ラビットチャレンジ　応用数学 第一章　線形代数

1. AppliedMathematics-1.md 2021/10/24
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ラビットチャレンジ レポート 応⽤数学
第⼀章 線形代数
1. スカラーとベクトルの違い
スカラー
いわゆる普通の数
四則演算が可能
ベクトルに対する係数になれる
ベクトル
「⼤きさ」と「向き」を持つ
⽮印で図⽰される
スカラーのセットで表⽰される
2. ⾏列
⾏列とは
スカラーを表にしたもの
ベクトルを並べたもの
計算⽅法
⾏列とベクトルの積
例題
⾏列の積
⽅法
例題
3. 単位⾏列と逆⾏列
単位⾏列
かけてもかけられても相⼿が変化しない⾏列
例
逆⾏列
任意の⾏列 について となるような⾏列 を逆⾏列と⾔い、 で表す。
求め⽅
掃き出し法 ⾏基本変形を⾏い階段⾏列を作成することで求める。 例)
という式を下記のように変形する
左右の係数に同じ⾏基本変形を⾏うと下記の通り計算できる。
= =
(
6
3
4
5
) (
1
2
) (
6 × 1 + 4 × 2
3 × 1 + 5 × 2
) (
14
13
)
=
⎝
⎛ a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
⎠
⎞
⎝
⎛ b11
b21
b31
b12
b22
b32
b13
b23
b33
⎠
⎞
⎝
⎛ a b + a b + a b
11 11 12 21 13 31
a b + a b + a b
21 11 22 21 23 31
a b + a b + a b
31 11 32 21 33 31
a b + a b + a b
11 12 12 22 13 32
a b + a b + a b
21 12 22 22 23 32
a b + a b + a b
31 12 32 22 33 32
a b + a b + a b
11 13 12 23 13 33
a b + a b + a b
21 13 22 23 23 33
a b + a b + a b
31 13 32 23 33 33
⎠
⎞
= =
(
2
4
1
1
) (
1
3
3
1
) (
2 × 1 + 1 × 3
4 × 1 + 1 × 3
2 × 3 + 1 × 1
4 × 3 + 1 × 1
) (
5
7
7
13
)
I =
⎝
⎛ 1
1
... ⎠
⎞
=
(
1
0
0
1
) (
2
1
3
9
) (
2
1
3
9
)
A AY = Y A = I Y A−1
=
(
1
2
4
6
) (
x1
x2
) (
7
10
)
=
(
1
2
4
6
) (
x1
x2
) (
1
0
0
1
) (
7
10
)
(
1
2
4
6
1
0
0
1
)

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4. 固有値と固有ベクトル
固有値、固有ベクトル ある⾏列 について以下の式が成り⽴つような特殊なベクトル と右辺の係数λがある。 ⾏列 とその特殊なベクトル
の積はただのスカラーの数λとその特殊なベクトル の値と同じになる。 この特殊なベクトル とその係数λをそれぞれ⾏列 に対する固有ベクトル、固
有値という。
固有値、固有ベクトルの求め⽅
求め⽅
より …① であるので①式に値を代⼊する。
例題
の固有値、固有ベクトルを求めよ。
回答
より であるので
よって
の時
とすると よって のとき の定数倍となる。 の時、 の時も同様にして解くと のと
き の定数倍、 のとき の定数倍となる。
5. 固有値分解
固有値分解とは ある実数を正⽅形にならべて作られた⾏列 が固有値 と固有ベクトル を持ったとする。この固有値を対⾓線上に並
べ、それ以外の成分を0とした⾏列 とそれに対する固有ベクトルを並べた⾏列 を⽤意したとき
それらは と関係づけられる。 従って と変形できる。このように正⽅形の⾏列を上述のような3つの⾏列の式に変換すること
を固有値分解という。この変換によって⾏列の累乗の計算が容易になるなどの利点がある。
6. 特異値分解
特異値分解 正⽅⾏列でない⾏列に対し、固有値分解と似たことを⾏う。 このような特殊な単位ベクトルがある場合、特異値分
解が可能。
特異値分解の求め⽅ の積は つ
まり を固有値分解すれば、その左特異ベクトル(単位ベクトルから作成する)と特異値の2条が求められることがわかる。
→ 2⾏⽬を1/2倍 (
1
1
4
3
1
0
0
1/2
)
→ 1⾏⽬に2⾏⽬の − 1倍を加える (
0
1
1
3
1
0
−1/2
1/2
)
→ 2⾏⽬に1⾏⽬の − 3倍を加える (
0
1
1
0
1
−3
−1/2
2
)
→ 1⾏⽬と2⾏⽬を⼊れ替える (
1
0
0
1
−3
−1/2
2
1
)
逆⾏列は (
−3
−1/2
2
1
)
A x Ax = λx A x
x x A
Ax = λx (A − λI)x = 0 x =
̸ 0
⎝
⎛ 3
0
0
2
2
0
0
0
1 ⎠
⎞
Ax = λx (A − λI)x = 0 x =
̸ 0 ∣A − λI∣ = 0
=
∣
∣
∣
∣
∣
∣ 3 − λ
0
0
2
2 − λ
0
0
0
1 − λ ∣
∣
∣
∣
∣
∣
0
(3 − λ)(2 − λ)(1 − λ) = 0 λ = 3, 2, 1
λ = 3
=
⎝
⎛ 3
0
0
2
2
0
0
0
1 ⎠
⎞
⎝
⎛ x1
x2
x3
⎠
⎞
3
⎝
⎛ x1
x2
x3
⎠
⎞
x =
1 t x =
2 0 x =
3 0 λ = 3 x =
⎝
⎛ 1
0
0 ⎠
⎞
λ = 2 λ = 1 λ = 2
x =
⎝
⎛ 2
−1
0 ⎠
⎞
λ = 1 x =
⎝
⎛ 0
0
1 ⎠
⎞
A λ , λ , ...
1 2 v , v , ...
1 2
Λ =
⎝
⎛ λ1
λ2
... ⎠
⎞
V = ( v1 v2 ... )
AV = V Λ A = V ΛV −1
Mv = σu M u =
T
σv
M = USV −1
MV = US M U =
T
V ST
M = USV −1
M =
T
V S U
T −1
MM =
T
USV V S U =
−1 T −1
USS U
T −1
MMT