ตรรกศาสตร์

1. คู่มือประกอบสือการสอน วิชาคณิตศาสตร์
ตอนที 48
แบบฝึกหัดเรือง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ (ตอนที 2)
โดย
ศาสตราจารย์ ดร.กฤษณะ เนียมมณี
สือการสอนชุดนี เป็นความร่วมมือระหว่าง
คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย กับ
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน (สพฐ.)
กระทรวงศึกษาธิการ ปีงบประมาณ2555

2. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
1
สือการสอน เรือง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
สือการสอน เรือง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ มีจํานวนตอนทังหมดรวม 8 ตอน
ซึงประกอบด้วย
1. บทนําเรือง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
2. เนือหาตอนที 1 การให้เหตุผล
- การให้เหตุผลแบบอุปนัย
- การให้เหตุผลแบบนิรนัย
3. เนือหาตอนที 2 ประพจน์และการสมมูล
- ประพจน์และค่าความจริง
- ตัวเชือมประพจน์
- การสมมูล
4. เนือหาตอนที 3 สัจนิรันดร์และการอ้างเหตุผล
- เอกลักษณ์ในการเชือมประพจน์
- สัจนิรันดร์
5. เนือหาตอนที 4 ประโยคเปิดและวลีบ่งปริมาณ
- การอ้างเหตุผล
- ประโยคเปิด
- วลีบ่งปริมาณ
6. แบบฝึ กหัดตอนที1 แบบฝึกหัดเรือง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ (ตอนที 1)
- แบบฝึกหัดขันพืนฐาน
- แบบฝึกหัดขันสูง
- แบบทดสอบ
7. แบบฝึ กหัดตอนที 2 แบบฝึกหัดเรือง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ (ตอนที 2)
- แบบฝึกหัดขันพืนฐาน
- แบบฝึกหัดขันสูง
- แบบทดสอบ

3. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
2
8. แบบฝึ กหัดตอนที 3 แบบฝึกหัดเรือง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ (ตอนที 3)
- แบบฝึกหัดขันพืนฐาน
- แบบฝึกหัดขันสูง
- แบบทดสอบ
คณะผู้จัดทําหวังเป็นอย่างยิงว่าสือการสอนชุดนีจะเป็นประโยชน์ต่อการเรียนการสอน
สําหรับครูและนักเรียนทุกโรงเรียนทีใช้สือชุดนีร่วมกับการเรียนการสอนวิชาคณิตศาสตร์เรือง
การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์ นอกจากนีหากท่านสนใจสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ในเรืองอืนๆ
ทีคณะผู้จัดทําได้ดําเนินการไปแล้วท่านสามารถดูชือเรืองและชือตอนได้จากรายชือสือการสอนวิชา
คณิตศาสตร์ ทังหมดในตอนท้าย ของคู่มือฉบับนี

4. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
3
เรือง การให้เหตุผลและตรรกศาสตร์
หมวด แบบฝึกหัด
ตอนที 2 (2/3)
หัวข้อย่อย 1. แบบฝึกหัดขันพืนฐาน
2. แบบฝึกหัดขันสูง
3. แบบทดสอบ
จุดประสงค์การเรียนรู้
เพือให้ผู้เรียน
1. เข้าใจความหมายของค่าความจริง
2. เข้าใจความหมายของตัวเชือมประพจน์ ค่าความจริงทีเกิดขึนและสามารถนําไปใช้ได้
3. เข้าใจการสมมูลและสามารถตรวจสอบการสมมูลได้
4. เข้าใจเกียวกับเอกลักษณ์ในการเชือมประพจน์และสามารถนําไปใช้ในการแก้ปัญหาได้
5. เข้าใจความหมายของสัจนิรันดร์และสามารถตรวจสอบสัจนิรันดร์ได้
6. เข้าใจในการอ้างเหตุผลและสามารถนําการอ้างเหตุผลไปใช้ตรวจสอบความสมเหตุสมผลได้

5. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
4
1. แบบฝึกหัดขันพืนฐาน
แบบฝึกหัดขันพืนฐาน ใช้เพือวัดความรู้ความสามารถขันพืนฐานของผู้เรียน ประกอบด้วยข้อคําถาม
แบบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จํานวน 10 ข้อ พร้อมเฉลย ครอบคลุมตามจุดประสงค์การเรียนรู้ทีกําหนด โดย
ผู้จัดทําได้ออกแบบให้โปรแกรมสามารถสุ่มข้อคําถาม เพือสร้างเป็นแบบฝึกหัดทีมีความแตกต่างกันได้ มาก
ถึง 310
แบบ

6. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
5
โจทย์ข้อ 1เนือหาหลัก: ค่าความจริงของประพจน์
จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 1คือเพือตรวจสอบว่านักเรียนสามารถหาค่าความจริงจากการ
เชือมประพจน์ย่อยต่าง ๆได้หรือไม่
1.1 ให้ ,p q และ r เป็นประพจน์ทีมีค่าความจริงเป็นจริง เท็จ และจริง ตามลําดับประพจน์ใดต่อไปนีมีค่า
ความจริงเป็นเท็จ
1.  q p r  2.  r q p  3.  p q r  4.  r q p 
เฉลย 3
วิธีทํา จากการแทนค่า ,p T q F  และ r T เราจะได้ว่า
1.    q p r F T T T     
2.    r q p T F T T     
3.    p q r T F T F     
4.    r q p T T T T     
1.2 ให้ ,p q และ r เป็นประพจน์ทีมีค่าความจริงเป็นจริง เท็จ และจริง ตามลําดับประพจน์ใดต่อไปนีมีค่า
ความจริงเป็นเท็จ
1.  q r p  2.  r q p  3.    p r q r   4.  r p q 
เฉลย 2
วิธีทํา จากการแทนค่า ,p T q F  และ r T เราจะได้ว่า
1.    q r p F T T T     
2.    r q p F F T F     
3.        p r q r T T F T T       
4.    r p q T T F T     
1.3 ให้ ,p q และ r เป็นประพจน์ทีมีค่าความจริงเป็นจริง เท็จ และจริง ตามลําดับประพจน์ใดต่อไปนีมีค่า
ความจริงเป็นเท็จ
1.  r p q  2.  r q p  3.  q p r  4.  r p q 
เฉลย 3
วิธีทํา จากการแทนค่า ,p T q F  และ r T เราจะได้ว่า
1.    r p q T T F T     
2.    r q p T F T T     

7. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
6
3.    q p r F F F F     
4.    r p q F T F T     

8. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
7
โจทย์ข้อ 2 เนือหาหลัก: ค่าความจริงของประพจน์
จุดประสงค์ของข้อ 2 คือต้องการให้นักเรียนหาค่าความจริงของประพจน์ย่อยต่าง ๆ
ตลอดจนค่าความจริงจากการเชือมประพจน์ย่อยต่างๆ
2.1 ให้ p แทนข้อความทีว่า“ 2 เป็นจํานวนตรรกยะ”
q แทนข้อความทีว่า“ 1 เป็นจํานวนตรรกยะ ”
r แทนข้อความทีว่า “ 2 1 เป็นจํานวนตรรกยะ”
แล้วประพจน์ใดต่อไปนีมีค่าความจริงเป็นจริง
1. p q 2.  r q p  3.  q r p  4. r p
เฉลย 1
วิธีทําเนืองจาก ,p F q T  และ r F ดังนัน
1. p q T T T   
2.    r q p T T F F     
3.    q r p T F F F     
4. r p T F F   
2.2 ให้ p แทนข้อความทีว่า“ 2 เป็นจํานวนตรรกยะ”
q แทนข้อความทีว่า“ 1 เป็นจํานวนตรรกยะ”
r แทนข้อความทีว่า “ 2 1 เป็นจํานวนตรรกยะ”
แล้วประพจน์ใดต่อไปนีมีค่าความจริงเป็นเท็จ
1.  r q p  2.  r p q  3.  p q r  4.  q p r 
เฉลย 4
วิธีทําเนืองจาก ,p F q T  และ r F ดังนัน
1.    r q p F T F T     
2.    r p q T F T T     
3.    p q r T F T T     
4.    q p r T T F F     
2.3 ให้ p แทนข้อความทีว่า“ เป็นจํานวนอตรรกยะ”
q แทนข้อความทีว่า“ 22
7
เป็นจํานวนอตรรกยะ”

9. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
8
r แทนข้อความทีว่า “ 22
7
  ”
แล้วประพจน์ใดต่อไปนีมีค่าความจริงเป็นเท็จ
1.  q p r  2.  p q r  3.  p q r  4.  p q r 
เฉลย 2
วิธีทําเนืองจาก ,p T q F  และ r F ดังนัน
1.    q p r F T F T     
2.    p q r T F F F     
3.    p q r T F F T     
4.    p q r T F F T     

10. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
9
โจทย์ข้อ 3 เนือหาหลัก: ค่าความจริงของประพจน์
จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 3 คือต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถหาค่าความจริงของการ
เชือมประพจน์แบบต่าง ๆ ได้หรือไม่
3.1 มีกรณีทีเป็นไปได้ทังหมดกีกรณีทีทําให้  p q r  มีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. 1 2. 2 3. 4 4. 8
เฉลย 1
วิธีทํา  p q r F   ก็ต่อเมือ p T และ q r F 
ก็ต่อเมือ p T และ q F และ r F
ดังนันมีกรณีเดียวเท่านันคือ ,p T q F  และ r F ทีทําให้  p q r  มีค่าความจริงเป็นเท็จ
3.2 มีกรณีทีเป็นไปได้ทังหมดกีกรณีทีทําให้  p q r  มีค่าความจริงเป็นจริง
1. 1 2. 2 3. 4 4. 7
เฉลย 4
วิธีทํา จากตารางค่าความจริง
p q r  p q r 
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
ดังนันมีทังหมด 7กรณี ทีทําให้  p q r  มีค่าความจริงเป็นจริง
3.3 มีกรณีทีเป็นไปได้ทังหมดกีกรณีทีทําให้  p q r  มีค่าความจริงเป็นจริง
1. 1 2. 2 3. 4 4. 7
เฉลย 4
วิธีทํา จากตารางค่าความจริง

11. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
10
p q r  p q r 
T
T
T
T
F
F
F
F
T
T
F
F
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
T
T
ดังนันมีทังหมด 7กรณี ทีทําให้  p q r  มีค่าความจริงเป็นจริง

12. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
11
โจทย์ข้อ 4 เนือหาหลัก: ค่าความจริงของประพจน์
จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 4 คือต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถหาค่าความจริงของ
ประพจน์ได้หรือไม่
4.1 ถ้า  p q r  มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง
1. p q 2. p r 3. q r 4. p r
เฉลย 1
วิธีทําเนืองจาก  p q r F   จะได้ว่า p q T  และ r F
ดังนัน ,p T q T  และ r F
1. p q T T T   
2. p r T F F   
3. q r T F F   
4. p r T F F   
4.2 ถ้า  p q r  มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นเท็จ
1. p q 2. p r 3. r p 4. r p
เฉลย 2
วิธีทําเนืองจาก  p q r F   จะได้ว่า p T และ q r F 
ดังนัน ,p T q F  และ r F
1. p q F F T   
2. p r T F F   
3. r p F T T   
4. r p T T T   
4.3 ถ้า    p r r q   มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วประพจน์ในข้อใดมีค่าความจริงเป็นจริง
1. r q 2. p r 3. p q 4. p r
เฉลย 1
วิธีทําเนืองจาก    p r r q F    ทําให้ p r T  และ r q F 
ดังนัน ,p T q F  และ r F
1. r q F F T   
2. p r T F F   

13. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
12
3. p q T F F   
4. p r F F F   

14. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
13
โจทย์ข้อ 5 เนือหาหลัก : การสมมูล
จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 5 คือต้องการทดสอบว่านักเรียนทราบความหมายและสามารถ
ตรวจสอบการสมมูลของประพจน์ได้หรือไม่
5.1 ประพจน์ p q สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
1. p q 2. q p 3. p q 4. q p
เฉลย 1
วิธีทํา
p q p q p q q p p q q p
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
T
F
จากตารางจะเห็นได้ว่า p q สมมูลกับ p q
5.2 ประพจน์ p q สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
1. p q 2. q p 3. p q 4. q p
เฉลย 4
วิธีทํา
p q p q p q q p p q q p
T
T
F
F
T
F
T
F
T
F
T
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
T
F
T
T
F
T
T
จากตารางจะเห็นได้ว่า p q สมมูลกับ q p
5.3 ประพจน์ p r สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
1.  p r 2. r p 3. r p 4. r p
เฉลย 4

15. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
14
วิธีทํา
p r p r  p q r p r p r p
T
T
F
F
T
F
T
F
F
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
F
T
T
F
T
F
T
T
T
จากตารางจะเห็นได้ว่า p r สมมูลกับ r p

16. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
15
โจทย์ข้อ 6เนือหาหลัก: สัจนิรันดร์
จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 6คือต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถตรวจสอบว่าประพจน์ที
กําหนดมานันเป็นสัจนิรันดร์ได้หรือไม่
6.1 ประพจน์ในข้อใดต่อไปนีเป็นสัจนิรันดร์
1.  p p r  2. p q
3. p p 4.  p q q 
เฉลย 1
วิธีทํา
1. เป็นสัจนิรันดร์ เพราะว่า ถ้า  p p r  เป็น F จะได้ว่า p T และ p r F  ซึงเป็นไปไม่ได้
ดังนัน  p p r  มีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
2. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น ,p T q F  จะได้ว่า p q F 
3. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น p F จะได้ว่า p p T F F   
4. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น ,p T q T  จะได้ว่า  p q q T F F    
6.2 ประพจน์ในข้อใดต่อไปนีเป็นสัจนิรันดร์
1.  p q r  2.  p q q 
3. p p 4.  p r p 
เฉลย 2
วิธีทํา
1. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น , ,p T q T r F   จะได้ว่า  p q r T F F    
2. เป็นสัจนิรันดร์ เพราะว่า ถ้า  p q q  เป็นเท็จ เราจะได้ว่า p q T  และ q F ซึงเป็นไปไม่ได้
ดังนัน  p q q  จะมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
3. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น p T จะได้ว่า p p T F F   
4. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น ,p T r T  จะได้ว่า  p r p T F F    
6.3 ประพจน์ในข้อใดต่อไปนีเป็นสัจนิรันดร์
1.    p q p q   2.    p q p q  
3. p p 4. p p
เฉลย 1

17. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
16
วิธีทํา
1. เป็นสัจนิรันดร์ เพราะว่า ถ้า    p q p q   เป็นเท็จ จะได้ว่า p q T  และ p q F  ซึง
เป็นไปไม่ได้ดังนัน    p q p q   จึงมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
2. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น ,p T q F  จะได้ว่า    p q p q T F F     
3. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น p F จะได้ว่า p p T F F   
4. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น p F จะได้ว่า p p T F F   

18. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
17
โจทย์ข้อ 7 เนือหาหลัก: การอ้างเหตุผล
จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 7 คือต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถตรวจสอบได้หรือไม่ว่า
การอ้างเหตุผลนันสมเหตุสมผลหรือไม่
7.1 จากเหตุ 1 p q
2 p r
แล้วผลในข้อใดจะทําให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล
1. q 2. q 3. p 4. r
เฉลย 4
วิธีทําจากเหตุข้อ 2 จะได้ว่า p F และ r T และจากเหตุข้อ 1 จะได้ว่า q มีค่าความจริงเป็นอะไรก็ได้
ดังนันต้องเลือกผลในข้อ 4 จึงจะทําให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล
7.2 จากเหตุ 1 p q
2 p r
แล้วผลในข้อใดจะทําให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล
1. r p 2. q p 3. p r 4. r q
เฉลย 3
วิธีทําจากเหตุข้อ 2 จะได้ว่า p T และ r T และจากเหตุข้อ 1 จะได้ว่า q T ทําให้ได้ว่า
r p F  , q p F  และ r q F  แต่ p r T  ดังนัน p r เป็นจริง ซึงทําให้การ
อ้างเหตุผลนีสมเหตุสมผล
7.3 จากเหตุ 1  p r q 
2 r q
แล้วผลในข้อใดจะทําให้การอ้างเหตุผลสมเหตุสมผล
1. p 2. p 3. r q 4. q p
เฉลย 4
วิธีทําจากเหตุข้อ 2 จะได้ว่า r T และ q F และจากเหตุข้อ 1 เราจึงสรุปได้ว่า p มีค่าความจริงเป็น
จริงหรือเท็จก็ได้จากข้อมูลข้างต้น จะได้ว่า q p มีค่าความจริงเป็นจริง ซึงทําให้การอ้างเหตุผลนี
สมเหตุสมผล

19. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
18
โจทย์ข้อ 8 เนือหาหลัก: สัจนิรันดร์
จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ8 คือต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถตรวจสอบได้หรือไม่ว่า
ประพจน์ทีกําหนดให้มานันเป็นสัจนิรันดร์หรือไม่
8.1 ข้อใดต่อไปนีไม่เป็นสัจนิรันดร์
1.  p p q  2.  p q p  3.  p p q  4.  q p q 
เฉลย 1
วิธีทํา
1. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น p T และ q F จะได้ว่า  p p q T F F    
2. เป็นสัจนิรันดร์ เพราะถ้า  p q p  มีค่าความจริงเป็นเท็จ จะได้ว่า p q T  และ p F ซึง
เป็นไปไม่ได้
3. และ 4. สามารถแสดงได้ในทํานองเดียวกันกับข้อ 2.
8.2 ข้อใดต่อไปนีไม่เป็นสัจนิรันดร์
1.  p r p  2. p p 3.    p q p q   4.  p p q 
เฉลย 2
วิธีทํา
2. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น p F จะได้ว่า p p เป็นเท็จ
ข้อ 1. , 3. และ 4. สามารถแสดงได้ในทํานองเดียวกันกับข้อ 8.1
8.3 ข้อใดต่อไปนีไม่เป็นสัจนิรันดร์
1.  r r q  2. p p
3.  r r q  4.  p q p 
เฉลย 1
วิธีทํา
1. ไม่เป็นสัจนิรันดร์ เช่น r T และ q F จะได้ว่า  r r q T F F    
2. เป็นสัจนิรันดร์ เพราะถ้า p T จะได้ว่า p p F T T    และถ้า p F จะได้ว่า
p p T F T    ดังนัน p p มีค่าความจริงเป็นจริงทุกกรณี
3. เป็นสัจนิรันดร์ เพราะว่าถ้า r T จะได้ว่า  r r q T   เสมอ ถ้า r F จะได้ว่า  r r q 
เป็นจริงเสมอ ทําให้  r r q  เป็นจริงทุกกรณี
4. แสดงได้ในทํานองเดียวกันกับข้อ 3

20. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
19
โจทย์ข้อ 9 เนือหาหลัก: การสมมูล
จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 9 คือต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถตรวจสอบการสมมูลของ
ประพจน์ได้หรือไม่
9.1  p q r  สมมูลกับข้อใด
1. p q r  2.  p q r 
3.  q r p  4.  p q r 
เฉลย 3
วิธีทํา      p q r q r p q r p        ดังนันในตัวเลือกทีถูกต้องคือ ข้อ 3
ในตัวเลือกอืน ๆ เราสามารถยกตัวอย่างเพือแสดงว่าไม่สมมูลกับ  p q r  ได้เช่นในข้อ 1ถ้าให้
,p F q F  และ r F จะได้ว่า    p q r F F F T      แต่ p q r F   เป็นต้น
9.2 p q สมมูลกับข้อใด
1.    p q q p   2.    p q q p  
3.    p q q p   4.  p q p 
เฉลย 1
วิธีทํา จากเอกลักษณ์ของการเชือมประพจน์ เราทราบว่า p q สมมูลกับ    p q q p  
(สามารถตรวจสอบได้โดยการสร้างตารางค่าความจริง) ส่วนตัวเลือกอืนสามารถหาตัวอย่างเพือแสดงได้ว่า
ไม่สมมูลกับ p q เช่น ในตัวเลือกที 2 ถ้าเลือก p T และ q F เราจะได้ว่า p q F  แต่
       p q q p T F F T T        ดังนัน p q ไม่สมมูลกับ    p q q p  
9.3  q p r  สมมูลกับข้อใด
1. q p r  2.  q p r 
3.  r q p  4. p q r 
เฉลย 2
วิธีทําเนืองจาก    q p r q p r     ดังนันตัวเลือกทีถูกต้องคือข้อ 2 สําหรับตัวเลือกอืนๆ เรา
สามารถยกตัวอย่างเพือแสดงว่าไม่สมมูลกับ  q p r  ได้เช่นในตัวเลือกที 1 ถ้า ,p F q F  และ
r F จะได้ว่า  q p r T   แต่ q p r F   ดังนัน  q p r  และ q p r  ไม่สมมูลกัน

21. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
20
10.1 นิเสธของ  p q r  คือข้อใด
1.  p q r  2.  q r p 
3.  p q r  4.  p q r 
เฉลย 3
วิธีทํา
       p q r p q r p q r p q r                
ดังนันคําตอบทีถูกต้องคือข้อ 3
สําหรับตัวอย่างอืนเราสามารถแสดงได้ว่าไม่ใช่นิเสธของ  p q r 
10.2 นิเสธของ  p q r  คือข้อใด
1.  p q r  2.  p q r 
3.  p q r  4.  q r p 
เฉลย 2
วิธีทํา
       p q r p q r p q r p q r                
ดังนันคําตอบทีถูกต้องคือข้อ 2
สําหรับตัวอย่างอืนเราสามารถแสดงได้ว่าไม่ใช่นิเสธของ  p q r 
10.3 นิเสธของ  q p r  คือข้อใด
1. q p r  2.  r q p 
3.  q p r  4.  r q p 
เฉลย 2
วิธีทํา
       q p r q p r q p r r q p                
ดังนันคําตอบทีถูกต้องคือข้อ 2
สําหรับตัวเลือกอืน ๆเราสามารถแสดงได้ว่าไม่ใช่นิเสธของ  q p r 
โจทย์ข้อ 10 เนือหาหลัก: นิเสธของประพจน์
จุดประสงค์ของโจทย์ข้อ 10 คือต้องการทดสอบว่านักเรียนสามารถนําความรู้เกียวกับ
เอกลักษณ์ของการเชือมประพจน์มาช่วยในการหานิเสธของประพจน์ทีกําหนดได้หรือไม่

22. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
21
2. แบบฝึกหัดขันสูง
แบบฝึกหัดขันสูงใช้เพือวัดความรู้ความสามารถขันสูงของผู้เรียนครอบคลุมตามจุดประสงค์การ
เรียนรู้ทีกําหนด ประกอบด้วยข้อคําถามแบบปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จํานวน 11 ข้อ พร้อมเฉลยทีผู้ใช้สือ
สามารถเลือกดูคําอธิบายได้จากสือการสอน

23. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
22
โจทย์ข้อ 1 นีเป็นการตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจความหมายของตัวเชือมประพจน์ต่างๆ และนํามา
ประยุกต์ในการตรวจสอบค่าความจริงได้หรือไม่

24. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
23
โจทย์ข้อ 2 นีเป็นการทดสอบว่านักเรียนเข้าใจการอ้างเหตุผลและสามารถนําการอ้างเหตุผลไปใช้
ตรวจสอบความสมเหตุสมผลได้หรือไม่

25. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
24
โจทย์ข้อ 3 นีต้องการตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจและสามารถตรวจสอบการสมมูล ตลอดจน
ตรวจสอบความเป็นสัจนิรันดร์ของประพจน์ได้หรือไม่

26. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
25
โจทย์ข้อ 4 นีเป็นการทดสอบว่านักเรียนเข้าใจการอ้างเหตุผลและสามารถนําการอ้างเหตุผลไปใช้
ตรวจสอบความสมเหตุสมผลได้หรือไม่

27. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
26
โจทย์ข้อ 5 นีต้องการตรวจสอบว่านักเรียนสามารถตรวจสอบการสมมูลกันของประพจน์ได้หรือไม่

28. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
27
โจทย์ข้อ 6 นีเป็นการตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจความหมายของตัวเชือมประพจน์ต่างๆ และนํามา
ตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ได้หรือไม่

29. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
28
โจทย์ข้อ 7 นีเป็นการตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจความหมายของตัวเชือมประพจน์ต่างๆ และนํามา
ตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ได้หรือไม่

30. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
29
โจทย์ข้อ 8 นีต้องการตรวจสอบว่านักเรียนสามารถตรวจสอบการสมมูลกันของประพจน์ได้หรือไม่

31. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
30
โจทย์ข้อ 9 นีต้องการตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจความหมายของสัจนิรันดร์และสามารถตรวจสอบ
ความเป็นสัจนิรันดร์ของประพจ์ได้หรือไม่

32. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
31
โจทย์ข้อ 10 นีต้องการตรวจสอบว่านักเรียนสามารถตรวจสอบการสมมูลกันของประพจน์ได้
หรือไม่

33. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
32
โจทย์ข้อ 11 นีเป็นการตรวจสอบว่านักเรียนเข้าใจความหมายของตัวเชือมประพจน์ต่าง ๆและ
นํามาประยุกต์ในการตรวจสอบค่าความจริงของประพจน์ได้หรือไม่

34. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
33
3. แบบทดสอบ
แบบทดสอบ ใช้เพือทดสอบความรู้ความสามารถขันสูงของผู้เรียน ประกอบด้วยข้อคําถามแบบ
ปรนัยแบบ 4 ตัวเลือก จํานวน 10 ข้อ พร้อมเฉลย ครอบคลุมตามจุดประสงค์การเรียนรู้ทีกําหนด โดย
ผู้จัดทําได้ออกแบบให้โปรแกรมสามารถสุ่มข้อคําถาม เพือสร้างเป็นแบบฝึกหัดทีมีความแตกต่างกัน
ได้มากถึง 10
3 แบบ

35. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
34
โจทย์ข้อ 1เนือหาหลัก: การสมมูล
1.1 “ถ้า 2a  แล้ว 2
4a  ” สมมูลกับประพจน์ใด
1. ถ้า 2
4a  แล้ว 2a  2. ถ้า 2
4a  แล้ว 2a 
3. ถ้า 2a  แล้ว 2
4a  4. ถ้า 2a  แล้ว 2
4a 
เฉลย 2
วิธีทําเนืองจาก p q สมมูลกับ q p ดังนัน ถ้า 2a  แล้ว 2
4a  จึงสมมูลกับ ถ้า 2
4a 
แล้ว 2a 
1.2 “ถ้าฝนตกแล้วรถติด” สมมูลกับประพจน์ใด
1. ฝนไม่ตกหรือรถติด 2. ถ้ารถติดแล้วฝนตก
3. ถ้าฝนไม่ตกแล้วรถไม่ติด 4. ฝนไม่ตกและรถไม่ติด
เฉลย 1
วิธีทํา ให้ p แทนข้อความ“ฝนตก” และ q แทนข้อความ “รถติด” เราจะได้ว่า
ถ้าฝนตกแล้วรถติด p q 
p q 
 ฝนไม่ตกหรือรถติด
1.3 “ถ้า 1x  แล้ว 2
1x  ” สมมูลกับประพจน์ใด
1. ถ้า 2
1x  แล้ว 1x  2. 1x  หรือ 2
1x 
3. ถ้า 2
1x  แล้ว 1x  4. ถ้า 2
1x  แล้ว 1x 
เฉลย 1
วิธีทํา พิจารณาได้ทํานองเดียวกันกับข้อ 1.1

36. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
35
โจทย์ข้อ 2เนือหาหลัก: การหาค่าความจริงของประพจน์
2.1 ให้ p เป็นประพจน์ทีแทนข้อความ “2n
เป็นจํานวนเต็มคู่ทุกจํานวนเต็ม n ”
q เป็นประพจน์ทีแทนข้อความ “ถ้า  เป็นจํานวนอตรรกยะ แล้ว 22
7
เป็นจํานวนอตรรกยะ”
และ r เป็นประพจน์ใด ๆ
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนีมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
1.  p q r  2. p q 3. p r 4.  p q r 
เฉลย 1
วิธีทํา จากทีโจทย์กําหนด จะได้ว่า p F (เช่น 1n   )และ q F ดังนัน
1.    p q r F F r T     
2. p q F F F   
3. p r F r F   
4.    p q r T F r F     
2.2 ให้ p เป็นประพจน์ทีแทนข้อความ “3n
เป็นจํานวนเต็มคู่ทุกจํานวนนับ n ”
q เป็นประพจน์ทีแทนข้อความ “ถ้า 22
7
เป็นจํานวนตรรกยะ แล้ว  เป็นจํานวนตรรกยะ”
และ r เป็นประพจน์ใด ๆ
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนีมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
1.  p q r  2.  p q r  3.  q r p  4.  p q r 
เฉลย 2
วิธีทํา จากทีโจทย์กําหนด จะได้ว่า p F (เช่น 2n  ) และ q F ดังนัน
1.    p q r F F r F     
2.    p q r F F r T     
3.    q r p F r F r     
4.    p q r T F r T r r       
2.3 ให้ p เป็นประพจน์ทีแทนข้อความ “4n
เป็นจํานวนเต็มคู่ทุกจํานวนนับ n ”
q เป็นประพจน์ทีแทนข้อความ “ เป็นจํานวนตรรกยะหรือ 22
7
เป็นจํานวนตรรกยะ”
และ r เป็นประพจน์ใด ๆ

37. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
36
ประพจน์ในข้อใดต่อไปนีมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
1.  p q r  2.  q p r  3.  p q r  4.  r p q 
เฉลย 3
วิธีทํา จากโจทย์กําหนดเราจะได้ว่า p T และ q T ดังนัน
1.    p q r T T r T r r       
2.    q p r T T r T r r       
3.    p q r T T r T T T       
4.    r p q r F T r F r       

38. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
37
โจทย์ข้อ 3เนือหาหลัก: สัจนิรันดร์
3.1 พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก.    p q r r p q           เป็นสัจนิรันดร์
ข.    p q p q   เป็นสัจนิรันดร์
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก ถูกข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิด ข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
เฉลย 2
วิธีทําพิจารณาข้อ ก. ประพจน์ทีอยู่ในรูป  จะมีค่าความจริงเป็นเท็จก็ต่อเมือ T และ F
ดังนันถ้า    p q r r p q           มีค่าความจริงเป็นเท็จ เราจะได้ว่า  p q r T   และ
 r p q F   ซึงเป็นไปไม่ได้ เพราะว่า  p q r T   ก็ต่อเมือ p q T  และ r T ดังนัน
 r p q T   ด้วย ทําให้เกิดข้อขัดแย้งดังนัน    p q r r p q           จึงมีค่าความจริง
เป็นจริงเสมอนันคือ ข้อก ถูกต้อง
พิจารณาข้อ ข. ให้ ,p T q F  จะได้ว่า    p q p q F    ดังนัน
   p q p q   ไม่เป็นสัจนิรันดร์ ข้อ ข จึงไม่ถูกต้อง
3.2 พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก.    p q p q   เป็นสัจนิรันดร์
ข.    p q p q   เป็นสัจนิรันดร์
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก ถูกข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิดข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
เฉลย 2
วิธีทําพิจารณาข้อ ก.แสดงได้ทํานองเดียวกันกับข้อ ก. ของ 3.1 ว่า    p q p q   เป็นสัจนิรันดร์
นันคือ ข้อก ถูกต้อง
พิจารณาข้อ ข. ให้ ,p T q F  จะได้ว่า    p q p q F   
ดังนัน    p q p q   จึงไม่เป็นสัจนิรันดร์ ข้อ ข จึงไม่ถูกต้อง
3.3 พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก.    p q q p   เป็นสัจนิรันดร์
ข.    p p q q p      เป็นสัจนิรันดร์

39. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
38
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก ถูกข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิดข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
เฉลย 2
วิธีทําพิจารณาข้อ ก. พิจารณาทํานองเดียวกันกับข้อ ก. ของ 3.1 ว่า    p q q p   เป็น
สัจนิรันดร์
พิจารณาข้อ ข. ให้ p F และ q T จะได้ว่า    p p q q p F      
ดังนัน    p p q q p      จึงไม่เป็นสัจนิรันดร์

40. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
39
โจทย์ข้อ 4เนือหาหลัก: การอ้างเหตุผล
4.1 พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล
3. ก ไม่สมเหตุสมผลแต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล
เฉลย 2
วิธีทําพิจารณาข้อ ก.
จากเหตุข้อ 3 จะได้ว่า p F
จากเหตุข้อ 2 จะได้ว่า r F และ s T
ดังนัน q s q T T    ข้อ ก จึงเป็นการอ้างเหตุผลทีสมเหตุสมผล
พิจารณาข้อ ข. ให้ , ,p F q T r F   และ s T จะได้ว่าเหตุข้อ 1, 2, 3เป็นจริงทังหมดแต่
q r F  ดังนันข้อ ข. จึงเป็นการอ้างเหตุผลทีไม่สมเหตุสมผล
4.2 พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล
3. ก ไม่สมเหตุสมผลแต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล
เฉลย 2
วิธีทําพิจารณาข้อ ก.
จากเหตุข้อ 3 จะได้ว่า s F
จากเหตุข้อ 2 จะได้ว่า p F และ q T
ก. เหตุ 1  p q r 
2 p q
3 s
ผล s r
ข. เหตุ 1  r s p 
2 s p
3 q p
ผล r q
ก. เหตุ 1  p q r 
2 r s
3 p
ผล q s
ข. เหตุ 1 r p
2 p s
3 s q
ผล q r

41. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
40
จากเหตุข้อ 1 จะได้ว่า r T
ดังนัน s r T T T    ข้อก จึงเป็นการอ้างเหตุผลทีสมเหตุสมผล
พิจารณาข้อ ข. ให้ , ,p T q F s T   และ r T จะได้ว่าเหตุข้อ 1, 2, 3เป็นจริงทุกข้อแต่ r q F 
ดังนันข้อ ข. จึงเป็นการอ้างเหตุผลทีไม่สมเหตุสมผล
4.3 พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล
3. ก ไม่สมเหตุสมผลแต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล
เฉลย 3
วิธีทําพิจารณาข้อ ก. ให้ , ,p T q T r F   และ s F จะได้ว่าเหตุข้อ 1, 2, 3เป็นจริงทุกข้อ
แต่ q s F  ดังนันข้อ ก. จึงเป็นการอ้างเหตุผลทีไม่สมเหตุสมผล
พิจารณาข้อ ข. จากเหตุข้อ 2 จะได้ว่า q F
จากเหตุข้อ 1และ q F จะได้ว่า r T
ดังนัน p r p T T   
ข้อ ข จึงเป็นการอ้างเหตุผลทีสมเหตุสมผล
ก. เหตุ 1  p q r 
2 p r
3 s
ผล q s
ข. เหตุ 1 r q
2 q
ผล p r

42. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
41
โจทย์ข้อ 5เนือหาหลัก: การอ้างเหตุผล
5.1 พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี
ก. เหตุ 1 สมชายเป็นคนไม่ขยันหรือสมชายสอบคณิตศาสตร์ได้คะแนนเต็ม
2 สมชายสอบคณิตศาสตร์ได้คะแนนไม่เต็ม
ผล สมชายเป็นคนไม่ขยัน
ข. เหตุ 1 ถ้าสมศรีเป็นคนฉลาดแล้วสมศรีจะสอบได้ทีหนึง
2 สมศรีสอบได้ทีหนึง
ผล สมศรีเป็นคนฉลาด
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล
3. ก ไม่สมเหตุสมผลแต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล
เฉลย 2
วิธีทําพิจารณาข้อ ก. จากเหตุข้อ 2 เราทราบว่าสมชายสอบคณิตศาสตร์ได้คะแนนไม่เต็ม และจากเหตุข้อ 1
เราจึงสรุปได้ว่าสมชายเป็นคนไม่ขยัน ข้อ ก จึงเป็นการอ้างเหตุผลทีสมเหตุสมผล
พิจารณาข้อ ข. เราไม่สามารถสรุปได้ว่าสมศรีฉลาดเพราะว่าไม่ว่าสมศรีจะฉลาดหรือไม่ เหตุข้อ 1 ก็จะเป็น
จริงเสมอ เนืองจากเหตุข้อ 2 จริง
5.2 พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี
ก. เหตุ 1 สมศรีเป็นคนขยัน
2 คนขยันทุกคนจะสอบผ่านภาษาอังกฤษ
3 คนทีสอบผ่านภาษาอังกฤษจะสอบคณิตศาสตร์ได้คะแนนเต็ม
ผล สมศรีจะสอบคณิตศาสตร์ได้คะแนนเต็ม
ข. เหตุ 1 คนฉลาดทุกคนจะสอบผ่านคณิตศาสตร์
2 คนทีสอบผ่านคณิตศาสตร์จะสอบผ่านฟิสิกส์
3 นาย ก สอบผ่านฟิสิกส์
ผล นาย ก เป็นคนฉลาด
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล
3. ก ไม่สมเหตุสมผลแต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล
เฉลย 2

43. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
42
วิธีทําพิจารณาข้อ ก.
จากเหตุข้อ 1และ 2เราสรุปได้ว่าสมศรีสอบผ่านภาษาอังกฤษ ดังนันจากเหตุข้อ 3สมศรีจะสอบคณิตศาสตร์
ได้คะแนนเต็ม ทําให้การอ้างเหตุผลในข้อ ก เป็นการอ้างเหตุผลทีสมเหตุสมผล
พิจารณาข้อ ข.
จากตัวอย่างแผนภาพเราจะเห็นได้ว่า นาย ก สอบผ่านฟิสิกส์ แต่ไม่ใช่คนฉลาด ดังนันการอ้างเหตุผลในข้อ
ข จึงไม่สมเหตุสมผล
5.3 พิจารณาการอ้างเหตุผลต่อไปนี
ก. เหตุ 1 คนทีมีมารยาทดีเป็นคนรวย
2 คนสวยทุกคนเป็ นคนรวย
3 สมศรีเป็นคนสวย
ผล สมศรีมารยาทดี
ข. เหตุ 1 สมชายเป็นคนขีเกียจหรือสมชายเป็นคนตังใจเรียน
2 คนทุกคนทีตังใจเรียนจะสอบผ่าน
ผล สมชายเป็นคนขีเกียจ
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก และ ข สมเหตุสมผล 2. ก สมเหตุสมผล แต่ ข ไม่สมเหตุสมผล
3. ก ไม่สมเหตุสมผลแต่ ข สมเหตุสมผล 4. ก และ ข ไม่สมเหตุสมผล
เฉลย 4
สอบผ่านคณิตศาสตร์
คนฉลาด ก
สอบผ่านฟิสิกส์

44. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
43
วิธีทําพิจารณาข้อ ก.
จากตัวอย่างแผนภาพข้างต้น เราจะเห็นได้ว่าสมศรีไม่ใช่คนทีมีมารยาทดี ดังนันการอ้างเหตุผลในข้อก จึงไม่
สมเหตุสมผล
พิจารณาข้อ ข.
จากตัวอย่างแผนภาพข้างต้น จะเห็นได้ว่าสมชายไม่ใช่คนขีเกียจ ดังนันการอ้างเหตุผลในข้อ ข จึงไม่
สมเหตุสมผล
คนตังใจเรียน
สมชาย
คนสอบผ่าน
คนขีเกียจ
คนมารยาทดีคนสวย
สมศรี
คนรวย

45. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
44
โจทย์ข้อ 6เนือหาหลัก: การหาค่าความจริงของประพจน์
6.1 ถ้าประพจน์    p q r s   มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วข้อใดต่อไปนีมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
1.    r p q s   2.  r s p 
3.    s q r s   4.  p q r s    
เฉลย 2
วิธีทํา จาก    p q r s F    จะได้ว่า p q T  และ r s F  ดังนัน p T และ q T
1.        r p q s r T T s r s         ซึงไม่สามารถสรุปได้ว่าจะมีค่าความจริงเป็นจริง
เสมอ (เช่นในกรณี r T และ s F )
2.  r s p F T T    
3.      s q r s s T F s F        ซึงไม่สามารถสรุปได้ว่าจะมีค่าความจริงเป็นจริงเสมอ
(เช่น ในกรณี s T )
4.    p q r s T F F F        
6.2 ถ้าประพจน์    p r p q   มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วข้อใดต่อไปนีมีค่าความจริงเป็นจริง
1.    p r q p   2.  p r q 
3.  p r q  4.  r r q 
เฉลย 1
วิธีทําเนืองจาก    p r p q F    ดังนัน p r T  และ p q F 
จาก p q F  เราจะได้ว่า p T และ q F ดังนัน r จึงมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จก็ได้
1.      p r q p T F T T      
2.  p r q T F F    
3.    p r q T r F T r r       
4.  r r q r F r    
6.3 ถ้าประพจน์    p q q r   มีค่าความจริงเป็นเท็จ แล้วข้อใดต่อไปนีมีค่าความจริงเป็นจริง
1. q p 2.    q r p s  
3.  p q r  4.  q p r 
เฉลย 2
วิธีทํา จาก    p q q r F    เราจะได้ว่า p q T  และ q r F 
จาก q r F  จะได้ว่า q T และ r F แต่ p จะมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จก็ได้

46. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
45
1. q p T p p   
2.      q r p s F p s T      
3.  p q r T F F    
4.    q p r T p F p     

47. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
46
โจทย์ข้อ 7เนือหาหลัก: การสมมูล
7.1 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1.  p q r  สมมูลกับ    p q r q r p          
2.  p q r  สมมูลกับ  p q r 
3.  r s t  สมมูลกับ  r s t 
4.  r s t  สมมูลกับ    r t s t  
เฉลย 4
1. ให้ , ,p F q T r F   จะได้ว่า  p q r F   แต่    p q r q r p T           
2. ให้ , ,p T q F r F   จะได้ว่า  p q r F   แต่  p q r T  
3. ให้ , ,r F s T t F   จะได้ว่า  r s t T   แต่  r s t F  
4.              r s t r s t r s t r t s t r t s t               
7.2 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1.  p q r  สมมูลกับ  q r p 
2.  p q r  สมมูลกับ  p q r 
3.  p q r  สมมูลกับ  q r p 
4.  p q r  สมมูลกับ  q p r 
เฉลย 2
1. ให้ , ,p T q T r F   จะได้ว่า  p q r F   แต่  q r p T  
2.        p q r p q r p q r p q r          
3. ให้ , ,p F q F r F   จะได้ว่า  p q r F   แต่  q r p T  
4. ให้ , ,p F q T r F   จะได้ว่า  p q r T   แต่  q p r F  
7.3 ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1.  r s q  สมมูลกับ  s r q 
2.  p q r  สมมูลกับ  q p r 
3.  p q r  สมมูลกับ  q p r 
4.  p q r  สมมูลกับ    p r q r  
เฉลย 3
1. ให้ , ,q F r T s T   จะได้ว่า  r s q F   แต่  s r q T  

48. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
47
2. ให้ , ,p T q F r F   จะได้ว่า  p q r T   แต่  q p r F  
3.          p q r p q r p q r q p r q p r             
4. ให้ , ,p F q T r F   จะได้ว่า  p q r T   แต่    p r q r F   

49. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
48
โจทย์ข้อ 8เนือหาหลัก: นิเสธของประพจน์
8.1 พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก. นิเสธของ  p q r  คือ  q r p 
ข. นิเสธของ  q r s  คือ q r s 
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก ถูกข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิดข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
เฉลย 3
วิธีทํา ก. ให้ , ,p T q F r F   จะได้ว่า  p q r T     แต่  q r p F  
ดังนันข้อ กจึงไม่ถูกต้อง
ข.      q r s q r s q r s q r s                     ข้อ ข จึงถูกต้อง
8.2 พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก. นิเสธของ  p q r  คือ  q r p 
ข. นิเสธของ  q r s  คือ  s q r 
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก ถูกข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิดข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
เฉลย 3
วิธีทํา ก. ให้ , ,p F q F r F   จะได้ว่า  p q r F     แต่  q r p T  
ดังนันข้อ กจึงไม่ถูกต้อง
ข.          q r s q r s q r s q s r s                         
           q s r s q s r s q r s s q r              ข้อ ข จึงถูกต้อง
8.3 พิจารณาข้อความต่อไปนี
ก. นิเสธของ  p q r  คือ  p q r 
ข. นิเสธของ  p q r  คือ  r p q 
ข้อใดต่อไปนีถูกต้อง
1. ก ถูกข ถูก 2. ก ถูก ข ผิด 3. ก ผิดข ถูก 4. ก ผิด ข ผิด
เฉลย 3
วิธีทํา ก. ให้ , ,p T q T r T   จะได้ว่า  p q r F     แต่  p q r T   ดังนันข้อ ก จึง
ไม่ถูกต้อง

50. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
49
ข.        p q r p q r p q r r p q                 ดังนันข้อ ข จึงถูกต้อง

51. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
50
โจทย์ข้อ 9เนือหาหลัก: การสมมูล
9.1 กําหนด  เป็นตัวเชือมประพจน์ทีให้ค่าความจริงดังนี
T T T 
T F T 
F T F 
F F T 
แล้ว  p q p  สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
1.  q p p  2.  q p q  3.  p q p  4.  p p q 
เฉลย 2
วิธีทํา
p q p q  p q p   q p p   q p q   p q p   p p q 
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
T
F
T
T
T
T
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
จากตารางเราสรุปได้ว่า  p q p  สมมูลกับ  q p q 
9.2 ให้ p และ q เป็นประพจน์ ถ้า p q เป็นประพจน์ทีมีค่าความจริงตามตารางข้างล่างนี
p q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
แล้ว  q p p  สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
1.  q p q  2.  p q p  3.  p p q  4.  p q p 
เฉลย 3

52. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
51
วิธีทํา
p q p q  q p p   q p q   p q p   p p q   p q p 
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
T
T
F
F
T
T
T
F
T
F
T
T
T
T
F
F
T
F
T
T
จากตารางเราสรุปได้ว่า  q p p  สมมูลกับ  p p q 
9.3 ให้ p และ q เป็นประพจน์ ถ้า p q เป็นประพจน์ทีมีค่าความจริงตามตารางข้างล่างนี
p q p q
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
แล้ว  q p q  สมมูลกับประพจน์ในข้อใด
1.  q p p  2.  p q q  3.  p p q  4.  p q p 
เฉลย 4
วิธีทํา
p q p q  q p q   q p p   p q q   p p q   p q p 
T
T
F
F
T
F
T
F
T
T
F
T
T
F
F
F
T
T
F
F
F
T
F
T
T
T
F
F
T
F
F
F
จากตารางเราจะได้ว่า  q p q  สมมูลกับ  p q q 

53. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
52
โจทย์ข้อ 10เนือหาหลัก: สัจนิรันดร์
10.1 ประพจน์ใดต่อไปนีเป็นสัจนิรันดร์
1.  p p r s     2.    p p r p r q      
3.  p p p q     4.    q r p r p     
เฉลย 4
วิธีทํา
1. ให้ , ,p T r T s F   จะได้ว่า  p p r s F     
2. ให้ , ,p T q F r T   จะได้ว่า    p p r p r q F       
3. ให้ ,p F q T  จะได้ว่า  p p p q F     
4. สมมติให้    q r p r p F       จะได้ว่า  q r p F   และ r p F  จาก
r p F  จะได้ว่า r F และ p F แต่ถ้า r F เราจะได้ว่า  q r p T   ทําให้เกิดการ
ขัดแย้ง ดังนัน    q r p r p T       นันคือ    q r p r p      เป็นสัจนิรันดร์
10.2 ประพจน์ใดต่อไปนีเป็นสัจนิรันดร์
1.    p r r p   2.  p p r s    
3.    p r r p   4.    p r r p  
เฉลย 3
วิธีทํา
1. ให้ ,p F r T  จะได้ว่า    p r r p F   
2. ให้ , ,p T r T s F   จะได้ว่า  p p r s F     
3.            p r r p p r r p r r p p T           
4. ให้ ,p F r F  จะได้ว่า    p r r p F   
10.3 ประพจน์ใดต่อไปนีเป็นสัจนิรันดร์
1.    p q q r   2.    p r r r p     
3.  r r q  4.  r r p 
เฉลย 2
วิธีทํา
1. ให้ , ,p F q T r F   จะได้ว่า    p q q r F   

54. คู่มือสือการสอนวิชาคณิตศาสตร์ โดยความร่วมมือระหว่าง
สํานักงานคณะกรรมการการศึกษาขันพืนฐาน และ คณะวิทยาศาสตร์ จุฬาลงกรณ์มหาวิทยาลัย
53
2. สมมติให้    p r r r p F       จะได้ว่า  p r r F   และ r p F  จาก
r p F  จะได้ว่า r T และ p F ดังนัน  p r r T   ซึงเกิดการขัดแย้ง ดังนัน
   p r r r p      ต้องเป็นจริงเสมอ
3. ให้ ,r F q T  จะได้ว่า  r r q F  
4. ให้ ,r T p F  จะได้ว่า  r r p F  

55. ผ-1
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 77 ตอน
ประจําปงบประมาณ 2555

56. ผ-2
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 77 ตอน
(ประจําปงบประมาณ 2555)
เรื่อง ตอน
คณิตศาสตรกับการพัฒนาประเทศ บทนําเรื่องคณิตศาสตรกับการพัฒนาประเทศ
ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง แบบฝกหัดเรื่อง ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง (ตอนที่ 1)
แบบฝกหัดเรื่อง ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง (ตอนที่ 2)
เซต แบบฝกหัดเรื่อง เซต (ตอนที่ 1)
แบบฝกหัดเรื่อง เซต (ตอนที่ 2)
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร แบบฝกหัดเรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนที่ 1)
แบบฝกหัดเรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนที่ 2)
แบบฝกหัดเรื่อง การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนที่ 3)
ทฤษฎีจํานวน แบบฝกหัดเรื่อง ทฤษฎีจํานวน (ตอนที่ 1)
แบบฝกหัดเรื่อง ทฤษฎีจํานวน (ตอนที่ 2)
จํานวนจริง แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนที่ 1)
แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนที่ 2)
แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนที่ 3)
แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนที่ 4)
แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนที่ 5)
แบบฝกหัดเรื่อง จํานวนจริง (ตอนที่ 6)
เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย บทนําเรื่องเรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย
จุดและสวนของเสนตรง
ความชันและเสนตรง
ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรง
วงกลม
พาราโบลา
วงรี
ไฮเพอรโบลา
การตรวจสอบสมการภาคตัดกรวย
ความสัมพันธและฟงกชัน แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 1)
แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 2)
แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 3)
แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 4)
แบบฝกหัดเรื่อง ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 5)
เมทริกซ บทนําเรื่องเมทริกซ
ระบบสมการเชิงเสนและเมทริกซ
การคูณและอินเวอรสการคูณของเมทริกซขนาด 2x2
ดีเทอรมิแนนต
อินเวอรสการคูณและการดําเนินการตามแถว
การใชเมทริกซแกระบบสมการเชิงเสน

57. ผ-3
เรื่อง ตอน
เวกเตอร บทนําเรื่องเวกเตอร
เวกเตอรในเชิงเรขาคณิต
เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก
การคูณเวกเตอรเชิงสเกลาร
การคูณเวกเตอรเชิงเวกเตอร
จํานวนเชิงซอน บทนําเรื่องจํานวนเชิงซอน
จํานวนเชิงซอน
สังยุคและคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน
พิกัดเชิงขั้ว
รากของจํานวนเชิงซอน
ตรีโกณมิติ แบบฝกหัดเรื่อง ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 1)
แบบฝกหัดเรื่อง ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 2)
แบบฝกหัดเรื่อง ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 3)
แบบฝกหัดเรื่อง ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 4)
แบบฝกหัดเรื่อง ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 5)
แบบฝกหัดเรื่อง ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 6)
คณิตศาสตรกับการเงินในชีวิตประจําวัน ภาษีและเครดิต
ดอกเบี้ยและคางวด
ผลตอบแทนและความเสี่ยงในการลงทุน
ลําดับและอนุกรม แบบฝกหัดเรื่อง ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 1)
แบบฝกหัดเรื่อง ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 2)
แบบฝกหัดเรื่อง ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 3)
แบบฝกหัดเรื่อง ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 4)
แบบฝกหัดเรื่อง ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 5)
แคลคูลัส บทนําเรื่องแคลคูลัส
ลิมิต
ความตอเนื่อง
อัตราการเปลี่ยนแปลงและบทนิยามของอนุพันธ
อนุพันธ
คาสุดขีดสัมพัทธและคาสุดขีดสัมบูรณ
การประยุกตคาสุดขีด
ปริพันธ 1
ปริพันธ 2
หลักคณิตศาสตร หลักการพิสูจนเบื้องตน
หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร
แบบจําลองทางคณิตศาสตรเบื้องตน แบบจําลองทางคณิตศาสตรเบื้องตน
ความสัมพันธเวียนเกิดและการประยุกต

58. ผ-4
เรื่อง ตอน
สถิติ แบบฝกหัดเรื่อง สถิติ (ตอนที่ 1)
แบบฝกหัดเรื่อง สถิติ (ตอนที่ 2)
แบบฝกหัดเรื่อง สถิติ (ตอนที่ 3)
แบบฝกหัดเรื่อง สถิติ (ตอนที่ 4)

59. ผ-5
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 169 ตอน
ปงบประมาณ 2554-2555

60. ผ-6
รายชื่อสื่อการสอนวิชาคณิตศาสตร จํานวน 169 ตอน
คณิตศาสตรกับการพัฒนาประเทศ ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง
บทนํา คณิตศาสตรกับการพัฒนาประเทศ แบบฝกหัด ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง (ตอนที่ 1)
ขอสอบวัดความรูคณิตศาสตรระดับสูง (ตอนที่ 2)
เซต
บทนํา เซต การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
เนื้อหา ความหมายของเซต บทนํา การใหเหตุผลและตรรกศาสตร
เซตกําลังและการดําเนินการบนเซต เนื้อหา การใหเหตุผล
เอกลักษณของการดําเนินการบนเซตและ ประพจนและการสมมูล
แผนภาพเวนน-ออยเลอร สัจนิรันดรและการอางเหตุผล
แบบฝกหัด เซต (ตอนที่ 1) ประโยคเปดและวลีบงปริมาณ
เซต (ตอนที่ 2) แบบฝกหัด การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนที่ 1)
สื่อปฏิสัมพันธ แผนภาพเวนน-ออยเลอร การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนที่ 2)
การใหเหตุผลและตรรกศาสตร (ตอนที่ 3)
จํานวนจริง สื่อปฏิสัมพันธ หอคอยฮานอย
บทนํา จํานวนจริง ตารางคาความจริง
เนื้อหา สมบัติของจํานวนจริง
การแยกตัวประกอบ ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
ทฤษฎีบทตัวประกอบ บทนํา ทฤษฎีจํานวนเบื้องตน
สมการพหุนาม เนื้อหา การหารลงตัวและจํานวนเฉพาะ
อสมการ ตัวหารรวมมากและตัวคูณรวมนอย
เทคนิคการแกอสมการ แบบฝกหัด ทฤษฎีจํานวน (ตอนที่ 1)
คาสัมบูรณ ทฤษฎีจํานวน (ตอนที่ 2)
การแกอสมการคาสัมบูรณ
กราฟคาสัมบูรณ เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย
แบบฝกหัด จํานวนจริง (ตอนที่ 1) บทนํา เรขาคณิตวิเคราะหและภาคตัดกรวย
จํานวนจริง (ตอนที่ 2) เนื้อห จุดและสวนของเสนตรง
จํานวนจริง (ตอนที่ 3) ความขันและเสนตรง
จํานวนจริง (ตอนที่ 4) ระยะทางระหวางจุดกับเสนตรง
จํานวนจริง (ตอนที่ 5) วงกลม
จํานวนจริง (ตอนที่ 6) พาราโบลา
สื่อปฏิสัมพันธ ชวงบนเสนจํานวน วงรี
สมการและอสมการพหุนาม ไฮเพอรโบลา
กราฟคาสัมบูรณ การตรวจสอบสมการภาคตัดกรวย

61. ผ-7
ความสัมพันธและฟงกชัน ฟงกชันเลขชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
บทนํา ความสัมพันธและฟงกชัน บทนํา ฟงกชันเลขชี้กําลังและฟงกชันลอการิทึม
เนื้อหา ความสัมพันธ เนื้อหา เลขยกกําลัง
โดเมนและเรนจ ฟงกชันเลขชี้กําลัง
อินเวอรสของความสัมพันธและบทนิยามของ ฟงกชันลอการิทึม
ฟงกชัน อสมการเลขชี้กําลัง
ฟงกชันเบื้องตน อสมการลอการิทึม
พีชคณิตของฟงกชัน
อินเวอรสของฟงกชันและฟงกชันอินเวอรส ตรีโกณมิติ
ฟงกชันประกอบ บทนํา ตรีโกณมิติ
แบบฝกหัด ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 1) เนื้อหา อัตราสวนตรีโกณมิติ
ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 2) เอกลักษณของอัตราสวนตรีโกณมิติ
ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 3) และวงกลมหนึ่งหนวย
ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 4) ฟงกชันตรีโกณมิติ 1
ความสัมพันธและฟงกชัน (ตอนที่ 5) ฟงกชันตรีโกณมิติ 2
ฟงกชันตรีโกณมิติ 3
เมทริกซ กฎของไซนและโคไซน
บทนํา เมทริกซ กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
เนื้อหา ระบบสมการเชิงเสนและเมทริกซ ฟงกชันตรีโกณมิติผกผัน
การคูณและอินเวอรสการคูณของเมทริกซ แบบฝกหัด ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 1)
ขนาด 2×2 ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 2)
ดีเทอรมิแนนต ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 3)
อินเวอรสการคูณและการดําเนินการตามแถว ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 4)
การใชเมทริกซแกระบบสมการเชิงเสน ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 5)
ตรีโกณมิติ (ตอนที่ 6)
เวกเตอร สื่อปฏิสัมพันธ มุมบนวงกลมหนึ่งหนวย
บทนํา เวกเตอร กราฟของฟงกชันตรีโกณมิติ
เนื้อหา เวกเตอรในเชิงเรขาคณิต กฎของไซนและกฎของโคไซน
เวกเตอรในระบบพิกัดฉาก
การคูณเวกเตอรเชิงสเกลาร กําหนดการเชิงเสน
การคูณเวกเตอรเชิงเวกเตอร บทนํา กําหนดการเชิงเสน
เนื้อหา การสรางแบบจําลองทางคณิตศาสตร
จํานวนเชิงซอน การหาคาสุดขีด
บทนํา จํานวนเชิงซอน
เนื้อหา จํานวนเชิงซอน คณิตศาสตรกับการเงินในชีวิตประจําวัน
สังยุคและคาสัมบูรณของจํานวนเชิงซอน สารคดี ภาษีและเครดิต
พิกัดเชิงขั้ว ดอกเบี้ยและคางวด
รากของจํานวนเชิงซอน ผลตอบแทนและความเสี่ยงในการลงทุน

62. ผ-8
ลําดับและอนุกรม สถิติและการวิเคราะหขอมูล
บทนํา ลําดับและอนุกรม บทนํา สถิติและการวิเคราะหขอมูล
เนื้อหา ลําดับ เนื้อหา บทนํา เนื้อหา
การประยุกตลําดับเลขคณิตและเรขาคณิต แนวโนมเขาสูสวนกลาง 1
ลิมิตของลําดับ แนวโนมเขาสูสวนกลาง 2
ผลบวกยอย แนวโนมเขาสูสวนกลาง 3
อนุกรม การกระจายของขอมูล
ทฤษฎีบทการลูเขาของอนุกรม การกระจายสัมบูรณ 1
แบบฝกหัด ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 1) การกระจายสัมบูรณ 2
ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 2) การกระจายสัมบูรณ 3
ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 3) การกระจายสัมพัทธ
ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 4) คะแนนมาตรฐาน
ลําดับและอนุกรม (ตอนที่ 5) ความสัมพันธระหวางขอมูล 1
ความสัมพันธระหวางขอมูล 2
แคลคูลัส โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 1
บทนํา แคลคูลัส โปรแกรมการคํานวณทางสถิติ 2
เนื้อหา ลิมิต แบบฝกหัด สถิติ (ตอนที่ 1)
ความตอเนื่อง สถิติ (ตอนที่ 2)
อัตราการเปลี่ยนแปลงและบทนิยามของอนุพันธ สถิติ (ตอนที่ 3)
อนุพันธ สถิติ (ตอนที่ 4)
คาสุดขีดสัมพัทธและคาสุดขีดสัมบูรณ
การประยุกตคาสุดขีด แบบจําลองทางคณิตศาสตร
ปริพันธ 1 สารคดี แบบจําลองทางคณิตศาสตรเบื้องตน
ปริพันธ 2 ความสัมพันธเวียนเกิดและการประยุกต
การนับและความนาจะเปน โครงงานทางคณิตศาสตร
บทนํา การนับและความนาจะเปน วิจัย การลงทุน SET50 โดยวิธีการลงทุนแบบถัวเฉลี่ย
เนื้อหา การนับเบื้องตน ปญหาการวางตัวเบี้ยบนตารางจัตุรัส
การเรียงสับเปลี่ยน การถอดรากที่สาม
การจัดหมู เสนตรงลอมเสนโคง
ทฤษฎีบททวีนาม กระเบื้องที่ยืดหดได
การทดลองสุม
ความนาจะเปน 1
ความนาจะเปน 2
หลักคณิตศาสตร
เนื้อหา หลักการพิสูจนเบื้องตน
หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร