1. Болгарт бага ангийн математикийн дугуйлан ажиллуулж байгаа туршлагаас
МОНГОЛ УЛСЫН ГАВЬЯАТ БАГШ Б.СОДНОМДОРЖ
Саяхан Болгарт математикийн сургалтын төлөвлөгөөнд өөрчлөлт хийж хичээлээсгадуурхи
ажлын агуулга шинэчилсэн байна. Математикийн дугуйлан болонсурагчидын дунд зохиогддог
олимпиад, конкурс уралдаан тэмцээнүүд нь хичээлээс гадуурхи ажлын гол хэлбэр болдог. Энэ
нь манай одоогийн математикийн хөгжүүлэх сургалттай ангиудтай дүйцэхүйц бөгөөд
хөгжүүлэх ангийн хичээлийн хөтөлбөр болон сургалтандаа ашиглахад хэрэгтэй гэж бодон
энэхүү туршлагын гол санааг бичиж байна. Үнэхээр манай хувьд бага ангид хөгжүүлэх сургалт
явуулах нэгдсэн хөтөлбөр байдаггүй, хүн болгон өөрийн бодлоор явуулдаг бөгөөд шаардлага
хангадаггүй. Ялангуяа гарын авлага сурах бичиг их дутагдалтай. Тэгвэл Болгарт багш нарт
гарын авлага болгон хэд хэдэн төрлийн сурах бичиг гаргажээ. Үүнээс IV ангид “Математикийн
дугуйлан удирдсан багшид тусламж” номны тухай товч дурдъя.
Ном нь 3 бүлгээс бүрдэнэ.
 Арифметик
 Геометрийн ертөнц
 Математикийн шигтгээ
-Арифметик бүлэгт
 Цээж тооллын дадлага ба арифметик үйлдлийн чанарыг ашиглах нь
 Тооны үүсэл
 Тооллын систем ба тооны янз бүрийн бичиглэл
 Бутархай , процент болон диаграмм оролцсон бодлогууд
 Өгүүлбэртэй бодлогууд
 Тооны хуваагдах чанар
 Бүхэл тоон тэгшитгэл
- Геометрийн ертөнц бүлэгт
 Дүрсийн тэгш хэм ба хээ
 Тэгш өнцөгт параллелопипед, түүний эзэлхүүн, гадаргуугын талбай
- Математикийн шигтгээ бүлэгт
 Логик бодлогууд
 Граф түүний элементүүд
 Дирихлейн зарчим
 Тоон тааврууд гэсэн хэсгүүдтэй байна
Дээрхи сэдвүүд нь хөгжүүлэх ангийн хөтөлбөртэй нягт уялддаг байна. Мэдээж бүх сэдвүүдэд
холбогдох бодлогуудыг бичлэг, бодолт, зураглал зэргийг оролцуулан дэлгэрэнгүй
тайлбарласан. Гол анхаарал хандуулсан асуудал нь стандарт бус бодлогонууд , зарим
бодолтуудыг оруулсан бөгөөд логик сэтгэлгээ өвөрмөц арга зэргийг эрхэмлэсэн байдаг.Бодлого
бодох энгийн аргуудыг сурагчидад эзэмшүүлэхэд анхаарахаас гадна бодлого бодох гэдэг нь юу
болох шийдтэй, шийдгүй бодлого гэж байдаг талаар номонд өгүүлжээ.
Мөн бага насны сурагчдын сэтгэл зүйн онцлогыг харгалзан математикийг сонирхох сонирхлыг
төрүүлэх улам гүнзгийрүүлэн дуртай болгоход бодлогонуудын сонголт их үүрэгтэй байдгийг
онцолжээ.
Геометрийн ертөнц бүлэгт тэгш өнцөгт параллелопипедийн болон түүгээр бүтсэн геометрын
дүрсийн эзэлхүүн болон гадаргуугын талбайг олох элдэв хээ, гоѐл чимэглэлийн тухай, түүний
тэгш хэмт чанарыг өгүүлсэн бодлого орсон байна.
Харин математикийн шигтгээ бүлэгт бидний стандарт бус гэж нэрлэдэг бодлогууд болон логик
бодлого, Дирихлейн зарчмаар бодогддог бодлогонууд оржээ. Ийм төрлийн бодлогонуудыг
бодож сурснаар сурагчдын математикт дурлах сонирхол нэмэгдэж математик бодлогонд
хандах хандлага сайн тал руугаа өөрчлөгдөж байгаа нь мэдэгдсэн байна. Дирихлейн зарчмын
талаар хойно дэлгэрэнгүй өгүүлэх болно.
Уг номонд орсон зарим бодлогонуудаас үзүүлье.
Сургуулийн шигшээ баг 2тэмцээнд оролцжээ. 1-р тэмцээнд 150 онооноос 114 оноо , 2-р
тэмцээнд 160 онооноос 120 оноо авчээ. Алинд нь шигшээ амжилттай оролцсон бэ?

2. 1. Асен, Владимер, Ирена 3 өглөө хоол иджээ. Асен боов, сок аваад 27ст, Владимер боов, торт,
сок аваад 51ст, Ирена торт, сок аваад 36ст төлцгөөжээ. (Болгарын мөнгөний нэгж-ст), 1лев1төгрөг, 1стотинка-1мөнгө . Боов, торт, сок тус тус ямар үнэтэй вэ?
Бодолт:
а-торт, в-боов, с-сок гэвэл
 в  c  27

a  в  c  51 гэсэн систем үүснэ.
 a  c  36

а  в  c  a  27  51 а  24
Эндээс с  12
а  в  c  в  36  51 в  15
1.
Нэг ангийн хүүхдүүд баяраар бүгд ижилхэн бэлэг авав. Бүгд 123 мандарин, 82 алим
байв.
Хүүхэд бүр хэдэн мандарин ба алим байсан бэ?
Бодолт: Хэрвээ 123 ба 82-ыг үржигдэхүүнд задалбал 123  3  41 ба 82  2  41 болно.
Эндээс харахад ангид 41 сурагч байсан бөгөөд хүүхэд бүр гурван мандарин хоѐр алим авсныг
төвөггүй харж болно.
4.Маргарита дэвтэр ба харандаа 2 лев 14ст-аар худалдан авав.Дэвтэр 13ст, харандаа 10ст бол
хичнээн дэвтэр харандаа худалдан авсан бэ?
x, y -ээр худалдан авсан дэвтэр харандааны тоог тэмдэглэсэн гэвэл 13x  10 y  214
гэсэн тэгшитгэл гарна. 10 y нь 0-ээр төгсөх нь тодорхой.Тэгвэл x нь 8-иар төгсөх нь
илэрхий.Учир нь 13x
үржвэр 4-өөр төгсөж байгаа. 13 *18 гэвэл 234 болж
13 *18  234  214 ...... x  8 болох нь эндээс y  11 болно.
Бодолт:
5.Тэгш өнцөгт паралелопипедийн эзлэхүүн хэрхэн өөрчлөгдөх вэ?
a)
b)
c)
d)
Түүний уртыг 2 дахин ихэсгэвэл ............
Өргөнийг 2дахин багасгавал .................
Уртыг 2 дахин ихэсгэж,өндрийг 2 дахин багасгавал,...........
Урт ба өргөнийг10%-иар ихэсгэж,өндрийг 20%-иар багасгавал,.....
Бүх тохиолдолд бусад элементүүд нь өөрчлөгдөхгүй гэж үзнэ.
Бодолт: г)
vn  a  b  c гэвэл :(а-рт,в-өргөн,с-өндөр) г) урт нь 10%-иар нэмэгдэхэд
a 11a
11b

, өргөн нь
, өндөр нь с болно
10 10
10
багасна. a, b, c тохиолдлыг бие даан бодоорой.
a
=
а
в с=
болж хуучнаасаа
6.Анна ,Лили,Диана 3 хөнгөн атлетикийн тэмцээнд оржээ. Хөгжөөн дэмжигчид нь дараах
таамгийг дэвшүүлжээ.

Диана хоѐрт ,Анна түрүүлнэ, Лили хоѐрт, Анна 3т орно,
Лили түрүүлж, Диана 3т орно гэж 3янзаар хэлэв
Хэрвээ таамгуудын нэг нь зөв нөгөө нь худал байсан бол охидуудын хэн нь хэддүгээр байранд
орсон бэ? Бодолт: Охидуудыг нэрийн эхний үсгээр нэрлэе.А.Л.Д гэе 1-р таамагт Д-2 гэдэг нь
үнэн бол А-1 худал болж А-3 байрт орно. Л-1 Д-2 А-3 гэсэн дарааллаар байр эзэлсэн . Энэ нь
2-р таамагт Л-2 гэвэл худал А-3 үнэн болж Л.Д.А таарч байгаа. 3-р таамагт Л-1 үнэн ба Д-3
гэвэл худал болоод Л-1 Д-2 А-3 гэсэн хариу таарч байгаа

3. 1-ээр таамаглая Д-2 нь худал А-1 нь үнэн гэвэл А,Л,Д дараалал үүснэ.Үүнийг 2-р таамаглалтай
харьцуулая А-3 худал Л-2 гээд А,Л,Д тохирч байна. 3-р тай харьцуулвал Л-1 худал Д-3 гэдэг
үнэн болж А-1 Л-2 Д-3 гэсэн хариу тохирч байна.
Дирихлейн зарчимтай холбоотой хэсэг дээр нилээн тогтож ярилцая.Дирихлейн зарчмыг
Болгарууд хайрцгийн
зарчим гэж ярьж бичдэг гэнэ.
Математикийн энэ зарчмыг
танилцуулахын тулд хэд хэдэн энгийн бодлого авч үзье.
Бодлого: 1.Хайрцагт улаан хөх өнгийн оймснууд байв.Ижил өнгийн хөх оймстой болхын тулд
хайрцагнаас таамгаар хэдэн удуу авах вэ?
Бодолт: Хамгийн азгүй тохиолдолд 2 удаа авахад улаан хөх гэсэн 1,1 оймс авна. 3 дахь нь
эсвэл улаан эсвэл хөх гарч ижил анги хөх оймстой болно. Хариу:3 удаа
Бодлого: 2.Хайрцагт улаан хөх шар харандаанууд байв
a.
b.
c.
Ижил анги 2 харандаатай
Ижил анги 3 харандаатай
Ижил анги 4 харандаатай
байхын тулд хамгийн багадаа харалгүйгэр хэдэн удаа авах вэ?
Бодолт: (в) Хамгийн азгүй тохиолдол нь ижил өнгийн 3,3харандаа гараад ирэх тохиолдол
юм.Энэ нь 9 удаа авсан гэсэн үг.10 харандаа авахад дор хаяж ижил өнгийн 4 харандаа олдоно.
|а,в тохиолдлыг бие дааж бодоорой.|
Дирихлейн зарчим
Хэрвээ m элемент n хайрцагт байрлаж байвал
m  n аль
нэг хайрцагт дор хаяж 2
элемент байна.
Нилээд өргөтгөж авая
хайрцагт
m  n  R
Хэрвээ m элемент n
| R-нь натурал тоо| байрлаж байвал к
элемент агуулсан хайрцаг
олдоно.
Бодлогo N3:Анги 37 сурагчтай Эдний нэг сард төрсөн 4 хүүхэд олдох уу?
Бодолт: Олдоно
37  12  3
Энд m=37
n=12
байна.
Бодлого 5: Анги 30 сурагчтай.Зарим нь хоорондоо найз . Найзынх нь тоо тэнцүү ядаж
2сурагчийг олж болно гэж батал.
1-р Бодолт:Нэг сурагч 0,1...29 найзтай . нэг талаас ангид огт найзгүй сурагч байгаа гэе .Тэгвэл
29 найзтай сурагч байхгүй 1 сурагч 0,1.....28 найзтай байх 29 тохиолдол байна. Эндээс
хүүхдийн тоо |элемент|30 найзын боломж (хайрцаг) 29 учир 2 сурагч ижил тооны найзтай .
2-р Бодолт : Ангид бүх хүүхэдтэй үерхэдэг 1 сурагч байгаа гэе. (Тэр 29 найзтай) тэгвэл найзгүй
сурагч байхгүй .Найзын тоо 1,2...........29 байгаа 30 сурагч байгаа тул 2 сурагч ижил тооны
найзтай.
Бодлого 6: 3см талтай квадратад 10 цэг дурын байдлаар оршино. Ядаж 2 цэгийг дарах
1см талтай квадрат олж болох уу?

4. Бодолт:Квадратын тал бүрийг 3 тэнцүү хэсэгт хуваая.Тэдгээрийг дайруулан шулуун татая.
Тэгвэл 11 хэмжээтэй 9 квадрат үүснэ.Одоо цэг нь элемент ,хайрцаг нь квадрат болохоор
Дирихлегийн зарчмаар 2 цэг дарсан квадрат олдоно.
Бодлого 7: Хавтгай дээр 6 цэг өгөгдөв .Эдгээр цэгүүдийг холбосон хэрчмүүд улаан хөх 2 янзаар
будагдсан байна.Бүх тал нь ижил өнгөөр будагдсан эдгээр хэрчмүүдээс бүтсэн гурвалжин байх
уу?
Бодолт: Эдгээр цэгүүдийг A,B,C ...гэж нэрлээд А-цэгийг авч түүнээс гарах 5-хэрчмийг
сонирхоѐ.
B
5хэрчмийн ядаж 3нь нэг өнгөтэй AB, AC AД нь улаан (хөх) өнгөтэй болог .
C
BC,CD, BD хэрчмүүдийн ядаж 1 нь улаан (хөх) өнгөтэй .
A
D Эндээс бид улаан (хөх) гурвалжныг олно.Хэрэв 3-лаа хөх (улаан )
E
өнгөтөй бол BDC нь (хөх) өнгийн гурвалжин байна Бодолт дуусав.
PS:Бодлогын нөхцөл бүдэг байна.Учир нь эдгээр цэгүүдийн аль ч 3 нь нэг шулуун дээр
оршихгүй байх ѐстой.
Бие дааж бодох бодлогууд
1. Хүүхдийн цэцэрлэгт 7лев ба 10левийн үнэтэй 2 төрлийн бөмбөг худалдан
авахдаа 165лев зарцуулав.Төрөл бүрээс хичнээн бөмбөг авсан бэ?
2. 62-леb- тэй байж 9лев-ын жижиг талх,10 лев-ын үнэтэй чихэр өөрт мөнгө
үлдээхгүйгээр худалдан авч болох уу?
3. Галя, Анна Борис Велина 3 найзыгаа гэртээ урьжээ.Ширээн дээр алим
мандарин усан үзэмтэй таваг байв.Хүүхэд бүр нэгл төрлийн жимс сонгосон
байв. Хэрвээ дараах зүйл мэдэгдэж байвал хэн ямар жимс сонгосон вэ?
 Анна усан үзэмд дургүй
 Галя мандарин иддэгүй
 Борис алим аваагүй
 Галя Велина 2 ижил жимс сонгосон
 Хүүхдүүдийн зөвхөн нэг нь усан үзэм авсан
4.Дурын 3 натурал тооны дотор нийлбэр нь 2-т хуваагдах 2 тоо олдоно гэж батал.
5.Кубын дурын зэрэгцээ 2 ирмэг нь өөр өнгөтөй байхаар 2 өнгөөр будаж болох уу?
6. Зургаан хүний дотор эсвэл 3 нь танил эсвэл 3 нь танил биш байх хүмүүсийг олж болно гэж
батал.
7. 6 хот өгөгджээ.Дурын нэг хотоос нөгөө хотод эсвэл автобус эсвэл галт тэргээр очиж
болно.Энэ 6 хотуудаас нэг төрлийн тээврийн хэрэгсэлээр очиж болох 3 хот олдох уу?
8. 6 хүн шатрын тэмцээнд оролцов. Дурын үед эсвэл хоорондоо тоглосон ,эсвэл тоглоогүй
гурвалыг олж болно гэж батал.
9. Хайрцагт 10 улаан, 8 хөх,8ногоон ,4шар харандаа байв.Хайрцагнаас харалгүйгээр хамгийн
багадаа хэдэн удаа авахад ,ядаж
a.
b.
4харандаа нэг өнгөтэй
Өөр өөр өнгөтэй 4 харандаа

5. c.
d.
e.
Шар өнгийн нэг харандаа
Хөх өнгийн 6 харандаа авч болох вэ?
10.Зооринд адилхан хэмжээтэй 40 ш варень байв. 8 нь гүзээлзгэний ,7- нь чавганы, 25нь нэрсний варень байсан бол харанхуйд авахдаа цаана нь нэг төрлийн 4 варень нөгөө
төрлийн 3 варень баараггүй үлдсэн байхаар хамгийн ихдээ хэдэн варень авах вэ?