Ένα επαναληπτικό διαγώνισμα στα κεφάλαια των ταλαντώσεων, των κρούσεων, των απλών αρμονικών κυμάτων (μόνο θεωρία) και της μηχανικής στερεού σώματος (μέχρι ροπή και ισορροπία). Καλή επιτυχία! :)

1. Επαναληπτικό Διαγώνισμα για τα Κούλουμα!
25 Φεβρουαρίου 2017
Θέμα 1
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση σε κάθε μία από τις παρακάτω περιπτώσεις:
1. Σε μία εξαναγκασμένη αρμονική ταλάντωση:
(αʹ) το πλάτος της ταλάντωσης για δεδομένη τιμή της συχνότητας παρα-
μένει σταθερό,
(βʹ) η συχνότητα της ταλάντωσης ταυτίζεται με την ιδιοσυχνότητα του
συστήματος,
(γʹ) η διεγείρουσα δύναμη προσφέρει κάθε στιγμή ακριβώς όση ενέργεια
απορροφά η δύναμη απόσβεσης,
(δʹ) η συχνότητα διέγερσης καθορίζεται από τη συχνότητα της ταλάντω-
σης του συστήματος.
2. ΄Ενα τραίνο πλησιάζει έναν βράχο (δεν έχει τούνελ, όπως συνήθως, είναι
επίθεση αυτοκτονίας) με ταχύτητα vs < vήχου, με αποτέλεσμα ο ήχος
της κόρνας τού να αντανακλάται στον βράχο, οπότε:
(αʹ) ο μηχανοδηγός ακούει διακροτήματα,
(βʹ) ο μηχανοδηγός δεν ακούει κάποιον ήχο, αφού τα δύο κύματα «αλ-
ληλοαναιρούνται»,
(γʹ) ο μηχανοδηγός ακούει ήχο λόγω ανάκλασης από τον βράχο μεγα-
λύτερης συχνότητας από την κόρνα του τραίνου,
(δʹ) ο μηχανοδηγός ακούει ήχο λόγω ανάκλασης από τον βράχο μικρό-
τερης συχνότητας από την κόρνα του τραίνου.
3. ΄Ενα σώμα εκτελεί φθίνουσα αρμονική ταλάντωση όπου η δύναμη αποσβέ-
σεων είναι της μορφής Fb = −bv, b > 0, οπότε:
(αʹ) το πλάτος αυξάνεται λογαριθμικά με τον χρόνο,
(βʹ) η περίοδος της ταλάντωσης μειώνεται με τον χρόνο,
(γʹ) η ενέργεια της ταλάντωσης παραμένει σταθερή,
(δʹ) η ενέργεια μειώνεται εκθετικά με τον χρόνο.
1

2. 4. Δύο ίδια αρμονικά κύματα συμβάλλουν (χωρίς διαφορά φάσης) στην επι-
φάνεια νερού. Αν επαναλάβουμε το πείραμα σε λάδι τότε:
(αʹ) η περίοδος της ταλάντωσης των σημείων του μέσου θα μεταβληθεί,
(βʹ) το μήκος κύματος των δύο κυμάτων θα μεταβληθεί,
(γʹ) η ταχύτητα διάδοσης των δύο κυμάτων θα παραμείνει αναλλοίωτη,
(δʹ) τίποτα από τα παραπάνω.
5. Σε μία ανελαστική κρούση δύο σωμάτων ίδιας μάζας, όπου το ένα σώμα
κινείται με ταχύτητα v ενώ το άλλο παραμένει ακίνητο:
(αʹ) η ορμή δε διατηρείται,
(βʹ) τα δύο σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες αμέσως μετά την κρούση,
(γʹ) δημιουργείται πάντα συσσωμάτωμα μετά την κρούση,
(δʹ) τίποτα από τα παραπάνω.
Θέμα 2
1. Δύο σφαίρες με ίδια μάζα m συγκρούονται έκκεντρα και ελαστικά με την
πρώτη σφαίρα να κινείται με ταχύτητα v και τη δεύτερη να είναι αρχικά
ακίνητη. Να δείξετε ότι οι δύο σφαίρες μετά την κρούση θα κινούνται σε
διευθύνσεις κάθετες μεταξύ τους.
2. Δύο σώματα με μάζες m και 2m συγκρατούνται πάνω από δύο όμοια ελα-
τήρια ίδιας σταθεράς K με τα ελατήρια να βρίσκονται στη θέση φυσικού
μήκους τους. Τη χρονική στιγμή t0 αφήνουμε τα δύο σώματα με αποτέ-
λεσμα αυτά να εκτελούν τμήμα απλής αρμονικής ταλάντωσης. Αν t1, t2
οι χρόνικές στιγμές κατά τις οποίες τα δύο σώματα χάνουν την επαφή
τους από τα ελατήριά τους, να βρείτε τον λόγο
t1
t2
.
3. Σφαίρα ακτίνας R και μάζας M κρέμεται με νήμα από ταβάνι εργαστη-
ρίου με το νήμα να είναι κολλημένο στο σημείο A. Στο σημείο B με
ˆAOB = 90◦ κρεμάμε μέσω ενός νήματος ένα σώμα μάζας m. Να βρείτε
το συνημίτονο της γωνίας φ ως συνάρτηση των μαζών των δύο σωμάτων,
όπως αυτή φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
2

3. Θέμα 3
΄Ενα σώμα μάζας m = 2kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου
σταθεράς K = 50N
m του οποίου το πάνω άκρο είναι ακλόνητα στερεωμένο σε
ταβάνι εργαστηρίου. Τη χρονική στιγμή t0 = 0s εκτρέπουμε το σώμα κατά
d = 0, 2m και το εκτοξεύουμε με ταχύτητα v προς τα πάνω.
1. Να βρείτε την ταχύτητα v έτσι ώστε το πλάτος της ταλάντωσης να είναι
A = 0, 4m.
2. Να βρείτε την εξίσωση της ταλάντωσης του σώματος.
3. Να βρείτε τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία η κινητική ενέργεια του
συστήματος είναι τριπλάσια από τη δυναμική ενέργεια για δεύτερη φορά.
4. Να βρείτε την ταχύτητα v με την οποία ένα άλλο σώμα ίδιας μάζας πρέπει
να συγκρουστεί πλαστικά με το σώμα τη χρονική στιγμή t1 έτσι ώστε το
συσσωμάτωμα να εκτελέσει ταλάντωση με πλάτος A = 0, 4m.
Θέμα 4
Στην παρακάτω διάταξη είναι L1 = 2m, L2 =
√
3m τα μήκη των δύο ομογενών
ράβδων, M1 = 5kg, M2 = 4Kg οι μάζες των δύο ράβδων και φ = 3◦, θ = 60◦
οι δύο γωνίες. Επιπλέον, οι ράβδοι είναι ακλόνητα αρθρωμένες μεταξύ τους
στο σημείο O, το νήμα είναι οριζόντιο και όλο το σύστημα ισορροπεί.
3

4. 1. Να βρείτε την τάση του νήματος.
2. Να βρείτε τη δύναμη που ασκεί η άρθρωση A στην πρώτη ράβδο.
3. Δένουμε ένα μικρό σώμα μάζας m = 1kg πάνω στη M2 στο σημείο B.
Να βρείτε τότε την τάση του νήματος.
4. Αφήνουμε τη χρονική στιγμή t0 = 0s το σώμα m να ολισθήσει πάνω στις
ράβδους (με τις οποίες δεν παρουσιάζει τριβές) ξεκινώντας από το σημείο
B. Να βρείτε την τάση του νήματος σαν συνάρτηση του χρόνου.
Θεωρήστε ότι g = 10m
s2 και π2 = 10.
4