線形代数の視覚的理解 V1.1-Gストラング勉強会 2022/1/12 Gストラング勉強会用の資料です．（練習問題ふくむ）

1. Gストラング線形代数勉強会⽤
⾏列計算練習
平鍋健児(@hiranabe)
Version 1.1
=
1

2. ⽬次
• ⾏列の⾒⽅ – 4つ
• ベクトルの積 – 2つ
• ⾏列のベクトルの積 – 2つ
• ⾏列と⾏列の積 – 4つ
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 2

3. = = =
3つの数からなる
2つの列ベクトル
2つの数からなる
3つの⾏ベクトル
6つの数
1 つの⾏列
⾏列の⾒⽅ – 4つ
𝐴 =
𝑎!!𝑎!"
𝑎"!𝑎""
𝑎#!𝑎#"
=
|
𝒂𝟏
|
|
𝒂𝟐
|
=
−𝒂!
∗ −
−𝒂"
∗ −
−𝒂#
∗ −
以降、太字で列ベクトル𝒂𝟏、*を付けて⾏ベクトル𝒂"
∗
、を表現する。
また、右肩にTをつけて転置ベクトル𝒂𝐓や転置⾏列𝑨𝐓を表現する。
𝐴 =
1 4
2 5
3 6
=
1 4
2 5
3 6
=
1 4
2 5
3 6
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 3

4. = = =
内積(スカラー) Rank1の⾏列
v1 =
1
2
3
𝑥 𝑦 =
𝑥 𝑦
2𝑥 2𝑦
3𝑥 3𝑦
ベクトルの積 – 2つ
1 2 3
𝑥!
𝑥"
𝑥#
=
1
2
3
,
𝑥!
𝑥"
𝑥#
= 𝑥! + 2𝑥" + 3𝑥#
２つの列ベクトル𝒂, 𝒃を𝒂𝒃!
の順に掛けると、⾏
列 (𝐴 = 𝒂𝒃!
) になる。 𝒂, 𝒃どちらも0でなければ、
この⾏列はRankが1になることが分かる。（各
⾏は定数倍であり、各列も定数倍である）
２つの列ベクトルの内積(𝒂 ) 𝒃)は⾏列形
式では、𝒂!
𝒃 と表現され、1つのスカ
ラーになる。
v2
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 4

5. 練習問題-1
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 5
4
5
6
1 2 3 について v2 で計算し，Rank 1 (各列および各⾏が線形従属)を確かめよ．

6. = = +
⾏列とベクトルの積 – 2つ
𝐴 の⾏ベクトルと列ベクトルの積
（内積)からなる1つの列ベクトル
𝐴 の列ベクトルの線形結合
𝐴𝒙 =
1 2
3 4
5 6
𝑥!
𝑥"
=
(𝑥!+2𝑥")
(3𝑥! + 4𝑥")
(5𝑥! + 6𝑥")
𝐴𝒙 =
1 2
3 4
5 6
𝑥!
𝑥"
= 𝑥!
1
3
5
+ 𝑥"
2
4
6
最初に左を覚えるだろう。しかし、右の⾒⽅ができるようになると、
𝐴𝒙 が𝐴の列ベクトルの線形結合、すなわち、 𝐴の列ベクトル空間 𝐂(𝐴)、
さらに、 𝐴𝒙 = 0 の解がAの零空間 𝐍(𝐴)と読めるようになる。
Mv
1
Mv
2
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 6

7. 練習問題-2
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 7
𝐴𝒙 =
1 2
3 4
5 6
1
2
について，Mv1, Mv2 のやり⽅でそれぞれ計算し，同じ結果を確認せよ．
Mv
1 1 2
3 4
5 6
1
2
Mv
2 1 2
3 4
5 6
1
2

8. By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 8

9. ⾏列と⾏列の積 – 4つ
=
1 2
3 4
5 6
𝑥" 𝑦"
𝑥# 𝑦#
=
(𝑥"+2𝑥#) (𝑦"+2𝑦#)
(3𝑥"+4𝑥#) (3𝑦"+4𝑦#)
(5𝑥"+6𝑥#) (5𝑦"+6𝑦#)
1 2
3 4
5 6
𝑥" 𝑦"
𝑥# 𝑦#
= 𝐴 𝒙 𝒚 = 𝐴𝒙 𝐴𝒚
= =
結果の各列 𝐴𝒙, 𝐴𝒚 は、それぞれ𝐴 の列ベクトルの線形結合
結果の各要素は、⾏ベクトルと列ベクトルの内積
MM
1
MM
2
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 9

10. 練習問題-3
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 10
1 2
3 4
5 6
𝑥" 𝑦"
𝑥# 𝑦#
について，MM1, MM2 のやり⽅でそれぞれ計算し，同じ結果を確認せよ．
MM
1
1 2
3 4
5 6
𝑥! 𝑦!
𝑥" 𝑦"
1 2
3 4
5 6
𝑥! 𝑦!
𝑥" 𝑦"
MM
2

11. ⾏列と⾏列の積 – 4つ
= +
= =
1 2
3 4
5 6
𝑏"" 𝑏"#
𝑏#" 𝑏##
= 𝒂𝟏 𝒂𝟐
𝒃𝟏
∗
𝒃𝟐
∗ = 𝒂𝟏𝒃𝟏
∗
+ 𝒂𝟐𝒃𝟐
∗
=
1
3
5
𝑏"" 𝑏"# +
2
4
6
𝑏#" 𝑏## =
𝑏"" 𝑏"#
3𝑏"" 3𝑏"#
5𝑏"" 5𝑏"#
+
2𝑏#" 2𝑏##
4𝑏#" 4𝑏##
6𝑏#" 6𝑏##
1 2
3 4
5 6
𝑥" 𝑦"
𝑥# 𝑦#
=
𝒂𝟏
∗
𝒂𝟐
∗
𝒂𝟑
∗
𝑋 =
𝒂𝟏
∗
𝑋
𝒂𝟐
∗
𝑋
𝒂𝟑
∗
𝑋
⾏列の積は、rank 1の⾏列の和に分解される。
結果の各⾏は、⾏ベクトルの線形結合
MM
3
MM
4
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 11

12. 練習問題-4
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 12
1 2
3 4
5 6
1 1
1 2
について，MM4 のやり⽅で計算し，通常の計算(MM1)と同じ結果を確認せよ．

13. 便利な応⽤パターン – 3つ
2 3
=
1 2 3
1 1
=
2
1
+
3
+
2
=
2
1
+
3
+
3
=
2
1
+
3
+
MM
2
Mv
2
右からの操作は、列に作⽤する。
この表現は、右の3つの線形結合を
1つの⾏列表現で表したものだとも
⾔える。
P1
using
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 13

14. 練習問題-4
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 14
1 4 7
2 5 8
3 6 9
1 0 1
0 1 1
0 0 1
を P1 に従って計算し，各列の変化を観察せよ．

15. 1
2
3
= 1
2
3
1 = +
1 2 3
+
2 = +
1 2 3
+
3 = +
1 2 3
+
MM
3
左からの操作は、⾏に作⽤する。
この表現は、右の3つの線形結合を
1つの⾏列表現で表したものだとも
⾔える。
P2 using
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 15
便利な応⽤パターン – 3つ

16. 練習問題-4
By Kenji Hiranabe with the kindest help of Prof. Gilbert Strang 16
1 0 0
0 1 0
1 1 1
1 4 7
2 5 8
3 6 9
を P2 に従って計算し，各⾏の変化を観察せよ．