = ef. У чотирикутник можна вписати коло, тоді і тільки тоді, коли суми протилежних сторін рівні: a+c= b+d. Ці твердження стосуються усіх без винятку чотирикутників, у тому числі трапецій, паралелограмів, дельтоїдів та інших чотирикутників. Паралелограм Паралелограм – це чотири- кутник, у якого протилежні сторони паралельні. На рисунку ABCD – паралелограм. ВЛАСТИВОСТІ ПАРАЛЕЛОГРАМА – У паралелограма протилежні сторони рівні: AB = CD, BC = AD. – У паралелограма протилежні кути рівні: A=C, B=D. – У паралелограмі сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює180 o .
84 – Діагоналі паралелограма перетинаються й у точці перетину діляться навпіл. – Діагональ паралелограма поділяє його на два рівні трикутники: – Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників. – Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл: ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛОГРАМА – Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо у опуклому чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо у чотирикутнику протилежні кути рівні, то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо у чотирикутнику кути, що є прилеглими до кожної із сторін, у сумі дорівнюють 180 o , то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на два рівні трикутники, то цей чотирикутник є паралелограмом. КУТ МІЖ ВИСОТАМИ ПАРАЛЕЛОГРАМА Висота паралелограма– це відрізок, перпендикулярний до протилежної сторони паралелограма з кінцями на цих протилежних сторонах. На рисунку haіhb – висоти паралелограма.
85 Найчастіше висоти опускають із вершин паралелограма. Із кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Кут між ними дорівнюватиме куту паралелограма при сусідній вершині. На рисунку зліва зображений кут між висотами паралелограма, проведеними із тупого кута, на рисунку справа – між висотами, проведеними з гострого кута: ВЛАСТИВОСТІ БІСЕКТРИС КУТІВ ПАРАЛЕЛОГРАМА – Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні. – Бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або збігаються (якщо паралелограм – ромб). – Бісектриса кута паралелограма відтинає від нього рівнобедрений трикутник. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У ПАРАЛЕЛОГРАМІ Периметр паралелограма  baP  2 , висоти паралелограма sinbha  , sinahb  , площа паралелограма  2121 ;sin 2 1 ddddS  , sinabS  , aahS  , bbhS  , 22222 2 2 1 babadd  – сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін, де a і b – сторони паралелограма,  – кут між сторонами, 21,dd – діагоналі, ha, hb – висоти, опущені на сторониa і b, відповідно. Прямокутник
86 Прямокутник – це паралелограм, у якого всі кути прямі. ВЛАСТИВОСТІ ПРЯМОКУТНИКА Оскільки прямокутник є паралелограмом, він володіє усіма властивостями паралелограма та має ще деякі інші властивості, зокрема: у прямокутнику діагоналі рівні. ОЗНАКИ ПРЯМОКУТНИКА – Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він є прямокутником. – Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником. – Якщо в паралелограмі є прямий кут, то паралелограм є прямокутником. – Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У ПРЯМОКУТНИКУ Периметр прямокутника  baP  2 , висоти прямокутника співпадають зі сторонами, площа прямокутника  21 2 ;sin 2 1 dddS  , abS  , діагональ 22 bad  , радіус описаного кола 22 2 1 2 1 badR  , де a і b – сторони прямокутника. Ромб Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. ВЛАСТИВОСТІ РОМБА Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і деякі інші. – Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. – Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. – Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники. – Висоти ромба рівні.
87 – Радіус вписаного у ромб кола дорівнює половині висоти ромба. ОЗНАКИ РОМБА – Якщо в (плоскому) чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом. – Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом. – Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом. – Якщо в паралелограмі діагональ є бісектрисою кута, то паралелограм є ромбом. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У РОМБІ Периметр ромба aP 4 , висоти ромба sinah  (рівні), площа ромба 21 2 1 ddS  , sin2 aS  , сторони і діагоналі пов’язані теоремою косинусів та теоремою Піфагора: , 2 sin21 ad  2 cos22 ad  , 22 2 2 1 4add  , радіус вписаного кола sin 2 1 2 1 ahr  , де a – сторона ромба,  – кут між сторонами. Увага: радіус вписаного в ромб кола – це висота прямокутного трикутника, яка проведена з вершини прямого кута, вона має всі властивості висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи. Квадрат Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні. ВЛАСТИВОСТІ КВАДРАТА Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, то: – у квадрата всі сторони рівні; – у квадрата всі кути рівні; – діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів; – діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники. ОЗНАКИ КВАДРАТА – Якщо у чотирикутнику всі сторони і всі кути рівні, то він є квадратом.
88 – Якщо діагоналі прямокутника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом. – Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У КВАДРАТІ Периметр квадрата aP 4 , висоти квадрата співпадають зі сторонами, площа квадрата: 2 2 1 dS  , 2 aS  , діагональ квадрата: 2ad  , радіус вписаного кола: ahr 2 1 2 1  , радіус описаного кола: adR 2 2 2 1  , де a – сторона, d – діагональ квадрата. Трапеція Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці сторони називаються основами трапеції, а дві інші – бічними сторонами. На рисунку AD i BC – основи, AB i CD – бічні сторони. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною (див. рисунок вище по центру). Якщо одна з бічних сторін трапеції перпендикулярна до основ, трапеція називається прямокутною (рисунок вище справа). – Кути трапеції, які прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють 180 o . – Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції. – Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їхній півсумі. Акцентуємо увагу:
89 1. Середня лінія KM не проходить через точку O перетину діагоналей трапеції (див. рисунок вище зліва). 2. Трикутники BOC і DOA подібні, коефіцієнт подібності дорівнює відношенню основ трапеції. Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей. Усі висоти трапеції рівні між собою. ВЛАСТИВОСТІ РІВНОБІЧНОЇ ТРАПЕЦІЇ – У рівнобічній трапеції кути при основах рівні. – У рівнобічній трапеції діагоналі рівні. – У рівнобічній трапеції діагоналі утворюють з основою рівні кути. – У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись, утворюють два рівнобедрені трикутники, основами яких є основи трапеції. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У ТРАПЕЦІЇ Периметр трапеції дорівнює сумі довжин усіх чотирьох сторін трапеції, площа трапеції  2121 ;sin 2 1 ddddS  , hbaS  )( 2 1 , hmS  , де )( 2 1 bam  – середня лінія трапеції. Якщо суми протилежних сторін трапеції рівні, то у трапецію можна вписати коло, радіус вписаного кола дорівнює половині висоти трапеції hr 2 1  . Якщо трапеція рівнобічна, то навколо неї можна описати коло. Щоб знайти радіус описаного навколо рівнобічної трапеції кола, виокремлюють три
90 із чотирьох вершин трапеції і шукають радіус кола, описаного навколо вибраного трикутника (за теоремою синусів чи використовуючи метод площ). Для відшукання діагоналі трапеції її заключають у який-небудь трикутник, після чого використовують теорему синусів або теорему косинусів. ДОДАТКОВІ ПОБУДОВИ, ЩО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЗАДАЧ НА ТРАПЕЦІЮ Якщо трапеція рівнобічна, то проводять дві висоти CN і BK, чотирикутник KBCN, який відтинається,є прямокутником, тоді довжини відрізків AK=DN=½(AD – BC) (див. рисунок зліва). Якщо трапеція не є рівнобічною, то відтинання прямокутника є менш ефективне (бо тоді трикутники ABK і DCN не є рівними), а тому відтинається паралелограм (рисунок посередині) DCBM, DM=BC, CD=BM, лишається трикутник ABM, у якому дві сторони АВ і ВМ дорівнюють бічним сторонам трапеції АВ і CD, а одна є різницею двох основ: АМ=AD–DM=AD–BC=a–b. Якщо в умові задачі на трапецію фігурують основи і діагоналі, то виконання паралельного перенесення однієї з діагоналей, наприклад АС, на вектор СВ, забезпечує роботу з трикутником DBN, у якому дві сторони DB і BN(BN=AC) – відомі діагоналі, а третя сторона є сумою основ: DN=DA+AN, DN=DA+BC=a+b (рисунок справа). Приклади розв’язання задач Приклад 1. Чи існує трапеція, основи якої дорівнюють 4 і 7 см, а бічні сторони 2 і 5 см? Розв’язання. Виконаємо рисунок. Чотирикутник зі сторонами 7, 5, 4 і 2 см існує,
91 оскільки найбільша сторона менша за суму інших. Проте, це не гарантує, що існує трапеція з такими сторонами. Виконаємо паралельне перенесення відрізка АВ на вектор ВС, отримаємо образ точки А – точку K. Чотирикутник АВСK – паралелограм. Тоді має існувати трикутник CKD, сторони якого 2, 5 і 3 (3=7–4) см, що неможливо. Відповідь: трапеції з такими сторонами не існує. Приклад 2. У трапецію, основи якої дорівнюють 12 і 16 см, а одна з бічних сторін 15 см, вписано коло. 1) Обчисліть радіус вписаного кола. 2) Обчисліть площу трапеції. Розв’язання. Аналіз. 1. Знайдемо висоту трапеції. 2. Знаючи висоту, отримаємо відповідь і на перше, і на друге питання задачі. Оскільки у трапецію вписано коло, то суми протилежних сторін рівні, а тому 12+16=15+х, звідки х=13. Відтинаємо від трапеції паралелограм зі сторонами 12 і 15 см, лишається трикутник зі сторонами 4, 13 і 15 см. Для відшукання висоти трикутника використаємо метод площ. За формулою Герона знайдемо площу: 16)41513( 2 1 p см, 24123116)416()1316()1516(16 S см2 , тоді висота 12 4 2422    AM S BHh см. А тоді 6 2 12 2  hr см,   168121612 2 1 trapetsS см2 . Відповідь: 6 см; 168 см2 .
92 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 1. Відомо, що периметр прямокутника дорівнює 34 см. Використовуючи співвідношення для сусідніх сторін (див. рисунок), обчисліть площу прямокутника. А Б В Г Д 4 см2 10 см2 24см2 44 см2 66 см2 2. Обчисліть периметр паралелограма, за даними рисунка. А Б В Г Д 19 см 22 см 28 см 32 см 36 см 3. У паралелограмі АО=х, ОС=3х–20 (див. рис.). Обчисліть довжину діагоналі АС. А Б В Г Д 2 5 10 20 40 4. У трапеції ABCDА=45o проведено пряму ВМ || CDABM=60o (див. рис.). Обчисліть градусну міру АDС. А Б В Г Д 45o 60o 75o 85o 105o 5. На рисунку зображено ромб, діагональ якого АС=20 см. Якою має бути довжина ВО, щоб ромб АВСD був квадратом? А Б В Г Д 5 см 10 см 210 см 20 см Інша відповідь
93 6. Використовуючи дані рисунка, обчисліть відношення більшого кута ромба до меншого. А Б В Г Д 2:1 3:1 3:2 4:1 5:1 7. У рівнобічну трапецію з бічною стороною 4,5 дм можна вписати коло. Чому дорівнює периметр цієї трапеції? А Б В Г Д 9дм 13,5дм 15дм 18 дм 20дм 8. Два кути трапеції дорівнюють 130о і 70о . Якими є два інші кути цієї трапеції? А Б В Г Д 100о і 60о 110о і 50о 120о і 40о 130о і 70о Інша відповідь 9. Одна із основ трапеції 18 см, а середня лінія – 20 см. Чому дорівнює друга основа трапеції? А Б В Г Д 2см 19см 22см 26 см 38см 10. Основи трапеції відносяться, як 3:5, а середня лінія дорівнює 16 см. Чому дорівнюють основи трапеції? А Б В Г Д 3 і 5см 6 і 10 см 9 і 15 см 12 і 20 см 14 і 18 см 11. Точки K,L,M,N є серединами сторін ромба ABCD з діагоналями 10 і 6 см. Чому дорівнює площа чотирикутника KLMN? А Б В Г Д 15 см2 20 см2 30 см2 45 см2 60 см2 12. Периметри двох квадратів відносяться як 9:16. Як відносяться їхні площі? А Б В Г Д 2:3 3:4 9:16 37:64 81:256
94 13. У квадрат вписано коло, довжина якого 8π м. Знайдіть периметр квадрата. А Б В Г Д 8 м 16 м 24 м 32 м 40 м 14. Висота рівнобічної трапеції ділить більшу основу на відрізки 5 см та 35 см. Чому дорівнює середня лінія трапеції? А Б В Г Д 20 см 25см 30 см 35 см 40 см 15. Діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів, а її основи дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює периметр трапеції? А Б В Г Д 25 см 27,5 см 30 см 35 см Недостатньо даних для розв’язання 16. Обчисліть площу квадрата, навколо якого описано коло, рівняння якого в прямокутній системі координат 4 1 622  yxyx . А Б В Г Д 9π 18π 25π 36π Інша відповідь 17. У ромб, який ділиться своєю діагоналлю на два рівносторонні трикутники зі стороною 36 дм, вписане коло. Знайдіть радіус цього кола. А Б В Г Д 4,5 дм 33 дм 6 дм 9дм Інша відповідь 18. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 100 . Чому дорівнює тупий кут паралелограма? А Б В Г Д 80о 100о 150о 170о Інша відповідь 19. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону у відношенні 4:1, починаючи від найближчої до цього кута вершини. Знайдіть більшу сторону прямокутника, якщо його периметр дорівнює 36 см. А Б В Г Д 7,2 см 10 см 14,4 см 20 см Інша відповідь
95 20. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 300 . Обчисліть площу паралелограма, якщо довжини висот 4 см і 10 см. А Б В Г Д 20 см2 40 см2 80 см2 120 см2 160 см2 21. У трапецію, одна основа якої дорівнює 8, з бічними сторонами 9 і 11, вписано коло. Обчисліть площу круга, який обмежує вписане коло. А Б В Г Д 9π 12π 18π 36π Інша відповідь 22. Продовження бічних сторін АВ і СD трапеції ABCD(менша основа якої ВС), перетинаються у точці О, причому АВ:АО=3:7. Обчисліть меншу основу трапеції, якщо вона на 6 см менша за більшу основу. А Б В Г Д 6 см 8 см 10,5 см 14 см Інша відповідь 23. Більша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює 10 см, а основи трапеції – 5 і 11 см. Обчисліть площу трапеції. А Б В Г Д 26 см2 32 см2 34 см2 64 см2 80 см2 24. У ромбі діагоналі АС і ВD перетинаються у точці О, причому АС=16 см, BD=30 см. Установіть відповідність між лівим стовпцем (1–4) і правим (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження 1) Периметр АВD дорівнює 2) Периметр АОВ дорівнює 3) Периметр АВC дорівнює 4)Периметр ромба ABCDдорівнює А 40 см Б 50 см В 56 см Г 64 см Д 68 см
96 25. Є плоска конструкція, яка складається із двох склеєних по катету ВDпрямокутних трикутників, розміри указані на рисунку: АВ=15, АD=17, DС=6. Установіть відпо- відність між лівим стовпцем (1–4) і правим (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) Периметр АВD дорівнює 2) Периметр BCD дорівнює 3) Периметр АВCD дорівнює 4)ПлощаABCDдорівнює А 24 Б 38 В 40 Г 48 Д 84 26. Менша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює 12 см, а гострий кут трапеції – arctg (2,4). Знайдіть площу трапеції, якщо в неї можна вписати коло. Відповіді до завдань для самостійної роботи 1. Д 2. В 3. Г 4. В 5. Б 6. А 7. Г 8. Б 9. В 10. Г 11. А 12. Д 13. Г 14. Г 15. А 16. Б 17. А 18. Г 19. Б 20. В 21. В 22. Б 23. Г 24. 1Г 24. 2А 24. 3Б 24. 4Д 25. 1В 25. 2А 25. 3Г 25. 4Д 26. 150 см2
97 Список використаних джерел 1. Програма зовнішнього незалежного оцінювання з математики // Наказ Міністерства освіти і науки України від 03 лютого 2016 р. №77. 2 .Захарійченко Ю.О. Повний курс математики в тестах. Різнорівневі завдання : у 2 ч. / Ю.О.Захарійченко, О.В. Школьний, Л.І. Захарійченко, О.В. Школьна. – [6-те вид., випр.]. – Х.: Вид-во «Ранок», 2017. – 496 с. 3. Захарійченко Ю.О. Твій репетитор. Математика : [навчальний посібник для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання] / Ю.О. Захарійченко, О.В. Школьний. – К.:Генеза, 2013. – 264 с. 4. Гальперіна А.Р. Математика. Збірник типових текстових завдань / А.Р. Гальперіна, Ю.О. Захарійченко, О.В. Школьний. – Х.: Веста, 2012. – 216 с. 5. Школьний О.В. Система підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання якості знань із математики / О.В. Школьний // Математика в рідній школі. – 2015. – № 1-2. – С. 2-9.
98 ДЛЯ НОТАТОК
99 ДЛЯ НОТАТОК
100 Ізюмченко Л.В., Ткаченко Л.А. Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія) Підписано до друку 10.10.2017 р. Формат 60х84 1/16. Папір офсетний. Гарнітура Times New Roman. Друк – принтер. Тираж 100 прим. Зам. № 278 КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», вул. Велика Перспективна, 39/63, Кропивницький, 25006 Віддруковано в лабораторії інформаційно-методичного забезпечення освітнього процесу КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», вул. Велика Перспективна 39/63, Кропивницький, 25006

More Related Content

PDF
опорні факти геометрія 9 клас
byOksana_Babenko
 
PPT
Чотирикутники та їх властивості
byFormula.co.ua
 
PPT
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
byЛюдмила Кирилюк
 
PPT
12995 презентація до уроку перерізи
byjasperwtf
 
PPT
Геометрія (8 клас)
byFormula.co.ua
 
PPT
розвязування трикутників 9 клас
byОльга Костенко
 
DOCX
Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"
byСергей Чабан
 
PPT
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
byІнститут післядипломної педагогічної освіти КУБГ
 
опорні факти геометрія 9 клас
byOksana_Babenko
 
Чотирикутники та їх властивості
byFormula.co.ua
 
Властивість точки, рівновіддаленої від усіх сторін многокутника
byЛюдмила Кирилюк
 
12995 презентація до уроку перерізи
byjasperwtf
 
Геометрія (8 клас)
byFormula.co.ua
 
розвязування трикутників 9 клас
byОльга Костенко
 
Приклади розв'язування задач по темі "Початкові відомості зі стереометрії"
byСергей Чабан
 
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
byІнститут післядипломної педагогічної освіти КУБГ
 

What's hot

PDF
Сборник задач Геометрия 9 класс Мерзляк А.Г.
byoleg379
 
DOC
18361 збірник контрольних робіт 6 клас
byАлександр Гергардт
 
PPT
Презентація:Многокутник та його елементи. Опуклі та неопуклі многокутники.
bysveta7940
 
DOCX
Алгебра 7 клас. Збірник завдань для самостійних та контрольних робіт
byСергій Ільчишин
 
DOC
діагностична контрольна робота з геометрії для 8 класу
byГергель Ольга
 
PPTX
8 клас раціональні дроби.
byAlexandra Gartfil
 
PPTX
презентація теорема синусів і конусів.pptx
byssuser908bb6
 
PPT
Вектори у просторі
byЛюдмила Кирилюк
 
PPTX
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
bykurchenkogalina
 
DOC
8771 малюнки за координатами
byurvlan
 
PPT
тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені
byГергель Ольга
 
PPTX
подібність трикутників
byВова Попович
 
PPT
Коло. круг. Дотична до кола, її властивості, 7 клас
byNataliya Shulgan
 
DOC
діагностична контрольна робота з геометрії для9 класу
byГергель Ольга
 
PDF
Підготовка до ЗНО (стереометрія)
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOC
діагностична контрольна робота для 6 класу
byГергель Ольга
 
PPSX
Урок-подорож Множення звичайних дробів. 6 клас
bykoblevoschool1
 
PPT
Презентація:Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками
bysveta7940
 
DOC
Тема 4 Загальні методи доведення нерівностей (9 год)
byValyu66
 
PPTX
Портфоліо вчителя математики Андрюк Н.М.
byssuser286e20
 
Сборник задач Геометрия 9 класс Мерзляк А.Г.
byoleg379
 
18361 збірник контрольних робіт 6 клас
byАлександр Гергардт
 
Презентація:Многокутник та його елементи. Опуклі та неопуклі многокутники.
bysveta7940
 
Алгебра 7 клас. Збірник завдань для самостійних та контрольних робіт
byСергій Ільчишин
 
діагностична контрольна робота з геометрії для 8 класу
byГергель Ольга
 
8 клас раціональні дроби.
byAlexandra Gartfil
 
презентація теорема синусів і конусів.pptx
byssuser908bb6
 
Вектори у просторі
byЛюдмила Кирилюк
 
Презентація до уроку №4 "Співвідношення між сторонами і кутами в прямокутному...
bykurchenkogalina
 
8771 малюнки за координатами
byurvlan
 
тотожні перетворення виразів, які містять квадратні корені
byГергель Ольга
 
подібність трикутників
byВова Попович
 
Коло. круг. Дотична до кола, її властивості, 7 клас
byNataliya Shulgan
 
діагностична контрольна робота з геометрії для9 класу
byГергель Ольга
 
Підготовка до ЗНО (стереометрія)
byЗШ №10 м.Світловодська
 
діагностична контрольна робота для 6 класу
byГергель Ольга
 
Урок-подорож Множення звичайних дробів. 6 клас
bykoblevoschool1
 
Презентація:Додавання та віднімання дробів з різними знаменниками
bysveta7940
 
Тема 4 Загальні методи доведення нерівностей (9 год)
byValyu66
 
Портфоліо вчителя математики Андрюк Н.М.
byssuser286e20
 

Similar to Підготовка до ЗНО (планіметрія)

PDF
10 геом бурда_тарасенкова_академ_2010_укр
byAira_Roo
 
PDF
1
bybooksss100
 
PDF
геометрія підручник для 7 класу авт. роганін о. м. капіносов а. м.
byГергель Ольга
 
PDF
7 klas geometrija_ister_2007_ukr
byUA7009
 
PDF
9
by9klas
 
PDF
Geometrija 9-klas-burda-2017
bykreidaros1
 
PDF
9 klas geometrija_burda_2017
bymoyashkolamoyashkola
 
PDF
7 геом істер_2007_укр
byAira_Roo
 
PDF
7 геом істер_2007_укр
byAira_Roo
 
PDF
Geometrija 7-klas-ister
bykreidaros1
 
PDF
7 geom i
by7klas
 
PDF
Ister o s_geometriya_pidruchnik_dlya_7_klasu
bySvinka Pepa
 
PDF
систематизація і узагальнення фактів і методів планіметрії
byЮра Марчук
 
PDF
геометрія підручник для 7 класу авт. мерзляк а.г. та ін.
byГергель Ольга
 
PDF
10 geom e_2018
by4book
 
PDF
11_geom_n_2019.pdf
byMihailichenk Lud
 
PDF
7 геом мерзляк_полонський_2015_укр
byAira_Roo
 
PDF
«Геометрія» підручник для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. ...
byssuser5dd4af
 
PDF
7 геом істер_2015_укр
byAira_Roo
 
PDF
heometria_9_klas_iershova_2022.pdf
byssuser59c0a2
 
10 геом бурда_тарасенкова_академ_2010_укр
byAira_Roo
 
1
bybooksss100
 
геометрія підручник для 7 класу авт. роганін о. м. капіносов а. м.
byГергель Ольга
 
7 klas geometrija_ister_2007_ukr
byUA7009
 
9
by9klas
 
Geometrija 9-klas-burda-2017
bykreidaros1
 
9 klas geometrija_burda_2017
bymoyashkolamoyashkola
 
7 геом істер_2007_укр
byAira_Roo
 
7 геом істер_2007_укр
byAira_Roo
 
Geometrija 7-klas-ister
bykreidaros1
 
7 geom i
by7klas
 
Ister o s_geometriya_pidruchnik_dlya_7_klasu
bySvinka Pepa
 
систематизація і узагальнення фактів і методів планіметрії
byЮра Марчук
 
геометрія підручник для 7 класу авт. мерзляк а.г. та ін.
byГергель Ольга
 
10 geom e_2018
by4book
 
11_geom_n_2019.pdf
byMihailichenk Lud
 
7 геом мерзляк_полонський_2015_укр
byAira_Roo
 
«Геометрія» підручник для 7 класу загальноосвітніх навчальних закладів (авт. ...
byssuser5dd4af
 
7 геом істер_2015_укр
byAira_Roo
 
heometria_9_klas_iershova_2022.pdf
byssuser59c0a2
 

More from ЗШ №10 м.Світловодська

PPT
Атестація-2023.ppt
byЗШ №10 м.Світловодська
 
PDF
Психічне здоров'я
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
План ШМО вчителів початкових класів
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
План методичної роботи.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
PDF
Pomytkin.pdf
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
Аналіз роботи МО класних керівників
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
Аналіз роботи ШМО вчителів математики, фізики та інформатики
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
Аналіз роботи МО вчителів укр. мови.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
Аналіз роботи МО вчителів вчителів фізичної культури, учителів естетичного ку...
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
Аналіз МО суспільно-природничих дисциплін.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
Аналіз роботи МО вчителів початкових класів.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
PPTX
МО вчителів української мови та літератури.pptx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
PPTX
Аналіз ШМО вчителів зарубіжної літератури
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
Аналіз ШМО вчителів іноземної мови.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
PPTX
Свято вишиванки
byЗШ №10 м.Світловодська
 
PDF
Інноваційна діяльність
byЗШ №10 м.Світловодська
 
PPT
Атестація-2022
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOCX
Опис досвіду роботи Дерземанової Н.П.
byЗШ №10 м.Світловодська
 
PDF
Правила внутрішнього трудового розпорядку
byЗШ №10 м.Світловодська
 
DOC
Опис досвіду роботи вчителя початкових класів
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Атестація-2023.ppt
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Психічне здоров'я
byЗШ №10 м.Світловодська
 
План ШМО вчителів початкових класів
byЗШ №10 м.Світловодська
 
План методичної роботи.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Pomytkin.pdf
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Аналіз роботи МО класних керівників
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Аналіз роботи ШМО вчителів математики, фізики та інформатики
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Аналіз роботи МО вчителів укр. мови.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Аналіз роботи МО вчителів вчителів фізичної культури, учителів естетичного ку...
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Аналіз МО суспільно-природничих дисциплін.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Аналіз роботи МО вчителів початкових класів.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
МО вчителів української мови та літератури.pptx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Аналіз ШМО вчителів зарубіжної літератури
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Аналіз ШМО вчителів іноземної мови.docx
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Свято вишиванки
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Інноваційна діяльність
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Атестація-2022
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Опис досвіду роботи Дерземанової Н.П.
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Правила внутрішнього трудового розпорядку
byЗШ №10 м.Світловодська
 
Опис досвіду роботи вчителя початкових класів
byЗШ №10 м.Світловодська
 

Recently uploaded

PPTX
Травмапедагогіка для освітян та українських шкіл.pptx
byssuser7541ef1
 
PDF
Нагороди гуртка «Нитяна графіка» за ІІ півріччя 2025-2026 н.р.
byNataliya Persikova
 
PPTX
Моніторингове дослідження щодо забезпечення функціонування державної мови в л...
bymarinsbog
 
PPTX
Awards
byOlenaPoljanska
 
PPTX
Національна пам'ять як інструмент захисту ідентичності та історичної правди в...
byestet13
 
PPT
Мат. методи, технології навчання, різні моделі
byrudyanovatn
 
Травмапедагогіка для освітян та українських шкіл.pptx
byssuser7541ef1
 
Нагороди гуртка «Нитяна графіка» за ІІ півріччя 2025-2026 н.р.
byNataliya Persikova
 
Моніторингове дослідження щодо забезпечення функціонування державної мови в л...
bymarinsbog
 
Awards
byOlenaPoljanska
 
Національна пам'ять як інструмент захисту ідентичності та історичної правди в...
byestet13
 
Мат. методи, технології навчання, різні моделі
byrudyanovatn
 

Підготовка до ЗНО (планіметрія)

  • 2.
    КОМУНАЛЬНИЙ ЗАКЛАД «КІРОВОГРАДСЬКИЙОБЛАСНИЙ ІНСТИТУТ ПІСЛЯДИПЛОМНОЇ ПЕДАГОГІЧНОЇ ОСВІТИ ІМЕНІ ВАСИЛЯ СУХОМЛИНСЬКОГО» Ізюмченко Л.В., Ткаченко Л.А. (З ДОСВІДУ РОБОТИ ВЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ КОМУНАЛЬНОГО ЗАКЛАДУ «ПЕДАГОГІЧНИЙ ЛІЦЕЙ КІРОВОГРАДСЬКОЇ МІСЬКОЇ РАДИ КІРОВОГРАДСЬКОЇ ОБЛАСТІ», КАНДИДАТА ФІЗИКО-МАТЕМАТИЧНИХ НАУК ІЗЮМЧЕНКО ЛЮДМИЛИ ВОЛОДИМИРІВНИ) Кропивницький 2017 Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія)
  • 3.
    2 УДК 37.09+372.851 И 57 Друкуєтьсяза рішенням науково-методичної ради комунального закладу «Кіровоградський обласний інститут післядипломної педагогічної освіти імені Василя Сухомлинського» (від 13 червня 2017 року, протокол №3) Ізюмченко Л. В., Ткаченко Л. А. Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія) / Л. В. Ізюмченко, Л. А. Ткаченко. – Кропивницький: КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», 2017. – 100 с. Рецензенти: О.П. Макарчук – старший викладач кафедри прикладної математики, статистики та економіки Центральноукраїнського державного педагогічного університету імені Володимира Винниченка, кандидат фізико-математичних наук; О.Л. Свириденко – вчитель математики Кіровоградського обласного навчально-виховного комплексу (гімназія-інтернат – школа мистецтв), заслужений вчитель України. Посібник містить необхідний ілюстрований матеріал до теоретичної частини та практичну частину (приклади розв’язання задач, задачі для самостійного опрацювання), а також тестові завдання шкільного курсу геометрії з теми «Планіметрія», що допоможе більш раціонально розподілити час при підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання. Завдання різнорівневі і включають всі основні типи тестів, які використовуються при проведенні зовнішнього незалежного оцінювання. Видання стане реальним помічником учням загальноосвітніх навчальних закладів та вчителям математики – для всіх, хто бажає систематизувати і повторити шкільний курс геометрії з даної теми та досконало, поглиблено і всебічно підготуватись до участі в зовнішньому незалежному оцінюванні. Відповідальна за випуск – Корецька Л.В © КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», 2017
  • 4.
    3 Зміст Передмова 4 Розділ І.Найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості 6 Теоретичні відомості 6 Приклади розв’язання задач 11 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 14 Відповіді до завдань для самостійної роботи 23 Розділ ІІ. Коло та круг 24 Теоретичні відомості 24 Приклади розв’язання задач 31 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 36 Відповіді до завдань для самостійної роботи 47 Розділ ІІІ. Трикутники 48 Теоретичні відомості 48 Приклади розв’язання задач 57 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 64 Відповіді до завдань для самостійної роботи 81 Розділ ІV. Чотирикутники 82 Теоретичні відомості 82 Приклади розв’язання задач 90 Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 92 Відповіді до завдань для самостійної роботи 96 Список використаних джерел 97
  • 5.
    4 Передмова Математика як шкільнийпредмет має достатній потенціал для формування та розвитку якостей, необхідних людині, щоб бути успішною у сучасному житті. Значимість та успішність кожного громадянина суспільства на ринку праці надзвичайно зростає завдяки його математичній підготовці та вмінню використовувати її у своїй трудовій діяльності, адже кожна галузь суспільного життя потребує своєї математики. У запропонованому посібнику висвітлюються деякі аспекти підготовки учнів до зовнішнього незалежного оцінювання з математики, зокрема, узагальнено й систематизовано матеріал шкільного курсу геометрії з розділу «Планіметрія». Тематика завдань відповідає чинній програмі з предмету за новим державним стандартом та програмі зовнішнього незалежного оцінювання: – найпростіші геометричні фігури на площині (розглядаються найпростіші геометричні фігури на площині та їхні властивості: точка, пряма, промінь, відрізок, поняття «лежати між» (двома іншими точками), поняття ламаної, кута; аксіоми планіметрії; суміжні та вертикальні кути, їхні властивості; бісектриса кута та її властивості; паралельні та перпендикулярні прямі; поняття перпендикуляра та похилої, серединного перпендикуляра; відстань від точки до прямої; ознаки паралельності прямих; теорема Фалеса, узагальнена теорема Фалеса); – коло, круг (розглядаються питання кола, круга та їхніх елементів; центральних, вписаних кутів та їхні властивості; властивості двох хорд, що перетинаються; дотичні до кола та їхні властивості); – трикутники (види трикутників та їхні основні властивості; ознаки рівності трикутників; медіана, бісектриса, висота трикутника та їхні властивості; теорема про суму кутів трикутника; нерівність трикутника; середня лінія трикутника та її властивості; коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник; теорема Піфагора, пропорційні відрізки прямокутного трикутника; теореми синусів та косинусів);
  • 6.
    5 – чотирикутники таїхні елементи (досліджуються чотирикутники та їхні елементи: паралелограм та його властивості, ознаки паралелограма; прямокутник, ромб, квадрат, трапеція та їхні властивості, середня лінія трапеції; вписані та описані навколо кола чотирикутники); многокутники (розглянуто многокутники, їхні елементи, опуклі многокутники, периметр, сума кутів многокутника; правильний многокутник та його властивості; вписані в коло та описані навколо кола многокутники). Кожен розділ містить необхідний ілюстрований матеріал до теоретичної частини та практичну частину (приклади розв’язування задач, задачі для самостійного опрацювання), що дасть змогу більш раціонально розподілити час при підготовці до зовнішнього незалежного оцінювання. Вибрана форма оформлення змісту посібника дозволяє вчителеві використовувати подані матеріали для підготовки школярів до тестування з предмета, допоможе організувати планомірне вивчення і системне повторення основних понять геометрії та теоретичних відомостей із запропонованих розділів предмета та опанувати основні прийоми і методи розв’язування завдань. Посібник призначений для використання у процесі самостійної підготовки учнів загальноосвітніх шкіл до зовнішнього незалежного оцінювання. Видання стане у нагоді вчителям математики, учням основної та старшої школи та усім, хто займається підготовкою до зовнішнього незалежного оцінювання. Завдяки даному посібнику Ви досягнете бажаних результатів. Бажаємо успіхів!
  • 7.
    6 Розділ І Найпростіші геометричніфігури на площині та їхні властивості У цьому розділі повторюємо з учнями найпростіші геометричні фігури – точку, пряму, промінь, відрізок, поняття «лежати між» (двома іншими точками), поняття ламаної, кута; аксіом планіметрії; суміжні та вертикальні кути, їхні властивості; бісектрису кута та її властивості; паралельні та перпендикулярні прямі; поняття перпендикуляра та похилої, серединного перпендикуляра; відстань від точки до прямої; ознаки паралельності прямих; теорему Фалеса, узагальнену теорему Фалеса. Теоретичні відомості – Точка – неозначуване поняття. Уявлення про точку дає слід на аркуші паперу, зроблений добре загостреним олівцем. Позначають точки великими латинськими буквами А, В, С,.. – Пряма – неозначуване поняття. Уявлення про пряму дають: туго натягнута нитка; промінь світла, який проходить крізь вузький отвір. Позначають прямі латинськими буквами a, b, c,…або AC, BC… Пряма нескінченна. Пряма розбиває площину на дві півплощини. – Площина – неозначуване поняття. Уявлення про площину дають: поверхня стола, поверхня віконного скла, поверхня озера в тиху погоду, тощо. Площину мислять необмеженою, ідеально рівною і гладенькою. Позначають площини малими грецькими буквами Промінь AC (півпряма) – частина прямої a, яка складається з усіх точок цієї прямої, що лежить по один бік від даної на ній точки A (A – початок променя). – Доповняльними називають різні промені однієї і тієї самої прямої зі спільним початком. – Відрізком називається частина прямої, яка складається з усіх точок цієї
  • 8.
    7 прямої, що лежатьміж двома даними її точками. Ці точки називаються кінцями відрізка. Відрізок позначають, записуючи його кінці. Коли говорять або пишуть «відрізок АВ», то мають на увазі відрізок з кінцями в точках А і В. Кожний відрізок має певну довжину більшу від нуля. – Ламаною , ,… називається фігура, яка складається з точок , ,… і відрізків , … , що їх сполучають. Точки , ,… – називають вершинами ламаної, а відрізки , … – ланками ламаної. Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів. – Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок (довжина ламаної не менша за довжину відрізка, що сполучає її кінці). – Кутом називається фігура, яка складається з точки – вершини кута і двох різних півпрямих, що виходять з цієї точки, – сторін кута. Слово кут замінюють символом . Позначають кут трьома великими літерами або однією (або цифрою): точка О – вершина кута; – сторони кута. Кут можна розглядати як фігуру, утворену обертанням променя навколо своєї початкової точки О. Напрям обертання проти годинникової стрілки умовно називають додатнім, а за годинниковою стрілкою – від’ємним. – Бісектриса – промінь, який виходить з вершини кута й ділить його на дві рівні частини. ОА – бісектриса, . – Повним називається кут, отриманий від повного оберту променя навколо своєї початкової точки, =360о . – Розгорнутим називається кут, якщо його сторони є доповняльними півпрямими однієї прямої (сторони утворюють пряму) АОВ =
  • 9.
    8 – Прямим називаєтьсякут, який дорівнює половині розгорнутого кута (кут, градусна міра якого дорівнює ). АОВ = . – Тупим називається кут, який більший за прямий кут, але менший від розгорнутого. F – тупий; F – Гострим називається кут, який менший від прямого. F – гострий; F – Вертикальними називаються два кути, сторони одного з яких є доповняльними променями сторін другого. АОВ СОD – вертикальні, АОС і ВОD – вертикальні. ВЛАСТИВОСТІ ВЕРТИКАЛЬНИХ КУТІВ – Вертикальні кути рівні між собою АОВ СОD, АОС= ВОD – Бісектриси вертикальних кутів утворюють розгорнутий кут. КУТИ ПРИ ПЕРЕТИНІ ДВОХ ПРЯМИХ СІЧНОЮ – При перетині двох прямих третьою прямою ( січною) утворюються пари кутів: –внутрішні односторонні; –зовнішні різносторонні; – зовнішні односторонні.
  • 10.
    9 – Суміжними називаютьсякути, в яких одна сторона спільна, а дві інші сторони є доповняльними променями (півпрямими). АВС СВD – суміжні. ВЛАСТИВОСТІ СУМІЖНИХ КУТІВ – Сума суміжних кутів дорівнює ( АВ СВD = – Кут, суміжний з прямим кутом, є прямим; – кут, суміжний з гострим кутом, є тупим; – кут, суміжний з тупим кутом, є гострим. – Якщо два кути рівні, то суміжні з ними кути також рівні. – Чим більший кут, тим менший суміжний з ним, і навпаки. – Бісектриси суміжних кутів утворюють прямий кут. – Якщо суміжні кути рівні, то вони прямі. ПАРАЛЕЛЬНІ ПРЯМІ Паралельними називаються дві прямі, які лежать в одній площині і не перетинаються, позначаються паралельні прямі так: . Аксіома паралельності: Через точку, яка не лежить на даній прямій, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій. Ознаки паралельності: –Якщо дві різні прямі паралельні третій, то вони паралельні між собою. Якщо – Якщо при перетині двох прямих третьою: 1) сума внутрішніх односторонніх кутів дорівнює , то такі прямі паралельні; 2) внутрішні різносторонні кути рівні: , то такі прямі паралельні; 3) відповідні кути рівні: , то такі прямі паралельні; 4) сума зовнішніх односторонніх кутів дорівнює :
  • 11.
    10 , то такіпрямі паралельні; 5) зовнішні різносторонні кути рівні: , то такі прямі паралельні. Якщо дві паралельні прямі перетнуті січною (с), то їхні властивості формулюватимуться аналогічно до ознак (як обернені теореми). – Кути з відповідно паралельними сторонами або рівні, або в сумі складають . ТЕОРЕМА ФАЛЕСА – Якщо на одній із двох прямих відкладено декілька рівних (пропорційних) відрізків і через їх кінці проведені паралельні прямі, які перетинають другу пряму, то й на ній відкладуться рівні (пропорційні) відрізки: якщо і , то . ПЕРПЕНДИКУЛЯРНІ ПРЯМІ. ВІДСТАНЬ ВІД ТОЧКИ ДО ПРЯМОЇ – Перпендикулярними називаються дві прямі, які перетинаються під прямим кутом ( ). – Перпендикуляром до даної прямої називають відрізок прямої, перпендикулярної до даної прямої, який має одним із своїх кінців точку їх перетину. Цей кінець відрізка називають основою перпендикуляра (АВ – перпендикуляр, В – основа). – Через кожну точку прямої можна провести перпендикулярну до неї пряму і до того ж тільки одну.
  • 12.
    11 – Через кожнуточку поза даною прямою можна провести перпендикулярну до неї пряму і до того ж тільки одну. – Дві прямі (площини), які перпендикулярні до третьої, паралельні між собою. – Якщо пряма перпендикулярна до однієї із двох паралельних прямих, то вона перпендикулярна і до другої прямої. – З будь-якої точки, що не лежить на даній прямій, можна провести перпендикуляр на цю пряму і до того ж тільки один. – Відстань від точки до прямої дорівнює довжині перпендикуляра, опущеного з даної точки на пряму (якщо точка лежить на прямій, то вважають, що відстань від цієї точки до прямої дорівнює нулю). – Відстань між паралельними прямими дорівнює відстані від будь-якої точки однієї прямої до другої прямої. – Кути з відповідно перпендикулярними сторонами або рівні або в сумі складають Приклади розв’язання задач Проілюструємо на прикладах основні теоретичні факти цього пункту. Зауважимо, що підбираючи приклади у цьому пункті, ми звернули свою увагу у першу чергу на задачі, які потребують додаткового дослідження взаємного розташування об’єктів, чи невизначені задачі. Приклад 1. На прямій а вибрано три точки А, В, С так, що АВ=3,8 см, АС=4,1 см. Обчисліть відстань між точками В і С. А Б В Г Д 0,3 см 3,95 см 7,9 см 0,3 см або 7,9 см 8 см Розв’язання. Для трьох різних точок на прямій тільки одна з них лежить між двома іншими. Зафіксуємо одну з точок на прямій а, наприклад, точку А, тоді точки В і С лежать на прямій а або по один бік від неї (враховуючи умову, отримаємо, що точка В лежить між А і С), або по різні боки (точка А лежить між точками В і С). У першому випадку ВС=4,1–3,8=0,3 см, у другому ВС=4,1+3,8=7,9 см.
  • 13.
    12 Відповідь: Г. Приклад 2.Від точки С відрізка АВ по різні боки від прямої АВ проведено два промені СD і СF так, що кути АСD і ВСD відносяться як 7:2, а промінь СF – бісектриса АСВ. Знайдіть FСD. А Б В Г Д 20о 40о 130о 140о 230о Розв’язання. За умовоюАСВ=180о , АСD:ВСD=7:2, АСD=7х, ВСD=2х, а тому 7х+2х=180о ,х=20о , ВСD=40о . СF – бісектриса АСВ, АСВ=180о , а тому FСВ=90о . FСD=FСВ+ВСD=130о . Відповідь: В. Приклад 3. При перетині двох прямих утворилися чотири кути, два з яких мають градусні міри   00 33;32  xx . Якого найбільшого значення може набувати найменший кут? А Б В Г Д 10о 36о 50о 69о 83о Розв’язання. При перетині двох прямих утворилися чотири кути, нехай один з них має градусну міру  0 32 x . Тоді один з трьох кутів, що лишилися, відповідно, дорівнює  0 33x . Маємо два принципово різних випадки: або пара кутів – вертикальні, або суміжні, а тому маємо дві можливості:          .8333;9732,50,1803332 ;111691801;693332,36,3332 000 00000 xxxxx xxxxx Тоді найменший кут між прямими може набувати значень 69о або 83о і найбільше значення найменшого кута 83о . Відповідь: Д.
  • 14.
    13 Приклад 4. Приперетині двох паралельних прямих січною утворилися вісім кутів. Відомо, що сума трьох із восьми кутів дорівнює 306о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д Лише 51о Лише 54о Лише 78о 54о або 78о Лише 102о Розв’язання. При перетині двох паралельних прямих січною утворилися вісім кутів, причому 1=3=5=7; 2=4=6=8 (маємо дві різні множини рівних між собою кутів). Тоді маємо два принципово різних випадки: або усі три кути з однієї множини: 3х=306о , х=102о ;кут, суміжний з цим, буде меншим: 180о –102о =78о ; або два – з різних множин (в сумі дають 180о ), а третій – з однієї із них, а тому х+180о =306о , х=126о , суміжний з цим кут буде меншим: 180о –126о =54о . Відповідь: Г. Приклад 5. Із точки А до прямої а проведено похилу АВ і перпендикуляр АС, точки В і С – основи похилої і перпендикуляра, відповідно. АВ=25 см, АС=24 см. Обчисліть: а) довжину проекції похилої АВ на пряму а; б) тригонометричні функції кута між перпендикуляром і похилою; в) відстань від точки С до прямої АВ; г) довжину проекції відрізка АС на пряму АВ; д) довжину відрізка АК, який відтинає серединний перпендикуляр до відрізка АВ на прямій АС. Розв’язання: а) АВ – похила, АС – перпендикуляр, ВС – проекція похилої АВ на пряму а. За теоремою Піфагора    749242524252425; 2222  BCACABBC ; б) кут між перпендикуляром АС і похилою АВ – це ВАС, позначимо його через ; тоді 25 24 cos  AB AC  ; 25 7 sin  AB BC  ; 24 7  AC BC tg ; 7 24  BC AC ctg ;
  • 15.
    14 в) для відшуканнявідстані від точки С до прямої АВ опустимо перпендикуляр СН з точки С на пряму АВ. Тоді АСН – прямокутний, Н=90о , А=; АС – гіпотенуза, СН – протилежний катет, а тому 72,6 25 168 25 7 24sin  ACCH ; г) проекцією відрізка АС на пряму АВ є відрізок АН, який у прямокутному АСН є прилеглим катетом, а тому 04,23 25 576 25 24 24cos  ACAH ; д) для відшукання довжини відрізка АК, який відтинає серединний перпендикуляр МК до відрізка АВ на прямій АС, розглянемо прямокутний АМК: М=90о , А=; М – середина АВ, довжина 2 25 2  AB AM ; АК – гіпо- тенуза, АМ – прилеглий катет, а тому 02,13 48 1 13 48 625 25 24 : 2 25 cos   AM AK . Відповідь: а) 7BC ; б) 25 24 cos  AB AC  ; 25 7 sin  AB BC  ; 24 7  AC BC tg ; 7 24  BC AC ctg ; в) 72,6CH ;г) 04,23AH ;д) 48 1 13AK . Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 1. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них утричі менший за інший. А Б В Г Д 22,5о ; 67,5о 30о ; 90о 40о ; 120о 45о ; 135о 60о ; 120о 2. Знайдіть суміжні кути, якщо один з них на 42° більший за інший. А Б В Г Д 24о ; 66о 64о ; 116о 69о ; 111о 74о ; 116о 79,5о ; 100,5о 3. Дві прямі перетинаються у точці О, градусні міри кутів задані на рисунку. Обчисліть х: А Б В Г Д 5о  o 29 183 9о 10о 51о
  • 16.
    15 4. Дві пряміперетинаються у точці О, градусні міри кутів задані на рисунку. Обчисліть х: А Б В Г Д 15о 17о 26о 56о 63о 5. Дві прямі перетинаються, градусні міри кутів задані на рисунку. Використовуючи рисунок, обчисліть різницю yx  : А Б В Г Д –8о –4о 2о 4о 8о 6. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо відомо, що сума трьох з кутів, що утворилися при цьому, дорівнює 240°. А Б В Г Д 40о 60о 80о 100о 120о 7. Знайдіть кут між прямими, що перетинаються, якщо відомо, що сума двох з кутів, що утворилися при цьому, дорівнює 200°. А Б В Г Д 50о 60о 80о 100о 160о 8. Виберіть усі неправильні твердження, використовуючи рисунок: І. Точка В лежить між точками А і С. ІІ. Точка С лежить на відрізку АВ. ІІІ. Точка А лежить на промені СВ. ІV. Точка С лежить на промені АВ. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише І, ІІІ та ІV 9. Відомо, що довжини відрізків АМ=2,3 см, АВ=3,1 см,МВ=0,8 см. Які з наведених тверджень є правильними для даних точок А, В, М?
  • 17.
    16 І. Точка Влежить на промені АМ. ІІ. Точка А лежить на промені МВ. ІІІ. Точка М лежить на промені АВ. ІV. Точки А, В і М не лежать на одній прямій. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІІ лише ІV 10. Один з кутів, утворених при перетині двох прямих, удвічі більший за суму двох суміжних з ним кутів. Обчисліть більший із кутів. А Б В Г Д 36о 60о 72о 120о 144о 11. Точка А є внутрішньою точкою відрізка ВС. Які з наведених тверджень є правильними для даних точок А, В, С? І. АВ+АС=ВС; ІІ. АВ+ВС=АС; ІІІ. АВ+ВС>АС; ІV. на відрізку ВС існує єдина точка А, сума відстаней від якої до кінців відрізка ВС дорівнює довжині відрізка ВС. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише І та ІІІ лише ІІІ лише І, ІІІ та ІV 12. Виберіть усі правильні твердження, використовуючи рисунок: І. Якщо АС=5,3 см і АВ=2,8 см, то ВС=2,5 см. ІІ. Якщо АС=5,3 см і ВС=2,8 см, то АВ=8,1 см. ІІІ. Виконується умова для векторів CAAB  . А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ 13. Відомо, що АВ=6,3 см, АС=4,2 см, ВС=2,1 см. Виберіть усі правильні твердження: І. Точки А, В, С на площині утворюють трикутник.
  • 18.
    17 ІІ. Має місцевекторна рівність CBCA 2 . ІІІ. Точка С поділяє відрізок АВ у відношенні 1:2. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІІ лише ІІ та ІІІ 14. На відрізку АВ завдовжки 5,1 м вибрано точку K так, що АK:KВ=9:8. Чому дорівнює довжина відрізка KВ? А Б В Г Д 0,3 м 2,4 м 2,7 м 3 м 3,3 м 15. На відрізку АВ завдовжки 4,9 см лежить точка С, причому довжина АС більша за довжину СВ на 2,5 см. Чому дорівнює довжина СВ? А Б В Г Д 1,2 см 2,4 см 2,25 см 2,5 см 3,7 см 16. Промінь ОС ділить АОВ = 114о на два кути так, що один з них утричі менший за інший. Знайдіть більший з кутів, які при цьому утворилися. А Б В Г Д 28,5о 38о 76о 82о 85,5о 17. Дано градусні міри двох кутівАОС=СОВ=125о . Обчисліть х, використовуючи дані рисунка. А Б В Г Д 55о 70о 110о 125о 235о 18.АОС – розгорнутий, проведено промінь ОВ так, що ВОС = 122о та промінь ОK так, що ОK– бісектриса ВОС. Обчисліть АОK. А Б В Г Д 58о 61о 116о 119о 122о 19. Промінь ОK проходить всередині кута АОВ, причому градусні міри АОВ=96о , АОK=48о . Виберіть усі неправильні твердження серед наведених: І. ОK – бісектриса АОВ;
  • 19.
    18 ІІ. Градусна міракута, суміжного з ВОK, дорівнює 132о ; ІІІ. Градусні міри кутів пов’язані співвідношенням АОK=2ВОK; ІV. Точка, що лежить на промені ОK, рівновіддалена від прямих ОА і ОВ. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише ІIІ та ІV 20. Градусна міра АВС=100о , ВK – його бісектриса. На продовженні променя KВ (за точку В) вибрали точку М. Чому дорівнює градусна міра АВМ? А Б В Г Д 50о 80о 110о 130о 150о 21. Від точки С відрізка АВ проведено в один бік від прямої АВ два промені СD і СF так, що СF – бісектриса АСD. Кути АСD і ВСD відносяться як 3:2. Знайдіть FСВ. А Б В Г Д 54о 72о 108о 120о 126о 22. На відрізку АВ вибрали точку О і через неї провели промінь ОС так, що ВОС=80о , та промінь ОМ, що є бісектрисою АОС (точки М і С лежать в одній півплощині від прямої АВ). Виберіть неправильне твердження: І. Градусна міра АОС=100о ; ІІ. Градусна міра МОВ=130о ; ІІІ. Градусна міра МОС=100о ; ІV. Бісектриса ВОС перпендикулярна до ОМ; V. Бісектриса МОС утворює з АО кут, градусна міра якого 75о . А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише V 23. На якому із рисунків прямі а і b паралельні?
  • 20.
    19 А Б ВГ Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІ І, ІІ та ІІІ 24. На якому із рисунків прямі а і b не є паралельними? А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише І та ІІ лише І та ІІІ 25. При перетині двох паралельних прямих січною утворилося вісім кутів. Відомо, що сума двох із восьми кутів дорівнює 220о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д 40о 50о 70о 80о 110о 26. При перетині двох паралельних прямих січною утворилося вісім кутів. Відомо, що сума двох із восьми кутів дорівнює 80о . Укажіть градусну міру найбільшого із восьми кутів. А Б В Г Д 40о 80о 100о 120о 140о 27. При перетині двох паралельних прямих січною утворилося вісім кутів. Відомо, що сума трьох більших із восьми кутів дорівнює 330о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д 70о 75о 80о 110о Встановити неможливо
  • 21.
    20 28. При перетинідвох паралельних прямих січною утворилися вісім кутів. Відомо, що сума трьох із восьми кутів дорівнює 366о . Укажіть градусну міру найменшого із восьми кутів. А Б В Г Д Лише 6о Лише 58о Лише 61о 6о або 58о Лише 122о 29. Паралельні прямі перетинають сторони кута О, відтинаючи на них відрізки, довжини яких позначені на рисунку (у см). Обчисліть х (у см). А Б В Г Д 0,5 см 1 см 1,2 см 2,25 см 6⅔ см 30. Паралельні прямі АВ і СD перетинають сторони О (див. рисунок), причому ОА=8 см, АС=2 см, ОВ=6 см. Обчисліть довжину відрізка ВD. А Б В Г Д 0,5 см 1 см 1,5 см 2 см 2⅔ см 31. Паралельні прямі АВ і СD перетинають сторони О (див. рисунок), причому ОС=15 см, ОА=12 см, ВD=2 см. Обчисліть довжину відрізка ОВ. А Б В Г Д 1,5 см 1,6 см 2,5 см 8 см 10 см 32. Із точки А до прямої а проведено перпендикуляр і похилу, Н – основа перпендикуляра, В – основа похилої на прямій а. Виберіть усі неправильні твердження: І.Довжини відрізків пов’язані співвідношенням АН<AB; ІІ.АВ=АН+НВ;
  • 22.
    21 ІІІ. Градусна міраАНВ=90о ; ІV. Відстань від точки А до прямої а задає відрізок АВ. А Б В Г Д лише І лише ІІ лише ІІІ лише ІV лише ІІ та ІV 33. Із точки до прямої а проведено дві похилі завдовжки 34 см і 10 см. Менша похила утворює з прямою а кут 60о . Знайдіть довжину проекції більшої похилої до прямої а. А Б В Г Д 32 см 6 см 8 см 222 см 342 см 34. Промінь ОС проходить всередині кута АОВ, причому градусні міри АОВ=72о , АОС=36о . Установіть відповідність між питаннями (1–4) у лівому стовпці та відповідями (А–Д) у правому стовпці: 1) градусна міра ВОС, дорівнює 2) градусна міра кута, суміжного з ВОС, дорівнює 3) пряма, перпендикулярна до ОС, утворює з ОА кут 4) пряма, перпендикулярна до ОС, утворює з бісектрисою кута ВОС кут, градусна міра якого А 18о Б 36о В 54о Г 72о Д 144о 35. Використовуючи дані рисунка, установіть відповідність між питаннями (1–5) у лівому стовпці та відповідями (А–Е) у правому стовпці: 1) величина кута х 2) величина кута у 3) величина кута z 4) величина кута між прямими a і b 5) величина кута між прямими с і d А 0о Б 5о В 57о Г 118о Д 119о Е123о 36. Із точки А до прямої а проведено перпендикуляр АН і похилу АВ, причому Н і В – основи перпендикуляра і похилої на прямій а, відповідно. АВ=13, АН=5. Установіть відповідність між питаннями (1–4) у лівому стовпці та відповідями (А–Д) у правому стовпці: 1) відстань від точки Н до середини похилої АВ дорівнює А 2,4
  • 23.
    22 2) довжина проекціїпохилої АВ на пряму а дорівнює 3) серединний перпендикуляр до відрізка АН відтинає на АВ відрізок АК, довжина якого дорівнює 4) тангенс кута між перпендикуляром АН і похилою АВ дорівнює Б 2,5 В 6 Г 6,5 Д 12 37. При перетині двох прямих а і b січною прямою с утворилося вісім кутів (див. рисунок). Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці(А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) 1 і 5; 2) 4 і 6; 3) 2 і 7; 4) 1 і 3. А) внутрішні односторонні; Б) відповідні; В) суміжні; Г) зовнішні різносторонні; Д) внутрішні різносторонні. 38. При перетині двох прямих а і b січною прямою с утворилося вісім кутів (див. рисунок). Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) 1 і 7; 2) 4 і 8; 3) 3 і 6; 4) 5 і 8. А) внутрішні різносторонні; Б) вертикальні; В)зовнішні односторонні; Г) суміжні; Д)відповідні. 39. Прямі а і b перетнуто січними прямими (див. рисунок). Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження.
  • 24.
    23 1) яку назвумають кути, градусна міра яких позначена на рисунку у 83о та 97 о ; 2) яке взаємне положення прямих а і b; 3) яку назву мають кути, градусна міра яких позначена на рисунку у 87о та х о ; 4) обчисліть у градусах х. А) паралельні; Б) внутрішні односторонні; В) внутрішні різносторонні; Г) перетинаються; Д) 87о ; Е) 97о . 40. Із точки А до прямої а проведено перпендикуляр АН і похилу АВ так, що довжини АН=4 см, АВ=5 см. Доберіть правильну відповідь у правому стовпці на питання лівого стовпця: 1) відстань від точки А до прямої а дорівнює 2) довжина проекції відрізка АВ на пряму а дорівнює 3) відстань від точки Н до прямої АВ дорівнює 4) довжина проекції відрізка АН на пряму АВ дорівнює 5) серединний перпендикуляр до ВН відтинає від АВ відрізок АК завдовжки а) 2,4 см б) 2,5 см в) 3 см г) 3,2 см д) 4 см е) 5 см Відповіді до завдань для самостійної роботи (Розділ І) 1. Г; 2. В; 3. В; 4. Б; 5. Д; 6. Б; 7. В; 8. Б; 9. Г; 10. Д; 11. В; 12. А; 13. Б; 14. Б; 15. А; 16. Д; 17. В; 18. Г; 19. В; 20. Г; 21.Д; 22. В; 23.Г; 24. Б; 25.В; 26. Д; 27.А; 28.Б; 29.Б; 30.В; 31. Г; 32. Д; 33. В; 34. 1Б; 34. 2Д; 34. 3В; 34. 4Г; 35. 1Г; 35. 2Е; 35. 3В; 35. 4А; 35. 5Б; 36. 1Г; 36. 2Д; 36. 3В; 36. 4А; 37. 1Б; 37. 2А; 37. 3Г; 37. 4В; 38. 1В; 38. 2Д; 38. 3А; 38. 4Б; 39. 1Б; 39. 2А; 39. 3В; 39. 4Д; 40. 1Д; 40. 2В; 40. 3А; 40. 4Г; 40. 5Б.
  • 25.
    24 Розділ ІІ Коло такруг У цьому пункті повторюємо з учнями коло, круг та їхні елементи; центральні, вписані кути та їхні властивості; властивості двох хорд, що перетинаються; дотичну до кола та її властивості. Теоретичні відомості Коло - Колом називається фігура, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки. Ця точка називається центром кола. - Радіусом називається відрізок, що сполучає точку кола з його центром або відстань від точок кола до його центра. (Позначається радіус R або r). - Хордою називається відрізок, що сполучає дві точки кола. - Діаметром називається хорда, що проходить через центр кола. (Позначають діаметр D або d). - О – центр кола; ОА – радіус; ВС – хорда; MN – діаметр. - Кругом називають множину точок площини, відстань яких від даної точки (центра кола) не перевищує даної відстані (радіуса круга), або частина площини, яка обмежується колом. ВЛАСТИВОСТІ - Діаметр – найбільша хорда кола; - діаметр дорівнює подвоєному радіусу кола D=2R (d=2r); - діаметр, проведений перпендикулярно до хорди, ділить хорду на дві рівні частини. Якщо CD AB, то AM = MB = 1/2AB; - діаметр, який проходить через середину хорди, відмінної від діаметра, є перпендикулярним до
  • 26.
    25 хорди, якщо AM= MB = 1/2AB, то CD AB. - рівні хорди кола рівновіддалені від центра. Якщо AB = CD і OK CD, OM AB, то OK = OM. - якщо дві хорди кола рівновіддалені від центра, то вони рівні. Якщо OK AB, OM CD, OK = OM, то AB = CD. - відстань від центра кола до хорди визначається зі співвідношення: + = , де а – довжина хорди; – радіус; –відстань до хорди. - якщо AB – хорда, AC – діаметр і BD AC, то =AD AC; =AD DС. - для даної точки М всередині кола добуток відрізків хорди, на які ділить їх дана точка, є величина постійна: - AM · MB = (R+OM)  (R–OM) = – , де R – радіус кола
  • 27.
    26 - якщо хордиAB і CD кола перетинаються в точці S, то AS · BS = CS · DS. Дуги і хорди кола Дуга – частина кола, обмежена двома його точками (позначають АВ). ВЛАСТИВОСТІ - рівні дуги стягують рівні хорди. Якщо AB = CD, то AB = CD; - рівні хорди стягують рівні дуги. Якщо AB = CD, то AB = CD. - діаметр, перпендикулярний до хорди, ділить дугу, яка стягує хорду, на дві рівні частини. Якщо AB CD і CD – діаметр, то AD = DВ. - якщо діаметр проходить через середину хорди (відмінної від діаметра), то він ділить дугу, яку стягує хорда, на дві рівні частини. Якщо AM = MB і CD – діаметр, то AD = ВD.
  • 28.
    27 - паралельні хордивідтинають на колі рівні дуги. Якщо AB CD, то AС = ВD. - дві рівні хорди, які мають спільний кінець і утворюють кут , поділяють коло на три рівні дуги. Якщо AB = ВC, ABC = , то AB = ВC = АС = . - якщо хорда дорівнює радіусу кола, то хорда відтинає від кола дугу, що становить 1/6 частину кола. Якщо AB = АО = ВО, то AB =1/6АВА = . - якщо дві хорди мають спільний кінець і утворюють кут , то інші кінці хорд поділяють коло на дві рівні частини (спираються на діаметр). Якщо AB ВC, то АВС =АС= . - якщо дві хорди мають спільний кінець і утворюють кут , то інші кінці хорд відтинають від кола дугу, яка становить 1/6 частину кола. Якщо АВС= , то АС =1/6АВСА = .
  • 29.
    28 Дотичні та січнікола - Дотична до кола – пряма, яка має з колом одну спільну точку (точку дотику); d – дотична до кола; M – точка дотику. - Січна – пряма, яка має з колом дві спільні точки; b – січна. ВЛАСТИВОСТІ - дотична, перпендикулярна до радіуса, проведеного в точку дотику: ОМ d; - якщо пряма проходить через кінець діаметра і перпендикулярна до нього, то ця пряма дотична. - якщо з однієї точки до даного кола проведені дві дотичні, то відрізки дотичних рівні між собою: АВ = АС; - якщо коло дотикається сторін кута, то центр кола лежить на бісектрисі кута;АО – бісектриса. - якщо з точки поза колом проведені до нього дотична і січна, то квадрат довжини відрізка дотичної дорівнює добутку всього відрізка до січної на його зовнішню частину: = AB · AC.
  • 30.
    29 SA  SB=SC  SD BS AS = DS  CS = – , R – радіус кола. SASB = Взаємне розташування прямої і кола Якщо відстань ОМ від центра кола до прямої: більша радіуса (OM>R), то пряма не має спільних точок з колом; дорівнює радіусу ( , то пряма дотикається до кола;
  • 31.
    30 менша радіуса (, то коло відтинає на прямій хорду довжиною Взаємне розташування двох кіл Якщо О1О2 >R+r, то спільні точки відсутні Якщо О1О2 = R+r, то одна спільна точка Якщо R–r <О1О2 <R+r, то дві спільні точки Якщо О1О2 <R–r, то спільні точки відсутні Якщо О1О2 = R–r, то одна спільна точка
  • 32.
    31 Спільні дотичні двохкіл Якщо кола перетинаються, тобто R – r<О1О2 <R + r, то є дві спільні дотичні Приклади розв’язання задач Проілюструємо на прикладах основні теоретичні факти цього пункту. Приклад 1. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і точка О лежить на відрізку ВС, градусна міра кута ВСА дорівнює 33 о (див. рисунок). Чому дорівнюють градусні міри кутів АОВ і АВС? Розв’язання. Кут ВОС – розгорнутий, його градусна міра 180 о . ВАС – вписаний, спирається на ту ж саму дугу, а тому його градусна міра 90 о (кут, що спирається на діаметр, прямий). Кут ВСА вписаний, спирається на дугу АВ, а кут ВОА – центральний, спирається на ту ж саму дугу, а тому його градусна міра дорівнює 233 о =66 о . Градусна міра дуги САВ дорівнює 180 о , а дуги АВ – 66 о , а тому градусна міра дуги АС є їхньою різницею, тобто 114 о ; кут СВА – вписаний, спирається на цю дугу, його градусна міра – половина, тобто 57 о . Перевірка: 1) сума кутів трикутника АВС (33 о , 90 о , 57 о ) дорівнює 180 о ; 2) трикутник ОСА рівнобедрений, а тому САО=ОСА мають градусну міру по 33 о ; кут СОА, відповідно, 180 о –233 о =180 о –66 о =114 о . Кут АОВ – суміжний з СОА, його градусна міра дорівнює 180 о –114 о =66 о (можна
  • 33.
    32 і інакше кутАОВ – зовнішній кут трикутника СОА, а тому кут АОВ дорівнює сумі двох кутівСАО+ОСА=233 о =66 о ); 3) трикутник ОАВ рівнобедрений, а тому ОАВ=ОВА і їхня сума дорівнює куту СОА=114 о , звідки ОАВ=ОВА=114 о :2=57 о . Інакше: кут АОВ=66 о , тоді із суми кутів трикутника отримаємо ОАВ=ОВА=(180 о – 66 о ):2=114 о :2=57 о . Відповідь: АОВ=66 о і АВС=57 о . Приклад 2. Точки А, В, С, D лежать на колі з центром у точці О діаметра АВ. Градусні міри кутів ВАD і АDС дорівнюють 20 о і 36 о відповідно (див. рисунок). Обчисліть градусні міри кутів: а) ACB, ADB; б) АОС, СОD, DOB, AOD, COB; в) CAD, CAB, CBA, DBA, DBC, DCB, DCA,CDВ. Упорядкуйте кути CВA, DOB, CAD за зростанням градусних мір. Розв’язання: а) Кути ACB, ADB спираються на діаметр AB, а тому є прямими, градусні міри по 90 о . б) За умовою нам дано два вписаних кутиВАD і АDС, які спираються на дуги ВD і АС (20 о і 36 о ), відповідно. А тому ми маємо градусні міри відповідних центральних кутів: ВОD=40 о і АОС=72 о . Тобто маємо наступні градусні міри дуг: AB=180 о ,DB=40 о ,AC=72 о , а тому CD=180 о – (40 о +72 о )=68 о . Тому центральні кути, відповідно, АОС=72 о (спирається на AC), СОD=68 о (спирається на CD), DOB=40 о (спирається на DВ), AOD=140 о (спирається на АD=AC+CD), COB=108 о (спирається на СВ=CD+DВ). в) Кути цього пункту є вписаними: кут CAD спирається на дугу CD=68 о , а тому CAD=34 о ; CBA – на дугу CА=72 о , а тому CВA=36 о ; CAB – на дугу CВ=68 о +40 о =108 о , а томуCAВ=54 о ; DBA – на дугу АD =72 о +68 о =140 о , а тому DBA =70 о ;
  • 34.
    33 DBC – надугу СD =68 о , а тому DBC =34 о ; DCB – на дугу DВ =40 о , а тому DCB =20 о ; DСA – на дугу DВА =40 о +180 о =220 о , а тому DBA =110 о ; CDВ – на дугу ВАС =180 о +72 о =252 о , а тому CDВ =126 о . Щоб упорядкувати кути за зростанням градусних мір, випишемо їхні значення: CВA=36 о , DOB=40 о , CAD=34 о , а тому CAD <CВA <DOB. Зауважимо, що доцільним, на наш погляд, є завдання перевірити суми кутів трикутників, які при цьому виникають, у тому числі проаналізувати, які з трикутників є рівнобедреними, які прямокутними і чому. Доцільно обчислити повторно кути, скориставшись властивістю адитивності, наприклад, кут CDВ=CDА+АDВ, а тому CDВ=36 о +90 о =126 о . Приклад 3. Точки А, В, С лежать на колі радіуса R, причому довжина хорди АВ дорівнює R3 . Чому дорівнює градусна міра кута АCВ? А Б В Г Д 30 о 45 о 90 о 60 о або 120 о Інша відповідь Розв’язання. Зауважимо, що трикутник АОВ рівнобедрений і його медіана, проведена з точки О, є бісектрисою і висотою, а тому ½ АВ : АО = соsOAB. Враховуючи умову, отримаємо, що соsOAB= 2 3 , а тоді OAB=30 о , звідки AOB=120 о . А тоді, залежно від того, де лежить точка С по відношенню до хорди АВ, матимемо дві можливості: або вписаний кут спирається на дугу 120 о або на дугу 240 о . А оскільки він дорівнює половині градусної міри дуги, то маємо дві відповіді до задачі: або AС2B=60 о , або AС1B=120 о . Відповідь: 60 о або 120 о , відповідь - Г. Приклад 4. Продовження хорд АВ і СD кола перетинаються у точці S (див. рисунок). Обчисліть довжину відрізка SD, якщо довжини AВ = 2 см, BS = 6 см, CD = 8 см. Розв’язання. Кути DCB і DАB – вписані, спираються на одну дугу DВ, а тому рівні; трикутники SAD i SCB подібні за двома
  • 35.
    34 кутами (S спільний),а тому SB SC SD SA  або SA  SB = SC  SD. Обчислимо довжини відрізків, використовуючи дані з умови задачі, скористаємося адитивністю довжин відрізків: SA = SB+BA = 2+6 = 8; SC= SD+DC = x+8, а тому отримаємо рівняння x  (x + 8) = 6  8, звідки x2 + 8  x – 48 = 0, коренями рівняння є –12 і 4, умову задовольняє лише додатний корінь, а тому SD = 4 см. Відповідь: 4 см. Приклад 5. Хорди АВ і СD кола перетинаються у точці S (див. рисунок), причому довжини AS = 6 см, BS = 4 см, CS = 8 см. 1. Обчисліть довжину відрізка SD. 2. На скільки відсотків хорда СD більша за хорду АВ? Розв’язання. Кути DCB і DАB – вписані, спираються на одну дугу DВ, вони рівні; трикутники SAD i SCB подібні за двома кутами, а тому SB SC SD SA  , звідки SA  SB = SC  SD. Маємо рівняння 6  4 = 8  x, звідки x = 3, а тому SD = 3 см. Довжина хорди СD = 11 см, хорди АВ = 10 см. Обчислюємо, на скільки хорда СD більша за хорду АВ: 11–10=1 см; 1 см становить від хордиАВ = 10 см 10 відсотків, а тому відповідь на друге питання – 10 %. Відповідь: 3 см, 10 %. Доцільно акцентувати увагу учнів на ідентичній формулі у прикладах 3 і 4 (кожен раз «міряємо від S»), і на відмінностях (у прикладі 3, «міряючи SА», «пробігаємо» ще раз по SВ), уникаючи помилок у механічному множенні відрізків, які при цьому виникають. Наступні приклади можна вважати певним узагальненням попереднього. Приклад 6. Точка М віддалена на 10 см від центра кола, радіус якого дорівнює 12 см. Через цю точку проведено хорду завдовжки 15 см. Обчисліть довжини відрізків, на які ділить точка М хорду. Розв’язання. Нехай точка О – центр кола, з’єднаємо її з точкою М і продовжимо пряму ОМ до перетину з колом, матимемо хорду (діаметр), позначимо її АВ.
  • 36.
    35 Іншу хорду, щопроходить через точку М, про яку йдеться в умові задачі, позначимо CD (див. рисунок). Нехай CМ = х, тоді МD =15 – х, оскільки АМ = АО + ОМ, то АМ = 22, аналогічно, ВМ = ВО – ОМ, звідки ВМ = 2. З подіб- ності СМВ і AMD маємо МA  МB = МC  МD, звідки 22  2 = х  (15 – х), отримали квадратне рівняння x2 –15  x + 48 = 0, коренями рівняння є 4 і 11. Два різні алгебраїчні розв’язки дають CМ = 4, МD =11, або навпаки, тобто принципово єдину геометричну можливість: довжини відрізків, на які ділить точка М хорду, є 4 і 11 см. Відповідь: 4 і 11 см. Зауважимо, що дану задачу можна розв’язати і інакше, проте у цьому пункті ми акцентуємо увагу на властивостях хорд. Інше розв’язання може виглядати, наприклад, так: CОD – рівнобедрений, ОС=ОD=12 см, CD=15 см, обчислюємо відстань від точки М до прямої CD (висоту трикутника), вона рівна 395,1 см, знаючи цю відстань і відрізок ОМ=10 см, знаходимо відстань d =3,5 см від середини CD до М, що фактично завершує розв’язання задачі, адже шукані в умові задачі відрізки будуть рівні 7,5d. Приклад 7. Обчисліть відстань від центра кола радіуса 14 см до точки K, якщо через неї проходить хорда, яка точкою K ділиться на відрізки 11 і 12 см. Розв’язання. Нехай точка О – центр кола, хорда АВ проходить через точку K. З’єднаємо точку K з центром О і продовжимо до перетину з колом, отримаємо хорду (діаметр) CD, позначимо шукану величину KО через х (див. рисунок), тоді KС=14–х, KD=14+х, KА=12, KВ=11. Маємо KA  KB = KC  KD, 12  11 = (14 – х)  (14 + х). Отримали квадратне рівняння 196–x2 =132, x2 =64, коренями рівняння є 8. Умову задачі задовольняє KО=8 см. Відповідь: 8 см. Приклад 8. Два кола, радіуси яких дорівнюють 1 і 9 см, мають зовнішній дотик. Обчисліть відстань (у см) від точки дотику даних кіл до їхньої спільної зовнішньої дотичної.
  • 37.
    36 Розв’язання. Виконаємо рисунок: точка Kдотику двох кіл лежить на лінії центрів О1О2, пряма АС – спільна зовнішня дотична точки А і С – точки дотику кіл. Опустимо перпендикуляр KВ на пряму АС, тоді шуканий відрізок є KВ. Проведемо через центр О1 меншого кола пряму, паралельну до АС. Тоді (див. рисунок), АО1ЕС – прямокутник, BD=AО1=СЕ=1 см. Розглянемо трикутник О1ЕО2,у ньому KD||O2E, ЕО2=СО2–СЕ=9–1=8 см, О1О2=О1K+KО2=1+9=10 см. Трикутники О1ЕО2 і О1DK подібні, коефіцієнт подібності 10 1 21 1  OO KO k , а тому 8,08 10 1 2  EOkDK см. Врахуємо, що BK=BD+DK, звідки BK=1+0,8=1,8 см. Відповідь: 1,8 см. Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 1. Знайдіть градусні міри двох дуг кола, на які його поділяють дві точки, якщо градусна міра однієї із дуг на 50 о більша за градусну міру іншої. А Б В Г Д 20о ; 70о 65о ; 115о 40о ; 140о 155о ; 205о 130о ; 230о 2. Знайдіть градусні міри двох дуг кола, на які його поділяють дві точки, якщо градусні міри цих дуг відносяться як 5:7. А Б В Г Д 50о ; 70о 75о ; 105о 135о ; 225о 140о ; 220о 150о ; 210о 3. Знайдіть градусну міру більшої із двох дуг кола, на які його поділяють кінці хорди, якщо градусні міри цих дуг відносяться як 3:7. А Б В Г Д 108о 120о 360о (3/7) 360о (7/3) 252о
  • 38.
    37 4. Знайдіть градуснуміру меншої із двох дуг кола, на які його поділяють кінці хорди, якщо градусна міра однієї із цих дуг у 4 рази більша за градусну міру іншої. А Б В Г Д 45о 72о 90о 144о 288о 5. Знайдіть довжину дуги кола радіуса 5 см, яка становить ¾ кола. А Б В Г Д 3,75π см 7,5π см 20/3π см 10π см 40/3π см 6. Знайдіть довжину дуги кола, градусна міра якої дорівнює 80 о , якщо радіус кола 9 см. А Б В Г Д 4 см 2π см (80/9) см 4π см 18π см 7. Знайдіть радіус кола, якщо довжина дуги кола дорівнює 4,5π см, а її градусна міра дорівнює 135 о . А Б В Г Д 2,25 см 3 см 4,5 см 5 см 6 см 8. Знайдіть, яку частину площі круга становить площа сектора, градусна міра дуги якого дорівнює 126 о . А Б В Г Д 10 3 3 1 20 7 8 3 14 5 9. Знайдіть площу сектора з градусною мірою центрального кута 108 о , якщо радіус круга дорівнює 5 см. А Б В Г Д 5π см2 25π/108 см2 7,5 π см2 12,5 π см2 25π см2 10. Знайдіть радіус круга, якщо площа сектора дорівнює 1,2π см2 , а градусна міра дуги сектора складає 27 о . А Б В Г Д 2 см 4 см 5 см 6 см 7 см 11. Знайдіть градусну міру центрального кута сектора, якщо радіус круга 6 см і площа сектора дорівнює 1,5π см2 . А Б В Г Д 15о 20о 30о 45о 50о
  • 39.
    38 12. Знайдіть довжинукола, яке обмежує круг площею 49π см2 . А Б В Г Д 7π см 12π см 14π см 28π см 49π см 13. Знайдіть площу круга, якщо його діаметр 5 дм. А Б В Г Д 6,25π дм2 12,5π дм2 15π дм2 25π дм2 50π дм2 14. Знайдіть площу круга, якщо довжина кола, яке обмежує цей круг, 10π м. А Б В Г Д 5π м2 12,5π м2 20π м2 25π м2 50π м2 15. Обруч котиться по прямій і робить один повний оберт, пройшовши при цьому шлях 13π дм. Який діаметр обруча? А Б В Г Д 6,5 дм 13 дм 26 дм 13π дм 42,25 дм 16. Радіус кола збільшили на 20 %. На скільки відсотків при цьому збільшилася довжина кола? А Б В Г Д 1,2 % (20:2π) % 10 % 20 % 44 % 17. Радіус кола збільшили на 20 %. На скільки відсотків при цьому збільшилася площа круга? А Б В Г Д 1,2 % (20:π) % 10 % 20 % 44 % 18. Площа круга складає 25 % від площі іншого круга. Як відноситься радіус меншого кола до радіуса більшого кола? А Б В Г Д 1:4 1:3 1:2 3:4 4:5 19. Довжина кола, яке обмежує один круг, більша на 30% за довжину кола, яке обмежує другий кут. На скільки відсотків площа першого круга більша за площу другого? А Б В Г Д 69 % 60 % 45 % 30 % 15 %
  • 40.
    39 20. Площі двохкругів відносяться, як 9:16. Як відносяться діаметри кіл, які обмежують ці круги? А Б В Г Д 7:16 9:16 3:4 27:64 81:256 21. Довжини двох кіл відносяться, як 4:25. Як відносяться площі кругів, обмежених цими колами? А Б В Г Д 16:625 8:125 4:25 2:5 21:25 22. Площі двох кругів відносяться, як 4:9. Скільки відсотків складає довжина кола, яке обмежує більший круг, від довжини кола, яке обмежує інший круг? А Б В Г Д (13/9)·100 % 105 % 150 % 175 % 225 % 23. Знайдіть радіус круга, площа якого чисельно дорівнює площі сектора радіуса 3 м з градусною мірою центрального кута 250 о . А Б В Г Д 2 м 25/12 м 2,2 м 2,5 м 3,6 м 24. Знайдіть градусну міру центрального кута сектора радіуса 12 см, площа якого чисельно дорівнює площі круга радіуса 4 см. А Б В Г Д 120о 100о 80о 60о 40о 25. Квітник, що має вигляд сектора радіуса 8 м з градусною мірою центрального кута 135о , обнесли по периметру земляним валком. Яка довжина земляного валка? Укажіть відповідь, найближчу до точної. А Б В Г Д 24 м 35 м 40 м 50 м 19 м 26. Водноспортивний комплекс площею 628 м2 містить водойму у формі круга, насадження та луг, площі яких співвідносяться як 2:1:1, відповідно. Знайдіть діаметр водойми. Укажіть відповідь, найближчу до точної. А Б В Г Д 10 м 16 м 20 м 28 м 34 м
  • 41.
    40 27. Обчисліть площукільця, утвореного двома концентричними колами (тобто колами, які мають спільний центр), радіуси яких, відповідно 2 і 3 дм. А Б В Г Д 4π дм2 25π дм2 13π дм2 9π дм2 5π дм2 28. Площа кільця, утвореного двома концентричними колами, радіуси яких відрізняються на 2 см, дорівнює 7π см2 . Обчисліть радіуси цих кіл, у відповідь запишіть радіус меншого кола. А Б В Г Д 0,75 см 1,25 см 1,5 см 1,75 см 2,75π см 29. Скільки відсотків складає площа кільця, утвореного двома концентричними колами, радіуси яких, відповідно, 3 і 5 см, від площі великого круга? А Б В Г Д 36 % 40 % 60 % 64 % 80 % 30. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута АОС дорівнює 140 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АВС? А Б В Г Д 40 о 70 о 80 о 90 о 140 о 31. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута АСВ дорівнює 40 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АОВ? А Б В Г Д 20 о 40 о 50 о 80 о 140 о 32. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і точка О лежить на відрізку АС(див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АВС? А Б В Г Д 80 о 90 о 100 о 105 о Встановити неможливо
  • 42.
    41 33. Точка О– центр кола, точки А, В, С лежать на колі і точка О лежить на відрізку АС, градусна міра кута САВ дорівнює 35 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АСВ? А Б В Г Д 55 о 45 о 35 о 145 о Встановити неможливо 34. (ЗНО, 2011 р.) На рисунку зображено коло з центром у точці О і рівносторонній трикутник АОВ, що перетинає коло в точках М і N. Точка D належить колу. Знайдіть градусну міру кута MDN. А Б В Г Д 15 о 30 о 45 о 60 о 120 о 35. Точка О – центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута ВСА дорівнює 35 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АOВ? А Б В Г Д 35 о 55 о 70 о 145 о Інша відповідь 36. Точки А, В, С лежать на колі, причому довжина хорди АВ дорівнює радіусу кола. Чому дорівнює градусна міра кута АCВ? А Б В Г Д 45 о 60 о 120 о 30 о або 150 о Інша відповідь 37. Точки А, В, С лежать на колі, причому довжини хорд АВ і ВС дорівнюють радіусу кола. Чому дорівнює градусна міра кута АВC? А Б В Г Д 30 о 60 о 120 о 150 о Інша відповідь
  • 43.
    42 38. Точка О– центр кола, точки А, В, С лежать на колі і градусна міра кута АВС дорівнює 100 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АОС? А Б В Г Д 80 о 100 о 160 о 170 о 200 о 39. Точки А, В, С, D лежать на колі і градусна міра кута АВС дорівнює 80 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АDC? А Б В Г Д 40 о 80 о 90 о 100 о 160 о 40. Точки А, В, С, D лежать на колі і градусна міра кута АВС дорівнює 80 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АDC? А Б В Г Д 40 о 80 о 100 о 140 о 160 о 41. Точки А, В, С, D лежать на колі діаметра АВ. Градусна міра кута ВАС дорівнює 66 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута АDC? А Б В Г Д 114 о 66 о 33 о 24 о Встановити неможливо 42. Із точки А до кола з центром у точці О проведено дві дотичні, точки дотику до кола В і С. Градусна міра кута АОС дорівнює 50 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута ВАC? А Б В Г Д 25 о 40 о 50 о 60 о 80 о
  • 44.
    43 43. Із точкиА до кола з центром у точці О проведено дві дотичні, точки дотику до кола В і С. Градусна міра кута ОСВ дорівнює 25 о (див. рисунок). Чому дорівнює градусна міра кута ВАC? А Б В Г Д 12,5 о 25 о 50 о 65 о 75 о 44. Точки А, В, С поділяють коло на три дуги, градусні міри яких відносяться як 2:3:4. Чому дорівнює середній за величиною кут трикутника? А Б В Г Д 20 о 30 о 40 о 60 о 80 о 45. Точки А, В, С поділяють коло радіуса 3 см на три дуги, градусні міри яких відносяться як 1:2:3. Чому дорівнює середня за величиною сторона трикутника? А Б В Г Д 1,5 см 3 см 3 см 32 см Інша відповідь 46. Два кола, відстань між центрами яких дорівнює 7 см, мають зовнішній дотик. Площа одного із кіл дорівнює 4π см2 . Знайдіть площу іншого кола. А Б В Г Д 3π см2 10π см2 11π см2 25π см2 49π см2 47. (ЗНО, 2010 р., ІІ сесія). Два кола, довжини яких дорівнюють 9π см і 36π см, мають внутрішній дотик. Знайдіть відстань між центрами цих кіл. А Б В Г Д 13,5 см 18 см 22,5 см 27 см 45 см 48. (ЗНО, 2010 р., І сесія). Два кола дотикаються, причому менше з кіл проходить через центр більшого кола (див. рисунок). Знайдіть площу зафарбованої фігури (у см2 ), якщо менше з кіл обмежує круг площею 64 см2 . А Б В Г Д 64 см2 128 см2 192 см2 256 см2 320 см2
  • 45.
    44 49. Знайдіть довжинукола, рівняння якого у прямокутній системі координат 03422  yxyx . А Б В Г Д 1,5π од. 2π од. 3π од. 4π од. 5π од. 50. Знайдіть площу круга, який дотикається до прямих 2x і 5x . А Б В Г Д 3,5π од2 . 7π од2 . 12,25π од2 . 24,5π од2 . 25π од2 . 51. Чому дорівнює площа круга, зображеного на рисунку (у од.2 )? А Б В Г Д 2π од.2 4π од.2 6π од.2 8π од.2 16π од.2 52. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо довжини AK = 8 см, BK = 1 см, CK = 4 см. А Б В Г Д 2 см 3 см 11 см 12 см 32 см 53. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо довжини AВ = 8 см, BK = 1 см, CK = 4 см. А Б В Г Д 1,75 см 2 см 3 см 28 см 32 см 54. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо довжини AС=8 см, BD=1 см, CK=4 см. А Б В Г Д 32 см 5 см 3 см 2 см 0,5 см 55. У колі проведено хорди AB i CD, які перетинаються у точці K. Обчисліть довжину відрізка KD, якщо він на 2 см більший за відрізок КС, а довжини AК = 12 см, BК = 2 см. А Б В Г Д 4 см 6 см 8 см 10 см 24 см
  • 46.
    45 56. Продовження хордАВ і СD кола перетинаються у точці S (див. рисунок). Обчисліть довжину хорди СD, якщо довжини AВ = 4 см, BS = 2 см, SD = 3 см. А Б В Г Д 1 см 1,5 см 8/3 см 3 см 6 см 57. Продовження хорд АВ і СD кола перети- наються у точці S (див. рисунок). Обчисліть довжину хорди SD, якщо довжини AВ = 2 см, BS = 4 см, CD = 10 см. А Б В Г Д 1,25 см 1,5 см 2 см 4 см 5 см 58. Обчисліть довжину дотичної SС до кола, використовуючи дані рисунка, якщо довжини AВ= 7 м, BS= 9 м. А Б В Г Д 73 м 8 м 12 м 16 м 21 м 59. Обчисліть довжину хорди AВ (див. рисунок), якщо довжина дотичної до кола SС = 6 см, а довжина BS = 4 см. А Б В Г Д 1,5 см 2 см 8/3 см 5 см 9 см 60. Обчисліть довжину відрізка BS (див. рисунок), якщо довжина дотичної до кола SС= 3 см, а довжина хорди AВ = 8 см. А Б В Г Д 3/8 см 1 см 9/8 см 2 см 8/3 см
  • 47.
    46 61. У коліна відстані 24 дм від центра кола проведено хорду завдовжки 14 дм. Знайдіть радіус кола. А Б В Г Д 192 дм 10 дм 25 дм 31 дм 38 дм 62. У колі радіуса 61 см на відстані 60 см від центра кола проведено хорду. Знайдіть довжину цієї хорди. А Б В Г Д 1 см 2 см 11 см 22 см 121 см 63. У колі радіуса 17 дм проведено хорду завдовжки 16 дм. Знайдіть відстань від центра кола до цієї хорди. А Б В Г Д 1 дм 9 дм 15 дм 25 дм 33 дм 64. У колі радіуса 14 см проведено хорду АВ, яка точкою С ділиться на відрізки 12 і 11 см. Знайдіть відстань від центра кола до точки С хорди АВ. А Б В Г Д 5 см 6 см 7 см 8 см 9 см 65. Точка С віддалена на 4 см від центра кола, радіус якого дорівнює 6 см. Через цю точку проведено хорду АВ завдовжки 9 см. Обчисліть довжини відрізків АС і СВ, на які ділить точка С хорду АВ. А Б В Г Д 1 і 8 см 2 і 7 см 3 і 6 см 3,5 і 5,5 см 4 і 5 см 66. Точки А, В, С, D лежать на колі діаметра АВ. Градусні міри кутів АВD і DВС дорівнюють 18 о і 32 о , відповідно (див. рисунок). Установіть відповідність між кутом (1–5) і його градусною мірою (А–Е): 1) кут САВ 2) кут САD 3) кут DСВ 4) кут АDС 5) кут АСD А 18о Б 32о В 40о Г 90о Д 108о Е 130о
  • 48.
    47 67. Точка Мвіддалена на 4 см від центра кола, радіус якого дорівнює 10 см. Через цю точку проведено хорду АВ так, що довжини відрізків АМ і МВ відрізняються на 5 см. Обчисліть довжини відрізків АМ і МВ. 68. Два кола, радіуси яких дорівнюють 1 і 25 см, мають зовнішній дотик. Обчисліть відстань (у см) між точками дотику даних кіл з їхньою спільною зовнішньою дотичною. Відповіді до завдань для самостійної роботи (Розділ ІІ) 1 Г; 2 Д; 3 Д; 4 Б; 5 Б; 6. Г; 7. Д; 8. В; 9. В; 10. Б; 11. А; 12. В; 13. А; 14. Г; 15. Б; 16. Г; 17. Д; 18. В; 19. А; 20. В; 21. А; 22. В; 23. Г; 24. Д; 25. Б; 26. В; 27. Д; 28. А; 29. Г; 30. Б; 31. Г; 32. Б; 33. А; 34. Б; 35. В; 36. Г; 37. В; 38. В; 39. Б; 40. В; 41. Г; 42. Д; 43. В; 44. Г; 45. В; 46. Г; 47. А; 48. В; 49. Д; 50. В; 51. Б; 52. А; 53. А; 54. Д; 55. Б; 56. А; 57. В; 58. В; 59. Г; 60. Б; 61. В; 62. Г; 63. В; 64. Г; 65. Д; 66.1В; 66. 2Б; 66. 3Д; 66. 4Е; 66. 5А; 67. 12 і 7 см; 68. 10 см
  • 49.
    48 Розділ ІІІ Трикутники У цьомурозділі повторюємо з учнями трикутники: види трикутників та їхні основні властивості; ознаки рівності трикутників; медіану, бісектрису, висоту трикутника та їхні властивості; теорему про суму кутів трикутника; нерівність трикутника; середню лінію трикутника та її властивості; коло, описане навколо трикутника, і коло, вписане в трикутник; теорему Піфагора, пропорційні відрізки прямокутного трикутника; теорему синусів та теорему косинусів. Теоретичні відомості Трикутник. Медіана, бісектриса, висота трикутника, їх властивості. Види трикутників. Співвідношення між сторонами та кутами прямокутного трикутника Трикутником називають фігуру, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій і трьох відрізків, які попарно сполучають ці точки. Точки називаються вершинами, а відрізки – сторонами. РІВНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ Рівними називаються трикутники, у яких відповідні сторони рівні та рівні відповідні кути. ОЗНАКИ РІВНОСТІ ТРИКУТНИКІВ 1) Якщо дві сторони і кут між ними одного трикутника дорівнюють відповідно двом сторонам і куту між ними другого трикутника, то такі трикутники рівні.
  • 50.
    49 2) Якщо сторонаі прилеглі до неї кути одного трикутника відповідно дорівнюють стороні й прилеглим до неї кутам другого трикутника, то такі трикутники рівні. 3) Якщо три сторони одного трикутника дорівнюють трьом сторонам другого трикутника, то такі трикутники рівні. ДОДАТКОВІ ОЗНАКИ РІВНОСТІ - Якщо дві сторони і медіана, проведена до третьої сторони трикутника, відповідно дорівнюють двом сторонам і медіані, проведеній до третьої сторони другого трикутника, то такі трикутники рівні. - Якщо два кути і висота, проведена до сторони, до якої прилягають ці кути, одного трикутника, відповідно дорівнюють двом кутам і висоті, проведеній до сторони, до якої прилягають ці кути, другого трикутника, то такі трикутники рівні. - Якщо сторона, висота і медіана, проведені до сторони одного трикутника, відповідно дорівнюють стороні, висоті і медіані, проведеним до цієї сторони другого трикутника, то такі трикутники рівні. - Якщо медіана і кути, на які вона ділить кут, одного трикутника, відповідно дорівнюють медіані й кутам, на які вона ділить кут другого трикутника, то ці трикутники рівні. ВЛАСТИВОСТІ РІВНИХ ТРИКУТНИКІВ 1. У рівних трикутників відповідні сторони рівні. 2. У рівних трикутників відповідні кути рівні. 3. Периметри рівних трикутників рівні. 4. Площі рівних трикутників рівні. ПОДІБНІСТЬ ТРИКУТНИКІВ Подібними називаються трикутники, у яких відповідні кути рівні, а відповідні сторони – пропорційні.
  • 51.
    50 означає: ; ;; . ВЛАСТИВІСТЬ ПОДІБНИХ ТРИКУТНИКІВ 1. Відповідні лінійні елементи подібних трикутників пропорційні відповідним сторонам. 2. Периметри подібних трикутників відносяться як відповідні сторони: . 3. Площі подібних трикутників відносяться як квадрати відповідних лінійних розмірів: . ВЛАСТИВОСТІ СТОРІН ТРИКУТНИКА У будь-якому трикутнику кожна сторона менша суми двох інших його сторін, але більша їх різниці: . 1. Теорема Чеви. Відрізки , тоді і тільки тоді перетинаються в одній точці, коли . 2. Теорема Менелая. Точки лежать на одній прямій тоді і тільки тоді, коли .
  • 52.
    51 3. Теорема Стюарта. Якщо, то . ВЛАСТИВОСТІ КУТІВ ТРИКУТНИКІВ 1. Сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180º: А + В + С = 180º. 2.Зовнішнім кутом трикутника називається кут, який суміжний з внутрішнім кутом. Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох внутрішніх кутів трикутника, не суміжних з ним: 1 = А + С. 3. У трикутнику проти більшої сторони лежить більший кут, а проти більшого кута лежить більша сторона. МЕДІАНА ТРИКУТНИКА Медіаною трикутника назива- ється відрізок, що з’єднує вершину кута трикутника з серединою проти- лежної сторони. АМ – медіана, ВМ = МС = ВС. ВЛАСТИВОСТІ МЕДІАНИ 1) Медіана трикутника ділить його на два рівновеликих трикутника: = . 2) Медіана трикутника не менша від висоти й бісектриси трикутника, які проведені з однієї вершини. 3) Довжину медіани трикутника можна обчислити за формулою: ma 2 = .
  • 53.
    52 4) Медіана прямокутноготрикутника, проведена до гіпотенузи, дорівнює половині гіпотенузи: СМ = АВ = R, де R – радіус описаного кола. 5) Медіани трикутника перетинаються в одній точці (центрі мас трикутника) і діляться цією точкою у відношенні 2 : 1, рахуючи від вершини: . 6) Три медіани трикутника ділять трикутник на шість рівновеликих трикутників: = = = . 7)Довжини медіан трикутника ma; mb; mс пов’язані зі сторонами а, b,c трикутника співвідношенням: ma 2 + mb 2 + mс 2 = (а2 + b2 + с2 ). 8) Площу трикутника можна обчислити за формулою: = , де ma; mb; mс– медіани трикутника, проведені до сторін а, , с. Зауважимо, що при розв’язуванні задач, у яких фігурує медіана, часто буває зручним добудова трикутника до паралелограма, тобто продовження медіани за точку перетину зі стороною і відкладання на продовженні відрізка, рівного медіані. При цьому корисно пам’ятати, що сума квадратів усіх сторін паралелограма дорівнює сумі квадратів його діагоналей (наслідок із теореми
  • 54.
    53 косинусів). СЕРЕДНЯ ЛІНІЯ ТРИКУТНИКА Середньоюлінією трикутника називається відрізок, що сполучає середини двох його сторін. МN – середня лінія трикутника, М – середина АВ, N – середина ВС. ВЛАСТИВОСТІ СЕРЕДНЬОЇ ЛІНІЇ Середня лінія трикутника паралельна до третьої сторони і дорівнює половині цієї сторони: МN АС, МN = АС. БІСЕКТРИСА ТРИКУТНИКА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ Бісектрисою трикутника називається відрізок бісектриси кута, що з’єднує вершину кута з точкою протилежної сторони. AL – бісектриса, ВАL = САL = ВАС. 1) Бісектриса ділить протилежну сторону на відрізки, пропорційні протилежним сторонам трикутника: С . 2) Бісектриса трикутника не менша від висоти трикутника і не більша від медіани трикутника, які проведені з однієї вершини. 3) Довжину бісектриси можна знайти за однією з формул: АL2 = АВ · АС – LВ · LС;АL = ;la = . 4) Бісектриси внутрішнього й суміжного з ним зовнішнього кута трикутника – перпендикулярні: LС, КС – бісектриси, LС КС.
  • 55.
    54 5) Усі бісектриситрикутника перетинаються в одній точці – центрі кола, вписаного в трикутник: = . 6) Бісектриса зовнішнього кута нерівнобедреного трикутника перетинає продовження протилеж- ної сторони в точці, яка віддалена від кінців сторони на відстанях, пропорційних двом іншим сторонам: . 7) Продовження бісектриси перетинається із серединним перпендикуляром у точці, яка лежить на колі, описаному навколо трикутника. 8) Якщо О – точка перетину бісектрис, то АОС= + В; АОВ = + ВОС = + ВИСОТА ТРИКУТНИКА ТА ЇЇ ВЛАСТИВОСТІ Висотою трикутника називають відрізок перпендикуляра, опущеного з вершини трикутника на пряму, що містить протилежну сторону.
  • 56.
    55 1) Висота трикутникане більша за бісектрису і медіану, які проведені з однієї вершини: ВН – висота, ВL – бісектриса, ВМ – медіана АВС. 2)Якщо в гострокутному ∆АВС проведені висоти і , то ∆ ∆АВС. 3) Висоту трикутника можна знайти за формулами : =b =csin β ; = = ,де p= . 4) Сума відстаней від основ двох висот трикутника до середини його третьої сторони дорівнює третій стороні: Якщо AM=MB; BF AС, АD MF+МD =АВ. 5)Прямі, які містять висоти трикутника, перетинаються в одній точці, точка H – ортоцентр трикутника. Якщо трикутник гострокутний, точка Н – внутрішня точка трикутника, якщо прямокутний – лежить на межі (співпадає з вершиною прямого кута), якщо тупокутний – зовні трикутника. 6)Висоти трикутника обернено пропорційні відповідним сторонам, тобто
  • 57.
    56 : . 7) Сумаобернених чисел до висот трикутника дорівнює числу, оберненому до радіуса вписаного кола + . РІВНОБЕДРЕНИЙ ТРИКУТНИК Рівнобедреним називається трикутник, у якого дві сторони рівні. Рівні сторони називаються бічними, а третя сторона – основою. ∆АВС – рівнобедрений, АВ = ВС – бічні сторони, АС – основа, А = С – кути при основі рівні. = ; R= = ; r = = tg . РІВНОСТОРОННІЙ (ПРАВИЛЬНИЙ) ТРИКУТНИК Рівностороннім називається трикутник, у якого всі сторони рівні (і всі кути рівні). АВ=ВС=СА=а; А = В = С= ; = = a (R+r). ПЛОЩА ТРИКУТНИКА a = b = c ; absinγ = acsinβ = bcsin α; ; ; =2 sinγsinβ sinα .
  • 58.
    57 РОЗВ’ЯЗУВАННЯ ТРИКУТНИКІВ Теорема косинусів.Квадрат сторони трикутника дорівнює сумі квадратів двох інших сторін без подвоєного добутку цих сторін на косинус кута між ними: =  . Теорема синусів. Сторони трикутника пропорційні синусам протилежних їм кутів: = =2R, де R – радіус описаного кола. СПІВВІДНОШЕННЯ МІЖ СТОРОНАМИ ТА КУТАМИ ПРЯМОКУТНОГО ТРИКУТНИКА AC, BC – катети(AC BC); AB – гіпотенуза; АСВ= ; + = ; – теорема Піфагора; = ; = tg = = ; ctg = = ; a b.  ;  ;  ; ;  ; ; ; . Приклади розв’язання задач Проілюструємо на прикладах основні теоретичні факти цього пункту. Приклад 1. У трикутнику АВС дано висоту ВН, проведену до сторони АС, і проекцію сторони АВ на АС. Обчисліть довжину сторони ВС, якщо радіус R описаного навколо АВС кола відомий (використайте дані рисунка). Розв’язання. Трикутник АВН прямокутний, у ньому відомі два катети, а тому є можливість (за потреби) порахувати гіпотенузу і усі кути
  • 59.
    58 (тригонометричні функції усіхкутів).У трикутнику АВС відомі радіус описаного кола, сторона АВ і кут А(синус кута А), а тому із наслідку теореми синусів можемо знайти сторону ВС. А тому розв’язання виглядає так: 1. АВН: (од.); . 2. АВС: , звідки  або   (од.). Перевірка: 1) Із СВН:  (од.); а тоді ; 2) Із АВС: , звідки  або   (од.). АВН подібний до єгипетського (6; 8; 10), правильно. Інша перевірка: 1) Отримано:ВС=12 од., АВ=10 од. (трикутник АВН: 6; 8; 10). Із СВН: (од.). а тоді (од.), використаємо формулу    , обчислимо площу   , звідки     , отримаємо для радіуса описаного кола    наступне числове значення (за умовою воно має вийти 7,5 од.):     (од.). Отримані числові значення гарантують, що обчислювальної помилки у процесі розв’язання задачі не допущено. Відповідь: 12 од. Приклад 2. Використовуючи дані рисунка, обчисліть невідому сторону трикутника ABC. Розв’язання. Запишемо теорему косинусів, використовуючи відому сторону, яка лежить навпроти заданого в умові кута:    30cos332337 222  xx , спростимо отримане рівняння: 049 2 3 332272  xx , матимемо квадратне рівняння 02292  xx ,
  • 60.
    59 розв’язками якого є– 2 та 11, умову задачі задовольняє лише х=11. Відповідь: 11 лін. од. Приклад 3. Обчисліть сторону ВС трикутника АВС, якщо АВ= 24 см і АС=5 см, а градусна міра кута АВС дорівнює 45 о . Скільки розв’язків має задача? Наведіть геометричну інтерпретацію відповіді. Розв’язання. Виконаємо рисунок, застосуємо теорему косинусів:    45cos242245 222  xx . Після спрощення отримаємо квадратне рівняння ,83225 2 xx  звідки ,0782  xx коренями якого є два додатні числа 1x і 7x , а тому задача має два розв’язки. Геометрична інтерпретація: після побудови відрізка АВ заданої довжини і відкладання променя АС так, що АВС=45 о , лишилося побудувати точку С, яка знахо- диться на відстані 5 см від точки А. Геометричне місце точок, яке знаходиться на заданій відстані від заданої точки, є коло з центром у даній точці і радіусом, який дорівнює заданій відстані. У нашій задачі коло з центром у точці А перетинає промінь ВС у двох точках, а тому задача має два розв’язки (два різних трикутники). Коло може перетинати цей промінь в одній точці (наприклад, пряму ВС – у двох точках, а промінь – лише в одній, або дотикатися до променя), може перетинати у двох точках, може взагалі не перетинати його. А тому у загальному випадку задача може мати 0, 1 або 2 розв’язки. Зауважимо, що у обох випадках виконується нерівність трикутника, а тому є дві відповіді до задачі. Відповідь: 1 або 7 см.
  • 61.
    60 Приклад 4. Обчислітьнайбільший кут трикутника АВС, сторони якого дорівнюють 7, 28 і 17 см. Розв’язання. Упорядкуємо за зростанням сторони трикутника, отримаємо, що 7< 28 <17, перша нерівність очевидна, а друга виконується, оскільки   12828 2  , 289172  . Нас цікавить кут, який лежить навпроти сторони 17 см. Запишемо теорему косинусів:   xcos287228717 222  , виразимо xcos з отриманого рівняння:   2 2 2 1 2112 112 2112 28912849 2872 17287 cos 222        x , маємо табличне значення, а тому  135x – найбільший за величиною кут даного трикутника. Відповідь: 135 о . Приклад 5. У трикутнику АВС сторони АВ, ВС і АС дорівнюють 23 см, 5 см і 7 см, відповідно. Установіть відповідність між кутами (1–4) і їхніми градусними мірами (А, Б, В, Г, Д). Кути 1. АВС 2. АСВ 3. ВАС 4. ВАС+АСВ Градусні міри А) (0 о ; 30 о ) Б) [30 о ; 45 о ) В) [45 о ; 60 о ) Г) [60 о ; 90 о ) Д) [90 о ; 120 о ) Е) [120 о ; 180 о ) Розв’язання. Упорядкуємо за зростанням сторони трикутника: 23 <5<7, тому що   1823 2  , 2552  , очікуваний результат такий: АСВ – найменший,ВАС – середній за величиною,АВС – найбільший. Обчислимо кути: 1)                 10 2 arccos180 10 2 230 491825 2352 7235 cos 222  ABCABC . Оскільки 2 1 10 2 0  і  60 2 1 arccos;900arccos  (врахуємо, що у першій чверті косинус є спадною функцією), отримаємо, що 2 1 arccos 10 2 arccos0arccos  або
  • 62.
    61   90;60 10 2 arccos , а тоді   60;90 10 2 arccos  , звідки   120;90ABC і правильна відповідь 1 Д. 2)   5 4 arccos 5 4 70 56 70 184925 752 2375 cos 222       ACBACB . Оскільки  45 2 2 arccos;30 2 3 arccos;01arccos  і 2 3 5 4 2 2  , бо 5,0 2 1 2 2 2         , 64,0 25 16 5 4 2       , 75,0 4 3 2 3 2         , а тому   45;30 5 4 arccos  , тобто   45;30ACB правильна відповідь 2 Б. 3)   ;45 2 2 2 1 242 42 242 251849 2372 5237 cos 222        BACBAC це табличне значення входить у проміжок )60;45[  , правильна відповідь 3 В. 4) Для обчислення суми кутів ВАС+АСВ, скористаємося властивостями нерівностей (нерівності можна почленно додавати, до обох частин нерівності можна додавати одне і те ж число і т.д.):  45BAC ,   45;30ACB , їхня сума лежить у межах   90;75 ACBBAC , цей проміжок входить у проміжок )90;60[  , відповідь 4 Г. Відповідь: 1 Д, 2 Б, 3 В, 4 Г. Приклад 6. У трикутнику АВС градусна міра АВС=45 о , а сторони АВ і ВС дорівнюють 24 см і 1 см, відповідно. Виберіть проміжок, у який потрапляє довжина медіани, проведеної до третьої сторони АС (у см): А Б В Г Д [2; 3) [3; 3,5) [3,5; 4) [4; 4,5) Інша відповідь Розв’язання. Оскільки розв’язання задачі потребує відшукання медіани, проведеної до сторони АС, добуду- ємо трикутник до паралелограма (див. рисунок).
  • 63.
    62 Щоб застосувати основнийфакт для відшукання медіани трикутника із застосуванням властивостей паралелограма (сума квадратів діагоналей паралелограма дорівнює сумі квадратів усіх його сторін), знайдемо спочатку сторону АС:   25832145cos2412241 222   AC (за теоремою косинусів), звідки АС=5 см. Для паралелограма АВСK:   22222  BCABBKAC , звідки знайдемо діагональ ВK:     41521242 2222222       ACBCABBK , а тоді 41BK (см). Оскільки 62 =36, 72 =49, то  7;641 BK . А тоді )5,3;3[ 2 7 ;341 2 1 2 1        BKBM , а тому відповідь Б. Зауваження 1. Якщо учень знає формулу для обчислення медіани (див. теоретичні відомості до цього розділу), то після відшукання третьої сторони АС трикутника АВС він може підставляти усі значення сторін безпосередньо у готову формулу медіани. Перший спосіб розв’язування цієї задачі вказує на альтернативне розв’язання цієї задачі, воно є достатньо компактним і універсальним, а тому працює і в тому числі, коли відомі медіана і дві сторони, а треба знайти третю сторону трикутника. Зауваження 2. Задачу можна розв’язати, застосувавши тричі теорему косинусів: перший раз у АВС, щоб знайти третю невідому сторону АС. Другий раз – знову у АВС, щоб, маючи три сторони, знайти косинус кута ВАС (застосування теореми синусів у цьому випадку значно гірше, бо потребуватиме відшукання за синусом косинуса, а це неоднозначна дія, оскільки з основної тригонометричної тотожності cos2 A+sin2 A=1 випливає дві можливості для cos A – плюс і мінус, і потрібне додаткове дослідження, чи кут А є гострим, тоді у косинуса знак плюс, чи кут є тупим, тоді знак мінус. Застосування ж теореми косинусів не потребує ніяких додаткових досліджень і дає одразу косинус потрібного кута). І, враховуючи, що косинус кута А порахований, сторона АВ відома, сторона АМ дорівнює половині АС, є можливість розглянути АВМ, записавши третій, останній, раз теорему косинусів для відшукання невідомої сторони цього трикутника ВМ, яка і є медіаною для початкового АВС.
  • 64.
    63 Відповідь: Б. Приклад 7.У трикутнику АВС градусна міра АВС=60 о , а сторони АВ і ВС дорівнюють8см і 3 см, відповідно. Обчисліть довжину бісектриси lа, проведеної до сторони ВС (у см), у відповідь запишіть al21 . Розв’язання. Проаналізуємо нашу задачу. 1. За теоремою косинусів обчислимо третю сторону АС трикутника АВС. 2. Бісектриса АL поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні бічним сторонам АВ і АС. Знайдемо відрізки ВL і LС. 3. За теоремою косинусів обчислимо третю сторону АL трикутника АВL. Реалізація: 1. 492464960cos83283 222   AC , а тому АС = 7 см. 2.BL : LC = BA : AC = 8:7BL = 8x, LC = 7x; оскільки BL + LC = BC, то маємо рівняння 8x + 7x = 3, звідки x = 0,2 см, а тому BL = 1,6 см, LC = 1,4 см. 3.   25 2164 25 525164 5 64 1 64 25 64 60cos8 5 8 28 5 8 2 2 2            AL , а то- му довжина бісектриси 216,121 5 8 25 2164   AL см. Вивчаємо уважно умову задачі з метою запису правильної відповіді. У відповідь записуємо al21 , тобто 6,33216,1216,121  . Відповідь: 33,6. Приклад 8. У трикутнику АВС сторони дорівнюють 35 см, 38 см і 60 см. Обчисліть довжину бісектриси, проведеної до середньої за величиною сторони трикутника. Розв’язання. Аналіз. 1. У нас є три сторони, а тому можна (за потреби) порахувати усі кути (тригонометричні функції потрібних кутів). 2. Бісектриса АL поділяє протилежну сторону на відрізки, пропорційні
  • 65.
    64 бічним сторонам АВі АС. Знайдемо відрізки ВL і LС. 3. За теоремою косинусів обчислимо третю сторону АL трикутника АВL. Реалізація: 1. BBCABBCABAC cos2222  , а тому BCAB ACBCAB B    2 cos 222 , 38602 353860 cos 222   B , . 80 67 192202 1967 38202 1273 382032 )731200(3 38602 7333600 cos             B 2. BL : LC = BA : AC = 60:35=12:7BL = 12x, LC =7x; BС = 19x, оскільки BL + LC = BC, а тому маємо рівняння 19x = 38, звідки x = 2 см, а тому BL = 24 см, LC = 14 см. 3.  67161006 80 67 41024106 80 67 246022460 2222222       AL , а тому довжина бісектриси 424962 AL см. Зауваження. Якщо учневі знайома формула: LCLBACABAL 2 , то розв’язання починається з другого пункту (рівняння 19x = 38), висновку: BL = 24 см, LC = 14 см. А далі лишається підставити у формулу:   .42732)73(7)34(21712 2255712722127551214243560  AL Відповідь: 42 см. Важливо звертати увагу на раціональність обчислень, уміння спрощувати вирази, це теж є важливим моментом при підготовці до ЗНО. Завдання для самостійної роботи у форматі ЗНО 1. (ЗНО, 2016 р.) Якому значенню серед наведених може дорівнювати довжина сторони АС трикутника АВС, якщо АВ=3 см, ВС=10 см? А Б В Г Д 3 см 5 см 7 см 11 см 15 см
  • 66.
    65 2. Якого найменшогоцілочислового значення може набувати третя сторона трикутника, дві сторони якого дорівнюють 2 і 10 см? А Б В Г Д 8 см 9 см 10 см 11 см 12 см 3. Якого найбільшого цілочислового значення може набувати периметр трикутника, дві сторони якого дорівнюють 7 і 13 см? А Б В Г Д 27 см 30 см 35 см 39 см 40 см 4. Скільки різних цілочислових значень може набувати третя сторона трикутника, дві сторони якого дорівнюють 5 і 11 см? А Б В Г Д 5 7 9 10 11 5. У яких межах лежить третя сторона а трикутника, дві сторони якого дорівнюють 7 і 11 од.? А Б В Г Д )18;4(a ]18;4[a )17;5(a ]17;5[a )11;7(a 6. Периметр трикутника дорівнює 21 од. У яких межах лежить найбільша сторона а цього трикутника? А Б В Г Д )10;8(a ]10;8[a )5,10;7(a ]5,10;7(a )5,10;7[a 7. Периметр трикутника дорівнює 12 од. У яких межах лежить найменша сторона а цього трикутника? А Б В Г Д )6;0(a ]4;1[a ]4;0(a )6;4[a )6;4(a 8. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 17 м, а одна із сторін 5 м. Якого значення може набувати найбільша сторона трикутника? А Б В Г Д 5 м 6 м або 7 м 6 м 7 м 8 м
  • 67.
    66 9. Периметр рівнобедреноготрикутника дорівнює 21 дм, а одна із сторін 9 дм. Якого значення може набувати найменша сторона трикутника? А Б В Г Д 3 дм 5 дм 6 дм 3 дм або 6 дм 9 дм 10. Периметр рівнобедреного трикутника дорівнює 24 см, а одна із сторін 4 см. Якого значення може набувати найбільша сторона трикутника? А Б В Г Д 4 см 8 см 10 см 10 см або 16 см 16 см 11. Використовуючи дані рисунка, обчисліть середній за значенням кут трикутника АВС. А Б В Г Д 30 о 40 о 50 о 70 о 90 о 12. Використовуючи дані рисунка, обчисліть градусну міру кута х. А Б В Г Д 55 о 85 о 95 о 135 о 140 о 13. Використовуючи дані рисунка, обчисліть градусну міру кута х. А Б В Г Д 35 о 85 о 90 о 95 о 125 о 14. Використовуючи рисунок, обчисліть градусну міру найменшого кута АВС. А Б В Г Д 10 о 30 о 35 о 40 о 110 о 15. Використовуючи дані рисунка, обчисліть значення кута х (у градусах). А Б В Г Д 50 о 57,5 о 50 о або 57,5 о 60 о 65 о
  • 68.
    67 16. Один зкутів рівнобедреного трикутника має градусну міру 64 о . Обчисліть градусну міру меншого за величиною кута цього трикутника. А Б В Г Д 52 о 54 о 56 о 58 о 52 о або 58 о 17. Один з кутів прямокутного трикутника у п’ять разів менший за інший кут трикутника. Обчисліть градусну міру середнього за величиною кута цього трикутника. А Б В Г Д 60 о або 75 о 68 о або 72 о 72 о 72 о або 75 о 75 о 18. У АВС градусні міри кутів А і В дорівнюють 20 о і 40 о , відповідно. Обчисліть кут між висотою і бісектрисою, проведеними із вершини С. А Б В Г Д 5 о 10 о 20 о 30 о 40 о 19. У АВС градусні міри кутів А і В дорівнюють 10 о і 110 о , відповідно. Обчисліть кут між висотою і бісектрисою, проведеними із вершини С. А Б В Г Д 10 о 20 о 30 о 40 о 50 о 20. У АВС градусні міри кутів А і В дорівнюють 50 о і 70 о , відповідно. Виберіть твердження, яке виконується для сторін цього трикутника. А Б В Г Д cba  bac  bca  abc  acb  21. У АВС відомо, що градусні міри кутів А і В дорівнюють 45 о і 30 о , відповідно, а дов- жина 23AC см. Обчисліть довжину середньої за величиною сторони АВС. А Б В Г Д 3 м 4 м 33 м 6 м 63 м
  • 69.
    68 22. У трикутникуАВС відомо, що градусні міри кутів А і В дорівнюють 45 о і 75 о , відповідно, а довжина сторони 6AB см. Обчисліть довжину найменшої сторони АВС. А Б В Г Д 1 см 2 см 1,5 см 3 см 2 см 23. У трикутнику АВС сторона АВ=5 см, а градусні міри прилеглих кутів дорівнюють 45 о і 105 о . Обчисліть діаметр кола, описаного навколо АВС. А Б В Г Д 10 см 35 см 25 см 5 см 210 см 24. Використовуючи дані рисунка (усм), обчисліть значення невідомої величини х (у см). А Б В Г Д 5,5 см 6 см 7,5 см 8 см 12 см 25. Обчисліть невідому сторону АВС, якщо дві сторони цього трикутника дорівнюють 7 і 15 см, а кут між ними дорівнює 60 о . А Б В Г Д 3105274 см 10 см 2105274 см 13 см 14 см 26. Сторони паралелограма дорівнюють 25 см і 7 см, а кут між ними дорівнює 135 о . Обчисліть більшу діагональ паралелограма. А Б В Г Д 29 см 23599  см 113 см 10 см 13 см 27. Використовуючи дані рисунка у см, обчисліть невідомий елемент (у см). А Б В Г Д 4 см 5 см 5,5 см 6 см 79 см
  • 70.
    69 28. Обчисліть сторонуАВАВС, якщо АС= 2 см і ВС= 25 см, а градусна міра кута ВАС дорівнює 135 о . А Б В Г Д 6 см 8 см 21052  см 10 см 146 см 29. Обчисліть сторону АС трикутника АВС, якщо АВ=13 см і ВС=15 см, а градусна міра кута АСВ дорівнює 60 о . А Б В Г Д 6 см 7 см 6 см або 7см 7 см або 8 см 8 см 30. Обчисліть градусну міру кута АСВ трикутника АВС, якщо АВ=13 см, АС=1 см, ВС= 37 см. А Б В Г Д 26 315 arccos 26 23 arccos 30 о 120 о 150 о 31. Обчисліть середній за значенням кут трикутника АВС, сторони якого дорівнюють 13, 25 і 17 см. А Б В Г Д 13 12 arccos 26 27 arccos 45 о 135 о          26 27 arccos 32. Обчисліть периметр АВС, якщо АВ=16 см, АС=21 см, а градусна міра кута ВАС дорівнює 60 о . А Б В Г Д 50 см 52 см 54 см 56 см Інша відповідь 33. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторони дорівнюють 3 дм і 25 дм, а кут між ними 45 о . А Б В Г Д 7,5 дм2 25,7 дм2 15 дм2 215 дм2 30 дм2
  • 71.
    70 34. Знайдіть площупрямокутного трикутника, якщо його катети дорівнюють 63 см і 24 см. А Б В Г Д 6 см2 66 см2 18 см2 36 см2 Трикутник не існує 35. Знайдіть площу трикутника, якщо його сторона дорівнює 18 дм, а висота, проведена до цієї сторони, дорівнює 25 дм. А Б В Г Д 65 дм2 15 дм2 215 дм2 30 дм2 Інша відповідь 36. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза 37 м, а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 32 м. А Б В Г Д 21 м2 314 м2 614 м2 42 м2 Трикутник не існує 37. Якого найбільшого значення може набувати площа прямокутного трикутника, гіпотенуза якого 9 см? А Б В Г Д 10,125 см2 18 см2 20,5 см2 20,25 см2 40,5 см2 38. Знайдіть площу прямокутного трикутника, якщо його гіпотенуза 9 см, а висота, проведена до гіпотенузи, дорівнює 34 см. А Б В Г Д 313 см2 349  см2 318 см2 336 см2 Трикутник не існує 39. Якого найбільшого значення може набувати площа трикутника, дві сторони якого дорівнюють 7 і 13 дм? А Б В Г Д 6 дм2 20 дм2 22,75 дм2 45,5 дм2 91 дм2 40. Знайдіть площу АВС, якщо його сторони дорівнюють 6, 25 і 29 см. А Б В Г Д 512 см2 30 см2 320 см2 245 см2 60 см2
  • 72.
    71 41. Знайдіть площуАВС, якщо його периметр дорівнює 64 см, а радіус вписаного кола – 3¾ см. А Б В Г Д 60 см2 90 см2 120 см2 240 см2 Інша відповідь 42. Знайдіть радіус кола, вписаного у трикутник АВС, якщо його сторони дорівнюють 11, 13 і 20 см. А Б В Г Д 3 см 4 см 5 см 6 см 6,5 см 43. Знайдіть площу круга, вписаного у трикутник АВС, якщо його сторони дорівнюють 10, 17 і 21 см. А Б В Г Д 3,5π см2 7π см2 10,5π см2 12,25π см2 12,5π см2 44. Знайдіть радіус кола, описаного навколо трикутника АВС, якщо його сторони дорівнюють 4, 13 і 15 см. А Б В Г Д 1,5 см 3 см 4,5 см 6 см 8,125 см 45. Гіпотенуза і катет прямокутного трикутника дорівнюють 61 і 60 дм, відповідно. Знайдіть радіус кола, вписаного у цей трикутник. А Б В Г Д 4 дм 5 дм 10 дм 11 дм 30,5 дм 46. Катети прямокутного трикутника дорівнюють 7 і 24 м. Знайдіть радіус кола, описаного навколо цього трикутника. А Б В Г Д 3 м 12 м 15,5 м 12,5 м 31 м 47. У рівнобедреному трикутнику основа дорівнює 6 см, а висота, проведена до основи – 4 см. Обчисліть радіус кола, описаного навколо трикутника. А Б В Г Д 1,5 см 2 см 3,125 см 3,5 см 6,25 см
  • 73.
    72 48. У рівнобедреномутрикутнику основа дорівнює 16 дм, а висота, проведена до основи – 15 дм. Обчисліть радіус кола, вписаного у трикутник. А Б В Г Д 2,4 дм 4,8 дм 6 дм 9,6 дм 9,6(3) дм 49. У рівносторонньому трикутнику сторона основи дорівнює 33 см. Обчисліть радіус кола, вписаного у трикутник. А Б В Г Д 1,5 см 3 см 2 см 3 см 33 см 50. У рівносторонньому трикутнику сторона основи дорівнює 6 дм. Обчисліть радіус кола, описаного навколо трикутника. А Б В Г Д 3 дм 2 дм 2,5 дм 3 дм 32 дм 51. У прямокутному трикутнику катети 12 і 10 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до меншого катета. А Б В Г Д 6,5 см 61 см 342 см 13 см 612 см 52. У прямокутному трикутнику катети 20 і 21 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до гіпотенузи. А Б В Г Д 6 см 14,5 см 20,5 см 541см 29 см 53. У прямокутному АВС точки K i L – середини катетів, довжина відрізка KL=13 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до гіпотенузи. А Б В Г Д 6,5 см 9 см 13 см 26 см Визначити неможливо 54. Медіана АМ поділяє трикутник АВС на два трикутники AВМ і AСМ, площа першого з них дорівнює 7 см2 . Обчисліть площу трикутника АВС. А Б В Г Д 7 см2 10,5 см2 14 см2 21 см2 Інша відповідь
  • 74.
    73 55. У рівнобедреномутрикутнику бічна сторона дорівнює 37 см, а основа – 24 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до основи. А Б В Г Д 12 см 13 см 18,5 см 24 см 35 см 56. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 7 см, 9 см і 14 см. Обчисліть довжину медіани, проведеної до найбільшої сторони. А Б В Г Д 4 см 5 см 8 см 0,5 409 см 0,5 505см 57. На рисунку AL – бісектриса трикутника АВС. Використовуючи дані рисунка у см, обчисліть невідому сторону х (у см). А Б В Г Д 4,8 см 5 см 6 см 7 см 7,5 см 58. У трикутнику АВС бісектриса AL поділяє сторону ВС на відрізки завдовжки 7 і 3 дм, а периметр АВС дорівнює 25 дм. Обчисліть найбільшу сторону трикутника АВС. А Б В Г Д 4,5 дм 10 дм 10,5 дм 11 дм 15 дм 59. У трикутнику АВС бісектриса AL поділяє сторону ВС на відрізки завдовжки 10,2 і 4,8 см, а периметр трикутника АВС дорівнює 40 см. Установіть вид трикутника АВС. А Б В Г Д Гострокутний різносторонній Гострокутний рівнобедрений Прямокутний Тупокутний Визначити неможливо
  • 75.
    74 60. Бісектриса ALподіляє трикутник АВС на два трикутники AВL і AСL, площі яких дорівнюють 16 і 9 см2 , відповідно. Чому дорівнює відношення бічних сторін АВ:АС? А Б В Г Д 4:3 16:9 256:81 2 : 3 Визначити неможливо 61. У трикутнику АВС сторони дорівнюють 6 см, 7 см і 8 см. Обчисліть довжину бісектриси, проведеної до середньої за величиною сторони трикутника. А Б В Г Д 5,25 см 5,5 см 6 см 7 см 7,5 см 62.Точки M, N і K є серединами сторін АВ, ВС і АСАВС, відповідно(див. рисунок). Виберіть продовження речення, так щоб утворилася правильна рівність: вектор MN А Б В Г Д CK AC2 CA 2 1  ABCB  2 1  BCAB  2 1 63.Точки K, M вибрано на сторонах АВ і ВС АВС так, що ВKM=ACB (див. рисунок). Довжини ВМ=4 см, KМ=5 см, АС=6 см. Обчисліть довжину сторони АВ. А Б В Г Д (45)/6 см 4,8 см 5 см 7,5 см 9 см 64. Сторони трикутника відносяться, як 4:5:6. Обчисліть більшу сторону подібного йому трикутника, середня сторона якого дорівнює 8 см. А Б В Г Д 3 26 см 9 см 9,6 см 10 см 12 см
  • 76.
    75 65.Через точку перетинумедіан трикутника АВС проведено пряму а||AC, яка перетинає сторони АВ і ВС у точках K і M, відповідно. Обчисліть довжину сторони АС трикутника АВС, якщо довжина відрізка KМ=6 см. А Б В Г Д 4 см 6 см 7,5 см 9 см 12 см 66.Точки M і N вибрано на сторонах АВ і ВС трикутника АВС (див. рисунок) так, що ВMN=BAC. Обчисліть довжину сторони АC, якщо довжини ВМ=4 см, AМ=1 см, MN=6 см. А Б В Г Д (45)/6 см 4,8 см 7,5 см 12 см 24 см 67.Пряма l проведена паралельно до сторони ВС АВС так, що перетинає сторони АВ і AC у точках D і F, відповідно(див. рисунок). Обчисліть площуАВС, якщо площа АDF дорівнює 6 м2 , а довжини AD=2 м, DB=3 м. А Б В Г Д 4 м2 9 м2 13,5 м2 15 м2 37,5 м2 68. Точки K і N вибрано на сторонах АВ і ВС трикутника АВС так, що ВNK=BCA(див. рисунок). На скільки відсотків сторона BK менша за сторону AB, якщо площаВKN дорівнює 8 м2 , а площа чотирикутника АKNC дорівнює 10 м2 ? А Б В Г Д 25 % 33,(3) % 40 % 50 % 80 %
  • 77.
    76 69. У прямокутномуАВС проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 1 см і 15 см (див. рисунок). Чому дорівнює довжина меншого катета? А Б В Г Д 15 – 1 см 3 см 14 см 15 см 4 см 70. У прямокутному АВСС=90о , один з катетів дорівнює 3 см, а проекція іншого катета на гіпотенузу – 8 см. Чому дорівнює проекція першого катета на гіпотенузу? А Б В Г Д 3/8 см 1 см 1,5 см 2 см 8/3 см 71. У прямокутному АВС проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 3дм і 12дм (див. рисунок). Чому дорівнює довжина висоти, проведеної до гіпотенузи? А Б В Г Д 2 дм 3 дм 4 дм 6 дм 3 12 дм 72. У прямокутному АВС проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 1 см і 9 см (див. рисунок). Чому дорівнює площа прямокутного трикутника? А Б В Г Д 30 см2 15 см2 10 см2 9 см2 4,5 см2 73. У прямокутному АВС на катетах, як на сторонах, побудували квадрати. На скільки см2 площа одного квадрата більша за площу іншого квадрата, якщо проекції катетів на гіпотенузу дорівнюють 3 см і 7 см? А Б В Г Д 40 см2 16 см2 4 см2 70 – 30 см2 7 – 3 см2
  • 78.
    77 74. У прямокутнийАВС вписано коло (див. рис.). Точка дотику кола до гіпотенузи поділила її на відрізки 3 і 10 см. Обчисліть периметр АВС (у дм). А Б В Г Д 2,7 дм 2,8 дм 3 дм 3,2 дм 3,5 дм 75. У рівнобедрений трикутник АВС (АВ=ВС) вписано коло, точки дотику кола до сторін трикутника K, L, M(див. рисунок). Використовуючи дані рисунка (у см), обчисліть периметр АВС (у см). А Б В Г Д 10 см 14 см 15 см 16 см Інша відповідь 76. Кожну сторону трикутника збільшили на 10 %. На скільки відсотків збільшиться площа круга, обмеженого вписаним у даний трикутник колом? А Б В Г Д 10 % 10 % 20 % 21 % 100 % 77. У прямокутному АВСС=90о , а проекції катетів на гіпотенузу 9 і 16 см(див. рисунок). До кожного початку речення (1–4) доберіть його закінчення (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1. Довжина висоти СН дорівнює 2. Радіус кола, вписаного у АВС дорівнює 3. Довжина медіани, проведеної до гіпотенузи, дорівнює 4. Відстань між основами висоти і медіани, проведеними до гіпотенузи, дорівнює А 3,5 см Б 5 см В 12см Г 12,5 см Д 15 см
  • 79.
    78 78. Точки M,N і K лежать на сторонах АВ, ВС і АС трикутника АВС, відповідно, причому АМ=АK=MB=5 см, BN=NC=KC=4 м. Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) KN – 2) ВK – 3) СМ – 4) MN – А середня лінія АВС Б медіана АВС В бісектриса АВС Г паралельна до АВ Д має з АВ спільну точку, яка є зовнішньою по відношенню до відрізка АВ 79. Точки M,N і K є серединами сторін АВ, ВС і АС АВС, відповідно.Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилася правильна рівність. 1) вектор AN 2) вектор BO 3) вектор OM 4) вектор MN А  BCAC  6 1 Б  ACAB  2 1 В  BCAB  2 1 Г  BCAC  6 1 Д  BCBA  3 1 80. Дано довільний АВС. Установіть відповідність між початком речення у лівому стовпці (1–4) та його закінченням у правому стовпці (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) центр вписаного кола – це 2) центр описаного кола – це 3) ортоцентр трикутника – це 4) поділяє кожен відрізок всередині трикутника у відношенні 2:1, почи- наючи від вершини, А точка перетину серединних перпендикулярів Б точка перетину медіан В точка перетину висот Г точка перетину бісектрис Д точка Торрічеллі–Ферма
  • 80.
    79 81. Використовуючи схемуміс- цевості, на якій зображено будинок (дім), у якому мешкає родина із 4-х осіб, дитячий садок, магазин, місце роботи батьків (офіс) і школу, та указані відстані від дому до дитячого садка – 600 м, від дому до школи – 1 км та від офісу до школи – 200 м, обчисліть та установіть відпо- відності між маршрутом (1–4) у лівому стовпці та відстанями (А–Д) у правому стовпці Маршрут пересування 1. Офіс – Школа – Магазин – Дім 2. Школа – Офіс – Магазин – Дім 3. Школа – Магазин – Дитсадок – Дім 4. Дім – Магазин – Дитсадок – Дім Відстань А 1100 м Б 1200 м В 1300 м Г 1500 м Д 1800 м 82. Обчисліть сторону АВ трикутника АВС (у см), якщо АС=24 см і ВС=31 см, а градусна міра кута ВАС дорівнює 120 о . 83. Обчисліть середній за величиною кут трикутника АВС, сторони якого дорівнюють 40, 7 і 37 см. 84. Обчисліть найбільший за величиною кут трикутника АВС, сторони якого дорівнюють 13, 7 і 8 см. 85. У трикутнику АВС довжини сторін ВС=19 см, АС=16 см, а градусна міра ВАС=120 о . Обчисліть довжину сторони АВ (у см). 86. Сторони АВС відносяться, як 3:5:7, а його периметр дорівнює 30 см. 1) Обчисліть довжину середньої за величиною сторони трикутника (у дм). 2) Обчисліть градусну міру найбільшого кута трикутника.
  • 81.
    80 87. Сторони АВСдорівнюють 35 і 2 см, а кут між ними дорівнює 30 о . 1) Обчисліть довжину третьої сторони трикутника (у см). 2) Обчисліть довжину радіуса описаного навколо трикутника кола (у см). 88. У трикутнику АВС довжини сторін 7, 15 і 20 см. 1) Обчисліть площу (у см2 ), трикутника АВС. 2) Обчисліть радіус кола (у см), вписаного у трикутник АВС. 89. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 7 см, 11 см і 12 см. Обчисліть довжину медіани (у см), проведеної до найбільшої сторони. 90. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 8 см, 15 см і 19 см. Обчисліть довжину медіани (у см), проведеної до середньої сторони. 91. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 9 см, 19 см і 20 см. Обчисліть довжину медіани (у см), проведеної до найбільшої сторони. 92. У трикутнику довжини сторін дорівнюють 11 см, 15 см і 16 см. 1) Обчисліть довжину медіани (у см), проведеної до найменшої сторони. 2) Обчисліть суму довжин медіан (у см), проведеної до двох менших сторін трикутника. 93. У трикутнику АВС сторони дорівнюють 20 дм, 39 дм і 45 дм. Обчисліть довжину бісектриси (у дм), проведеної до середньої за величиною сторони трикутника. 94. У трикутнику АВС сторони дорівнюють 24 м, 37 м і 50 м. Обчисліть довжину бісектриси (у м), проведеної до середньої за величиною сторони трикутника. 95. У прямокутний АВС вписали коло. Точка дотику кола до гіпотенузи поділила її на відрізки 4 см і 6 см. 1) Обчисліть радіус кола, вписаного у трикутник АВС (у см). 2) Обчисліть відношення площі круга, обмеженого описаним навколо трикутника колом, до площі круга, обмеженого вписаним у АВС колом.
  • 82.
    81 Відповіді до завданьдля самостійної роботи (Розділ ІІІ) 1. Г; 2 Б; 3. Г; 4. В; 5. А; 6. Д; 7. В; 8. Б; 9. Г; 10. В; 11.В; 12.Б; 13.В; 14.Б; 15.А; 16. Д; 17. Г; 18.Б; 19. Д; 20. В; 21.Г; 22.Д; 23.А; 24.В; 25.Г; 26. Д; 27.Б; 28.А; 29. Г; 30. Д; 31.В; 32.Г; 33.А; 34.В; 35.Б; 36.А; 37.Г; 38. Д; 39. Г; 40. Д; 41.В; 42.А; 43.Г; 44.Д; 45.Б; 46.Г; 47.В; 48.Б; 49. А; 50. Д; 51.Г; 52.Б; 53.В; 54.В; 55.Д; 56.А; 57.А; 58.В; 59. В; 60. Б; 61.В; 62.Д; 63.Б; 64.В; 65.Г; 66.В; 67.Д; 68.Г; 69. Д; 70. Б; 71.Г; 72.Б; 73.А; 74.В; 75.Б; 76.Г; 77.1В; 77.2Б; 77.3Г; 77. 4А; 78. 1Д 78.2В; 78.3Б; 78. 4А; 79. 1Б; 79. 2Д; 79. 3А; 79. 4В; 80. 1Г; 80. 2А; 80. 3В; 80. 4Б; 81. 1Б; 81. 2А; 81. 3В; 81. 4Д; 82. 11 см; 83. 60 о ; 84. 120 о ; 85. 5 см; 86.1) 1 дм; 86.2) 120 о ; 87. 1) 7 см; 87.2) 7 см; 88.1) 42см2 ; 88.2) 2см; 89. 7 см; 90. 12,5 см; 91. 11 см; 92.1) 14,5 см; 92.2) 26 см; 93. 24 дм; 94. 30 м; 95.1) 2 см; 95.2) 25:4 або 6,25:1.
  • 83.
    82 Розділ ІV Чотирикутники У цьомурозділі з учнями повторюємо чотирикутники та їхні елементи; паралелограм та його властивості, ознаки паралелограма; прямокутник, ромб, квадрат, трапецію та їхні властивості, середню лінію трапеції; вписані та описані навколо кола чотирикутники. Теоретичні відомості Чотирикутником називається фігура, яка складається з чотирьох точок і чотирьох відрізків, що їх послідовно сполучають. При цьому жодні три з даних точок не повинні лежати на одній прямій, а відрізки, які їх сполучають, не повинні перетинатися. Дані точки називаються вершинами чотирикутника, а відрізки, що їх сполучають, – сторонами чотирикутника. Вершини чотирикутника називаються сусідніми, якщо вони є кінцями однієї з його сторін. Вершини, що не є сусідніми,називаються протилежними. Відрізки, що сполучають протилежні вершини чотирикутника, називаються діагоналями. Сторони чотирикутника, що виходять з однієї вершини, називаються сусідніми сторонами. Сторони, які не мають спільного кінця, називаються протилежними сторонами. Периметр чотирикутника – сума довжин усіх його сторін. Кожна сторона чотирикутника менша від суми трьох інших сторін. Чотирикутник називається опуклим, якщо він лежить в одній півплощині відносно будь-якої прямої, що містить його сторону. На рисунку вище зліва ABCD – опуклий чотирикутник; AC, BD – його діагоналі. На рисунку справа KLMN – неопуклий чотирикутник; KM, LN – його діагоналі.
  • 84.
    83 Сума внутрішніх кутівчотирикутника дорівнює 360 o . Сума зовнішніх кутів чотирикутника, взятих по одному при кожній вершині, дорівнює 360 o . Площа будь-якого чотирикутника дорівнює половині добутку його діагоналей на синус кута між ними:  21214 ;sin 2 1 ddddS kutn  . Навколо чотирикутника можна описати коло тоді і тільки тоді, коли суми градусних мір протилежних кутів дорівнюють 180 o : DAB+DCB=180 o , ABC+ADC=180 o . Достатньо виконання однієї рівності, друга при цьому виконується автоматично. Має місце теорема Птолемея: добуток діагоналей вписаного в коло чотирикутника дорівнює сумі добутків протилежних сторін: ac+ bd = ef. У чотирикутник можна вписати коло, тоді і тільки тоді, коли суми протилежних сторін рівні: a+c= b+d. Ці твердження стосуються усіх без винятку чотирикутників, у тому числі трапецій, паралелограмів, дельтоїдів та інших чотирикутників. Паралелограм Паралелограм – це чотири- кутник, у якого протилежні сторони паралельні. На рисунку ABCD – паралелограм. ВЛАСТИВОСТІ ПАРАЛЕЛОГРАМА – У паралелограма протилежні сторони рівні: AB = CD, BC = AD. – У паралелограма протилежні кути рівні: A=C, B=D. – У паралелограмі сума кутів, прилеглих до однієї сторони, дорівнює180 o .
  • 85.
    84 – Діагоналі паралелограмаперетинаються й у точці перетину діляться навпіл. – Діагональ паралелограма поділяє його на два рівні трикутники: – Діагоналі паралелограма розбивають його на дві пари рівних трикутників. – Якщо через точку перетину діагоналей паралелограма проведено пряму, то відрізок цієї прямої, який розташований між паралельними сторонами, ділиться в цій точці навпіл: ОЗНАКИ ПАРАЛЕЛОГРАМА – Якщо діагоналі чотирикутника перетинаються й у точці перетину діляться навпіл, то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо у чотирикутнику протилежні сторони рівні, то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо у опуклому чотирикутнику дві сторони паралельні й рівні, то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо у чотирикутнику протилежні кути рівні, то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо у чотирикутнику кути, що є прилеглими до кожної із сторін, у сумі дорівнюють 180 o , то цей чотирикутник є паралелограмом. – Якщо кожна діагональ поділяє чотирикутник на два рівні трикутники, то цей чотирикутник є паралелограмом. КУТ МІЖ ВИСОТАМИ ПАРАЛЕЛОГРАМА Висота паралелограма– це відрізок, перпендикулярний до протилежної сторони паралелограма з кінцями на цих протилежних сторонах. На рисунку haіhb – висоти паралелограма.
  • 86.
    85 Найчастіше висоти опускаютьіз вершин паралелограма. Із кожної вершини паралелограма можна провести дві висоти. Кут між ними дорівнюватиме куту паралелограма при сусідній вершині. На рисунку зліва зображений кут між висотами паралелограма, проведеними із тупого кута, на рисунку справа – між висотами, проведеними з гострого кута: ВЛАСТИВОСТІ БІСЕКТРИС КУТІВ ПАРАЛЕЛОГРАМА – Бісектриси сусідніх кутів паралелограма перпендикулярні. – Бісектриси протилежних кутів паралелограма паралельні або збігаються (якщо паралелограм – ромб). – Бісектриса кута паралелограма відтинає від нього рівнобедрений трикутник. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У ПАРАЛЕЛОГРАМІ Периметр паралелограма  baP  2 , висоти паралелограма sinbha  , sinahb  , площа паралелограма  2121 ;sin 2 1 ddddS  , sinabS  , aahS  , bbhS  , 22222 2 2 1 babadd  – сума квадратів діагоналей дорівнює сумі квадратів усіх сторін, де a і b – сторони паралелограма,  – кут між сторонами, 21,dd – діагоналі, ha, hb – висоти, опущені на сторониa і b, відповідно. Прямокутник
  • 87.
    86 Прямокутник – цепаралелограм, у якого всі кути прямі. ВЛАСТИВОСТІ ПРЯМОКУТНИКА Оскільки прямокутник є паралелограмом, він володіє усіма властивостями паралелограма та має ще деякі інші властивості, зокрема: у прямокутнику діагоналі рівні. ОЗНАКИ ПРЯМОКУТНИКА – Якщо в чотирикутнику всі кути рівні, то він є прямокутником. – Якщо в чотирикутнику є три прямі кути, то він є прямокутником. – Якщо в паралелограмі є прямий кут, то паралелограм є прямокутником. – Якщо в паралелограмі діагоналі рівні, то він є прямокутником. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У ПРЯМОКУТНИКУ Периметр прямокутника  baP  2 , висоти прямокутника співпадають зі сторонами, площа прямокутника  21 2 ;sin 2 1 dddS  , abS  , діагональ 22 bad  , радіус описаного кола 22 2 1 2 1 badR  , де a і b – сторони прямокутника. Ромб Ромб – це паралелограм, у якого всі сторони рівні. ВЛАСТИВОСТІ РОМБА Оскільки ромб є паралелограмом, він має всі властивості паралелограма і деякі інші. – Діагоналі ромба перетинаються під прямим кутом. – Діагоналі ромба є бісектрисами його кутів. – Діагоналі ромба розбивають його на чотири рівні прямокутні трикутники. – Висоти ромба рівні.
  • 88.
    87 – Радіус вписаногоу ромб кола дорівнює половині висоти ромба. ОЗНАКИ РОМБА – Якщо в (плоскому) чотирикутнику всі сторони рівні, то він є ромбом. – Якщо в паралелограмі сусідні сторони рівні, то він є ромбом. – Якщо в паралелограмі діагоналі перпендикулярні, то він є ромбом. – Якщо в паралелограмі діагональ є бісектрисою кута, то паралелограм є ромбом. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У РОМБІ Периметр ромба aP 4 , висоти ромба sinah  (рівні), площа ромба 21 2 1 ddS  , sin2 aS  , сторони і діагоналі пов’язані теоремою косинусів та теоремою Піфагора: , 2 sin21 ad  2 cos22 ad  , 22 2 2 1 4add  , радіус вписаного кола sin 2 1 2 1 ahr  , де a – сторона ромба,  – кут між сторонами. Увага: радіус вписаного в ромб кола – це висота прямокутного трикутника, яка проведена з вершини прямого кута, вона має всі властивості висоти прямокутного трикутника, проведеної до гіпотенузи. Квадрат Квадрат — це прямокутник, у якого всі сторони рівні. ВЛАСТИВОСТІ КВАДРАТА Оскільки квадрат є паралелограмом, прямокутником і ромбом водночас, то: – у квадрата всі сторони рівні; – у квадрата всі кути рівні; – діагоналі квадрата рівні, перетинаються під прямим кутом, діляться в точці перетину навпіл, є бісектрисами його кутів; – діагоналі квадрата ділять його на чотири рівні рівнобедрені прямокутні трикутники. ОЗНАКИ КВАДРАТА – Якщо у чотирикутнику всі сторони і всі кути рівні, то він є квадратом.
  • 89.
    88 – Якщо діагоналіпрямокутника перетинаються під прямим кутом, то він є квадратом. – Якщо діагоналі ромба рівні, то він є квадратом. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У КВАДРАТІ Периметр квадрата aP 4 , висоти квадрата співпадають зі сторонами, площа квадрата: 2 2 1 dS  , 2 aS  , діагональ квадрата: 2ad  , радіус вписаного кола: ahr 2 1 2 1  , радіус описаного кола: adR 2 2 2 1  , де a – сторона, d – діагональ квадрата. Трапеція Трапецією називається чотирикутник, у якого тільки дві протилежні сторони паралельні. Ці сторони називаються основами трапеції, а дві інші – бічними сторонами. На рисунку AD i BC – основи, AB i CD – бічні сторони. Трапеція, у якої бічні сторони рівні, називається рівнобічною (див. рисунок вище по центру). Якщо одна з бічних сторін трапеції перпендикулярна до основ, трапеція називається прямокутною (рисунок вище справа). – Кути трапеції, які прилеглі до однієї бічної сторони, у сумі дорівнюють 180 o . – Відрізок, що сполучає середини бічних сторін трапеції, називається середньою лінією трапеції. – Середня лінія трапеції паралельна основам і дорівнює їхній півсумі. Акцентуємо увагу:
  • 90.
    89 1. Середня лініяKM не проходить через точку O перетину діагоналей трапеції (див. рисунок вище зліва). 2. Трикутники BOC і DOA подібні, коефіцієнт подібності дорівнює відношенню основ трапеції. Висотою трапеції називається відрізок прямої, перпендикулярної до основ трапеції з кінцями на основах трапеції. Найчастіше висоту проводять через вершини верхньої основи або через точку перетину діагоналей. Усі висоти трапеції рівні між собою. ВЛАСТИВОСТІ РІВНОБІЧНОЇ ТРАПЕЦІЇ – У рівнобічній трапеції кути при основах рівні. – У рівнобічній трапеції діагоналі рівні. – У рівнобічній трапеції діагоналі утворюють з основою рівні кути. – У рівнобічній трапеції діагоналі, перетинаючись, утворюють два рівнобедрені трикутники, основами яких є основи трапеції. МЕТРИЧНІ СПІВВІДНОШЕННЯ У ТРАПЕЦІЇ Периметр трапеції дорівнює сумі довжин усіх чотирьох сторін трапеції, площа трапеції  2121 ;sin 2 1 ddddS  , hbaS  )( 2 1 , hmS  , де )( 2 1 bam  – середня лінія трапеції. Якщо суми протилежних сторін трапеції рівні, то у трапецію можна вписати коло, радіус вписаного кола дорівнює половині висоти трапеції hr 2 1  . Якщо трапеція рівнобічна, то навколо неї можна описати коло. Щоб знайти радіус описаного навколо рівнобічної трапеції кола, виокремлюють три
  • 91.
    90 із чотирьох вершинтрапеції і шукають радіус кола, описаного навколо вибраного трикутника (за теоремою синусів чи використовуючи метод площ). Для відшукання діагоналі трапеції її заключають у який-небудь трикутник, після чого використовують теорему синусів або теорему косинусів. ДОДАТКОВІ ПОБУДОВИ, ЩО ВИКОРИСТОВУЮТЬСЯ ПРИ РОЗВ’ЯЗУВАННІ ЗАДАЧ НА ТРАПЕЦІЮ Якщо трапеція рівнобічна, то проводять дві висоти CN і BK, чотирикутник KBCN, який відтинається,є прямокутником, тоді довжини відрізків AK=DN=½(AD – BC) (див. рисунок зліва). Якщо трапеція не є рівнобічною, то відтинання прямокутника є менш ефективне (бо тоді трикутники ABK і DCN не є рівними), а тому відтинається паралелограм (рисунок посередині) DCBM, DM=BC, CD=BM, лишається трикутник ABM, у якому дві сторони АВ і ВМ дорівнюють бічним сторонам трапеції АВ і CD, а одна є різницею двох основ: АМ=AD–DM=AD–BC=a–b. Якщо в умові задачі на трапецію фігурують основи і діагоналі, то виконання паралельного перенесення однієї з діагоналей, наприклад АС, на вектор СВ, забезпечує роботу з трикутником DBN, у якому дві сторони DB і BN(BN=AC) – відомі діагоналі, а третя сторона є сумою основ: DN=DA+AN, DN=DA+BC=a+b (рисунок справа). Приклади розв’язання задач Приклад 1. Чи існує трапеція, основи якої дорівнюють 4 і 7 см, а бічні сторони 2 і 5 см? Розв’язання. Виконаємо рисунок. Чотирикутник зі сторонами 7, 5, 4 і 2 см існує,
  • 92.
    91 оскільки найбільша сторонаменша за суму інших. Проте, це не гарантує, що існує трапеція з такими сторонами. Виконаємо паралельне перенесення відрізка АВ на вектор ВС, отримаємо образ точки А – точку K. Чотирикутник АВСK – паралелограм. Тоді має існувати трикутник CKD, сторони якого 2, 5 і 3 (3=7–4) см, що неможливо. Відповідь: трапеції з такими сторонами не існує. Приклад 2. У трапецію, основи якої дорівнюють 12 і 16 см, а одна з бічних сторін 15 см, вписано коло. 1) Обчисліть радіус вписаного кола. 2) Обчисліть площу трапеції. Розв’язання. Аналіз. 1. Знайдемо висоту трапеції. 2. Знаючи висоту, отримаємо відповідь і на перше, і на друге питання задачі. Оскільки у трапецію вписано коло, то суми протилежних сторін рівні, а тому 12+16=15+х, звідки х=13. Відтинаємо від трапеції паралелограм зі сторонами 12 і 15 см, лишається трикутник зі сторонами 4, 13 і 15 см. Для відшукання висоти трикутника використаємо метод площ. За формулою Герона знайдемо площу: 16)41513( 2 1 p см, 24123116)416()1316()1516(16 S см2 , тоді висота 12 4 2422    AM S BHh см. А тоді 6 2 12 2  hr см,   168121612 2 1 trapetsS см2 . Відповідь: 6 см; 168 см2 .
  • 93.
    92 Завдання для самостійноїроботи у форматі ЗНО 1. Відомо, що периметр прямокутника дорівнює 34 см. Використовуючи співвідношення для сусідніх сторін (див. рисунок), обчисліть площу прямокутника. А Б В Г Д 4 см2 10 см2 24см2 44 см2 66 см2 2. Обчисліть периметр паралелограма, за даними рисунка. А Б В Г Д 19 см 22 см 28 см 32 см 36 см 3. У паралелограмі АО=х, ОС=3х–20 (див. рис.). Обчисліть довжину діагоналі АС. А Б В Г Д 2 5 10 20 40 4. У трапеції ABCDА=45o проведено пряму ВМ || CDABM=60o (див. рис.). Обчисліть градусну міру АDС. А Б В Г Д 45o 60o 75o 85o 105o 5. На рисунку зображено ромб, діагональ якого АС=20 см. Якою має бути довжина ВО, щоб ромб АВСD був квадратом? А Б В Г Д 5 см 10 см 210 см 20 см Інша відповідь
  • 94.
    93 6. Використовуючи данірисунка, обчисліть відношення більшого кута ромба до меншого. А Б В Г Д 2:1 3:1 3:2 4:1 5:1 7. У рівнобічну трапецію з бічною стороною 4,5 дм можна вписати коло. Чому дорівнює периметр цієї трапеції? А Б В Г Д 9дм 13,5дм 15дм 18 дм 20дм 8. Два кути трапеції дорівнюють 130о і 70о . Якими є два інші кути цієї трапеції? А Б В Г Д 100о і 60о 110о і 50о 120о і 40о 130о і 70о Інша відповідь 9. Одна із основ трапеції 18 см, а середня лінія – 20 см. Чому дорівнює друга основа трапеції? А Б В Г Д 2см 19см 22см 26 см 38см 10. Основи трапеції відносяться, як 3:5, а середня лінія дорівнює 16 см. Чому дорівнюють основи трапеції? А Б В Г Д 3 і 5см 6 і 10 см 9 і 15 см 12 і 20 см 14 і 18 см 11. Точки K,L,M,N є серединами сторін ромба ABCD з діагоналями 10 і 6 см. Чому дорівнює площа чотирикутника KLMN? А Б В Г Д 15 см2 20 см2 30 см2 45 см2 60 см2 12. Периметри двох квадратів відносяться як 9:16. Як відносяться їхні площі? А Б В Г Д 2:3 3:4 9:16 37:64 81:256
  • 95.
    94 13. У квадратвписано коло, довжина якого 8π м. Знайдіть периметр квадрата. А Б В Г Д 8 м 16 м 24 м 32 м 40 м 14. Висота рівнобічної трапеції ділить більшу основу на відрізки 5 см та 35 см. Чому дорівнює середня лінія трапеції? А Б В Г Д 20 см 25см 30 см 35 см 40 см 15. Діагоналі рівнобічної трапеції є бісектрисами її гострих кутів, а її основи дорівнюють 5 см і 10 см. Чому дорівнює периметр трапеції? А Б В Г Д 25 см 27,5 см 30 см 35 см Недостатньо даних для розв’язання 16. Обчисліть площу квадрата, навколо якого описано коло, рівняння якого в прямокутній системі координат 4 1 622  yxyx . А Б В Г Д 9π 18π 25π 36π Інша відповідь 17. У ромб, який ділиться своєю діагоналлю на два рівносторонні трикутники зі стороною 36 дм, вписане коло. Знайдіть радіус цього кола. А Б В Г Д 4,5 дм 33 дм 6 дм 9дм Інша відповідь 18. Кут між висотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 100 . Чому дорівнює тупий кут паралелограма? А Б В Г Д 80о 100о 150о 170о Інша відповідь 19. Бісектриса кута прямокутника ділить його сторону у відношенні 4:1, починаючи від найближчої до цього кута вершини. Знайдіть більшу сторону прямокутника, якщо його периметр дорівнює 36 см. А Б В Г Д 7,2 см 10 см 14,4 см 20 см Інша відповідь
  • 96.
    95 20. Кут міжвисотами паралелограма, проведеними з вершини тупого кута, дорівнює 300 . Обчисліть площу паралелограма, якщо довжини висот 4 см і 10 см. А Б В Г Д 20 см2 40 см2 80 см2 120 см2 160 см2 21. У трапецію, одна основа якої дорівнює 8, з бічними сторонами 9 і 11, вписано коло. Обчисліть площу круга, який обмежує вписане коло. А Б В Г Д 9π 12π 18π 36π Інша відповідь 22. Продовження бічних сторін АВ і СD трапеції ABCD(менша основа якої ВС), перетинаються у точці О, причому АВ:АО=3:7. Обчисліть меншу основу трапеції, якщо вона на 6 см менша за більшу основу. А Б В Г Д 6 см 8 см 10,5 см 14 см Інша відповідь 23. Більша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює 10 см, а основи трапеції – 5 і 11 см. Обчисліть площу трапеції. А Б В Г Д 26 см2 32 см2 34 см2 64 см2 80 см2 24. У ромбі діагоналі АС і ВD перетинаються у точці О, причому АС=16 см, BD=30 см. Установіть відповідність між лівим стовпцем (1–4) і правим (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження 1) Периметр АВD дорівнює 2) Периметр АОВ дорівнює 3) Периметр АВC дорівнює 4)Периметр ромба ABCDдорівнює А 40 см Б 50 см В 56 см Г 64 см Д 68 см
  • 97.
    96 25. Є плоскаконструкція, яка складається із двох склеєних по катету ВDпрямокутних трикутників, розміри указані на рисунку: АВ=15, АD=17, DС=6. Установіть відпо- відність між лівим стовпцем (1–4) і правим (А–Д) так, щоб утворилося правильне твердження. 1) Периметр АВD дорівнює 2) Периметр BCD дорівнює 3) Периметр АВCD дорівнює 4)ПлощаABCDдорівнює А 24 Б 38 В 40 Г 48 Д 84 26. Менша бічна сторона прямокутної трапеції дорівнює 12 см, а гострий кут трапеції – arctg (2,4). Знайдіть площу трапеції, якщо в неї можна вписати коло. Відповіді до завдань для самостійної роботи 1. Д 2. В 3. Г 4. В 5. Б 6. А 7. Г 8. Б 9. В 10. Г 11. А 12. Д 13. Г 14. Г 15. А 16. Б 17. А 18. Г 19. Б 20. В 21. В 22. Б 23. Г 24. 1Г 24. 2А 24. 3Б 24. 4Д 25. 1В 25. 2А 25. 3Г 25. 4Д 26. 150 см2
  • 98.
    97 Список використаних джерел 1.Програма зовнішнього незалежного оцінювання з математики // Наказ Міністерства освіти і науки України від 03 лютого 2016 р. №77. 2 .Захарійченко Ю.О. Повний курс математики в тестах. Різнорівневі завдання : у 2 ч. / Ю.О.Захарійченко, О.В. Школьний, Л.І. Захарійченко, О.В. Школьна. – [6-те вид., випр.]. – Х.: Вид-во «Ранок», 2017. – 496 с. 3. Захарійченко Ю.О. Твій репетитор. Математика : [навчальний посібник для підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання] / Ю.О. Захарійченко, О.В. Школьний. – К.:Генеза, 2013. – 264 с. 4. Гальперіна А.Р. Математика. Збірник типових текстових завдань / А.Р. Гальперіна, Ю.О. Захарійченко, О.В. Школьний. – Х.: Веста, 2012. – 216 с. 5. Школьний О.В. Система підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання якості знань із математики / О.В. Школьний // Математика в рідній школі. – 2015. – № 1-2. – С. 2-9.
  • 99.
  • 100.
  • 101.
    100 Ізюмченко Л.В., ТкаченкоЛ.А. Інтенсифікація підготовки до зовнішнього незалежного оцінювання з математики (планіметрія) Підписано до друку 10.10.2017 р. Формат 60х84 1/16. Папір офсетний. Гарнітура Times New Roman. Друк – принтер. Тираж 100 прим. Зам. № 278 КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», вул. Велика Перспективна, 39/63, Кропивницький, 25006 Віддруковано в лабораторії інформаційно-методичного забезпечення освітнього процесу КЗ «КОІППО імені Василя Сухомлинського», вул. Велика Перспективна 39/63, Кропивницький, 25006