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20140914_曲面上の「直線」と「最短線」
- 5. §0.準備
- 7. テンソル解析の記法 曲面のパラメータは 𝑢1 , 𝑢2 と上付きの添え字 で表します。 …ベキ乗ではありません。 具体例のときは適宜読み替えてください。 例えば極座標なら 𝑢1 = 𝑟, 𝑢2 = 𝜃 です。
- 8. テンソル解析の記法 𝑢1 , 𝑢2 での偏微分はそれぞれ 𝜕1, 𝜕2 で 表します。 例えば 𝑓 𝑢1 , 𝑢2 = 𝑢1 2 + cos 𝑢2 なら 𝜕1 𝑓 = 2𝑢1 , 𝜕2 𝑓 = −sin 𝑢2 です。
- 9. Einstein記法 上と下に同じ添え字が現れたら和をとります。 𝑎 𝑖 𝑏𝑖 = 𝑎1 𝑏1 + 𝑎2 𝑏2 𝑔𝑖𝑗 𝑥 𝑖 𝑥 𝑗 = 𝑔11 𝑥1 𝑥1 + 𝑔12 𝑥1 𝑥2 + 𝑔21 𝑥2 𝑥1 + 𝑔22 𝑥2 𝑥2 この講演では添え字は1と2です。 A.Einstein (1879~1955)
- 10. Einstein記法(練習) 行列の計算 𝑎1 1 𝑎2 1 𝑎1 2 𝑎2 2 𝑏1 1 𝑏2 1 𝑏1 2 𝑏2 2 の 𝑖, 𝑗 成分 = 𝑎 𝑘 𝑖 𝑏𝑗 𝑘 合成関数の微分 𝑓 𝑢1 , 𝑢2 と𝑢1 𝑡 , 𝑢2 (𝑡)について 𝑓 = 𝜕𝑖 𝑓 𝑢 𝑖
- 11. 準備2. 3次元空間内の曲面
- 12. 空間内の曲面 曲面のパラメータ表示 𝒑: 𝑹2 → 𝑹3 𝒑 𝑢1 , 𝑢2 = 𝑥 (𝑢1 , 𝑢2 ) 𝑦 (𝑢1 , 𝑢2 ) 𝑧 (𝑢1 , 𝑢2 )
- 13. 例（単位球面） 𝒑 𝜃, 𝜑 = cos 𝜃 cos 𝜑 cos 𝜃 sin 𝜑 sin 𝜃
- 14. Gauss枠 𝒑の偏微分{𝒑1, 𝒑2}が接平面の基底になる。 𝒑𝒊 ≔ 𝜕𝑖 𝒑 𝑹3 の基底 {𝒑1, 𝒑2, 𝒆} をGauss枠という。 𝒆 ≔ 𝒑1×𝒑2 |𝒑1×𝒑2| J.C.F.Gauss (1777~1855) T.Kitano (1947~) …似てる。
- 15. 第一基本量 𝑔𝑖𝑗 ≔ 𝒑𝑖 ⋅ 𝒑 𝑗を第一基本量という。 ※ 𝑔𝑗𝑖= 𝑔𝑖𝑗 接ベクトル 𝝃 = 𝜉 𝑖 𝒑𝑖 の長さの2乗は 𝑔𝑖𝑗 𝜉 𝑖 𝜉 𝑗 で与えられる。 曲線の長さも第一基本量から計算できる。 …曲線の長さは速度ベクトルの長さの積分。
- 16. Christoffel記号（接続係数） 𝒑𝑖𝑗 ≔ 𝜕𝑗 𝜕𝑖 𝒑 = Γ𝑖𝑗 𝑘 𝒑 𝑘 + ℎ𝑖𝑗 𝒆 という式で Γ𝑖𝑗 𝑘 , ℎ𝑖𝑗 という量を定義する。 Γ𝑖𝑗 𝑘 を第二種Christoffel記号という。 ※ Γ𝑗𝑖 𝑘 = Γ𝑖𝑗 𝑘 … ℎ𝑖𝑗 を第二基本量という。 E.B.Christoffel (1829~1900)
- 17. 第二種Christoffel記号の公式 第二種Christoffel記号は第一基本量で 書ける。（重要） Γ𝑖𝑗 𝑘 = 1 2 𝑔 𝑘𝑙 (𝜕𝑖 𝑔𝑗𝑙 + 𝜕𝑗 𝑔𝑙𝑖 − 𝜕𝑙 𝑔𝑖𝑗) ※ 𝑔 𝑘𝑙 は 𝑔𝑖𝑗 の逆行列。
- 19. 例（平面の極座標） 𝒑 = 𝑟cos𝜃 𝑟sin𝜃 0 𝒑 𝑟 = cos𝜃 sin𝜃 0 , 𝒑 𝜃 = −𝑟sin𝜃 𝑟cos𝜃 0
- 20. 例（平面の極座標） 𝑔 𝑟𝑟 = 1, 𝑔 𝜃𝜃 = 𝑟2 𝑔 𝑟𝑟 = 1, 𝑔 𝜃𝜃 = 1 𝑟2 Γ𝑟𝜃 𝜃 = Γ𝜃𝑟 𝜃 = 1 𝑟 Γ𝜃𝜃 𝑟 = −𝑟 ※その他はすべて0。
- 22. 曲面上の曲線 曲面上の曲線のパラメータ表示 𝒄: 𝑹 → 𝑀 (𝑀: = Im 𝒑) 𝒄 𝑡 = 𝒑(𝑢1 𝑡 , 𝑢2 𝑡 )
- 23. 速度ベクトル・加速度ベクトル 𝒄 を微分したものが速度ベクトル。 𝒄 = 𝑢 𝑖 𝒑𝑖 二階微分したものが加速度ベクトル。 𝒄 = 𝑢 𝑘 + Γ𝑖𝑗 𝑘 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 𝒑 𝑘 + ℎ𝑖𝑗 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 𝒆 速度ベクトルは曲面に接しているが 加速度ベクトルは曲面に接していない。
- 24. 共変微分 加速度ベクトルを接平面に射影して、それを 曲面上の曲線の曲がり具合とみる。 𝐷 𝒄 𝑑𝑡 ≔ 𝑢 𝑘 + Γ𝑖𝑗 𝑘 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 𝒑 𝑘 一般に、曲面上の曲線に沿ったベクトル場を 微分して接平面に射影する操作を共変微分 という。
- 25. 測地線 𝐷 𝒄 𝑑𝑡 のことを測地的曲率という。 測地的曲率が0となる曲線を測地線という。 𝑢 𝑘 + Γ𝑖𝑗 𝑘 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 = 0 測地線が曲面上の「直線」。
- 27. 曲線の長さ・弧長パラメータ 曲線の長さは速度ベクトルの長さの積分。 𝒄: [𝑎, 𝑏] → 𝑀 𝐿 𝒄 ≔ 𝑎 𝑏 | 𝒄|𝑑𝑡 速さが1のパラメータを弧長パラメータという。 | 𝒄| = 1
- 28. 極値問題 曲面上の2点𝑃, 𝑄を結ぶ曲線のうち 長さが最小のものを求めたい。 曲線 𝒄 を以下を満たす最短線とする。 𝒄: 0, 𝑙 → 𝑀 𝒄 0 = 𝑃, 𝒄 𝑙 = 𝑄 | 𝒄| = 1 ※これらの条件から𝐿 𝒄 = 𝑙 。
- 29. 変分法 𝒄 の変分 𝒇(𝑡, 𝜆) を次のようにとる。 𝒇: 0, 𝑙 × −𝜖, 𝜖 → 𝑀 𝒇 𝑡, 0 = 𝒄 𝑡 𝒇 0, 𝜆 = 𝑃, 𝒇 𝑙, 𝜆 = 𝑄 𝒄 が最短線ならば𝐿 𝜆 ≔ 0 𝑙 𝜕𝒇 𝜕𝑡 𝑑𝑡として 𝑑𝐿 𝑑𝜆 (0) = 0 となる。（どんな変分𝒇についても）
- 30. 弧長の第一変分公式 次の等式を弧長の第一変分公式という。 𝑑𝐿 𝑑𝜆 0 = − 0 𝑙 𝜕𝒇 𝜕𝜆 ⋅ 𝐷 𝒄 𝑑𝑡 𝑑𝑡 この公式から、最短線は 𝐷 𝒄 𝑑𝑡 = 0 をみたすことがわかる。
- 32. 例(回転放物面) 放物線𝑧 = 1 2 𝑥2 を𝑧軸回りに回転させる。 𝒑 𝑟, 𝜃 = 𝑟cos𝜃 𝑟sin𝜃 𝑟2 /2 𝒑 𝑟 = cos𝜃 sin𝜃 𝑟 , 𝒑 𝜃 = −𝑟sin𝜃 𝑟cos𝜃 0
- 33. 例(回転放物面) 𝑔 𝑟𝑟 = 1 + 𝑟2 , 𝑔 𝜃𝜃 = 𝑟2 𝑔 𝑟𝑟 = 1 1+𝑟2 , 𝑔 𝜃𝜃 = 1 𝑟2 Γ𝑟𝑟 𝑟 = 𝑟 1+𝑟2 Γ𝑟𝜃 𝜃 = Γ𝜃𝑟 𝜃 = 1 𝑟 Γ𝜃𝜃 𝑟 = − 𝑟 1+𝑟2 ※その他はすべて0。
- 34. 例(回転放物面) 測地線の方程式 𝑟 + 𝑟 1+𝑟2 ( 𝑟2 − 𝜃2 ) = 0 𝜃 + 2 𝑟 𝑟 𝜃 = 0 𝑡 → ∞ とすると曲面上を無限回回転する。
- 35. 例(二葉双曲面) 双曲線𝑧2 − 𝑥2 = 1を𝑧軸回りに回転させる。 𝒑 𝑢, 𝜃 = sinh𝑢 cos𝜃 sinh𝑢 sin𝜃 cosh𝑢
- 36. 例(二葉双曲面) 測地線の方程式 𝑢 + tanh2𝑢 ( 𝑢2 − 1 2 𝜃2 ) = 0 𝜃 + 2coth𝑢 𝑢 𝜃 = 0 𝑡 → ∞ とすると曲面上を有限回回転して 子午線に漸近する。
- 37. 例(一葉双曲面) 双曲線𝑥2 − 𝑧2 = 1を𝑧軸回りに回転させる。 𝒑 𝑢, 𝜃 = cosh𝑢 cos𝜃 cosh𝑢 sin𝜃 sinh𝑢
- 38. 例(一葉双曲面) 測地線の方程式 𝑢 + tanh2𝑢 ( 𝑢2 − 1 2 𝜃2 ) = 0 𝜃 + 2tanh𝑢 𝑢 𝜃 = 0 𝑡 → ∞ とすると最初の向きにより±∞にいくか 平行円に収束する。
- 39. 解析力学的に… 測地線はLagrangian 𝐿 = 1 2 𝑔𝑖𝑗 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 の作用積分（曲線のエネルギー）の停留点。 Legendre変換するとHamiltonianは 𝐻 = 1 2 𝑔𝑖𝑗 𝑝𝑖 𝑝𝑗
- 41. §2.一般の曲面
- 44. まとめると 何重にも拡がったもの（多様体）には量的関係 （Riemann計量）と幾何的関係（affine接続）が それぞれ独立に入れられる。 量的関係は「最短線」という概念を、幾何的関係は 「直線（測地線）」という概念を定める。 量的関係はそれと整合するただ１つの幾何的関係 （Levi-Civita接続）を誘導し、その量的関係における 最短線はLevi-Civita接続に関する測地線となる。 T.Levi-Civita (1873~1941)
- 45. 比べると Riemann計量 affine接続 意味 量的関係 幾何的関係 もの 接空間の内積 ベクトル場の方向微分 線 最短線 測地線 備考 整合する唯一の接続 （Levi-Civita接続） を誘導 接続が与えられると 曲率が計算できる
- 49. Levi-Civita接続 Riemann計量 , が与えられたとき、 𝐷 𝜕𝑠 𝜕𝑓 𝜕𝑡 = 𝐷 𝜕𝑡 𝜕𝑓 𝜕𝑠 (𝑓: 𝑹2 → 𝑀) 𝑑 𝑑𝑡 𝝃, 𝜼 = 𝐷𝝃 𝑑𝑡 , 𝜼 + 𝝃, 𝐷𝜼 𝑑𝑡 をみたす接続をLevi-Civita接続という。 Riemann計量に関する最短線はそれに対応する Levi-Civita接続に関する測地線。
- 50. 例(Poincare上半平面） 𝑯 = { 𝑥, 𝑦 ∈ 𝑹2 |𝑦 > 0} 𝑑𝑠2 = 𝑑𝑥2+𝑑𝑦2 𝑦2 𝑔11 = 𝑔22 = 1 𝑦2 , 𝑔12 = 𝑔21 = 0 測地線はy軸に平行な半直線または 中心をx軸上にもつ半円。 J.H.Poincare (1854~1912)
- 51. (参考)一般相対性理論 Einstein方程式 𝑅 𝜇𝜈 − 1 2 𝑔 𝜇𝜈 𝑅 = −𝜅𝑇𝜇𝜈 …物質の配置（エネルギー運動量テンソル𝑇𝜇𝜈） から時空の計量を求める。 …Newton力学で言うと万有引力の法則。 （物質の配置からポテンシャルが定まる。）
- 52. (参考)一般相対性理論 運動方程式 𝑢 𝑘 + Γ𝑖𝑗 𝑘 𝑢 𝑖 𝑢 𝑗 = 0 …時空の計量に沿って“まっすぐ”運動する。 …Newton力学の運動方程式に相当。