1. ตรรกศาสตร์ (Logic)
กําหนดถือเป็ นสาระสําคัญ ข้อความหรื อการให้เหตุผลในชีวตประจําวันสามารถสร้างเป็ นรู ปแบบ
ิ
าง
ตรรกศาสตร์ เป็ นแม่บทของคณิ ตศาสตร์ แขนงต่าง ๆ และการประยุกต์
ประพจน์(Statement)
ตัวอย่าง 1. (เท็จ)
2. สนามบินสุ วรรณภูมิเปิ ดใช้ในเดือนกันยายน 2549 (จริ ง)
3. ประเทศไทยเฉลิมฉลอง 60 ปี ครองราช 12 มิถุนายน 2549 (จริ ง)
4. 9 = 3 (จริ ง)
*** ประพจน์
เท็จได้ ไม่ เป็ นประพจน์
1. คําอุทาน เช่น โธ่เอ๋ ยเวรกรรม,อุยตาย, คุณพระช่วย
้
2. เช่น อย่าส่ งเสี ยงดัง, จงแสดงวิธีทา, เดินหน้า 2 ก้าว
ํ
3. คําขอร้อง เช่น ช่วยด้วย, ,เห็นใจผมด้วย
4. คําถาม เช่น ทานข้าวแล้วหรื อยัง?,
ต่อการเขียน หรื อสะดวกต่อ
การใช้ นิยมใช้อกษรในภาษาอังกฤษแทนประพจน์ เช่น
ั
p แทน 2x+1=9 ; p x =4
q แทน 5+9 = 12 ;q เป็ นประพจน์เป็ นเท็จ
r แทน จังหวัดสุ โขทัยเป็ นเมืองหลวงเก่า ; rเป็ น ประพจน์เป็ นจริ ง
เราใช้ในชีวิตประจําวัน หรื อใช้ในวิชาคณิ ตศาสตร์ จะมี
(Connective)
ถ้าเรามีประโยค 2 ประโยคคือ
p แทน วั
q
1.
2.

2. 3.
4.
“และ”
ถ้า p และ q เป็ นประพจน์ จะเรี ยกประพจน์ “p และ q ” ว่าประพจน์แบบรวมผล
(conjunction) ของ p กับ q เขียนแทนด้วย “pq”
ค่าความจริ งของประพจน์ pq
p q pq
T T T ***
T F F
F T F
F F F
ตัวอย่ าง 2+2 =4 และ 2*2 = 4 (T)
2*2=2 และ 2+2 = 4 (F)
2*0=0 และ ศูนย์เป็ นจํานวนเฉพาะ (F)
2*0 = 0 (F)
“หรือ”
ถ้า p และ q เป็ นประพจน์ จะเรี ยกประพจน์ “p และ q ” ว่าประพจน์แบบเลือก
(Disjunction) ของ p กับ q เขียนแทนด้วย “pq”
ค่าความจริ งของประพจน์ pq
P q pq
T T T
T F T
F T T
F F F ***
ตัวอย่ าง 2 เป็ นจํานวนคู่ หรื อ 0 เป็ นจํานวนคู่ (T)
2 เป็ นจํานวนคู่ หรื อ 0 (T)
0 เป็ นจํานวนเต็มบวก หรื อ 0 เป็ นจํานวนเต็มคู่ (T)
0 0 เป็ นจํานวนเต็มบวก (F)

3. “ถ้ า…….แล้ว”
ถ้า p และ q เป็ นประพจน์ จะเรี ยกประพจน์ “p และ q ”
(Conditional) ของ p กับ q เขียนแทนด้วย “pq”
ค่าความจริ งของประพจน์ pq เขียนแทนด้วยตา
P q pq
T T T
T F F ***
F T T
F F T
ตัวอย่ าง ถ้า 2 เป็ นจํานวนคู่ แล้ว 4 เป็ นจํานวนคู่ (T)
ถ้า 2 เป็ นจํานวนคู่ แล้ว 3 เป็ นจํานวนคู่ (F)
ถ้า 3 เป็ นจํานวนคู่แล้ว 2 เป็ นจํานวนคู่ (T)
ถ้า 3 เป็ นจํานวนคู่แล้ว 2 (T)
“ ……. …….”
ถ้า p และ q เป็ นประพจน์ จะเรี ยกประพจน์ “p และ q ”
(Biconditional) ของ p กับ q เขียนแทนด้วย “pq”
(pq) (qp)= pq
ค่าความจริ งของประพจน์ pq
p q pq pq pq (pq) (qp) pq
T T T T T T T
T F F T F F F
F T F T T F F
F F F F T T T
ตัวอย่ าง 4 เป็ นจํานวนคู่ 4 หาร 2 ลงตัว (T)
3 เป็ นจํานวนคู่ 4 หาร 2 ลงตัว (F)
3 เป็ นจํานวนก็ 3 หาร 2 ลงตัว (F)
3 เป็ นจํานวนคู่ 3 หาร 2 ลงตัว (T)
นิเสธของประพจน์
ถ้า p เป็ นประพจน์นิเสธ(Negation or Denial) ของประพจน์ p
ตรงกันข้ามกับประพจน์ p เขียนแทนด้วย p

4. ค่าความจริ งของ p
p p
T F
F T
ตัวอย่ าง
ให้ p (T)
p (F)
ค่ าความจริงของประพจน์
ตัวอย่ าง จงสร้างตารางค่าความจริ งของประพจน์ p(pq)
วิธีทํา
p q pq p( pq)
T T T T
T F T T
F T T T
F F F T
จะเห็นได้วาประพจน์ p(pq) เกิดจากประพจน์ p
่ q
กรณี
4 กรณี
ตัวอย่ าง จงสร้างตารางค่าความจริ งของประพจน์ (pq) r
วิธีทา
ํ
p q r pq (pq) r
T T T T T
T T F T F
T F T T T
T F T T T
F T T F T
F T F F T
F F T F T

5. F F F F T
จะเห็นได้วาประพจน์ (pq) r เกิดจากประพจน์ p , q และ r
่
2
8 กรณี คือ ประพจน์ p,qและ r 3 ประพจน์ เกิดได้ จาก 23 = 8
ประโยคเปิ ด(Open Sentence)
คือข้อความทอยูในรู ปประโย
่
สั ญลักษณ์ นิยมใช้ P(x), P(x , y),Q(x , y)
ตัวอย่ าง
เธอเป็ นนางสาวไทย
x+3  5
3x + 2 = 5
เขาเป็ นนายกรัฐมนตรี
เฉพาะเจาะจงลงไป
วลีบอกปริมาณ(Quantifier)
คือคําบอกกล่าวกําหนดขีดจํากัดของปริ มาณ หรื อขอบเขตของตัวแปรในประโยค
เปิ ด วลีแบอกปริ มาณมี 2 แบบคือ
1. (Universal Quantifier)
1.1 บอกในรู ปคํากล่าว เช่น สําหรับทุกๆค่าของ x ……………
สําหรับแต่ละค่าของ x……………
1.2 บอกในรู ปสัญลักษณ์ x อ่านว่า for all x เช่น x[x>3]; = จํานวนเต็ม
ความหมายคือ สมาชิกทุกตัวในจํานวนเต็มมีค่ามากกว่า 3
ประพจน์
2. บอกปริ มาณบางส่ วน (Existential Quantifier)
2.1 บอกในรู ปคํากล่าว เช่น มีบางตัวของ x ………………..
บางอย่างของ……………………
…………………….
2.2 บอกในรู ปสัญลักษณ์ x อ่านว่า for some x เช่น x[x>3] , U = จํานวนเต็ม

6. ความหมายคือ มีสมาชิก x บางตัวในจํานวนเต็ม มีค่ามากกว่า 3
เป็ นจริ ง
กํากับ
1. คนทุกคนเป็ นคนขยัน : x [x เป็ นคนขยัน]
2. : x [x เป็ นสี เขียว]
3. มี x : x [x เป็ นจํานวนอตรรกยะ]
4. อาหารบางอย่างมีรสเค็ม : x [ x เป็ นอาหารรสเค็ม]
p(x) แทนคนฉลาด
q(x) แทนคนขยัน
5. คนบางคนเป็ นคนฉลาด : x [p(x)]
6. คนทุกคนเป็ นคนขยัน : x [q(x)]
7. คนบางคนเป็ นคนขยันและฉลาด : x [q(x) p(x)]
8. มีบางคนไม่ขยัน : x [q(x)]
ตัวอย่าง จงหาค่าความจริ งของประพจน์ x [x2+1 > 1]
U = {-1 , 0 , 1}
วิธีทา ให้ p(x) แทน x2+1 > 1
ํ
จะได้ p(1) : 12 + 1 > 1 เป็ นจริ ง (T)
p(0) : 02 + 1 > 1 เป็ นเท็จ (F)
2
P(-1) : (-1) + 1 > 1 เป็ นจริ ง (T)
*** x [x2+1 > 1] เป็ นเท็จ (F) U ทุกค่าจะต้องให้
ค่าความจริ งเป็ นจริ ง (T) x จึงจะให้ค่าเป็ น T ถ้ามี F เพียงกรณี เดียวก็จะให้ผลรวมเป็ น F
ตัวอย่าง จงหาค่าความจริ งของประพจน์ x [x2-2x +1 = 0]
U = {-1 , 0 , 1}
วิธีทา ํ ให้ p(x) แทน x2-2x +1 = 0
จะได้ p(-1) : (-1)2 –2(-1) +1  0 เป็ นเท็จ (F)
p(0) : 02 –2(0) + 1  0 เป็ นเท็จ (F)
p(1) : 12 –2(1) +1 = 0 เป็ นจริ ง (T)
*** x [x2-2x +1 = 0] ให้ค่าความจริ งเป็ นจริ ง (T) U บางค่าให้ค่า
ความจริ งเป็ นจริ ง