1. หละกคณิตศาสตรหละกคณิตศาสตรหละกคณิตศาสตรหละกคณิตศาสตรหละกคณิตศาสตรหละกคณิตศาสตรหละกคณิตศาสตรหละกคณิตศาสตร
((((((((PPPPPPPPrrrrrrrriiiiiiiinnnnnnnncccccccciiiiiiiipppppppplllllllleeeeeeeessssssss ooooooooffffffff MMMMMMMMaaaaaaaatttttttthhhhhhhheeeeeeeemmmmmmmmaaaaaaaattttttttiiiiiiiiccccccccssssssss))))))))
F
ก
““““ F F”””” F 1
F
F F F F . . 2537
www.thai-mathpaper.net

3. ก 3
F F F F F ˈ ก 7 ก . . 2549 ก ก F
ก กF ก 2 F ก F F 4 . . 2550
ก F F F ก กF ก F ก F ก F
F F ก F ก ก F F ก ก F F ʿก F F F
F F F F F F ก
F ˈ F F ก Fก F F F F
F F F F F F F F F F F F
F F F F F F F F ก
F
27 . . 2550

5. ก 1
ก กF F F ˈ ก F F F ก ก
F F ʿก F F ˈ ก F F
F ก F F
F
21 . . 2549
ก 2
ก กF F F 2 ก ก F
F ก F F ก F 3 F 3.4 F ʿก F F F ก
กF ˈ Fก F F F F กก F
F
4 . . 2550

7. F F ก F F ˈ F F ก 15 F
F F F F ˈ ก ก ก F F F F กF
ก F ก F ก F ก F F F F
ˈ F F Fก ก F ก ก F F ˈ
F F
F
7 ก . . 2549

9. 1 ก F F 1 11
1.1 F ก ก F 1
1.2 F 6
1.3 ʽ F 9
2 ก F ก F 13 22
2.1 ก F 13
2.2 ก F 19
3 ก F F 23 30
3.1 ก F 23
3.2 ก F F F 25
3.3 ก F ก F F 26
3.4 ก F F ก F 27
ก 31

11. 1
ก F F
1.1 F ก ก F
1.1.1 F (Statements)
F
F F ˈ 1 ก F กก F
F ʽก F
F F ˈ F ก F F F F F F ก
F ก ˈ F
F F ˈ 1 F F ก F
F F F กก F F F ก F ก F F
ก F
F F F F F F ก ก ก ก F ก
F F F F F
F x ˈ ก F x ˈ F F x2
ˈ F
F F F F F ˈ F F F F F
F x y ˈ ก F F y x F x + y = 0
F ก ˈ F F
F F ก F ˂ ก ก
ก ก F F ก F F ก (connector)
ก F F F ก
ก F ก F F ˈ F F F F
F F (statement)
F F ก F ก F F F p, q, r, s, t ˈ F

12. 2 ก F
1.1.2 ก ก F F F ก
ก ก F (logical operator) Fก F 5
(1) ก (-) F F 2 F F F ก F F
F ˈ F F ˈ F ก ˈ F
(2) ก (/) F F 2 F F F ก F F
F ˈ F F ˈ F ก ˈ F
(3) ก F F (fi) F F 2 F F F ก F F F
fl ˈ F F F fl ˈ F F
F F F ˈ F ˈ F ˈ F F ˈ
F ˈ ก ˈ F
(4) ก ก F (¤) F F 2 F F F ก F F F
‹ ˈ ˈ (necessary condition) F F F ‹ ˈ
p q p - q
T T T
T F F
F T F
F F F
p q p / q
T T T
T F T
F T T
F F F
p q p fi q
T T T
T F F
F T T
F F T

13. F F 3
(sufficient condition) F F F ก F ˈ
F F ˈ F ˈ F ก ก ก ˈ
F
(5) ก (~) F F ก ก F F F F
F ก ˈ F
ก ก ก F F ก ก
F ˈ ก ก F F ก F 2 F ก
ˈ ก ก ก F ก ก ก ก F
ก F F (Boolean Algebra) ˈ ก
F ก ก F F F ก F
F 1.1 F p, q, r, s ˈ F
F [(p fl ~q) / r] - (q / s) F ˈ
(p - s) fl r F ˈ F
F F F F ˈ
1) p fl q 2) q fl r
3) r fl s 4) s fl p
ก (p - s) fl r F ˈ F r ˈ p - s ˈ
F F p, s ˈ F
ก [(p fl ~q) / r] - (q / s) F ˈ
F (p fl ~q) / r ˈ q / s ˈ F
p q p ¤ q
T T T
T F F
F T F
F F T
p ∼∼∼∼p
T F
F T

14. 4 ก F
ก (p fl ~q) / r ˈ F F r ˈ p fl ~q ˈ F
ก p ˈ F ~q ˈ F q ˈ
ก F F p, s F ˈ q, r F ˈ
p fl q ˈ F 1)
F 1.2 F p, q r ˈ F F F
ก. F [(p - ~r) - q] fl ~(p - q) ˈ F (p / q) fl r ˈ
. F q / ~r ˈ F [p / (q fl r)] fl ~q ˈ
F F ก
1) ก. ก . ก
2) ก. ก .
3) ก. . ก
4) ก. .
F ก.
F [(p - ~r) - q] fl ~(p - q) ˈ
F F (p - ~r) - q ˈ ~(p - q) ˈ
ก (p - ~r) - q ˈ p - ~r ˈ q ˈ
F F p, q ˈ r ˈ
(p / q) fl r ˈ F ก.
F F .
F q / ~r ˈ F F q ˈ r ˈ
F ~q ˈ [p / (q fl r)] fl ~q ˈ
F . F 4)
F 1.3 F p, q, r, s ˈ F F [p fl (q fl r)] ‹ s - r F ˈ ~p / s
F ˈ F F F ก
1) p fl q F ˈ
2) q fl r F ˈ
3) r fl s F ˈ
4) s fl p F ˈ
ก ~p / s ˈ F F p ˈ s ˈ
ก [p fl (q fl r)] ‹ s - r F ˈ F 2 ก

15. F F 5
ก 1: p fl (q fl r) ˈ s - r ˈ
ก s - r ˈ F F s ˈ F ก ˈ F F
ก 2: p fl (q fl r) ˈ s - r ˈ
ก s - r ˈ ก s ˈ F F r ˈ F
ก p fl (q fl r) ˈ ก p ˈ q fl r ˈ
F r ˈ q ˈ F
F F p, q ˈ r, s ˈ
1) p fl q ˈ
2) q fl r ˈ
3) r fl s ˈ
4) s fl p ˈ
F ก F 1)
ʿก 1.1
1. ก F F F 5 F
2. ก F p, q, r ˈ F F F p fl (q - r) F ˈ (p / q) ‹ r
F ˈ F F F F
ก. (p ‹ q) ‹ ~r
. p ‹ (q / ~r)
F F ก
1) ก. .
2) ก. .
3) ก. .
4) ก. .
3. F p, q, r, s, t ˈ F
F F (p - q) fl (r / s) F ˈ F F F F F ˈ
1) (p - r) ‹ (s - t)
2) (p - s) fl (q / t)
3) (p - s) / (r - t)
4) (r fl p) - (s fl t)

16. 6 ก F
1.2 F
F 1.4 ก F p, q ˈ F F F p fl q ก F ~p / q
ก F F F ก ก F ก F F
p q p fl q ~p ~p / q
T T T F T
T F F F F
F T T T T
F F T T T
ก F F F p fl q F ~p / q F ก
ก F ก F F F ก
F 1.5 ก F p, q ˈ F F (p fl q) - (q fl p) ก F p ‹ q
F F
p q p fl q q fl p (p fl q) - (q fl p) p ‹ q
T T T T T T
T F F T F F
F T T F F F
F F T T T T
ก F F F F (p fl q) - (q fl p) ก F p ‹ q
F ก ก F ก
1.1
ก F F p, q ˈ F ก F F F p, q ก ก F F
p, q F ก ก F ก

17. F F 7
F F ก F ก F F
F F ก F F F F F ˈ ʿก
F ก 1.1 ˈ F ก F F F F F
1.1 ก F p, q, r ˈ F
1) ก ก F
1.1) p - q ≡ q - p
1.2) p / q ≡ q / p
2) ก ก F ก F
2.1) (p - q) - r ≡ p - (q - r)
2.2) (p / q) / r ≡ p / (q / r)
3) ก ก ก F
3.1) (p - q) / r ≡ (p / r) - (q / r)
3.2) (p / q) - r ≡ (p - r) / (q - r)
4) (idempotence) ก F
4.1) p - p ≡ p
4.2) p / p ≡ p
4.3) p - T ≡ p T F ก F ˈ
4.4) p / F ≡ p F F ก F ˈ
5) F (double negation) ก F ∼(∼p) ≡ p
6) ก Fก ก F ก F
6.1) ∼(p / q) ≡ ∼p - ∼q
6.2) ∼(p - q) ≡ ∼p / ∼q
6.3) ∼(p fl q) ≡ p - ∼q

18. 8 ก F
F ˈ F F F F F
F 1.6 ก F p, q ˈ F F F [(p fl q) - ~p] fl ~q ˈ F
ก F F ˈ F ก F ก F F
p q p fl q ~p (p fl q) - ~p ~q [(p fl q) - ~p] fl ~q
T T T F F F T
T F F F F T T
F T T T T F F
F F T T T T T
ก F F F [(p fl q) - ~p] fl ~q ก F ˈ
F F F ก F F ˈ F
F 1.7 ก F p, q ˈ F F F [(p fl q) - ~q] fl ~p ˈ F
ก F F ˈ F ก F ก F F
p q p fl q ~q (p fl q) - ~q ~p [(p fl q) - ~q] fl ~p
T T T F F F T
T F F T F F T
F T T F F T T
F F T T T T T
ก F F F [(p fl q) - ~q] fl ~p F ˈ กก
F F F ก F ˈ F
1.2
ก F F p ˈ F ก F F F p ˈ F (Tautology) ก
F p F ˈ กก

19. F F 9
1.3 ʽ F
F ʽ F ก F x, y ˈ ก U
F
1. ∀x [P(x)] F ˈ ก F F x ก U F P(x) F ˈ
2. ∀x [P(x)] F ˈ ก F F x U F P(x) F ˈ
3. ∃x [P(x)] F ˈ ก F F x U F P(x) F ˈ
4. ∃x [P(x)] F ˈ ก F F x ก U F P(x) F ˈ
ʽ F 2
1. ∀x∀y [P(x, y)] ª ∀x [∀y [P(x, y)]]
2. ∀x ∃y [P(x, y)] ª ∀x [∃y [P(x, y)]]
3. ∃x ∀y [P(x, y)] ª ∃x [∀y [P(x, y)]]
4. ∃x ∃y [P(x, y)] ª ∃x [∃y [P(x, y)]]
F 1.8 ก ก F ˈ ก F
∀∈ ∃N ∀x [(x > N) fl ( 1
x < ∈)] F F
ก. ∀∈ ∃N ∀x [(x ≤ N) fl ( 1
x ≥ ∈)]
. ∃∈ ∀N ∃x [(x > N) fl ( 1
x < ∈)]
. ∀∈ ∃N ∀x [(x ≤ N) / ( 1
x < ∈)]
. ∃∈ ∀N ∃x [(x > N) - ( 1
x ≥ ∈)]
. ∃∈ ∀N ∃x [(x ≤ N) - ( 1
x < ∈)]
กก ก F ʽ ˈ ก F F ˈ ก F
ก F ก ∀ ˈ ∃ ก ∃ ˈ ∀ ก ก F F
ʽ ˈ F
ก ∀∈ ∃N ∀x [(x > N) fl ( 1
x < ∈)] ˈ
∃∈ ∀N ∃x [∼[(x > N) fl ( 1
x < ∈)]]
1.3
ʽ (Open sentence) F F ก F F ก F F
F ก F F

20. 10 ก F
≡ ∃∈ ∀N ∃x [∼[∼(x > N) / ( 1
x < ∈)]]
≡ ∃∈ ∀N ∃x [(x > N) - ( 1
x ≥ ∈)] ก F .
F 1.9 F x ˈ F y ˈ P(x, y) F
x ˈ F y F F F ˈ
ก. ∀x ∃y [P(x, y)]
. ∀y ∃x [P(x, y)]
. ∃x ∀y [P(x, y)]
. ∃x ∃y [P(x, y)]
F F
ก. F ก ˈ F F ˈ
. ก F F ˈ
. F ˈ F ก F F ก F
F ˈ F .
F 1.10 F F
ก. F ก F F F ∃m ∃n [5m + 7n = 1] F
ˈ
. F ∀x ∃y [(x2
2x ≥ y 2) - (y ≥ sin x)]
∃x ∀y [(x2
2x < y 2) / (y < sin x)]
F F ก
1) ก. ก . ก
2) ก. ก .
3) ก. . ก
4) ก. .
F ก.
ก m = 3, n = 2 F F 5(3) + 7( 2) = 1
ʽ ก F F ˈ F F ก. ก F
F F .
ก ~[∀x ∃y [(x2
2x ≥ y 2) - (y ≥ sin x)]]
≡ ∃x ∀y [~(x2
2x ≥ y 2) / ~(y ≥ sin x)]
≡ ∃x ∀y [(x2
2x < y 2) / (y < sin x)]

21. F F 11
F . ก F F 1)
F 1.11 ก ก F F ʽ ( 2, 2) F F
ก. F ∀x [|x + x2
| ≤ |x| + x2
x ≤ x2
] F ˈ
. F ∃x [x2
x 6 ≥ 0] F ˈ
F F ก
1) ก. ก . ก
2) ก. ก .
3) ก. . ก
4) ก. .
F ก.
ก |x + x2
| ≤ |x| + |x2
| ˈ ก
|x2
| = x2
ก F x ˈ
F x ≤ x2
F 0 < x < 1
F ก.
F F .
ก x2
x 6 ≥ 0
(x 3)(x + 2) ≥ 0
กF ก F x ∈ ( ∞, 2] ∪ [3, ∞)
F F F x ∈ ( 2, 2) F F 1 F ˈ F ˈ
F . F 4)
ʿก 1.2
1. ก F p, q, r ˈ F ก F F ก ~(p ‹ q) / (p ‹ r) F
3 F
2. F 1.1
3. ก F p, q, r ˈ F F [(p fl q) - (q fl r)] fl (p fl r) ˈ F
F
4. ก F U = {x | x œ I+
} F ∃x œ U, ∃y œ U [x > y fl x2
> y2
] ˈ
F

23. 2
ก F ก F
2.1 ก F
2.1.1 ก F
ก F ก F 2 F ก F F F F (argument) F
(1) F P1, P2, P3, , Pn ˈ F F ก F
(2) F C ˈ F
ก F ก F F F ก F
F (P1 - P2 - P3 - - Pn) fl C ˈ F F F ก F F
F ก F ก (falsification) ก F F F F ก ก F F F
F ก
F 2.1 ก F
1. p fl q
2. ~p
~q
F F ก F ก F F
ก F F ก F F F F F F
[(p fl q) - ~p] fl ~q ˈ F F F Fก
F [(p fl q) - ~p] fl ~q ˈ F F
1. F (p fl q) - ~p ˈ
2. F ~q ˈ
ก F 2. F F q ˈ F F 1. F F (p fl q) ˈ ~p ˈ
p ˈ F F ก F ก F F F
[(p fl q) - ~p] fl ~q F ˈ F F F F ก F F
2.1
ก F (Inference) ก ก F F F F ก F (valid) F

24. 14 ก F
F 2.2 ก F
1. p fl q
2. ~q
~p
F F ก F ก F F
ก F F ก F F F F F F
[(p fl q) - ~q] fl ~p ˈ F F Fก
F [(p fl q) - ~q] fl ~p ˈ F F
1. F (p fl q) - ~q ˈ
2. F ~p ˈ
ก F 2. F F p ˈ F F 1. F F p fl q ˈ ~q ˈ
q ˈ F ก p fl q ˈ F p ˈ F F q F ˈ
F ก F F ก ก F F q F F F
[(p fl q) -~q] fl ~p ˈ F F F F ก F
F F F F F ก F ก ก F (Rules of
Inference) ก F ก F Fก F
F F F
ก ก F
F F F
1. ก ก (Modus Ponens: M.P.) 1. p fl q
2. p
q
2. ก ก (Modus Tollens: M.T.) 1. p fl q
2. ~q
~p
3. ก (Hypothetical Syllogism: H.S.) 1. p fl q
2. q fl r
p fl r
4. ก ก (Disjunctive Syllogism: D.S.) 1. p / q
2. ~p
q
5. ก ก ก (Constructive Dilemma: C.D.) 1. (p fl q) - (r fls)
2. p / r
q / s
6. ก ก F F (Simplification Law: Simp.) p - q p
7. ก ก (Conjunction Law: Conj.) 1. p
2. q
P - q

25. F F 15
8. ก ก (Addition Law: Add.) p p / q
9. ก F (Double Negation: D.N.) ~~p p
10. ก ก ก (Equivalence Elimination: E.E.) p ‹ q 1. p fl q
2. q fl p
ก F F F ก F F F ก ก F F
F F F ก F ก F F F ก ก F ก F ก F
F ก F
ʿก 2.1 ก
1. F ก F F (valid) F
ก. 1) p fl (p fl q)
2) p fl p
p fl q
. 1) p fl (q fl r)
2) r fl ~p
r fl ~q
. 1) ∼p fl ∼q
2) ∼r
3) p fl s
4) q / r
s
. 1) ∼p fl (q fl r)
2) ∼p / s
3) ∼t fl q
4) ∼s
r fl t
2. F F ก F F F
ก. 1) ˂
2) F ˂ F ˂ ก
3) ˂ F ก
F ก

26. 16 ก F
. 1) F F ก
2) F ก F F
3) ก F
F F
. 1) F ก F
2) F F ก F F
3) F ʾ ก F
ʾ ก
. 1) F F ก F F
2) F ก F ˈ F
3)
4) F
F F ˈ F
2.1.2 ก F
ก F F กก F F ก F Fก
ก F F F F F F F F F F F F
F 2.3 F ก F F F
1) (p / q) fl (r - s)
2) r fl ~s
~p - ~q
Fก F
1. (p / q) fl (r - s)
2. r fl ~s
3. ~r / ~s ก F 2, Equiv.
4. ~(r - s) ก F 3, 1.1 (6.2)
5. ~(r - s) fl ~(p / q) ก F 1, Equiv.
6. ~(p / q) ก F 5, 4 M.P.
7. ~p - ~q ก F 6, Equiv.
F F 7 F F F ก ก F

27. F F 17
F 2.4 F ก F F F
1) p fl (q / ~r)
2) s fl r
3) p
4) ~q
~s
1. p fl (q / ~r)
2. s fl r
3. p
4. ~q
5. q / ~r ก F 1, 3 M.P.
6. ~q fl ~r ก F 5, Equiv.
7. ~r ก F 6, 4 M.P.
8. ~r fl ~s ก F 2, Equiv.
9. ~s ก F 8, 7 M.P
F F 9 F F F ก ก F
F 2.5 F ก F F F
1) F ก F
2) F F ก F F
3) F ʾ ก F
ʾ ก
ก F p : ก
q :
r :
s : ʾ ก
F F F Fก F ˈ ก F F
1) p fl q
2) ~p fl ~r
3) s fl r
r / s

28. 18 ก F
1. p fl q
2. ~p fl ~r
3. s fl r
4. ~q fl ~p ก F 1, Equiv.
5. ~q fl ~r ก F 4, 2 H.S.
6. ~r fl ~s ก F 3, Equiv.
7. ~q fl ~s ก F 5, 6 H.S.
F F F F F F r / s ก F F
ʿก 2.1
1. F ก F F (valid) F Fก F
ก. 1) p fl (p fl q)
2) p fl p
p fl q
. 1) p fl (q fl r)
2) r fl ~p
r fl ~q
. 1) ∼p fl ∼q
2) ∼r
3) p fl s
4) q / r
s
. 1) ∼p fl (q fl r)
2) ∼p / s
3) ∼t fl q
4) ∼s
r fl t

29. F F 19
2. F F ก F F F Fก F
ก. 1) ˂
2) F ˂ F ˂ ก
3) ˂ F ก
F ก
. 1) F F ก
2) F ก F F
3) ก F
F F
. 1) F F ก F F
2) F ก F ˈ F
3)
4) F
F F ˈ F
2.2 ก F
2.2.1 ก F
ก (2545: 66) Fก F ก ก ก F ก ก ก F F F
ก F ˈ ก F ก ก ก Fก F F F
F F ก F F ก F F ก ก ก F
ก F ก F F F ก ก ก F กF
2.2
ก F ก F ก ก ก F (Deduction or Deductive Reasoning)
ก F ก ก F ˈ ก
F F F ˈ F F ก ก F ก F

30. 20 ก F
ก F F F F F ก F F F F ก
F F ก ก F ก F ก ก F F ˈ F ก
F F F F ˈ ก F F F ก F (Elements)
F 2.6 1) ก ก F
2) กF ก F
กF ก ˈ ก
F 2.7 1) F ˈ F F ก F
2) ʾ ก ˈ F F ก F
ʾ ก ˈ F
F 2.8 F ก F F F
1) ก F
2) ก F
ˈ ก
ก F ก F ก F
Fก F ˈ ก F ก F
F F ก F F ก Fก F ˈ
ก F ก F F
2.2.2 ก F
F 2.9 1) ก
2) ก
F ก ก
2.3
ก F ก F ก ก F (Induction or Inductive Reasoning)
ก F ก ก ก F ก F ก F
ˈ Fก F

31. F F 21
F 2.10 1) F ก ก ก
2) F ก ก ก
2) Fก ก ก ก
F F Fก ก ก ก
F 2.11 F F
1) 1, 3, 5, 7,
2) 0, 7, 26, 63,
1) 1 = 1 + 2(0)
3 = 1 + 2(1)
5 = 1 + 2(2)
7 = 1 + 2(3)
Fก F F F
F ก F an = 1 + 2(n 1) = 2n 1
2) 0 = 13
1
7 = 23
1
26 = 33
1
63 = 43
1
Fก F F F
F ก F an = n3
1
F 2.12 ก ก F
1 = 1
1 + 3 = 4
1 + 3 + 5 = 9
1 + 3 + 5 + 7 = 16
F 1 + 3 + 5 + + 101
ก 1 = 1 = 12
1 + 3 = 4 = 22
1 + 3 + 5 = 9 = 32
1 + 3 + 5 + 7 = 16 = 42

32. 22 ก F
ก F F กก F F F ก กก
F 1 + 3 + 5 + + 101
ก F 1 ก 101 51
1 + 3 + 5 + + 101 = 512
= 2,601
ʿก 2.2
1. ก F ก F F F F 3 F
2. F ก F F F
1) ก F ก
2) ˈ ก
F ก
3. F ก F F F
1) F ก F ก F
2) ˈ F ก F
F
4. ก 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12 F F
ก ก ก F F ก F F ก F F 1 F
5. ก 2, 4, a a ˈ F F a
ˈ F ก F F ก ก 2

33. 3
ก F F
ก F F (Mathematical Proofs) ˈ ก ก ˈ ก
ก F F F กก F F ก F 2 F F
ก F F F ˈ F F F
F ก
ก F F ก F Fก Fก F ก
ก F 3 4 F ก ก
3.1 ก F (Direct Proof)
ก F F ก F F ˈ F F F F F ˈ
ก F ก F ก F p fl q
F 3.1 F ก a F a ˈ F a2
ˈ
F F a ˈ ก
F F a = 2k + 1 k
a2
= (2k + 1)2
= (4k2
+ 4k) + 1
= 2(2k2
+ 2k) + 1
ก k ˈ F 2k2
+ 2k ˈ F
ก F F a2
ˈ F ก
F F ˈ

34. 24 ก F
F 3.2 F ก a F 2 | a F 2 | a2
F F a ˈ ก
ก 2 | a F F a = 2m m
a2
= (2m)2
= 4m2
= 2(2m2
) 2m2
F F 2 | a2
F ก
F 3.3 F ก a, b a ≠ 0 F a | b F a | b2
F F a, b ˈ ก a ≠ 0
ก a | b F F b = ma m
b2
= (ma)2
= m2
a2
= a(am2
) am2
ˈ
F F a | b2
F ก
ʿก 3.1
1. ก a, b, x, y F F F
1) F 3 | x 3 | y F 3 | (xy)
2) F 3 | x 3 | y F 3 | (mx + ny) m, n
2. a ≠ 0 F a0
= 1
3. F 00
F F F

35. F F 25
3.2 ก F F F (Contraposition)
ก 1 F F F p fl q ก F ~q fl ~p
F F p fl q ˈ F F F ~q fl ~p ˈ F ก F
ก F F F
F 3.4 F x F x2
ˈ F F x ˈ F F
F F F ก F F p fl q F ก Fก F F F
F ~q fl ~p
F ก F x F x ˈ F x2
ˈ
F x ˈ F x ˈ
F F k F x = 2k + 1
x2
= (2k + 1)2
= 4k2
+ 4k + 1 = 2(2k2
+ 2k) + 1
F F x2
ˈ F F F F x ˈ
F F ก
ʿก 3.2
1. ก x F F F x3
ˈ F x ˈ
F F ˈ
F ˈ

36. 26 ก F
3.3 ก F ก F F (Contradiction)
ก F ก F F F ก F ก F F F F
F ก F F ก F 2 ˈ ก (irrational) F ก F F F
F ก ก F 2 ˈ ก (rational) F F F F ก
F F ก F F F F F ก F F F
F ก F ˈ
ก ก F F F F
F F ก F F (indirect proof) ก F
F 3.5 F 2 ˈ ก
F F 2 ˈ ก
ก F F
ก a, b F 2 = a
b -----(3.3.1)
. . . a, b F ก 1
กก F ก (3.3.1) F 2 =
2
2
a
b
a2
= 2b2
-----(3.3.2)
F F a2
ˈ F F F a ˈ F F
F F a = 2p -----(3.3.3) p
กก F ก (3.3.3) F a2
= (2p)2
= 4p2
-----(3.3.4)
F (3.3.4) (3.3.2) F
4p2
= 2b2
==> 2p2
= b2
b2
ˈ F F F b ˈ F F
b = 2q -----(3.3.5) q
F F F ก F ˈ
ก F F F F F ˈ
F F F F ก F ˈ

37. F F 27
F F a
b = 2p
2q = p
q
F a
b F ˈ F F ( ก ก . . . a ก b F F ก 1)
ก F F 2 ˈ ก F ก
ʿก 3.3
1. F 3 ˈ ก
2. F F ก F 0
3. F ก ˈ F
4. F F ( )x
x + 1
x
lim
→ ∞
≠ 0
3.4 ก F F ก F
ก F F ก F F ก F ก F F ก F ก
ก F F ก F P(n) =
n
k 1
k∑
=
= n(n + 1)
2 ก ก n ˈ F
กก F F กก F F P(1) ˈ F F F
F P(n) ˈ ก n
ก F F P(1) ˈ ก F (Basis Step) ก F F P(n)
ก n ˈ ก F (Inductive Step) ก F
ก กก F (Well ordering principle) ก ก F (Peano s Axioms)
F F F F F F F ก ก ก ก F
ก ก ก
F 3.6 ก n F 12
+ 22
+ 32
+ + n2
= n
6 (n + 1)(2n + 1)
F n ˈ ก P(n) : 12
+ 22
+ 32
+ + n2
= n
6 (n + 1)(2n + 1)
: F 12
= 1
6 (1 + 1)(2(1) + 1) = 1 P(1) ˈ
: F k ˈ ก F P(k) ˈ
F ก F P(k + 1) ˈ F
ก 12
+ 22
+ 32
+ + k2
= k
6 (k + 1)(2k + 1)

38. 28 ก F
12
+ 22
+ 32
+ + k2
+ (k + 1)2
= k
6 (k + 1)(2k + 1) + (k + 1)2
= (k + 1) k
6 (2k + 1) + (k + 1)  
= (k + 1)( )2
2k + 7k + 6
6
= (k + 1) (2k + 3)(k + 2)
6
 
 
= k + 1
6 [(k + 1) + 1][2(k + 1) + 1]
F F P(k + 1) ˈ ก F F F
12
+ 22
+ 32
+ + n2
= n
6 (n + 1)(2n + 1)
F 3.7 F F (polygon) n F F ก
n(n - 3)
2 F ก ก n ≥ 4
:
ก 3.1 F F ก n = 4 ( 4 ) F F F ก
4(4 - 3)
2 = 2 F ˈ
P1 P2
P4 P3
3.1 4

39. F F 29
:
F k F F ก k(k - 3)
2 F
F F k + 1 F F ก (k + 1)((k + 1) - 3)
2
= (k + 1)(k - 2)
2 F
ก F k F F ก k(k - 3)
2 F
k + 1
ก Pk + 1 3.3 F F Pk + 1 F F ก ก
k + 1 F ก F P1, Pk ˈ F ก Pk + 1
Pk + 1 F F F k 2 F
F F F F ก k(k - 3)
2 + (k 2) + 1 = k(k - 3)
2 + (k 1) F
k(k - 3)
2 + (k 1) = k(k - 3) + 2(k - 1)
2
=
2
k - 3k + 2k - 2
2
=
2
k - k - 2
2
= (k + 1)(k - 2)
2
ก F F F n F
F ก n(n - 3)
2 F ก ก n ≥ 4
F ก ก F 3.7 F F ก F F ก F F ˈ F F
ก n = 1
P1
P2
P3Pk 1
P4
Pk
3.2 k
P1
P2
P3Pk 1
P4
Pk
Pk + 1
3.3 k + 1

40. 30 ก F
ʿก 3.4
1. F ก ก n F 13
+ 23
+ 33
+ + n3
=
2n(n + 1)
2
 
 
2. ก F Z = r (cos θ + i sin θ) ˈ F F n ˈ ก
F F F
1) Zn
= rn
(cos nθ + i sin nθ)
2) Zn
= cos nθ + i sin nθ r = 1
3. ก ก n ≥ 1 F (1 + x)n
≥ 1 + nx x ˈ
x ≥ 1
4. F 1(1!) + 2(2!) + 3(3!) + + n(n!) = 1 + (n + 1)! ก ก n
5. ก ก F F F F n F F F
F F

41. F F 31
ก
ก ก ก ก F. ก F. F 2. ก : ก F , 2542.
. F Ent 44. ก : , 2544.
. F Ent 45. ก : , 2545.
. F Ent 46. ก : , 2546.
. F Ent 47. ก : F F ก F, 2547.
. F Ent 48. ก : F F ก F, 2548.
ก F . ก F . F 5. ก :
, 2547.
F. ก F. F 3. ก : ก F, 2540.
. F. F 1. ก : ก F, 2533.
ก . ก . F 4. ก : , 2545.
ก กF . Ent 43 ก F. F : ก ก , 2543.
ก . ก F .4 ( 011, 012). F ก. ก : ʽ ก F F, 2539.