Uploaded by9GATPAT1
922 views

Pat1 ก.พ. 63

ข้อสอบ PAT1 ก.พ. 63

Embed presentation

Download to read offline
ความถนัดวิชาคณิตศาสตร สอบวันที่ โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ อําเภอสามพราน จังหวัดนครปฐม ขอสอบรหัสวิชา 71 ความถนัดวิชาคณิตศาสตร PAT1 ประจําปการศึกษา 2562 สอบวันที่ 22 กุมภาพันธ 2563 เวลา 13.00 – 16.00 น. อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ อําเภอสามพราน จังหวัดนครปฐม facebook.com/GTRmath
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ขอสอบ วันที่ 22 ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก จํานวน 35ขอ (ขอ 1. กําหนดให P และ Q เปนประพจนที่ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ( P Q) (P Q)      (ข) P (Q Q)    (ค) (P Q) Q   ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ 2. ให  แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 1 x 2 | x 1 |          (ข) 1 x | x | 2         (ค) 2 x x x 0          ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ขอสอบ PAT1 : ความถนัดทางคณิตศาสตร กุมภาพันธ 2563 : ปการศึกษา 2562 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกตองที่สุด ขอ 1 – 35)ขอละ 6 คะแนน เปนประพจนที่ ( P) (P Q)    มีคาความจริงเปนจริง ( P Q) (P Q)      มีคาความจริงเปนเท็จ P (Q Q)    มีคาความจริงเปนจริง (P Q) Q   มีคาความจริงเปนจริง ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ 1 x | x 1 2            x 2 | x 1 |         มีคาความจริงเปนเท็จ 1 2         มีคาความจริงเปนจริง x x x 0          มีคาความจริงเปนเท็จ ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ 13.00 – 16.00 น. หน้า |1 ความถนัดทางคณิตศาสตร 2562 จริง ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ x | x 1           ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 3. ให A, B และ C เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ถา B C    (ข) A (B C) (A C) B      (ค) ถาเซต A มีสมาชิก และเพาเวอรเซตของเซต แลวเพาเวอรเซตของเซต ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ 4. ให A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     ให r D และ r R เปนโดเมนและเรนจของ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 1 r เปนฟงกชัน (ข) จํานวนสมาชิกของเซต (ค) r r r D R D   ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) ถูกเพียงขอเดียว 3. ขอ (ค) ถูกเพียงขอเดียว 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ 5. ให n(S)แทนจํานวนสมาชิกของเซต โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          และ n(C (A B)) 9    1. 42 3. 44 5. 46 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ B C    และ A (B C)   แลว (A B) C A B     A (B C) (A C) B      มีสมาชิก 9 ตัว เซต B มีสมาชิก 7 ตัว และเพาเวอรเซตของเซต A B  มีสมาชิก 32 ตัว แลวเพาเวอรเซตของเซต B A  มีสมาชิก 16 ตัว ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     และ r {(x,y) A A | y | x | 2}      เปนโดเมนและเรนจของ r ตามลําดับ เปนฟงกชัน จํานวนสมาชิกของเซต 1 r r  เทากับ 3 r r r D R D   ถูกเพียงขอเดียว 2. ขอ (ข) ถูกเพียงขอเดียว ถูกเพียงขอเดียว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ แทนจํานวนสมาชิกของเซต S ถาA, B และ C เปนเซต n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(C (A B)) 9    แลว n(A B)  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 43 4. 45 13.00 – 16.00 น. หน้า |2 (A B) C A B     ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ r {(x, y) A A | y | x | 2}      ถูกเพียงขอเดียว และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35         
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 6. กําหนดให 0 A 90     ถา a เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 7 3. 3 5. 7 7. คาของ 3 1 tan 2arctan 4 2         1. – 1 3. 1 7 5. 2 8. กําหนดให x 0 2     และ คาของ tan x cot x  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 2  3. 0 5. 3 2 9. พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 2 3 (0.6) 1   (ข) ถา x y (0.2) (0.2)  (ค) 5 0.2 log 0.1 log 0.1  ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 0 A 90   เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ a sin( A) tan(270 A) sin(180 A) tan(90 A)          มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 5 4. 5 3 1 tan 2arctan 4 2       เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 7  4. 1 x 0    และ 5 cos x sin x 5   tan x cot x เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 2  4. 1 2 (0.6) 1  x y (0.2) (0.2)  แลว x y  5 0.2 log 0.1 log 0.1  ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ 13.00 – 16.00 น. หน้า |3 a sin( A) tan(270 A) 3sec 300 sin(180 A) tan(90 A)         ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 10. กําหนดฟงกชันจุดประสงค x ay 3   เมื่อ a 3x y 9   และ x 0, y 0   คาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 9 3. 11 5. มากกวา 12 11. กําหนดอนุกรม 1 3 7 15 2 4 8 16     แลว n n 2n S lim S  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0 3. 1 4 5. 1 12. กําหนดให  แทนเซตของจํานวนจริง ให f :    และ g : (ก) f( x) f(x)    (ข) g( x) g(x)   (ค) f(x) g(x) x 2x    ถา a เปนจํานวนจริงที่ทําให แลว f(g(a)) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1250 3. 0 5. – 1250 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 P 4x y   และอสมการขอจํากัด ดังนี้ a เปนจํานวนจริงบวก เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 10 4. 12 1 3 7 15 ... 2 4 8 16     ถา n S เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 8 4. 1 2 แทนเซตของจํานวนจริง g :    เปนฟงกชัน โดยที่ f( x) f(x)    สําหรับทุกจํานวนจริง x g( x) g(x) สําหรับทุกจํานวนจริง x 2 f(x) g(x) x 2x    สําหรับทุกจํานวนจริง x เปนจํานวนจริงที่ทําให f(10 a) f(10 a) g(10)     เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 800 4. – 800 13.00 – 16.00 น. หน้า |4 พจนแรกของอนุกรม
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 13. ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ คาของ 2 2 2 a b c   เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 234 3. 241 5. 283 14. ให A แทนเซตคําตอบของสมการ และให x B {2 | x A}   ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต 1. 0.25 3. 1.25 5. 2.25 15. จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ 1. มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 2. ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3. มี 24 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 5. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก จํานวนสมาชิกในครัวเรือน ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงบวก ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ 8 และเดไซลที่ 7 ของขอมูลเทากับ เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 237 4. 269 แทนเซตคําตอบของสมการ x x 2x 1 9 6 2 0     B {2 | x A}   ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 4. 2 จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ 30 ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้ จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ผิด มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 3 คน ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 4 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก 2 คน จํานวนสมาชิกในครัวเรือน (คน) ความถี่สะสมสัมพัทธ 1 0.2 2 0.3 3 0.7 4 0.9 5 1.0 13.00 – 16.00 น. หน้า |5 ของขอมูลเทากับ 10.8 ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 16. กําหนดให 1 x f(x) x 2    ถา a เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ แลว 2a 1  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 2 3. 0 5. 2 17. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย และให 2 f(x) ax bx 1    ถาเรนจของ f เทากับ [0, )  1. 5 3. 8 5. 11 18. ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ ถาพาราโบลาผานจุด (3, 5) 1. 2 y 4x 6y 17 0     3. 2 y 4x 6y 7 0     5. 2 y 6x 4y 27 0     19. ถา a และ b เปนจํานวนจริง a 2 2 2 log b 1 2log b 4 2    แลวคาของ 2 2 a b  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 25 3. 41 5. 68 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 x x 2   เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ x 2   เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ 1 f(a f (2)) 1    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 1 4. 1 เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย f(x) ax bx 1    สําหรับทุกจํานวนจริง x และ f( 1) 0   [0, )  แลวคาของ 2 1 f(x)dx   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 7 4. 9 ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ 2y = 3x และ มี y = 3 (3, 5) แลว สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้ y 4x 6y 17 0     2. 2 y 4x 6y 43 0     y 4x 6y 7 0     4. 2 y 6x 4y 23 0     y 6x 4y 27 0     นจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ 1 2log b 4 2 และ 2 2 a a 3 log b log b 2 4 2    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 36 4. 58 13.00 – 16.00 น. หน้า |6 f( 1) 0 y = 3 เปนแกนสมมาตร สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้ y 4x 6y 43 0     y 6x 4y 23 0    
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 20. ให L เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง ระยะหางระหวางเสนตรง L 1. 2.0 หนวย 3. 1.5 หนวย 5. 0.4 หนวย 21. กําหนดให u 2i j 2k       เวกเตอรในขอใดตอไปนี้ไมตั้งฉาก 1. 3i j    3. 4i 3 j 2k      5. 5 j 6k     22. กําหนดให a, b   และ c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ ถา a i 2j      และขนาดของเวกเตอร แลว a b b c c a            1. – 18 3. 8 5. 18 23. ถา A เปนเซตคําตอบของอสมการ และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ แลว A B  เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ 1. ( ,0)  3. (0,5) 5. (6, )  ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง L อยูหางจากจุด ( 1, 1)   และจุด (7,5) L กับจุด (2,0)เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1.8 หนวย 4. 1.4 หนวย u 2i j 2k       และ v i 2j 2k        ไมตั้งฉากกับเวกเตอร u v    2. i 3 j 4k      4. i j k      c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ a b c 0        และขนาดของเวกเตอร b  และ c  เทากับ 2 และ 3 หนวย ตามลําดับ a b b c c a          เทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 9 4. 9 เปนเซตคําตอบของอสมการ 1 x 0 x   เปนเซตคําตอบของอสมการ 2 2x 3x 7x 12    เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ 2. ( 2,2)  4. (3,8) 13.00 – 16.00 น. หน้า |7 (7,5)เปนระยะทางเทากัน หนวย ตามลําดับ
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 24. ถา A เปนเซตคําตอบของ และ B เปนเซตคําตอบของ แลวเซต A B  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. { 3,1}  3. [ 4,3]  5. [ 4,1] {2,3}   25. ให z แทนสังยุค (Conjugate ถา z (1 i)   เปนจํานวนจินตภาพแท และ แลว z z  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 2 3. 4 5. 6 26. บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงาน 20 ฝายผลิตมี 8 คน และฝายขายมี ถาสุมพนักงานมา 4 คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน และพนักงานฝายขายผูหญิง 1. 4 5 3. 8 4845 5. 16 4845 27. มีเลขโดด 5 ตัว คือ 1 , 2 , 3 , 4 เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน 1. 90 3. 360 5. 810 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตคําตอบของ 2 2 | 3 2x x | x 2x 3      เปนเซตคําตอบของ 2 | x x | 12   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. [ 3,1]  4. [ 4, 3] [1,3]    Conjugate) ของจํานวนเชิงซอน z และ 2 i 1   เปนจํานวนจินตภาพแท และ 2 2 z 2(1 i)   เปนจํานวนจริง มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 3 4. 5 20 คน เปนผูชาย 10 คน ฝายบริหารมีผูชาย 3 คน คน และฝายขายมี 7 คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน 3 และพนักงานฝายขายผูหญิง 1 คน เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 8 969 4. 16 969 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 นําเลขโดดเหลานี้มา 3 ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน 2. 120 4. 600 13.00 – 16.00 น. หน้า |8 [ 4, 3] [1,3] เปนจํานวนจริง คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน 3 คน ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง 3 ตัวนี้
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 28. คาของ 2 x 1 ( x 1)(3x 2) lim 3x x 2      1. 1 10  3. 1 10 5. 1 29. ให a , b , c และ d เปนจํานวนจริง โดยที่ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. c a b d    3. b d c a    5. d c a b    30. หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0.10 3. 0.14 5. 0.16 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ( x 1)(3x 2) 3x x 2     เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 0 4. 1 5 เปนจํานวนจริง โดยที่ 1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53        2. c d a b    4. d b a c    หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน 40 คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ 50 กิโลกรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 กิโลกรัม ถาหองเรียนนี้ มีนักเรียนชาย 22 คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ 50 กิโลกรัม และ แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 0.12 4. 0.15 13.00 – 16.00 น. หน้า |9 1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53        c d a b d b a c คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต กิโลกรัม และ 4 กิโลกรัม ตามลําดับ
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 31. กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ... และ 1 2 3 n b , b , b , ...,b , ... ถา 1 a 1  และ 1 b 7  1. 3 70 3. 2 77 5. 6 77 32. ให 3 a b A 0 a 1 1 1 0             เมื่อ ถา 21 C (A) 2  และ detA 2 1. – 3 3. 2 5. 3 33. กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ ถา f(0) 0  แลว f(2) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 3. 2 5. 3 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n n 1 3 a 2     1 2 3 n b , b , b , ...,b , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n n 1 b 5     b 7  แลว n n 1 n a b    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 7 70 4. 5 77           เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง detA 2   แลว a b  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 5 3 4. 7 3 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ x ; x 1 f (x) x 1 ; x 1          f(2) เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1.5 4. 2.5 13.00 – 16.00 น. หน้า |10 3 2  x ; x 1 x 1 ; x 1   
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 34. ให f เปนฟงกชัน นิยามโดย เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ถาฟงกชัน f ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว 1. 25 3. 9 5. 1 6 35. โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง มีขอมูล ดังนี้ เดือน จํานวนสินคาที่ผลิต (x) (หนวยเปนชิ้น) ยอดขายสินคา(y) (หนวยเปนบาท) จากการสํารวจพบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น ถาจํานวนสินคาผลิต 10,000 1. 600,000 บาท 3. 660,000 บาท 5. 760,000 บาท ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนฟงกชัน นิยามโดย 2 2 2 x ; x 0 x x ax (b a)x b f(x) ; 0 x 1 x 1 (x b) ; x 1                     เปนจํานวนจริง ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว f(a b)  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 16 4. 4 โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง ม.ค. ก.พ. มี.ค. ... ) 1 x 2 x 3 x ... 1 y 2 y 3 y ... คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ 6,000 ชิ้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ 380,000 บาท ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น 1,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 10,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 620,000 บาท 4. 720,000 บาท 13.00 – 16.00 น. หน้า |11 ; x 0 f(x) ; 0 x 1 (x b) ; x 1    เทากับขอใดตอไปนี้ โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง พ.ย. ธ.ค. 11 x 12 x 11 y 12 y ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 60,000 บาท สินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ตอนที่ 2 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข จํานวน 10ขอ (ขอ 3 36. ให A เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต 37. ให 5 sec A 3   และ sin A 0 คาของ 5sinA cotA 1 cotAcosecA   38. กําหนดให x , y , z และ x 2 1 k   , y x 2 2 2   ถา x , y , z เปนลําดับเลขคณิต แลว 39. ให 2 f(x) 5 x   สําหรับทุกจํานวนจริง ถา f(x 1) ; x R g(x) 1 ; x R         คาของ (f g)(6) (g f)(3)    40. กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... โดยที่ 1 3 a a 7   และ คาของ 1 2 3 50 a a a ... a     ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข 36 – 45) ขอละ 9 คะแนน เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ x log x log 8 2 log 2 (2x) 4 ( 2)          แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับเทาใด sin A 0  เมื่อ 0 A 2    5sinA cotA 1 cotAcosecA เทากับเทาใด และ k เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ y x 2 2 2   และ z y 2 2 4   เปนลําดับเลขคณิต แลว x y z   เทากับเทาใด สําหรับทุกจํานวนจริง x และให f R เปนเรนจของ f f f f(x 1) ; x R 1 ; x R    (f g)(6) (g f)(3)   เทากับเทาใด 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... เปนลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง และ 2 4 6 8 a a a a 74     1 2 3 50 a a a ... a     เทากับเทาใด 13.00 – 16.00 น. หน้า |12 2 log x log 2 (2x) 4 ( 2)         
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 41. ให c เปนจํานวนจริง และให ถาคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับ 42. กําหนดให 1 F และ 2 F เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     ถา a, b และ c เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม มี 1 2 F F เปนเสนผานศูนยกลาง แลวคาของ 43. กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ และเมทริกซผูกพันของ A คือ คาของ   det x adj(A) เทากับเทาใด 44. กําหนดให {1, 2, 3, ...}   f(1,m) 1  สําหรับ f(n,m) 0  สําหรับ f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       คาของ f(2,4) เทากับเทาใด ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนจํานวนจริง และให 3 2 f(x) x 12x 45x c      สําหรับทุกจํานวนจริง เทากับ 53 แลวคาของ f(c) เทากับเทาใด เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม 2 2 x y ax by c 0      เปนเสนผานศูนยกลาง แลวคาของ 2 2 2 a b c   เทากับเทาใด เปนเมทริกซที่มีมิติ 3 3  โดยที่ det(A) 7   คือ 4 1 x adj(A) 2 x 2 1 5 1                 เมื่อ x เปนจํานวนจริงบวก det x adj(A) เทากับเทาใด {1, 2, 3, ...} สําหรับ m   สําหรับ n,m   โดยที่ n m  f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       สําหรับ n,m  เทากับเทาใด 13.00 – 16.00 น. หน้า |13 สําหรับทุกจํานวนจริง x x y ax by c 0      เปนจํานวนจริงบวก n,m   และ n 2 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 45. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง z พื้นที่ใตเสนโคง คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ นาย ก. สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ คะแนนสอบของนาย ข. แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z ดังตาราง 0.7 1.3 2.42 0.2580 0.4032 0.4922 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 20 คะแนน นาย ก. และนาย ข. เปนนักเรียนในหองนี้ สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข. และคะแนนสอบของนาย ก คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1.3 ถามีนักเรียนรอยละ 24.2 ที่สอบไดคะแนนนอยกวา แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับเทาใด  13.00 – 16.00 น. หน้า |14 2.42 0.4922 เปนนักเรียนในหองนี้ และคะแนนสอบของนาย ก. ที่สอบไดคะแนนนอยกวา ทากับเทาใด
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 1. 3 2. 2 6. 4 7. 3 11. 4 12. 1 16. 5 17. 4 21. 4 22. 2 26. 5 27. 3 31. 5 32. 5 36. 0.5 37. 52 41. 33 42. 36 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เฉลยคําตอบ 3. 5 4. 2 8. 5 9. 1 13. 3 14. 2 18. 1 19. 5 23. 3 24. 4 28. 3 29. 1 33. 1 34. 1 38. 6 39. 8 43. 1,323 44. 4 13.00 – 16.00 น. หน้า |15 5. 2 10. 4 15. 3 20. 1 25. 4 30. 2 35. 2 40. 6,050 45. 54
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 เฉลยขอสอบ วันที่ 22 ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก จํานวน 35ขอ (ขอ 1. กําหนดให P และ Q เปนประพจนที่ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ( P Q) (P Q)      (ข) P (Q Q)    (ค) (P Q) Q   ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 1. ตอบ 3 แนวคิด กําหนดให P และ Q เปนประพจนที่ จะได ( P) (P Q) T T T F F T or F  แสดงวา P เปนเท็จ และ พิจารณาขอความ ก. กรณีที่ 1 P เปนจริง และ ( P Q) (P Q) F T F T T F T T      จะพบวาทั้ง 2 กรณี ( P Q) (P Q) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ขอสอบ PAT1 : ความถนัดทางคณิตศาสตร กุมภาพันธ 2563 : ปการศึกษา 2562 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกตองที่สุด ขอ 1 – 35)ขอละ 6 คะแนน เปนประพจนที่ ( P) (P Q)    มีคาความจริงเปนจริง ( P Q) (P Q)      มีคาความจริงเปนเท็จ P (Q Q)    มีคาความจริงเปนจริง (P Q) Q   มีคาความจริงเปนจริง ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ เปนประพจนที่ ( P) (P Q)    มีคาความจริงเปนจริง ( P) (P Q) T T T F F T or F   และ Q เปนจริง หรือ เปนเท็จ เปนจริง และ Q เปนจริง กรณีที่ 2 P เปนจริง และ ( P Q) (P Q) F T F T T F T T T      ( P Q) (P Q) F F F F T T F T      ( P Q) (P Q)      เปนจริง แสดงวา ขอความ 13.00 – 16.00 น. หน้า |16 ความถนัดทางคณิตศาสตร 2562 จริง ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ จริง เปนจริง และ Q เปนเท็จ ( P Q) (P Q) F F F F T T F T T      แสดงวา ขอความ (ก) ผิด
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 (ข) เนื่องจาก Q Q F    ดังนั้น P (Q Q) P F     แสดงวา ขอความ (ข) (ค) เนื่องจาก (P Q) Q (P Q) Q      แสดงวา ขอความ (ค) หมายเหตุ ในการหาคาความจริงของประพจนในขอ ของประพจน เหมือนการตรวจสอบขอความ จากการตรวจสอบขอความจะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 Q Q F    P (Q Q) P F F F [ P F] T           ) ถูก (P Q) Q (P Q) Q ( P Q) Q P ( Q Q) P T T                     ) ถูก ในการหาคาความจริงของประพจนในขอ (ข) และ (ค) จะใชการแทนคาความจริง เหมือนการตรวจสอบขอความ (ก) ก็ไดเชนกัน จะไดวา ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ (ก) ผิด 13.00 – 16.00 น. หน้า |17 จะใชการแทนคาความจริง 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 2. ให  แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 1 x 2 | x 1 |          (ข) 1 x | x | 2         (ค) 2 x x x 0          ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 2. ตอบ 2 แนวคิด ให  แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ พิจารณาขอความ (ก) สําหรับ x x | x 1             จะได ทําให ดังนั้น แสดงวาไมมีคา x ในเอกภพสัมพัทธที่ทําให ดังนั้น 1 x 2 | x 1 |          ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ 1 x | x 1 2            x 2 | x 1 |         มีคาความจริงเปนเท็จ 1 2         มีคาความจริงเปนจริง x x x 0          มีคาความจริงเปนเท็จ ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ 1 x | x 1 2            1 x x | x 1 2             1 x 1 2    1 1 x 1 1 1 2       1 x 1 2 2    1 x 1 2 2    1 1 1 1/ 2 2 x 1    1 1 2 2 x 1    ในเอกภพสัมพัทธที่ทําให 1 2 | x 1 |   1 x 2 | x 1 |          มีคาความจริงเปนเท็จ แสดงวาขอความ (ก) 13.00 – 16.00 น. หน้า |18 x | x 1           ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ x | x 1           ) ถูก
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 (ข) จะพบวา 1 1 2 2      แต 1 1 1 2 2 2   แสดงวามี x  ดังนั้น x | x |         (ค) จะพบวา 1 1 4 2       แต 2 1 1 5 ( ) ( ) 0 4 4 16      แสดงวามี x   ดังนั้น x x x 0          จากการตรวจขอความจะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 1 x | x 1 2 2             1 1 1 2 2 2   1 x 2  ที่ทําใหประพจน 1 | x | 2  เปนเท็จ 1 x | x | 2         มีคาความจริงเปนเท็จ แสดงวาขอความ ( 1 1 x | x 1 4 2              2 1 1 5 ( ) ( ) 0 4 4 16      1 x 4   ที่ทําใหประพจน 2 x x 0   เปนเท็จ 2 x x x 0          มีคาความจริงเปนเท็จ แสดงวาขอความ จากการตรวจขอความจะไดวา ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ (ข) ผิด 13.00 – 16.00 น. หน้า |19 (ข) ผิด แสดงวาขอความ (ค) ถูก 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 3. ให A, B และ C เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ถา B C    (ข) A (B C) (A C) B      (ค) ถาเซต A มีสมาชิก และเพาเวอรเซตของเซต แลวเพาเวอรเซตของเซต ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 3. ตอบ 5 แนวคิด ให A, B และ C เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) เนื่องจากมีเซต A = {1, 2} , B = {1} , C = {2} ซึ่ง B C    และ แต (A B) C {1,2} {1} {2} {2}       A B {1,2} {1} {1}     แสดงวามีเซต A , B ดังนั้นขอความ (ก) ผิด (ข) เนื่องจากมีเซต A = {1, 2} , B = {1} , C = {2} ซึ่ง A (B C) {1,2} {1} {2} {1,2} {1,2}          (A C) B {1,2} {2} {2} {2}       แสดงวามีเซต A , B ดังนั้นขอความ (ข) ผิด (ค) สมมติใหเซต A มีสมาชิก และเพาเวอรเซตของเซต นั่นคือ n(A) = 9 , n(B) = 7 จาก n(A B) 2 32   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ B C    และ A (B C)   แลว (A B) C A B     A (B C) (A C) B      มีสมาชิก 9 ตัว เซต B มีสมาชิก 7 ตัว และเพาเวอรเซตของเซต A B  มีสมาชิก 32 ตัว แลวเพาเวอรเซตของเซต B A  มีสมาชิก 16 ตัว ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ A = {1, 2} , B = {1} , C = {2}    และ A (B C)     (A B) C {1,2} {1} {2} {2}       A B {1,2} {1} {1}     A , B และ C ที่ทําให (A B) C A B     ผิด A = {1, 2} , B = {1} , C = {2}   A (B C) {1,2} {1} {2} {1,2} {1,2}            (A C) B {1,2} {2} {2} {2}       A , B และ C ที่ทําให A (B C) (A C) B      ผิด มีสมาชิก 9 ตัว เซต B มีสมาชิก 7 ตัว และเพาเวอรเซตของเซต A B  มีสมาชิก 32 ตัว n(A) = 9 , n(B) = 7 และ n(A B) 2 32   2 32  จะได n(A B) 5 2 2   13.00 – 16.00 น. หน้า |20 (A B) C A B     ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ A (B C) {1,2} {1} {2} {1,2} {1,2} A (B C) (A C) B     
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 n(A) = 9 ; ดังนั้น n(B A) n(B) n(A B) 7 4 3        ทําให เพาเวอรเซตของเซต แสดงวา ขอความ (ค) จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 n(A B) 5   n(A) n(A B) 5    9 n(A B) 5    n(A B) 4   n(B A) n(B) n(A B) 7 4 3        เพาเวอรเซตของเซต B A  มีสมาชิก 3 2 8  ) ผิด จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ 13.00 – 16.00 น. หน้า |21 ผิด ทั้งสามขอ 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 4. ให A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     ให r D และ r R เปนโดเมนและเรนจของ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 1 r เปนฟงกชัน (ข) จํานวนสมาชิกของเซต (ค) r r r D R D   ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) ถูกเพียงขอเดียว 3. ขอ (ค) ถูกเพียงขอเดียว 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 4. ตอบ 2. แนวคิด ให A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     จาก r {(x, y) A A | y | x | 2}      แทน x ดวยสมาชิกในเซต A ถา x = –3 ; y = |– x = –2 ; y = |–2| x = –1 ; y = |–1| x = 0 ; y = |0| x = 1 ; y = |1| x = 2 ; y = |2| x = 3 ; y = |3| จะได r = {(–3, 1) , (– พิจารณาขอความ (ก) จาก r = {(–3, 1) , ( จะได 1 r = {(1, ซึ่งมี (1, –3) และ (1, 3) ดังนั้น 1 r ไมเปนฟงกชัน แสดงวา ขอความ (ก) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     และ r {(x,y) A A | y | x | 2}      เปนโดเมนและเรนจของ r ตามลําดับ เปนฟงกชัน จํานวนสมาชิกของเซต 1 r r  เทากับ 3 r r r D R D   ถูกเพียงขอเดียว 2. ขอ (ข) ถูกเพียงขอเดียว ถูกเพียงขอเดียว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     r {(x,y) A A | y | x | 2}      A จะได –3| – 2 = 1 แสดงวา (–3, 1) r  2| – 2 = 0 แสดงวา (–2, 0) r  1| –2 = –1 แสดงวา (–1, –1) r  x = 0 ; y = |0| – 2 = –2 แสดงวา (0, –2) r  x = 1 ; y = |1| – 2 = –1 แสดงวา (1, –1) r  x = 2 ; y = |2| – 2 = 0 แสดงวา (2, 0) r  x = 3 ; y = |3| – 2 = 1 แสดงวา (3, 1) r  –2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)} 3, 1) , (–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)} = {(1, –3) , (0, –2) , (–1, –1) , (–2, 0) , (–1, 1) , (0, 2) , (1, 3) } (1, 3) เปนสมาชิกของ 1 r ไมเปนฟงกชัน ) ผิด 13.00 – 16.00 น. หน้า |22 r {(x, y) A A | y | x | 2}      ถูกเพียงขอเดียว และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ 1) , (2, 0) , (3, 1)} 1) , (2, 0) , (3, 1)} 1, 1) , (0, 2) , (1, 3) }
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 (ข) จาก r = {(–3, 1) , ( จะได 1 r = {(1, จะได 1 r r  = {( จะพบจํานวนสมาชิกของเซต แสดงวาขอความ (ข) (ค) จาก r = {(–3, 1) , ( จะได r D = {–3, r R = {–2, จะพบวา r r D R  แสดงวาขอความ (ค) จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 3, 1) , (–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)} = {(1, –3) , (0, –2) , (–1, –1) , (–2, 0) , (–1, 1) , (0, 2) , (1, 3) } = {(–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2)} จะพบจํานวนสมาชิกของเซต 1 r r  เทากับ 3 ถูก 3, 1) , (–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)} 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} 2, –1, 0, 1 } r r D R = {–2, –1, 0, 1} r D  ผิด จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ (ข) ถูกเพียงขอเดียว 13.00 – 16.00 น. หน้า |23 1) , (2, 0) , (3, 1)} 1, 1) , (0, 2) , (1, 3) } 1) , (2, 0) , (3, 1)} 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 5. ให n(S)แทนจํานวนสมาชิกของเซต โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          และ n(C (A B)) 9    1. 42 3. 44 5. 46 ขอ 5. ตอบ 2. แนวคิด ให n(S)แทนจํานวนสมาชิกของเซต โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          และ n(C (A B)) 9    พิจารณาแผนภาพเวนน–ออยเลอร จากรูปจะได n(C) 9 56 65    n(A B) 35 56 91     โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199    จากสมบัติ n(A B) n(A) n(B) n(A B) ดังนั้น n(A B) 43 n((A B) C) 35    n(C (A B)) 9    n(A B C) n((A B) C) n(C (A B)) 100 (35 9) 56             ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 แทนจํานวนสมาชิกของเซต S ถาA, B และ C เปนเซต n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(C (A B)) 9    แลว n(A B)  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 43 4. 45 แทนจํานวนสมาชิกของเซต S ถาA, B และ C เปนเซต n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(C (A B)) 9    ออยเลอร n(C) 9 56 65    n(A B) 35 56 91     n(A) n(B) n(C) 199    จะได n(A) n(B) 65 199    n(A) n(B) 134   n(A B) n(A) n(B) n(A B)      91 134 n(A B)    n(A B) 43   A B C U n((A B) C) 35      n(A B C) n((A B) C) n(C (A B)) 100 (35 9) 56            13.00 – 16.00 น. หน้า |24 n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(A) n(B) 65 199 n(A) n(B) 134   n(A B C) n((A B) C) n(C (A B))
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 6. กําหนดให 0 A 90     ถา a เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 7 3. 3 5. 7 ขอ 6. ตอบ 4. แนวคิด ให a เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ จะได 1 1 sec60 2 ; cos60 1/ 2      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 0 A 90   เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ a sin( A) tan(270 A) sin(180 A) tan(90 A)          มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 5 4. 5 เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ a sin( A) tan(270 A) 3sec 300 sin(180 A) tan(90 A)          a( sin A) cotA 3 sec(360 60 ) sin A cotA         a ( 1) 3sec60     1 1 sec60 2 ; cos60 1/ 2     a 1 3(2)   a 1 6   a 5  13.00 – 16.00 น. หน้า |25 a sin( A) tan(270 A) 3sec 300 sin(180 A) tan(90 A)         3sec 300 3 sec(360 60 )      a ( 1) 3sec60     
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 7. คาของ 3 1 tan 2arctan 4 2         1. – 1 3. 1 7 5. 2 ขอ 7. ตอบ 3. แนวคิด โดยเอกลักษณ tan(A B)   tan2A และ tan(arctan x) x จะได 3 1 tan 2arctan 4 2         ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 3 1 tan 2arctan 4 2       เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 7  4. 1 tan A tan B tan(A B) 1 tan A tan B     2 2tan A tan2A 1 tan A   tan(arctan x) x  3 1 tan 2arctan 4 2       3 1 tan tan(2arctan ) 4 2 3 1 1 tan tan(2arctan ) 4 2      1 1 tan(2arctan ) 2 1 1 tan(2arctan ) 2            2 2 1 2 tan(arctan ) 2 1 1 1 tan (arctan ) 2 1 2 tan(arctan ) 2 1 1 1 tan (arctan ) 2       2 2 1 2( ) 2 1 1 1 ( ) 2 1 2( ) 2 1 1 1 ( ) 2       13.00 – 16.00 น. หน้า |26
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4       4 1 3 4 1 3     1 3 7 3  1 7  13.00 – 16.00 น. หน้า |27 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 8. กําหนดให x 0 2     และ คาของ tan x cot x  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 2  3. 0 5. 3 2 ขอ 8. ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให x 0 2     จาก เนื่องจาก cos x 1 sin x   5 คูณตลอด ; ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; 2 หารตลอด ; กําหนดให x 0 2     ดังนั้น 2 cos x 1 sin x 1 1         ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 x 0    และ 5 cos x sin x 5   tan x cot x เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 2  4. 1 2 5 cos x sin x 5   2 cos x 1 sin x   ; 2 5 1 sin x sin x 5    2 1 1 sin x sin x 5    2 5 1 sin x 5 sin x 1    2 5 1 sin x 1 5 sin x      2 2 5 1 sin x 1 2 5 sin x 5sin x     2 10 sin x 2 5 sin x 4 0    2 5sin x 5 sin x 2 0    ( 5 sin x 2)( 5 sin x 1) 0    2 1 sin x , 5 5   x 0    คา sin x 0  แสดงวา 1 sin x 5   2 2 1 1 2 cos x 1 sin x 1 1 5 5 5               13.00 – 16.00 น. หน้า |28 5 5 5 5 1 5 5 1 sin x 5 sin x 1 5 1 sin x 1 5 sin x    2 2 5 1 sin x 1 2 5 sin x 5sin x     10sin x 2 5 sin x 4 0 5sin x 5 sin x 2 0 ( 5 sin x 2)( 5 sin x 1) 0 2 1 sin x , 5 5  
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 และ sin x 1 tan x cos x 2 2      ดังนั้น tan x cotx 2         แนวคิด 2 กําหนดให x 0 2     แสดงวา x 0 4     ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; เอกลักษณ 2 2 sin A cos A 1 ;   เอกลักษณ 2sinAcosA sin2A ;  จาก x 0 4     จะได ทําให 2 2 cos2x 1 sin 2x 1 ( )       ดังนั้น โดยเอกลักษณ 2 2 cos A sin A cos2A   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 sin x 1 5 cos x 2 2 5      1 1 1 3 tan x cotx 2 2 1 2 2 2          x 0    และ 5 cos x sin x 0 5    x 0 2 2 cos x 2 sin x cos x sin x    2 2 sin A cos A 1 ;   1 2 sin x cos x   2sinAcosA sin2A ;  1 sin 2x   sin2x   จะได 2x 0 2     2 2 4 3 cos2x 1 sin 2x 1 ( ) 5 5       sin x cos x tan x cot x cos x sinx    2 2 sin x cos x sin x cos x   2 2 2(cos x sin x) 2sin x cos x    2 2 cos A sin A cos2A   และ 2sinAcosA sin2A  2 cos2x sin 2x   3 2( ) 5 4 5    3 2  13.00 – 16.00 น. หน้า |29  5 cos x 2 sin x cos x sin x 25    1 1 2 sin x cos x 5   1 1 sin 2x 5   4 sin2x 5   sin x cos x cos x sinx 2 2 sin x cos x sin x cos x 2 2 2(cos x sin x) 2sin x cos x   2sinAcosA sin2A ; 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 9. พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 2 3 (0.6) 1   (ข) ถา x y (0.2) (0.2)  (ค) 5 0.2 log 0.1 log 0.1  ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 9. ตอบ 1. แนวคิด พิจารณาขอความ (ก) เนื่องจาก 2 1 1 3 3 3 (0.6) (0.36) 1 1    ดังนั้น (0.6) นั่นคือ (0.6) 1 (ข) โดยสมบัติ สําหรับ 0 < a < 1 จากที่กําหนดให (0.2) (0.2) แสดงวา (ค) โดยสมบัติ สําหรับ สําหรับ เพราะวา 5 > 1 และ เพราะวา 0 < 0.2 < 1 จะพบวา 5 0.2 log 0.1 0 log 0.1 จากการพิจารณาทั้งสามขอความจะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 พิจารณาขอความตอไปนี้ (0.6) 1  x y (0.2) (0.2)  แลว x y  5 0.2 log 0.1 log 0.1  ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ 2 1 1 3 3 3 (0.6) (0.36) 1 1    2 3 (0.6) 1  2 3 1 1 1 (0.6)  2 3 (0.6) 1   แสดงวาขอความ (ก) ถูก 0 < a < 1 จะไดวา 1 2 x x a a  ก็ตอเมื่อ x x x y (0.2) (0.2)  โดยที่ 0 < 0.2 < 1 x y  แสดงวาขอความ (ข) ถูก สําหรับ 0 < a < 1 จะไดวา a 1 a 2 log x log x  ก็ตอเมื่อ สําหรับ a > 1 จะไดวา a 1 a 2 log x log x  ก็ตอเมื่อ และ 0.1 < 1 จะได 5 5 log 0.1 log 1 0   0.2 < 1 และ 0.1 < 1 จะได 0.2 0.2 log 0.1 log 1 0   5 0.2 log 0.1 0 log 0.1   แสดงวาขอความ (ค) ผิด จากการพิจารณาทั้งสามขอความจะไดวา ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ (ค) ผิด 13.00 – 16.00 น. หน้า |30 ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ ถูก 1 2 x x  ก็ตอเมื่อ 1 2 x x  ก็ตอเมื่อ 1 2 x x  5 5 log 0.1 log 1 0   0.2 0.2 log 0.1 log 1 0   ผิด ผิด 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 10. กําหนดฟงกชันจุดประสงค x ay 3   เมื่อ a 3x y 9   และ คาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 9 3. 11 5. มากกวา 12 ขอ 10. ตอบ 4. แนวคิด กําหนดฟงกชันจุดประสงค และอสมการขอจํากัด ดังนี้ และ พิจารณากราฟของอสมการขอจํากัดดังนี้ สมการ x + ay = 3 3x + y = 9 หาจุดตัดระหวางเสนตรง และ (1) 3  ; (3) – (2) ; แสดงวา ถา 1 a 3  จะไดสมการ (1) ถา y = 0 แทนคาใน (1) ทําใหเราไดกราฟอสมการขอจํากัด เปน ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 P 4x y   และอสมการขอจํากัด ดังนี้ a เปนจํานวนจริงบวก และ x 0, y 0   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 10 4. 12 P 4x y   x ay 3   เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก 3x y 9   และ x 0, y 0   พิจารณากราฟของอสมการขอจํากัดดังนี้ จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y (3, 0) (0, 3 a ) (3, 0) (0, 9) x + ay = 3 ...(1) 3x + y = 9 ...(2) 3x + 3ay = 9 ...(3) (3a – 1)y = 0 a = 1 3 หรือ y = 0 (1) คือ 1 x y 3 3   3x y 9    ซึ่งเปนสมการเดียวกับสมการ (1) จะได x + 0 = 3  x = 3 แสดงวาจุดตัด (1) ทําใหเราไดกราฟอสมการขอจํากัด เปน 3 กรณีดังนี้ 13.00 – 16.00 น. หน้า |31 ซึ่งเปนสมการเดียวกับสมการ (2) (1) และ (2) คือจุด(3, 0)
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 กรณีที่ 1 1 a 3  ทําใหเสนตรง กรณีที่ 2 1 a 3  ทําใหเสนตรง กรณีที่ 3 1 a 3  ทําใหเสนตรง จากทั้ง 3 กรณีจะไดวา คาสูงสุดของ (0,9) (3,0) 3x y 9     Y x ay 3  3 (0, ) a (0,9) (3,0)   Y x ay 3    3 (0, ) a (0,9) (3,0) 3x y 9   Y x ay 3   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ทําใหเสนตรง 3x + y = 9 และ x ax 3   เปนเสนตรงเดียวกันดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค จุดมุม P = 4x + y (0, 0) P = 4 0 0 0    (3, 0) P = 4 3 0 12    (0, 9) P 4 0 9 9     ทําใหเสนตรง 3x + y = 9 และ x ax 3   มีลักษณะดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค จุดมุม P = 4x + y (0, 0) P = 4 0 0 0    (3, 0) P = 4 3 0 12    (0, 9) P 4 0 9 9     ทําใหเสนตรง 3x + y = 9 และ x ax 3   มีลักษณะดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค จุดมุม P = 4x + y (0, 0) P = 4 0 0 0    (3, 0) P = 4 3 0 12    (0, 3 a ) P 4 0 9      กรณีจะไดวา คาสูงสุดของ P เทากับ 12 3x y 9   X x ay 3   3x y 9   X x ay 3   3x y 9   X x ay 3   13.00 – 16.00 น. หน้า |32 เปนเสนตรงเดียวกันดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค P = 4x + y P = 4x + y 4 0 0 0    4 3 0 12    (สูงสุด) P 4 0 9 9     มีลักษณะดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค P = 4x + y 4x + y 4 0 0 0    4 3 0 12    (สูงสุด) P 4 0 9 9     มีลักษณะดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค P = 4x + y P = 4x + y 4 0 0 0    4 3 0 12    (สูงสุด) 3 3 P 4 0 9 a a      
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 11. กําหนดอนุกรม 1 3 7 15 2 4 8 16     ถา n S เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม 1. 0 3. 1 4 5. 1 ขอ 11 ตอบ 4. แนวคิด จากอนุกรม 1 3 7 15 2 4 8 16     จัดอนุกรมใหมไดเปน 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2      ดังนั้น k n n k k 1 2 1 S 2     n k 1 1 2           n n k 1 k 1 1       1 1 1 ( ) 2 2 n 1         n 1 ( )          n 1 ( )    จะได n 1 S n 1 ( ) 2    จะได 2n S 2n 1 ( )    ดังนั้น n n n 2n S lim lim S 1    ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 3 7 15 ... 2 4 8 16     พจนแรกของอนุกรม แลว n n 2n S lim S  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 8 4. 1 2 1 3 7 15 ... 2 4 8 16     1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... ... 2 2 2 2 2            k k 2 1 2  k 1 1 2         n n k k 1 k 1 1 1 2             n 1 1 1 ( ) 2 2 1 1 2         n 1 n 1 a (1 r ) S , a , r 1 r 2 2               n 1 n 1 ( ) 2          n 1 n 1 ( ) 2    n 1 S n 1 ( ) 2    2n 1 S 2n 1 ( ) 2    n 2n 1 n 1 ( ) 2 lim lim S 1 2n 1 ( ) 2       13.00 – 16.00 น. หน้า |33 เทากับขอใดตอไปนี้ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... ...            n n 1 a (1 r ) 1 1 S , a , r 1 r 2 2           
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 n lim   n lim   1 0 0 2 0 0      1 2  12. กําหนดให  แทนเซตของจํานวนจริง ให f :    และ g : ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 n n 2n 1 1 n 1 n n2 lim 1 1 n 2 n n2                  n n 2n 1 1 1 n n2 lim 1 1 2 n n2      1 0 0 2 0 0     1 2 แทนเซตของจํานวนจริง g :    เปนฟงกชัน โดยที่ 13.00 – 16.00 น. หน้า |34 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 (ก) f( x) f(x)    (ข) g( x) g(x)   (ค) f(x) g(x) x 2x    ถา a เปนจํานวนจริงที่ทําให แลว f(g(a)) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1250 3. 0 5. – 1250 ขอ 12 ตอบ 1. แนวคิด จาก (ค) ; แทน x ดวย –x ; จาก ก และ ค ; นํา (1) – (2) ; นํา 2 หารตลอด ; แทน f(x) = –2x ใน (1) ; ตอนนี้เราไดแลววา f(x) 2x   พิจารณาหา a จากสมหาร จะได ดังนั้น f(g(a)) f(g(25)) 2g(25) 2( 25 ) 2( 625) 1250           13. ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 f( x) f(x)    สําหรับทุกจํานวนจริง x g( x) g(x) สําหรับทุกจํานวนจริง x 2 f(x) g(x) x 2x    สําหรับทุกจํานวนจริง x เปนจํานวนจริงที่ทําให f(10 a) f(10 a) g(10)     เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 800 4. – 800 2 f(x) g(x) x 2x    2 f( x) g( x) ( x) 2( x)        2 f(x) g(x) x 2x     2f(x) 4x   f(x) 2x   (1) ; 2 2x g(x) x 2x     2 g(x) x   2 g(x) x   f(x) 2x   และ 2 g(x) x   f(10 a) f(10 a) g(10)       2 2(10 a) 2(10 a) 10        ( 20 2a) (20 2a) 100       4a 100    a 25  2 f(g(a)) f(g(25)) 2g(25) 2( 25 ) 2( 625) 1250           จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงบวก 13.00 – 16.00 น. หน้า |35 ...(1) f( x) g( x) ( x) 2( x) ...(2) f(g(a)) f(g(25)) 2g(25) 2( 25 ) 2( 625) 1250 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ คาของ 2 2 2 a b c   เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 234 3. 241 5. 283 ขอ 13 ตอบ 3. แนวคิด ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c โดยที่ตําแหนงเดไซนที่ 7 เทากับ โดยการเทียบบัญญัตไตรยางค จะได จากกําหนดใหพิสัยเทากับ 8 และคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ แทน b = 9 ; ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ 8 และเดไซลที่ 7 ของขอมูลเทากับ เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 237 4. 269 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงบวก เทากับ 7(N 1) 7(6 1) 4.9 10 10     ซึ่งคาเดไซนที่ ตําแหนงที่ คาขอมูล 4 b 4.9 7 D 5 11 โดยการเทียบบัญญัตไตรยางค จะได 4.9 4 10.8 b 5 4 11 b      10.8 b 0.9 11 b    0.9(11 b) 10.8 b    9.9 0.9b 10.8 b    0.1b 0.9  b 9  8 จะได c a 8   และคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 8 จะได a 5 7 b 11 c 8 6       a b c 23 48     a b c 25    a 9 c 25    a c 16   13.00 – 16.00 น. หน้า |36 ของขอมูลเทากับ 10.8 ซึ่งคาเดไซนที่ 7 เทากับ 10.8 c a 8   ...(1) 8  a b c 23 48     a b c 25    a 9 c 25    a c 16   ...(2)
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 (1) + (2) ; แทน c = 12 ใน (2) ; ดังนั้น 2 2 2 2 2 2 a b c 4 9 12 241       14. ให A แทนเซตคําตอบของสมการ และให x B {2 | x A}   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2c 24  c 12  a 12 16   a 4  2 2 2 2 2 2 a b c 4 9 12 241       แทนเซตคําตอบของสมการ x x 2x 1 9 6 2 0     B {2 | x A}   13.00 – 16.00 น. หน้า |37 2c 24  c 12  a 12 16   a 4  
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต 1. 0.25 3. 1.25 5. 2.25 ขอ 14 ตอบ 2. แนวคิด ให A แทนเซตคําตอบของสมการ จัดสมการใหมไดเปน แตเนื่องจาก x x 3 0 , 2 0   ดังนั้น นั่นคือ A = {0} โดยที่ x B {2 | x A}   จะได B = { 0 2 } = {1} ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของเซต 15. จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ จํานวนสมาชิกในครัวเรือน ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 4. 2 แทนเซตคําตอบของสมการ x x 2x 1 9 6 2 0     x 2 x x x 2 (3 ) (2 )(3 ) 2(2 ) 0       x x x x 3 2(2 ) 3 2 0    x x 3 0 , 2 0   ทําให x x 3 2(2 ) 0   ดังนั้นจากสมการ (*) x x 3 2 0   x x 3 2  x 0  B {2 | x A} } = {1} ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของเซต B เทากับ 1 จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ 30 ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้ จํานวนสมาชิกในครัวเรือน (คน) ความถี่สะสมสัมพัทธ 13.00 – 16.00 น. หน้า |38 x x 2x 1 9 6 2 0     x 2 x x x 2 (3 ) (2 )(3 ) 2(2 ) 0    x x x x 3 2(2 ) 3 2 0    ...(*) (*) จะไดวา x x 3 2 0   x x 3 2  x 0   ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ 1. มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 2. ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3. มี 24 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 5. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมา ขอ 15 ตอบ 3. แนวคิด เนื่องจาก ความถี่สะสมสัมพัทธ จะได ความถี่สะสม จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ พิจารณาตัวเลือก จํานวนสมาชิกในครัวเรือน 1 2 3 4 5 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ผิด มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 3 คน ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 4 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก 2 คน เนื่องจาก ความถี่สะสมสัมพัทธ = ความถี่สะสม จํานวนขอมูลทั้งหมด = ความถี่สะสมสัมพัทธ  จํานวนขอมูลทั้งหมด จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ 30 ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้ 1 0.2 2 0.3 3 0.7 4 0.9 5 1.0 จํานวนสมาชิกในครัวเรือน (คน) ความถี่สะสมสัมพัทธ ความถี่สะสม 0.2 0.2 30 6   0.3 0.3 30 9   0.7 0.7 30 21   0.9 0.9 30 27   1.0 1.0 30 30   13.00 – 16.00 น. หน้า |39 จํานวนขอมูลทั้งหมด ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้ ความถี่สะสม ความถี่ 0.2 30 6   6 0.3 30 9   3 0.7 30 21   12 0.9 30 27   6 1.0 30 30   3
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 1. เนื่องจากตําแหนงมัธยฐาน เทากับ แสดงวา มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ ดังนั้นตัวเลือก 1. ถูก 2. เนื่องจากจํานวนมากที่สุด แสดงวา ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ ดังนั้นตัวเลือก 2. ถูก 3. ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา ดังนั้นตัวเลือก 3. ผิด 4. ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย ดังนั้นตัวเลือก 4. ถูก 5. ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรื ดังนั้นตัวเลือก 5. ถูก ดังนั้น ตัวเลือกที่ 3 ผิด 16. กําหนดให 1 x f(x) x 2    ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เนื่องจากตําแหนงมัธยฐาน เทากับ N 1 30 1 15.5 2 2     ซึ่งมีไมเกินตําแหนงที่ แสดงวา มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 3 คน เนื่องจากจํานวนมากที่สุด 12 ครัวเรือนที่มีสมาชิกในครัวเรือน 3 คน แสดงวา ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4 คน มี 12 + 3 + 6 = 21 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 4 คน มี 6 + 3 = 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก 2 คน มี 6 + 3 = 9 ครัวเรือน 1 x x 2   เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ x 2   13.00 – 16.00 น. หน้า |40 ซึ่งมีไมเกินตําแหนงที่ 21 12 + 3 + 6 = 21 ครัวเรือน 6 + 3 = 9 ครัวเรือน ครัวเรือน 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ถา a เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ แลว 2a 1  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 2 3. 0 5. 2 ขอ 16 ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให 1 x f(x) x 2    พิจารณาหาคา 1 f (2)  สมมติให 1 f (2) x   จะได ดังนั้น 1 f (2) 1    จากสมการ 1 f(a f (2)) 1    ดังนั้น 1 2a 1 2( ) 1 2 2     17. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย และให 2 f(x) ax bx 1    ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ 1 f(a f (2)) 1    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 1 4. 1 1 x x 2   เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ x 2   f (2) ะได f(x) 2  1 x 2 x 2    1 x 2(2 x)    1 x 4 2x    3x 3   x 1   f(a f (2)) 1   จะได f(a 1) 1   1 (a 1) 1 (a 1) 2      2 a 1 a 1    2 a a 1    2a 1  1 a 2  2a 1 2( ) 1 2     เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย f(x) ax bx 1    สําหรับทุกจํานวนจริง x และ f( 1) 0   13.00 – 16.00 น. หน้า |41  f( 1) 0
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ถาเรนจของ f เทากับ [0, )  1. 5 3. 8 5. 11 ขอ 17 ตอบ 4. แนวคิด ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย และให 2 f(x) ax bx 1    แทนคา x = 0 จะไดวา f(0) โดยที่ f( 1) 0   และเรนจของ แสดงวา y = f(x) มีกราฟเปนพาราโบลาหงาย มีจุดยอดที่จุด จากสมการพาราโบลาในรูป จะได จาก f(0) = 1 ; ดังนั้น ทําให 2 2 f(x) 1(x 1) x 2x 1      ดังนั้น ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 [0, )  แลวคาของ 2 1 f(x)dx   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 7 4. 9 เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย f(x) ax bx 1    สําหรับทุกจํานวนจริง x f(0) 2 a(0 ) b(0) 1 1     เรนจของ f เทากับ [0, )  มีกราฟเปนพาราโบลาหงาย มีจุดยอดที่จุด (–1, 0) จากสมการพาราโบลาในรูป 2 y a(x h) k    เมื่อ (h, k) เปนจุดยอด 2 f(x) a(x 1) 0    2 f(x) a(x 1)   2 f(0) a(0 1)   1 a 1   a 1  2 2 f(x) 1(x 1) x 2x 1      2 1 f(x)dx   2 2 1 x 2x 1 dx      (0,1) ( 1,0)    X Y y f(x)  13.00 – 16.00 น. หน้า |42
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 18. ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ ถาพาราโบลาผานจุด (3, 5) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2 3 2 1 x 2x x 3 2                   8 1 4 2 1 1 3 3                                9  ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ 2y = 3x และ มี y = 3 (3, 5) แลว สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้ 13.00 – 16.00 น. หน้า |43 4 2 1 1                         y = 3 เปนแกนสมมาตร แลว สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 1. 2 y 4x 6y 17 0     3. 2 y 4x 6y 7 0     5. 2 y 6x 4y 27 0     ขอ 18 ตอบ 1. แนวคิด ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ แสดงวาจุดยอดของพาราโบลาคือจุดตัดของเสนตรง แทน y = 3 ในสมการ 2y = 3x แสดงวาจุดยอดของพาราโบลาคือ เนื่องพาราโบลามีลักษณะแกนสมาตรขนานกับแกน แทนจุด (h, k) ดวยจุด (2, 3) ; โดยพาราโบลาผานจุด (3, 5) แทน 4c 4  ใน (*) จะไดสมการพาราโบลาคือ 19. ถา a และ b เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 y 4x 6y 17 0     2. 2 y 4x 6y 43 0     y 4x 6y 7 0     4. 2 y 6x 4y 23 0     y 6x 4y 27 0     ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ 2y = 3x และ มี y = 3 แสดงวาจุดยอดของพาราโบลาคือจุดตัดของเสนตรง 2y = 3x และเสนตรง y = 3 2y = 3x จะได 2 3 3x   6 3x  x 2  แสดงวาจุดยอดของพาราโบลาคือ (2, 3) เนื่องพาราโบลามีลักษณะแกนสมาตรขนานกับแกน X จะไดสมการรูปมาตรฐานคือ 2 (y h) 4c(x h)    (2, 3) ; 2 (y 3) 4c(x 2)    (3, 5) แทน x = 3 แทน y = 5 ; 2 (5 3) 4c(3 2)    4 4c  จะไดสมการพาราโบลาคือ 2 (y 3) 4(x 2)    2 y 6y 9 4x 8     2 y 4x 6y 17 0     เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ X Y 2y 3x  y 3  13.00 – 16.00 น. หน้า |44 y 4x 6y 43 0     y 6x 4y 23 0     y = 3 เปนแกนสมมาตร y = 3 จะไดสมการรูปมาตรฐานคือ (y h) 4c(x h) (y 3) 4c(x 2) ...(*) (y 3) 4(x 2) y 6y 9 4x 8 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 a 2 2 2 log b 1 2log b 4 2    แลวคาของ 2 2 a b  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 25 3. 41 5. 68 ขอ 19 ตอบ 5. แนวคิด ให a และ b เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ สมมติให a x 2  และ y log b  จากสมการ a 2 2 2 log b 2log b 4 2   จากสมการ 2 2 a a 3 log b log b 2 4 2    แทน (2) ใน (1) ; ดังนั้น แต a x 2  ; แทน x = 4 ใน (2) ; จะได แต 2 y log b  ; ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 2log b 4 2 และ 2 2 a a 3 log b log b 2 4 2    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 36 4. 58 เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ a 2 2 2 log b 1 2log b 4 2    และ a a 3 log b log b 2 4 2  2 y log b  2 2 log b 1 2log b 4 2   จะได x y 1 2y 4 2    2x 2y 2y 4    2x 4y 4    2 2 a a 3 log b log b 2 4 2  จะได 3 y y x 4 x    3x xy xy 4y    3x 4y  2x 3x 4    x 4    x 4  a 2 4  a 2  4y 3 4   y 3  2 log b 3  13.00 – 16.00 น. หน้า |45 2 2 a a 3 log b log b 2 4 2    x y 1 2y 4 2 2x 2y 2y 4    2x 4y 4    ...(1) 3 y y x 4 x 3x xy xy 4y    3x 4y ...(2) 2x 3x 4    x 4    x 4 2 4 a 2 4y 3 4   y 3 log b 3
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ดังนั้น 2 2 2 2 a b 2 8 68     20. ให L เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 3 b 2  b 8  2 2 2 2 a b 2 8 68     เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง L อยูหางจากจุด ( 1, 1)   และจุด (7,5) 13.00 – 16.00 น. หน้า |46 3 b 2 b 8   (7,5) เปนระยะทางเทากัน
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ระยะหางระหวางเสนตรง L 1. 2.0 หนวย 3. 1.5 หนวย 5. 0.4 หนวย ขอ 20 ตอบ 1. แนวคิด โดยอาศัยสูตร ระยะหางจากจุด 1 2 (x ,y ) กับจุด ระยะหางจากจุด 1 2 (x ,y ) กับเสนตรง โจทยกําหนด ให L เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง สมมติให (x, y) เปนจุดใดๆบนเสนตรง เนื่องจากระยะทางจากจุด (x, y) จะได ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; x 2x 1 y 2y 1 x 14x 49 y 10y 25 นํา 4 หารตลอด ; ดังนั้นสมการเสนตรง L คือ ระยะหางระหวางเสนตรง L 21. กําหนดให u 2i j 2k       ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 L กับจุด (2,0)เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1.8 หนวย 4. 1.4 หนวย 1 2 (x ,y ) กับจุด 2 2 (x ,y ) คือ 2 2 1 2 1 2 (x x ) (y y )    1 2 (x ,y ) กับเสนตรง Ax + BY + C = 0 คือ 1 1 2 2 Ax By C A B    เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง L อยูหางจากจุด ( 1, 1)   และจุด (7,5) เปนจุดใดๆบนเสนตรง L (x, y) อยูหางจากจุด ( 1, 1)   และจุด (7,5) เปนระยะทางเทากัน 2 2 2 2 (x 1) (y 1) (x 7) (y 5)        2 2 2 2 (x 1) (y 1) (x 7) (y 5)        2 2 2 2 x 2x 1 y 2y 1 x 14x 49 y 10y 25            16x 12y 72 0    4x 3y 18 0    คือ 4x 3y 18 0    L กับจุด (2,0) เทากับ 2 2 4(2) 3(0) 18 10 5 4 3      u 2i j 2k       และ v i 2j 2k        13.00 – 16.00 น. หน้า |47 2 2 1 2 1 2 (x x ) (y y ) 1 1 2 2 Ax By C A B    (7,5) เปนระยะทางเทากัน เปนระยะทางเทากัน 2 2 2 2 (x 1) (y 1) (x 7) (y 5)        2 2 2 2 (x 1) (y 1) (x 7) (y 5)        2 2 2 2 x 2x 1 y 2y 1 x 14x 49 y 10y 25            10 2 5   
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 เวกเตอรในขอใดตอไปนี้ไมตั้งฉาก 1. 3i j    3. 4i 3 j 2k      5. 5 j 6k     ขอ 21 ตอบ 4. แนวคิด กําหนดให u 2i j 2k       จะได i j k u v 2 1 2 i j k 1 2 2           ตองการหาเวกเตอร w  ที่ไมตั้งฉากกับ พิจารณาตัวเลือก 1. โดยที่ (3i j) (u v) (3i j) ( 2i 6 j 5k)                  แสดงวา 3i j    ตั้งฉากกับ 2. โดยที่ (i 3 j 4k) (u v) (i 3 j 4k) ( 2i 6 j 5k)                  แสดงวา i 3 j 4k     3. โดยที่ (4i 3 j 2k) (u v) (4i 3 j 2k) ( 2i 6 j 5k)                  แสดงวา 4i 3 j 2k     4. โดยที่ (i j k) (u v) (i j k) ( 2i 6 j 5k)                     ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ไมตั้งฉากกับเวกเตอร u v    2. i 3 j 4k      4. i j k      u 2i j 2k       และ v i 2 j 2k        i j k 1 2 2 2 2 1 u v 2 1 2 i j k 2 2 1 2 1 2 1 2 2                  (2 4)i ( 4 2)j (4 1)k           2i 6 j 5k        ที่ไมตั้งฉากกับ u v    แสดงวาเวกเตอร w (u v) 0       (3i j) (u v) (3i j) ( 2i 6 j 5k)                   3( 2) 1(6) 0(5) 0      3i j ตั้งฉากกับ u v    (i 3 j 4k) (u v) (i 3 j 4k) ( 2i 6 j 5k)                       1( 2) 3(6) 4(5) 0      i 3 j 4k      ตั้งฉากกับ u v    (4i 3 j 2k) (u v) (4i 3 j 2k) ( 2i 6 j 5k)                       4( 2) 3(6) 2(5) 0      4i 3 j 2k      ตั้งฉากกับ u v    (i j k) (u v) (i j k) ( 2i 6 j 5k)                       13.00 – 16.00 น. หน้า |48 u v 2 1 2 i j k  w (u v) 0       (i 3 j 4k) (u v) (i 3 j 4k) ( 2i 6 j 5k)               (4i 3 j 2k) (u v) (4i 3 j 2k) ( 2i 6 j 5k)                     (i j k) (u v) (i j k) ( 2i 6 j 5k)
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 แสดงวา i j k      5. โดยที่ ( 5 j 6k) (u v) ( 5 j 6k) ( 2i 6 j 5k)                   แสดงวา 5 j 6k     จากการตรวจสอบจะไดวา เวกเตอร 22. กําหนดให a, b   และ c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1( 2) 1(6) 1(5) 1       i j k    ไมตั้งฉากกับ u v    ( 5 j 6k) (u v) ( 5 j 6k) ( 2i 6 j 5k)                     0( 2) 5(6) 6(5) 0      5 j 6k  ไมตั้งฉากกับ u v    จากการตรวจสอบจะไดวา เวกเตอร i j k      ไมตั้งฉากกับ u v    c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ a b c 0        13.00 – 16.00 น. หน้า |49 ( 5 j 6k) (u v) ( 5 j 6k) ( 2i 6 j 5k)   
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ถา a i 2j      และขนาดของเวกเตอร แลว a b b c c a            1. – 18 3. 8 5. 18 ขอ 22 ตอบ 2. แนวคิด กําหนดให a, b   และ c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ โดยที่ a i 2j      จะได และขนาดของเวกเตอร b  และ นั่นคือ b 2   และ c 3  จาก a b c 0        จะได โดยสมบัติ 2 a a a ;      แทน a 5   ; โดยที่ a c c a ;        จาก a b c 0        จะได ดังนั้น โดยสมบัติ 2 2 2 b c b c 2(b c)            แทน a 5   , b 2   , จาก (1) และ (2) จะได a b b c c a 5 ( 4) 9     23. ถา A เปนเซตคําตอบของอสมการ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 และขนาดของเวกเตอร b  และ c  เทากับ 2 และ 3 หนวย ตามลําดับ a b b c c a          เทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 9 4. 9 c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ a b c 0        จะได 2 2 2 a 1 2 0 5      b  และ c  เทากับ 2 และ 3 หนวย ตามลําดับ c 3   จะได a (a b c) a 0            a a a b a c 0             a a a ; 2 a a b a c 0           2 ( 5) a b a c 0          5 a b a c 0          a b a c 5          a b c a 5          จะได b c a       2 2 b c a       2 2 2 b c b c 2(b c)            ; 2 2 2 b c 2(b c) a          b 2 , c 3   ; 2 2 2 2 3 2(b c) ( 5)       4 9 2(b c) 5       b c 4      a b b c c a 5 ( 4) 9                  เปนเซตคําตอบของอสมการ 1 x 0 x   13.00 – 16.00 น. หน้า |50 หนวย ตามลําดับ a (a b c) a 0  a b a c 5 a b c a 5 ...(1) b c a      2 2 b c a      2 2 2 b c 2(b c) a    2 2 2 2 3 2(b c) ( 5) 4 9 2(b c) 5 b c 4    ...(2) 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ แลว A B  เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ 1. ( ,0)  3. (0,5) 5. (6, )  ขอ 23 ตอบ 3. แนวคิด จาก A เปนเซตคําตอบของอสมการ โดยที่ 2 x 1 0   แสดงวา ดังนั้น A = (0, )  จาก B เปนเซตคําตอบของอสมการ ดังนั้น B = ( ,2] [3, )    และจะได A – B = (2,3) ซึ่งจะพบวา A – B = (2, 3) 24. ถา A เปนเซตคําตอบของ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตคําตอบของอสมการ 2 2x 3x 7x 12    เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ 2. ( 2,2)  4. (3,8) เปนเซตคําตอบของอสมการ 1 x 0 x   2 x 1 0 x   แสดงวา x 0  เปนเซตคําตอบของอสมการ 2 2x 3x 7x 12    2 2x 10x 12 0    2(x 2)(x 3) 0    x 2  หรือ x 3  ( ,2] [3, )    (2,3) B = (2, 3) (0,5)  เปนเซตคําตอบของ 2 2 | 3 2x x | x 2x 3      2 3    2 3 0 13.00 – 16.00 น. หน้า |51  A B
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 และ B เปนเซตคําตอบของ แลวเซต A B  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. { 3,1}  3. [ 4,3]  5. [ 4,1] {2,3}   ขอ 24 ตอบ 4. แนวคิด ให A เปนเซตคําตอบของ จะพบวา โดยสมบัติ x x   ก็ตอเมื่อ จากสมการ (1) จะได นํา –1 คูณตลอด ; ดังนั้น A ( , 3] [1, )      ให B เปนเซตคําตอบของ โดยสมบัติ 2 x x  ยกกําลังสองทั้งสองขาง โดยที่ 2 1 47 (x ) 0 2 4    ดังนั้น B [ 4,3]   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตคําตอบของ 2 | x x | 12   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. [ 3,1]  4. [ 4, 3] [1,3]    2 2 | 3 2x x | x 2x 3      2 2 | 3 2x x | (3 2x x )       ก็ตอเมื่อ x 0  2 3 2x x 0    2 x 2x 3 0    (x 3)(x 1) 0    3 x   หรือ x 1  A ( , 3] [1, )      เปนเซตคําตอบของ 2 | x x | 12   ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; 2 2 2 (x x) 12   2 2 2 (x x) 12 0    2 2 (x x 12)(x x 12) 0      2 1 47 (x 4)(x 3) (x ) 0 2 4            (x ) 0    แสดงวา (x 4)(x 3) 0    4 x 3    3  1    4  3    13.00 – 16.00 น. หน้า |52 | 3 2x x | x 2x 3      2 2 | 3 2x x | (3 2x x )       ...(1) x 1
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 จะได A B [ 4, 3] [1,3]      25. ให z แทนสังยุค (Conjugate ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 A B [ 4, 3] [1,3]      Conjugate) ของจํานวนเชิงซอน z และ 2 i 1   4  3  1 13.00 – 16.00 น. หน้า |53  3 A B
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ถา z (1 i)   เปนจํานวนจินตภาพแท และ แลว z z  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 2 3. 4 5. 6 ขอ 25 ตอบ 4. แนวคิด กําหนดให z = x + yi โดยที่ z (1 i) (x yi) (1 i) (x 1) (y 1)i           แตโจทยกําหนด z (1 i)   โดยที่ 2 2 2 2 z 2(1 i) (x yi) 2(1 i) (x 2xyi y ) 2(1 2i 1)                 แตโจทยกําหนด 2 2 z 2(1 i)   แทน x = 1 ; ดังนั้น z = 1 + 2i จะได z z (1 2i)(1 2i) 1 (2i) 1 4 5          26. บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงาน 20 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนจํานวนจินตภาพแท และ 2 2 z 2(1 i)   เปนจํานวนจริง มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 3 4. 5 z = x + yi เมื่อ x,y R  z (1 i) (x yi) (1 i) (x 1) (y 1)i           z (1 i)   เปนจํานวนจินตภาพแท แสดงวา x 1 0   x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 z 2(1 i) (x yi) 2(1 i) (x 2xyi y ) 2(1 2i 1) (x y ) (2xy 4)i                 2 2 z 2(1 i)   เปนจํานวนจริง แสดงวา 2xy 4 0   2(1)y 4 0   2y 4 0   2 2 z z (1 2i)(1 2i) 1 (2i) 1 4 5          20 คน เปนผูชาย 10 คน ฝายบริหารมีผูชาย 3 คน 13.00 – 16.00 น. หน้า |54 เปนจํานวนจริง x 1 0   x 1  2xy 4 0   2(1)y 4 0   2y 4 0   y 2  
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ฝายผลิตมี 8 คน และฝายขายมี ถาสุมพนักงานมา 4 คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน และพนักงานฝายขายผูหญิง 1. 4 5 3. 8 4845 5. 16 4845 ขอ 26 ตอบ 5. แนวคิด บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงาน 20 ฝายผลิตมี 8 คน และฝายขายมี สมมติให n แทนจํานวนผูหญิงของพนักงานฝายผลิตและฝายขายซึ่งมีจํานวนเทากัน แสดงวา พนักงานชายฝายผลิตมี พนักงานชายฝายขายมี โดยที่พนักงานผูชายทั้งหมด จะไดสมการคือ จะไดวา ฝายผลิต มีพนักงานหญิง ฝายขาย มีพนักงานหญิง สุมพนักงานมา 4 คนจาก 20 n(S) 5 19 3 17        เหตุการณที่สุมไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน n(E) 4 4 16       ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน P(E)    27. มีเลขโดด 5 ตัว คือ 1 , 2 , 3 , 4 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 คน และฝายขายมี 7 คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน 3 และพนักงานฝายขายผูหญิง 1 คน เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 8 969 4. 16 969 20 คน เปนผูชาย 10 คน ฝายบริหารมีผูชาย 3 คน คน และฝายขายมี 7 คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน แทนจํานวนผูหญิงของพนักงานฝายผลิตและฝายขายซึ่งมีจํานวนเทากัน พนักงานชายฝายผลิตมี 8 – n คน พนักงานชายฝายขายมี 7 – n คน โดยที่พนักงานผูชายทั้งหมด 10 คน และฝายบริหารมีผูชาย 3 คน 3 + (8 – n) + (7 – n) = 10 18 – 2n = 10 2n = 8 n = 4 ฝายผลิต มีพนักงานหญิง 4 คน พนักงานชาย 8 – 4 = 4 คน ฝายขาย มีพนักงานหญิง 4 คน พนักงานชาย 7 – 4 = 3 คน 20 คน จะได 20 20! 20 19 18 17 n(S) 5 19 3 17 4 16!4! 4 3 2 1                    เหตุการณที่สุมไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน 3 คน และพนักงานฝายขายผูหญิง 4 4 4! 4! n(E) 4 4 16 3 1 1!3! 3!1!                ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน 3 คนและพนักงานฝายขายผูหญิง n(E) 16 16 P(E) n(S) 5 19 3 17 4845       1 , 2 , 3 , 4 และ 5 นําเลขโดดเหลานี้มา 3 ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง 13.00 – 16.00 น. หน้า |55 โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน 3 คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน แทนจํานวนผูหญิงของพนักงานฝายผลิตและฝายขายซึ่งมีจํานวนเทากัน n(S) 5 19 3 17        คน และพนักงานฝายขายผูหญิง 1 คน จะได คนและพนักงานฝายขายผูหญิง 1 คน เทากับ  และใชเลขโดดทั้ง 3 ตัวนี้
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน 1. 90 3. 360 5. 810 ขอ 27 ตอบ 3. แนวคิด มีเลขโดด 5 ตัว คือ 1 , 2 , 3 , 4 นําเลขโดดเหลานี้มา 3 ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง มีขั้นตอนในการสรางจํานวน ขั้นตอนที่ 1 เลือกจํานวนเต็มจาก มีจํานวนวิธีการเลือกเทากับ ขั้นตอนที่ 2 เลือกตัวเลข 1 มีจํานวนวิธีการเลือกเทากับ ขั้นตอนที่ 3 นําตัวเลขทั้ง 4 มีจํานวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเทากับ จากขั้นตอน 1 , 2 และ 3 จะไดจํานวนสี่หลักที่ตองการทั้งหมด 28. คาของ 2 x 1 ( x 1)(3x 2) lim 3x x 2      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน 2. 120 4. 600 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง 3 ตัวนี้เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก มีขั้นตอนในการสรางจํานวน 4 หลักนั้นดังนี้ เลือกจํานวนเต็มจาก 5 ตัวมา 3 ตัว มีจํานวนวิธีการเลือกเทากับ 5 5! 10 3 2!3!         วิธี 1 ตัวจากสามตัวที่เลือกมาที่เลขนั้นจะใช 2 หลัก อีก 2 มีจํานวนวิธีการเลือกเทากับ 3 2 3! 2! 3 1 2 1!2! 0!2!             วิธี 4 ตัว ซึ่งในกลุมตัวเลขนี้มีซ้ํา 2 ตัว มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน มีจํานวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเทากับ 4! 12 2!  วิธี จะไดจํานวนสี่หลักที่ตองการทั้งหมด เทากับ 10 3 12 360    จํานวน ( x 1)(3x 2) 3x x 2     เทากับขอใดตอไปนี้ 13.00 – 16.00 น. หน้า |56 ตัวนี้เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก 2 ตัวจะใชตัวเลขละ 1 หลัก ตัว มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 1. 1 10  3. 1 10 5. 1 ขอ 28 ตอบ 3. แนวคิด 2 x 1 x 1 ( x 1)(3x 2) ( x 1)(3x 2) lim lim 3x x 2       29. ให a , b , c และ d เปนจํานวนจริง โดยที่ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2. 0 4. 1 5 2 x 1 x 1 ( x 1)(3x 2) ( x 1)(3x 2) lim lim (3x 2)(x 1) 3x x 2            x 1 ( x 1 lim    )(3x 2) (3x 2)( x 1    )( x 1)  x 1 3x 2 lim (3x 2)( x 1)      3(1) 2 (3(1) 2)( 1 1)     1 10  เปนจํานวนจริง โดยที่ 1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53        13.00 – 16.00 น. หน้า |57 )(3x 2) )( x 1)   1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53       
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 1. c a b d    3. b d c a    5. d c a b    ขอ 29 ตอบ 1. แนวคิด ให a , b , c และ d เปนจํานวนจริง โดยที่ a 50 b 51 c 52 d 53 แสดงวา a + 50 = b สมมติให a + 50 = b – ดังนั้น a + 50 = k b – 51 = k c + 52 = k d – 53 = k โดยที่ k – 52 < k – 50 < k +51 < k + 53 ดังนั้น c < a < 30. หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2. c d a b    4. d b a c    เปนจํานวนจริง 1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53        a + 50 = b – 51 = c + 52 = d – 53 51 = c + 52 = d – 53 = k a + 50 = k  a = k – 50 51 = k  b = k + 51 c + 52 = k  c = k – 52 53 = k  d = k + 53 50 < k +51 < k + 53 c < a < b < d หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน 40 คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ 50 กิโลกรัม 13.00 – 16.00 น. หน้า |58 c d a b d b a c  คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0.10 3. 0.14 5. 0.16 ขอ 30 ตอบ 2. แนวคิด หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ นั่นคือ 50   และ   ให 1 2 N , N แทนจํานวนนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ 1 2 ,   แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนชาย และนักเรียนหญิงตามลําดับ 1 2 ,   แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ ถาหองเรียนนี้ มีนักเรียนชาย นักเรียนชายเทากับ 50 กิโลกรัม และ นั่นคือ 1 N 22  , 1   และ 2 N 40 22 18    โดยสูตรคาเฉลี่ยเลขคณิตรวม จะได จะพบวา 1 2    ทําใหสูตรความแปรปรวนรวมคํานวณไดจากสูตร ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 กิโลกรัม ถาหองเรียนนี้ มีนักเรียนชาย 22 คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ 50 กิโลกรัม และ แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 0.12 4. 0.15 หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน 40 คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ 50 กิโลกรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5   แทนจํานวนนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนชาย และนักเรียนหญิงตามลําดับ แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ ถาหองเรียนนี้ มีนักเรียนชาย 22 คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของ กิโลกรัม และ 4 กิโลกรัม ตามลําดับ 1 50   และ 1 4   N 40 22 18    โดยสูตรคาเฉลี่ยเลขคณิตรวม 1 1 2 2 1 2 N N N N       2 22(50) 18 50 40    2 2000 1100 18    2 50   ทําใหสูตรความแปรปรวนรวมคํานวณไดจากสูตร 13.00 – 16.00 น. หน้า |59 โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต กิโลกรัม และ 4 กิโลกรัม ตามลําดับ คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา กิโลกรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 กิโลกรัม แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนชาย และนักเรียนหญิงตามลําดับ แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของ
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 จะได แสดงวา ดังนั้น น้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เทากับ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2 2 2 1 1 2 2 1 2 N N N N       2 2 2 2 (22)(4 ) 18 5 40    2 2 1000 352 18    2 2 36   2 6   ดังนั้น น้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เทากับ 2 2 6 50     13.00 – 16.00 น. หน้า |60 6 0.12 50   
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 31. กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ... และ 1 2 3 n b , b , b , ...,b , ... ถา 1 a 1  และ 1 b 7  1. 3 70 3. 2 77 5. 6 77 ขอ 31 ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ... โดยมี n n 1 3 a 2     โดยสูตรผลบวกอนันตของอนุกรมเรขาคณิต จะได แทน 1 a 1  ; โดยพจนที่ n ของอนกุรมเรขาคณิต คือ กําหนดให 1 2 3 n b , b , b , ...,b , ... โดยมี n n 1 b 5     โดยสูตรผลบวกอนันตของอนุกรมเรขาคณิต จะได แทน 1 b 7  ; ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n n 1 3 a 2     1 2 3 n b , b , b , ...,b , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n n 1 b 5     b 7  แลว n n 1 n a b    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 7 70 4. 5 77 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยสูตรผลบวกอนันตของอนุกรมเรขาคณิต จะได 1 a 3 1 r 2   1 3 1 r 2   2 3 3r   1 r 3  ของอนกุรมเรขาคณิต คือ n 1 n 1 a a r   จะได n 1 n 1 n 1 1 a 1( ) ( ) 3 3   1 2 3 n b , b , b , ...,b , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยสูตรผลบวกอนันตของอนุกรมเรขาคณิต จะได 1 b 5 1 r   7 5 1 r   13.00 – 16.00 น. หน้า |61 3 2  n 1 n 1 1 1 a 1( ) ( ) 3 3    
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 โดยพจนที่ n ของอนกุรมเรขาคณิต คือ ดังนั้น n 1 n n 1 n 1 ( ) a 3 b 2 7 3 2 7 6 7( ) 5          จะได n n 1 n 1 n 1 n a 1 5 1 5 1 1 1 6 6 b 7 6 7 6 7 5 7 11 77                  ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 7 5 5r   2 r 5   ของอนกุรมเรขาคณิต คือ n 1 n 1 n b r   จะได n 2 b 7( ) 5   n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 5 1 5 ( ) b 2 7 3 2 7 6 7( )                      n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 5 1 5 1 1 1 6 6 b 7 6 7 6 7 5 7 11 77 1 ( ) 6                                              13.00 – 16.00 น. หน้า |62 n 1 2 b 7( ) 5    1 5 1 5 1 1 1 6 6 b 7 6 7 6 7 5 7 11 77 1 ( ) 6                     
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 32. ให 3 a b A 0 a 1 1 1 0             เมื่อ ถา 21 C (A) 2  และ detA 2 1. – 3 3. 2 5. 3 ขอ 32 ตอบ 5. แนวคิด ให 3 a b A 0 a 1 1 1 0             เมื่อ โดยที่ 21 C (A) 2  จะได เนื่องจาก detA 2   จะได 3(a)(0) a(1)( 1) b(1)(0) ( 1)ab a(0)(0) 3(1)(1)          แทน b = 2 ; ดังนั้น a + b = 1 + 2 = 3 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00           เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง detA 2   แลว a b  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 5 3 4. 7 3           เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง จะได 2 1 a b ( 1) 2 1 0      a(0) b(1) 2    (0 b) 2    b 2  detA 2 จะได 3 a b 0 a 1 2 1 1 0       3(a)(0) a(1)( 1) b(1)(0) ( 1)ab a(0)(0) 3(1)(1) 2          a ( ab 3) 2       a ( 2a 3) 2       a 3 2    a 1  a + b = 1 + 2 = 3 13.00 – 16.00 น. หน้า |63 ( 1) 2 a(0) b(1) 2 (0 b) 2 b 2 0 a 1 2   2          a ( ab 3) 2       a ( 2a 3) 2       a 3 2    a 1  
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 33. กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ ถา f(0) 0  แลว f(2) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 3. 2 5. 3 ขอ 33 ตอบ 1. แนวคิด กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ x ; x 1 f (x) x 1 ; x 1          สําหรับ x < 1 จะได โดยที่ f(0) = 0 ; ดังนั้นสําหรับ x < 1 จะได สําหรับ x > 1 จะได ดังนั้น 2 2 x 2 f(x) x x c ; x 1 2            ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ x ; x 1 f (x) x 1 ; x 1          f(2) เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1.5 4. 2.5 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง x ; x 1 x 1 ; x 1    f(x) xdx   2 1 x f(x) c 2   2 1 0 0 c 2   1 c 0  จะได 2 x f(x) 2  f(x) x 1 dx    2 2 x f(x) x c 2    2 2 x ; x 1 2 x c ; x 1     13.00 – 16.00 น. หน้า |64 x ; x 1 x 1 ; x 1   
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 โดยที่ f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แสดงวา f ตอเนื่องที่ x = 1 ดังนั้น ดังนั้น 2 2 x 2 f(x) x x 1 ; x 1 2            ทําให 2 2 f(2) 2 1 1 2     ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง x = 1 ดวย ทําให x 1 lim f(x)  หาคาได x 1 x 1 lim f(x) lim f(x)      2 2 2 x 1 x 1 x x lim lim x c 2 2                      2 2 2 1 1 1 c 2 2    2 c 1  2 x ; x 1 2 x 1 ; x 1     โดยที่ f(1) = x 1 1 lim f(x) 2   f(2) 2 1 1     13.00 – 16.00 น. หน้า |65          1 2  
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 34. ให f เปนฟงกชัน นิยามโดย เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ถาฟงกชัน f ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว 1. 25 3. 9 5. 1 6 ขอ 34 ตอบ 1. แนวคิด ให f เปนฟงกชัน นิยามโดย เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ฟงกชัน f ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แสดงวา จาก f ตอเนื่องที่ x = 1 จะได ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนฟงกชัน นิยามโดย 2 2 2 x ; x 0 x x ax (b a)x b f(x) ; 0 x 1 x 1 (x b) ; x 1                     เปนจํานวนจริง ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว f(a b)  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 16 4. 4 2 2 2 x ; x 0 x x ax (b a)x b f(x) ; 0 x 1 x 1 (x b) ; x 1                     เปนจํานวนจริง ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แสดงวา f ตอเนื่องที่ x = 0 และ x = 1 จะได x 1 f(1) lim f(x)   2 2 x 1 ax (b a)x b (1 b) lim x 1         2 x 1 (ax b)(x 1) (1 b) lim x 1        2 x 1 (1 b) lim (ax b)      2 (1 b) a b    13.00 – 16.00 น. หน้า |66 ; x 0 f(x) ; 0 x 1 (x b) ; x 1    เทากับขอใดตอไปนี้ ; x 0 f(x) ; 0 x 1 (x b) ; x 1    x = 1 ดวย ax (b a)x b    ...(1)
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 จาก f ตอเนื่องที่ x = 0 จะได 2 a(0 ) (b a)(0) b x    แทน b = 1 ใน (1) ; ดังนั้น 2 x x x 3x 2x 1 f(x) ; 0 x 1 x 1 (x 1) ; x 1                   จะได a + b = 3 + 1 = 4 ดังนั้น f(a b) f(4) (4 1) 25      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 จะได x 0 f(0) lim f(x)   2 x 0 a(0 ) (b a)(0) b x lim 0 1 x x         x 0 x b lim x(1 x)     x 0 1 b lim 1 x     1 b 1 0   b 1  2 (1 1) a 1    4 a 1   a 3  2 2 x ; x 0 x x 3x 2x 1 f(x) ; 0 x 1 x 1 (x 1) ; x 1           a + b = 3 + 1 = 4 2 f(a b) f(4) (4 1) 25      13.00 – 16.00 น. หน้า |67 ...(2) 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 35. โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง มีขอมูล ดังนี้ เดือน จํานวนสินคาที่ผลิต (x) (หนวยเปนชิ้น) ยอดขายสินคา(y) (หนวยเปนบาท) จากการสํารวจพบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น ถาจํานวนสินคาผลิต 10,000 1. 600,000 บาท 3. 660,000 บาท 5. 760,000 บาท ขอ 35 ตอบ 2 แนวคิด โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง มีขอมูล ดังนี้ เดือน จํานวนสินคาที่ผลิต (x) (หนวยเปนชิ้น) ยอดขายสินคา(y) (หนวยเปนบาท) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง ม.ค. ก.พ. มี.ค. ... ) 1 x 2 x 3 x ... 1 y 2 y 3 y ... คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ 6,000 ชิ้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ 380,000 บาท ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น 1,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 10,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 620,000 บาท 4. 720,000 บาท โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง ม.ค. ก.พ. มี.ค. ... ) 1 x 2 x 3 x ... 1 y 2 y 3 y ... 13.00 – 16.00 น. หน้า |68 โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง พ.ย. ธ.ค. 11 x 12 x 11 y 12 y ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 60,000 บาท ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้ โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง พ.ย. ธ.ค. 11 x 12 x 11 y 12 y
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 จากการสํารวจ 12 เดือนพบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ แสดงวา 12 i i 1 x 6,000 12    คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ แสดงวา 12 i i 1 y 380,000 12    ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง แสดงวาสมการทํานายคือ โดยมีสมการปกติสมการหนึ่งคือ จะได นํา 12 หารตลอด ; โจทยกําหนดวาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น นั่นคือ ถาจํานวนสินคาที่ผลิตเทากับ เมื่อนําไปแทนใน (1) จะได นํา (3) – (1) ; แทน m = 60 ใน (2) ; ดังนั้นสมการทํานายคือ y 60x 20,000 และเมื่อผลิตสินคาจํานวน 10,000 จะไดยอดขายสินคาโดยประมาณ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เดือนพบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ 6,000 ชิ้น 6,000 12 i i 1 x 12 6,000      คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ 380,000 บาท 380,000 12 i i 1 y 12 380,000      ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง y mx c   โดยมีสมการปกติสมการหนึ่งคือ 12 12 12 i i i 1 i 1 i 1 y m x c         12 380,000 m(12 6,000) 12c     380,000 6,000m c   โจทยกําหนดวาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น 1,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น ถาจํานวนสินคาที่ผลิตเทากับ x + 1,000 ชิ้น ยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับ y 60,000 m(x 1,000) c     y 60,000 mx 1,000m c     60,000 1,000m  m 60  380,000 6,000(60) c   c 20,000  y 60x 20,000   10,000 ชิ้น จะไดยอดขายสินคาโดยประมาณ 60(10,000) 20,000 620,000   บาท 13.00 – 16.00 น. หน้า |69 ...(1) 12 380,000 m(12 6,000) 12c ...(2) ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 60,000 บาท ชิ้น ยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับ y + 60,000 บาท ...(3) 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 ตอนที่ 2 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข จํานวน 10ขอ (ขอ 36 36. ให A เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต ขอ 36 ตอบ 0.5 แนวคิด ให A เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ จะได สมบัติ a log b a b ;  ดังนั้น หาคา log ทั้งสองขาง ; log x 3log2 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข 36 – 45) ขอละ 9 คะแนน เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ x log x log 8 2 log 2 (2x) 4 ( 2)          แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับเทาใด เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ log x x log x log8 2 log 2 (2x) 4 ( 2)          2 1 ( log x) x log x (log 8 ) 2 2 log 2 (2x) 2 2          2 log (x ) x log x log 64 2 log 2 (2x) 2 2          1 x log x log64 2 2 log 2 (2x) 2 x          1 2 x log x log 64 x 2 (2x) 2 2    x log x log 64 x 2 (2x) 2 2    log x log 64 (2x) 2 0   log x log 64 (2x) 2     log x log 64 log (2x) log 2  log x log(2x) log64log2    6 log x log x log2 log2 log2   2 2 (log x) (log2)(log x) 6(log2)   2 2 (log x) (log2)(log x) 6(log2) 0       log x 3 log2 log x 2log2 0    log x 3log2   หรือ log x 2log2  13.00 – 16.00 น. หน้า |70 2 log x log 2 (2x) 4 ( 2)          2 log x log 2 (2x) 4 ( 2) 2 1 ( log x) 2 log 2 (2x) 2 2 1 2 2 log (x ) log 2 (2x) 2 2 1 2 log 2 (2x) 2 x 1 2 x log x log 64 x log x log 64  log x log 64 log (2x) log 2 log x log(2x) log64log2 6 log x log x log2 log2 log2 2 2 (log x) (log2)(log x) 6(log2) log x 2log2 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 log x log2 เนื่องจากคา 3 2 และ 2 2 ดังนั้นเซตคําตอบของสมการคือ ทําใหผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 3 log x log2  หรือ log x log2  3 x 2  หรือ 2 x 2  2 2 เปนจํานวนบวกและเมื่อแทนในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง ดังนั้นเซตคําตอบของสมการคือ A =   3 2 2 , 2  ทําใหผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับ 3 2 1 1 2 2 2 0.5 2       13.00 – 16.00 น. หน้า |71 2 log x log2  2 x 2  เปนจํานวนบวกและเมื่อแทนในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง 2 2 2 0.5 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 37. ให 5 sec A 3   และ sin A 0 คาของ 5sinA cotA 1 cotAcosecA   ขอ 37 ตอบ 52 แนวคิด ให 5 sec A 3   และ sin A 0 เนื่องจาก sec A < 0 แต จาก 5 sec A 3   จะไดสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป จากรูปจะได sin( A)    cot( A)    ดังนั้น 5sin A cotA 13 16 1 cotA cosec A 3 5 15 4 1   x 4  ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 sin A 0  เมื่อ 0 A 2    5sinA cotA 1 cotAcosecA เทากับเทาใด sin A 0  เมื่อ 0 A 2    แต sin A > 0 ทําให A 2     จะไดสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป โดยทฤษฎีบทปทาโกรัส 4 sin( A) 5    4 sin A 5   ทําให cosecA 3 cot( A) 4    3 cotA 4    3 cotA 4    4 3 3 5( ) ( ) 4 5sin A cotA 13 16 5 4 4 52 1 cotA cosec A 3 5 15 4 1 1 ( )( ) 1 4 4 16            5 3 A 13.00 – 16.00 น. หน้า |72 โดยทฤษฎีบทปทาโกรัส 2 2 2 x 3 5   2 x 16  x 4  1 5 cosecA sin A 4   3 4    52 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 38. กําหนดให x , y , z และ x 2 1 k   , y x 2 2 2   ถา x , y , z เปนลําดับเลขคณิต แลว ขอ 38 ตอบ 6 แนวคิด กําหนดให x , y , z และ x 2 1 k   , y x 2 2 2   จาก x 2 1 k   จะได y x 2 2 2 (1 k) 2 3 k        z y 2 2 4 (k 3) 4 k 7        โดยโจทยกําหนด x , y , z ดังนั้น จะได แทน k = 1 ใน (1), (2) และ x 2 1 1 2 x 1      y 2 3 1 4 y 2      z 2 1 7 8 z 3      ดังนั้น x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 และ k เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ y x 2 2 2   และ z y 2 2 4   เปนลําดับเลขคณิต แลว x y z   เทากับเทาใด และ k เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ y x 2 2 2   และ z y 2 2 4   2 1 k   ...(1) y x 2 2 2 (1 k) 2 3 k        ...(2) z y 2 2 4 (k 3) 4 k 7        ...(3) x , y , z เปนลําดับเลขคณิต แสดงวา x y y 2 , 2 , 2 เปนลําดับเรขาคณิต y z x y 2 2 2 2  3 k k 7 1 k k 3      2 (3 k) (1 k)(k 7)     2 2 9 6k k 7 8k k      k 1  และ (3) จะได 2 1 1 2 x 1      2 3 1 4 y 2      2 1 7 8 z 3      x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 13.00 – 16.00 น. หน้า |73 เปนลําดับเรขาคณิต 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 39. ให 2 f(x) 5 x   สําหรับทุกจํานวนจริง ถา f(x 1) ; x R g(x) 1 ; x R         คาของ (f g)(6) (g f)(3)    ขอ 39 ตอบ 8 แนวคิด ให 2 f(x) 5 x   สําหรับทุกจํานวนจริง เนื่องจาก 2 x 0   ทําให นั่นคือ เรนจของ f คือ f R ( ,5] โดยที่ g(x)  จะได g(x)  จะได g(6) = 1 (f g)(6) f(g(6)) f(1) 5 1 4       f(3) = 5 3 4    (g f)(3) g(f(3)) g( 4) 5 ( 4 1) 4           จาก (1) และ (2) จะได (f g)(6) (g f)(3) 4 ( 4) 8 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 สําหรับทุกจํานวนจริง x และให f R เปนเรนจของ f f f f(x 1) ; x R 1 ; x R    (f g)(6) (g f)(3)   เทากับเทาใด สําหรับทุกจํานวนจริง x และให f R เปนเรนจของ f ทําให 2 5 x 5   แสดงวา f(x) 5  f R ( ,5]   f f f(x 1) ; x R g(x) 1 ; x R          2 5 (x 1) ; x 5 g(x) 1 ; x 5           2 (f g)(6) f(g(6)) f(1) 5 1 4      2 5 3 4    2 (g f)(3) g(f(3)) g( 4) 5 ( 4 1) 4          (f g)(6) (g f)(3) 4 ( 4) 8        13.00 – 16.00 น. หน้า |74 ...(1) ...(2) 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 40. กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... โดยที่ 1 3 a a 7   และ คาของ 1 2 3 50 a a a ... a     ขอ 40 ตอบ 6,050 แนวคิด กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... ให d เปนผลตางรวมของลําดับเลขคณิต โดยที่ 1 3 a a 7   จะได โดยที่ นํา 2 หารตลอด ; แทน 2 2a 7  ; จาก 2 2a 7  จะได a จากสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต จะได 1 2 3 50 50 a a a ... a S      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... เปนลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง และ 2 4 6 8 a a a a 74     1 2 3 50 a a a ... a     เทากับเทาใด 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... เปนลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง เปนผลตางรวมของลําดับเลขคณิต จะได 2 2 (a d) (a d) 7     2 2a 7  2 4 6 8 a a a a 74     2 2 2 2 a (a 2d) (a 4d) (a 6d) 74        2 4a 12d 74   2 2a 6d 37   7 6d 37   d 5  2 7 a 2  ทําให 1 2 7 3 a a d 5 2 2       พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต   n 1 n S 2a (n 1)d 2    1 2 3 50 50 a a a ... a S        1 50 2a (50 1)d 2    50 3 2( ) (50 1)5 2 2             25 3 245    6,050  13.00 – 16.00 น. หน้า |75 (a d) (a d) 7 2a 7 a a a a 74 a (a 2d) (a 4d) (a 6d) 74        4a 12d 74   2a 6d 37   7 6d 37   d 5  7 3 2 2       S 2a (n 1)d 
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 41. ให c เปนจํานวนจริง และให ถาคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับ ขอ 41 ตอบ 33 แนวคิด ให c เปนจํานวนจริง และให 3 2 f(x) x 12x 45x c      จะได 2 f (x) 3x 24x 45      สมมติให f (x) 0   จะได จะไดคาวิกฤติไดแก –3 , –5 เนื่องจาก f (x) 6x 24     และ f ( 3) 6( 3) 24 6 0          f ( 5) 6( 5) 24 6 0         โจทยกําหนดคาสูงสุดสัมพัทธของ แสดงวา f(–3) = 53 ดังนั้น แทน c = –1 จะได f(x) x 12x 45x 1      ดังนั้น 3 2 f( 1) ( 1) 12( 1) 45( 1) 1 1 12 45 1 33               ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนจํานวนจริง และให 3 2 f(x) x 12x 45x c      สําหรับทุกจํานวนจริง เทากับ 53 แลวคาของ f(c) เทากับเทาใด 3 2 f(x) x 12x 45x c      สําหรับทุกจํานวนจริง x f (x) 3x 24x 45     2 3x 24x 45 0     2 3(x 8x 15) 0     3(x 3)(x 5) 0     x 3 , 5    5 f (x) 6x 24    f ( 3) 6( 3) 24 6 0         แสดงวา f( 3)  เปนคาสูงสุดสัมพัทธ f ( 5) 6( 5) 24 6 0        แสดงวา f(–5) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ โจทยกําหนดคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับ 53 ดังนั้น 3 2 ( 3) 12( 3) 45( 3) c 53         27 108 135 c 53     54 c 53   c 1   3 2 f(x) x 12x 45x 1      3 2 f( 1) ( 1) 12( 1) 45( 1) 1 1 12 45 1 33               13.00 – 16.00 น. หน้า |76 สําหรับทุกจํานวนจริง x x 3 , 5    เปนคาสูงสุดสัมพัทธ เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ ( 3) 12( 3) 45( 3) c 53         27 108 135 c 53     54 c 53   c 1   f( 1) ( 1) 12( 1) 45( 1) 1 1 12 45 1 33               
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 42. กําหนดให 1 F และ 2 F เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     ถา a, b และ c เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม มี 1 2 F F เปนเสนผานศูนยกลาง ขอ 42 ตอบ 36 แนวคิด กําหนดให 1 F และ 2 F เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน จัดสมการใหมดังนี้ นํา 20 หารตลอด ; ดังนั้นกราฟไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางขนานแกน มีจุดศูนยกลางคือ (1, –2) มีคา 2 a 4  และ 2 b 5  โดยความสัมพันธของ a, b, c ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม 2 2 x y ax by c 0      เปนเสนผานศูนยกลาง แลวคาของ 2 2 2 a b c   เทากับเทาใด เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     2 2 5(x 2x) 4(y 4y) 31     2 2 5(x 2x 1) 4(y 4y 4) 31 5 16         2 2 5(x 1) 4(y 2) 20     2 2 (x 1) (y 2) 1 4 5     ดังนั้นกราฟไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางขนานแกน X 2 b 5  a, b, c ของไฮเพอรโบลา คือ 2 2 2 c a b   2 c 4 5   2 c 9  c 3  X Y (1, 2)     1 F 2 F 13.00 – 16.00 น. หน้า |77 x y ax by c 0      5(x 2x) 4(y 4y) 31 5(x 2x 1) 4(y 4y 4) 31 5 16         5(x 1) 4(y 2) 20 2 2 2
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 โดยที่ 1 2 F F เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม โดยที่ 1 2 F F 6  จะไดวงกลมนี้มีรัศมีเทากับ และมีจุดศูนยกลางเปนจุดเดียวกันกับจุดศูนยกลางของไฮเพอรโบลา ซึ่งคือจุด แสดงวาสมการวงกลมคือ แสดงวาวงกลมที่ 2 2 x y ax by c 0      ดังนั้น a = –2 , b = 4 , c = ทําให 2 2 2 2 2 2 a b c ( 2) 4 ( 4) 4 16 16 36            ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม 2 2 x y ax by c 0      วงกลมนี้มีรัศมีเทากับ 3 และมีจุดศูนยกลางเปนจุดเดียวกันกับจุดศูนยกลางของไฮเพอรโบลา ซึ่งคือจุด (1, 2 2 2 (x h) (y k) r     2 2 2 (x 1) (y 2) 3     2 2 x 2x 1 y 4y 4 9       2 2 x y 2x 4y 4 0      2 2 x y ax by c 0      มีสมการคือ 2 2 x y 2x 4y 4 0      2 , b = 4 , c = –4 2 2 2 2 2 2 a b c ( 2) 4 ( 4) 4 16 16 36            13.00 – 16.00 น. หน้า |78 x y ax by c 0      (1, –2) x y 2x 4y 4 0      
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 43. กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ และเมทริกซผูกพันของ A คือ คาของ   det x adj(A) เทากับเทาใด ขอ 43 ตอบ 1,323 แนวคิด กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ และเมทริกซผูกพันของ A คือ จะไดวา det adj(A) 2 x 2 2 x det adj(A) det adj(A) โดยสมบัติ   det adj(A) det(A)  จากสมการ (1) จะได แทน det(A) 7   ; โดยสมบัติ n det(kA) k det(A)  ดังนั้น   det x adj(A) det 3adj(A) 3 det(A) 27( 7) 1,323      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเมทริกซที่มีมิติ 3 3  โดยที่ det(A) 7   คือ 4 1 x adj(A) 2 x 2 1 5 1                 เมื่อ x เปนจํานวนจริงบวก เทากับเทาใด เปนเมทริกซที่มีมิติ 3 3  โดยที่ det(A) 7   คือ 4 1 x adj(A) 2 x 2 1 5 1                   4 1 x 4 1 det adj(A) 2 x 2 2 x 1 5 1 1 5             det adj(A)  (–4x + 2 + 10x) – ( 2 x – 40 + 2)   det adj(A)  2 x 6x 40      n 1 det adj(A) det(A)   เมื่อ A เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด   3 1 2 det(A) x 6x 40      3 1 2 ( 7) x 6x 40       2 x 6x 9 0    2 (x 3) 0   x 3  n det(kA) k det(A)  เมื่อ A เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด n n      3 1 3 2 det x adj(A) det 3adj(A) 3 det(A) 27( 7) 1,323       13.00 – 16.00 น. หน้า |79 เปนจํานวนจริงบวก 40 + 2) ...(1) เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด n n  det(A) x 6x 40     ( 7) x 6x 40      n n  3 2 det x adj(A) det 3adj(A) 3 det(A) 27( 7) 1,323      
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 44. กําหนดให {1, 2, 3, ...}   f(1,m) 1  สําหรับ f(n,m) 0  สําหรับ f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       คาของ f(2,4) เทากับเทาใด ขอ 44 ตอบ 4 แนวคิด กําหนดให {1, 2, 3, ...}   f(1,m) 1  สําหรับ f(n,m) 0  สําหรับ f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       จะได f(2, 2) f(2, 3) f(3, 3) ดังนั้น f(2, 4) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 {1, 2, 3, ...} สําหรับ m   สําหรับ n,m   โดยที่ n m  f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       สําหรับ n,m  เทากับเทาใด {1, 2, 3, ...} สําหรับ m   สําหรับ n,m   โดยที่ n m  f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       สําหรับ n,m  f(2, 2) = f(2, 1+1) = f(1, 1) + f(2, 1) + f(3, 1) = 1 + 0 + 0 = 1 f(2, 3) = f(2, 2+1) = f(1, 2) + f(2, 2) + f(3, 2) = 1 + 1 + 0 = 2 f(3, 3) = f(3, 2+1) = f(2, 2) + f(3, 2) + f(4, 2) = 1 + 0 + 0 = 1 f(2, 4) = f(2, 3+1) = f(1, 3) + f(2, 3) + f(3, 3) = 1 + 2 + 1 = 4 13.00 – 16.00 น. หน้า |80 n,m   และ n 2  n,m   และ n 2  
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 45. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง z พื้นที่ใตเสนโคง คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ นาย ก. สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ คะแนนสอบของนาย ข. แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เท ขอ 45 ตอบ 54 แนวคิด คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ นั่นคือ 20   และให  แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนหองนี้ นาย ก. และนาย ข. เปนนักเรียนในหองนี้ ให 1 2 x , x แทนคะแนนของ นาย ก นาย ก. สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข ดังนั้น โดยที่คะแนนสอบของนาย ก จากสูตรคามาตรฐาน x z  แทน 20   ; แทน 1 2 x 2x  ; ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z ดังตาราง 0.7 1.3 2.42 0.2580 0.4032 0.4922 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 20 คะแนน นาย ก. และนาย ข. เปนนักเรียนในหองนี้ สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข. และคะแนนสอบของนาย ก คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1.3 ถามีนักเรียนรอยละ 24.2 ที่สอบไดคะแนนนอยกวา แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับเทาใด คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 20 คะแนน แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนหองนี้ เปนนักเรียนในหองนี้ แทนคะแนนของ นาย ก. และ นาย ข. สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข. 1 2 x 2x  คะแนนสอบของนาย ก. คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1.3 x z     จะได 1 x 1.3     1 x 1.3 20    1 x 26    2 2x 26    13.00 – 16.00 น. หน้า |81 2.42 0.4922 เปนนักเรียนในหองนี้ และคะแนนสอบของนาย ก. ที่สอบไดคะแนนนอยกวา ากับเทาใด 1 2 ...(1) 1.3 1.3 x 26 2x 26 ...(2)
รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่ 22 กุมภาพันธ 2563 โดยที่มีนักเรียนรอยละ 24.2 จะลงตําแหนงของคะแนนนาย ข แสดงวาพื้นที่ใตเสนโคงปกติตั้งแต ตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง จะไดวาคะแนนมาตรฐานของคะแนนสอบของ นาย ข จากสูตรคามาตรฐาน x z  แทน 20   ; นํา 2 คูณตลอด ; นํา (2) – (3) ; ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับ 24.2% 50% 24.2% 25.8%   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 24.2 ที่สอบไดคะแนนนอยกวาคะแนนสอบของนาย ข. จะลงตําแหนงของคะแนนนาย ข. บนเสนจํานวนของเสนโคงปกติ ดังนี้ แสดงวาพื้นที่ใตเสนโคงปกติตั้งแต 2 x ถึง  เทากับ 25.8 0.2580 100  ตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z จะไดวาคะแนนมาตรฐานของคะแนนสอบของ นาย ข. เทากับ –0.7 x z     จะได 2 x 0.7      2 x 0.7 20     2 x 14     2 2x 2 28     2 2 (2x ) (2x 2 ) 26 ( 28)         54   ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับ 54 คะแนน   2 x 50% 24.2% 25.8%   13.00 – 16.00 น. หน้า |82 0.7 0.7 x 14 2x 2 28     ...(3) (2x ) (2x 2 ) 26 ( 28)         54 

More Related Content

PDF
ชุดที่ 6 การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอัตราส่วน
byพิทักษ์ ทวี
 
PDF
Key of sheet 8 56x
byPracha Wongsrida
 
PDF
การเขียนเซต
byAon Narinchoti
 
PDF
ระบบสมการกำลังสอง
byRitthinarongron School
 
PDF
1 ลำดับเลขคณิต
byToongneung SP
 
PDF
Hormone
byThanyamon Chat.
 
PDF
การกลั่นอย่างง่าย
byศศิกัญญา ดอนดีไพร
 
PPT
ค่าคงที่สมดุล (K)
byManchai
 
ชุดที่ 6 การแก้โจทย์ปัญหาเกี่ยวกับอัตราส่วน
byพิทักษ์ ทวี
 
Key of sheet 8 56x
byPracha Wongsrida
 
การเขียนเซต
byAon Narinchoti
 
ระบบสมการกำลังสอง
byRitthinarongron School
 
1 ลำดับเลขคณิต
byToongneung SP
 
Hormone
byThanyamon Chat.
 
การกลั่นอย่างง่าย
byศศิกัญญา ดอนดีไพร
 
ค่าคงที่สมดุล (K)
byManchai
 

What's hot

PDF
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
bysawed kodnara
 
PDF
เอกสารประกอบ ทศนิยม
bywarijung2012
 
PDF
โจทย์ปัญหาการบวกลบระคนป.1
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
เส้นขนาน ม.2
byKruGift Girlz
 
PDF
ข้อตกลงในการเรียน
byManit Wongmool
 
PDF
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
byJirathorn Buenglee
 
PDF
ความคล้าย
byRitthinarongron School
 
PDF
เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2
byนายเค ครูกาย
 
PDF
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
2 hormone p_lan
byWichai Likitponrak
 
PDF
ช่วงและการแก้อสมการ
byAon Narinchoti
 
PDF
ไตรภูมิพระร่วง
byPonpirun Homsuwan
 
PDF
G6 Maths Circle
byLiftzaNg Kab
 
PDF
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
byทับทิม เจริญตา
 
PDF
หน่วย 2
byศิวากรณ์ บุญนิล
 
DOCX
Doc2
byAkkapat Auikeitsakul
 
PDF
แนวข้อสอบครูผู้ช่วยเอกพลศึกษา
byประพันธ์ เวารัมย์
 
PDF
การรับรู้และการตอบสนอง
bysukanya petin
 
PDF
การรับรู้และตอบสนอง
byThitaree Samphao
 
PDF
การเขียนกราฟของอสมการ
byทับทิม เจริญตา
 
แนวข้อสอบเข้า ม.4 วิชาคณิตศาสตร์โรงเรียนมหิดลฯและโรงเรียนจุฬาภรณ์ฯ
bysawed kodnara
 
เอกสารประกอบ ทศนิยม
bywarijung2012
 
โจทย์ปัญหาการบวกลบระคนป.1
byทับทิม เจริญตา
 
เส้นขนาน ม.2
byKruGift Girlz
 
ข้อตกลงในการเรียน
byManit Wongmool
 
แบบฝึกหัดเรื่องสมการเชิงเส้นตัวแปรเดียว
byJirathorn Buenglee
 
ความคล้าย
byRitthinarongron School
 
เอกสารประกอบการเรียน พหุนาม ม.2
byนายเค ครูกาย
 
ข้อสอบตรรกศาตร์ม.4
byทับทิม เจริญตา
 
2 hormone p_lan
byWichai Likitponrak
 
ช่วงและการแก้อสมการ
byAon Narinchoti
 
ไตรภูมิพระร่วง
byPonpirun Homsuwan
 
G6 Maths Circle
byLiftzaNg Kab
 
แบบทดสอบ เรื่องพหุนาม
byทับทิม เจริญตา
 
หน่วย 2
byศิวากรณ์ บุญนิล
 
Doc2
byAkkapat Auikeitsakul
 
แนวข้อสอบครูผู้ช่วยเอกพลศึกษา
byประพันธ์ เวารัมย์
 
การรับรู้และการตอบสนอง
bysukanya petin
 
การรับรู้และตอบสนอง
byThitaree Samphao
 
การเขียนกราฟของอสมการ
byทับทิม เจริญตา
 

Similar to Pat1 ก.พ. 63

PDF
Pat1 ก.พ. 61
by9GATPAT1
 
PDF
Pat1 53
byA-ae Rcna
 
PDF
ข้อสอบ PAT 1 ปี 53
byJamescoolboy
 
PDF
Pat1 1 53
byChadaporn Sornjai
 
PDF
Pat1
byThawankoRn Yenglam
 
PDF
Pat1
bypormie
 
PDF
Pat1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
byChayanis
 
PDF
PAT1
bySiriphak Mankhong
 
PDF
Pat1
bywonderjan_wow
 
PDF
Pat1 ก.พ. 62
by9GATPAT1
 
PDF
Pat1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
byTheyok Tanya
 
PDF
Pat1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
bySuwaraporn Chaiyajina
 
PDF
ข้อสอบ PAT1 53 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
bySuwicha Tapiaseub
 
PDF
Pat1 53
byDearPR
 
PDF
Pat1 53
byjaikwangnoey60628
 
PDF
Pat1153
byPornthip Nabnain
 
PDF
Pat1 (1)
byJaturaphun
 
PDF
Pat1 (1)
byJaturaphun
 
PDF
Pat1 เธ„เธงเธฒเธกเธ–เธ™เธฑเธ”เธ—เธฒเธ‡เธ„เธ“เธดเธ•เธจเธฒเธชเธ•เธฃเนŒ
byMajolica-g
 
PDF
Pat1
byKNuengnit Swn
 
Pat1 ก.พ. 61
by9GATPAT1
 
Pat1 53
byA-ae Rcna
 
ข้อสอบ PAT 1 ปี 53
byJamescoolboy
 
Pat1 1 53
byChadaporn Sornjai
 
Pat1
byThawankoRn Yenglam
 
Pat1
bypormie
 
Pat1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
byChayanis
 
PAT1
bySiriphak Mankhong
 
Pat1
bywonderjan_wow
 
Pat1 ก.พ. 62
by9GATPAT1
 
Pat1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
byTheyok Tanya
 
Pat1 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
bySuwaraporn Chaiyajina
 
ข้อสอบ PAT1 53 ความถนัดทางคณิตศาสตร์
bySuwicha Tapiaseub
 
Pat1 53
byDearPR
 
Pat1 53
byjaikwangnoey60628
 
Pat1153
byPornthip Nabnain
 
Pat1 (1)
byJaturaphun
 
Pat1 (1)
byJaturaphun
 
Pat1 เธ„เธงเธฒเธกเธ–เธ™เธฑเธ”เธ—เธฒเธ‡เธ„เธ“เธดเธ•เธจเธฒเธชเธ•เธฃเนŒ
byMajolica-g
 
Pat1
byKNuengnit Swn
 

More from 9GATPAT1

PDF
Pat1 มี.ค. 64
by9GATPAT1
 
PDF
Pat2 ก.พ. 63
by9GATPAT1
 
PDF
Pat2 ก.พ. 62
by9GATPAT1
 
PDF
กสพท. คณิตศาสตร์ 1 2563
by9GATPAT1
 
PDF
Pat2 พ.ย. 58 physics
by9GATPAT1
 
PDF
Pat2 มี.ค. 58 physics
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net ภาษาไทย ม.6 2562
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net ภาษาอังกฤษ ม.6 2561
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net ภาษาอังกฤษ ม.6 2562
by9GATPAT1
 
PDF
Pat3 ก.พ. 62
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net วิทยาศาสตร์ ม.6 2561
by9GATPAT1
 
PDF
Pat3 ก.พ. 63
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net คณิตศาสตร์ ม.6 2561
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net สังคม ม.6 2563
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net คณิตศาสตร์ ม.6 2562
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net ภาษาไทย ม.6 2561
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net วิทยาศาสตร์ ม.6 2562
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net สังคม ม.6 2562
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net สังคม ม.6 2561
by9GATPAT1
 
PDF
O-Net ภาษาไทย ม.6 2563
by9GATPAT1
 
Pat1 มี.ค. 64
by9GATPAT1
 
Pat2 ก.พ. 63
by9GATPAT1
 
Pat2 ก.พ. 62
by9GATPAT1
 
กสพท. คณิตศาสตร์ 1 2563
by9GATPAT1
 
Pat2 พ.ย. 58 physics
by9GATPAT1
 
Pat2 มี.ค. 58 physics
by9GATPAT1
 
O-Net ภาษาไทย ม.6 2562
by9GATPAT1
 
O-Net ภาษาอังกฤษ ม.6 2561
by9GATPAT1
 
O-Net ภาษาอังกฤษ ม.6 2562
by9GATPAT1
 
Pat3 ก.พ. 62
by9GATPAT1
 
O-Net วิทยาศาสตร์ ม.6 2561
by9GATPAT1
 
Pat3 ก.พ. 63
by9GATPAT1
 
O-Net คณิตศาสตร์ ม.6 2561
by9GATPAT1
 
O-Net สังคม ม.6 2563
by9GATPAT1
 
O-Net คณิตศาสตร์ ม.6 2562
by9GATPAT1
 
O-Net ภาษาไทย ม.6 2561
by9GATPAT1
 
O-Net วิทยาศาสตร์ ม.6 2562
by9GATPAT1
 
O-Net สังคม ม.6 2562
by9GATPAT1
 
O-Net สังคม ม.6 2561
by9GATPAT1
 
O-Net ภาษาไทย ม.6 2563
by9GATPAT1
 

Pat1 ก.พ. 63

  • 1.
    ความถนัดวิชาคณิตศาสตร สอบวันที่ โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ อําเภอสามพราน จังหวัดนครปฐม ขอสอบรหัสวิชา71 ความถนัดวิชาคณิตศาสตร PAT1 ประจําปการศึกษา 2562 สอบวันที่ 22 กุมภาพันธ 2563 เวลา 13.00 – 16.00 น. อาจารยรังสรรค ทองสุกนอก โรงเรียนนาคประสิทธิ์ มูลนิธิวัดบางชางเหนือ อําเภอสามพราน จังหวัดนครปฐม facebook.com/GTRmath
  • 2.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ขอสอบ วันที่ 22 ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก จํานวน 35ขอ (ขอ 1. กําหนดให P และ Q เปนประพจนที่ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ( P Q) (P Q)      (ข) P (Q Q)    (ค) (P Q) Q   ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ 2. ให  แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 1 x 2 | x 1 |          (ข) 1 x | x | 2         (ค) 2 x x x 0          ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ขอสอบ PAT1 : ความถนัดทางคณิตศาสตร กุมภาพันธ 2563 : ปการศึกษา 2562 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกตองที่สุด ขอ 1 – 35)ขอละ 6 คะแนน เปนประพจนที่ ( P) (P Q)    มีคาความจริงเปนจริง ( P Q) (P Q)      มีคาความจริงเปนเท็จ P (Q Q)    มีคาความจริงเปนจริง (P Q) Q   มีคาความจริงเปนจริง ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ 1 x | x 1 2            x 2 | x 1 |         มีคาความจริงเปนเท็จ 1 2         มีคาความจริงเปนจริง x x x 0          มีคาความจริงเปนเท็จ ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ 13.00 – 16.00 น. หน้า |1 ความถนัดทางคณิตศาสตร 2562 จริง ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ x | x 1           ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ
  • 3.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 3. ให A, B และ C เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ถา B C    (ข) A (B C) (A C) B      (ค) ถาเซต A มีสมาชิก และเพาเวอรเซตของเซต แลวเพาเวอรเซตของเซต ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ 4. ให A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     ให r D และ r R เปนโดเมนและเรนจของ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 1 r เปนฟงกชัน (ข) จํานวนสมาชิกของเซต (ค) r r r D R D   ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) ถูกเพียงขอเดียว 3. ขอ (ค) ถูกเพียงขอเดียว 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ 5. ให n(S)แทนจํานวนสมาชิกของเซต โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          และ n(C (A B)) 9    1. 42 3. 44 5. 46 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ B C    และ A (B C)   แลว (A B) C A B     A (B C) (A C) B      มีสมาชิก 9 ตัว เซต B มีสมาชิก 7 ตัว และเพาเวอรเซตของเซต A B  มีสมาชิก 32 ตัว แลวเพาเวอรเซตของเซต B A  มีสมาชิก 16 ตัว ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     และ r {(x,y) A A | y | x | 2}      เปนโดเมนและเรนจของ r ตามลําดับ เปนฟงกชัน จํานวนสมาชิกของเซต 1 r r  เทากับ 3 r r r D R D   ถูกเพียงขอเดียว 2. ขอ (ข) ถูกเพียงขอเดียว ถูกเพียงขอเดียว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ แทนจํานวนสมาชิกของเซต S ถาA, B และ C เปนเซต n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(C (A B)) 9    แลว n(A B)  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 43 4. 45 13.00 – 16.00 น. หน้า |2 (A B) C A B     ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ r {(x, y) A A | y | x | 2}      ถูกเพียงขอเดียว และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35         
  • 4.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 6. กําหนดให 0 A 90     ถา a เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 7 3. 3 5. 7 7. คาของ 3 1 tan 2arctan 4 2         1. – 1 3. 1 7 5. 2 8. กําหนดให x 0 2     และ คาของ tan x cot x  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 2  3. 0 5. 3 2 9. พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 2 3 (0.6) 1   (ข) ถา x y (0.2) (0.2)  (ค) 5 0.2 log 0.1 log 0.1  ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 0 A 90   เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ a sin( A) tan(270 A) sin(180 A) tan(90 A)          มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 5 4. 5 3 1 tan 2arctan 4 2       เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 7  4. 1 x 0    และ 5 cos x sin x 5   tan x cot x เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 2  4. 1 2 (0.6) 1  x y (0.2) (0.2)  แลว x y  5 0.2 log 0.1 log 0.1  ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ 13.00 – 16.00 น. หน้า |3 a sin( A) tan(270 A) 3sec 300 sin(180 A) tan(90 A)         ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ
  • 5.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 10. กําหนดฟงกชันจุดประสงค x ay 3   เมื่อ a 3x y 9   และ x 0, y 0   คาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 9 3. 11 5. มากกวา 12 11. กําหนดอนุกรม 1 3 7 15 2 4 8 16     แลว n n 2n S lim S  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0 3. 1 4 5. 1 12. กําหนดให  แทนเซตของจํานวนจริง ให f :    และ g : (ก) f( x) f(x)    (ข) g( x) g(x)   (ค) f(x) g(x) x 2x    ถา a เปนจํานวนจริงที่ทําให แลว f(g(a)) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1250 3. 0 5. – 1250 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 P 4x y   และอสมการขอจํากัด ดังนี้ a เปนจํานวนจริงบวก เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 10 4. 12 1 3 7 15 ... 2 4 8 16     ถา n S เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 8 4. 1 2 แทนเซตของจํานวนจริง g :    เปนฟงกชัน โดยที่ f( x) f(x)    สําหรับทุกจํานวนจริง x g( x) g(x) สําหรับทุกจํานวนจริง x 2 f(x) g(x) x 2x    สําหรับทุกจํานวนจริง x เปนจํานวนจริงที่ทําให f(10 a) f(10 a) g(10)     เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 800 4. – 800 13.00 – 16.00 น. หน้า |4 พจนแรกของอนุกรม
  • 6.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 13. ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ คาของ 2 2 2 a b c   เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 234 3. 241 5. 283 14. ให A แทนเซตคําตอบของสมการ และให x B {2 | x A}   ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต 1. 0.25 3. 1.25 5. 2.25 15. จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ 1. มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 2. ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3. มี 24 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 5. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก จํานวนสมาชิกในครัวเรือน ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงบวก ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ 8 และเดไซลที่ 7 ของขอมูลเทากับ เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 237 4. 269 แทนเซตคําตอบของสมการ x x 2x 1 9 6 2 0     B {2 | x A}   ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 4. 2 จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ 30 ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้ จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ผิด มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 3 คน ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 4 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก 2 คน จํานวนสมาชิกในครัวเรือน (คน) ความถี่สะสมสัมพัทธ 1 0.2 2 0.3 3 0.7 4 0.9 5 1.0 13.00 – 16.00 น. หน้า |5 ของขอมูลเทากับ 10.8 ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้
  • 7.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 16. กําหนดให 1 x f(x) x 2    ถา a เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ แลว 2a 1  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 2 3. 0 5. 2 17. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย และให 2 f(x) ax bx 1    ถาเรนจของ f เทากับ [0, )  1. 5 3. 8 5. 11 18. ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ ถาพาราโบลาผานจุด (3, 5) 1. 2 y 4x 6y 17 0     3. 2 y 4x 6y 7 0     5. 2 y 6x 4y 27 0     19. ถา a และ b เปนจํานวนจริง a 2 2 2 log b 1 2log b 4 2    แลวคาของ 2 2 a b  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 25 3. 41 5. 68 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 x x 2   เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ x 2   เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ 1 f(a f (2)) 1    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 1 4. 1 เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย f(x) ax bx 1    สําหรับทุกจํานวนจริง x และ f( 1) 0   [0, )  แลวคาของ 2 1 f(x)dx   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 7 4. 9 ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ 2y = 3x และ มี y = 3 (3, 5) แลว สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้ y 4x 6y 17 0     2. 2 y 4x 6y 43 0     y 4x 6y 7 0     4. 2 y 6x 4y 23 0     y 6x 4y 27 0     นจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ 1 2log b 4 2 และ 2 2 a a 3 log b log b 2 4 2    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 36 4. 58 13.00 – 16.00 น. หน้า |6 f( 1) 0 y = 3 เปนแกนสมมาตร สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้ y 4x 6y 43 0     y 6x 4y 23 0    
  • 8.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 20. ให L เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง ระยะหางระหวางเสนตรง L 1. 2.0 หนวย 3. 1.5 หนวย 5. 0.4 หนวย 21. กําหนดให u 2i j 2k       เวกเตอรในขอใดตอไปนี้ไมตั้งฉาก 1. 3i j    3. 4i 3 j 2k      5. 5 j 6k     22. กําหนดให a, b   และ c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ ถา a i 2j      และขนาดของเวกเตอร แลว a b b c c a            1. – 18 3. 8 5. 18 23. ถา A เปนเซตคําตอบของอสมการ และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ แลว A B  เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ 1. ( ,0)  3. (0,5) 5. (6, )  ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง L อยูหางจากจุด ( 1, 1)   และจุด (7,5) L กับจุด (2,0)เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1.8 หนวย 4. 1.4 หนวย u 2i j 2k       และ v i 2j 2k        ไมตั้งฉากกับเวกเตอร u v    2. i 3 j 4k      4. i j k      c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ a b c 0        และขนาดของเวกเตอร b  และ c  เทากับ 2 และ 3 หนวย ตามลําดับ a b b c c a          เทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 9 4. 9 เปนเซตคําตอบของอสมการ 1 x 0 x   เปนเซตคําตอบของอสมการ 2 2x 3x 7x 12    เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ 2. ( 2,2)  4. (3,8) 13.00 – 16.00 น. หน้า |7 (7,5)เปนระยะทางเทากัน หนวย ตามลําดับ
  • 9.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 24. ถา A เปนเซตคําตอบของ และ B เปนเซตคําตอบของ แลวเซต A B  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. { 3,1}  3. [ 4,3]  5. [ 4,1] {2,3}   25. ให z แทนสังยุค (Conjugate ถา z (1 i)   เปนจํานวนจินตภาพแท และ แลว z z  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 2 3. 4 5. 6 26. บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงาน 20 ฝายผลิตมี 8 คน และฝายขายมี ถาสุมพนักงานมา 4 คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน และพนักงานฝายขายผูหญิง 1. 4 5 3. 8 4845 5. 16 4845 27. มีเลขโดด 5 ตัว คือ 1 , 2 , 3 , 4 เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน 1. 90 3. 360 5. 810 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตคําตอบของ 2 2 | 3 2x x | x 2x 3      เปนเซตคําตอบของ 2 | x x | 12   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. [ 3,1]  4. [ 4, 3] [1,3]    Conjugate) ของจํานวนเชิงซอน z และ 2 i 1   เปนจํานวนจินตภาพแท และ 2 2 z 2(1 i)   เปนจํานวนจริง มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 3 4. 5 20 คน เปนผูชาย 10 คน ฝายบริหารมีผูชาย 3 คน คน และฝายขายมี 7 คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน 3 และพนักงานฝายขายผูหญิง 1 คน เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 8 969 4. 16 969 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 นําเลขโดดเหลานี้มา 3 ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน 2. 120 4. 600 13.00 – 16.00 น. หน้า |8 [ 4, 3] [1,3] เปนจํานวนจริง คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน 3 คน ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง 3 ตัวนี้
  • 10.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 28. คาของ 2 x 1 ( x 1)(3x 2) lim 3x x 2      1. 1 10  3. 1 10 5. 1 29. ให a , b , c และ d เปนจํานวนจริง โดยที่ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. c a b d    3. b d c a    5. d c a b    30. หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0.10 3. 0.14 5. 0.16 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ( x 1)(3x 2) 3x x 2     เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 0 4. 1 5 เปนจํานวนจริง โดยที่ 1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53        2. c d a b    4. d b a c    หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน 40 คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ 50 กิโลกรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 กิโลกรัม ถาหองเรียนนี้ มีนักเรียนชาย 22 คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ 50 กิโลกรัม และ แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 0.12 4. 0.15 13.00 – 16.00 น. หน้า |9 1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53        c d a b d b a c คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต กิโลกรัม และ 4 กิโลกรัม ตามลําดับ
  • 11.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 31. กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ... และ 1 2 3 n b , b , b , ...,b , ... ถา 1 a 1  และ 1 b 7  1. 3 70 3. 2 77 5. 6 77 32. ให 3 a b A 0 a 1 1 1 0             เมื่อ ถา 21 C (A) 2  และ detA 2 1. – 3 3. 2 5. 3 33. กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ ถา f(0) 0  แลว f(2) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 3. 2 5. 3 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n n 1 3 a 2     1 2 3 n b , b , b , ...,b , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n n 1 b 5     b 7  แลว n n 1 n a b    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 7 70 4. 5 77           เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง detA 2   แลว a b  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 5 3 4. 7 3 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ x ; x 1 f (x) x 1 ; x 1          f(2) เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1.5 4. 2.5 13.00 – 16.00 น. หน้า |10 3 2  x ; x 1 x 1 ; x 1   
  • 12.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 34. ให f เปนฟงกชัน นิยามโดย เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ถาฟงกชัน f ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว 1. 25 3. 9 5. 1 6 35. โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง มีขอมูล ดังนี้ เดือน จํานวนสินคาที่ผลิต (x) (หนวยเปนชิ้น) ยอดขายสินคา(y) (หนวยเปนบาท) จากการสํารวจพบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น ถาจํานวนสินคาผลิต 10,000 1. 600,000 บาท 3. 660,000 บาท 5. 760,000 บาท ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนฟงกชัน นิยามโดย 2 2 2 x ; x 0 x x ax (b a)x b f(x) ; 0 x 1 x 1 (x b) ; x 1                     เปนจํานวนจริง ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว f(a b)  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 16 4. 4 โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง ม.ค. ก.พ. มี.ค. ... ) 1 x 2 x 3 x ... 1 y 2 y 3 y ... คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ 6,000 ชิ้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ 380,000 บาท ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น 1,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 10,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 620,000 บาท 4. 720,000 บาท 13.00 – 16.00 น. หน้า |11 ; x 0 f(x) ; 0 x 1 (x b) ; x 1    เทากับขอใดตอไปนี้ โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง พ.ย. ธ.ค. 11 x 12 x 11 y 12 y ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 60,000 บาท สินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้
  • 13.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ตอนที่ 2 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข จํานวน 10ขอ (ขอ 3 36. ให A เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต 37. ให 5 sec A 3   และ sin A 0 คาของ 5sinA cotA 1 cotAcosecA   38. กําหนดให x , y , z และ x 2 1 k   , y x 2 2 2   ถา x , y , z เปนลําดับเลขคณิต แลว 39. ให 2 f(x) 5 x   สําหรับทุกจํานวนจริง ถา f(x 1) ; x R g(x) 1 ; x R         คาของ (f g)(6) (g f)(3)    40. กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... โดยที่ 1 3 a a 7   และ คาของ 1 2 3 50 a a a ... a     ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข 36 – 45) ขอละ 9 คะแนน เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ x log x log 8 2 log 2 (2x) 4 ( 2)          แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับเทาใด sin A 0  เมื่อ 0 A 2    5sinA cotA 1 cotAcosecA เทากับเทาใด และ k เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ y x 2 2 2   และ z y 2 2 4   เปนลําดับเลขคณิต แลว x y z   เทากับเทาใด สําหรับทุกจํานวนจริง x และให f R เปนเรนจของ f f f f(x 1) ; x R 1 ; x R    (f g)(6) (g f)(3)   เทากับเทาใด 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... เปนลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง และ 2 4 6 8 a a a a 74     1 2 3 50 a a a ... a     เทากับเทาใด 13.00 – 16.00 น. หน้า |12 2 log x log 2 (2x) 4 ( 2)         
  • 14.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 41. ให c เปนจํานวนจริง และให ถาคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับ 42. กําหนดให 1 F และ 2 F เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     ถา a, b และ c เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม มี 1 2 F F เปนเสนผานศูนยกลาง แลวคาของ 43. กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ และเมทริกซผูกพันของ A คือ คาของ   det x adj(A) เทากับเทาใด 44. กําหนดให {1, 2, 3, ...}   f(1,m) 1  สําหรับ f(n,m) 0  สําหรับ f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       คาของ f(2,4) เทากับเทาใด ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนจํานวนจริง และให 3 2 f(x) x 12x 45x c      สําหรับทุกจํานวนจริง เทากับ 53 แลวคาของ f(c) เทากับเทาใด เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม 2 2 x y ax by c 0      เปนเสนผานศูนยกลาง แลวคาของ 2 2 2 a b c   เทากับเทาใด เปนเมทริกซที่มีมิติ 3 3  โดยที่ det(A) 7   คือ 4 1 x adj(A) 2 x 2 1 5 1                 เมื่อ x เปนจํานวนจริงบวก det x adj(A) เทากับเทาใด {1, 2, 3, ...} สําหรับ m   สําหรับ n,m   โดยที่ n m  f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       สําหรับ n,m  เทากับเทาใด 13.00 – 16.00 น. หน้า |13 สําหรับทุกจํานวนจริง x x y ax by c 0      เปนจํานวนจริงบวก n,m   และ n 2 
  • 15.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 45. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง z พื้นที่ใตเสนโคง คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ นาย ก. สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ คะแนนสอบของนาย ข. แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z ดังตาราง 0.7 1.3 2.42 0.2580 0.4032 0.4922 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 20 คะแนน นาย ก. และนาย ข. เปนนักเรียนในหองนี้ สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข. และคะแนนสอบของนาย ก คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1.3 ถามีนักเรียนรอยละ 24.2 ที่สอบไดคะแนนนอยกวา แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับเทาใด  13.00 – 16.00 น. หน้า |14 2.42 0.4922 เปนนักเรียนในหองนี้ และคะแนนสอบของนาย ก. ที่สอบไดคะแนนนอยกวา ทากับเทาใด
  • 16.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 1. 3 2. 2 6. 4 7. 3 11. 4 12. 1 16. 5 17. 4 21. 4 22. 2 26. 5 27. 3 31. 5 32. 5 36. 0.5 37. 52 41. 33 42. 36 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เฉลยคําตอบ 3. 5 4. 2 8. 5 9. 1 13. 3 14. 2 18. 1 19. 5 23. 3 24. 4 28. 3 29. 1 33. 1 34. 1 38. 6 39. 8 43. 1,323 44. 4 13.00 – 16.00 น. หน้า |15 5. 2 10. 4 15. 3 20. 1 25. 4 30. 2 35. 2 40. 6,050 45. 54
  • 17.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 เฉลยขอสอบ วันที่ 22 ตอนที่ 1 แบบปรนัย 5 ตัวเลือก เลือก จํานวน 35ขอ (ขอ 1. กําหนดให P และ Q เปนประพจนที่ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ( P Q) (P Q)      (ข) P (Q Q)    (ค) (P Q) Q   ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 1. ตอบ 3 แนวคิด กําหนดให P และ Q เปนประพจนที่ จะได ( P) (P Q) T T T F F T or F  แสดงวา P เปนเท็จ และ พิจารณาขอความ ก. กรณีที่ 1 P เปนจริง และ ( P Q) (P Q) F T F T T F T T      จะพบวาทั้ง 2 กรณี ( P Q) (P Q) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ขอสอบ PAT1 : ความถนัดทางคณิตศาสตร กุมภาพันธ 2563 : ปการศึกษา 2562 ตัวเลือก เลือก 1 คําตอบที่ถูกตองที่สุด ขอ 1 – 35)ขอละ 6 คะแนน เปนประพจนที่ ( P) (P Q)    มีคาความจริงเปนจริง ( P Q) (P Q)      มีคาความจริงเปนเท็จ P (Q Q)    มีคาความจริงเปนจริง (P Q) Q   มีคาความจริงเปนจริง ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ เปนประพจนที่ ( P) (P Q)    มีคาความจริงเปนจริง ( P) (P Q) T T T F F T or F   และ Q เปนจริง หรือ เปนเท็จ เปนจริง และ Q เปนจริง กรณีที่ 2 P เปนจริง และ ( P Q) (P Q) F T F T T F T T T      ( P Q) (P Q) F F F F T T F T      ( P Q) (P Q)      เปนจริง แสดงวา ขอความ 13.00 – 16.00 น. หน้า |16 ความถนัดทางคณิตศาสตร 2562 จริง ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ จริง เปนจริง และ Q เปนเท็จ ( P Q) (P Q) F F F F T T F T T      แสดงวา ขอความ (ก) ผิด
  • 18.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 (ข) เนื่องจาก Q Q F    ดังนั้น P (Q Q) P F     แสดงวา ขอความ (ข) (ค) เนื่องจาก (P Q) Q (P Q) Q      แสดงวา ขอความ (ค) หมายเหตุ ในการหาคาความจริงของประพจนในขอ ของประพจน เหมือนการตรวจสอบขอความ จากการตรวจสอบขอความจะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 Q Q F    P (Q Q) P F F F [ P F] T           ) ถูก (P Q) Q (P Q) Q ( P Q) Q P ( Q Q) P T T                     ) ถูก ในการหาคาความจริงของประพจนในขอ (ข) และ (ค) จะใชการแทนคาความจริง เหมือนการตรวจสอบขอความ (ก) ก็ไดเชนกัน จะไดวา ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ (ก) ผิด 13.00 – 16.00 น. หน้า |17 จะใชการแทนคาความจริง 
  • 19.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 2. ให  แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 1 x 2 | x 1 |          (ข) 1 x | x | 2         (ค) 2 x x x 0          ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 2. ตอบ 2 แนวคิด ให  แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ พิจารณาขอความ (ก) สําหรับ x x | x 1             จะได ทําให ดังนั้น แสดงวาไมมีคา x ในเอกภพสัมพัทธที่ทําให ดังนั้น 1 x 2 | x 1 |          ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ 1 x | x 1 2            x 2 | x 1 |         มีคาความจริงเปนเท็จ 1 2         มีคาความจริงเปนจริง x x x 0          มีคาความจริงเปนเท็จ ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ แทนเซตของจํานวนจริง กําหนดใหเอกภพสัมพัทธคือ 1 x | x 1 2            1 x x | x 1 2             1 x 1 2    1 1 x 1 1 1 2       1 x 1 2 2    1 x 1 2 2    1 1 1 1/ 2 2 x 1    1 1 2 2 x 1    ในเอกภพสัมพัทธที่ทําให 1 2 | x 1 |   1 x 2 | x 1 |          มีคาความจริงเปนเท็จ แสดงวาขอความ (ก) 13.00 – 16.00 น. หน้า |18 x | x 1           ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ x | x 1           ) ถูก
  • 20.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 (ข) จะพบวา 1 1 2 2      แต 1 1 1 2 2 2   แสดงวามี x  ดังนั้น x | x |         (ค) จะพบวา 1 1 4 2       แต 2 1 1 5 ( ) ( ) 0 4 4 16      แสดงวามี x   ดังนั้น x x x 0          จากการตรวจขอความจะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 1 x | x 1 2 2             1 1 1 2 2 2   1 x 2  ที่ทําใหประพจน 1 | x | 2  เปนเท็จ 1 x | x | 2         มีคาความจริงเปนเท็จ แสดงวาขอความ ( 1 1 x | x 1 4 2              2 1 1 5 ( ) ( ) 0 4 4 16      1 x 4   ที่ทําใหประพจน 2 x x 0   เปนเท็จ 2 x x x 0          มีคาความจริงเปนเท็จ แสดงวาขอความ จากการตรวจขอความจะไดวา ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ (ข) ผิด 13.00 – 16.00 น. หน้า |19 (ข) ผิด แสดงวาขอความ (ค) ถูก 
  • 21.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 3. ให A, B และ C เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) ถา B C    (ข) A (B C) (A C) B      (ค) ถาเซต A มีสมาชิก และเพาเวอรเซตของเซต แลวเพาเวอรเซตของเซต ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 3. ตอบ 5 แนวคิด ให A, B และ C เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) เนื่องจากมีเซต A = {1, 2} , B = {1} , C = {2} ซึ่ง B C    และ แต (A B) C {1,2} {1} {2} {2}       A B {1,2} {1} {1}     แสดงวามีเซต A , B ดังนั้นขอความ (ก) ผิด (ข) เนื่องจากมีเซต A = {1, 2} , B = {1} , C = {2} ซึ่ง A (B C) {1,2} {1} {2} {1,2} {1,2}          (A C) B {1,2} {2} {2} {2}       แสดงวามีเซต A , B ดังนั้นขอความ (ข) ผิด (ค) สมมติใหเซต A มีสมาชิก และเพาเวอรเซตของเซต นั่นคือ n(A) = 9 , n(B) = 7 จาก n(A B) 2 32   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ B C    และ A (B C)   แลว (A B) C A B     A (B C) (A C) B      มีสมาชิก 9 ตัว เซต B มีสมาชิก 7 ตัว และเพาเวอรเซตของเซต A B  มีสมาชิก 32 ตัว แลวเพาเวอรเซตของเซต B A  มีสมาชิก 16 ตัว ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ เปนเซตใดๆ พิจารณาขอความตอไปนี้ A = {1, 2} , B = {1} , C = {2}    และ A (B C)     (A B) C {1,2} {1} {2} {2}       A B {1,2} {1} {1}     A , B และ C ที่ทําให (A B) C A B     ผิด A = {1, 2} , B = {1} , C = {2}   A (B C) {1,2} {1} {2} {1,2} {1,2}            (A C) B {1,2} {2} {2} {2}       A , B และ C ที่ทําให A (B C) (A C) B      ผิด มีสมาชิก 9 ตัว เซต B มีสมาชิก 7 ตัว และเพาเวอรเซตของเซต A B  มีสมาชิก 32 ตัว n(A) = 9 , n(B) = 7 และ n(A B) 2 32   2 32  จะได n(A B) 5 2 2   13.00 – 16.00 น. หน้า |20 (A B) C A B     ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ A (B C) {1,2} {1} {2} {1,2} {1,2} A (B C) (A C) B     
  • 22.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 n(A) = 9 ; ดังนั้น n(B A) n(B) n(A B) 7 4 3        ทําให เพาเวอรเซตของเซต แสดงวา ขอความ (ค) จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 n(A B) 5   n(A) n(A B) 5    9 n(A B) 5    n(A B) 4   n(B A) n(B) n(A B) 7 4 3        เพาเวอรเซตของเซต B A  มีสมาชิก 3 2 8  ) ผิด จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ 13.00 – 16.00 น. หน้า |21 ผิด ทั้งสามขอ 
  • 23.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 4. ให A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     ให r D และ r R เปนโดเมนและเรนจของ พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 1 r เปนฟงกชัน (ข) จํานวนสมาชิกของเซต (ค) r r r D R D   ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) ถูกเพียงขอเดียว 3. ขอ (ค) ถูกเพียงขอเดียว 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 4. ตอบ 2. แนวคิด ให A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     จาก r {(x, y) A A | y | x | 2}      แทน x ดวยสมาชิกในเซต A ถา x = –3 ; y = |– x = –2 ; y = |–2| x = –1 ; y = |–1| x = 0 ; y = |0| x = 1 ; y = |1| x = 2 ; y = |2| x = 3 ; y = |3| จะได r = {(–3, 1) , (– พิจารณาขอความ (ก) จาก r = {(–3, 1) , ( จะได 1 r = {(1, ซึ่งมี (1, –3) และ (1, 3) ดังนั้น 1 r ไมเปนฟงกชัน แสดงวา ขอความ (ก) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     และ r {(x,y) A A | y | x | 2}      เปนโดเมนและเรนจของ r ตามลําดับ เปนฟงกชัน จํานวนสมาชิกของเซต 1 r r  เทากับ 3 r r r D R D   ถูกเพียงขอเดียว 2. ขอ (ข) ถูกเพียงขอเดียว ถูกเพียงขอเดียว 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ A { 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3}     r {(x,y) A A | y | x | 2}      A จะได –3| – 2 = 1 แสดงวา (–3, 1) r  2| – 2 = 0 แสดงวา (–2, 0) r  1| –2 = –1 แสดงวา (–1, –1) r  x = 0 ; y = |0| – 2 = –2 แสดงวา (0, –2) r  x = 1 ; y = |1| – 2 = –1 แสดงวา (1, –1) r  x = 2 ; y = |2| – 2 = 0 แสดงวา (2, 0) r  x = 3 ; y = |3| – 2 = 1 แสดงวา (3, 1) r  –2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)} 3, 1) , (–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)} = {(1, –3) , (0, –2) , (–1, –1) , (–2, 0) , (–1, 1) , (0, 2) , (1, 3) } (1, 3) เปนสมาชิกของ 1 r ไมเปนฟงกชัน ) ผิด 13.00 – 16.00 น. หน้า |22 r {(x, y) A A | y | x | 2}      ถูกเพียงขอเดียว และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ 1) , (2, 0) , (3, 1)} 1) , (2, 0) , (3, 1)} 1, 1) , (0, 2) , (1, 3) }
  • 24.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 (ข) จาก r = {(–3, 1) , ( จะได 1 r = {(1, จะได 1 r r  = {( จะพบจํานวนสมาชิกของเซต แสดงวาขอความ (ข) (ค) จาก r = {(–3, 1) , ( จะได r D = {–3, r R = {–2, จะพบวา r r D R  แสดงวาขอความ (ค) จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 3, 1) , (–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)} = {(1, –3) , (0, –2) , (–1, –1) , (–2, 0) , (–1, 1) , (0, 2) , (1, 3) } = {(–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2)} จะพบจํานวนสมาชิกของเซต 1 r r  เทากับ 3 ถูก 3, 1) , (–2, 0) , (–1, –1) , (0, –2) , (1, –1) , (2, 0) , (3, 1)} 3, –2, –1, 0, 1, 2, 3} 2, –1, 0, 1 } r r D R = {–2, –1, 0, 1} r D  ผิด จากการตรวจสอบทั้งสามขอความ จะไดวา ขอ (ข) ถูกเพียงขอเดียว 13.00 – 16.00 น. หน้า |23 1) , (2, 0) , (3, 1)} 1, 1) , (0, 2) , (1, 3) } 1) , (2, 0) , (3, 1)} 
  • 25.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 5. ให n(S)แทนจํานวนสมาชิกของเซต โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          และ n(C (A B)) 9    1. 42 3. 44 5. 46 ขอ 5. ตอบ 2. แนวคิด ให n(S)แทนจํานวนสมาชิกของเซต โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          และ n(C (A B)) 9    พิจารณาแผนภาพเวนน–ออยเลอร จากรูปจะได n(C) 9 56 65    n(A B) 35 56 91     โดยที่ n(A) n(B) n(C) 199    จากสมบัติ n(A B) n(A) n(B) n(A B) ดังนั้น n(A B) 43 n((A B) C) 35    n(C (A B)) 9    n(A B C) n((A B) C) n(C (A B)) 100 (35 9) 56             ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 แทนจํานวนสมาชิกของเซต S ถาA, B และ C เปนเซต n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(C (A B)) 9    แลว n(A B)  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 43 4. 45 แทนจํานวนสมาชิกของเซต S ถาA, B และ C เปนเซต n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(C (A B)) 9    ออยเลอร n(C) 9 56 65    n(A B) 35 56 91     n(A) n(B) n(C) 199    จะได n(A) n(B) 65 199    n(A) n(B) 134   n(A B) n(A) n(B) n(A B)      91 134 n(A B)    n(A B) 43   A B C U n((A B) C) 35      n(A B C) n((A B) C) n(C (A B)) 100 (35 9) 56            13.00 – 16.00 น. หน้า |24 n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(A) n(B) n(C) 199, n(A B C) 100, n((A B) C) 35          n(A) n(B) 65 199 n(A) n(B) 134   n(A B C) n((A B) C) n(C (A B))
  • 26.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 6. กําหนดให 0 A 90     ถา a เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ แลว a มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 7 3. 3 5. 7 ขอ 6. ตอบ 4. แนวคิด ให a เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ จะได 1 1 sec60 2 ; cos60 1/ 2      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 0 A 90   เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ a sin( A) tan(270 A) sin(180 A) tan(90 A)          มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 5 4. 5 เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับสมการ a sin( A) tan(270 A) 3sec 300 sin(180 A) tan(90 A)          a( sin A) cotA 3 sec(360 60 ) sin A cotA         a ( 1) 3sec60     1 1 sec60 2 ; cos60 1/ 2     a 1 3(2)   a 1 6   a 5  13.00 – 16.00 น. หน้า |25 a sin( A) tan(270 A) 3sec 300 sin(180 A) tan(90 A)         3sec 300 3 sec(360 60 )      a ( 1) 3sec60     
  • 27.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 7. คาของ 3 1 tan 2arctan 4 2         1. – 1 3. 1 7 5. 2 ขอ 7. ตอบ 3. แนวคิด โดยเอกลักษณ tan(A B)   tan2A และ tan(arctan x) x จะได 3 1 tan 2arctan 4 2         ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 3 1 tan 2arctan 4 2       เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 7  4. 1 tan A tan B tan(A B) 1 tan A tan B     2 2tan A tan2A 1 tan A   tan(arctan x) x  3 1 tan 2arctan 4 2       3 1 tan tan(2arctan ) 4 2 3 1 1 tan tan(2arctan ) 4 2      1 1 tan(2arctan ) 2 1 1 tan(2arctan ) 2            2 2 1 2 tan(arctan ) 2 1 1 1 tan (arctan ) 2 1 2 tan(arctan ) 2 1 1 1 tan (arctan ) 2       2 2 1 2( ) 2 1 1 1 ( ) 2 1 2( ) 2 1 1 1 ( ) 2       13.00 – 16.00 น. หน้า |26
  • 28.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 1 1 1 4 1 1 1 1 4       4 1 3 4 1 3     1 3 7 3  1 7  13.00 – 16.00 น. หน้า |27 
  • 29.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 8. กําหนดให x 0 2     และ คาของ tan x cot x  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 3 2  3. 0 5. 3 2 ขอ 8. ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให x 0 2     จาก เนื่องจาก cos x 1 sin x   5 คูณตลอด ; ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; 2 หารตลอด ; กําหนดให x 0 2     ดังนั้น 2 cos x 1 sin x 1 1         ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 x 0    และ 5 cos x sin x 5   tan x cot x เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 2  4. 1 2 5 cos x sin x 5   2 cos x 1 sin x   ; 2 5 1 sin x sin x 5    2 1 1 sin x sin x 5    2 5 1 sin x 5 sin x 1    2 5 1 sin x 1 5 sin x      2 2 5 1 sin x 1 2 5 sin x 5sin x     2 10 sin x 2 5 sin x 4 0    2 5sin x 5 sin x 2 0    ( 5 sin x 2)( 5 sin x 1) 0    2 1 sin x , 5 5   x 0    คา sin x 0  แสดงวา 1 sin x 5   2 2 1 1 2 cos x 1 sin x 1 1 5 5 5               13.00 – 16.00 น. หน้า |28 5 5 5 5 1 5 5 1 sin x 5 sin x 1 5 1 sin x 1 5 sin x    2 2 5 1 sin x 1 2 5 sin x 5sin x     10sin x 2 5 sin x 4 0 5sin x 5 sin x 2 0 ( 5 sin x 2)( 5 sin x 1) 0 2 1 sin x , 5 5  
  • 30.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 และ sin x 1 tan x cos x 2 2      ดังนั้น tan x cotx 2         แนวคิด 2 กําหนดให x 0 2     แสดงวา x 0 4     ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; เอกลักษณ 2 2 sin A cos A 1 ;   เอกลักษณ 2sinAcosA sin2A ;  จาก x 0 4     จะได ทําให 2 2 cos2x 1 sin 2x 1 ( )       ดังนั้น โดยเอกลักษณ 2 2 cos A sin A cos2A   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 sin x 1 5 cos x 2 2 5      1 1 1 3 tan x cotx 2 2 1 2 2 2          x 0    และ 5 cos x sin x 0 5    x 0 2 2 cos x 2 sin x cos x sin x    2 2 sin A cos A 1 ;   1 2 sin x cos x   2sinAcosA sin2A ;  1 sin 2x   sin2x   จะได 2x 0 2     2 2 4 3 cos2x 1 sin 2x 1 ( ) 5 5       sin x cos x tan x cot x cos x sinx    2 2 sin x cos x sin x cos x   2 2 2(cos x sin x) 2sin x cos x    2 2 cos A sin A cos2A   และ 2sinAcosA sin2A  2 cos2x sin 2x   3 2( ) 5 4 5    3 2  13.00 – 16.00 น. หน้า |29  5 cos x 2 sin x cos x sin x 25    1 1 2 sin x cos x 5   1 1 sin 2x 5   4 sin2x 5   sin x cos x cos x sinx 2 2 sin x cos x sin x cos x 2 2 2(cos x sin x) 2sin x cos x   2sinAcosA sin2A ; 
  • 31.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 9. พิจารณาขอความตอไปนี้ (ก) 2 3 (0.6) 1   (ข) ถา x y (0.2) (0.2)  (ค) 5 0.2 log 0.1 log 0.1  ขอใดตอไปนี้ถูกตอง 1. ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ 3. ขอ (ข) และขอ (ค) ถูก แต ขอ 5. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ ขอ 9. ตอบ 1. แนวคิด พิจารณาขอความ (ก) เนื่องจาก 2 1 1 3 3 3 (0.6) (0.36) 1 1    ดังนั้น (0.6) นั่นคือ (0.6) 1 (ข) โดยสมบัติ สําหรับ 0 < a < 1 จากที่กําหนดให (0.2) (0.2) แสดงวา (ค) โดยสมบัติ สําหรับ สําหรับ เพราะวา 5 > 1 และ เพราะวา 0 < 0.2 < 1 จะพบวา 5 0.2 log 0.1 0 log 0.1 จากการพิจารณาทั้งสามขอความจะไดวา ขอ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 พิจารณาขอความตอไปนี้ (0.6) 1  x y (0.2) (0.2)  แลว x y  5 0.2 log 0.1 log 0.1  ถูก แต ขอ (ค) ผิด 2. ขอ (ก) และขอ (ค) ถูก แต ขอ ถูก แต ขอ (ก) ผิด 4. ขอ (ก) ขอ (ข) และขอ และขอ (ค) ผิด ทั้งสามขอ 2 1 1 3 3 3 (0.6) (0.36) 1 1    2 3 (0.6) 1  2 3 1 1 1 (0.6)  2 3 (0.6) 1   แสดงวาขอความ (ก) ถูก 0 < a < 1 จะไดวา 1 2 x x a a  ก็ตอเมื่อ x x x y (0.2) (0.2)  โดยที่ 0 < 0.2 < 1 x y  แสดงวาขอความ (ข) ถูก สําหรับ 0 < a < 1 จะไดวา a 1 a 2 log x log x  ก็ตอเมื่อ สําหรับ a > 1 จะไดวา a 1 a 2 log x log x  ก็ตอเมื่อ และ 0.1 < 1 จะได 5 5 log 0.1 log 1 0   0.2 < 1 และ 0.1 < 1 จะได 0.2 0.2 log 0.1 log 1 0   5 0.2 log 0.1 0 log 0.1   แสดงวาขอความ (ค) ผิด จากการพิจารณาทั้งสามขอความจะไดวา ขอ (ก) และขอ (ข) ถูก แต ขอ (ค) ผิด 13.00 – 16.00 น. หน้า |30 ถูก แต ขอ (ข) ผิด และขอ (ค) ถูกทั้งสามขอ ถูก 1 2 x x  ก็ตอเมื่อ 1 2 x x  ก็ตอเมื่อ 1 2 x x  5 5 log 0.1 log 1 0   0.2 0.2 log 0.1 log 1 0   ผิด ผิด 
  • 32.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 10. กําหนดฟงกชันจุดประสงค x ay 3   เมื่อ a 3x y 9   และ คาสูงสุดของ P เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 9 3. 11 5. มากกวา 12 ขอ 10. ตอบ 4. แนวคิด กําหนดฟงกชันจุดประสงค และอสมการขอจํากัด ดังนี้ และ พิจารณากราฟของอสมการขอจํากัดดังนี้ สมการ x + ay = 3 3x + y = 9 หาจุดตัดระหวางเสนตรง และ (1) 3  ; (3) – (2) ; แสดงวา ถา 1 a 3  จะไดสมการ (1) ถา y = 0 แทนคาใน (1) ทําใหเราไดกราฟอสมการขอจํากัด เปน ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 P 4x y   และอสมการขอจํากัด ดังนี้ a เปนจํานวนจริงบวก และ x 0, y 0   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 10 4. 12 P 4x y   x ay 3   เมื่อ a เปนจํานวนจริงบวก 3x y 9   และ x 0, y 0   พิจารณากราฟของอสมการขอจํากัดดังนี้ จุดตัดแกน X จุดตัดแกน Y (3, 0) (0, 3 a ) (3, 0) (0, 9) x + ay = 3 ...(1) 3x + y = 9 ...(2) 3x + 3ay = 9 ...(3) (3a – 1)y = 0 a = 1 3 หรือ y = 0 (1) คือ 1 x y 3 3   3x y 9    ซึ่งเปนสมการเดียวกับสมการ (1) จะได x + 0 = 3  x = 3 แสดงวาจุดตัด (1) ทําใหเราไดกราฟอสมการขอจํากัด เปน 3 กรณีดังนี้ 13.00 – 16.00 น. หน้า |31 ซึ่งเปนสมการเดียวกับสมการ (2) (1) และ (2) คือจุด(3, 0)
  • 33.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 กรณีที่ 1 1 a 3  ทําใหเสนตรง กรณีที่ 2 1 a 3  ทําใหเสนตรง กรณีที่ 3 1 a 3  ทําใหเสนตรง จากทั้ง 3 กรณีจะไดวา คาสูงสุดของ (0,9) (3,0) 3x y 9     Y x ay 3  3 (0, ) a (0,9) (3,0)   Y x ay 3    3 (0, ) a (0,9) (3,0) 3x y 9   Y x ay 3   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ทําใหเสนตรง 3x + y = 9 และ x ax 3   เปนเสนตรงเดียวกันดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค จุดมุม P = 4x + y (0, 0) P = 4 0 0 0    (3, 0) P = 4 3 0 12    (0, 9) P 4 0 9 9     ทําใหเสนตรง 3x + y = 9 และ x ax 3   มีลักษณะดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค จุดมุม P = 4x + y (0, 0) P = 4 0 0 0    (3, 0) P = 4 3 0 12    (0, 9) P 4 0 9 9     ทําใหเสนตรง 3x + y = 9 และ x ax 3   มีลักษณะดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค จุดมุม P = 4x + y (0, 0) P = 4 0 0 0    (3, 0) P = 4 3 0 12    (0, 3 a ) P 4 0 9      กรณีจะไดวา คาสูงสุดของ P เทากับ 12 3x y 9   X x ay 3   3x y 9   X x ay 3   3x y 9   X x ay 3   13.00 – 16.00 น. หน้า |32 เปนเสนตรงเดียวกันดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค P = 4x + y P = 4x + y 4 0 0 0    4 3 0 12    (สูงสุด) P 4 0 9 9     มีลักษณะดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค P = 4x + y 4x + y 4 0 0 0    4 3 0 12    (สูงสุด) P 4 0 9 9     มีลักษณะดังรูป พิจารณาคาของฟงกชันจุดประสงค P = 4x + y P = 4x + y 4 0 0 0    4 3 0 12    (สูงสุด) 3 3 P 4 0 9 a a      
  • 34.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 11. กําหนดอนุกรม 1 3 7 15 2 4 8 16     ถา n S เปนผลบวก n พจนแรกของอนุกรม 1. 0 3. 1 4 5. 1 ขอ 11 ตอบ 4. แนวคิด จากอนุกรม 1 3 7 15 2 4 8 16     จัดอนุกรมใหมไดเปน 1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2      ดังนั้น k n n k k 1 2 1 S 2     n k 1 1 2           n n k 1 k 1 1       1 1 1 ( ) 2 2 n 1         n 1 ( )          n 1 ( )    จะได n 1 S n 1 ( ) 2    จะได 2n S 2n 1 ( )    ดังนั้น n n n 2n S lim lim S 1    ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 3 7 15 ... 2 4 8 16     พจนแรกของอนุกรม แลว n n 2n S lim S  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 8 4. 1 2 1 3 7 15 ... 2 4 8 16     1 2 3 4 n 1 2 3 4 n 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... ... 2 2 2 2 2            k k 2 1 2  k 1 1 2         n n k k 1 k 1 1 1 2             n 1 1 1 ( ) 2 2 1 1 2         n 1 n 1 a (1 r ) S , a , r 1 r 2 2               n 1 n 1 ( ) 2          n 1 n 1 ( ) 2    n 1 S n 1 ( ) 2    2n 1 S 2n 1 ( ) 2    n 2n 1 n 1 ( ) 2 lim lim S 1 2n 1 ( ) 2       13.00 – 16.00 น. หน้า |33 เทากับขอใดตอไปนี้ 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 ... ...            n n 1 a (1 r ) 1 1 S , a , r 1 r 2 2           
  • 35.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 n lim   n lim   1 0 0 2 0 0      1 2  12. กําหนดให  แทนเซตของจํานวนจริง ให f :    และ g : ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 n n 2n 1 1 n 1 n n2 lim 1 1 n 2 n n2                  n n 2n 1 1 1 n n2 lim 1 1 2 n n2      1 0 0 2 0 0     1 2 แทนเซตของจํานวนจริง g :    เปนฟงกชัน โดยที่ 13.00 – 16.00 น. หน้า |34 
  • 36.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 (ก) f( x) f(x)    (ข) g( x) g(x)   (ค) f(x) g(x) x 2x    ถา a เปนจํานวนจริงที่ทําให แลว f(g(a)) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1250 3. 0 5. – 1250 ขอ 12 ตอบ 1. แนวคิด จาก (ค) ; แทน x ดวย –x ; จาก ก และ ค ; นํา (1) – (2) ; นํา 2 หารตลอด ; แทน f(x) = –2x ใน (1) ; ตอนนี้เราไดแลววา f(x) 2x   พิจารณาหา a จากสมหาร จะได ดังนั้น f(g(a)) f(g(25)) 2g(25) 2( 25 ) 2( 625) 1250           13. ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 f( x) f(x)    สําหรับทุกจํานวนจริง x g( x) g(x) สําหรับทุกจํานวนจริง x 2 f(x) g(x) x 2x    สําหรับทุกจํานวนจริง x เปนจํานวนจริงที่ทําให f(10 a) f(10 a) g(10)     เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 800 4. – 800 2 f(x) g(x) x 2x    2 f( x) g( x) ( x) 2( x)        2 f(x) g(x) x 2x     2f(x) 4x   f(x) 2x   (1) ; 2 2x g(x) x 2x     2 g(x) x   2 g(x) x   f(x) 2x   และ 2 g(x) x   f(10 a) f(10 a) g(10)       2 2(10 a) 2(10 a) 10        ( 20 2a) (20 2a) 100       4a 100    a 25  2 f(g(a)) f(g(25)) 2g(25) 2( 25 ) 2( 625) 1250           จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงบวก 13.00 – 16.00 น. หน้า |35 ...(1) f( x) g( x) ( x) 2( x) ...(2) f(g(a)) f(g(25)) 2g(25) 2( 25 ) 2( 625) 1250 
  • 37.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ คาของ 2 2 2 a b c   เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 234 3. 241 5. 283 ขอ 13 ตอบ 3. แนวคิด ขอมูลชุดหนึ่งมี 6 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c โดยที่ตําแหนงเดไซนที่ 7 เทากับ โดยการเทียบบัญญัตไตรยางค จะได จากกําหนดใหพิสัยเทากับ 8 และคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ แทน b = 9 ; ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ขอมูลชุดนี้มีพิสัยเทากับคาเฉลี่ยเลขคณิต ซึ่งเทากับ 8 และเดไซลที่ 7 ของขอมูลเทากับ เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 237 4. 269 จํานวน จัดเรียงขอมูลจากนอยไปมาก ดังนี้ a , 5 , 7 , b , 11 , c เมื่อ a, b และ c เปนจํานวนจริงบวก เทากับ 7(N 1) 7(6 1) 4.9 10 10     ซึ่งคาเดไซนที่ ตําแหนงที่ คาขอมูล 4 b 4.9 7 D 5 11 โดยการเทียบบัญญัตไตรยางค จะได 4.9 4 10.8 b 5 4 11 b      10.8 b 0.9 11 b    0.9(11 b) 10.8 b    9.9 0.9b 10.8 b    0.1b 0.9  b 9  8 จะได c a 8   และคาเฉลี่ยเลขคณิตเทากับ 8 จะได a 5 7 b 11 c 8 6       a b c 23 48     a b c 25    a 9 c 25    a c 16   13.00 – 16.00 น. หน้า |36 ของขอมูลเทากับ 10.8 ซึ่งคาเดไซนที่ 7 เทากับ 10.8 c a 8   ...(1) 8  a b c 23 48     a b c 25    a 9 c 25    a c 16   ...(2)
  • 38.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 (1) + (2) ; แทน c = 12 ใน (2) ; ดังนั้น 2 2 2 2 2 2 a b c 4 9 12 241       14. ให A แทนเซตคําตอบของสมการ และให x B {2 | x A}   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2c 24  c 12  a 12 16   a 4  2 2 2 2 2 2 a b c 4 9 12 241       แทนเซตคําตอบของสมการ x x 2x 1 9 6 2 0     B {2 | x A}   13.00 – 16.00 น. หน้า |37 2c 24  c 12  a 12 16   a 4  
  • 39.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต 1. 0.25 3. 1.25 5. 2.25 ขอ 14 ตอบ 2. แนวคิด ให A แทนเซตคําตอบของสมการ จัดสมการใหมไดเปน แตเนื่องจาก x x 3 0 , 2 0   ดังนั้น นั่นคือ A = {0} โดยที่ x B {2 | x A}   จะได B = { 0 2 } = {1} ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของเซต 15. จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ จํานวนสมาชิกในครัวเรือน ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ผลบวกของสมาชิกทั้งหมดในเซต B เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1 4. 2 แทนเซตคําตอบของสมการ x x 2x 1 9 6 2 0     x 2 x x x 2 (3 ) (2 )(3 ) 2(2 ) 0       x x x x 3 2(2 ) 3 2 0    x x 3 0 , 2 0   ทําให x x 3 2(2 ) 0   ดังนั้นจากสมการ (*) x x 3 2 0   x x 3 2  x 0  B {2 | x A} } = {1} ดังนั้นผลบวกของสมาชิกทั้งหมดของเซต B เทากับ 1 จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ 30 ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้ จํานวนสมาชิกในครัวเรือน (คน) ความถี่สะสมสัมพัทธ 13.00 – 16.00 น. หน้า |38 x x 2x 1 9 6 2 0     x 2 x x x 2 (3 ) (2 )(3 ) 2(2 ) 0    x x x x 3 2(2 ) 3 2 0    ...(*) (*) จะไดวา x x 3 2 0   x x 3 2  x 0   ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้
  • 40.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ 1. มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 2. ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3. มี 24 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 5. มี 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมา ขอ 15 ตอบ 3. แนวคิด เนื่องจาก ความถี่สะสมสัมพัทธ จะได ความถี่สะสม จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ พิจารณาตัวเลือก จํานวนสมาชิกในครัวเรือน 1 2 3 4 5 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 จากขอมูลขางตน ขอใดตอไปนี้ผิด มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 3 คน ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 4 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก 2 คน เนื่องจาก ความถี่สะสมสัมพัทธ = ความถี่สะสม จํานวนขอมูลทั้งหมด = ความถี่สะสมสัมพัทธ  จํานวนขอมูลทั้งหมด จากการสํารวจจํานวนสมาชิกในครัวเรือนของ 30 ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้ 1 0.2 2 0.3 3 0.7 4 0.9 5 1.0 จํานวนสมาชิกในครัวเรือน (คน) ความถี่สะสมสัมพัทธ ความถี่สะสม 0.2 0.2 30 6   0.3 0.3 30 9   0.7 0.7 30 21   0.9 0.9 30 27   1.0 1.0 30 30   13.00 – 16.00 น. หน้า |39 จํานวนขอมูลทั้งหมด ครัวเรือน มีตารางแสดงความถี่สะสมสัมพัทธ ดังนี้ ความถี่สะสม ความถี่ 0.2 30 6   6 0.3 30 9   3 0.7 30 21   12 0.9 30 27   6 1.0 30 30   3
  • 41.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 1. เนื่องจากตําแหนงมัธยฐาน เทากับ แสดงวา มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ ดังนั้นตัวเลือก 1. ถูก 2. เนื่องจากจํานวนมากที่สุด แสดงวา ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ ดังนั้นตัวเลือก 2. ถูก 3. ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา ดังนั้นตัวเลือก 3. ผิด 4. ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย ดังนั้นตัวเลือก 4. ถูก 5. ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรื ดังนั้นตัวเลือก 5. ถูก ดังนั้น ตัวเลือกที่ 3 ผิด 16. กําหนดให 1 x f(x) x 2    ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เนื่องจากตําแหนงมัธยฐาน เทากับ N 1 30 1 15.5 2 2     ซึ่งมีไมเกินตําแหนงที่ แสดงวา มัธยฐานของจํานวนสมาชิกในครัวเรือน เทากับ 3 คน เนื่องจากจํานวนมากที่สุด 12 ครัวเรือนที่มีสมาชิกในครัวเรือน 3 คน แสดงวา ฐานนิยมของจํานวนสมาชิในครัวเรือน เทากับ 3 คน ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน นอยกวา 4 คน มี 12 + 3 + 6 = 21 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางนอย 4 คน มี 6 + 3 = 9 ครัวเรือนที่มีจํานวนสมาชิกในครัวเรือน อยางมาก 2 คน มี 6 + 3 = 9 ครัวเรือน 1 x x 2   เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ x 2   13.00 – 16.00 น. หน้า |40 ซึ่งมีไมเกินตําแหนงที่ 21 12 + 3 + 6 = 21 ครัวเรือน 6 + 3 = 9 ครัวเรือน ครัวเรือน 
  • 42.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ถา a เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ แลว 2a 1  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. – 2 3. 0 5. 2 ขอ 16 ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให 1 x f(x) x 2    พิจารณาหาคา 1 f (2)  สมมติให 1 f (2) x   จะได ดังนั้น 1 f (2) 1    จากสมการ 1 f(a f (2)) 1    ดังนั้น 1 2a 1 2( ) 1 2 2     17. ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย และให 2 f(x) ax bx 1    ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนจํานวนจริงที่สอดคลองกับ 1 f(a f (2)) 1    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 1 4. 1 1 x x 2   เมื่อ x เปนจํานวนจริงที่ x 2   f (2) ะได f(x) 2  1 x 2 x 2    1 x 2(2 x)    1 x 4 2x    3x 3   x 1   f(a f (2)) 1   จะได f(a 1) 1   1 (a 1) 1 (a 1) 2      2 a 1 a 1    2 a a 1    2a 1  1 a 2  2a 1 2( ) 1 2     เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย f(x) ax bx 1    สําหรับทุกจํานวนจริง x และ f( 1) 0   13.00 – 16.00 น. หน้า |41  f( 1) 0
  • 43.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ถาเรนจของ f เทากับ [0, )  1. 5 3. 8 5. 11 ขอ 17 ตอบ 4. แนวคิด ให a และ b เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย และให 2 f(x) ax bx 1    แทนคา x = 0 จะไดวา f(0) โดยที่ f( 1) 0   และเรนจของ แสดงวา y = f(x) มีกราฟเปนพาราโบลาหงาย มีจุดยอดที่จุด จากสมการพาราโบลาในรูป จะได จาก f(0) = 1 ; ดังนั้น ทําให 2 2 f(x) 1(x 1) x 2x 1      ดังนั้น ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 [0, )  แลวคาของ 2 1 f(x)dx   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 7 4. 9 เปนจํานวนจริงที่ไมเทากับศูนย f(x) ax bx 1    สําหรับทุกจํานวนจริง x f(0) 2 a(0 ) b(0) 1 1     เรนจของ f เทากับ [0, )  มีกราฟเปนพาราโบลาหงาย มีจุดยอดที่จุด (–1, 0) จากสมการพาราโบลาในรูป 2 y a(x h) k    เมื่อ (h, k) เปนจุดยอด 2 f(x) a(x 1) 0    2 f(x) a(x 1)   2 f(0) a(0 1)   1 a 1   a 1  2 2 f(x) 1(x 1) x 2x 1      2 1 f(x)dx   2 2 1 x 2x 1 dx      (0,1) ( 1,0)    X Y y f(x)  13.00 – 16.00 น. หน้า |42
  • 44.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 18. ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ ถาพาราโบลาผานจุด (3, 5) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2 3 2 1 x 2x x 3 2                   8 1 4 2 1 1 3 3                                9  ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ 2y = 3x และ มี y = 3 (3, 5) แลว สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้ 13.00 – 16.00 น. หน้า |43 4 2 1 1                         y = 3 เปนแกนสมมาตร แลว สมการของพาลาโบลารูปนี้ ตรงกับขอใดตอไปนี้
  • 45.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 1. 2 y 4x 6y 17 0     3. 2 y 4x 6y 7 0     5. 2 y 6x 4y 27 0     ขอ 18 ตอบ 1. แนวคิด ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ แสดงวาจุดยอดของพาราโบลาคือจุดตัดของเสนตรง แทน y = 3 ในสมการ 2y = 3x แสดงวาจุดยอดของพาราโบลาคือ เนื่องพาราโบลามีลักษณะแกนสมาตรขนานกับแกน แทนจุด (h, k) ดวยจุด (2, 3) ; โดยพาราโบลาผานจุด (3, 5) แทน 4c 4  ใน (*) จะไดสมการพาราโบลาคือ 19. ถา a และ b เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 y 4x 6y 17 0     2. 2 y 4x 6y 43 0     y 4x 6y 7 0     4. 2 y 6x 4y 23 0     y 6x 4y 27 0     ใหพาราโบลารูปหนึ่งมีจุดยอด อยูบนเสนตรงซึ่งมีสมการ 2y = 3x และ มี y = 3 แสดงวาจุดยอดของพาราโบลาคือจุดตัดของเสนตรง 2y = 3x และเสนตรง y = 3 2y = 3x จะได 2 3 3x   6 3x  x 2  แสดงวาจุดยอดของพาราโบลาคือ (2, 3) เนื่องพาราโบลามีลักษณะแกนสมาตรขนานกับแกน X จะไดสมการรูปมาตรฐานคือ 2 (y h) 4c(x h)    (2, 3) ; 2 (y 3) 4c(x 2)    (3, 5) แทน x = 3 แทน y = 5 ; 2 (5 3) 4c(3 2)    4 4c  จะไดสมการพาราโบลาคือ 2 (y 3) 4(x 2)    2 y 6y 9 4x 8     2 y 4x 6y 17 0     เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ X Y 2y 3x  y 3  13.00 – 16.00 น. หน้า |44 y 4x 6y 43 0     y 6x 4y 23 0     y = 3 เปนแกนสมมาตร y = 3 จะไดสมการรูปมาตรฐานคือ (y h) 4c(x h) (y 3) 4c(x 2) ...(*) (y 3) 4(x 2) y 6y 9 4x 8 
  • 46.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 a 2 2 2 log b 1 2log b 4 2    แลวคาของ 2 2 a b  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 25 3. 41 5. 68 ขอ 19 ตอบ 5. แนวคิด ให a และ b เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ สมมติให a x 2  และ y log b  จากสมการ a 2 2 2 log b 2log b 4 2   จากสมการ 2 2 a a 3 log b log b 2 4 2    แทน (2) ใน (1) ; ดังนั้น แต a x 2  ; แทน x = 4 ใน (2) ; จะได แต 2 y log b  ; ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 2log b 4 2 และ 2 2 a a 3 log b log b 2 4 2    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 36 4. 58 เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ a 2 2 2 log b 1 2log b 4 2    และ a a 3 log b log b 2 4 2  2 y log b  2 2 log b 1 2log b 4 2   จะได x y 1 2y 4 2    2x 2y 2y 4    2x 4y 4    2 2 a a 3 log b log b 2 4 2  จะได 3 y y x 4 x    3x xy xy 4y    3x 4y  2x 3x 4    x 4    x 4  a 2 4  a 2  4y 3 4   y 3  2 log b 3  13.00 – 16.00 น. หน้า |45 2 2 a a 3 log b log b 2 4 2    x y 1 2y 4 2 2x 2y 2y 4    2x 4y 4    ...(1) 3 y y x 4 x 3x xy xy 4y    3x 4y ...(2) 2x 3x 4    x 4    x 4 2 4 a 2 4y 3 4   y 3 log b 3
  • 47.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ดังนั้น 2 2 2 2 a b 2 8 68     20. ให L เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 3 b 2  b 8  2 2 2 2 a b 2 8 68     เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง L อยูหางจากจุด ( 1, 1)   และจุด (7,5) 13.00 – 16.00 น. หน้า |46 3 b 2 b 8   (7,5) เปนระยะทางเทากัน
  • 48.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ระยะหางระหวางเสนตรง L 1. 2.0 หนวย 3. 1.5 หนวย 5. 0.4 หนวย ขอ 20 ตอบ 1. แนวคิด โดยอาศัยสูตร ระยะหางจากจุด 1 2 (x ,y ) กับจุด ระยะหางจากจุด 1 2 (x ,y ) กับเสนตรง โจทยกําหนด ให L เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง สมมติให (x, y) เปนจุดใดๆบนเสนตรง เนื่องจากระยะทางจากจุด (x, y) จะได ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; x 2x 1 y 2y 1 x 14x 49 y 10y 25 นํา 4 หารตลอด ; ดังนั้นสมการเสนตรง L คือ ระยะหางระหวางเสนตรง L 21. กําหนดให u 2i j 2k       ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 L กับจุด (2,0)เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1.8 หนวย 4. 1.4 หนวย 1 2 (x ,y ) กับจุด 2 2 (x ,y ) คือ 2 2 1 2 1 2 (x x ) (y y )    1 2 (x ,y ) กับเสนตรง Ax + BY + C = 0 คือ 1 1 2 2 Ax By C A B    เปนเสนตรงซึ่งทุกจุดบนเสนตรง L อยูหางจากจุด ( 1, 1)   และจุด (7,5) เปนจุดใดๆบนเสนตรง L (x, y) อยูหางจากจุด ( 1, 1)   และจุด (7,5) เปนระยะทางเทากัน 2 2 2 2 (x 1) (y 1) (x 7) (y 5)        2 2 2 2 (x 1) (y 1) (x 7) (y 5)        2 2 2 2 x 2x 1 y 2y 1 x 14x 49 y 10y 25            16x 12y 72 0    4x 3y 18 0    คือ 4x 3y 18 0    L กับจุด (2,0) เทากับ 2 2 4(2) 3(0) 18 10 5 4 3      u 2i j 2k       และ v i 2j 2k        13.00 – 16.00 น. หน้า |47 2 2 1 2 1 2 (x x ) (y y ) 1 1 2 2 Ax By C A B    (7,5) เปนระยะทางเทากัน เปนระยะทางเทากัน 2 2 2 2 (x 1) (y 1) (x 7) (y 5)        2 2 2 2 (x 1) (y 1) (x 7) (y 5)        2 2 2 2 x 2x 1 y 2y 1 x 14x 49 y 10y 25            10 2 5   
  • 49.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 เวกเตอรในขอใดตอไปนี้ไมตั้งฉาก 1. 3i j    3. 4i 3 j 2k      5. 5 j 6k     ขอ 21 ตอบ 4. แนวคิด กําหนดให u 2i j 2k       จะได i j k u v 2 1 2 i j k 1 2 2           ตองการหาเวกเตอร w  ที่ไมตั้งฉากกับ พิจารณาตัวเลือก 1. โดยที่ (3i j) (u v) (3i j) ( 2i 6 j 5k)                  แสดงวา 3i j    ตั้งฉากกับ 2. โดยที่ (i 3 j 4k) (u v) (i 3 j 4k) ( 2i 6 j 5k)                  แสดงวา i 3 j 4k     3. โดยที่ (4i 3 j 2k) (u v) (4i 3 j 2k) ( 2i 6 j 5k)                  แสดงวา 4i 3 j 2k     4. โดยที่ (i j k) (u v) (i j k) ( 2i 6 j 5k)                     ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 ไมตั้งฉากกับเวกเตอร u v    2. i 3 j 4k      4. i j k      u 2i j 2k       และ v i 2 j 2k        i j k 1 2 2 2 2 1 u v 2 1 2 i j k 2 2 1 2 1 2 1 2 2                  (2 4)i ( 4 2)j (4 1)k           2i 6 j 5k        ที่ไมตั้งฉากกับ u v    แสดงวาเวกเตอร w (u v) 0       (3i j) (u v) (3i j) ( 2i 6 j 5k)                   3( 2) 1(6) 0(5) 0      3i j ตั้งฉากกับ u v    (i 3 j 4k) (u v) (i 3 j 4k) ( 2i 6 j 5k)                       1( 2) 3(6) 4(5) 0      i 3 j 4k      ตั้งฉากกับ u v    (4i 3 j 2k) (u v) (4i 3 j 2k) ( 2i 6 j 5k)                       4( 2) 3(6) 2(5) 0      4i 3 j 2k      ตั้งฉากกับ u v    (i j k) (u v) (i j k) ( 2i 6 j 5k)                       13.00 – 16.00 น. หน้า |48 u v 2 1 2 i j k  w (u v) 0       (i 3 j 4k) (u v) (i 3 j 4k) ( 2i 6 j 5k)               (4i 3 j 2k) (u v) (4i 3 j 2k) ( 2i 6 j 5k)                     (i j k) (u v) (i j k) ( 2i 6 j 5k)
  • 50.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 แสดงวา i j k      5. โดยที่ ( 5 j 6k) (u v) ( 5 j 6k) ( 2i 6 j 5k)                   แสดงวา 5 j 6k     จากการตรวจสอบจะไดวา เวกเตอร 22. กําหนดให a, b   และ c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1( 2) 1(6) 1(5) 1       i j k    ไมตั้งฉากกับ u v    ( 5 j 6k) (u v) ( 5 j 6k) ( 2i 6 j 5k)                     0( 2) 5(6) 6(5) 0      5 j 6k  ไมตั้งฉากกับ u v    จากการตรวจสอบจะไดวา เวกเตอร i j k      ไมตั้งฉากกับ u v    c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ a b c 0        13.00 – 16.00 น. หน้า |49 ( 5 j 6k) (u v) ( 5 j 6k) ( 2i 6 j 5k)   
  • 51.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ถา a i 2j      และขนาดของเวกเตอร แลว a b b c c a            1. – 18 3. 8 5. 18 ขอ 22 ตอบ 2. แนวคิด กําหนดให a, b   และ c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ โดยที่ a i 2j      จะได และขนาดของเวกเตอร b  และ นั่นคือ b 2   และ c 3  จาก a b c 0        จะได โดยสมบัติ 2 a a a ;      แทน a 5   ; โดยที่ a c c a ;        จาก a b c 0        จะได ดังนั้น โดยสมบัติ 2 2 2 b c b c 2(b c)            แทน a 5   , b 2   , จาก (1) และ (2) จะได a b b c c a 5 ( 4) 9     23. ถา A เปนเซตคําตอบของอสมการ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 และขนาดของเวกเตอร b  และ c  เทากับ 2 และ 3 หนวย ตามลําดับ a b b c c a          เทากับขอใดตอไปนี้ 2. – 9 4. 9 c  เปนเวกเตอรสามมิติ โดยที่ a b c 0        จะได 2 2 2 a 1 2 0 5      b  และ c  เทากับ 2 และ 3 หนวย ตามลําดับ c 3   จะได a (a b c) a 0            a a a b a c 0             a a a ; 2 a a b a c 0           2 ( 5) a b a c 0          5 a b a c 0          a b a c 5          a b c a 5          จะได b c a       2 2 b c a       2 2 2 b c b c 2(b c)            ; 2 2 2 b c 2(b c) a          b 2 , c 3   ; 2 2 2 2 3 2(b c) ( 5)       4 9 2(b c) 5       b c 4      a b b c c a 5 ( 4) 9                  เปนเซตคําตอบของอสมการ 1 x 0 x   13.00 – 16.00 น. หน้า |50 หนวย ตามลําดับ a (a b c) a 0  a b a c 5 a b c a 5 ...(1) b c a      2 2 b c a      2 2 2 b c 2(b c) a    2 2 2 2 3 2(b c) ( 5) 4 9 2(b c) 5 b c 4    ...(2) 
  • 52.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 และ B เปนเซตคําตอบของอสมการ แลว A B  เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ 1. ( ,0)  3. (0,5) 5. (6, )  ขอ 23 ตอบ 3. แนวคิด จาก A เปนเซตคําตอบของอสมการ โดยที่ 2 x 1 0   แสดงวา ดังนั้น A = (0, )  จาก B เปนเซตคําตอบของอสมการ ดังนั้น B = ( ,2] [3, )    และจะได A – B = (2,3) ซึ่งจะพบวา A – B = (2, 3) 24. ถา A เปนเซตคําตอบของ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตคําตอบของอสมการ 2 2x 3x 7x 12    เปนสับเซตของชวงในขอใดตอไปนี้ 2. ( 2,2)  4. (3,8) เปนเซตคําตอบของอสมการ 1 x 0 x   2 x 1 0 x   แสดงวา x 0  เปนเซตคําตอบของอสมการ 2 2x 3x 7x 12    2 2x 10x 12 0    2(x 2)(x 3) 0    x 2  หรือ x 3  ( ,2] [3, )    (2,3) B = (2, 3) (0,5)  เปนเซตคําตอบของ 2 2 | 3 2x x | x 2x 3      2 3    2 3 0 13.00 – 16.00 น. หน้า |51  A B
  • 53.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 และ B เปนเซตคําตอบของ แลวเซต A B  เทากับขอใดตอไปนี้ 1. { 3,1}  3. [ 4,3]  5. [ 4,1] {2,3}   ขอ 24 ตอบ 4. แนวคิด ให A เปนเซตคําตอบของ จะพบวา โดยสมบัติ x x   ก็ตอเมื่อ จากสมการ (1) จะได นํา –1 คูณตลอด ; ดังนั้น A ( , 3] [1, )      ให B เปนเซตคําตอบของ โดยสมบัติ 2 x x  ยกกําลังสองทั้งสองขาง โดยที่ 2 1 47 (x ) 0 2 4    ดังนั้น B [ 4,3]   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเซตคําตอบของ 2 | x x | 12   เทากับขอใดตอไปนี้ 2. [ 3,1]  4. [ 4, 3] [1,3]    2 2 | 3 2x x | x 2x 3      2 2 | 3 2x x | (3 2x x )       ก็ตอเมื่อ x 0  2 3 2x x 0    2 x 2x 3 0    (x 3)(x 1) 0    3 x   หรือ x 1  A ( , 3] [1, )      เปนเซตคําตอบของ 2 | x x | 12   ยกกําลังสองทั้งสองขาง ; 2 2 2 (x x) 12   2 2 2 (x x) 12 0    2 2 (x x 12)(x x 12) 0      2 1 47 (x 4)(x 3) (x ) 0 2 4            (x ) 0    แสดงวา (x 4)(x 3) 0    4 x 3    3  1    4  3    13.00 – 16.00 น. หน้า |52 | 3 2x x | x 2x 3      2 2 | 3 2x x | (3 2x x )       ...(1) x 1
  • 54.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 จะได A B [ 4, 3] [1,3]      25. ให z แทนสังยุค (Conjugate ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 A B [ 4, 3] [1,3]      Conjugate) ของจํานวนเชิงซอน z และ 2 i 1   4  3  1 13.00 – 16.00 น. หน้า |53  3 A B
  • 55.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ถา z (1 i)   เปนจํานวนจินตภาพแท และ แลว z z  มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 2 3. 4 5. 6 ขอ 25 ตอบ 4. แนวคิด กําหนดให z = x + yi โดยที่ z (1 i) (x yi) (1 i) (x 1) (y 1)i           แตโจทยกําหนด z (1 i)   โดยที่ 2 2 2 2 z 2(1 i) (x yi) 2(1 i) (x 2xyi y ) 2(1 2i 1)                 แตโจทยกําหนด 2 2 z 2(1 i)   แทน x = 1 ; ดังนั้น z = 1 + 2i จะได z z (1 2i)(1 2i) 1 (2i) 1 4 5          26. บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงาน 20 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนจํานวนจินตภาพแท และ 2 2 z 2(1 i)   เปนจํานวนจริง มีคาเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 3 4. 5 z = x + yi เมื่อ x,y R  z (1 i) (x yi) (1 i) (x 1) (y 1)i           z (1 i)   เปนจํานวนจินตภาพแท แสดงวา x 1 0   x 1 2 2 2 2 2 2 2 2 z 2(1 i) (x yi) 2(1 i) (x 2xyi y ) 2(1 2i 1) (x y ) (2xy 4)i                 2 2 z 2(1 i)   เปนจํานวนจริง แสดงวา 2xy 4 0   2(1)y 4 0   2y 4 0   2 2 z z (1 2i)(1 2i) 1 (2i) 1 4 5          20 คน เปนผูชาย 10 คน ฝายบริหารมีผูชาย 3 คน 13.00 – 16.00 น. หน้า |54 เปนจํานวนจริง x 1 0   x 1  2xy 4 0   2(1)y 4 0   2y 4 0   y 2  
  • 56.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ฝายผลิตมี 8 คน และฝายขายมี ถาสุมพนักงานมา 4 คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน และพนักงานฝายขายผูหญิง 1. 4 5 3. 8 4845 5. 16 4845 ขอ 26 ตอบ 5. แนวคิด บริษัทแหงหนึ่งมีพนักงาน 20 ฝายผลิตมี 8 คน และฝายขายมี สมมติให n แทนจํานวนผูหญิงของพนักงานฝายผลิตและฝายขายซึ่งมีจํานวนเทากัน แสดงวา พนักงานชายฝายผลิตมี พนักงานชายฝายขายมี โดยที่พนักงานผูชายทั้งหมด จะไดสมการคือ จะไดวา ฝายผลิต มีพนักงานหญิง ฝายขาย มีพนักงานหญิง สุมพนักงานมา 4 คนจาก 20 n(S) 5 19 3 17        เหตุการณที่สุมไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน n(E) 4 4 16       ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน P(E)    27. มีเลขโดด 5 ตัว คือ 1 , 2 , 3 , 4 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 คน และฝายขายมี 7 คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน คน ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน 3 และพนักงานฝายขายผูหญิง 1 คน เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 8 969 4. 16 969 20 คน เปนผูชาย 10 คน ฝายบริหารมีผูชาย 3 คน คน และฝายขายมี 7 คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน แทนจํานวนผูหญิงของพนักงานฝายผลิตและฝายขายซึ่งมีจํานวนเทากัน พนักงานชายฝายผลิตมี 8 – n คน พนักงานชายฝายขายมี 7 – n คน โดยที่พนักงานผูชายทั้งหมด 10 คน และฝายบริหารมีผูชาย 3 คน 3 + (8 – n) + (7 – n) = 10 18 – 2n = 10 2n = 8 n = 4 ฝายผลิต มีพนักงานหญิง 4 คน พนักงานชาย 8 – 4 = 4 คน ฝายขาย มีพนักงานหญิง 4 คน พนักงานชาย 7 – 4 = 3 คน 20 คน จะได 20 20! 20 19 18 17 n(S) 5 19 3 17 4 16!4! 4 3 2 1                    เหตุการณที่สุมไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน 3 คน และพนักงานฝายขายผูหญิง 4 4 4! 4! n(E) 4 4 16 3 1 1!3! 3!1!                ความนาจะเปนที่จะไดพนักงานฝายผลิตผูชายจํานวน 3 คนและพนักงานฝายขายผูหญิง n(E) 16 16 P(E) n(S) 5 19 3 17 4845       1 , 2 , 3 , 4 และ 5 นําเลขโดดเหลานี้มา 3 ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง 13.00 – 16.00 น. หน้า |55 โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน 3 คน โดยที่ฝายผลิตและฝายขายมีจํานวนผูหญิงเทากัน แทนจํานวนผูหญิงของพนักงานฝายผลิตและฝายขายซึ่งมีจํานวนเทากัน n(S) 5 19 3 17        คน และพนักงานฝายขายผูหญิง 1 คน จะได คนและพนักงานฝายขายผูหญิง 1 คน เทากับ  และใชเลขโดดทั้ง 3 ตัวนี้
  • 57.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน 1. 90 3. 360 5. 810 ขอ 27 ตอบ 3. แนวคิด มีเลขโดด 5 ตัว คือ 1 , 2 , 3 , 4 นําเลขโดดเหลานี้มา 3 ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง มีขั้นตอนในการสรางจํานวน ขั้นตอนที่ 1 เลือกจํานวนเต็มจาก มีจํานวนวิธีการเลือกเทากับ ขั้นตอนที่ 2 เลือกตัวเลข 1 มีจํานวนวิธีการเลือกเทากับ ขั้นตอนที่ 3 นําตัวเลขทั้ง 4 มีจํานวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเทากับ จากขั้นตอน 1 , 2 และ 3 จะไดจํานวนสี่หลักที่ตองการทั้งหมด 28. คาของ 2 x 1 ( x 1)(3x 2) lim 3x x 2      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก จะมีจํานวนนับสี่หลักที่ตองการทั้งหมดกี่จํานวน 2. 120 4. 600 1 , 2 , 3 , 4 และ 5 ตัวไมซ้ํากันและใชเลขโดดทั้ง 3 ตัวนี้เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก มีขั้นตอนในการสรางจํานวน 4 หลักนั้นดังนี้ เลือกจํานวนเต็มจาก 5 ตัวมา 3 ตัว มีจํานวนวิธีการเลือกเทากับ 5 5! 10 3 2!3!         วิธี 1 ตัวจากสามตัวที่เลือกมาที่เลขนั้นจะใช 2 หลัก อีก 2 มีจํานวนวิธีการเลือกเทากับ 3 2 3! 2! 3 1 2 1!2! 0!2!             วิธี 4 ตัว ซึ่งในกลุมตัวเลขนี้มีซ้ํา 2 ตัว มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน มีจํานวนวิธีการเรียงสับเปลี่ยนเทากับ 4! 12 2!  วิธี จะไดจํานวนสี่หลักที่ตองการทั้งหมด เทากับ 10 3 12 360    จํานวน ( x 1)(3x 2) 3x x 2     เทากับขอใดตอไปนี้ 13.00 – 16.00 น. หน้า |56 ตัวนี้เพื่อสรางจํานวนนับสี่หลัก 2 ตัวจะใชตัวเลขละ 1 หลัก ตัว มาเรียงสับเปลี่ยนเชิงเสน 
  • 58.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 1. 1 10  3. 1 10 5. 1 ขอ 28 ตอบ 3. แนวคิด 2 x 1 x 1 ( x 1)(3x 2) ( x 1)(3x 2) lim lim 3x x 2       29. ให a , b , c และ d เปนจํานวนจริง โดยที่ ขอใดตอไปนี้ถูกตอง ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2. 0 4. 1 5 2 x 1 x 1 ( x 1)(3x 2) ( x 1)(3x 2) lim lim (3x 2)(x 1) 3x x 2            x 1 ( x 1 lim    )(3x 2) (3x 2)( x 1    )( x 1)  x 1 3x 2 lim (3x 2)( x 1)      3(1) 2 (3(1) 2)( 1 1)     1 10  เปนจํานวนจริง โดยที่ 1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53        13.00 – 16.00 น. หน้า |57 )(3x 2) )( x 1)   1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53       
  • 59.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 1. c a b d    3. b d c a    5. d c a b    ขอ 29 ตอบ 1. แนวคิด ให a , b , c และ d เปนจํานวนจริง โดยที่ a 50 b 51 c 52 d 53 แสดงวา a + 50 = b สมมติให a + 50 = b – ดังนั้น a + 50 = k b – 51 = k c + 52 = k d – 53 = k โดยที่ k – 52 < k – 50 < k +51 < k + 53 ดังนั้น c < a < 30. หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2. c d a b    4. d b a c    เปนจํานวนจริง 1 1 1 1 a 50 b 51 c 52 d 53        a + 50 = b – 51 = c + 52 = d – 53 51 = c + 52 = d – 53 = k a + 50 = k  a = k – 50 51 = k  b = k + 51 c + 52 = k  c = k – 52 53 = k  d = k + 53 50 < k +51 < k + 53 c < a < b < d หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน 40 คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ 50 กิโลกรัม 13.00 – 16.00 น. หน้า |58 c d a b d b a c  คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา
  • 60.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้ 1. 0.10 3. 0.14 5. 0.16 ขอ 30 ตอบ 2. แนวคิด หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ นั่นคือ 50   และ   ให 1 2 N , N แทนจํานวนนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ 1 2 ,   แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนชาย และนักเรียนหญิงตามลําดับ 1 2 ,   แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ ถาหองเรียนนี้ มีนักเรียนชาย นักเรียนชายเทากับ 50 กิโลกรัม และ นั่นคือ 1 N 22  , 1   และ 2 N 40 22 18    โดยสูตรคาเฉลี่ยเลขคณิตรวม จะได จะพบวา 1 2    ทําใหสูตรความแปรปรวนรวมคํานวณไดจากสูตร ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 กิโลกรัม ถาหองเรียนนี้ มีนักเรียนชาย 22 คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายเทากับ 50 กิโลกรัม และ แลวน้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผันเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 0.12 4. 0.15 หองเรียนหองหนึ่งมีนักเรียน 40 คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนหองนี้เทากับ 50 กิโลกรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5   แทนจํานวนนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนชาย และนักเรียนหญิงตามลําดับ แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ ถาหองเรียนนี้ มีนักเรียนชาย 22 คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของ กิโลกรัม และ 4 กิโลกรัม ตามลําดับ 1 50   และ 1 4   N 40 22 18    โดยสูตรคาเฉลี่ยเลขคณิตรวม 1 1 2 2 1 2 N N N N       2 22(50) 18 50 40    2 2000 1100 18    2 50   ทําใหสูตรความแปรปรวนรวมคํานวณไดจากสูตร 13.00 – 16.00 น. หน้า |59 โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิต กิโลกรัม และ 4 กิโลกรัม ตามลําดับ คน ผลการสํารวจน้ําหนักของนักเรียนหองนี้ พบวา กิโลกรัม และสวนเบี่ยงเบนมาตรฐาน 5 กิโลกรัม แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของน้ําหนักของนักเรียนชาย และนักเรียนหญิงตามลําดับ แทนสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของนักเรียนชายและนักเรียนหญิงตามลําดับ คน โดยที่มีคาเฉลี่ยเลขคณิตและสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานของน้ําหนักของ
  • 61.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 จะได แสดงวา ดังนั้น น้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เทากับ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 2 2 2 1 1 2 2 1 2 N N N N       2 2 2 2 (22)(4 ) 18 5 40    2 2 1000 352 18    2 2 36   2 6   ดังนั้น น้ําหนักของนักเรียนหญิงมีสัมประสิทธิ์ของการแปรผัน เทากับ 2 2 6 50     13.00 – 16.00 น. หน้า |60 6 0.12 50   
  • 62.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 31. กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ... และ 1 2 3 n b , b , b , ...,b , ... ถา 1 a 1  และ 1 b 7  1. 3 70 3. 2 77 5. 6 77 ขอ 31 ตอบ 5. แนวคิด กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ... โดยมี n n 1 3 a 2     โดยสูตรผลบวกอนันตของอนุกรมเรขาคณิต จะได แทน 1 a 1  ; โดยพจนที่ n ของอนกุรมเรขาคณิต คือ กําหนดให 1 2 3 n b , b , b , ...,b , ... โดยมี n n 1 b 5     โดยสูตรผลบวกอนันตของอนุกรมเรขาคณิต จะได แทน 1 b 7  ; ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n n 1 3 a 2     1 2 3 n b , b , b , ...,b , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยมี n n 1 b 5     b 7  แลว n n 1 n a b    เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 7 70 4. 5 77 1 2 3 n a , a , a , ...,a , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยสูตรผลบวกอนันตของอนุกรมเรขาคณิต จะได 1 a 3 1 r 2   1 3 1 r 2   2 3 3r   1 r 3  ของอนกุรมเรขาคณิต คือ n 1 n 1 a a r   จะได n 1 n 1 n 1 1 a 1( ) ( ) 3 3   1 2 3 n b , b , b , ...,b , ...เปนลําดับเรขาคณิต โดยสูตรผลบวกอนันตของอนุกรมเรขาคณิต จะได 1 b 5 1 r   7 5 1 r   13.00 – 16.00 น. หน้า |61 3 2  n 1 n 1 1 1 a 1( ) ( ) 3 3    
  • 63.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 โดยพจนที่ n ของอนกุรมเรขาคณิต คือ ดังนั้น n 1 n n 1 n 1 ( ) a 3 b 2 7 3 2 7 6 7( ) 5          จะได n n 1 n 1 n 1 n a 1 5 1 5 1 1 1 6 6 b 7 6 7 6 7 5 7 11 77                  ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 7 5 5r   2 r 5   ของอนกุรมเรขาคณิต คือ n 1 n 1 n b r   จะได n 2 b 7( ) 5   n 1 n 1 n 1 n 1 1 1 5 1 5 ( ) b 2 7 3 2 7 6 7( )                      n 1 n 1 n 1 n 1 n 1 1 5 1 5 1 1 1 6 6 b 7 6 7 6 7 5 7 11 77 1 ( ) 6                                              13.00 – 16.00 น. หน้า |62 n 1 2 b 7( ) 5    1 5 1 5 1 1 1 6 6 b 7 6 7 6 7 5 7 11 77 1 ( ) 6                     
  • 64.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 32. ให 3 a b A 0 a 1 1 1 0             เมื่อ ถา 21 C (A) 2  และ detA 2 1. – 3 3. 2 5. 3 ขอ 32 ตอบ 5. แนวคิด ให 3 a b A 0 a 1 1 1 0             เมื่อ โดยที่ 21 C (A) 2  จะได เนื่องจาก detA 2   จะได 3(a)(0) a(1)( 1) b(1)(0) ( 1)ab a(0)(0) 3(1)(1)          แทน b = 2 ; ดังนั้น a + b = 1 + 2 = 3 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00           เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง detA 2   แลว a b  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 5 3 4. 7 3           เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง จะได 2 1 a b ( 1) 2 1 0      a(0) b(1) 2    (0 b) 2    b 2  detA 2 จะได 3 a b 0 a 1 2 1 1 0       3(a)(0) a(1)( 1) b(1)(0) ( 1)ab a(0)(0) 3(1)(1) 2          a ( ab 3) 2       a ( 2a 3) 2       a 3 2    a 1  a + b = 1 + 2 = 3 13.00 – 16.00 น. หน้า |63 ( 1) 2 a(0) b(1) 2 (0 b) 2 b 2 0 a 1 2   2          a ( ab 3) 2       a ( 2a 3) 2       a 3 2    a 1  
  • 65.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 33. กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ ถา f(0) 0  แลว f(2) เทากับขอใดตอไปนี้ 1. 1 3. 2 5. 3 ขอ 33 ตอบ 1. แนวคิด กําหนดให f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ x ; x 1 f (x) x 1 ; x 1          สําหรับ x < 1 จะได โดยที่ f(0) = 0 ; ดังนั้นสําหรับ x < 1 จะได สําหรับ x > 1 จะได ดังนั้น 2 2 x 2 f(x) x x c ; x 1 2            ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง โดยที่ x ; x 1 f (x) x 1 ; x 1          f(2) เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 1.5 4. 2.5 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง x ; x 1 x 1 ; x 1    f(x) xdx   2 1 x f(x) c 2   2 1 0 0 c 2   1 c 0  จะได 2 x f(x) 2  f(x) x 1 dx    2 2 x f(x) x c 2    2 2 x ; x 1 2 x c ; x 1     13.00 – 16.00 น. หน้า |64 x ; x 1 x 1 ; x 1   
  • 66.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 โดยที่ f เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แสดงวา f ตอเนื่องที่ x = 1 ดังนั้น ดังนั้น 2 2 x 2 f(x) x x 1 ; x 1 2            ทําให 2 2 f(2) 2 1 1 2     ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนฟงกชันตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง x = 1 ดวย ทําให x 1 lim f(x)  หาคาได x 1 x 1 lim f(x) lim f(x)      2 2 2 x 1 x 1 x x lim lim x c 2 2                      2 2 2 1 1 1 c 2 2    2 c 1  2 x ; x 1 2 x 1 ; x 1     โดยที่ f(1) = x 1 1 lim f(x) 2   f(2) 2 1 1     13.00 – 16.00 น. หน้า |65          1 2  
  • 67.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 34. ให f เปนฟงกชัน นิยามโดย เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ถาฟงกชัน f ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว 1. 25 3. 9 5. 1 6 ขอ 34 ตอบ 1. แนวคิด ให f เปนฟงกชัน นิยามโดย เมื่อ a และ b เปนจํานวนจริง ฟงกชัน f ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แสดงวา จาก f ตอเนื่องที่ x = 1 จะได ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนฟงกชัน นิยามโดย 2 2 2 x ; x 0 x x ax (b a)x b f(x) ; 0 x 1 x 1 (x b) ; x 1                     เปนจํานวนจริง ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แลว f(a b)  เทากับขอใดตอไปนี้ 2. 16 4. 4 2 2 2 x ; x 0 x x ax (b a)x b f(x) ; 0 x 1 x 1 (x b) ; x 1                     เปนจํานวนจริง ตอเนื่องบนเซตของจํานวนจริง แสดงวา f ตอเนื่องที่ x = 0 และ x = 1 จะได x 1 f(1) lim f(x)   2 2 x 1 ax (b a)x b (1 b) lim x 1         2 x 1 (ax b)(x 1) (1 b) lim x 1        2 x 1 (1 b) lim (ax b)      2 (1 b) a b    13.00 – 16.00 น. หน้า |66 ; x 0 f(x) ; 0 x 1 (x b) ; x 1    เทากับขอใดตอไปนี้ ; x 0 f(x) ; 0 x 1 (x b) ; x 1    x = 1 ดวย ax (b a)x b    ...(1)
  • 68.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 จาก f ตอเนื่องที่ x = 0 จะได 2 a(0 ) (b a)(0) b x    แทน b = 1 ใน (1) ; ดังนั้น 2 x x x 3x 2x 1 f(x) ; 0 x 1 x 1 (x 1) ; x 1                   จะได a + b = 3 + 1 = 4 ดังนั้น f(a b) f(4) (4 1) 25      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 จะได x 0 f(0) lim f(x)   2 x 0 a(0 ) (b a)(0) b x lim 0 1 x x         x 0 x b lim x(1 x)     x 0 1 b lim 1 x     1 b 1 0   b 1  2 (1 1) a 1    4 a 1   a 3  2 2 x ; x 0 x x 3x 2x 1 f(x) ; 0 x 1 x 1 (x 1) ; x 1           a + b = 3 + 1 = 4 2 f(a b) f(4) (4 1) 25      13.00 – 16.00 น. หน้า |67 ...(2) 
  • 69.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 35. โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง มีขอมูล ดังนี้ เดือน จํานวนสินคาที่ผลิต (x) (หนวยเปนชิ้น) ยอดขายสินคา(y) (หนวยเปนบาท) จากการสํารวจพบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น ถาจํานวนสินคาผลิต 10,000 1. 600,000 บาท 3. 660,000 บาท 5. 760,000 บาท ขอ 35 ตอบ 2 แนวคิด โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง มีขอมูล ดังนี้ เดือน จํานวนสินคาที่ผลิต (x) (หนวยเปนชิ้น) ยอดขายสินคา(y) (หนวยเปนบาท) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง ม.ค. ก.พ. มี.ค. ... ) 1 x 2 x 3 x ... 1 y 2 y 3 y ... คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ 6,000 ชิ้น คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ 380,000 บาท ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง และถาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น 1,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 10,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้ 2. 620,000 บาท 4. 720,000 บาท โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง ม.ค. ก.พ. มี.ค. ... ) 1 x 2 x 3 x ... 1 y 2 y 3 y ... 13.00 – 16.00 น. หน้า |68 โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง พ.ย. ธ.ค. 11 x 12 x 11 y 12 y ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 60,000 บาท ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับขอใดตอไปนี้ โรงงานผลิตสินคาแหงหนึ่งไดสํารวจยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตในแตละเดือนของปหนึ่ง พ.ย. ธ.ค. 11 x 12 x 11 y 12 y
  • 70.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 จากการสํารวจ 12 เดือนพบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ แสดงวา 12 i i 1 x 6,000 12    คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ แสดงวา 12 i i 1 y 380,000 12    ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง แสดงวาสมการทํานายคือ โดยมีสมการปกติสมการหนึ่งคือ จะได นํา 12 หารตลอด ; โจทยกําหนดวาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น นั่นคือ ถาจํานวนสินคาที่ผลิตเทากับ เมื่อนําไปแทนใน (1) จะได นํา (3) – (1) ; แทน m = 60 ใน (2) ; ดังนั้นสมการทํานายคือ y 60x 20,000 และเมื่อผลิตสินคาจํานวน 10,000 จะไดยอดขายสินคาโดยประมาณ ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เดือนพบวา คาเฉลี่ยเลขคณิตของจํานวนสินคาที่ผลิต เทากับ 6,000 ชิ้น 6,000 12 i i 1 x 12 6,000      คาเฉลี่ยเลขคณิตของยอดขายสินคา เทากับ 380,000 บาท 380,000 12 i i 1 y 12 380,000      ยอดขายสินคาและจํานวนสินคาที่ผลิตมีความสัมพันธเชิงฟงกชันแบบเสนตรง y mx c   โดยมีสมการปกติสมการหนึ่งคือ 12 12 12 i i i 1 i 1 i 1 y m x c         12 380,000 m(12 6,000) 12c     380,000 6,000m c   โจทยกําหนดวาจํานวนสินคาผลิตเพิ่มขึ้น 1,000 ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น ถาจํานวนสินคาที่ผลิตเทากับ x + 1,000 ชิ้น ยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับ y 60,000 m(x 1,000) c     y 60,000 mx 1,000m c     60,000 1,000m  m 60  380,000 6,000(60) c   c 20,000  y 60x 20,000   10,000 ชิ้น จะไดยอดขายสินคาโดยประมาณ 60(10,000) 20,000 620,000   บาท 13.00 – 16.00 น. หน้า |69 ...(1) 12 380,000 m(12 6,000) 12c ...(2) ชิ้น แลวยอดขายสินคาโดยประมาณเพิ่มขึ้น 60,000 บาท ชิ้น ยอดขายสินคาโดยประมาณเทากับ y + 60,000 บาท ...(3) 
  • 71.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 ตอนที่ 2 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข จํานวน 10ขอ (ขอ 36 36. ให A เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต ขอ 36 ตอบ 0.5 แนวคิด ให A เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ จะได สมบัติ a log b a b ;  ดังนั้น หาคา log ทั้งสองขาง ; log x 3log2 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 แบบอัตนัย ระบายคําตอบที่เปนตัวเลข 36 – 45) ขอละ 9 คะแนน เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ x log x log 8 2 log 2 (2x) 4 ( 2)          แลวผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับเทาใด เปนเซตคําตอบทั้งหมดของสมการ log x x log x log8 2 log 2 (2x) 4 ( 2)          2 1 ( log x) x log x (log 8 ) 2 2 log 2 (2x) 2 2          2 log (x ) x log x log 64 2 log 2 (2x) 2 2          1 x log x log64 2 2 log 2 (2x) 2 x          1 2 x log x log 64 x 2 (2x) 2 2    x log x log 64 x 2 (2x) 2 2    log x log 64 (2x) 2 0   log x log 64 (2x) 2     log x log 64 log (2x) log 2  log x log(2x) log64log2    6 log x log x log2 log2 log2   2 2 (log x) (log2)(log x) 6(log2)   2 2 (log x) (log2)(log x) 6(log2) 0       log x 3 log2 log x 2log2 0    log x 3log2   หรือ log x 2log2  13.00 – 16.00 น. หน้า |70 2 log x log 2 (2x) 4 ( 2)          2 log x log 2 (2x) 4 ( 2) 2 1 ( log x) 2 log 2 (2x) 2 2 1 2 2 log (x ) log 2 (2x) 2 2 1 2 log 2 (2x) 2 x 1 2 x log x log 64 x log x log 64  log x log 64 log (2x) log 2 log x log(2x) log64log2 6 log x log x log2 log2 log2 2 2 (log x) (log2)(log x) 6(log2) log x 2log2 
  • 72.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 log x log2 เนื่องจากคา 3 2 และ 2 2 ดังนั้นเซตคําตอบของสมการคือ ทําใหผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 3 log x log2  หรือ log x log2  3 x 2  หรือ 2 x 2  2 2 เปนจํานวนบวกและเมื่อแทนในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง ดังนั้นเซตคําตอบของสมการคือ A =   3 2 2 , 2  ทําใหผลคูณของสมาชิกทั้งหมดในเซต A เทากับ 3 2 1 1 2 2 2 0.5 2       13.00 – 16.00 น. หน้า |71 2 log x log2  2 x 2  เปนจํานวนบวกและเมื่อแทนในสมการแลวทําใหสมการเปนจริง 2 2 2 0.5 
  • 73.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 37. ให 5 sec A 3   และ sin A 0 คาของ 5sinA cotA 1 cotAcosecA   ขอ 37 ตอบ 52 แนวคิด ให 5 sec A 3   และ sin A 0 เนื่องจาก sec A < 0 แต จาก 5 sec A 3   จะไดสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป จากรูปจะได sin( A)    cot( A)    ดังนั้น 5sin A cotA 13 16 1 cotA cosec A 3 5 15 4 1   x 4  ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 sin A 0  เมื่อ 0 A 2    5sinA cotA 1 cotAcosecA เทากับเทาใด sin A 0  เมื่อ 0 A 2    แต sin A > 0 ทําให A 2     จะไดสามเหลี่ยมมุมฉาก ดังรูป โดยทฤษฎีบทปทาโกรัส 4 sin( A) 5    4 sin A 5   ทําให cosecA 3 cot( A) 4    3 cotA 4    3 cotA 4    4 3 3 5( ) ( ) 4 5sin A cotA 13 16 5 4 4 52 1 cotA cosec A 3 5 15 4 1 1 ( )( ) 1 4 4 16            5 3 A 13.00 – 16.00 น. หน้า |72 โดยทฤษฎีบทปทาโกรัส 2 2 2 x 3 5   2 x 16  x 4  1 5 cosecA sin A 4   3 4    52 
  • 74.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 38. กําหนดให x , y , z และ x 2 1 k   , y x 2 2 2   ถา x , y , z เปนลําดับเลขคณิต แลว ขอ 38 ตอบ 6 แนวคิด กําหนดให x , y , z และ x 2 1 k   , y x 2 2 2   จาก x 2 1 k   จะได y x 2 2 2 (1 k) 2 3 k        z y 2 2 4 (k 3) 4 k 7        โดยโจทยกําหนด x , y , z ดังนั้น จะได แทน k = 1 ใน (1), (2) และ x 2 1 1 2 x 1      y 2 3 1 4 y 2      z 2 1 7 8 z 3      ดังนั้น x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 และ k เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ y x 2 2 2   และ z y 2 2 4   เปนลําดับเลขคณิต แลว x y z   เทากับเทาใด และ k เปนจํานวนจริง ที่สอดคลองกับ y x 2 2 2   และ z y 2 2 4   2 1 k   ...(1) y x 2 2 2 (1 k) 2 3 k        ...(2) z y 2 2 4 (k 3) 4 k 7        ...(3) x , y , z เปนลําดับเลขคณิต แสดงวา x y y 2 , 2 , 2 เปนลําดับเรขาคณิต y z x y 2 2 2 2  3 k k 7 1 k k 3      2 (3 k) (1 k)(k 7)     2 2 9 6k k 7 8k k      k 1  และ (3) จะได 2 1 1 2 x 1      2 3 1 4 y 2      2 1 7 8 z 3      x + y + z = 1 + 2 + 3 = 6 13.00 – 16.00 น. หน้า |73 เปนลําดับเรขาคณิต 
  • 75.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 39. ให 2 f(x) 5 x   สําหรับทุกจํานวนจริง ถา f(x 1) ; x R g(x) 1 ; x R         คาของ (f g)(6) (g f)(3)    ขอ 39 ตอบ 8 แนวคิด ให 2 f(x) 5 x   สําหรับทุกจํานวนจริง เนื่องจาก 2 x 0   ทําให นั่นคือ เรนจของ f คือ f R ( ,5] โดยที่ g(x)  จะได g(x)  จะได g(6) = 1 (f g)(6) f(g(6)) f(1) 5 1 4       f(3) = 5 3 4    (g f)(3) g(f(3)) g( 4) 5 ( 4 1) 4           จาก (1) และ (2) จะได (f g)(6) (g f)(3) 4 ( 4) 8 ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 สําหรับทุกจํานวนจริง x และให f R เปนเรนจของ f f f f(x 1) ; x R 1 ; x R    (f g)(6) (g f)(3)   เทากับเทาใด สําหรับทุกจํานวนจริง x และให f R เปนเรนจของ f ทําให 2 5 x 5   แสดงวา f(x) 5  f R ( ,5]   f f f(x 1) ; x R g(x) 1 ; x R          2 5 (x 1) ; x 5 g(x) 1 ; x 5           2 (f g)(6) f(g(6)) f(1) 5 1 4      2 5 3 4    2 (g f)(3) g(f(3)) g( 4) 5 ( 4 1) 4          (f g)(6) (g f)(3) 4 ( 4) 8        13.00 – 16.00 น. หน้า |74 ...(1) ...(2) 
  • 76.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 40. กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... โดยที่ 1 3 a a 7   และ คาของ 1 2 3 50 a a a ... a     ขอ 40 ตอบ 6,050 แนวคิด กําหนดให 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... ให d เปนผลตางรวมของลําดับเลขคณิต โดยที่ 1 3 a a 7   จะได โดยที่ นํา 2 หารตลอด ; แทน 2 2a 7  ; จาก 2 2a 7  จะได a จากสูตรผลบวก n พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต จะได 1 2 3 50 50 a a a ... a S      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... เปนลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง และ 2 4 6 8 a a a a 74     1 2 3 50 a a a ... a     เทากับเทาใด 1 2 3 n a , a , a , ..., a , ... เปนลําดับเลขคณิตของจํานวนจริง เปนผลตางรวมของลําดับเลขคณิต จะได 2 2 (a d) (a d) 7     2 2a 7  2 4 6 8 a a a a 74     2 2 2 2 a (a 2d) (a 4d) (a 6d) 74        2 4a 12d 74   2 2a 6d 37   7 6d 37   d 5  2 7 a 2  ทําให 1 2 7 3 a a d 5 2 2       พจนแรกของอนุกรมเลขคณิต   n 1 n S 2a (n 1)d 2    1 2 3 50 50 a a a ... a S        1 50 2a (50 1)d 2    50 3 2( ) (50 1)5 2 2             25 3 245    6,050  13.00 – 16.00 น. หน้า |75 (a d) (a d) 7 2a 7 a a a a 74 a (a 2d) (a 4d) (a 6d) 74        4a 12d 74   2a 6d 37   7 6d 37   d 5  7 3 2 2       S 2a (n 1)d 
  • 77.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 41. ให c เปนจํานวนจริง และให ถาคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับ ขอ 41 ตอบ 33 แนวคิด ให c เปนจํานวนจริง และให 3 2 f(x) x 12x 45x c      จะได 2 f (x) 3x 24x 45      สมมติให f (x) 0   จะได จะไดคาวิกฤติไดแก –3 , –5 เนื่องจาก f (x) 6x 24     และ f ( 3) 6( 3) 24 6 0          f ( 5) 6( 5) 24 6 0         โจทยกําหนดคาสูงสุดสัมพัทธของ แสดงวา f(–3) = 53 ดังนั้น แทน c = –1 จะได f(x) x 12x 45x 1      ดังนั้น 3 2 f( 1) ( 1) 12( 1) 45( 1) 1 1 12 45 1 33               ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนจํานวนจริง และให 3 2 f(x) x 12x 45x c      สําหรับทุกจํานวนจริง เทากับ 53 แลวคาของ f(c) เทากับเทาใด 3 2 f(x) x 12x 45x c      สําหรับทุกจํานวนจริง x f (x) 3x 24x 45     2 3x 24x 45 0     2 3(x 8x 15) 0     3(x 3)(x 5) 0     x 3 , 5    5 f (x) 6x 24    f ( 3) 6( 3) 24 6 0         แสดงวา f( 3)  เปนคาสูงสุดสัมพัทธ f ( 5) 6( 5) 24 6 0        แสดงวา f(–5) เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ โจทยกําหนดคาสูงสุดสัมพัทธของ f เทากับ 53 ดังนั้น 3 2 ( 3) 12( 3) 45( 3) c 53         27 108 135 c 53     54 c 53   c 1   3 2 f(x) x 12x 45x 1      3 2 f( 1) ( 1) 12( 1) 45( 1) 1 1 12 45 1 33               13.00 – 16.00 น. หน้า |76 สําหรับทุกจํานวนจริง x x 3 , 5    เปนคาสูงสุดสัมพัทธ เปนคาต่ําสุดสัมพัทธ ( 3) 12( 3) 45( 3) c 53         27 108 135 c 53     54 c 53   c 1   f( 1) ( 1) 12( 1) 45( 1) 1 1 12 45 1 33               
  • 78.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 42. กําหนดให 1 F และ 2 F เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     ถา a, b และ c เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม มี 1 2 F F เปนเสนผานศูนยกลาง ขอ 42 ตอบ 36 แนวคิด กําหนดให 1 F และ 2 F เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน จัดสมการใหมดังนี้ นํา 20 หารตลอด ; ดังนั้นกราฟไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางขนานแกน มีจุดศูนยกลางคือ (1, –2) มีคา 2 a 4  และ 2 b 5  โดยความสัมพันธของ a, b, c ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     เปนจํานวนจริง ที่ทําใหวงกลม 2 2 x y ax by c 0      เปนเสนผานศูนยกลาง แลวคาของ 2 2 2 a b c   เทากับเทาใด เปนโฟกัสของไฮเพอรโบลารูปหนึ่งซึ่งมีสมการเปน 2 2 5x 4y 10x 16y 31     2 2 5(x 2x) 4(y 4y) 31     2 2 5(x 2x 1) 4(y 4y 4) 31 5 16         2 2 5(x 1) 4(y 2) 20     2 2 (x 1) (y 2) 1 4 5     ดังนั้นกราฟไฮเพอรโบลามีแกนตามขวางขนานแกน X 2 b 5  a, b, c ของไฮเพอรโบลา คือ 2 2 2 c a b   2 c 4 5   2 c 9  c 3  X Y (1, 2)     1 F 2 F 13.00 – 16.00 น. หน้า |77 x y ax by c 0      5(x 2x) 4(y 4y) 31 5(x 2x 1) 4(y 4y 4) 31 5 16         5(x 1) 4(y 2) 20 2 2 2
  • 79.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 โดยที่ 1 2 F F เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม โดยที่ 1 2 F F 6  จะไดวงกลมนี้มีรัศมีเทากับ และมีจุดศูนยกลางเปนจุดเดียวกันกับจุดศูนยกลางของไฮเพอรโบลา ซึ่งคือจุด แสดงวาสมการวงกลมคือ แสดงวาวงกลมที่ 2 2 x y ax by c 0      ดังนั้น a = –2 , b = 4 , c = ทําให 2 2 2 2 2 2 a b c ( 2) 4 ( 4) 4 16 16 36            ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเสนผานศูนยกลางของวงกลม 2 2 x y ax by c 0      วงกลมนี้มีรัศมีเทากับ 3 และมีจุดศูนยกลางเปนจุดเดียวกันกับจุดศูนยกลางของไฮเพอรโบลา ซึ่งคือจุด (1, 2 2 2 (x h) (y k) r     2 2 2 (x 1) (y 2) 3     2 2 x 2x 1 y 4y 4 9       2 2 x y 2x 4y 4 0      2 2 x y ax by c 0      มีสมการคือ 2 2 x y 2x 4y 4 0      2 , b = 4 , c = –4 2 2 2 2 2 2 a b c ( 2) 4 ( 4) 4 16 16 36            13.00 – 16.00 น. หน้า |78 x y ax by c 0      (1, –2) x y 2x 4y 4 0      
  • 80.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 43. กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ และเมทริกซผูกพันของ A คือ คาของ   det x adj(A) เทากับเทาใด ขอ 43 ตอบ 1,323 แนวคิด กําหนดให A เปนเมทริกซที่มีมิติ และเมทริกซผูกพันของ A คือ จะไดวา det adj(A) 2 x 2 2 x det adj(A) det adj(A) โดยสมบัติ   det adj(A) det(A)  จากสมการ (1) จะได แทน det(A) 7   ; โดยสมบัติ n det(kA) k det(A)  ดังนั้น   det x adj(A) det 3adj(A) 3 det(A) 27( 7) 1,323      ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 เปนเมทริกซที่มีมิติ 3 3  โดยที่ det(A) 7   คือ 4 1 x adj(A) 2 x 2 1 5 1                 เมื่อ x เปนจํานวนจริงบวก เทากับเทาใด เปนเมทริกซที่มีมิติ 3 3  โดยที่ det(A) 7   คือ 4 1 x adj(A) 2 x 2 1 5 1                   4 1 x 4 1 det adj(A) 2 x 2 2 x 1 5 1 1 5             det adj(A)  (–4x + 2 + 10x) – ( 2 x – 40 + 2)   det adj(A)  2 x 6x 40      n 1 det adj(A) det(A)   เมื่อ A เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด   3 1 2 det(A) x 6x 40      3 1 2 ( 7) x 6x 40       2 x 6x 9 0    2 (x 3) 0   x 3  n det(kA) k det(A)  เมื่อ A เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด n n      3 1 3 2 det x adj(A) det 3adj(A) 3 det(A) 27( 7) 1,323       13.00 – 16.00 น. หน้า |79 เปนจํานวนจริงบวก 40 + 2) ...(1) เปนเมทริกซจัตุรัสขนาด n n  det(A) x 6x 40     ( 7) x 6x 40      n n  3 2 det x adj(A) det 3adj(A) 3 det(A) 27( 7) 1,323      
  • 81.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 44. กําหนดให {1, 2, 3, ...}   f(1,m) 1  สําหรับ f(n,m) 0  สําหรับ f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       คาของ f(2,4) เทากับเทาใด ขอ 44 ตอบ 4 แนวคิด กําหนดให {1, 2, 3, ...}   f(1,m) 1  สําหรับ f(n,m) 0  สําหรับ f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       จะได f(2, 2) f(2, 3) f(3, 3) ดังนั้น f(2, 4) ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 {1, 2, 3, ...} สําหรับ m   สําหรับ n,m   โดยที่ n m  f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       สําหรับ n,m  เทากับเทาใด {1, 2, 3, ...} สําหรับ m   สําหรับ n,m   โดยที่ n m  f(n,m 1) f(n 1,m) f(n,m) f(n 1,m)       สําหรับ n,m  f(2, 2) = f(2, 1+1) = f(1, 1) + f(2, 1) + f(3, 1) = 1 + 0 + 0 = 1 f(2, 3) = f(2, 2+1) = f(1, 2) + f(2, 2) + f(3, 2) = 1 + 1 + 0 = 2 f(3, 3) = f(3, 2+1) = f(2, 2) + f(3, 2) + f(4, 2) = 1 + 0 + 0 = 1 f(2, 4) = f(2, 3+1) = f(1, 3) + f(2, 3) + f(3, 3) = 1 + 2 + 1 = 4 13.00 – 16.00 น. หน้า |80 n,m   และ n 2  n,m   และ n 2  
  • 82.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 45. กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง z พื้นที่ใตเสนโคง คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ นาย ก. สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ คะแนนสอบของนาย ข. แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เท ขอ 45 ตอบ 54 แนวคิด คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ นั่นคือ 20   และให  แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนหองนี้ นาย ก. และนาย ข. เปนนักเรียนในหองนี้ ให 1 2 x , x แทนคะแนนของ นาย ก นาย ก. สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข ดังนั้น โดยที่คะแนนสอบของนาย ก จากสูตรคามาตรฐาน x z  แทน 20   ; แทน 1 2 x 2x  ; ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 กําหนดตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z ดังตาราง 0.7 1.3 2.42 0.2580 0.4032 0.4922 คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 20 คะแนน นาย ก. และนาย ข. เปนนักเรียนในหองนี้ สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข. และคะแนนสอบของนาย ก คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1.3 ถามีนักเรียนรอยละ 24.2 ที่สอบไดคะแนนนอยกวา แลวคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับเทาใด คะแนนสอบวิชาคณิตศาสตรของนักเรียนหองหนึ่ง มีการแจกแจงปกติ และมีสวนเบี่ยงเบนมาตรฐานเทากับ 20 คะแนน แทนคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบของนักเรียนหองนี้ เปนนักเรียนในหองนี้ แทนคะแนนของ นาย ก. และ นาย ข. สอบไดคะแนนเปนสองเทาของคะแนนสอบของนาย ข. 1 2 x 2x  คะแนนสอบของนาย ก. คิดเปนคะแนนมาตรฐานเทากับ 1.3 x z     จะได 1 x 1.3     1 x 1.3 20    1 x 26    2 2x 26    13.00 – 16.00 น. หน้า |81 2.42 0.4922 เปนนักเรียนในหองนี้ และคะแนนสอบของนาย ก. ที่สอบไดคะแนนนอยกวา ากับเทาใด 1 2 ...(1) 1.3 1.3 x 26 2x 26 ...(2)
  • 83.
    รหัสวิชา 71 ความถนัดทางคณิตศาสตร วันเสารที่22 กุมภาพันธ 2563 โดยที่มีนักเรียนรอยละ 24.2 จะลงตําแหนงของคะแนนนาย ข แสดงวาพื้นที่ใตเสนโคงปกติตั้งแต ตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง จะไดวาคะแนนมาตรฐานของคะแนนสอบของ นาย ข จากสูตรคามาตรฐาน x z  แทน 20   ; นํา 2 คูณตลอด ; นํา (2) – (3) ; ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับ 24.2% 50% 24.2% 25.8%   ความถนัดทางคณิตศาสตร เวลา 13.00 24.2 ที่สอบไดคะแนนนอยกวาคะแนนสอบของนาย ข. จะลงตําแหนงของคะแนนนาย ข. บนเสนจํานวนของเสนโคงปกติ ดังนี้ แสดงวาพื้นที่ใตเสนโคงปกติตั้งแต 2 x ถึง  เทากับ 25.8 0.2580 100  ตารางแสดงพื้นที่ใตเสนโคงปกติมาตรฐานระหวาง 0 ถึง z จะไดวาคะแนนมาตรฐานของคะแนนสอบของ นาย ข. เทากับ –0.7 x z     จะได 2 x 0.7      2 x 0.7 20     2 x 14     2 2x 2 28     2 2 (2x ) (2x 2 ) 26 ( 28)         54   ดังนั้นคาเฉลี่ยเลขคณิตของคะแนนสอบครั้งนี้ เทากับ 54 คะแนน   2 x 50% 24.2% 25.8%   13.00 – 16.00 น. หน้า |82 0.7 0.7 x 14 2x 2 28     ...(3) (2x ) (2x 2 ) 26 ( 28)         54 