Φυσική Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα 2015

Περιεχόμενα
κεφάλαιο 1ο
ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ–ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ ......................................................................................... 5
Επαναληπτικά Θέματα
Ερωτήσεις ανάπτυξης
Α ομάδας ................................................................................................................... 5
Β ομάδας................................................................................................................... 6
Ερωτήσεις κλειστού τύπου............................................................................................ 9
Θέματα Εξετάσεων 2001-2014.....................................................................................12
ΘΕΜΑ 1ο ......................................................................................................................12
ΘΕΜΑ 2o ......................................................................................................................34
ΘΕΜΑ 3ο ......................................................................................................................50
ΘΕΜΑ 4ο ......................................................................................................................57
ΚΥΜΑΤΑ.....................................................................................................................................65
Α ομάδας .................................................................................................................65
Β ομάδας.................................................................................................................65
Ερωτήσεις κλειστού τύπου..........................................................................................69
Θέματα Εξετάσεων 2001-2014.....................................................................................72
ΘΕΜΑ 1ο ......................................................................................................................72
ΘΕΜΑ 2ο ......................................................................................................................95
ΘΕΜΑ 3ο ................................................................................................................... 111
ΘΕΜΑ 4ο ................................................................................................................... 121
ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ................................................................................................. 125

Α ομάδας .............................................................................................................. 125
Β ομάδας.............................................................................................................. 126
Ερωτήσεις κλειστού τύπου....................................................................................... 130
Θέματα Εξετάσεων 2001-2014.................................................................................. 132
ΘΕΜΑ 1ο ................................................................................................................... 132
ΘΕΜΑ 2ο ................................................................................................................... 146
ΘΕΜΑ 3ο ................................................................................................................... 158
ΘΕΜΑ 4ο ................................................................................................................... 166
ΚΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER........................................................................................... 191
Α ομάδας .............................................................................................................. 191
Β ομάδας.............................................................................................................. 191
Ερωτήσεις κλειστού τύπου................................................................................... 193
Θέματα Εξετάσεων 2001-2014.................................................................................. 194
ΘΕΜΑ 1ο ................................................................................................................... 194
ΘΕΜΑ 2o ................................................................................................................... 205
ΘΕΜΑ 3ο ................................................................................................................... 217
ΘΕΜΑ 4ο ................................................................................................................... 220
εφ’ όλης της ύλης …
ΘΕΜΑ 1ο & 2ο ............................................................................................................... 229
ΘΕΜΑ 3ο & 4ο ............................................................................................................... 262
Παράρτημα
Α. Θέματα εξετάσεων Ενιαίου Λυκείου – Ιούνιος 2014 ............................................. 305
Β. Επαναληπτικά Θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 – 2014...................................................... 313

κεφάλαιο
ηλεκτρικές – μηχανικές ταλαντώσεις

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 5
ΗΛΕΚΤΡΙΚΕΣ–ΜΗΧΑΝΙΚΕΣ ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
Α ομάδας
1. Αποδείξτε τη σχέση που δίνει τη δύναμη επαναφοράς σε τυχαία θέση για
σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
2. Θεωρώντας γνωστή τη σταθερά επαναφοράς αποδείξτε τη σχέση που δίνει
την περίοδο ταλάντωσης για σώμα μάζας m, που εκτελεί απλή αρμονική
ταλάντωση.
3. Αποδείξτε τη σχέση που δίνει την δυναμική ενέργεια σώματος, που εκτελεί
απλή αρμονική ταλάντωση σε τυχαία θέση.
4. Ποιες οι χρονικές εξισώσεις της δυναμικής, κινητικής και συνολικής ενέρ-
γειας σε σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Ποιες οι αντίστοιχες
γραφικές παραστάσεις.
5. Για σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση αποδείξτε ότι η ενέργειά
του είναι σταθερή και ανάλογη του τετραγώνου του πλάτους.
6. Ποιες οι εξισώσεις συναρτήσει της θέσης x για τη δυναμική, κινητική και
συνολική ενέργεια σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Ποιες
οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις;
7. Αποδείξτε τη σχέση που δίνει της μέγιστη ένταση ρεύματος με το μέγιστο
φορτίο του πυκνωτή σε ένα κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές
ταλαντώσεις;
8. Ποιες οι χρονικές εξισώσεις της δυναμικής ενέργειας ηλεκτρικού πεδίου,
δυναμικής ενέργειας μαγνητικού πεδίου και συνολικής ενέργειας για ένα
κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις; Ποιες οι αντί-
στοιχες γραφικές παραστάσεις;

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ6
9. Να αποδείξετε ότι σε φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις όπου η αντιτιθέμε-
νη δύναμη είναι ανάλογη της ταχύτητας, ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων
απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός.
10. Να αποδείξετε ότι σε φθίνουσες ταλαντώσεις όπου το πλάτος μειώνεται
εκθετικά με το χρόνο, ο λόγος δύο διαδοχικών ενεργειών στη θέση μέγιστης
απομάκρυνσης προς την ίδια κατεύθυνση διατηρείται σταθερός.
11. Ποια εξίσωση ταλάντωσης προκύπτει για ένα σώμα που εκτελεί δύο τα-
λαντώσεις ίδιου πλάτους και λίγο διαφορετικών συχνοτήτων; Ποια η χρονι-
κή εξίσωση της ταχύτητας γι΄ αυτό το σώμα; Αποδείξτε τις.
12. Αποδείξτε τη σχέση που δίνει την περίοδο διακροτήματος.
Β ομάδας
13. Σε σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, η κινητική του ενέρ-
γεια γίνεται ίση με τη δυναμική του, κατά τη διάρκεια μιας περιόδου: α)
πόσες φορές, β) σε ποιες θέσεις συναρτήσει του πλάτους Α και γ) ποιες
χρονικές στιγμές σε συνάρτηση με την περίοδο της ταλάντωσης;
14. Σε ποια θέση και ποια χρονική στιγμή γίνεται για πρώτη φορά η κινητι-
κή ενέργεια σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση τριπλάσια από
τη δυναμική του;
15. Ποια η σχέση περιόδου κινητικής και δυναμικής ενέργειας με την περί-
οδο ταλάντωσης σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Ποια η
αντίστοιχή σχέση συχνοτήτων;
16. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής: α) της θέσης, β) της ταχύτητας, γ) της κι-
νητικής ενέργειας δ) της δυναμικής ενέργειας και ε) της ορμής, για ένα
σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στη θέση x=+A;
17. Για σώμα που εκτελεί απλή αρμο-
νική ταλάντωση δίνεται το γράφημα
θέσης χρόνου που φαίνεται στο παρα-
κάτω σχήμα.
α) Ποια η αρχική φάση ταλάντωσης;
β) Υπολογίστε τη χρονική στιγμή t1
συναρτήσει της περιόδου T.
18. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική τα-
λάντωση πλάτους Α και περιόδου Τ. Τη χρονική στιγμή to=0 το σώμα βρί-
σκεται στη θέση
A 2
2
, με ταχύτητα θετική.
t
x
−Α
Α
t1

α) Ποιες οι χρονικές εξισώσεις θέσης – χρόνου, ταχύτητας – χρόνου, επι-
τάχυνσης – χρόνου. Θεωρήστε γνωστά το πλάτος Α και την περίοδο Τ.
β) Ποιες οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις;
19. Σώμα μάζας m είναι προσδεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατη-
ρίου σταθεράς k το πάνω άκρο του οποίου είναι στερεωμένο ακλόνητα. Το
σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση ενέργειας Ε και η μέγιστη δυ-
ναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι U. Αν διπλασιάσουμε τη μάζα του σώ-
ματος διατηρώντας σταθερό το πλάτος ταλάντωσης:
α) Για την νέα ενέργεια ταλάντωσης Ε΄ ισχύει:
i) Ε΄=Ε, ii) E΄ > Ε, iii) E΄ < Ε
β) Για τη νέα μέγιστη δυναμική ενέργεια ελατηρίου U΄ ισχύει:
i) U΄=U, ii) U΄ > U, iii) U΄ < U
Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας.
20. Ποιος ο χρόνος ημίσειας ζωής για φθίνουσες ταλαντώσεις όπου το πλά-
τος τους μειώνεται εκθετικά με το χρόνο;
21. Σε φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος τη χρονική στιγμή to=0 είναι Αο και
μειώνεται εκθετικά με το χρόνο. Όταν το πλάτος ταλάντωσης θα γίνει Αο/2
το έργο της αντιτιθέμενης δύναμης θα είναι ίσο με:
α) −0,75∙Εο, β) −0,25∙Εο, γ) −Εο
Αιτιολογήστε την απάντησή σας.
22. Σε φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση όταν μειώνεται αντίσταση R για το
πλάτος έντασης ρεύματος ισχύει:
i) αυξάνεται.
ii) μειώνεται.
iii) αυξάνεται ο ρυθμός μείωσής του.
iv) μειώνεται ο ρυθμός μείωσής του.
23. Κατασκευάστε στο ίδιο διάγραμμα θέσης – χρόνου τη γραφική παρά-
σταση της αντίστοιχης συνάρτησης, εξαναγκασμένης ταλάντωσης (Α) με
συχνότητα διεγέρτη fδ=fo και (Β) με συχνότητα διεγέρτη fδ=fo/2.
24. Πως αλλάζει το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης όταν η συ-
χνότητα του διεγέρτη αυξάνεται;
25. Μηχανικό σύστημα έχει ιδιοπερίοδο Το. Αν η περίοδος του διεγέρτη εί-
ναι μικρότερη από την ιδιοπερίοδο του συστήματος και αρχίσουμε να αυ-
ξάνουμε τη περίοδο του διεγέρτη πως θα μεταβάλλεται το πλάτος ταλά-
ντωσης;
26. Απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές
ταλαντώσεις, που εξελίσσονται στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση
ισορροπίας και περιγράφονται από τις εξισώσεις, x1 = 0,4ημωt (S.I.) και x2
= 0,2ημ(ωt + φ) (S.I.) με π0 φ  . Έστω Ε η ενέργεια του ταλαντωτή όταν
εκτελεί τη συνισταμένη ταλάντωση και Ε1 και Ε2 είναι οι ενέργειες του τα-

λαντωτή όταν εκτελεί ξεχωριστά τις ταλαντώσεις x1 = f (t) και x2 = f (t) α-
ντίστοιχα.
Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
Αν ισχύει η σχέση Ε = Ε1 – Ε2, τότε η χρονική εξίσωση της συνισταμένης
ταλάντωσης, στο σύστημα μονάδων S.I. είναι:
α) x = 0,2 3
π
ημ ωt
3
 
 
 
β) x = 0,2  ημ πωt  γ) x = 0,2 3
π
ημ ωt
6
 
 
 
27. Σώμα εκτελεί δύο ταλαντώσεις ίδιου πλάτους και λίγο διαφορετικών
συχνοτήτων. Ποιο το πλήθος ταλαντώσεων του σώματος σε χρόνο ίσο με τη
περίοδο διακροτήματος συναρτήσει των συχνοτήτων f1 και f2 των συνιστω-
σών ταλαντώσεων;
28. Ποια η σχέση περιόδου διακροτήματος και περιόδου ταλάντωσης για
σώμα που εκτελεί δύο ταλαντώσεις ίδιου πλάτους και λίγο διαφορετικών
συχνοτήτων;

Ερωτήσεις κλειστού τύπου
Για τις παρακάτω προτάσεις σημειώστε (Σ), αν είναι σωστές και (Λ) αν είναι
λανθασμένες.
29. Σε σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η φάση της ταχύτητας
του προηγείται από τη φάση της θέσης του κατά
π
2
30. Σε σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση η φάση της επιτάχυν-
σης του προηγείται από τη φάση της θέσης του κατά
π
2
31. Η φάση της δύναμης για σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση
προηγείται απ’ αυτή της θέσης κατά π.
32. Σώμα αναρτάται στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου το πάνω ά-
κρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Από τη θέση ισορροπίας του
το βάλλουμε κατακόρυφα με ταχύτητα υο και αποκτά πλάτος ταλάντωσης
Α. Αν το βάλλουμε από τη θέση ισορροπίας του με 2υο τότε το πλάτος τα-
λάντωσής του θα διπλασιαστεί.
33. Για να μεταβεί σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση από τη
θέση ισορροπίας του απευθείας στη θέση
A
2
 χρειάζεται χρόνο
T
8
.
34. Σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση έχει αρχική φάση
3π
2
.
Μετά από χρόνο
T
Δt
4
 θα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του κινούμενο
με αρνητική ταχύτητα.
35. Σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, στη θέση όπου η κινητική
του ενέργεια είναι ίση με τη δυναμική του έχει ταχύτητα κατά μέτρο ίση με
το μισό της μέγιστης ταχύτητας που έχει αναπτύξει κατά την κίνησή του.
36. Κατά τη διάρκεια μιας απλής αρμονικής ταλάντωσης η δυναμική ενέρ-
γεια του συστήματος γίνεται μέγιστη τέσσερις φορές.
37. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση στερεωμένο σε άκρο ιδανικού
ελατηρίου σταθεράς k1 έχοντας συνολική ενέργεια Ε. Αν αλλάξουμε το ελα-
τήριο με ένα άλλο σταθεράς k2, με k2 = 4∙k1 και η ενέργεια της ταλάντωσης
παραμείνει Ε τότε το πλάτος ταλάντωσής του θα υποδιπλασιαστεί.

38. Κατά τη διάρκεια μιας περιόδου σε αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση, ο
πυκνωτής του κυκλώματος εκφορτίζεται μία φορά.
39. Κατά τη διάρκεια μιας περιόδου σε κύκλωμα που εκτελεί αμείωτες η-
λεκτρικές ταλαντώσεις, η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή γί-
νεται ίση με την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο τέσσερις φορές.
40. Πυκνωτής φορτίζεται από πηγή συνεχούς τάσης V και συνδέεται με τα
άκρα ιδανικού πηνίου οπότε το κύκλωμα εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές τα-
λαντώσεις. Αν τον ίδιο πυκνωτή τον φορτίζαμε με πηγή συνεχούς τάσης 2∙V
και τον συνδέαμε όπως πριν με το ίδιο πηνίο, τότε: (απαντήστε για κάθε
πρόταση ξεχωριστά)
α) Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του φορτίου στον
πυκνωτή θα διπλασιαζόταν γιατί το φορτίο θα ήταν περισσότερο από πριν.
β) Η συνολική ενέργεια του κυκλώματος θα τετραπλασιαζόταν.
γ) Το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της έντασης ρεύματος, τη στιγμή που ο
πυκνωτής θα ήταν πλήρως φορτισμένος θα ήταν διπλάσιος από πριν.
δ) Το πλάτος έντασης ρεύματος στο κύκλωμα θα παρέμενε σταθερό σε
σχέση με πριν.
41. Η τάση στα άκρα του πηνίου είναι μηδέν όταν και η τάση στα άκρα του
πυκνωτή είναι μηδέν.
42. Ο ρυθμός με τον οποίο μεταβάλλεται η τάση στα άκρα του πηνίου γίνε-
ται μέγιστος όταν η ένταση του ρεύματος που το διαρρέει γίνει μηδέν.
43. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση όπου η αντιτιθέμενη δύναμη εί-
ναι ανάλογη της ταχύτητας, η συνισταμένη των δυνάμεων στη θέση ισορ-
ροπίας του σώματος είναι μηδέν.
44. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση όπου το πλάτος ταλάντωσης
μειώνεται εκθετικά με το χρόνο, όταν αυξηθεί πολύ η σταθερά απόσβεσης
τότε η περίοδος της ταλάντωσης μειώνεται.
45. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση όπου η αντιτιθέμενη δύναμη εί-
ναι ανάλογη της ταχύτητας, το πλάτος το συστήματος στην δεύτερη ταλά-
ντωση Α2 υπολογίζεται από τη σχέση:
2
1
2
o
A
A
A
 , όπου Α1 το πλάτος στην
πρώτη ταλάντωση και Αο το αρχικό πλάτος.
46. Κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων αποτελείται από πυκνωτή χωρητι-
κότητας C και πηνίο συντελεστού αυτεπαγωγής L. Δεύτερο κύκλωμα ηλε-
κτρικών ταλαντώσεων κατασκευάζεται με ίδιο πυκνωτή και πηνίο αλλά με
διαφορετικά καλώδια διασύνδεσης. Στο πρώτο κύκλωμα η ένταση του ρεύ-
ματος μηδενίζεται οριστικά σε διπλάσιο χρόνο απ’ ότι στο δεύτερο. Άρα στο
δεύτερο κύκλωμα τα καλώδια διασύνδεσης είχαν μεγαλύτερη ωμική αντί-
σταση.

47. Για μηχανικό σύστημα που εκτελεί εξαναγκασμένες ταλαντώσεις, ιδιο-
συχνότητα ονομάζουμε τη συχνότητα με την οποία εκτελεί ταλάντωση.
48. Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις το πλάτος ταλάντωσης παραμένει
σταθερό, μόνο στην περίπτωση του συντονισμού.
49. Για να παραμείνει το πλάτος σταθερό σε μια εξαναγκασμένη ταλάντω-
ση πρέπει η διεγείρουσα δύναμη να είναι σταθερή.
50. Η ενέργεια που απορροφά το σύστημα σε μια εξαναγκασμένη ταλά-
ντωση, εξαρτάται από την συχνότητα με την οποία του προσφέρεται.
51. Ένα μηχανικό σύστημα που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση απορ-
ροφά ενέργεια καλύτερα αν η συχνότητα διεγέρτη είναι fδ=3fo/2, απ’ ότι η
συχνότητα διεγέρτη να ήταν fδ=3fo.
52. Αυξάνοντας την συχνότητα μιας πηγής εναλλασσόμενης τάσης που
τροφοδοτεί ένα κύκλωμα LC, αυξάνεται διαρκώς η μέγιστη ενέργεια του
μαγνητικού πεδίου.
53. Σώμα εκτελεί δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, που
γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση. Αν οι δύο ταλαντώ-
σεις δεν παρουσιάζουν διαφορά φάσης μεταξύ τους, τότε η συνολική ταλά-
ντωση που θα εκτελέσει το σώμα δεν θα έχει αρχική φάση.
54. Σώμα εκτελεί δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας, που
γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση. Το πλάτος ταλάντω-
σης που θα αποκτήσει το σύστημα γίνεται μέγιστο αν οι δύο ταλαντώσεις
είναι συμφασικές.
55. Όταν ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιου
πλάτους, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο και είναι ίδιας διεύθυνσης,
τότε η συχνότητα της ταλάντωσης που θα εκτελέσει είναι η μέση τιμή των
συχνοτήτων των δύο ταλαντώσεων.
56. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις του ίδιου
πλάτους και της ίδιας διεύθυνσης και λίγο διαφορετικών συχνοτήτων. Η
αρμονική ταλάντωση που θα εκτελέσει θα έχει μέγιστη απομάκρυνση δι-
πλάσια από το πλάτος της κάθε ταλάντωσης.

Θέματα Εξετάσεων 2001-2014
ΘΕΜΑ 1ο
1. Η εξίσωση της απομάκρυνσης σε έναν απλό αρμονικό ταλαντωτή, πλά-
τους A και κυκλικής συχνότητας ω, δίνεται από τη σχέση: x = Aημωt. Η εξί-
σωση της ταχύτητας δίνεται από τη σχέση:
α. υ = Aωημωt
β. υ = -Aωημωt
γ. υ = Aωσυνωt
δ. υ = -Aωσυνωt.
2. Το πλάτος ταλάντωσης ενός απλού αρμονικού ταλαντωτή διπλασιάζε-
ται. Τότε:
α. η ολική ενέργεια διπλασιάζεται
β. η περίοδος παραμένει σταθερή
γ. η σταθερά επαναφοράς διπλασιάζεται
δ. η μέγιστη ταχύτητα τετραπλασιάζεται.
3. Η ιδιοσυχνότητα ενός συστήματος που εκτελεί εξαναγκασμένη ταλά-
ντωση χωρίς τριβή είναι 20 Hz. Το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο
όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι:
α. 10 Hz β. 20 Hz γ. 30 Hz δ. 40 Hz .
4. Ηλεκτρικό κύκλωμα LC, αμελητέας ωμικής αντίστασης, εκτελεί ηλε-
κτρική ταλάντωση με περίοδο Τ. Αν τετραπλασιάσουμε τη χωρητικότητα του
πυκνωτή χωρίς να μεταβάλουμε το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου, τότε
η περίοδος της ηλεκτρικής ταλάντωσης θα είναι:
α. Τ/2 β. Τ γ. 2Τ δ. 4Τ .
5. Υλικό σημείο εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση υπό την επίδραση συ-
νισταμένης δύναμης F. Αν x είναι η απομάκρυνση του σημείου από τη θέση
ισορροπίας του και D θετική σταθερά, τότε για τη δύναμη ισχύει:
α. F = D β. F = D  x
γ. F = –D  x δ. F = 0
6. Ο ωροδείκτης ενός ρολογιού έχει περίοδο σε ώρες (h):
α. 1h β. 12h γ. 24h δ. 48h

7. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα της πρότασης και δίπλα τη
λέξη που τη συμπληρώνει σωστά.
α. Στη σύνθεση δύο αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυνσης, που
γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο με το ίδιο πλάτος και λίγο διαφορετικές συ-
χνότητες, ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις του πλάτους
ονομάζεται ........... του διακροτήματος.
8. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC στη διάρκεια µιας
περιόδου η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται ίση µε την
ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου:
α. µία φορά.
β. δύο φορές.
γ. τέσσερις φορές.
δ. έξι φορές.
9. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του διεγέρτη είναι μι-
κρότερη από την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή. Αυξάνουμε συνεχώς τη συ-
χνότητα του διεγέρτη. Το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα:
α. αυξάνεται συνεχώς.
β. μειώνεται συνεχώς.
γ. μένει σταθερό.
δ. αυξάνεται αρχικά και μετά θα μειώνεται.
10. Σώμα συμμετέχει ταυτόχρονα σε δύο απλές αρµονικές ταλαντώσεις
που περιγράφονται από τις σχέσεις x1=Αηµω1t και x2=Aηµω2t, των οποίων οι
συχνότητες ω1 και ω2 διαφέρουν λίγο µεταξύ τους. Η συνισταμένη ταλάντωση
έχει:
α. συχνότητα ω1-ω2 .
β. συχνότητα ω1+ω2 .
γ. πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδέν και 2Α.
δ. πλάτος που µεταβάλλεται µεταξύ των τιµών µηδέν και Α.
11. Nα γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα σε
κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη
λανθασµένη.
α. Σε µια εξαναγκασµένη ταλάντωση το πλάτος παραµένει σταθερό µε το
χρόνο.
12. Η εξίσωση που δίνει την ένταση του ρεύματος σε ιδανικό κύκλωμα ηλε-
κτρικών ταλαντώσεων LC είναι i = -0,5ημ104t στο S.I. Η μέγιστη τιμή του
φορτίου του πυκνωτή του κυκλώματος είναι ίση με:
α. 0,5 C β. 0,5  104 C

γ. 104 C δ. 5  10-5 C .
13. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του διεγέρτη είναι με-
γαλύτερη της ιδιοσυχνότητας του ταλαντωτή. Αν αυξάνουμε συνεχώς τη συ-
χνότητα του διεγέρτη, το πλάτος της εξαναγκασμένης ταλάντωσης θα:
α. μένει σταθερό
β. αυξάνεται συνεχώς
γ. μειώνεται συνεχώς
δ. αυξάνεται αρχικά και μετά θα μειώνεται.
14. Σώµα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρµονικές ταλαντώσεις ίδιου πλάτους
και διεύθυνσης. Οι συχνότητες f1 και f2 (f1 > f2) των δύο ταλαντώσεων διαφέ-
ρουν λίγο µεταξύ τους, µε αποτέλεσµα να παρουσιάζεται διακρότηµα. Αν η
συχνότητα f2 προσεγγίσει τη συχνότητα f1, χωρίς να την ξεπεράσει, ο χρόνος
που µεσολαβεί ανάµεσα σε δύο διαδοχικούς µηδενισµούς του πλάτους θα:
α. αυξηθεί.
β. µειωθεί.
γ. παραµείνει ο ίδιος.
δ. αυξηθεί ή θα µειωθεί ανάλογα µε την τιµή της f2.
15. Σε µια φθίνουσα ταλάντωση της οποίας το πλάτος µειώνεται εκθετικά
µε το χρόνο:
α. το µέτρο της δύναµης που προκαλεί την απόσβεση είναι ανάλογο της
αποµάκρυνσης.
β. ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών προς την ίδια κατεύθυνση δεν διατηρείται
σταθερός.
γ. η περίοδος διατηρείται σταθερή για ορισµένη τιµή της σταθεράς απόσβε-
σης.
δ. το µέτρο της δύναµης που προκαλεί την απόσβεση είναι σταθερό.
16. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα σε
κάθε γράµµα η λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη
α. Η αύξηση της αντίστασης σε κύκλωµα µε φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση
συνεπάγεται και τη µείωση της περιόδου της.
17. Το φαινόμενο του συντονισμού παρατηρείται μόνο στις
α. μηχανικές ταλαντώσεις.
β. ηλεκτρικές ταλαντώσεις.
γ. εξαναγκασμένες ταλαντώσεις.
δ. ελεύθερες ταλαντώσεις.

18. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα που αναφέρε-
ται στην απλή αρμονική ταλάντωση και να συμπληρώσετε τα κενά με τα κα-
τάλληλα μέτρα των φυσικών μεγεθών.
Χ
(απομάκρυνση)
U
(δυναμική ενέργεια)
Κ
(κινητική ενέργεια)
0
x1 6J
x2 5J 4J
A
19. Δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις πραγματοποιούνται στο ίδιο σημείο,
έχουν την ίδια διεύθυνση και συχνότητα, και πλάτη Α1 και Α2 . Αν οι ταλαντώ-
σεις αυτές παρουσιάζουν διαφορά φάσης 180ο, τότε το πλάτος Α της σύνθε-
της ταλάντωσης που προκύπτει από τη σύνθεσή τους είναι
α. Α = Α1 + Α2 . β. Α = Α1 - Α2 .
γ. 2 2
1 2A A A  . δ. 2 2
1 2A A A  .
20. Ένα σώμα εκτελεί γραμμική αρμονική ταλάντωση. Όταν διέρχεται από
τη θέση ισορροπίας
α. η κινητική του ενέργεια είναι μηδέν.
β. η επιτάχυνσή του είναι μέγιστη.
γ. η δύναμη επαναφοράς είναι μηδέν.
δ. η δυναμική του ενέργεια είναι μέγιστη.
21. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό σας τις προτάσεις που ακολουθούν με
το γράμμα Σ, αν είναι σωστές ή με το γράμμα Λ, αν είναι λανθασμένες.
α. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, κατά το συντονισμό, η ενέργεια της τα-
λάντωσης είναι μέγιστη.
22. Η συχνότητα της εξαναγκασµένης ταλάντωσης ...
α. είναι πάντα ίση µε την ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης.
β. είναι πάντα μεγαλύτερη από την ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης.
γ. είναι ίση µε τη συχνότητα του διεγέρτη.
δ. είναι πάντα µικρότερη από την ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης.
23. Όταν ένα σύστηµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η
αντιτιθέµενη δύναµη είναι ανάλογη της ταχύτητας, τότε
α. η περίοδος µεταβάλλεται.
β. η µηχανική ενέργεια παραµένει σταθερή.

γ. ο λόγος δύο διαδοχικών µεγίστων αποµακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυν-
ση αυξάνεται.
δ. το πλάτος µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο.
24. Σε µία γραµµική αρµονική ταλάντωση διπλασιάζουµε το πλάτος της.
Τότε:
α. η περίοδος διπλασιάζεται.
β. η συχνότητα διπλασιάζεται.
γ. η ολική ενέργεια παραµένει σταθερή.
δ. η μέγιστη ταχύτητα διπλασιάζεται.
25. Απλός αρµονικός ταλαντωτής εκτελεί ταλάντωση πλάτους x0.
∆ιατηρούµε σταθερό το πλάτος της ταλάντωσης και τριπλασιάζουµε τη µάζα
του ταλαντωτή. Τότε:
α) η περίοδος ταλάντωσης τριπλασιάζεται
β) η ολική ενέργεια της ταλάντωσης παραµένει σταθερή
γ) το µέτρο της µέγιστης ταχύτητας διπλασιάζεται
δ) το µέτρο της µέγιστης επιτάχυνσης διπλασιάζεται.
26. Ένα σύστηµα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση, στην οποία η αντιτιθέµενη
δύναµη είναι ανάλογη της ταχύτητας. Τότε :
α. η µηχανική ενέργεια του συστήµατος παραµένει σταθερή
β. το πλάτος της ταλάντωσης µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο
γ. η περίοδος του συστήµατος µεταβάλλεται
δ. ο λόγος δύο διαδοχικών µεγίστων αποµακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυν-
ση µειώνεται.
27. Σε µία φθίνουσα ταλάντωση ο λόγος δύο διαδοχικών µεγίστων
αποµακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση παραµένει σταθερός. Στην περί-
πτωση αυτή το πλάτος της ταλάντωσης :
α. µειώνεται εκθετικά µε το χρόνο
β. µειώνεται ανάλογα µε το χρόνο
γ. παραµένει σταθερό
δ. αυξάνεται εκθετικά µε το χρόνο.
28. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας διεύθυν-
σης που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, προκύπτει απλή αρμονική ταλά-
ντωση σταθερού πλάτους, μόνο όταν οι επιμέρους ταλαντώσεις έχουν:
α. ίσες συχνότητες.
β. παραπλήσιες συχνότητες.
γ. διαφορετικές συχνότητες.
δ. συχνότητες που η μια είναι ακέραιο πολλαπλάσιο της άλλης.

29. Η σχέση που συνδέει την περίοδο (Τ) και τη συχνότητα (f) σε ένα περιοδι-
κό φαινόµενο, είναι :
α. f2 =T
β. f · T=1
γ. T2 · f=1
δ. Τ· f2 =1
30. Να χαρακτηρίσετε αν το περιεχόµενο των ακολούθων προτάσεων είναι
σωστό ή λάθος γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη (Σ) ή (Λ) δίπλα στο
γράµµα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση.
δ. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC η ολική ενέργεια
παραµένει σταθερή.
31. Ένα σύστηµα ελατηρίου—µάζας εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση πλά-
τους Α. Αν τετραπλασιάσουµε την ολική ενέργεια της ταλάντωσης αυτού του
συστήµατος, τότε
α. η συχνότητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί.
β. η σταθερά επαναφοράς θα τετραπλασιαστεί.
γ. το πλάτος της ταλάντωσης θα τετραπλασιαστεί.
δ. η µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης θα διπλασιαστεί.
32. Αν στον αρμονικό ταλαντωτή εκτός από την ελαστική δύναμη επανα-
φοράς ενεργεί και δύναμη αντίστασης F = - bυ, με b = σταθερό, το πλάτος
της ταλάντωσης μεταβάλλεται με το χρόνο σύμφωνα με την εξίσωση (για Λ >
0).
α. Α = Αo – bt .
β. A = AoeΛt .
γ. A = Aoe-Λt .
δ. oA
A
Λt
 .
33. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα
κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρό-
ταση και τη λέξη Λάθος για τη λανθασμένη.
α. Στην περίπτωση των ηλεκτρικών ταλαντώσεων κύριος λόγος απόσβεσης εί-
ναι η ωμική αντίσταση του κυκλώματος.
β. Σε μια φθίνουσα μηχανική ταλάντωση ο ρυθμός μείωσης του πλάτους μειώ-
νεται, όταν αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης b.
γ. Κατά το συντονισμό η ενέργεια μεταφέρεται στο σύστημα κατά το βέλτιστο
τρόπο, γι’ αυτό και το πλάτος της ταλάντωσης γίνεται μέγιστο.

34. Με την πάροδο του χρόνου και καθώς τα αμορτισέρ ενός αυτοκινήτου
παλιώνουν και φθείρονται:
α. η τιμή της σταθεράς απόσβεσης b αυξάνεται.
β. η τιμή της σταθεράς απόσβεσης b μειώνεται.
γ. το πλάτος της ταλάντωσης του αυτοκινήτου, όταν περνά από εξόγκωμα του
δρόμου, μειώνεται πιο γρήγορα.
δ. η περίοδος των ταλαντώσεων του αυτοκινήτου παρουσιάζει μικρή αύξηση.
35. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τε-
τράδιό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σω-
στό, αν η πρόταση είναι σωστή ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Σε κύκλωμα εξαναγκασμένων ηλεκτρικών ταλαντώσεων μεταβάλλουμε τη
χωρητικότητα του πυκνωτή. Τότε μεταβάλλεται και η συχνότητα των ταλα-
ντώσεων του κυκλώματος.
36. Σώμα μάζας m που είναι προσδεμένο σε οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k,
όταν απομακρύνεται από τη θέση ισορροπίας κατά Α, εκτελεί απλή αρμονική
ταλάντωση με περίοδο Τ. Αν τετραπλασιάσουμε την απομάκρυνση Α, η περίο-
δος της ταλάντωσης γίνεται
α. 2Τ.
β. Τ.
γ. Τ/2.
δ. 4Τ.
37. Στις εξαναγκασμένες ταλαντώσεις ένα σύστημα ταλαντώνεται με συχνό-
τητα που είναι ίση με
α. την ιδιοσυχνότητά του.
β. τη συχνότητα του διεγέρτη.
γ. τη διαφορά ιδιοσυχνότητας και συχνότητας του διεγέρτη.
δ. το άθροισμα ιδιοσυχνότητας και συχνότητας του διεγέρτη.
38. Ένα σώμα εκτελεί αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Η ταχύτητα του σώ-
ματος:
α. έχει την ίδια φάση με την επιτάχυνση α.
β. είναι μέγιστη στις ακραίες θέσεις.
γ. είναι μέγιστη, κατά μέτρο, στη θέση ισορροπίας.
δ. έχει πάντα αντίθετη φορά από τη δύναμη επαναφοράς.
39. Στο κύκλωμα των εξαναγκασμένων ηλεκτρικών ταλαντώσεων του σχήμα-
τος

α. το πλάτος Ι της έντασης του ρεύματος είναι ανεξάρτητο της συχνότητας
της εναλλασσόμενης τάσης.
β. η συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος είναι πάντοτε ίση
με την ιδιοσυχνότητά του.
γ. η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος είναι ανεξάρτητη της χωρητικότητας C
του πυκνωτή.
δ. όταν η συχνότητα της εναλλασσόμενης τάσης γίνει ίση με την ιδιοσυχνότη-
τα του κυκλώματος, έχουμε μεταφορά ενέργειας στο κύκλωμα κατά το βέλτι-
στο τρόπο.
40. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων ίδιας διεύθυνσης,
που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο, με το ίδιο πλάτος Α και συχνότητες f1
και f2 που διαφέρουν λίγο μεταξύ τους
α. το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης είναι 2Α.
β. όλα τα σημεία ταλαντώνονται με το ίδιο πλάτος.
γ. ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι
1 2
1
T
f f


δ. Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους είναι
1 2
1
T
2 f f


α. Η σταθερά απόσβεσης b σε μία φθίνουσα ταλάντωση εξαρτάται και από τις
ιδιότητες του μέσου.
42. Σε κύκλωμα αμείωτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC
α. η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου δίνεται από τη σχέση 2
E
1
U C q
2
  .
β. το άθροισμα των ενεργειών ηλεκτρικού και μαγνητικού πεδίου κάθε χρονι-
κή στιγμή είναι σταθερό.
γ. η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου είναι αρμονική συνάρτηση του χρόνου. δ.
όταν η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου γίνεται μέγιστη η ένταση του ρεύμα-
τος στο κύκλωμα μηδενίζεται.

α. Το πλάτος μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης δεν εξαρτάται από τη συχνό-
τητα f του διεγέρτη.
44. Το διάγραμμα του σχήματος παριστάνει την ταχύτητα ενός σώματος που
εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε συνάρτηση με το χρόνο. Στην περίπτω-
ση αυτή
α. στα σημεία 1 και 5 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση.
β. στα σημεία 2 και 4 το σώμα βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση.
γ. στα σημεία 4 και 5 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας.
δ. στα σημεία 3 και 4 το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροπίας.
45. Σε ένα ιδανικό κύκλωμα LC το φορτίο του πυκνωτή μεταβάλλεται σε συ-
νάρτηση με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση q=Qσυνωt. Για το σύστημα αυτό
α. η περίοδος ταλάντωσης του κυκλώματος δίνεται από τη σχέση T 2π / LC
.
β. η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα περιγράφεται από τη
σχέση i=–Qωημωt.
γ. τη χρονική στιγμή t=0 η ενέργεια του πυκνωτή είναι 0.
δ. η ενέργεια του πυκνωτή μια τυχαία χρονική στιγμή δίνεται από τη σχέση
U=Cq2/2.
δ. Δυο αρμονικές ταλαντώσεις έχουν την ίδια διεύθυνση και γίνονται γύρω
από το ίδιο σημείο με το ίδιο πλάτος αλλά λίγο διαφορετικές συχνότητες. Στη
σύνθεση των ταλαντώσεων αυτών ο χρόνος ανάμεσα σε δυο διαδοχικές μεγι-
στοποιήσεις του πλάτους ονομάζεται περίοδος των διακροτημάτων.
47. Η συχνότητα ταλάντωσης f ενός συστήματος ελατηρίου - μάζας
α. είναι ανεξάρτητη από τη σταθερά Κ του ελατηρίου.
β. είναι ανεξάρτητη από το πλάτος Α της ταλάντωσης.

γ. εξαρτάται από την ενέργεια του ταλαντωτή.
δ. είναι ανεξάρτητη από τη μάζα του ταλαντωτή.
48. Να χαρακτηρίσετε αν το περιεχόμενο των ακόλουθων προτάσεων είναι
σωστό ή λανθασμένο, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη (Σ) ή (Λ) δίπλα
στο γράμμα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση.
α. Η περίοδος φθίνουσας ταλάντωσης, για ορισμένη τιμή της σταθεράς από-
σβεσης, διατηρείται σταθερή.
49. Η εξίσωση του φορτίου του πυκνωτή σε ένα κύκλωμα ηλεκτρικών ταλα-
ντώσεων LC, το οποίο εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις μεγίστου
φορτίου Q και γωνιακής συχνότητας ω, δίνεται από τη σχέση q=Qσυνωt. Η ε-
ξίσωση της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα δίνεται από τη σχέση
α. i=−Qωημωt.
β. i=−
Q
ω
ημωt.
γ. i=Qωσυνωt.
δ. i=Qωημωt.
50. Κατά τη φθίνουσα μηχανική ταλάντωση
α. το πλάτος παραμένει σταθερό.
β. η μηχανική ενέργεια διατηρείται.
γ. το πλάτος μεταβάλλεται σύμφωνα με τη σχέση Α=ΑοeΛt, όπου Λ θετική στα-
θερά.
δ. έχουμε μεταφορά ενέργειας από το ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλ-
λον.
51. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα κάθε πρότασης και δίπλα σε
κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη
λανθασμένη.
ε. Η περίοδος και η συχνότητα ενός περιοδικού φαινομένου είναι μεγέθη α-
ντίστροφα.
52. Ένας ταλαντωτής τη χρονική στιγμή t1 έχει ενέργεια ταλάντωσης Ε και
πλάτος ταλάντωσης Α. Τη χρονική στιγμή t2 που έχει χάσει τα
3
4
της αρχικής
του ενέργειας το πλάτος της ταλάντωσής του είναι:
α.
A
4
β. .. γ.
A
2
δ.
A
3

53. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετρά-
διό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό,
αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
ε. Σε κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων με πηνίο, πυκνωτή και αντίσταση, αν
η τιμή της αντίστασης υπερβεί κάποιο όριο, η ταλάντωση γίνεται απεριοδική.
54. Το αποτέλεσμα της σύνθεσης δύο αρμονικών ταλαντώσεων που γίνονται
πάνω στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας είναι μια
νέα αρμονική ταλάντωση, όταν οι δύο αρχικές ταλαντώσεις έχουν
α. παραπλήσιες συχνότητες και ίδια πλάτη.
β. παραπλήσιες συχνότητες και διαφορετικά πλάτη.
γ. ίδιες συχνότητες και διαφορετικά πλάτη.
δ. ίδια πλάτη και διαφορετικές συχνότητες.
55. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση που η αντιτιθέμενη δύναμη είναι της μορφής
F=−bυ, με b σταθερό,
α. ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών μειώνεται σε σχέση με το χρόνο.
β. η περίοδος της ταλάντωσης εξαρτάται από το πλάτος.
γ. το πλάτος παραμένει σταθερό σε σχέση με το χρόνο.
δ. η περίοδος παραμένει σταθερή σε σχέση με το χρόνο.
56. Να χαρακτηρίσετε καθεμιά από τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφο-
ντας στο τετράδιό σας δίπλα από τον αριθμό κάθε πρότασης το γράμμα Σ,
αν η πρόταση αυτή είναι Σωστή, ή το γράμμα Λ, αν είναι Λανθασμένη.
β. Τα κτήρια κατά τη διάρκεια ενός σεισμού εκτελούν εξαναγκασμένη ταλά-
ντωση.
Σωστό ή Λανθασμένο, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη (Σ) ή (Λ) δί-
πλα στο γράμμα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση.
α. Η ολική ενέργεια σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC είναι
ανάλογη με το φορτίο του πυκνωτή.
δ. Το έργο της δύναμης που προκαλεί την απόσβεση σε μια φθίνουσα μηχανι-
κή ταλάντωση είναι πάντα θετικό.
58. Ένας αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση. Όταν η
συχνότητα του διεγέρτη παίρνει τις τιμές f1=5Hz και f2=10Hz, το πλάτος της
ταλάντωσης είναι το ίδιο. Θα έχουμε μεγαλύτερο πλάτος ταλάντωσης, όταν η
συχνότητα του διεγέρτη πάρει την τιμή:
α. 2Hz β. 4Hz γ. 8Hz δ. 12Hz

59. Ένα σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυν-
σης και ίδιου πλάτους Α, που πραγματοποιούνται γύρω από το ίδιο σημείο. Αν
οι συχνότητες των δύο ταλαντώσεων f1 και f2 διαφέρουν λίγο μεταξύ τους, τό-
τε
α. το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
β. το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό.
γ. το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης είναι 2Α.
δ. η περίοδος του διακροτήματος είναι ανάλογη με τη διαφορά συχνοτήτων
f1– f2.
δ. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα του ταλαντούμενου συστή-
ματος είναι διαφορετική από αυτή του διεγέρτη.
61. Η κίνηση που προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώ-
σεων
α. είναι ανεξάρτητη από τις συχνότητες των επιμέρους αρμονικών ταλαντώ-
σεων.
β. είναι ανεξάρτητη από τη διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων.
γ. είναι ανεξάρτητη από τις διευθύνσεις των δύο αρμονικών ταλαντώσεων.
δ. εξαρτάται από τα πλάτη των δύο αρμονικών ταλαντώσεων.
τράδιό σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σω-
στό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
ε. Σε ένα κύκλωμα LC η συχνότητα των ηλεκτρικών ταλαντώσεών του είναι
ανάλογη της χωρητικότητας C του πυκνωτή.
63. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση έχουν πάντα την ίδια φορά:
α. η ταχύτητα και η επιτάχυνση.
β. η ταχύτητα και η απομάκρυνση.
γ. η δύναμη επαναφοράς και η απομάκρυνση.
δ. η δύναμη επαναφοράς και η επιτάχυνση.
α. Η απλή αρμονική ταλάντωση είναι ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνη-
ση.

65. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση της οποίας το πλάτος μειώνεται εκθετικά με
τον χρόνο.
α. η ενέργεια του ταλαντωτή είναι συνεχώς σταθερή.
β. η συχνότητα αυξάνεται με την πάροδο του χρόνου.
γ. ο λόγος δύο διαδοχικών μεγίστων απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυν-
ση διατηρείται σταθερός.
δ. το πλάτος μειώνεται γραμμικά με τον χρόνο
66. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση η απομάκρυνση και η επιτάχυνση την
ίδια χρονική στιγμή
α. έχουν πάντα αντίθετο πρόσημο.
β. έχουν πάντα το ίδιο πρόσημο.
γ. θα έχουν το ίδιο ή αντίθετο πρόσημο ανάλογα με την αρχική φάση της α-
πλής αρμονικής ταλάντωσης.
δ. μερικές φορές έχουν το ίδιο και άλλες φορές έχουν αντίθετο πρόσημο.
67. Η περίοδος ταλάντωσης ενός ιδανικού κυκλώματος ηλεκτρικών ταλαντώ-
σεων LC είναι Τ. Διατηρώντας το ίδιο πηνίο, αλλάζουμε τον πυκνωτή χωρητι-
κότητας C1 με άλλον πυκνωτή χωρητικότητας C2 =4C1. Τότε η περίοδος τα-
λάντωσης του νέου κυκλώματος θα είναι ίση με:
α.
Τ
2
. β. 3Τ. γ. 2Τ. δ.
Τ
4
.
κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για
τη λανθασμένη.
δ. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση, η συχνότητα της ταλάντωσης ισούται με
τη συχνότητα του διεγέρτη.
69. Ραδιοφωνικός δέκτης περιέχει ιδανικό κύκλωμα LC για την επιλογή σταθ-
μών. Ένας ραδιοφωνικός σταθμός εκπέμπει σε συχνότητα μικρότερη από την
ιδιοσυχνότητα του ιδανικού κυκλώματος LC. Για να συντονιστεί ο δέκτης με
τον σταθμό πρέπει:
α. να αυξήσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή.
β. να μειώσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή.
γ. να μειώσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου.
δ. να μειώσουμε τον συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου και τη χωρητικότη-
τα του πυκνωτή.
70. Σ’ ένα ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC το μέγιστο φορτίο Q
ενός οπλισμού του πυκνωτή
α. παραμένει σταθερό.

β. μειώνεται εκθετικά με το χρόνο.
γ. μειώνεται γραμμικά με το χρόνο.
δ. αυξάνεται.
71. Μηχανικό σύστημα έχει ιδιοσυχνότητα ίση με 10Hz και εκτελεί εξανα-
γκασμένη ταλάντωση. Το σύστημα απορροφά ενέργεια κατά το βέλτιστο τρό-
πο, όταν η συχνότητα του διεγέρτη είναι
α. 1Hz.
β. 10Hz.
γ. 100Hz.
δ. 1000Hz.
Σωστό ή Λανθασμένο, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος
δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση.
ε. Σε μία φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος της παραμένει σταθερό.
στό, αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθα-
σμένη.
δ. H ενέργεια ταλάντωσης ιδανικού κυκλώματος LC είναι ίση με
1
2
Q2C, όπου
Q το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή και C η χωρητικότητα του πυκνωτή.
ε. Η συχνότητα του διακροτήματος είναι μεγαλύτερη από κάθε μια από τις
συχνότητες των δύο ταλαντώσεων που δημιουργούν το διακρότημα.
74. Σε φθίνουσα μηχανική ταλάντωση της οποίας το πλάτος μειώνεται εκθε-
τικά με το χρόνο, για ορισμένη τιμή της σταθεράς απόσβεσης, η περίοδος τα-
λάντωσης με τη πάροδο του χρόνου
α. αυξάνεται.
β. διατηρείται σταθερή.
γ. μειώνεται γραμμικά
δ. μειώνεται εκθετικά.
75. Η συνολική δύναμη F που ασκείται σε ένα σώμα που εκτελεί απλή αρμο-
νική ταλάντωση συνδέεται με την απομάκρυνση x από τη θέση ισορροπίας
του σώματος με τη σχέση (D θετική σταθερά)
α. F Dx .
β. 2
F Dx  .
γ. F Dx  .
δ. ...

β. Στη φθίνουσα ηλεκτρική ταλάντωση ενός κυκλώματος ένας από τους λό-
γους απόσβεσης είναι η ωμική αντίσταση του κυκλώματος.
γ. Το πλάτος σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση είναι ανεξάρτητο από τη συ-
χνότητα του διεγέρτη.
77. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση στην οποία η δύναμη
απόσβεσης είναι ανάλογη της ταχύτητας του σώματος, με
την πάροδο του χρόνου
α. η περίοδος μειώνεται.
β. η περίοδος είναι σταθερή.
γ. το πλάτος διατηρείται σταθερό.
δ. η ενέργεια ταλάντωσης διατηρείται σταθερή.
78. Διακρότημα δημιουργείται κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλα-
ντώσεων οι οποίες πραγματοποιούνται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την
ίδια θέση ισορροπίας, όταν οι δύο ταλαντώσεις έχουν
α. ίσα πλάτη και ίσες συχνότητες.
β. άνισα πλάτη και ίσες συχνότητες.
γ. ίσα πλάτη και παραπλήσιες συχνότητες.
δ. ίσα πλάτη και συχνότητες εκ των οποίων η μια είναι
πολλαπλάσια της άλλης.
γ. Το φαινόμενο του συντονισμού παρατηρείται μόνο σε εξαναγκασμένες τα-
λαντώσεις.
80. Ένα ιδανικό κύκλωμα πηνίου-πυκνωτή εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση. Η
ολική ενέργεια του κυκλώματος
α. παραμένει συνεχώς σταθερή.
β. μειώνεται στα χρονικά διαστήματα στα οποία φορτίζεται ο πυκνωτής.
γ. είναι μικρότερη από την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή.
δ. είναι περιοδική συνάρτηση του χρόνου.
81. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων της ίδιας συχνότη-
τας, που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση και έχουν δια-
φορά φάσης 180ο, το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης είναι

α. 1 2  
β. 2 2
1 2  
γ. 1 2  
δ. 2 2
1 2  
όπου A1 και A2 είναι τα πλάτη των αρχικών ταλαντώσεων.
ε. Ένας λόγος για τον οποίο χάνει ενέργεια ένα κύκλωμα ηλεκτρικών ταλα-
ντώσεων LC είναι ότι εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία.
83. Για τις προτάσεις που ακολουθούν να γράψετε στο τετράδιό σας το
γράμμα της καθεμιάς και δίπλα το γράμμα Σ αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λ,
αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
α. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση, όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ι-
σορροπίας, η ταχύτητά του είναι μηδέν.
84. Δύο ταλαντώσεις με συχνότητες f1 και f2 δημιουργούν διακροτήματα. Η
περίοδος των διακροτημάτων ισούται με:
α. 1 2f f β. 1 2f f
γ.
1 2
1
f f
δ.
1 2
1
f f
γράμμα της καθεμιάς και δίπλα το γράμμα Σ, αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λ,
β. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση το πλάτος παραμένει σταθερό.
86. Όταν σε μια απλή αρμονική ταλάντωση διπλασιάσουμε το πλάτος της, τό-
τε διπλασιάζεται και η
α. περίοδος.
β. συχνότητα.
γ. ολική ενέργεια.
δ. μέγιστη ταχύτητα.

α. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση το πλάτος της ταλάντωσης εξαρτάται
από τη συχνότητα του διεγέρτη.
ε. Το φαινόμενο του συντονισμού συμβαίνει στις εξαναγκασμένες ταλαντώ-
σεις.
88. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση, όπου η δύναμη που αντιτίθεται στη κίνηση
είναι της μορφής Fαντ=–bυ, όπου b θετική σταθερά και υ η ταχύτητα του τα-
λαντωτή,
α. όταν αυξάνεται η σταθερά απόσβεσης η περίοδος μειώνεται.
β. το πλάτος διατηρείται σταθερό.
γ. η σταθερά απόσβεσης εξαρτάται από το σχήμα και το μέγεθος του αντικει-
μένου που κινείται.
δ. η ενέργεια ταλάντωσης διατηρείται σταθερή.
β. Στις ηλεκτρικές ταλαντώσεις το φορτίο του πυκνωτή παραμένει σταθερό.
90. Η σύνθετη ταλάντωση ενός σώματος προκύπτει από δύο απλές αρμονικές
ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπί-
ας στην ίδια διεύθυνση. Το σώμα, σε σχέση με τις αρχικές ταλαντώσεις, εκτε-
λεί απλή αρμονική ταλάντωση με
α. ίδια διεύθυνση και ίδια συχνότητα.
β. διαφορετική διεύθυνση και ίδια συχνότητα.
γ. ίδια διεύθυνση και διαφορετική συχνότητα.
δ. διαφορετική διεύθυνση και διαφορετική συχνότητα.
α. Η ενέργεια ταλάντωσης στην απλή αρμονική ταλάντωση μεταβάλλεται αρ-
μονικά με το χρόνο.
β. Σε μία εξαναγκασμένη ταλάντωση ο διεγέρτης επιβάλλει στην ταλάντωση
τη συχνότητά του.
92. Στην απλή αρμονική ταλάντωση
α. η δυναμική ενέργεια παραμένει σταθερή.
β. η ολική ενέργεια μεταβάλλεται αρμονικά με το χρόνο.
γ. η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή.
δ. η κινητική ενέργεια παραμένει σταθερή.

93. Σώμα εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις με εξισώ-
σεις x1=A1ημωt και x2=A2ημ(ωt+π) που γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω
από το ίδιο σημείο, με A2 > A1.
Η σύνθετη ταλάντωση που προκύπτει έχει φάση απομάκρυνσης
α. ωt και πλάτος A2−A1
β. ωt+π και πλάτος A2−A1
γ. ωt και πλάτος A1+A2
δ. ωt+π και πλάτος 1 2Α Α
2

94. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Αν το πλάτος της τα-
λάντωσης αυτής διπλασιαστεί, τότε διπλασιάζεται
α. η περίοδος.
β. η συχνότητα.
γ. η ολική ενέργεια της ταλάντωσης.
δ. η μέγιστη ταχύτητα του σώματος.
Σωστό ή Λάθος, γράφοντας στο τετράδιό σας τη λέξη Σωστό ή Λάθος δίπλα
γ. Όλες οι ταλαντώσεις στο μακρόκοσμο είναι φθίνουσες.
96. Κατά τη διάρκεια μιας εξαναγκασμένης ταλάντωσης
α. έχουμε πάντα συντονισμό
β. η συχνότητα ταλάντωσης δεν εξαρτάται από τη συχνότητα της διεγείρου-
σας δύναμης
γ. για δεδομένη συχνότητα του διεγέρτη το πλάτος της ταλάντωσης παραμέ-
νει σταθερό
δ. η ενέργεια που προσφέρεται στο σώμα δεν αντισταθμίζει τις απώλειες.
97. Σε κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η ολική ε-
νέργεια είναι
α. ανάλογη του φορτίου του πυκνωτή
β. ανάλογη του 2
ημ ( LCt)
γ. σταθερή
δ. ανάλογη της έντασης του ρεύματος.

β. Στην περίπτωση των ηλεκτρικών ταλαντώσεων ο κύριος λόγος απόσβεσης
είναι η ωμική αντίσταση.
99. Σε μία φθίνουσα μηχανική ταλάντωση η δύναμη αντίστασης έχει τη μορ-
φή Fαντ=–bυ. Αρχικά η σταθερά απόσβεσης έχει τιμή b1. Στη συνέχεια η τιμή
της γίνεται b2 με b2>b1. Τότε:
α. Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα με το χρόνο και η περίο-
δός της παρουσιάζει μικρή μείωση.
β. Το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται πιο γρήγορα με το χρόνο και η περί-
οδός της παρουσιάζει μικρή αύξηση.
γ. Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα με το χρόνο και η περίο-
δός της παρουσιάζει μικρή αύξηση.
δ. Το πλάτος της ταλάντωσης αυξάνεται πιο γρήγορα με το χρόνο και η περί-
οδός της παρουσιάζει μικρή μείωση.
100. Σε μία εξαναγκασμένη μηχανική ταλάντωση, για ορισμένη τιμή της συ-
χνότητας του διεγέρτη, το πλάτος της ταλάντωσης
α. παραμένει σταθερό.
β. μειώνεται εκθετικά με το χρόνο.
γ. αυξάνεται εκθετικά με το χρόνο.
δ. μειώνεται γραμμικά με το χρόνο.
γ. Σε μία φθίνουσα μηχανική ταλάντωση, στην οποία η δύναμη που αντιστέκε-
ται στην κίνηση είναι της μορφής F΄=-bυ, η σταθερά απόσβεσης b είναι ανε-
ξάρτητη από το σχήμα και τις διαστάσεις του αντικειμένου που κινείται.
102. Διακρότημα δημιουργείται από τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών τα-
λαντώσεων ίδιας διεύθυνσης, με ίδιο πλάτος, γύρω από την ίδια θέση ισορρο-
πίας, όταν οι ταλαντώσεις αυτές έχουν:
α. ίσες συχνότητες και ίδια φάση
β. ίσες συχνότητες και διαφορά φάσης
π
2
γ. παραπλήσιες συχνότητες
δ. ίσες συχνότητες και διαφορά φάσης π.
103. Σε μια μηχανική ταλάντωση της οποίας το πλάτος φθίνει χρονικά ως
Α=Α0e—Λt, όπου Α0 είναι το αρχικό πλάτος της ταλάντωσης και Λ είναι μια θε-
τική σταθερά, ισχύει ότι:
α. οι μειώσεις του πλάτους σε κάθε περίοδο είναι σταθερές

β. η δύναμη αντίστασης είναι Fαντ = -bυ2, όπου b είναι η σταθερά απόσβεσης
και υ η ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται
γ. η περίοδος Τ της ταλάντωσης μειώνεται με το χρόνο για μικρή τιμή της
σταθεράς απόσβεσης b
δ. η δύναμη αντίστασης είναι Fαντ = -bυ, όπου b είναι η σταθερά απόσβεσης
και υ η ταχύτητα του σώματος που ταλαντώνεται.
τράδιο σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σω-
σμένη.
β. Σε μια απλή αρμονική ταλάντωση αυξάνεται το μέτρο της ταχύτητας του
σώματος που ταλαντώνεται καθώς αυξάνεται το μέτρο της δύναμης επανα-
φοράς.
105. Σε μία απλή αρμονική ταλάντωση η ταχύτητα του σώματος που ταλα-
ντώνεται δίνεται από τη σχέση υ = Aωημωt . Τότε η απομάκρυνση x
από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση:
α. x = Aημωt
β. x = Aσυνωt
γ. x = Aημ(ωt+π)
δ. x = Aημ(ωt+
3π
2
)
106. Σε μια φθίνουσα ταλάντωση η δύναμη που προκαλεί την απόσβεση εί-
ναι της μορφής F = -bυ, όπου b θετική σταθερά και υ η ταχύτητα του σώμα-
τος που ταλαντώνεται. Το έργο της δύναμης αυτής είναι
α. θετικό, όταν το σώμα κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση
β. πάντα αρνητικό
γ. πάντα θετικό
δ. μηδέν για μια πλήρη ταλάντωση.
107. Ιδανικό κύκλωμα L1-C εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με συχνό-
τητα f1. Εισάγοντας πυρήνα μαλακού σιδήρου στο πηνίο, παρατηρούμε ότι η
συχνότητα της ταλάντωσης γίνεται 1
2
f
f
4
 . Ο συντελεστής αυτεπαγωγής L2 του
πηνίου έγινε
α. 4L1
β. 16L1
γ. 1L
4

δ. 1L
16
108. Σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος Α. Στη θέση μέγι-
στης απομάκρυνσης
α. η κινητική ενέργεια του σώματος γίνεται μέγιστη.
β. η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης μηδενίζεται.
γ. το μέτρο της δύναμης επαναφοράς γίνεται μέγιστο.
δ. η επιτάχυνση του σώματος μηδενίζεται.
109. Να χαρακτηρίσετε, αν το περιεχόμενο των ακόλουθων προτάσεων είναι
στο γράμμα που αντιστοιχεί στην κάθε πρόταση
α. Σε μια αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή
παραμένει σταθερό.
β. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα της ταλάντωσης είναι
πάντα ίδια με την ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή.
110. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί
απλή αρμονική ταλάντωση είναι ίση με F. Το πηλίκο
F
m
:
α) παραμένει σταθερό σε σχέση με το χρόνο
β) μεταβάλλεται αρμονικά σε σχέση με το χρόνο
γ) αυξάνεται γραμμικά σε σχέση με το χρόνο
δ) γίνεται μέγιστο, όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας.
σμένη.
β) Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η ενέργεια που προσφέρεται στο σύστη-
μα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της ταλάντωσης διατηρείται
σταθερό.
112. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί ταλαντώσεις και το φορτίο του πυκνωτή
δίνεται από την εξίσωση q=Qσυνωt. H ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του
πυκνωτή στη διάρκεια μιας περιόδου μηδενίζεται
α. μία φορά
β. δύο φορές
γ. τρεις φορές
δ. τέσσερις φορές.

γ. Στη φθίνουσα ταλάντωση, το πλάτος της ταλάντωσης παραμένει σταθερό.

ΘΕΜΑ 2o
1. Στο άκρο ιδανικού ελατηρίου με φυσικό μήκος lo και σταθερά ελατηρί-
ου k είναι συνδεδεμένο σώμα μάζας m, όπως δείχνει το σχήμα.
α. Ποια από τις καμπύλες Ι και ΙΙ του παρακάτω διαγράμματος αντιστοιχεί
στη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου και ποια στην κινητική ενέργεια του
σώματος;
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
β. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της ολικής ενέργειας, αφού με-
ταφέρετε το παραπάνω διάγραμμα στο τετράδιό σας.
2. Σώμα μάζας m εκτελεί γραμμική απλή αρμονική ταλάντωση. Η απομά-
κρυνση x του σώματος από τη θέση ισορροπίας δίνεται από τη σχέση
x=Αημωt, όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης και ω η γωνιακή συχνότητα. Να
αποδείξετε ότι η συνολική δύναμη, που δέχεται το σώμα σε τυχαία θέση της
τροχιάς του, δίνεται από τη σχέση F= - mω2x.
3. Δύο σώματα Σ1 και Σ2 µε ίσες µάζες ισορροπούν κρεμασμένα από κα-
τακόρυφα ιδανικά ελατήρια µε σταθερές k1 και k2 αντίστοιχα, που συνδέο-
νται µε τη σχέση k1= 2k
2
. Απομακρύνουμε τα σώματα Σ1 και Σ2 από τη θέση
ισορροπίας τους κατακόρυφα προς τα κάτω κατά x και 2x αντίστοιχα και τα
αφήνουµε ελεύθερα την ίδια χρονική στιγµή, οπότε εκτελούν απλή αρµονική
ταλάντωση. Τα σώµατα διέρχονται για πρώτη φορά από τη θέση ισορροπίας
τους:
α. ταυτόχρονα.
β. σε διαφορετικές χρονικές στιγμές µε πρώτο το Σ1 .
γ. σε διαφορετικές χρονικές στιγμές µε πρώτο το Σ2 .

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
4. Γυρίζουμε το κουμπί επιλογής των σταθμών ενός ραδιοφώνου από τη
συχνότητα 91,6 MHz στη συχνότητα 105,8 ΜΗz. Η χωρητικότητα του πυκνω-
τή του κυκλώματος LC επιλογής σταθμών του ραδιοφώνου:
α. αυξάνεται
β. μειώνεται
γ. παραμένει σταθερή.
5. Σε ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC, τη στιγµή που το
φορτίο του πυκνωτή είναι το µισό του µέγιστου φορτίου του(q =
Q
2
), η ενέρ-
γεια UB του µαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι το:
α. 25% β. 50% γ. 75%
της ολικής ενέργειας Ε του κυκλώµατος.
6. Σώµα µάζας m είναι κρεµασµένο από ελατήριο σταθεράς k και εκτελεί
εξαναγκασµένη ταλάντωση πλάτους Α1 και συχνότητας f1. Παρατηρούµε ότι,
αν η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί και γίνει f2, το πλάτος της
εξαναγκασµένης ταλάντωσης είναι πάλι Α1. Για να γίνει το πλάτος της
εξαναγκασµένης ταλάντωσης µεγαλύτερο του Α1, πρέπει η συχνότητα f του
διεγέρτη να είναι:
α. f > f2.
β. f < f1.
γ. f1 < f < f2.
7. Σ' ένα κύκλωμα LC που εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση με αμείωτο πλά-
τος παρεμβάλλουμε μεταβλητή αντίσταση R.
α. Τί συμβαίνει στο πλάτος της έντασης του ρεύματος για διάφορες τιμές της
αντίστασης R;
8. Δύο ιδανικά κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων L, C έχουν πυκνωτές
ιδίας χωρητικότητας C1 = C2. Στο παρακάτω διάγραμμα παριστάνονται οι με-

ταβολές των ρευμάτων που διαρρέουν τα δύο κυκλώματα σε συνάρτηση με το
χρόνο.
Για τους συντελεστές αυτεπαγωγής των πηνίων L1 και L2 αντίστοιχα ι-
σχύει:
α. 2
1
L
L
2
 β. L1 = 4 L2 . γ. L1 = 2L2 . δ. 2
1
L
L
4
 .
9. Ένα σώμα μάζας m είναι προσδεμένο σε ελατήριο σταθεράς Κ και εκτελεί
εξαναγκασμένη ταλάντωση. Η συχνότητα του διεγέρτη είναι f = fο, όπου fο η
ιδιοσυχνότητα του συστήματος. Αν τετραπλασιάσουμε τη μάζα m του σώμα-
τος, ενώ η συχνότητα του διεγέρτη παραμένει σταθερή, τότε:
A. Η ιδιοσυχνότητα του συστήματος
α. γίνεται of
2
.
β γίνεται 2fo .
γ. παραμένει σταθερή.
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας
B.Το πλάτος της ταλάντωσης του συστήματος
β. ελαττώνεται.
γ. παραμένει σταθερό.
10. Κύκλωµα LC µε αντίσταση R εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση µε συ-
χνότητα f1. Τότε το πλάτος του ρεύµατος είναι Ι1. Παρατηρούµε ότι όταν η
συχνότητα του διεγέρτη ελαττώνεται µε αφετηρία την f1, το πλάτος του
ρεύµατος συνεχώς ελαττώνεται. Με αφετηρία τη συχνότητα f1 αυξάνουµε τη
συχνότητα του διεγέρτη.
Στην περίπτωση αυτή, τι ισχύει για το πλάτος του ρεύµατος;
α. Θα µειώνεται συνεχώς.
β. Θα αυξάνεται συνεχώς.
i
t
1 2

γ. Θα µεταβάλλεται και για κάποια συχνότητα του διεγέρτη θα γίνει και πάλι
Ι1.
11. Στο παρακάτω σχήµα φαίνεται η γραφική παράσταση της ταχύτητας υ
ενός σώµατος που εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση σε συνάρτηση µε το
χρόνο t.
α. Πόση είναι η περίοδος της ταλάντωσης;
β. Σε ποιες χρονικές στιγµές η αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας είναι
µέγιστη;
γ. Σε ποιες χρονικές στιγµές η επιτάχυνση είναι µηδέν;
12. ∆ύο απλοί αρµονικοί ταλαντωτές Α και Β που εκτελούν αµείωτες
αρµονικές ταλαντώσεις του ίδιου πλάτους, έχουν σταθερές επαναφοράς DA
και DB αντίστοιχα, µε DA>DB. Ποιος έχει µεγαλύτερη ολική ενέργεια;
α. ο ταλαντωτής Α β. ο ταλαντωτής Β.
13. Ένα σώµα κάνει ταυτόχρονα ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, µε εξισώ-
σεις x
1
=Αηµωt και x
2
=2Aηµωt. Το πλάτος της σύνθετης ταλάντωσης, είναι :
α. Α
β. 3Α
γ. 2Α
Ποιο από τα παραπάνω είναι το σωστό;
14. Σε ιδανικό κύκλωµα LC µε διακόπτη, φορτίζουµε τον πυκνωτή και
κλείνουµε τον διακόπτη. Μετά από πόσο χρόνο από τη στιγµή που κλείσαµε το
διακόπτη, ο πυκνωτής θα αποκτήσει για πρώτη φορά την αρχική του ενέργει-
α;
α. 2 LC β. LC γ.
LC


15. Σώμα μάζας Μ έχει προσδεθεί στο κάτω άκρο κατακόρυφου ιδανικού
ελατηρίου σταθεράς Κ του οποίου το άνω άκρο είναι στερεωμένο σε ακλόνη-
το σημείο. Απομακρύνουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω κατά από-
σταση α από τη θέση ισορροπίας και το αφήνουμε ελεύθερο να κάνει ταλά-
ντωση. Επαναλαμβάνουμε το πείραμα και με ένα άλλο ελατήριο σταθεράς Κ΄
= 4Κ.
Να γίνουν οι γραφικές παραστάσεις των δυναμικών ενεργειών των δύο ταλα-
ντώσεων σε συνάρτηση με την απομάκρυνση στο ίδιο διάγραμμα.
16. ∆ιαθέτουμε δύο κυκλώματα (L
1
C
1
) και
(L
2
C
2
) ηλεκτρικών ταλαντώσεων. Τα διαγράμ-
ματα (1) και (2) παριστάνουν τα φορτία των
πυκνωτών C
1
και C
2
αντίστοιχα, σε συνάρτηση
με το χρόνο. Ο λόγος Ι
1
/Ι
2
των μέγιστων τιμών
της έντασης του ρεύματος στα δύο κυκλώματα
είναι:
α. 2. β.
1
4
. γ.
1
2
17. ∆ύο ιδανικά κυκλώματα L1C1 και L2C2 με αυτεπαγωγές L1 και L2 = 4L1 έ-
χουν την ίδια ολική ενέργεια.
Για τα πλάτη των ρευμάτων που διαρρέουν τα κυκλώματα θα ισχύει ότι
α. Ι1 = 2Ι2.
β. Ι1 = 4Ι2 .
γ. Ι1 = Ι2/2 .
18. Στο ιδανικό κύκλωμα LC του σχήματος έχουμε αρχικά τους διακόπτες ∆1
και ∆2 ανοικτούς.

Ο πυκνωτής χωρητικότητας C1 έχει φορτιστεί μέσω πηγής συνεχούς τάσης με
φορτίο Q1. Tη χρονική στιγμή to=0 ο διακόπτης ∆1 κλείνει, οπότε στο κύκλωμα
LC1 έχουμε αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση. Τη χρονική στιγμή 1
5T
t
4
 , όπου Τ
η περίοδος της ταλάντωσης του κυκλώματος LC1, o διακόπτης ∆1 ανοίγει και
ταυτόχρονα κλείνει ο ∆2. Το μέγιστο φορτίο Q2 που θα αποκτήσει ο πυκνωτής
χωρητικότητας C2, όπου C2=4C1, κατά τη διάρκεια της ηλεκτρικής ταλάντω-
σης του κυκλώματος LC2 θα είναι ίσο με
α) Q1.
β) 1Q
2
.
γ) 2Q1.
19. Σώμα Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις που γίνο-
νται γύρω από το ίδιο σημείο, στην ίδια διεύθυνση, με εξισώσεις: x1 = 5ημ10t
και x2 = 8ημ(10t +π) Η απομάκρυνση του σώματος κάθε χρονική στιγμή θα
δίνεται από την εξίσωση
α. y = 3ημ(10t + π) . β. y = 3ημ10t. γ. y = 11ημ(10t
+ π).
20. Ένας ταλαντωτής τη χρονική στιγμή t = 0 έχει ενέργεια Εο και πλάτος τα-
λάντωσης Αο. Η ενέργεια που έχει χάσει ο ταλαντωτής μέχρι τη στιγμή t, που
το πλάτος της ταλάντωσής του έχει μειωθεί στο
1
4
της αρχικής του τιμής, εί-
ναι
α. oE
16
. β. oE
4
. γ. o15E
16
.
21. Δίνονται οι γραφικές παραστάσεις που απεικονίζουν την ταλάντωση που
εκτελούν τα συστήματα ανάρτησης τριών αυτοκινήτων που κινούνται με την
ίδια ταχύτητα όταν συναντούν το ίδιο εξόγκωμα στο δρόμο.

Το αυτοκίνητο του οποίου το σύστημα ανάρτησης λειτουργεί καλύτερα είναι
το
α. Ι.
β. ΙΙ.
γ. ΙΙΙ.
22. Στα κάτω άκρα δύο κατακόρυφων ελατηρίων Α και Β των οποίων τα άλλα
άκρα είναι ακλόνητα στερεωμένα, ισορροπούν δύο σώματα με ίσες μάζες.
Απομακρύνουμε και τα δύο σώματα προς τα κάτω κατά d και τα αφήνουμε
ελεύθερα, ώστε αυτά να εκτελούν απλή αρμονική ταλάντωση. Αν η σταθερά
του ελατηρίου Α είναι τετραπλάσια από τη σταθερά του ελατηρίου Β, ποιος
είναι τότε ο λόγος των μέγιστων ταχυτήτων ,max
B,max


των δύο σωμάτων;
α.
1
2
β. 1 γ. 2
Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
23. Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων αν κάποια χρονική στιγμή
ισχύει
Q
q
3
 , όπου q το στιγμιαίο ηλεκτρικό φορτίο και Q η μέγιστη τιμή του
ηλεκτρικού φορτίου στον πυκνωτή, τότε ο λόγος της ενέργειας ηλεκτρικού πε-
δίου προς την ενέργεια μαγνητικού πεδίου E
B
U
U
 
 
 
είναι:
α.
1
8
β.
1
3
γ. 3
24. Ένα σώμα μετέχει σε δύο αρμονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης που
γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο με το ίδιο πλάτος και γωνιακές ταχύτητες,
που διαφέρουν πολύ λίγο. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι:
x1=0,2ημ(998πt), x2=0,2ημ(1002πt) (όλα τα μεγέθη στο S.I.). Ο χρόνος ανά-
μεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς του πλάτους της ιδιόμορφης ταλάντω-
σης (διακροτήματος) του σώματος είναι:
α. 2s β. 1s γ. 0,5s

25. Θεωρούμε δύο κυκλώματα Α (LA, C) και Β (LB, C) που εκτελούν ελεύθερες
αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Οι πυκνωτές στα δύο κυκλώματα έχουν την
ίδια χωρητικότητα C.
Οι καμπύλες Α και Β παριστάνουν τα ρεύματα στα δύο πηνία σε συνάρτηση με
τον χρόνο. Για τους συντελεστές αυτεπαγωγής LA, LB των πηνίων στα δύο κυ-
κλώματα ισχύει ότι
α. LA =4 LΒ.
β. LΒ =4 LΑ.
γ. LA =2 LΒ.
26. Στην κάτω άκρη κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ, η πάνω
άκρη του οποίου είναι στερεωμένη σε ακλόνητο σημείο, σώμα μάζας m εκτε-
λεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους
d
2
, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας, η επιμήκυνση του ελατηρίου
είναι d. Στην κατώτερη θέση της ταλάντωσης του σώματος, ο λόγος της δύ-
ναμης του ελατηρίου προς τη δύναμη επαναφοράς είναι
α.
F 1
F 3


 . β.
F
3
F


 γ.
F
2
F




27. Το σώμα Σ1 του παρακάτω σχήματος είναι δεμένο στο ελεύθερο άκρο ο-
ριζόντιου ιδανικού ελατηρίου του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητο. Το
σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α σε λείο οριζόντιο δάπε-
δο.
Το μέτρο της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ1 είναι α1max .
Το σώμα Σ1 αντικαθίσταται από άλλο σώμα Σ2 διπλάσιας μάζας, το οποίο εκτε-
λεί απλή αρμονική ταλάντωση ίδιου πλάτους Α.
Για το μέτρο α2max της μέγιστης επιτάχυνσης του Σ2, ισχύει:
α. 1max
2max
2

  β. α2max = α1max γ. α2max = 2 ⋅ α1max.
Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση.
28. Υλικό σημείο Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α και κυκλικής
συχνότητας ω. Η μέγιστη τιμή του μέτρου της ταχύτητας του είναι υο και του
μέτρου της επιτάχυνσής του είναι αο. Αν x, υ, α είναι τα μέτρα της απομά-
κρυνσης, της ταχύτητας και της επιτάχυνσης του Σ αντίστοιχα, τότε σε κάθε
χρονική στιγμή ισχύει:
α.  2 2 2
x     , β.  2 2 2 2
x      , γ.
 2 2 2 2
     
29. Στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ ισορ-
ροπεί σώμα μάζας m. Εκτρέπουμε το σώμα κατακόρυφα προς τα κάτω και το
αφήνουμε ελεύθερο να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Αν η εκτροπή ήταν μεγαλύτερη, τότε ο χρόνος μιας πλήρους αρμονικής ταλά-
ντωσης του σώματος θα ήταν
α. μεγαλύτερος, β. μικρότερος, γ. ίδιος και στις δύο περιπτώσεις.
30. Δίσκος μάζας Μ είναι στερεωμένος στο πάνω άκρο κατα-
κόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k, και ισορροπεί (όπως
στο σχήμα). Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στο
έδαφος.
Στο δίσκο τοποθετούμε χωρίς αρχική ταχύτητα σώμα μάζας m.

Το σύστημα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση. Η ενέργεια της ταλάντωσης
είναι:
α.
2 2
m g1
2 k
β.
2 2
M g1
2 k
γ.
2
2(m M)1
g
2 k

Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
31. Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η συχνότητα συντονισμού είναι 10Hz.
Αν η συχνότητα του διεγέρτη από 10Hz γίνει 20Hz, το πλάτος της εξαναγκα-
σμένης ταλάντωσης
α. μειώνεται
β. αυξάνεται
γ. παραμένει σταθερό
32. Δίδεται ιδανικό κύκλωμα LC. Όταν ο διακόπτης είναι ανοικτός, η ενέργεια
του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι Ε. Κάποια χρονική στιγμή μετά το
κλείσιμο του διακόπτη η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται
4

. Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου εκείνη τη στιγμή γίνεται
α.
4

β.
5
4

γ.
3
4

δ. 0
33. Από δύο ελατήρια Α και Β είναι εξαρτημένα δύο σώματα της ίδιας μάζας,
τα οποία εκτελούν κατακόρυφη απλή αρμονική ταλάντωση. Το ελατήριο Α έ-
χει σταθερά επαναφοράς μεγαλύτερη από αυτήν του Β.
Η περίοδος της ταλάντωσης του σώματος στο Α είναι
α. μεγαλύτερη από αυτήν στο Β.

β. μικρότερη από αυτήν στο Β.
γ. ίση με αυτήν στο Β.
34. Σε ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC διπλασιάζουμε την τάση
φόρτισης του πυκνωτή. Το μέγιστο ρεύμα του κυκλώματος
β. μειώνεται.
γ. παραμένει σταθερό.
35. Τα δύο σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες m και 2m αντίστοιχα είναι δεμένα στα
άκρα δύο ελατηρίων με σταθερές Κ και
2

, όπως φαίνεται στο σχήμα, και ε-
κτελούν απλές αρμονικές ταλαντώσεις με ίσες ενέργειες ταλάντωσης.
Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες.
Το πλάτος ταλάντωσης Α1 του σώματος Σ1 είναι
α. μικρότερο
β. ίσο
γ. μεγαλύτερο
από το πλάτος ταλάντωσης Α2 του σώματος Σ2.
Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή φράση.
36. Δύο όμοια ιδανικά ελατήρια κρέμονται από δύο ακλόνητα σημεία. Στα
κάτω άκρα των ελατηρίων δένονται σώματα Σ1 μάζας m1 και Σ2 μάζας m2.
Κάτω από το σώμα Σ1 δένουμε μέσω αβαρούς νήματος άλλο σώμα μάζας m2,
ενώ κάτω από το Σ2 σώμα μάζας m1 (m1≠m2), όπως φαίνεται στο σχήμα.

Αρχικά τα σώματα είναι ακίνητα. Κάποια στιγμή κόβουμε τα νήματα και τα
σώματα Σ1 και Σ2 αρχίζουν να ταλαντώνονται. Αν η ενέργεια της ταλάντωσης
του Σ1 είναι Ε1 και του Σ2 είναι Ε2, τότε:
α. 1 2
2 1
Ε m
Ε m
 β.
2
1 2
2
2 1
Ε m
Ε m
 γ. 1
2
Ε
1
Ε

37. Στο κύκλωμα του σχήματος ο πυκνωτής είναι φορτισμένος και ο διακό-
πτης βρίσκεται στη θέση Β.
Τη χρονική στιγμή tο = 0 ο διακόπτης τίθεται στη θέση Α και αρχίζει να εκτε-
λείται ηλεκτρική ταλάντωση με περίοδο Τ. Τη χρονική στιγμή t1=
5T
8
ο διακό-
πτης μεταφέρεται στη θέση Γ. Αν Ιmax,1 είναι το μέγιστο ρεύμα στο κύκλωμα
L1C και Ιmax,2 το μέγιστο ρεύμα στο κύκλωμα L2C, τότε:
α. max,1
max,2
Ι
Ι
 2 β. max,1
max,2
Ι
Ι
 3 . γ. max,1
max,2
Ι
Ι
 2
Δίνεται L1 = L2 και ότι ο διακόπτης μεταφέρεται από τη μία θέση στην άλλη
ακαριαία και χωρίς να δημιουργηθεί σπινθήρας
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση
Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας
38. Σύστημα εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση σταθερού πλάτους. Η ιδιο-
συχνότητα του συστήματος είναι fo και η περίοδος του διεγέρτη είναι Τ1, ό-

που Τ1 >
o
1
f
. Αν η περίοδος του διεγέρτη αυξηθεί, τότε το πλάτος της ταλά-
ντωσης
α. μικραίνει.
β. παραμένει το ίδιο.
γ. μεγαλώνει.
39. Στο ιδανικό κύκλωμα L–C του σχήματος έχουμε αρχικά τους διακόπτες
Δ1 και Δ2 ανοικτούς. Οι πυκνωτές χωρητικότητας C1 και C2 έχουν φορτιστεί
μέσω πηγών συνεχούς τάσης με φορτία Q1=Q2=Q. Τη χρονική στιγμή tο=0 ο
διακόπτης Δ1 κλείνει, οπότε στο κύκλωμα L–C1 έχουμε αμείωτη ηλεκτρική τα-
λάντωση. Τη χρονική 1
1
7T
t
4
 , όπου T1 η περίοδος της ταλάντωσης του κυ-
κλώματος L–C1, ο διακόπτης Δ1 ανοίγει και ταυτόχρονα κλείνει ο διακόπτης
Δ2. Δίνεται ότι C2 = 2C1.
Το μέγιστο φορτίο που θα αποκτήσει ο πυκνωτής χωρητικότητας C2 κατά τη
διάρκεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης του κυκλώματος L–C2 είναι:
α.
3Q
2
β.
Q
3
γ. 3 Q
40. Υλικό σημείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, γύ-
ρω από την ίδια θέση ισορροπίας και στην ίδια διεύθυνση. Οι ταλαντώσεις πε-
ριγράφονται από τις σχέσεις:
y1=Aημ(ωt+
π
3
), y2= 3 Αημ(ωt–
π
6
).
Αν Ε1, Ε2, Εολ είναι οι ενέργειες ταλάντωσης για την πρώτη, για τη δεύτερη και
για τη συνισταμένη ταλάντωση, τότε ισχύει:
α. Εο λ = Ε1–Ε2 β. Εολ = Ε1+Ε2 γ . Εολ2 = Ε12+Ε22

41. Στο σχήμα παριστάνεται γραφικά η ένταση του ρεύματος που διαρρέει
δύο ιδανικά κυκλώματα ηλεκτρικών ταλαντώσεων A και Β σε συνάρτηση με το
χρόνο.
Για τα μέγιστα φορτία QΑ και QΒ των δύο πυκνωτών των παραπάνω κυκλωμά-
των ισχύει η σχέση:
α. A
B
Q 1
Q 2
 β. A
B
Q
1
Q
 γ. A
B
Q
2
Q

Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή σχέση
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας .
42. Στο κύκλωμα του σχήματος ο πυκνωτής χω-
ρητικότητας C=20×10–6 F είναι φορτισμένος σε
τάση Vc=20 V και το ιδανικό πηνίο έχει συντελε-
στή αυτεπαγωγής L =
1
9
× 10-3 H.
Τη χρονική στιγμή t0 = 0 κλείνουμε το διακόπτη
δ. Κάποια μεταγενέστερη χρονική στιγμή t1, το
φορτίο του πυκνωτή είναι μηδέν και η ένταση
του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο είναι 6 Α.
Από τη στιγμή t0 έως τη στιγμή t1 η συνολική ε-
νέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης μειώθηκε
κατά:
i) 1 × 10-3 J
ii) 2 × 10 J
iii) 4 × 10 J

43. Απλός αρμονικός ταλαντωτής, ελατήριο-μάζα, με σταθερά ελατηρίου k =
100 N/m και μάζα m = 1 kg εκτελεί εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα
διεγέρτη
8
f
π
 Hz. Αν η συχνότητα του διεγέρτη αυξηθεί, τότε το πλάτος της
ταλάντωσης
i. μειώνεται
ii. αυξάνεται
iii. μένει σταθερό.
44. Ταλαντωτής που εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση έχει τη χρονική στιγμή t=0
ενέργεια Εο και πλάτος Αο. Τη χρονική στιγμή t1 η ενέργεια του ταλαντωτή έχει
ελαττωθεί κατά ο
15
Ε
16
. Τη χρονική στιγμή t1 το πλάτος Α της ταλάντωσης εί-
ναι:
α) οΑ
2
β) οΑ
4
γ) οΑ
16
45. Δύο όμοια σώματα, ίσων μαζών m το καθένα, συνδέονται με όμοια ιδανι-
κά ελατήρια σταθεράς k το καθένα, των οποίων τα άλλα άκρα είναι
συνδεδεμένα σε ακλόνητα σημεία, όπως στο σχήμα. Οι άξονες των δύο ελα-
τηρίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τα ελατήρια βρίσκονται στο φυσικό τους
μήκος ℓo και το οριζόντιο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται είναι λείο.
Μετακινούμε το σώμα 1 προς τα αριστερά κατά d και στη συνέχεια το αφή-
νουμε ελεύθερο να κινηθεί. Το σώμα 1 συγκρούεται πλαστικά με το σώμα 2.
Το συσσωμάτωμα που προκύπτει εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με στα-
θερά επαναφοράς D = 2k. Αν Α1 το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος 1
πριν τη κρούση και Α2 το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά
την κρούση, τότε ο λόγος 1
2
A
A
είναι:

i) 1 ii)
1
2
iii) 2
46. Δύο κυκλώματα Α(LA, CA, R) και Β(LΒ, CΒ, R) εκτελούν εξαναγκασμένες
ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Στο σχήμα 2 φαίνονται τα διαγράμματα του πλάτους
της έντασης του ρεύματος Ι σε συνάρτηση με τη συχνότητα f του διεγέρτη,
για τα δύο κυκλώματα.
Για τους συντελεστές αυτεπαγωγής LA και LΒ των πηνίων των κυκλωμάτων Α
και Β και για τις χωρητικότητες CA και CΒ των πυκνωτών των κυκλωμάτων αυ-
τών ισχύει
i. LB=4∙LA, CB=CA
ii. LB=LA, A
B
C
C
4

iii. LB∙ CB=LA∙CA

ΘΕΜΑ 3ο
1. Το ηλεκτρικό κύκλωμα του σχήματος αποτελείται από πυκνωτή με χω-
ρητικότητα 210-5 F , ένα ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής 0,05H
και διακόπτη Δ όπως φαίνονται στο παρακάτω σχήμα. Αρχικά ο διακόπτης Δ
είναι ανοικτός και ο πυκνωτής είναι φορτισμένος με ηλεκτρικό φορτίο 510-7
C. Οι αγωγοί σύνδεσης έχουν αμελητέα αντίσταση.
Τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη Δ.
Να υπολογίσετε:
1. την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης
2. το πλάτος της έντασης του ρεύματος
3. την ένταση του ρεύματος τη στιγμή που το φορτίο του πυκνωτή C είναι
310-7 C.
Δίνεται: π = 3,14 .
2. Η ολική ενέργεια ιδανικού κυκλώµατος LC, του παρακάτω σχήµατος,
είναι 4,5∙10-5J η δε περίοδος Τ = 4π ∙10-4s.
Εάν η χωρητικότητα του πυκνωτή είναι C = 4 ∙10-5F να υπολογίσετε:
1. το συντελεστή αυτεπαγωγής του πηνίου.
2. το πλάτος της έντασης του ρεύµατος.
3. το µέγιστο φορτίο στους οπλισµούς του πυκνωτή.
4. το φορτίο στους οπλισµούς του πυκνωτή τη χρονική στιγµή που η ενέργεια
του µαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι τριπλάσια της ενέργειας του ηλεκτρι-
κού πεδίου του πυκνωτή.
3. To σώμα Σ του σχήματος είναι συνδε-
δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου στα-
θεράς k=900 N/m, το άλλο άκρο του ο-
ποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο ση-
μείο. Το σύστημα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με περίοδο
Τ=(π/15) s. Το σώμα τη χρονική στιγμή t=0 διέρχεται από τη θέση ισορροπίας
του με ταχύτητα υ=6 m/s κινούμενο προς τα δεξιά. Να βρείτε:
++ ++
----
Δ
C L

Α. Το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος.
Β. Τη μάζα του σώματος.
Γ. Την απομάκρυνση του σώματος από τη θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με
το χρόνο και να τη σχεδιάσετε σε αριθμημένους άξονες για το χρονικό διά-
στημα από 0 έως (2π/15) s.
Δ. Για ποιες απομακρύνσεις ισχύει Κ=3U, όπου Κ η κινητική ενέργεια και U η
δυναμική ενέργεια του συστήματος.
4. Στο ένα άκρο ιδανικού ελατηρίου είναι στερεωμένο σώμα μάζας
m1=1,44kg, ενώ το άλλο του άκρο είναι ακλόνητο. Πάνω στο σώμα κάθεται
ένα πουλί μάζας m2 και το σύστημα ταλαντώνεται σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του συστήματος είναι
m
0,4
s
 s και η δυνα-
μική του ενέργεια μηδενίζεται κάθε 0,5s. Όταν το σύστημα διέρχεται από την
ακραία θέση ταλάντωσης, το πουλί πετά κατακόρυφα και το νέο σύστημα τα-
λαντώνεται με κυκλική συχνότητα
rad
2,5
s

Να βρείτε:
Α. Την περίοδο και το πλάτος της αρχικής ταλάντωσης.
Β. Τη σταθερά του ελατηρίου.
Γ. Tη μέγιστη ταχύτητα της νέας ταλάντωσης.
∆. Τη μάζα του πουλιού.
5. Ιδανικό κύκλωμα LC εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση με περίοδο
Τ=4π⋅10−3s. Τη χρονική στιγμή t = 0, o πυκνωτής έχει το μέγιστο ηλεκτρικό
φορτίο. Ο πυκνωτής έχει χωρητικότητα C = 10μF και η μέγιστη τιμή της έντα-
σης του ρεύματος, το οποίο διαρρέει το πηνίο, είναι 2⋅10−3Α.
α. Να υπολογισθεί ο συντελεστής αυτεπαγωγής L του πηνίου.
β. Ποια χρονική στιγμή η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου γίνεται
μέγιστη για πρώτη φορά.
γ. Να υπολογισθεί η μέγιστη τάση στους οπλισμούς του πυκνωτή.
δ. Να υπολογισθεί η ένταση του ρεύματος, το οποίο διαρρέει το πηνίο, τις
χρονικές στιγμές κατά τις οποίες η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυ-
κνωτή είναι τριπλάσια της ενέργειας του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο.
Δίνονται: 1μF =10−6F, π =3,14.
6. Πυκνωτής χωρητικότητας 2⋅10−6 F φορτίζεται σε τάση 50V. Τη χρονική
στιγμή t = 0 οι οπλισμοί του πυκνωτή συνδέονται στα άκρα ιδανικού πηνίου με
συντελεστή αυτεπαγωγής 2⋅10−2 H και το κύκλωμα εκτελεί αμείωτη ηλεκτρική
ταλάντωση.
α. Να υπολογίσετε την περίοδο της ηλεκτρικής ταλάντωσης.
β. Να γράψετε την εξίσωση η οποία δίνει την ένταση του ρεύματος που διαρ-
ρέει το πηνίο σε συνάρτηση με το χρόνο.

γ. Να υπολογίσετε το λόγο της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή
προς την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου, όταν το πηνίο διαρρέε-
ται από ρεύμα έντασης i = 0,1 A.
Δίνεται: π = 3,14.
7. Υλικό σημείο Σ εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλαντώσεις, οι
οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας.
Οι ταλαντώσεις περιγράφονται από τις εξισώσεις :
x1=Aημωt και x2=Aημ(ωt+
3

),
με Α = 4 cm και ω = 10 rad/s.
α. Να υπολογισθεί το πλάτος Αολ της συνισταμένης απλής αρμονικής ταλάντω-
σης που εκτελεί το Σ.
β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης που εκτελεί το Σ.
γ. Να γραφεί η εξίσωση της ταχύτητας ταλάντωσης του Σ και να υπολογισθεί η
αλγεβρική τιμή της ταχύτητας τη χρονική στιγμή t =
15

s μετά από τη στιγμή
t=0.
δ. Να υπολογισθεί ο λόγος της κινητικής προς τη δυναμική ενέργεια της ταλά-
ντωσης του υλικού σημείου τη χρονική στιγμή t =
120

s.
Δίνονται: ημ
6

=
1
2
, συν
6

=
3
2
, ημ
4

=συν
4

=
2
2
,
ημ
3

=
3
2
, συν
3

=
1
2
, ημΑ+ημΒ = 2συν
2
  
ημ
2
  
8. Σε ιδανικό κύκλωμα LC παραγωγής ηλεκτρικών ταλαντώσεων, η ένταση
του ρεύματος i που διαρρέει το κύκλωμα συναρτήσει του χρόνου t δίνεται από
τη σχέση: i = −0,5⋅ ημ104 t (S.I.).
Το πηνίο έχει συντελεστή αυτεπαγωγής L = 10−2H.
α. Την περίοδο Τ των ηλεκτρικών ταλαντώσεων.
β. Τη χωρητικότητα C του πυκνωτή.
γ. Το μέγιστο φορτίο Q του πυκνωτή.
δ. Την απόλυτη τιμή της έντασης του ρεύματος που διαρρέει το κύκλωμα, ό-
ταν το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή είναι q = 3⋅10−5C.
9. Στο κύκλωμα του σχήματος δίνονται: πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε=5V
μηδενικής εσωτερικής αντίστασης, πυκνωτής χωρητικότητας C=8·10−6 F, πη-
νίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=2·10−2 H. Αρχικά ο διακόπτης Δ1 είναι
κλειστός και ο διακόπτης Δ2 ανοιχτός.

Γ1. Να υπολογίσετε το φορτίο Q του πυκνωτή.
Ανοίγουμε το διακόπτη Δ1 και τη χρονική στιγμή t=0 κλείνουμε το διακόπτη
Δ2. Το κύκλωμα LC αρχίζει να εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις.
Γ2. Να υπολογίσετε την περίοδο των ηλεκτρικών ταλαντώσεων.
Γ3. Να γράψετε την εξίσωση σε συνάρτηση με το χρόνο για την ένταση του
ηλεκτρικού ρεύματος που διαρρέει το πηνίο.
Γ4. Να υπολογίσετε το ηλεκτρικό φορτίο του πυκνωτή τη χρονική στιγμή κατά
την οποία η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο είναι τριπλάσια από
την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στον πυκνωτή.
10. Σώμα Σ1 μάζας m1 = 1kg ισορροπεί πάνω σε λείο κεκλιμένο επίπεδο που
σχηματίζει με τον ορίζοντα γωνία φ = 30ο. Το σώμα Σ1 είναι δεμένο στην άκρη
ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 100Ν/m το άλλο άκρο του οποίου στερεώ-
νεται στη βάση του κεκλιμένου επιπέδου, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Εκτρέπουμε το σώμα Σ1 κατά d1 = 0,1m από τη θέση ισορροπίας του κατά
μήκος του κεκλιμένου επιπέδου και το αφήνουμε ελεύθερο.
Γ1. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
Γ2. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου του ρυθμού μεταβολής της
ορμής του σώματος Σ1.
Μετακινούμε το σώμα Σ1 προς τα κάτω κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου
μέχρι το ελατήριο να συμπιεστεί από το φυσικό του μήκος κατά Δℓ = 0,3m.
Τοποθετούμε ένα δεύτερο σώμα Σ2 μάζας m2 = 1kg στο κεκλιμένο επίπεδο,
ώστε να είναι σε επαφή με το σώμα Σ1, και ύστερα αφήνουμε τα σώματα ε-
λεύθερα.

Γ3. Να υπολογίσετε τη σταθερά επαναφοράς του σώματος Σ2 κατά τη διάρ-
κεια της ταλάντωσής του.
Γ4. Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από τη θέση που αφήσαμε ελεύθερα
τα σώματα χάνεται η επαφή μεταξύ τους.
Δίνονται: ημ30ο = 1/2, g = 10m/s2
11. Ιδανικό κύκλωμα ηλεκτρικών ταλαντώσεων LC αποτελείται από πυκνωτή
χωρητικότητας C=10-6F και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L=10-4H.
Γ1. Να υπολογίσετε τη συχνότητα της ηλεκτρικής ταλάντωσης.
Γ2. Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή, αν γνωρίζουμε ότι το η-
λεκτρικό φορτίο του πυκνωτή είναι q=4·10-7C, όταν η ένταση του ρεύματος
που διαρρέει το κύκλωμα είναι i=3∙10-2A.
Γ3. Να υπολογίσετε το φορτίο του θετικού οπλισμού του πυκνωτή τις χρονικές
στιγμές κατά τις οποίες η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι
τριπλάσια από την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή.
Γ4. Αν τη χρονική στιγμή t=0 ο πυκνωτής έχει το μέγιστο φορτίο του, να γρά-
ψετε την εξίσωση της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή σε συ-
νάρτηση με το χρόνο και να την παραστήσετε γραφικά για χρονικό διάστημα
μιας περιόδου της ηλεκτρικής ταλάντωσης.
Για το σχεδιασμό της γραφικής παράστασης να χρησιμοποιήσετε το χαρτί μι-
λιμετρέ του τετραδίου σας.
12. Ιδανική πηγή με ΗΕΔ Ε = 20 V και εσωτερική αντίσταση r = 0, συνδέεται
με αντίσταση R = 10 Ω, με ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L =
9⋅10-3 H και πυκνωτή χωρητικότητας 91
C 10 F
36

  .
Αρχικά ο διακόπτης (δ) βρίσκεται στη θέση 1 για αρκετό χρόνο και ο
πυκνωτής έχει φορτίο Q1 = 1⋅10-6 C.
Γ1. Να υπολογίσετε την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή και την
ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου.
Μεταφέρουμε ακαριαία το διακόπτη (δ) στη θέση 2 χωρίς να ξεσπάσει

ηλεκτρικός σπινθήρας και το κύκλωμα L-C εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές
ταλαντώσεις.
Γ2. Να υπολογίσετε την περίοδο (Τ) των ταλαντώσεων.
Γ3. Να υπολογίσετε το μέγιστο φορτίο του πυκνωτή.
Γ4. Αμέσως μετά τη μεταφορά του διακόπτη (δ) στη θέση 2 να υπολογίσετε
την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της τάσης στα άκρα του
πυκνωτή.
13. Τα σώματα Σ1 και Σ2, του σχήματος 4, με μάζες m1 = 1 kg και m2 = 4 kg
αντίστοιχα, βρίσκονται ακίνητα σε λείο οριζόντιο επίπεδο και εφάπτονται με-
ταξύ τους. Τα σώματα είναι δεμένα στην άκρη δύο όμοιων ιδανικών ελατηρί-
ων σταθεράς k = 100 Ν/m, που βρίσκονται στο φυσικό τους μήκος και των
οποίων η άλλη άκρη είναι σταθερά στερεωμένη.
Μετακινούμε τα σώματα Σ1 και Σ2 έτσι ώστε τα ελατήρια να συσπειρωθούν
κατά d = 0,2 m το καθένα (σχήμα 5) και στη συνέχεια τη χρονική στιγμή t = 0
αφήνονται ελεύθερα να ταλαντωθούν.
Γ1. Να γράψετε τις εξισώσεις των απομακρύνσεων x1 και x2 των σωμάτων Σ1
και Σ2 συναρτήσει του χρόνου. Ως θετική φορά ορίζεται η από το Σ2 προς Σ1
και ως x = 0 ορίζεται η θέση που εφάπτονται αρχικά τα σώματα στο σχήμα 4.
Γ2. Τα σώματα Σ1 και Σ2 κινούμενα με αντίθετη φορά συγκρούονται στη θέση
d
x
2
  . Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων τους ελάχιστα πριν από την
κρούση.
Γ3. Η κρούση που ακολουθεί είναι πλαστική. Να αποδείξετε ότι το συσσωμά-
τωμα μετά την κρούση θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Γ4. Να βρείτε το μέτρο του μέγιστου ρυθμού μεταβολής της ορμής του συσ-
σωματώματος μετά την κρούση.
14. Στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου, του οποίου το άλλο άκρο είναι
στερεωμένο σε ακλόνητο σημείο της οροφής, είναι δεμένο σώμα Σ μάζας m =
1 kg.

Το ελατήριο είναι ιδανικό και έχει σταθερά k =100 N/m. To
σώμα ισορροπεί με τη βοήθεια κατακόρυφου νήματος το οποίο
ασκεί δύναμη F=20N στο σώμα, όπως φαίνεται στο Σχήμα 2.
Γ1. Να υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου σε σχέση με
το φυσικό του μήκος.
Την χρονική στιγμή to= 0 κόβεται το νήμα στο σημείο Γ.
Γ2. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του σώματος Σ.
Γ3. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του σώ-
ματος Σ σε
συνάρτηση με το χρόνο. Θετική φορά θεωρείται η φορά του
βάρους.
Γ4. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σώματος όταν
η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης είναι ίση με 4/5 της ολι-
κής ενέργειας ταλάντωσης.
Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2 .

ΘΕΜΑ 4ο
1. Ακίνητο σώμα μάζας Μ=9∙10-2 kg βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο ε-
πίπεδο και είναι προσδεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς
K=1000N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένη, όπως
φαίνεται στο σχήμα.
Βλήμα μάζας m=1∙10-2 kg που κινείται κατά τη διεύθυνση του άξονα του ελα-
τηρίου με ταχύτητα υ, συγκρούεται με το ακίνητο σώμα μάζας Μ και σφηνώ-
νεται σ' αυτό.
Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλά-
τους Α=0,1m.
Α. Να υπολογίσετε:
α. την περίοδο Τ της ταλάντωσης του συσσωματώματος.
β. την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση.
γ. την ταχύτητα υ, με την οποία το βλήμα προσκρούει στο σώμα μάζας Μ.
Β. Να γράψετε την εξίσωση απομάκρυνσης της ταλάντωσης σε σχέση με
το χρόνο.
2. Σώµα Σ µάζας Μ = 0,1 kg είναι δεµένο στο ένα άκρο οριζοντίου ελατη-
ρίου και ηρεµεί. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι σταθερά συνδεδεµένο µε
κατακόρυφο τοίχο.
Μεταξύ σώµατος και οριζοντίου δαπέδου δεν εµφανίζονται τριβές. Βλήµα
µάζας m=0,001kg κινούµενο κατά µήκος του άξονα του ελατηρίου µε ταχύ-
τητα υ1=200m/s διαπερνά ακαριαία το σώµα Σ και κατά την έξοδό του η τα-
χύτητά του γίνεται υ2 = υ1 /2 . Να βρεθούν:
α. Η ταχύτητα v µε την οποία θα κινηθεί το σώµα Σ αµέσως µετά την έξοδο
του βλήµατος.
β. Η µέγιστη επιµήκυνση του ελατηρίου.
γ. Η περίοδος µε την οποία ταλαντώνεται το σώµα Σ.
δ. Η ελάττωση της µηχανικής ενέργειας κατά την παραπάνω κρούση.
∆ίνεται η σταθερά του ελατηρίου k = 1000 N/m.

3. Ηλεκτρικό κύκλωµα περιλαµβάνει ιδανικό πηνίο µε συντελεστή αυτεπα-
γωγής L=8mH, πυκνωτή χωρητικότητας C και διακόπτη ∆. Η ωµική αντίσταση
του κυκλώµατος θεωρείται αµελητέα. Ο πυκνωτής φορτίζεται πλήρως και τη
χρονική στιγµή t=0 ο διακόπτης κλείνει, οπότε το κύκλωµα κάνει αµείωτη η-
λεκτρική ταλάντωση µε περίοδο T=8π ‧ 10
-4
s. H ολική ενέργεια του
κυκλώµατος είναι E=9‧10
-5
J.
Να υπολογίσετε :
α) την τιµή της χωρητικότητας C του πυκνωτή
β) τη µέγιστη τιµή της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα
γ) Την τιµή της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα τη χρονική στιγµή , κατά
την οποία η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται για πρώτη
φορά τριπλάσια της ενέργειας του µαγνητικού πεδίου στο πηνίο
δ) την παραπάνω χρονική στιγµή t1.
4. Σώµα µάζας m1=3Kg είναι στερεωµένο στην άκρη οριζοντίου ιδανικού
ελατηρίου σταθεράς Κ=400N/m, του οποίου το άλλο άκρο είναι ακλόνητα
στερεωµένο.
Το σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επίπεδο µε περί-
οδο Τ και πλάτος Α=0,4m. Τη χρονική στιγµή to=0 το σώµα βρίσκεται στη θέ-
ση της µέγιστης θετικής αποµάκρυνσης. Τη χρονική στιγµή t=
T
6
, ένα σώµα
µάζας m2=1Kg που κινείται στην ίδια κατεύθυνση µε το σώµα µάζας m1 και
έχει ταχύτητα µέτρου U2=8 m/s συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά µε αυτό.
α. την αρχική φάση της ταλάντωσης του σώµατος µάζας m1
β. τη θέση στην οποία βρίσκεται το σώµα µάζας m1 τη στιγµή της σύγκρουσης
γ. την περίοδο ταλάντωσης του συσσωµατώµατος
δ. την ενέργεια της ταλάντωσης µετά την κρούση.
5. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς Κ=100
N
m
έχει το κάτω άκρο του στερε-
ωμένο στο δάπεδο. Στο επάνω άκρο του ελατηρίου έχει προσδεθεί σώμα Σ1 με
μάζα Μ = 4 kg που ισορροπεί. Δεύτερο σώμα Σ2 με μάζα m = 1 kg βρίσκεται
πάνω από το πρώτο σώμα Σ1 σε άγνωστο ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Μετακινούμε το σώμα Σ1 προς τα κάτω κατά d m
20

 και το αφήνουμε ελεύ-
θερο, ενώ την ίδια στιγμή αφήνουμε ελεύθερο και το δεύτερο σώμα Σ2.

α. Να υπολογίσετε την τιμή του ύψους h ώστε τα δύο σώματα να συναντη-
θούν στη θέση ισορροπίας του σώματος Σ1.
β. Αν η κρούση των δύο σωμάτων είναι πλαστική να δείξετε ότι το συσσωμά-
τωμα αμέσως μετά την κρούση ακινητοποιείται στιγμιαία.
γ. Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος.
δ. Να υπολογίσετε το μέτρο της μέγιστης δύναμης που ασκεί το ελατήριο στο
συσσωμάτωμα.
Δίνεται g= 10 m/s2. Να θεωρήσετε ότι π2=10.
6. Ένα σώμα Σ μάζας m1 είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου
σταθεράς Κ. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Το σύ-
στημα ελατήριο-μάζα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση σε λείο οριζόντιο επί-
πεδο και τη χρονική στιγμή t=0 το σώμα Σ διέρχεται από τη θέση ισορροπίας
του, κινούμενο κατά τη θετική φορά.
Η εξίσωση της απομάκρυνσης της ταλάντωσης του σώματος Σ δίνεται από τη
σχέση x = 0,1ημ10t (SI). Η ολική ενέργεια της ταλάντωσης είναι Ε = 6 J. Τη
χρονική στιγμή t
10

 s στο σώμα Σ σφηνώνεται βλήμα μάζας 1
2
m
m
2
 κι-
νούμενο με ταχύτητα υ2 κατά την αρνητική φορά. Το συσσωμάτωμα που προ-
κύπτει μετά την κρούση εκτελεί νέα απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους
A 0,1 6  m.
α. Να υπολογίσετε τη σταθερά Κ του ελατηρίου και τη μάζα m1 του σώματος
Σ.
β. Να υπολογίσετε την ολική ενέργεια Ε΄ και τη γωνιακή συχνότητα ω΄ της
ταλάντωσης του συσσωματώματος.
γ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ2 του βλήματος πριν από την κρούση.
7. Σώμα Σ1 μάζας m1 = 7kg ισορροπεί δεμένο στο πάνω άκρο κα-
τακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς Κ = 100 N/m, το άλλο
άκρο του οποίου είναι στερεωμένο στο δάπεδο. Από ύψος h =
3,2m πάνω από το Σ1 στην ίδια κατακόρυφο με τον άξονα του ε-
λατηρίου αφήνεται ελεύθερο σώμα Σ2 μάζας m2 = 1kg, το οποίο
συγκρούεται με το Σ1 κεντρικά και πλαστικά.
Να υπολογίσετε
α. το μέτρο της ταχύτητας υ2 του Σ2 οριακά πριν αυτό συγκρουστεί με το Σ1.
β. το μέτρο της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.
γ. το πλάτος Α της ταλάντωσης του συσσωματώματος.
δ. τη μέγιστη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10m/s2.

8. Λείο κεκλιμένο επίπεδο έχει γωνία κλίσης φ=30ο. Στα σημεία Α και Β στε-
ρεώνουμε τα άκρα δύο ιδανικών ελατηρίων με σταθερές k1=60 Ν/m και
k2=140 Ν/m αντίστοιχα. Στα ελεύθερα
άκρα των ελατηρίων, δένουμε σώμα Σ1,
μάζας m1=2 kg και το κρατάμε στη θέση
όπου τα ελατήρια έχουν το φυσικό τους
μήκος (όπως φαίνεται στο σχήμα).
Τη χρονική στιγμή to=0 αφήνουμε το σώμα
Σ1 ελεύθερο.
Δ1. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ1 εκτελεί
απλή αρμονική ταλάντωση.
Δ2. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την
απομάκρυνση του σώματος Σ1 από τη θέση
ισορροπίας του σε συνάρτηση με το χρόνο. Να θεωρήσετε θετική φορά τη
φορά από το Α προς το Β.
Κάποια χρονική στιγμή που το σώμα Σ1 βρίσκεται στην αρχική του θέση, το-
ποθετούμε πάνω του (χωρίς αρχική ταχύτητα) ένα άλλο σώμα Σ2 μικρών δια-
στάσεων μάζας m2=6 kg. Το σώμα Σ2 δεν ολισθαίνει πάνω στο σώμα Σ1 λόγω
της τριβής που δέχεται από αυτό. Το σύστημα των δύο σωμάτων κάνει απλή
αρμονική ταλάντωση.
Δ3. Να βρείτε τη σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος Σ2.
Δ4. Να βρείτε τον ελάχιστο συντελεστή οριακής στατικής τριβής που πρέπει
να υπάρχει μεταξύ των σωμάτων Σ1 και Σ2, ώστε το Σ2 να μην ολισθαίνει σε
σχέση με το Σ1.
Δίνονται:
1
ημ30
2
  ,
3
συν30
2
  , g=10 m/s2.
9. Στα δύο άκρα λείου επιπέδου στερεώνουμε τα άκρα δύο ιδανικών ελατη-
ρίων με σταθερές k1=60 Ν/m και k2=140 Ν/m αντίστοιχα. Στα ελεύθερα ά-
κρα των ελατηρίων, δένουμε ένα σώμα Σ
μάζας m=2kg ώστε τα ελατήρια να έ-
χουν το φυσικό τους μήκος (όπως φαίνε-
ται στο σχήμα). Εκτρέπουμε το σώμα Σ
κατά Α=0,2 m προς τα δεξιά και τη χρο-
νική στιγμή tο=0 αφήνουμε το σώμα ελεύθερο.
Δ1. Να αποδείξετε ότι το σώμα Σ εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
Δ2. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του σώματος Σ από τη
θέση ισορροπίας σε συνάρτηση με το χρόνο. Να θεωρήσετε θετική την φορά
προς τα δεξιά.
Δ3. Να εκφράσετε το λόγο της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης προς τη
μέγιστη κινητική ενέργεια σε συνάρτηση με την απομάκρυνση x.
Δ4. Τη στιγμή που το ελατήριο βρίσκεται στη θέση x=+
Α
2
αφαιρείται ακα-
ριαία το ελατήριο k2. Να υπολογίσετε το πλάτος της νέας ταλάντωσης.

10. Σώμα Σ1 μάζας Μ=3 kg, είναι στερεωμένο στο άκρο οριζόντιου ιδανικού
ελατηρίου σταθεράς k=100
N
m
. Το άλλο άκρο του ελατηρίου στηρίζεται σε
ακλόνητο σημείο.
Το σώμα Σ1 εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο
με πλάτος Α=0,2 m. Κατά την διάρκεια της ταλάντωσης το σώμα Σ1 συγκρού-
εται πλαστικά και κεντρικά με άλλο ακίνητο σώμα Σ2 μάζας m=1 kg. Η κρού-
ση συμβαίνει στη θέση x=
A
2
, όταν το σώμα Σ1 κινείται προς τα δεξιά.
Δ1. Το μέτρο της ταχύτητας του σώματος Σ1 ελάχιστα πριν την κρούση.
Δ2. Το ποσοστό ελάττωσης (επί τοις εκατό) της κινητικής ενέργειας του συ-
στήματος των σωμάτων λόγω της κρούσης.
Δ3. Το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά την κρούση.
Δ4. Την απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του
συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση.

ΚΥΜΑΤΑ
Α ομάδας
1. Ποια η θεμελιώδης εξίσωση της κυματικής; Αποδείξτε την.
2. Αποδείξτε την εξίσωση κύματος όταν το σημείο Ο (x=0) ξεκινά, απλή αρμο-
νική ταλάντωση τη χρονική στιγμή to=0 με φο=0 και διαδίδεται κατά την
αρνητική φορά σε άξονα xx΄. Ποια η εξίσωση κύματος όταν αυτό διαδίδε-
ται κατά τη θετική φορά;
3. Ποια η εξίσωση ταλάντωσης που εκτελούν σημεία πάνω στην ήρεμη επιφά-
νεια ενός υγρού, που βρίσκονται δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων
Π1 και Π2. Αποδείξτε την παραπάνω εξίσωση.
4. Αποδείξτε την σχέση των αποστάσεων r1 και r2 ενός σημείου της επιφάνει-
ας υγρού από πηγές σύγχρονων αρμονικών κυμάτων Π1 και Π2, όταν το
σημείο είναι: α) ενισχυτικής συμβολής, β) ακυρωτικής συμβολής.
5. Αποδείξτε την εξίσωση στάσιμου κύματος.
6. Αποδείξτε τις σχέσεις που δίνουν τις θέσεις των κοιλιών και δεσμών σε
γραμμικό ελαστικό μέσο που διαδίδεται στάσιμο κύμα.
7. Ποια η απόσταση μεταξύ δύο: α) διαδοχικών κοιλιών, β) διαδοχικών δε-
σμών, γ) μιας κοιλίας και του πλησιέστερου σ΄ αυτήν δεσμού. Αιτιολογήστε
τις απαντήσεις σας.
8. Ποια σχέση δίνει την κρίσιμη γωνία στην ολική ανάκλαση; Αποδείξτε τη.
Β ομάδας
9. Μηχανικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ελαστικού μέσου που
βρίσκεται σε άξονα xx΄. Αν η αρχή αξόνων Ο τη χρονική στιγμή to=0 ξεκινά

ταλάντωση που περιγράφεται από τη σχέση y=Aημ(ωt+φο), να αποδείξετε
την εξίσωση του κύματος που δημιουργείται, αν αυτό διαδίδεται προς την
αρνητική φορά του άξονα.
10. Να αποδείξετε τη σχέση που δίνει τη διαφορά φάσης σε μια χρονική
στιγμή, δύο σημείων ελαστικού μέσου, στο οποίο διαδίδεται αρμονικό κύμα,
αν η απόσταση των δύο σημείων είναι Δx.
11. Να αποδείξετε ότι τα αρμονικά κύματα διαδίδονται από σημεία υψη-
λής φάσης σε σημεία χαμηλής φάσης.
12. Να αποδείξετε ότι ένα σημείο του ελαστικού μέσου όπου διαδίδεται
αρμονικό κύμα ξεκινά την κίνηση του όταν η φάση του μηδενίζεται.
13. Σε επιφάνεια υγρού διαδίδονται κύματα από δύο σύγχρονες πηγές Π1
και Π2. Αν ένα σημείο της επιφάνειας είναι σημείο ενισχυτικής συμβολής,
να δείξετε ότι τα δύο κύματα που φτάνουν στο συγκεκριμένο σημείο από
τις δύο πηγές σε μια χρονική στιγμή, είναι συμφασικά.
και Π2. Αν ένα σημείο της επιφάνειας είναι σημείο ακυρωτικής συμβολής,
να δείξετε ότι τα δύο κύματα που φτάνουν στο συγκεκριμένο σημείο από
τις δύο πηγές σε μια χρονική στιγμή, είναι σε αντίθεση φάσης.
και Π2. Ποιο το πλάτος ταλάντωσης Α΄ σημείου για το οποίο οι δύο ταλα-
ντώσεις που εκτελεί εξαιτίας των δύο πηγών έχουν διαφορά φάσης Δφ=
3
2

.
και Π2. Να δείξετε ότι δύο διαδοχικά σημεία ενισχυτικής συμβολής που
βρίσκονται στην ευθεία Π1Π2, απέχουν μεταξύ τους απόσταση
2

.
και Π2. Να δείξετε ότι δύο διαδοχικά σημεία ακυρωτικής συμβολής που
βρίσκονται στην ευθεία Π1Π2, απέχουν μεταξύ τους απόσταση
2

.
και Π2. Να δείξετε ότι ένα σημείο ενισχυτικής συμβολής που βρίσκεται στην

ευθεία Π1Π2, απέχει από το πλησιέστερο ακυρωτικής που βρίσκεται στην ί-
δια ευθεία κατά
4

.
και Π2. Σημείο Ρ απέχει από τις πηγές Π1 και Π2, r1=10m και r2=2m αντί-
στοιχα και σημείο Σ απέχει από τις πηγές r1=1m και r2=6m αντίστοιχα. Αν
λ=1m:
α) Δείξτε το είδος συμβολής στα σημεία Ρ και Σ.
β) Πόσα σημεία ενισχυτικής και πόσα ακυρωτικής συμβολής υπάρχουν στο
ευθύγραμμο τμήμα ΡΣ που βρίσκονται σε διαφορετικές υπερβολές.
20. Δύο σύγχρονες πηγές βρίσκονται στην επιφάνεια ενός υγρού και παρά-
γουν κύματα που διαδίδονται σ' αυτό. Ένα σημείο Σ απέχει 6 cm από την
πηγή Π1 και 8 cm από την πηγή Π2,
με τα ευθύγραμμα τμήματα Π1Σ και
Π2Σ να είναι κάθετα μεταξύ τους.
Το σημείο, που εκτελεί σύνθετη τα-
λάντωση λόγω της συμβολής των
δύο κυμάτων, βρίσκεται πάνω σε
ενισχυτική υπερβολή. Μεταξύ αυ-
τής της υπερβολής και της μεσοκα-
θέτου στις πηγές Π1 και Π2 δεν υ-
πάρχει άλλη ενισχυτική υπερβολή.
Ένα άλλο σημείο Κ βρίσκεται πάνω
στην ίδια ενισχυτική υπερβολή με
το σημείο Σ. Το σημείο Κ ανήκει, ε-
πίσης, στο ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 που ενώνει τις δύο πηγές.
Η απόσταση Π1Κ του σημείου Κ από την πηγή Π1 είναι:
α) 2cm β) 4cm γ) 6cm δ) 8cm
21. Σε επιφάνεια υγρού βρίσκονται δύο πηγές Π1 και Π2, που ξεκινούν τα-
λάντωση, ταυτόχρονα τη χρονική στιγμή to=0. Η εξίσωση των δύο κυμάτων
περιγράφεται από: y=Aημ2π(t-x) (S.I.). Ένα σημείο Ρ της επιφάνειας απέχει
από τις πηγές Π1 και Π2 αντίστοιχα αποστάσεις r1=2m και r2=4m.
α) Ποια η απομάκρυνση του Ρ από τη θέση ισορροπίας του τις χρονικές
στιγμές t1=1s, t2=2,25s, t3=5,25s.
β) Ποια η γραφική παράσταση απομάκρυνσης - χρόνου για το σημείο Ρ από
τη χρονική στιγμή to έως τη χρονική στιγμή t4=5,5s.
γ) Ποιο το γράφημα απομάκρυνσης από τη θέση ισορροπίας του συναρτή-
σει του χρόνου για το σημείο Ρ από τη χρονική στιγμή to έως τη χρονική
στιγμή t5=8s, αν τη χρονική στιγμή tΠ=3s σταματάνε τη λειτουργία τους οι
δύο πηγές;
Π1 Π2
Σ
Κ

22. Δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών κυμάτων παράγουν όμοια κύματα
στην ήρεμη επιφάνια μιας λίμνης, με περίοδο Τ και πλάτος Α. Όταν τα κύ-
ματα φτάσουν σε ένα σημείο της λίμνης με χρονική διαφορά 3,5Τ τότε το
συγκεκριμένο σημείο θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση με πλάτος:
α) 0, β) Α, γ) 2Α, δ) τίποτα από τα προηγούμενα.
23. Σε μια χορδή μήκους L που έχει τα δυο της άκρα στερεωμένα ακλόνη-
τα έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα που προέρχεται από τη συμβολή δύο
σύγχρονων κυμάτων ίδιου πλάτους Α και ίδιου μήκους κύματος λ, με απο-
τέλεσμα στη χορδή να υπάρχουν συνολικά 3 ακίνητα σημεία.
Αν θέλουμε στη χορδή να εμφανιστούν 5 σημεία με πλάτος ταλάντωσης ίσο
με 2Α, τότε πρέπει το μήκος κύματος των κυμάτων που συμβάλλουν:
α) να αυξηθεί να
3L
5
β) να μειωθεί κατά
3L
5
γ) να διπλασιαστεί
δ) να υποδιπλασιαστεί
24. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδονται δύο κύματα ίδιου πλάτους και
ίδιας συχνότητας, με αντίθετη φορά. Να αποδείξετε ότι σ’ ένα σημείο του
μέσου για να δημιουργηθεί κοιλία θα πρέπει τα δύο κύματα που συμβάλουν
στο συγκεκριμένο σημείο να είναι συμφασικά.
25. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο διαδίδονται δύο κύματα ίδιου πλάτους και
ίδιας συχνότητας, με αντίθετη φορά. Να αποδείξετε ότι σ’ ένα σημείο του
μέσου για να δημιουργηθεί δεσμός θα πρέπει τα δύο κύματα που συμβά-
λουν στο συγκεκριμένο σημείο να παρουσιάζουν αντίθεση φάσης.
26. Αποδείξτε ότι δεν είναι δυνατό να παρουσιαστεί το φαινόμενο της ολι-
κής ανάκλασης όταν φωτεινή δέσμη μεταβαίνει από αραιότερο σε πυκνό-
τερο οπτικά μέσο.

27. Για τη διάδοση των μηχανικών κυμάτων είναι απαραίτητη η ύπαρξη
κάποιου ελαστικού μέσου.
28. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται ακόμα και στο κενό.
29. Κατά τη διάδοση ενός μηχανικού κύματος σ΄ ένα ελαστικό μέσο διαδί-
δεται από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο ενέργεια και ύλη.
30. Στα διαμήκη κύματα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται
κάθετα με τη διεύθυνση διάδοση τους κύματος.
31. Μήκος κύματος είναι η απόσταση που διανύει το κύμα σε χρόνο 1s.
32. Μήκος κύματος ορίζεται ως η απόσταση δύο διαδοχικών σημείων του
μέσου που απέχουν το ίδιο από τη θέση ισορροπίας τους.
33. Η ταχύτητα ενός κύματος που διαδίδεται σε ελαστικό μέσο εξαρτάται
από τη συχνότητά του.
34. Όταν ένα κύμα αλλάζει μέσο διάδοσης η ταχύτητα και το μήκος κύμα-
τος αλλάζουν τιμές ενώ η συχνότητα παραμένει σταθερή.
35. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου όπου
διαδίδεται αρμονικό κύμα εξαρτάται από το μέσο διάδοσης.
36. Σε αρμονικό κύμα που διαδίδεται σε ελαστικό μέσο, δύο σημεία απέ-
χουν απόσταση 4λ. Τα δύο αυτά σημεία μια χρονική στιγμή παρουσιάζουν
διαφορά φάσης 4π.
37. Η εξίσωση
2
y A ( t x)

   

, περιγράφει αρμονικό κύμα που διαδίδε-
ται κατά τη θετική φορά άξονα xx΄.
38. Στα κύματα η αρχή της επαλληλίας ισχύει πάντα.

39. Για να παρατηρηθεί το φαινόμενο της συμβολής δύο κυμάτων στο ίδιο
μέσο, οι πηγές πρέπει να είναι σύγχρονες.
40. Όταν δύο σύγχρονες πηγές δημιουργούν κύματα που διαδίδονται στο
ίδιο μέσο, τότε το πλάτος ταλάντωσης των σημείων του μέσου εξαρτάται
από τη θέση τους και το χρόνο.
41. Τα σημεία ελαστικού μέσου όπου δημιουργείται στάσιμο κύμα ταλα-
ντώνονται με πλάτος 2Α ή μηδέν, όπου Α το πλάτος των κυμάτων που συμ-
βάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο.
42. Το πλάτος ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου όπου υπάρχει
στάσιμο κύμα, εξαρτάται από τη θέση των σημείων στο μέσο και το χρόνο.
43. Δύο σημεία ενός γραμμικού ελαστικού μέσου όπου δημιουργείται στά-
σιμο κύμα, μπορούν να έχουν διαφορά φάσης μια δεδομένη χρονική στιγμή
3
2

  .
44. Σ’ ένα γραμμικό ελαστικό μέσο που διαδίδεται στάσιμο κύμα, μπορεί να
υπάρχει ένα σημείο που να έχει μέγιστη δυναμική ενέργεια και την ίδια
χρονική στιγμή ένα άλλο να έχει μέγιστη κινητική.
45. Δύο κύματα με ίδιο πλάτος και ίδια συχνότητα συμβάλουν σε γραμμικό
ελαστικό μέσο με αποτέλεσμα τη δημιουργία στάσιμου. Αν η συχνότητα των
δύο κυμάτων διπλασιαστεί τότε η απόσταση μεταξύ των δεσμών του κύμα-
τος θα διπλασιαστεί.
46. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα δεν υπακούουν στην αρχή της επαλληλί-
ας.
47. Φορτία που κινούνται με σταθερή ταχύτητα δημιουργούν ηλεκτρομα-
γνητικά κύματα.
48. Το πηλίκο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου προς την ένταση του μα-
γνητικού πεδίου στο ίδιο σημείο και την ίδια χρονική στιγμή, είναι ίσο με
την ταχύτητα διάδοσης του κύματος στο συγκεκριμένο υλικό.
49. Τα ραδιοκύματα έχουν μικρότερη συχνότητα από τις ακτίνες γ.
50. Η υπέρυθρη ακτινοβολία είναι υπεύθυνη για το μαύρισμα του δέρμα-
τος το καλοκαίρι όταν κάνουμε ηλιοθεραπεία.

51. Η πιο κοινή αιτία παραγωγής ακτίνων Χ είναι η επιβράδυνση ηλεκτρο-
νίων όταν προσκρούουν με μεγάλη ταχύτητα σε μεταλλικό στόχο.
52. Ο δείκτης διάθλασης των υλικών είναι πάντα μεγαλύτερος ή ίσος της
μονάδας.
53. Όταν μονοχρωματική ακτινοβολία περνάει από οπτικά αραιότερο υλικό
σε οπτικά πυκνότερο μέσο τότε το μήκος κύματος της μικραίνει.
54. Τα φαινόμενα ανάκλασης και διάθλασης περιορίζονται στο φάσμα της
ορατής ακτινοβολίας.

ΘΕΜΑ 1ο
1. Το μήκος κύματος δύο κυμάτων που συμβάλλουν και δημιουργούν
στάσιμο κύμα είναι λ. Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών του στάσι-
μου κύματος θα είναι:
α. λ β. λ/2 γ. 2λ δ. λ/4
2. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα
σε κάθε γράµµα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για
τη λανθασµένη.
α. Τα ραδιοκύµατα εκπέµπονται από ραδιενεργούς πυρήνες.
3. Να γράψετε στο τετράδιό σας τη λέξη που συμπληρώνει σωστά καθε-
μία από τις παρακάτω προτάσεις.
α. Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια και ορμή από
μια περιοχή του υλικού μέσου σε άλλη, αλλά δεν μεταφέρεται ........................
β. Διαμήκη ονομάζονται τα κύματα στα οποία τα σημεία του ελαστικού
μέσου ταλαντώνονται ..................... στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
γ. Η αιτία δημιουργίας του ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι η
......................... κίνηση ηλεκτρικών φορτίων.
4. Αν η εξίσωση ενός αρμονικού κύματος είναι y = 10ημ(6πt - 2πx) στο
S.I., τότε η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με:
α. 10m/s β. 6m/s γ. 2m/s δ. 3m/s.
5. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων Α και Β στην επιφάνεια μιας ήρεμης λίμνης
βρίσκονται σε φάση και παράγουν υδάτινα αρμονικά κύματα. Η καθεμιά πα-
ράγει κύμα (πρακτικά) αμείωτου πλάτους 10cm και μήκους κύματος 2m. Ένα
σημείο Γ στην επιφάνεια της λίμνης απέχει από την πηγή Α απόσταση 6m και
από την πηγή Β απόσταση 2m. Το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Γ εί-
ναι :
α. 0cm β. 10cm γ. 20cm δ. 40cm .
6. Μια ακτίνα φωτός προσπίπτει στην επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια
δύο μέσων. Όταν η διαθλώμενη ακτίνα κινείται παράλληλα προς τη διαχωρι-
στική επιφάνεια, τότε η γωνία πρόσπτωσης ονομάζεται :
α. μέγιστη γωνία β. ελάχιστη γωνία

γ. μηδενική γωνία δ. κρίσιμη γωνία.
β. Η ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή
ενός ελαστικού μέσου ονομάζεται ...........
ε. Τα σημεία που πάλλονται με μέγιστο πλάτος ταλάντωσης σε ένα στάσι-
μο κύμα ονομάζονται ...........
8. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα:
α. είναι διαμήκη.
β. υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας.
γ. διαδίδονται σε όλα τα μέσα µε την ίδια ταχύτητα.
δ. δημιουργούνται από σταθερό μαγνητικό και ηλεκτρικό πεδίο.
κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη
α. Με τα στάσιµα κύµατα µεταφέρεται ενέργεια από το ένα σηµείο του µέσου
σε άλλο σηµείο του ιδίου µέσου.
β. Το αποτέλεσµα της συµβολής δύο όµοιων κυµάτων στην επιφάνεια υγρού
είναι ότι όλα τα σηµεία της επιφάνειας είτε παραµένουν διαρκώς ακίνητα είτε
ταλαντώνονται µε µέγιστο πλάτος.
10. Το βάθος μιας πισίνας φαίνεται από παρατηρητή εκτός της πισίνας μι-
κρότερο από το πραγματικό, λόγω του φαινομένου της:
α. ανάκλασης β. διάθλασης
γ. διάχυσης δ. ολικής εσωτερικής ανάκλασης.
α. Το φαινόμενο στο οποίο παράλληλες φωτεινές ακτίνες μετά την ανά-
κλασή τους σε κάποια επιφάνεια δεν είναι πια παράλληλες, ονομάζεται
...........
δ. Η απόσταση στην οποία διαδίδεται ένα κύμα σε χρόνο μιας ...........
ονομάζεται μήκος κύματος.
ε. Αιτία δημιουργίας ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος είναι η ........... κί-
νηση ηλεκτρικών φορτίων.
12. Το πλάτος της ταλάντωσης κάθε σηµείου ελαστικού µέσου στο οποίο
σχηµατίζεται στάσιµο κύµα:
α. είναι το ίδιο για όλα τα σηµεία του µέσου.

β. εξαρτάται από τη θέση του σηµείου.
γ. εξαρτάται από τη θέση και τη χρονική στιγµή.
δ. εξαρτάται από τη χρονική στιγµή.
13. Το παρατηρούµενο «σπάσιµο» µιας ράβδου της οποίας ένα τµήµα είναι
βυθισµένο στο νερό οφείλεται στο φαινόµενο της:
α. ανάκλασης.
β. διάχυσης .
γ. διάθλασης.
δ. ολικής ανάκλασης.
κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για τη
α. Κατά την επιταχυνόµενη κίνηση ηλεκτρικών φορτίων εκπέµπονται
ηλεκτροµαγνητικά κύµατα.
β. Τα ραδιοκύµατα εκπέµπονται από ραδιενεργούς πυρήνες.
15. Το παρακάτω σχήμα παριστάνει στιγμιότυπο εγκάρσιου αρμονικού κύ-
ματος. Το σημείο του ελαστικού μέσου που κινείται με μέγιστη ταχύτητα και
φορά προς τα επάνω είναι το
α. Α . β. Β . γ. Γ. δ. Δ .
α. Το μήκος κύματος μιας μονοχρωματικής ακτινοβολίας μειώνεται όταν
αυτή περνά από ένα διαφανές μέσο (π.χ. γυαλί) στον αέρα.
17. Τα φαινόµενα της ανάκλασης και της διάθλασης ...
α. περιορίζονται µόνο στα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα που ανιχνεύει ο ανθρώ-
πινος οφθαλµός.
β. δεν αφορούν την υπέρυθρη και υπεριώδη ακτινοβολία.
γ. περιορίζονται µόνο στα ραδιοκύµατα.
δ. είναι κοινά σε όλα τα είδη των κυµάτων, ηλεκτροµαγνητικά και µηχανικά.
Α
Β
Γ
Δ
Ο x
y

18. Το ηλεκτροµαγνητικό κύµα
α. είναι διάµηκες.
β. είναι εγκάρσιο όπου τα διανύσµατα του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου
είναι παράλληλα µεταξύ τους.
γ. παράγεται από σταθερό ηλεκτρικό ή σταθερό µαγνητικό πεδίο.
δ. έχει ως αίτιο την επιταχυνόµενη κίνηση ηλεκτρικών φορτίων.
19. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα καθεµιάς από τις προτάσεις
που ακολουθούν και ακριβώς δίπλα του το γράµµα Σ αν η πρόταση αυτή εί-
ναι σωστή ή το γράµµα Λ, αν είναι λανθασµένη.
β. Τα διαµήκη κύµατα διαδίδονται µόνο στα στερεά σώµατα.
γ. Τα µικροκύµατα παράγονται από ηλεκτρονικά κυκλώµατα.
δ. Το όζον της στρατόσφαιρας απορροφά κατά κύριο λόγο την επικίνδυνη υ-
περιώδη ακτινοβολία.
ε. Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού είναι πάντα µικρότερος της
µονάδας.
20. Στάσιµο κύµα δηµιουργείται σε γραµµικό ελαστικό µέσο. Τότε για τα
διάφορα σηµεία του ελαστικού µέσου ισχύει ότι:
α. έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης
β. έχουν διαφορετική συχνότητα ταλάντωσης
γ. το πλάτος ταλάντωσής τους εξαρτάται από τη θέση τους
δ. γίνεται µεταφορά ενέργειας από το ένα σηµείο στο άλλο.
21. Ηλεκτροµαγνητική ακτινοβολία εκπέµπεται :
α. από φορτισµένο πυκνωτή
β. από φορτία που κινούνται µε σταθερή ταχύτητα
γ. από φορτία τα οποία επιταχύνονται
δ. από ακίνητο ραβδόµορφο µαγνήτη.
α. Το φαινόµενο της ολικής εσωτερικής ανάκλασης µπορεί να συµβεί όταν το
φως µεταβαίνει από µέσο µε µικρότερο δείκτη διάθλασης σε µέσο µε
µεγαλύτερο δείκτη διάθλασης.
ε. Κατά τη διάδοση ενός κύµατος σ’ ένα ελαστικό µέσο µεταφέρεται ενέργεια
και ορµή.
23. Για κάθε ηλεκτροµαγνητικό κύµα που διαδίδεται στο κενό, µε ταχύτητα
c, ο λόγος του µέτρου της έντασης Β του µαγνητικού πεδίου του κύµατος

προς το µέτρο της έντασης Ε του ηλεκτρικού πεδίου του κύµατος, στο ίδιο
σηµείο και την ίδια χρονική στιγµή, είναι
α. c β. c2 γ.
1
c
δ. 2
1
c
24. ∆ύο όµοιες πηγές κυµάτων Π1 και Π2, που βρίσκονται στην επιφάνεια
νερού, ταλαντώνονται σε φάση παράγοντας αρµονικά κύµατα ίδιου πλάτους
Α. Το πλάτος της ταλάντωσης ενός σηµείου Σ που ισαπέχει από τις πηγές Π1
και Π2, είναι:
α. Α β. 2Α γ. A/2 δ. 0
25. Στον παρακάτω πίνακα, στη Στήλη Ι αναφέρονται διάφορα είδη ακτι-
νοβολίας, ενώ στη Στήλη ΙΙ αναφέρονται ιδιότητες ή χρήσεις ή προέλευση των
ακτινοβολιών.
Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθµούς της Στήλης I και, ακριβώς δίπλα
σε κάθε αριθµό, ένα γράµµα από τη Στήλη ΙΙ, ώστε να δηµιουργείται σωστή
αντιστοίχηση. (Ένα δεδοµένο της Στήλης ΙΙ περισσεύει).
Στήλη I Στήλη ΙΙ
1. Ραδιοκύµατα α. Ραντάρ
2. Μικροκύµατα β. Μαύρισµα της επιδερµίδας
3. Υπέρυθρες ακτίνες γ. Ραδιόφωνο
4. Υπεριώδεις ακτίνες δ. Αύξηση της θερµοκρασίας
5. Ακτίνες γ ε. Όραση
στ. Ραδιενεργοί πυρήνες
26. Η αρχή της επαλληλίας των κυμάτων:
α. παραβιάζεται μόνον όταν τα κύματα είναι τόσο ισχυρά, ώστε οι δυνάμεις
που ασκούνται στα σωματίδια του μέσου, δεν είναι ανάλογες των απομακρύν-
σεων.
β. δεν παραβιάζεται ποτέ.
γ. ισχύει μόνον όταν τα κύματα που συμβάλλουν, προέρχονται από πηγές που
βρίσκονται σε φάση.
δ. δεν ισχύει, όταν συμβάλλουν περισσότερα από δύο κύματα.
27. Η μετάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στις οπτικές ίνες στηρίζεται στο
φαινόμενο:
α. της συμβολής.
β. της διάθλασης.
γ. της περίθλασης.
δ. της ολικής ανάκλασης.

28. Γυάλινο πρίσμα είναι βυθισμένο εξ ολοκλήρου σε υγρό. Μονοχρωματική
ακτινοβολία διαδίδεται, όπως δείχνει το σχήμα. Αν το πρίσμα και το υγρό έ-
χουν δείκτες διάθλασης n
1
και n
2
αντίστοιχα, τότε ισχύει:
α. n
1
>n
2
.
β. n
2
>n
1
.
γ. n
1
=n
2
.
δ. n
2
=2n
1
.
β. Η ταχύτητα με την οποία διαδίδεται ένα κύμα σε ένα μέσον, εξαρτάται μό-
νο από τις ιδιότητες του μέσου που διαταράσσεται, και όχι από το πόσο ισχυ-
ρή είναι η διαταραχή.
γ. Σε στάσιμο κύμα τα σημεία του μέσου που ταλαντώνονται, διέρχονται ταυ-
τόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους.
ε. Τα ραδιοκύματα διαδίδονται στο κενό με ταχύτητα μικρότερη από την τα-
χύτητα διάδοσης του φωτός.
30. Μονοχρωματική ακτινοβολία εισέρχεται στο μέσο 2 από
το μέσο 1, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν f1 και f2 είναι οι συ-
χνότητες, λ1 και λ2 τα μήκη κύματος, υ1 και υ2 οι ταχύτητες
και n1 και n2 οι δείκτες διάθλασης στα δύο μέσα αντίστοιχα,
θα ισχύει ότι:
α. f1 > f2.
β. n1 < n2.
γ. υ1 > υ2.
δ. λ1 < λ2.
31. Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς από τα στοιχεία της Στή-
λης Ι του παρακάτω πίνακα και δίπλα σε κάθε αριθμό το γράμμα από τα
στοιχεία της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σε αυτόν. (Στη Στήλη ΙΙ περισσεύει μια
κατηγορία).
Στήλη Ι Στήλη ΙΙ
(Ιδιότητες ή εφαρμογές των ηλε-
κτρομαγνητικών κυμάτων)
(Κατηγορίες ηλεκτρομαγνη-
τικών κυμάτων)
1. Λήψη ακτινογραφιών. α. Ραδιοκύματα.
2. Λειτουργία τηλεόρασης. β. Μικροκύματα.

3. Απορρόφηση από το όζον της
στρατόσφαιρας.
γ. Υπέρυθρες.
4. Λειτουργία ραντάρ. δ. Υπεριώδεις.
5. Εκπομπή από θερμά σώματα. ε. Ακτίνες Χ.
στ. Ακτίνες γ .
32. Δύο όμοιες πηγές κυμάτων που βρίσκονται στην επιφάνεια νερού τα-
λαντώνονται σε φάση παράγοντας αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους. Ο γεωμε-
τρικός τόπος των σημείων της επιφάνειας του νερού τα οποία παραμένουν
διαρκώς ακίνητα, είναι
α. κύκλοι.
β. ελλείψεις.
γ. παραβολές.
δ. υπερβολές.
σωστό ή λανθασμένο, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη (Σ) ή (Λ) δί-
α. Στα διαμήκη κύματα όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται
κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
γ. Η ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή ε-
νός ελαστικού μέσου ονομάζεται συμβολή.
δ. Όταν ευθύγραμμος αγωγός διαρρέεται από εναλλασσόμενο ρεύμα, τότε
γύρω του παράγεται ηλεκτρομαγνητικό κύμα.
34. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει πλάγια στη διαχωριστική επι-
φάνεια δύο οπτικών μέσων 1 και 2. Οι δείκτες διάθλασης στα μέσα 1 και 2
είναι αντίστοιχα n1 και n2 με n1>n2. Aν η μονοχρωματική ακτίνα ανακλάται
ολικά
α. υπάρχει διαθλώμενη ακτίνα.
β. η γωνία πρόσπτωσης είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης.
γ. η γωνία πρόσπτωσης είναι μικρότερη από την κρίσιμη γωνία ανάκλασης.
δ. η ταχύτητα διάδοσής της μεταβάλλεται.
35. Σ’ ένα στάσιμο κύμα όλα τα μόρια του ελαστικού μέσου στο οποίο δημι-
ουργείται
α. έχουν ίδιες κατά μέτρο μέγιστες ταχύτητες.
β. έχουν ίσα πλάτη ταλάντωσης.
γ. διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας.
δ. έχουν την ίδια φάση.

γ. Σύμφωνα με την αρχή της επαλληλίας, η συνεισφορά κάθε κύματος στην
απομάκρυνση κάποιου σημείου του μέσου εξαρτάται από την ύπαρξη του άλ-
λου κύματος.
δ. Όταν μονοχρωματικό φως διέρχεται από ένα μέσο σε κάποιο άλλο με δεί-
κτες διάθλασης n1≠n2, το μήκος κύματος της ακτινοβολίας είναι το ίδιο στα
δύο μέσα.
37. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός μεταβαίνει από διαφανές μέσο Α σε άλλο
διαφανές μέσο Β. Αν η γωνία πρόσπτωσης είναι θa = 30o και η γωνία διάθλα-
σης είναι θb = 45o, τότε η ταχύτητα διάδοσης της μονοχρωματικής ακτινοβο-
λίας στο μέσο Β είναι
α. μικρότερη από αυτή στο μέσο Α.
β. ίση με αυτή στο μέσο Α.
γ. μεγαλύτερη από αυτή στο μέσο Α.
δ. εξαρτάται από τη συχνότητα της μονοχρωματικής ακτινοβολίας.
β. Το φαινόμενο της ολικής ανάκλασης συμβαίνει μόνο όταν το φως μεταβαί-
νει από μέσο (α) σε μέσο (b) για τα οποία ισχύει nα > nb.
γ. Εγκάρσια ονομάζονται τα κύματα στα οποία όλα τα σημεία του ελαστικού
μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
39. Δυο σύγχρονες πηγές δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια κύμα-
τα πλάτους Α και μήκους κύματος λ. Ένα σημείο Σ βρίσκεται στην επιφάνεια
του υγρού σε αποστάσεις r1 και r2 από τις πηγές αντίστοιχα. Αν ξέρουμε ότι
ισχύει |r1–r2|=11λ, τότε το Σ ταλαντώνεται με πλάτος
α. Α.
β. A 2 .
γ. 0.
δ. 2Α.
α. Ένα φορτίο που κινείται με σταθερή ταχύτητα στο κενό εκπέμπει διαμήκες
ηλεκτρομαγνητικό κύμα.
β. Οι νόμοι της διάθλασης ισχύουν και για μηχανικά κύματα.

γ. Δυο πηγές εκπέμπουν κύματα με το ίδιο μήκος κύματος. Για να παρατηρη-
θεί το φαινόμενο συμβολής των κυμάτων αυτών σε τυχαίο σημείο, θα πρέπει
οι πηγές να είναι οπωσδήποτε σύγχρονες.
ε. Κατά τη διάδοση ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος δεν διαδίδεται ενέργει-
α.
41. Κατά τη διάδοση ενός μηχανικού κύματος σε ένα ελαστικό μέσον
α. μεταφέρεται ενέργεια και ύλη.
β. μεταφέρεται μόνον ύλη.
γ. μεταφέρεται ενέργεια και ορμή από το ένα σημείο του μέσου στο άλλο.
δ. όλα τα σημεία του ελαστικού μέσου την ίδια χρονική στιγμή έχουν την ίδια
φάση.
42. Τα σημεία ενός γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου στο οποίο έχει
δημιουργηθεί στάσιμο εγκάρσιο κύμα και τα οποία βρίσκονται μεταξύ δύο δι-
αδοχικών δεσμών έχουν
α. διαφορετική περίοδο ταλάντωσης.
β. διαφορετική συχνότητα ταλάντωσης.
γ. διαφορά φάσης π (rad).
δ. ίδια φάση.
δ. Η επιλογή ενός σταθμού στο ραδιόφωνο στηρίζεται στο φαινόμενο του συ-
ντονισμού.
ε. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα είναι εγκάρσια.
44. Σε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο
α. έχουν διαφορά φάσης ίση με x/λ.
β. έχουν λόγο Β/Ε=c.
γ. έχουν διανύσματα που είναι κάθετα στη διεύθυνση διάδοσης.
δ. δεν υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας.
α. Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια από ένα σημείο στο
άλλο, αλλά δεν μεταφέρεται ούτε ύλη, ούτε ορμή.
β. Το ορατό φως είναι μέρος της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας την οποία
ανιχνεύει το ανθρώπινο μάτι.

γ. Σε στάσιμο κύμα, μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών, όλα τα σημεία έχουν την
ίδια φάση.
46. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετρά-
διό σας δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό,
αν η πρόταση είναι σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασμένη.
β. Μήκος κύματος λ είναι η απόσταση στην οποία διαδίδεται το κύμα σε χρό-
νο μιας περιόδου.
γ. Ο λόγος της ταχύτητας του φωτός στο υλικό προς την ταχύτητα του φωτός
στο κενό ονομάζεται δείκτης διάθλασης του υλικού.
δ. Διάχυση ονομάζεται το φαινόμενο κατά το οποίο, μετά από ανάκλαση δέ-
σμης παράλληλων ακτίνων, οι ανακλώμενες ακτίνες δεν είναι πια παράλληλες
μεταξύ τους.
47. Καθώς μία μονοχρωματική ακτινοβολία περνά από τον αέρα στο γυαλί,
α. η ταχύτητά της ελαττώνεται.
β. η συχνότητά της αυξάνεται.
γ. το μήκος κύματός της παραμένει σταθερό.
δ. το μήκος κύματός της αυξάνεται.
48. Ενώ ακούμε ένα ραδιοφωνικό σταθμό που εκπέμπει σε συχνότητα
100MHz, θέλουμε να ακούσουμε το σταθμό που εκπέμπει σε 100,4MHz. Για
το σκοπό αυτό στο δέκτη πρέπει να
α. αυξήσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή.
β. αυξήσουμε την αυτεπαγωγή του πηνίου.
γ. ελαττώσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή.
δ. αυξήσουμε τη χωρητικότητα του πυκνωτή και την αυτεπαγωγή του πηνίου.
α. Το ηλεκτρικό και το μαγνητικό πεδίο ενός ηλεκτρομαγνητικού κύματος κο-
ντά στην κεραία έχουν διαφορά φάσης μηδέν.
γ. Το μήκος κύματος του ορατού φωτός στο κενό κυμαίνεται από 400nm έως
700nm.
ε. Τα μηχανικά κύματα μεταφέρουν ενέργεια και ύλη.
50. Μια ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία μήκους κύματος λο και συχνότητας fο
στο κενό, εισέρχεται από το κενό σε ένα οπτικό μέσο. Αν λ είναι το μήκος κύ-
ματος και f είναι η συχνότητα της ακτινοβολίας στο οπτικό μέσο, τότε,
α. λ < λο . β. λ > λο . γ. f < fο . δ. f > fο .

β. Σε ένα στάσιμο κύμα τα σημεία με μηδενικό πλάτος ταλάντωσης ονομάζο-
νται δεσμοί του στάσιμου κύματος.
52. Τα δύο άκρα του ηλεκτρομαγνητικού φάσματος, με βάση τα μήκη κύμα-
τός των, είναι:
α. η ιώδης και η ερυθρή ακτινοβολία.
β. η υπεριώδης και η υπέρυθρη ακτινοβολία.
γ. οι ακτίνες x και οι ακτίνες γ.
δ. οι ακτίνες γ και τα ραδιοφωνικά κύματα.
α. Ένα κατεργασμένο διαμάντι (με πολλές έδρες), που περιβάλλεται από αέ-
ρα, λαμποκοπά στο φως επειδή έχει μεγάλη κρίσιμη γωνία.
γ. Το διάγραμμα της συνάρτησης
t
y 2 ( .)   

είναι στιγμιότυπο κύ-
ματος.
δ. Ένα εγκάρσιο μηχανικό κύμα είναι αδύνατο να διαδίδεται στα αέρια.
54. Ένα αντικείμενο βυθισμένο μέσα στο νερό, φαίνεται να βρίσκεται πιο κο-
ντά στην επιφάνεια του νερού. Αυτό οφείλεται στο φαινόμενο της
α. ανάκλασης.
β. διάθλασης.
γ. διάχυσης.
δ. συμβολής.
55. Σε ένα ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται στο κενό, σε μεγάλη από-
σταση από την κεραία, τα διανύσματα της έντασης (Ε) του ηλεκτρικού και της
έντασης (Β) του μαγνητικού πεδίου είναι σε κάθε στιγμή
α. παράλληλα και ισχύει E = B ⋅ c.
β. κάθετα και ισχύει E = B ⋅ c.
γ. είναι παράλληλα και ισχύει Β = Ε ⋅ c.
δ. είναι κάθετα και ισχύει Β = Ε ⋅ c.

α. Η μονοχρωματική ακτινοβολία με μήκος κύματος 500 nm στο κενό είναι
ορατή.
β. Στα διαμήκη κύματα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται κάθε-
τα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
ε. Το όζον της ατμόσφαιρας απορροφά την επικίνδυνη υπεριώδη ακτινοβολία.
57. Τα ραντάρ χρησιμοποιούν
α. υπεριώδη ακτινοβολία.
β. μικροκύματα.
γ. ακτίνες Χ.
δ. ακτίνες γ.
α. Κατά την ανάκλαση η προσπίπτουσα ακτίνα, η ανακλώμενη και η κάθετη
στην επιφάνεια στο σημείο πρόσπτωσης βρίσκονται στο ίδιο επίπεδο.
δ. Κατά τη διάδοση ενός κύματος μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο
του μέσου στο άλλο, όχι όμως ορμή και ύλη.
α. δεν υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας.
β. είναι διαμήκη.
γ. δεν διαδίδονται στο κενό.
δ. παράγονται από την επιτάχυνση ηλεκτρικών φορτίων.
60. Από τις ηλεκτρομαγνητικές ακτινοβολίες: μικροκύματα, ορατό φως, υπε-
ριώδης ακτινοβολία και ακτίνες Χ μεγαλύτερο μήκος κύματος:
α. έχουν τα μικροκύματα.
β. έχει το ορατό φως.
γ. έχει η υπεριώδης ακτινοβολία.
δ. έχουν οι ακτίνες Χ.
β. Ο δείκτης διάθλασης n ενός οπτικού υλικού είναι μεγαλύτερος της μονά-
δας.
δ. Στη διεύθυνση διάδοσης ενός αρμονικού κύματος κάποια σημεία του ελα-
στικού μέσου παραμένουν συνεχώς ακίνητα.

62. Σε στάσιμο κύμα δύο σημεία του ελαστικού μέσου βρίσκονται μεταξύ δύο
διαδοχικών δεσμών. Τότε τα σημεία αυτά έχουν
α. διαφορά φάσης π.
β. την ίδια φάση.
γ. διαφορά φάσης που εξαρτάται από την απόστασή τους.
δ. διαφορά φάσης
2

.
α. Κατά την είσοδο μονοχρωματικής ακτίνας φωτός από τον αέρα στο νερό
είναι δυνατόν να επιτευχθεί ολική ανάκλαση.
γ. Στα στάσιμα κύματα, τα σημεία που παρουσιάζουν μέγιστο πλάτος ταλά-
ντωσης ονομάζονται κοιλίες.
α. είναι εγκάρσια και διαμήκη.
β. είναι μόνο εγκάρσια.
γ. είναι μόνο διαμήκη.
δ. είναι μόνο στάσιμα.
65. Στη χορδή μιας κιθάρας, της οποίας τα άκρα είναι σταθερά στερεωμένα,
δημιουργείται στάσιμο κύμα. Το μήκος της χορδής είναι ίσο με L. Τέσσερα (4)
συνολικά σημεία (μαζί με τα άκρα) παραμένουν συνεχώς ακίνητα. Αν λ είναι
το μήκος κύματος των κυμάτων από τη συμβολή των οποίων προήλθε το στά-
σιμο κύμα, τότε:
α. L = 3λ
β. L = 2λ
γ. L =
3
2

δ. L =
2
3

66. Το φαινόμενο της ανάκλασης παρατηρείται
α. μόνο στα εγκάρσια κύματα.
β. μόνο στα διαμήκη κύματα.
γ. μόνο στα φωτεινά κύματα.
δ. σε όλα τα είδη των κυμάτων.

α. Όλα τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα στο κενό διαδίδονται με την ίδια ταχύτη-
τα.
δ. Στα εγκάρσια μηχανικά κύματα τα σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνο-
νται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
68. Από τις παρακάτω μονοχρωματικές ακτινοβολίες το μεγαλύτερο μήκος
κύματος στο κενό έχει η
α. ερυθρή.
β. κίτρινη.
γ. πράσινη.
δ. ιώδης.
γ. Τα διαμήκη μηχανικά κύματα διαδίδονται σε στερεά, υγρά και αέρια.
δ. Η ταχύτητα διάδοσης ενός ηχητικού κύματος εξαρτάται από τη συχνότητά
του.
70. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα
α. διαδίδονται σε όλα τα υλικά με την ίδια ταχύτητα.
β. έχουν στο κενό την ίδια συχνότητα.
γ. διαδίδονται στο κενό με την ίδια ταχύτητα.
δ. είναι διαμήκη.
71. Μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών στάσιμου κύματος τα
σημεία του ελαστικού μέσου
α. έχουν το ίδιο πλάτος ταλάντωσης.
β. έχουν την ίδια φάση.
γ. έχουν την ίδια ταχύτητα ταλάντωσης.
δ. είναι ακίνητα.
α. Ο δείκτης διάθλασης ενός υλικού δεν εξαρτάται από την ταχύτητα του φω-
τός στο υλικό αυτό.
β. Στα άκρα της χορδής μιας κιθάρας δημιουργούνται πάντα κοιλίες στάσιμου
κύματος.

δ. Οι ακτίνες Χ έχουν μικρότερες συχνότητες από τις συχνότητες των ραδιο-
κυμάτων.
γ. Όταν σε μια ελαστική χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα, τότε όλα τα ση-
μεία της χορδής διέρχονται ταυτόχρονα από τη θέση ισορροπίας τους.
δ. Οι ακτίνες γ έχουν μήκος κύματος της τάξεως των μερικών mm.
74. Ηλεκτρομαγνητικά κύματα δημιουργούνται
α. όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο είναι ακίνητο.
β. όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο κινείται ευθύγραμμα και ομαλά.
γ. όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο επιταχύνεται.
δ. από σταθερό μαγνητικό πεδίο.
75. Κατά τη συμβολή δύο κυμάτων που δημιουργούνται στην επιφάνεια υ-
γρού από δύο σύγχρονες πηγές Α και Β, παρατηρείται ταλάντωση με μέγιστο
πλάτος στα σημεία Ο της επιφάνειας, που η διαφορά ΟΑ – ΟΒ είναι
α.
(2 1)
2
  
β.
2

γ.
3
4

δ. 
για όλες τις ακέραιες τιμές του Ν.
β. Το φαινόμενο της διάθλασης παρατηρείται μόνο στα μηχανικά κύματα.
δ. Στο φαινόμενο της διάχυσης, οι ανακλώμενες ακτίνες είναι παράλληλες με-
ταξύ τους.
ε. Η μονοχρωματική ακτινοβολία μήκους κύματος 500nm είναι ορατή.
77. Μονοχρωματική δέσμη φωτός εισέρχεται (από το κενό) σε γυάλινη πλάκα
με δείκτη διάθλασης 1,5.
Της δέσμης αυτής μέσα στο γυαλί
α. το μήκος κύματος θα αυξηθεί.
β. η συχνότητα θα αυξηθεί.
γ. η συχνότητα θα μειωθεί.

δ. το μήκος κύματος θα μειωθεί.
α. Η αρχή της επαλληλίας δεν ισχύει στα κύματα που δημιουργούνται από μια
έκρηξη.
δ. Ένα ακίνητο ηλεκτρικό φορτίο εκπέμπει ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία.
ε. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα διαδίδονται στο κενό με τη μέγιστη δυνατή
ταχύτητα.
79. Η ταχύτητα διάδοσης ενός μηχανικού κύματος εξαρτάται από
α. το μήκος κύματος.
β. τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης.
γ. τη συχνότητα του κύματος.
δ. το πλάτος του κύματος.
80. Στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα που διαδίδονται στο κενό, ο λόγος της έ-
ντασης Ε του ηλεκτρικού πεδίου προς την ένταση Β του μαγνητικού πεδίου
ισούται με
α. c2
β. c
γ.
1
c
δ. 2
1
c
όπου c η ταχύτητα του φωτός στο κενό.
β. Σε ένα στάσιμο κύμα, τα σημεία που βρίσκονται μεταξύ δύο διαδοχικών
δεσμών έχουν φάσεις που διαφέρουν κατά π.
δ. Όταν αγωγός διαρρέεται από ηλεκτρικό ρεύμα σταθερής έντασης, τότε εκ-
πέμπεται ηλεκτρομαγνητική ακτινοβολία.
82. Σε αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται με ταχύτητα υ , το
διάνυσμα έντασης του ηλεκτρικού πεδίου είναι Ε και το διάνυσμα έντασης
του μαγνητικού πεδίου είναι Β . Θα ισχύει:
α. Ε Β, Ε υ, Β||υ  .
β. Ε Β, Ε υ, Β υ   .

γ. Ε||Β, Ε υ, Β υ  .
δ. Ε||Β, Ε||υ, Β||υ .
83. Μονοχρωματική ακτινοβολία προσπίπτει πλάγια στη διαχωριστική επιφά-
νεια γυαλιού και αέρα προερχόμενη από το γυαλί. Κατά ένα μέρος ανακλάται
και κατά ένα μέρος διαθλάται. Τότε :
α. η γωνία ανάκλασης είναι μεγαλύτερη από τη γωνία πρόσπτωσης.
β. το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στον αέρα μειώνεται.
γ. η γωνία διάθλασης είναι μεγαλύτερη από τη γωνία πρόσπτωσης.
δ. η προσπίπτουσα, η διαθλώμενη και η ανακλώμενη ακτίνα δεν βρίσκονται
στο ίδιο επίπεδο.
α. Τα διαμήκη κύματα διαδίδονται τόσο στα στερεά όσο και στα υγρά και τα
αέρια.
γ. Ορισμένοι ραδιενεργοί πυρήνες εκπέμπουν ακτίνες γ.
ε. Στα στάσιμα κύματα μεταφέρεται ενέργεια από το ένα σημείο του μέσου
στο άλλο.
85. Τα ηλεκτρομαγνητικά κύματα
α. είναι εγκάρσια.
β. είναι διαμήκη.
γ. δεν υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας.
δ. έχουν την ίδια ταχύτητα σε οποιοδήποτε υλικό μέσο.
86. Tα μηχανικά κύματα
α. είναι μόνο εγκάρσια.
β. είναι μόνο διαμήκη.
γ. μεταφέρουν ενέργεια και ορμή.
δ. διαδίδονται στο κενό.
α. Το ορατό φως δεν ανήκει στα ηλεκτρομαγνητικά κύματα.
88. Η ταχύτητα διάδοσης ενός αρμονικού κύματος εξαρτάται από
α. τη συχνότητα του κύματος
β. τις ιδιότητες του μέσου διάδοσης

γ. το πλάτος του κύματος
δ. την ταχύτητα ταλάντωσης των μορίων του μέσου διάδοσης.
89. Στο φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας
α. οι ακτίνες Χ έχουν μεγαλύτερο μήκος κύματος από τα ραδιοκύματα και με-
γαλύτερη συχνότητα από το υπέρυθρο
β. το ερυθρό φως έχει μεγαλύτερο μήκος κύματος από το πράσινο φως και
μεγαλύτερη συχνότητα από τις ακτίνες Χ
γ. τα μικροκύματα έχουν μικρότερο μήκος κύματος από τα ραδιοκύματα και
μικρότερη συχνότητα από το υπεριώδες
δ. το πορτοκαλί φως έχει μικρότερο μήκος κύματος από τις ακτίνες Χ και με-
γαλύτερη συχνότητα από το υπεριώδες.
ε. Η ταυτόχρονη διάδοση δύο ή περισσοτέρων κυμάτων στην ίδια περιοχή ε-
νός ελαστικού μέσου ονομάζεται συμβολή.
91. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα. Μερικοί δι-
αδοχικοί δεσμοί (Δ1, Δ2, Δ3) και μερικές διαδοχικές κοιλίες (Κ1, Κ2, Κ3) του
στάσιμου κύματος φαίνονται στο σχήμα.
Αν λ το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο κύμα, τό-
τε η απόσταση (Δ1Κ2) είναι
α. λ
β.
λ
3
4
γ.
λ
2
δ.
λ
3
2
.
α. Το ρεύμα σε μία κεραία παραγωγής ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων γίνεται
μέγιστο, όταν τα φορτία στα άκρα της κεραίας μηδενίζονται.
β. Οι ακτίνες Χ εκπέμπονται σε αντιδράσεις πυρήνων και σε διασπάσεις στοι-
χειωδών σωματιδίων.
γ. Το πλάτος ενός αρμονικού κύματος εξαρτάται από το μήκος κύματος λ του
κύματος αυτού.

93. Στο φάσμα της ηλεκτρομαγνητικής ακτινοβολίας
α. οι ακτίνες Χ έχουν μεγαλύτερο μήκος κύματος από τα ραδιοκύματα
β. το ερυθρό φως έχει μικρότερο μήκος κύματος από το πράσινο φως
γ. τα μικροκύματα έχουν μικρότερο μήκος κύματος από τα ραδιοκύματα
δ. το πορτοκαλί φως έχει μικρότερο μήκος κύματος από τις ακτίνες γ.
94. Μια φωτεινή ακτίνα, με μήκος κύματος λ0 στον αέρα, περνά από τον αέ-
ρα στο νερό. Αν c η ταχύτητα διάδοσης της ακτίνας στον αέρα και υ η ταχύ-
τητα διάδοσης της ακτίνας στο νερό, το μήκος κύματος λ της φωτεινής ακτί-
νας στο νερό δίνεται από τη σχέση:
α. οcλ
υ
β. ουλ
c
γ.
ο
υ
λ c
δ.
ο
c
λ υ
.
95. Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού ε-
γκάρσια αρμονικά κύματα. Σημείο Μ που απέχει από τις πηγές αποστάσεις r1
και r2 εκτελεί, λόγω συμβολής, ταλάντωση πλάτους 2Α. Αν k είναι ακέραιος
και λ το μήκος κύματος των δύο κυμάτων για τα r1 και r2, ισχύει
α. r1+r2=kλ
β. r1−r2=kλ
γ. r1−r2=(2k+1)
λ
2
δ. r1+r2=(2k+1)
λ
2
α. Το φαινόμενο Doppler ισχύει για κάθε μορφής κύμανση, ακόμη και για τα
ηλεκτρομαγνητικά κύματα.
δ. Η αρχή της επαλληλίας ισχύει και στην περίπτωση που τα κύματα δημιουρ-
γούνται από έκρηξη.
ε. Κοντά στην κεραία παραγωγής ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων το ηλεκτρικό
και το μαγνητικό πεδίο έχουν διαφορά φάσης 900.

97. Κατά τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικού κύματος στο κενό, σε μεγάλη από-
σταση από την πηγή, ισχύει ότι:
α. στη θέση που η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι μηδέν, η ένταση Β
του μαγνητικού πεδίου είναι μέγιστη
β. τα διανύσματα των εντάσεων Ε του ηλεκτρικού και Β του μαγνητικού πεδί-
ου είναι παράλληλα μεταξύ τους
γ. το διάνυσμα της έντασης Ε του ηλεκτρικού πεδίου είναι κάθετο στη διεύ-
θυνση διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος
δ. το διάνυσμα της έντασης Β του μαγνητικού πεδίου είναι παράλληλο στη
διεύθυνση διάδοσης του ηλεκτρομαγνητικού κύματος.
σμένη.
α. Το όζον της στρατόσφαιρας απορροφά κατά κύριο λόγο την επικίνδυνη υ-
περιώδη ακτινοβολία.
γ. Κατά τη διάδοση μηχανικού κύματος μεταφέρεται ορμή από ένα σημείο
του μέσου στο άλλο.
99. Όταν οδηγούμε τη νύχτα σε βρεγμένο δρόμο, με τα φώτα αναμμένα, η
οδήγησή μας είναι
α. ευκολότερη λόγω του φαινομένου της ολικής ανάκλασης του φωτός
β. ευκολότερη λόγω του φαινομένου της διάχυσης του φωτός
γ. δυσκολότερη λόγω του φαινομένου της κατοπτρικής ανάκλασης του
φωτός
δ. δυσκολότερη λόγω του φαινομένου της διάχυσης του φωτός.
β. Το ορατό φως παράγεται κατά τις αποδιεγέρσεις πυρήνων στα άτομα και
στα μόρια.
γ. Το φαινόμενο της διάθλασης παρατηρείται μόνο στο ορατό φως.
101. Στάσιμο κύμα δημιουργείται σε γραμμικό ελαστικό μέσο. Για όλα τα ση-
μεία του ελαστικού μέσου που ταλαντώνονται ισχύει ότι
α. έχουν την ίδια μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης.
β. έχουν την ίδια περίοδο.
γ. το πλάτος ταλάντωσής τους δεν εξαρτάται από την θέση τους.
δ. έχουν την ίδια φάση.

102. Ολική ανάκλαση παρατηρείται, όταν μια μονοχρωματική ακτίνα φωτός
μεταβαίνει από
α. αραιότερο σε πυκνότερο οπτικό μέσο.
β. πυκνότερο σε αραιότερο οπτικό μέσο, με γωνία πρόσπτωσης
μικρότερη από την κρίσιμη γωνία.
γ. πυκνότερο σε αραιότερο οπτικό μέσο, με γωνία πρόσπτωσης
μεγαλύτερη από την κρίσιμη γωνία.
δ. αραιότερο σε πυκνότερο οπτικό μέσο, με γωνία πρόσπτωσης ίση με
μηδέν μοίρες.
γ. Όταν ένα ηλεκτρικό φορτίο κινείται με σταθερή ταχύτητα, δημιουργείται
ηλεκτρομαγνητικό κύμα.
103. Τα μήκη κύματος τεσσάρων ηλεκτρομαγνητικών ακτινοβολιών που δια-
δίδονται στο κενό συμβολίζονται ως:
υπέρυθρο: λυ, ραδιοκύματα: λρ, πράσινο ορατό φως: λπ, ακτίνες Χ: λχ.
Η σχέση μεταξύ των μηκών είναι:
α) λχ > λρ > λυ > λπ
β) λρ > λπ > λυ > λχ
γ) λρ > λυ > λπ > λχ
δ) λυ > λχ > λρ > λπ
104. Η ταχύτητα ενός ηχητικού κύματος εξαρτάται από:
α) την περίοδο του ήχου
β) το υλικό στο οποίο διαδίδεται το κύμα
γ) το μήκος κύματος
δ) το πλάτος του κύματος.
σμένη.
α) Κριτήριο για τη διάκριση των μηχανικών κυμάτων σε εγκάρσια και διαμήκη
είναι η διεύθυνση ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού μέσου σε σχέση με
την διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
γ) Κατά τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο κενό, το πηλίκο των μέ-
τρων των εντάσεων του μαγνητικού και του ηλεκτρικού πεδίου ισούται με την
ταχύτητα του φωτός
B
c
E
 
 
 
.

δ) Η συχνότητα μονοχρωματικής ακτινοβολίας μειώνεται, όταν η ακτινοβολία
περνά από τον αέρα σε ένα διαφανές μέσο.
106. Στο σχήμα 1 απεικονίζεται το στιγμιότυπο ενός εγκάρσιου αρμονικού
κύματος που διαδίδεται κατά την αρνητική φορά του άξονα x΄Ox τη χρονική
στιγμή t1.
Για τις ταχύτητες ταλάντωσης των σημείων Α, Β και Γ ισχύει:
α. VA > 0, VB > 0, VΓ > 0
β. VA < 0, VB > 0, VΓ > 0
γ. VA > 0, VB < 0, VΓ > 0
δ. VA < 0, VB > 0, VΓ < 0
107. Μονοχρωματική δέσμη φωτός περνάει από τον αέρα στο γυαλί. Στην
περίπτωση που η διαθλώμενη δέσμη διαδίδεται στην ίδια διεύθυνση με την
προσπίπτουσα, τότε
α. η ταχύτητα της δέσμης στον αέρα είναι ίδια με την ταχύτητά της στο γυαλί
β. η γωνία πρόσπτωσης είναι 90ο
γ. η γωνία διάθλασης είναι 0ο
δ. η γωνία εκτροπής είναι 90ο.
α. Τα ραντάρ δεν χρησιμοποιούν μικροκύματα.
β. Εγκάρσια ονομάζονται τα κύματα στα οποία τα μόρια του ελαστικού
μέσου ταλαντώνονται παράλληλα στη διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
γ. Το κύκλωμα επιλογής σταθμών στο ραδιόφωνο είναι ένα κύκλωμα LC,
που εξαναγκάζεται σε ηλεκτρική ταλάντωση από την κεραία.
109. Το μαγνητικό πεδίο ενός αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος που
παράγεται από κεραία ενός ραδιοφωνικού σταθμού και διαδίδεται κατά τη
διεύθυνση του άξονα x'x, μακριά από την κεραία, περιγράφεται από τη σχέση

max
t x
Β Β ημ2π
T λ
 
  
 
Αν c η ταχύτητα του φωτός στο κενό - αέρα, το ηλεκτρικό πεδίο του ίδιου η-
λεκτρομαγνητικού κύματος περιγράφεται από τη σχέση
α. max
t x
Ε cΒ ημ2π
T λ
 
  
 
β. maxΒ t x
Ε ημ2π
c T λ
 
  
 
γ. max
t x
Ε cΒ ημ2π
T λ
 
  
 
δ. maxΒ t x
Ε ημ2π
c T λ
 
  
 
β. Ο δείκτης διάθλασης ενός οπτικού υλικού είναι πάντα μικρότερος της
μονάδας.
ε. Τα ραδιοκύματα δημιουργούνται και από κυκλώματα LC.

ΘΕΜΑ 2ο
1. Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός που διαδίδεται στο οπτικό μέσο Α με
δείκτη διάθλασης nΑ προσπίπτει με γωνία μικρότερη της κρίσιμης στη διαχω-
ριστική επιφάνεια με άλλο διαφανές οπτικό μέσο Β με δείκτη διάθλασης nΒ,
όπου nΒ < nΑ.
Α. Να μεταφέρετε το σχήμα στο τετράδιό σας και να σχεδιάσετε τη δια-
θλώμενη ακτίνα.
Β. Ποια από τις δύο γωνίες είναι μεγαλύτερη;
α. η γωνία προσπτώσεως,
β. η γωνία διαθλάσεως.
2. Σε αρμονικό ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδίδεται στο κενό το ηλε-
κτρικό πεδίο περιγράφεται στο S.I από την εξίσωση Ε=30ημ2π(61010t -
2102x). Να εξετάσετε αν το μαγνητικό πεδίο του παραπάνω ηλεκτρομαγνητι-
κού κύματος περιγράφεται στο S.I από την εξίσωση Β=10-7ημ2π(61010t -
2102x).
Δίνεται: ταχύτητα του φωτός στο κενό cο= 3108 m/s.
3. Μονοχρωματική ακτινοβολία που διαδίδεται στο γυαλί προσπίπτει στη
διαχωριστική επιφάνεια του γυαλιού µε τον αέρα, µε γωνία πρόσπτωσης θα
τέτοια ώστε ηµθα=
3
2
Ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού είναι nα = 2 . Η
ακτινοβολία θα:
α. διαθλαστεί και θα εξέλθει στον αέρα.
β. κινηθεί παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια.
γ. ανακλαστεί ολικά από τη διαχωριστική επιφάνεια.
4. Να εξετάσετε αν η παρακάτω εξίσωση Ε = 75ημ2π(121010t - 4104x)
περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο ενός αρμονικού ηλεκτρομαγνητικού κύματος
που διαδίδεται στο κενό. Όλα τα μεγέθη εκφράζονται στο S.I. ( ταχύτητα του
φωτός στο κενό c = 3108 m/s ) .
5. Δύο αρμονικά εγκάρσια κύματα, που διαδίδονται σε επιφάνεια νερού,
έχουν την ίδια συχνότητα και το ίδιο πλάτος. Τα κύματα βρίσκονται σε φάση

και ξεκινούν ταυτόχρονα από τις πηγές Π1 και Π2. Τα κύματα φτάνουν σε ση-
μείο Σ που απέχει απόσταση r1 από την πηγή Π1 και απόσταση r2 από την πη-
γή Π2, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα.
α. Τί εννοούμε με τον όρο ενίσχυση του
κύματος στο σημείο Σ;
β. Ποια σχέση καθορίζει τη θέση των ση-
μείων στα οποία έχουμε ενισχυτική συμ-
βολή;
γ. Τί εννοούμε με τον όρο απόσβεση του
κύματος σε σημείο Σ;
δ. Ποια σχέση καθορίζει τη θέση των ση-
μείων στα οποία έχουμε απόσβεση;
6. Μονοχρωματική ακτινοβολία μήκους κύματος λο περνάει από τον αέρα
(κενό) σε διαφανές μέσο.
Να εξηγήσετε, γιατί το μήκος κύματος της ακτινοβολίας στο μέσο αυτό
δεν μπορεί να αυξηθεί.
7. Στο σχήµα που ακολουθεί φαίνεται η
πορεία µιας ακτίνας µονοχρωµατικού φωτός
η οποία διέρχεται από τρία διαφανή υλικά
(1), (2) και (3), µε δείκτες διάθλασης n1, n2
και n3 αντίστοιχα.
Ποια σχέση ικανοποιούν οι δείκτες διάθλα-
σης;
α. n3 > n2 > n1
β. n3 = n2 > n1
γ. n1 > n2 > n3 .
8. Το σχήµα 1 παριστάνει στιγµιότυπο εγκάρσιου αρµονικού κύµατος, ενώ
το σχήµα 2 παριστάνει την κατακόρυφη αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπί-
ας ενός δεδοµένου σηµείου του ελαστικού µέσου, στο οποίο διαδίδεται το
παραπάνω κύµα, σε συνάρτηση µε το χρόνο.

Από τη µελέτη των δύο σχηµάτων προκύπτει ότι η ταχύτητα διάδοσης του
κύµατος είναι
α. 0,1 m/s .
β. 1 m/s .
γ. 10 m/s .
9. Πηγή Ο αρχίζει να ταλαντώνεται µε εξίσωση y=Aηµωt σε γραµµικό ελα-
στικό µέσο. Το παραγόµενο αρµονικό κύµα διαδίδεται κατά τη θετική φορά
του άξονα Οx
Τα σηµεία Α, Β που φαίνονται στο σχήµα απέχουν από την πηγή Ο αποστάσεις
x
Α
, x
Β
και οι φάσεις τους την ίδια χρονική στιγµή είναι αντίστοιχα φ
Α
, φ
Β.
. Ποιο
από τα δύο ισχύει;
α. φ
Α
<φ
Β
β. φ
Α
>φ
Β
.
10. Δίνονται τα πιο κάτω ζεύγη εξισώσεων όπου Ε η ένταση ηλεκτρικού πε-
δίου και Β η ένταση μαγνητικού πεδίου:
α. Ε = 75 ημ 2π (12⋅10
10
t – 4⋅10
4
x)
Β = 25⋅10
-8
ημ 2π (12⋅10
10
t – 4⋅10
4
x) (SI)
β. Ε = 300 ημ 2π (6⋅10
10
t – 2⋅10
2
x)
Β = 100⋅10
-8
ημ 2π (6⋅10
10
t – 2⋅10
2
x) (SI)
γ. Ε = 150 ημ 2π (9⋅10
10
t – 3⋅10
2
x)
Β = 50⋅10
-8
ημ 2π (9⋅10
10
t + 3⋅10
2
x) (SI)
Ποιο από τα παραπάνω ζεύγη περιγράφει ηλεκτρομαγνητικό κύμα που διαδί-
δεται στο κενό;
Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c = 3⋅108 m/s .

11. Στη χορδή μιας κιθάρας δημιουργείται στάσιμο κύμα συχνότητας f1. To
στάσιμο κύμα έχει τέσσερις δεσμούς, δύο στα άκρα της χορδής και δύο μετα-
ξύ αυτών. Στην ίδια χορδή, με άλλη διέγερση, δημιουργείται άλλο στάσιμο κύ-
μα συχνότητας f2, που έχει εννέα συνολικά δεσμούς, δύο στα άκρα της χορ-
δής και 7 μεταξύ αυτών.
Η συχνότητα f2 είναι ίση με:
α. 1
4
f
3
β. 1
8
f
3
γ. 1
5
f
3
12. Δύο σύμφωνες πηγές (1) και (2) δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού
εγκάρσια αρμονικά κύματα με πλάτος Α και μήκος κύματος λ = 4cm. Σημείο
Μ της επιφάνειας του υγρού απέχει r1 = 17cm από την πηγή (1) και r2 = 9cm
από την πηγή (2).
Το πλάτος της ταλάντωσης στο σημείο Μ λόγω συμβολής είναι ίσο με:
α. 0.
β. 2 Α
γ. 2Α.
13. Μονοχρωματική ακτινοβολία με μήκος κύματος λo στο κενό περνάει
από το μέσον α με δείκτη διάθλασης nα στο μέσον β με δείκτη διάθλασης nβ
προσπίπτοντας κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο μέσων. Αν
nα=2nβ, τότε το μήκος κύματος λβ της ακτινοβολίας στο μέσον β και το μήκος
κύματος λα της ακτινοβολίας στο μέσο α ικανοποιούν τη σχέση
α. λβ =
2

. β. λβ=2λα . γ. λβ=4λα .
Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στο σωστό συμπλήρωμα.
14. Κατά μήκος ευθείας x΄x βρίσκονται στις θέσεις K και Λ δύο σημειακές
πηγές Π1 και Π2 παραγωγής μηχανικών αρμονικών κυμάτων. Η εξίσωση που
περιγράφει τις απομακρύνσεις τους από τη θέση ισορροπίας τους σε συνάρ-
τηση με το χρόνο είναι y=Aημωt.
Η απόσταση (ΚΛ) είναι 6cm. Το μήκος κύματος των παραγόμενων κυμάτων
είναι 4cm. Σε σημείο Σ της ευθείας x΄x, το οποίο δεν ανήκει στο ευθύγραμμο
τμήμα ΚΛ και δεν βρίσκεται κοντά στις πηγές, το πλάτος ταλάντωσής του Α΄
θα είναι
α) Α΄ = 2Α.
β) Α΄ = 0.
γ) 0 < Α΄ < 2Α

15. Ημιτονοειδές κύμα με μήκος κύματος λ1 διαδίδεται σε ένα μέσο με ταχύ-
τητα υ1. Όταν το κύμα εισέλθει σε δεύτερο μέσο διαδίδεται με ταχύτητα υ2
(υ2≠υ1). Το μήκος κύματος στο δεύτερο μέσο θα είναι
α. λ2 = λ1(υ2/υ1).
β. λ2 = λ1(υ1/υ2).
γ. λ2 = λ1.
16. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια
μεταξύ γυαλιού και αέρα προερχόμενη από το γυαλί. Αν η ταχύτητα διάδοσης
της ακτίνας στο γυαλί είναι υ και στον αέρα c (υ ≠ c), τότε για την κρίσιμη γω-
νία θcrit ισχύει η σχέση
α. crit
c
 

β. crit
c

  γ.
2
crit 2
c

  .
17. Κολυμβητής βρίσκεται κάτω από την επιφάνεια της θάλασσας και παρα-
τηρεί τον ήλιο.
Η θέση που τον βλέπει είναι
α. πιο ψηλά από την πραγματική του θέση.
β. ίδια με την πραγματική του θέση.
γ. πιο χαμηλά από την πραγματική του θέση.
18. Στη διαχωριστική επιφάνεια του υλικού Α με τον αέρα, για την οριακή
γωνία ολικής ανάκλασης ισχύει (A)
crit 0,8  . Για το υλικό Β στη διαχωριστική
επιφάνειά του με τον αέρα, είναι (B)
crit 0,2  . Τα υλικά Α και Β είναι οπτικά
πυκνότερα από τον αέρα. Τότε:

α. Το υλικό Α είναι οπτικά πυκνότερο του Β και στη διαχωριστική τους επιφά-
νεια ισχύει (AB)
crit 0,25  .
β. Το υλικό Β είναι οπτικά πυκνότερο του Α και στη διαχωριστική τους επιφά-
crit 0,25  .
γ. Το υλικό Α είναι οπτικά πυκνότερο του Β και στη διαχωριστική τους επιφά-
crit 0,6 
δ. Το υλικό Β είναι οπτικά πυκνότερο του Α και στη διαχωριστική τους επιφά-
crit 0,6 
19. Στην επιφάνεια υγρού συμβάλλουν δύο όμοια κύματα που δημιουργού-
νται από δύο σύγχρονες αρμονικές πηγές. Σε σημείο Φ που απέχει από τις δύο
πηγές αποστάσεις r1 και r2 έχουμε ενίσχυση όταν:
α. 1 2
1
r r (2N )
2
   
β. 1 2r r N  
γ. 1 2r r (2N 1)
2

  
όπου Ν = 0, 1, 2, …, λ το μήκος κύματος.
20. Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Π1 και Π2 δημιουργούν εγκάρσια αρμο-
νικά κύματα πλάτους Α και συχνότητας 4Hz, τα οποία διαδίδονται στην επι-
φάνεια ενός υγρού με ταχύτητα 20cm/s.
Ένα σημείο που απέχει από τις δύο πηγές αποστάσεις r1=17cm και r2=12cm
αντίστοιχα
α. ταλαντώνεται με πλάτος Α.
β. ταλαντώνεται με πλάτος 2Α.
γ. παραμένει ακίνητο.
21. Μονοχρωματική ακτινοβολία με μήκος κύματος λο στο κενό, διαπερνά
κάθετα δύο πλακίδια Α και Β, όπως φαίνεται στο σχήμα. Τα δύο πλακίδια βρί-
σκονται στο κενό.

Το πάχος του πλακιδίου Β είναι διπλάσιο από το πάχος του πλακιδίου Α και η
ακτινοβολία τα διαπερνά σε ίσους χρόνους. Αν λΑ και λΒ είναι τα μήκη κύματος
αυτής της ακτινοβολίας μέσα στα πλακίδια Α και Β αντίστοιχα, τότε
α. 2




β.
1
2





γ.
1
4





22. Η εξίσωση που περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο ενός αρμονικού ηλεκτρο-
μαγνητικού κύματος που διαδίδεται σε υλικό μέσο με δείκτη διάθλασης n εί-
ναι: Ε=100ημ2π(12·1012t − 6·104x) (όλα τα μεγέθη στο S.I.). Aν η ταχύτητα
του φωτός στο κενό είναι c=3∙108 m/s, o δείκτης διάθλασης του υλικού είναι:
α. 1,2 β. 1,5 γ. 2
23. Ένα στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση
 
x
y 10 2 t
4
 
    
 
, όπου τα x, y είναι σε cm και το t σε s. Το μήκος
κύματος των δύο κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το στάσιμο
κύμα είναι:
α. 2 cm β. 4 cm γ. 8 cm .
24. Λεπτή μονοχρωματική δέσμη φωτός διασχίζει διαδοχικά τα οπτικά μέσα
(1), (2), (3), με δείκτες διάθλασης n1, n2, n3 αντίστοιχα, όπως φαίνεται στο
σχήμα.

Αν φ2 > φ1, τότε :
α. n1 = n3 β. n1 < n3 γ. n1 > n3
25. Μονοχρωματική ακτίνα μεταβαίνει από τον αέρα στο γυαλί και η γωνία
πρόσπτωσης είναι 45ο. Η γωνία διάθλασης θα είναι
α. μεγαλύτερη από 45ο.
β. μικρότερη από 45ο.
γ. ίση με 45ο.
26. Στην ελεύθερη επιφάνεια ενός υγρού δύο σύγχρονες πηγές αρμονικών
κυμάτων εκτελούν κατακόρυφες ταλαντώσεις με συχνότητα f και δημιουργούν
εγκάρσια κύματα ίδιου πλάτους Α. Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του υγρού τα-
λαντώνεται εξ αιτίας της συμβολής των δύο κυμάτων με πλάτος 2Α. Αν οι δύο
πηγές εκτελέσουν ταλάντωση με συχνότητα 2f και με το ίδιο πλάτος Α, τότε το
σημείο Σ θα
α. ταλαντωθεί με πλάτος 2Α.
β. ταλαντωθεί με πλάτος 4Α.
γ. παραμένει ακίνητο.
27. Οι παρακάτω εξισώσεις περιγράφουν ένα μεταβαλλόμενο ηλεκτρικό και
ένα μεταβαλλόμενο μαγνητικό πεδίο αντίστοιχα
Ε = 3∙102 ημ2π(8∙1011t – 4∙103x) (S.I.)
B = 10-6 ημ2π(8∙1011t – 4∙103x) (S.I.)
Οι εξισώσεις αυτές
α. μπορεί να περιγράφουν ένα ηλεκτρομαγνητικό (Η/Μ) κύμα που διαδίδεται
στο κενό.
β. μπορεί να περιγράφουν ένα Η/Μ κύμα που διαδίδεται σε ένα υλικό.

γ. δεν μπορεί να περιγράφουν ένα Η/Μ κύμα.
Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c = 3∙108 m/s.
28. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός διαδίδεται στο νερό και προσπίπτει στην
ελεύθερη επιφάνειά του με γωνία 30ο. Η ακτίνα εξέρχεται στον αέρα, όπως
φαίνεται στο σχήμα
Αν υ είναι η ταχύτητα του φωτός στο νερό και c στον αέρα, τότε ισχύει
α.
c
2
  , β.
c
2
  , γ.
c
2
 
Δίνεται ότι ημ30ο = 1/2
29. Στο σχήμα φαίνονται δύο όμοια διαφανή πλακί-
δια Α, Β σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπίπεδου με
δείκτες διάθλασης nΑ, nΒ αντίστοιχα, όπου nΑ>nΒ.
Στα πλακίδια προσπίπτουν συγχρόνως δύο όμοιες
μονοχρωματικές δέσμες φωτός.
α. Πρώτα εξέρχεται η δέσμη από το πλακίδιο Α.
β. Πρώτα εξέρχεται η δέσμη από το πλακίδιο Β.
γ. Οι δύο δέσμες εξέρχονται ταυτόχρονα.
30. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός προερχόμενη από το νερό προσπίπτει με
γωνία 60ο στη διαχωριστική επιφάνεια νερού και αέρα, όπως φαίνεται στο
σχήμα.

Η ακτίνα μετά την πρόσπτωσή της στη διαχωριστική επιφάνεια
α. εξέρχεται στον αέρα.
β. δεν εξέρχεται στον αέρα.
γ. κινείται παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια.
Δίνονται: ο δείκτης διάθλασης του νερού για αυτήν την ακτινοβολία
4
n
3
  , ο
δείκτης διάθλασης του αέρα nα=1, το ημ50ο=0,75 και το ημ60ο=0,87
31. Μονοχρωματική ακτίνα φωτός πέφτει στη διαχωριστική επιφάνεια υγρού
και αέρα, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Η γωνία πρόσπτωσης είναι π, η γωνία διάθλασης είναι δ, το μήκος στην προέ-
κταση της προσπίπτουσας ακτίνας μέχρι το κατακόρυφο τοίχωμα του δοχείου
είναι ΟΑ και το μήκος στη διεύθυνση της διαθλώμενης ακτίνας μέχρι το τοί-
χωμα του δοχείου είναι ΟΒ. Αν η γωνία πρόσπτωσης π αυξάνεται, τότε ο λόγος
OB
OA
:
α. αυξάνεται, β. μειώνεται, γ. παραμένει σταθερός.
32. Στην επιφάνεια ενός υγρού που ηρεμεί βρίσκονται δύο σύγχρονες σημει-
ακές πηγές Π1 και Π2, που δημιουργούν στην επιφάνεια του υγρού εγκάρσια
αρμονικά κύματα πλάτους Α, συχνότητας f και μήκους κύματος λ. Ένα σημείο
Κ της επιφάνειας του υγρού ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος 2Α. Διπλασιά-

ζουμε τη συχνότητα ταλάντωσης των δύο πηγών. Το σημείο Κ ταλαντώνεται
τώρα με πλάτος
α. 2Α β. Α γ. 0
33. Πηγή εγκάρσιου κύματος ταλαντώνεται με συχνότητα f και πλάτος Α και
δημιουργεί σε γραμμικό ελαστικό μέσο κύμα, που περιγράφεται από την εξί-
σωση
t x
y Aημ2π( )
T λ
 
Όταν η πηγή του κύματος ταλαντώνεται με διπλάσια συχνότητα και το ίδιο
πλάτος, δημιουργεί στο ελαστικό μέσο κύμα, που περιγράφεται από την εξί-
σωση
α.
2t x
y Aημ2π( )
T λ
  β.
t x
y Aημ4π( )
T λ
  γ.
t x
y Aημπ( )
T λ
 
34. Ακτίνα μονοχρωματικού φωτός, προερχόμενη από πηγή που βρίσκεται
μέσα στο νερό, προσπίπτει στη διαχωριστική επιφάνεια νερού – αέρα υπό γω-
νία ίση με την κρίσιμη. Στην επιφάνεια του νερού ρίχνουμε στρώμα λαδιού το
οποίο δεν αναμιγνύεται με το νερό, έχει πυκνότητα μικρότερη από το νερό
και δείκτη διάθλασης μεγαλύτερο από το δείκτη διάθλασης του νερού.
Τότε η ακτίνα
α. θα εξέλθει στον αέρα
β. θα υποστεί ολική ανάκλαση
γ. θα κινηθεί παράλληλα προς τη διαχωριστική επιφάνεια λαδιού – αέρα.
Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση
35. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο, κατά μήκος του ημιάξονα Οx, δημιουργείται
στάσιμο κύμα με κοιλία στη θέση x=0. Δύο σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέ-

σου βρίσκονται αριστερά και δεξιά του πρώτου δεσμού, μετά τη θέση x=0, σε
αποστάσεις
λ
6
και
λ
12
από αυτόν αντίστοιχα, όπου λ το μήκος κύματος των
κυμάτων που δημιουργούν το στάσιμο κύμα. Ο λόγος των μεγίστων ταχυτήτων
Κ
Λ
υ
υ
των σημείων αυτών είναι:
α. 3 β.
1
3
γ. 3
Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση
36. Μία ακτίνα μονοχρωματικού φωτός περνά διαδοχικά από 3 στρώματα
διαφορετικών οπτικών μέσων όπως φαίνεται στο σχήμα.
Ο δείκτης διάθλασης του μέσου 3 είναι
α. n3= 2 β. n3 =
6
2
γ. n3=2
Να επιλέξετε την σωστή απάντηση.
37. Ένα απλό αρμονικό κύμα διαδίδεται μέσα σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο
με μήκος κύματος λ. Την χρονική στιγμή t δύο σημεία Α και Β που βρίσκονται
στις θέσεις xΑ=
3λ
8
και xΒ=
5λ
8
αντίστοιχα, έχουν διαφορά φάσης
α. Δφ = 0 β. Δφ =
π
2
γ. Δφ = π
38. Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Α και Β, που βρίσκονται στην επιφάνεια
υγρού, ταλαντώνονται αρμονικά παράγοντας κύματα, πλάτους Α, με μήκος

κύματος λ=16 cm. Σημείο Γ, που βρίσκεται σε αποστάσεις rΑ=24cm και
rΒ=20cm από τις πηγές Α και Β αντίστοιχα, έχει πλάτος ταλάντωσης:
α. 3 Α β. 0 γ. 2 Α
39. Πρίσμα με δείκτη διάθλασης n1 βρίσκεται μέσα
σε υλικό με δείκτη διάθλασης n2. Ακτίνα μονοχρω-
ματικού φωτός ακολουθεί την πορεία που φαίνεται
στο σχήμα.
Αν λ1 και λ2 είναι τα μήκη κύματος στο πρίσμα και
στο υλικό αντίστοιχα, ισχύει ότι:
α. λ1=λ2 β. λ1>λ2 γ. λ1<λ2
Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή
σχέση.
40. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 που βρίσκονται αντίστοιχα στα
σημεία Κ και Λ της επιφάνειας υγρού παράγουν πανομοιότυπα εγκάρσια αρ-
μονικά κύματα με ίδιο πλάτος, ίσες συχνότητες f1 και ίσα μήκη κύματος λ1. Αν
η απόσταση των σημείων Κ και Λ είναι d = 2 λ1, τότε δημιουργούνται τέσσερις
υπερβολές απόσβεσης, μεταξύ των σημείων Κ και Λ.
Αλλάζοντας την συχνότητα των δύο πηγών σε f2 = 3 f1 και διατηρώντας το ί-
διο πλάτος, ο αριθμός των υπερβολών απόσβεσης, που δημιουργούνται μετα-
ξύ των δύο σημείων Κ και Λ, είναι:
i) 6
ii) 8
iii) 12
41. Το παρακάτω σχήμα δίνει το στιγμιότυπο στάσιμου κύματος, με περίοδο
Τ και μήκος κύματος λ, τη χρονική στιγμή
T
t
8
 .

Το σημείο 0 είναι κοιλία που για t = 0s διέρχεται από τη θέση ισορροπίας με
θετική ταχύτητα. Το πλάτος της ταλάντωσης σημείου Β με B
λ
x
8
 είναι:
i. 0,05 m
ii. 0,1 m
iii. 0,1 2 m
42. Δύο υλικά (1) και (2) με δείκτες διάθλασης n1 και n2, αντίστοιχα,
με n1 < n2, τοποθετούνται όπως στο παρακάτω σχήμα:
Μονοχρωματική δέσμη φωτός από τον αέρα εισέρχεται στο υλικό (1) στο ση-
μείο Α με γωνία πρόσπτωσης θ. Μετά από διάθλαση στο σημείο Β, εισέρχεται
στο υλικό (2) και συναντά τη διαχωριστική επιφάνεια των δύο υλικών στο ση-
μείο Γ. Αν γνωρίζουμε ότι στη συνέχεια κινείται παράλληλα με τη διαχωριστική
επιφάνεια των δύο υλικών, τότε ισχύει:
i. 1
2
n
ημθ
n

ii. 2 2
2 1ημθ n n 
iii. 1
2
n
ημθ 1
n
 
43. Κατά μήκος δύο χορδών 1 και 2, που είναι κατασκευασμένες από το ίδιο
υλικό, διαδίδονται δύο αρμονικά εγκάρσια κύματα πλάτους Α1 και Α2 και μή-
κους κύματος λ1 και λ2, αντίστοιχα. Αν ισχύει ότι Α2 = 2 Α1 και

1
2
λ
λ
2
 , τότε για τις αντίστοιχες μέγιστες επιταχύνσεις των ταλαντώσεων
αmax1 και αmax2 ισχύει:
i) max1
max2
α 1
α 4

ii) max1
max2
α 1
α 8

iii) max1
max2
α
4
α

44. Μονοχρωματική ακτινοβολία πέφτει κάθετα στο σύστημα δύο διαφανών
πλακών με δείκτη διάθλασης n1 και n2 και πάχους d1 και d2 αντίστοιχα όπως
φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Αν οι χρόνοι διέλευσης της ακτινοβολίας μέσα από κάθε υλικό είναι ίσοι
(t1 = t2), τότε:
i) 1
2
n
1
n

ii) 1
2
n 2
n 3

iii) 1
2
n 3
n 2

45. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων με παραπλήσιες
συχνότητες f1 και f2, ίδιας διεύθυνσης και ίδιου πλάτους, που γίνονται γύρω
από την ίδια θέση ισορροπίας, με f1 > f2, παρουσιάζονται διακροτήματα με
περίοδο διακροτήματος ΤΔ = 2 s. Αν στη διάρκεια του χρόνου αυτού πραγμα-
τοποιούνται 200 πλήρεις ταλαντώσεις, οι συχνότητες f1 και f2 είναι:
i) f1 = 200,5 Hz, f2 = 200 Hz

ii) f1 = 100,25 Hz, f2 = 99,75 Hz
iii) f1 = 50,2 Hz, f2 = 49,7 Hz
46. Δύο σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια
υγρού εγκάρσια κύματα. Ένα μικρό κομμάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο ση-
μείο Σ της επιφάνειας του υγρού σε τέτοιες αποστάσεις από τις πηγές, ώστε
τα κύματα να συμβάλλουν σε αυτό με χρονική διαφορά
T
Δt
4
 , όπου Τ η πε-
ρίοδος ταλάντωσης των πηγών. Δεύτερο κομμάτι φελλού ίδιας μάζας με το
προηγούμενο βρίσκεται στο μέσο Μ της απόστασης των πηγών Π1 και Π2.
Αν ΑΣ και ΑΜ είναι τα πλάτη ταλάντωσης των δύο κομματιών φελλού μετά τη
συμβολή, τότε ο λόγος των ενεργειών τους Σ
Μ
E
Ε
είναι
i. Σ
Μ
E 2
Ε 2
 ii. Σ
Μ
E 1
Ε 2
 iii. Σ
Μ
E 1
Ε 4

47. Στη χορδή ενός μουσικού οργάνου έχει δημιουργηθεί στάσιμο κύμα συ-
χνότητας f1. Το στάσιμο κύμα έχει συνολικά πέντε (5) δεσμούς, δύο (2) στα
άκρα της χορδής και τρεις (3) μεταξύ αυτών. Στην ίδια χορδή με άλλη διέγερ-
ση δημιουργείται άλλο στάσιμο κύμα συχνότητας f2=2f1. O συνολικός αριθμός
των δεσμών που έχει τώρα το στάσιμο κύμα είναι:
i) 7 ii) 9 iii) 11

ΘΕΜΑ 3ο
1. Το σημείο Ο ομογενούς ελαστικής χορδής, τη χρονική στιγμή t = 0, αρ-
χίζει να εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με εξίσωση y = 0,05ημ8πt (SI) κά-
θετα στη διεύθυνση της χορδής. Το κύμα που παράγεται διαδίδεται κατά τη
θετική φορά του άξονα x΄x, κατά μήκος της χορδής, που διέρχεται από το
σημείο Ο με ταχύτητα μέτρου 20m/s.
α. Να βρεθεί ο χρόνος που χρειάζεται ένα υλικό σημείο του ελαστικού
μέσου για να εκτελέσει μια πλήρη ταλάντωση.
β. Να βρεθεί το μήκος κύματος του αρμονικού κύματος.
γ. Να γραφεί η εξίσωση του ίδιου κύματος.
δ. Να βρεθεί το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας με την οποία ταλαντώνε-
ται ένα σημείο της χορδής.
2. Ένα τεντωµένο οριζόντιο σχοινί ΟΑ µήκους L εκτείνεται κατά τη διεύ-
θυνση του άξονα x. Το άκρο του Α είναι στερεωµένο ακλόνητα στη θέση x=L,
ενώ το άκρο Ο που βρίσκεται στη θέση x=0 είναι ελεύθερο, έτσι ώστε µε κα-
τάλληλη διαδικασία να δηµιουργείται στάσιµο κύµα µε 5 συνολικά κοιλίες. Στη
θέση x=0 εµφανίζεται κοιλία και το σηµείο του µέσου στη θέση αυτή εκτελεί
απλή αρµονική ταλάντωση. Τη χρονική στιγµή t=0 το σηµείο x=0 βρίσκεται
στη θέση µηδενικής αποµάκρυνσης κινούµενο κατά τη θετική φορά. Η από-
σταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσης αυτού του σηµείου του µέσου
είναι 0,1 m. Το συγκεκριµένο σηµείο διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του
10 φορές κάθε δευτερόλεπτο και απέχει κατά τον άξονα x απόσταση 0,1 m
από τον πλησιέστερο δεσµό.
α. Να υπολογίσετε την περίοδο του κύµατος.
β. Να υπολογίσετε το µήκος L.
γ. Να γράψετε την εξίσωση του στάσιµου κύµατος.
δ. Να υπολογίσετε το µέτρο της ταχύτητας της ταλάντωσης του σηµείου του
µέσου x=0 κατά τη χρονική στιγµή που η αποµάκρυνσή του από τη θέση ι-
σορροπίας έχει τιµή y = +0,03 m.
∆ίνεται π = 3,14 .
3. Εγκάρσιο αρμονικό κύμα πλάτους 0,08m και μήκους κύματος 2m δια-
δίδεται κατά τη θετική φορά σε οριζόντια ελαστική χορδή που εκτείνεται κατά
τη διεύθυνση του άξονα x΄x. Θεωρούμε ότι το σημείο της χορδής στη θέ-
ση x = 0 τη χρονική στιγμή t = 0 έχει μηδενική απομάκρυνση από τη θέση ι-
σορροπίας του και θετική ταχύτητα. Η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι
100 m/s .
α. Να υπολογίσετε τη συχνότητα με την οποία ταλαντώνονται τα σημεία
της χορδής.
β. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος στο S.I.
γ. Να υπολογίσετε την ενέργεια της ταλάντωσης στοιχειώδους τμήματος
της χορδής μάζας 0,002 kg. (Να θεωρήσετε το στοιχειώδες τμήμα της χορ-
δής ως υλικό σημείο).

δ. Έστω ότι στην παραπάνω χορδή διαδίδεται ταυτόχρονα άλλο ένα κύμα
πανομοιότυπο με το προηγούμενο, αλλά αντίθετης φοράς, και δημιουργείται
στάσιμο κύμα με κοιλία στη θέση x = 0. Να υπολογίσετε στο θετικό ημιάξονα
τη θέση του 11ου δεσμού του στάσιμου κύματος από τη θέση x = 0.
Δίνεται: π2 =10 .
4. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στα σηµεία Α και
Β αντίστοιχα της ελεύθερης επιφάνειας νερού και προκαλούν όµοια εγκάρσια
κύµατα που διαδίδονται µε ταχύτητα u = 0,5 m/s. Ένα σηµείο Κ της επιφά-
νειας του νερού βρίσκεται πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και απέχει από τα
Α και Β αποστάσεις (ΑΚ) = r1 και (ΒΚ) = r2 µε r1 > r2. Tο σηµείο Κ είναι το
πλησιέστερο προς το µέσο Μ του ΑΒ που ταλαντώνεται µε µέγιστο πλάτος. Η
αποµάκρυνση του σηµείου Κ από τη θέση ισορροπίας λόγω της συµβολής των
κυµάτων περιγράφεται σε συνάρτηση µε το χρόνο t από την εξίσωση
yK=0,2ημ
5
3

(t-2) (σε µονάδες S.I.). Να υπολογίσετε:
α. την περίοδο, το µήκος κύµατος και το πλάτος των κυµάτων που συμβάλ-
λουν.
β. την απόσταση ΑΒ των δύο πηγών.
γ. τις αποστάσεις r1 και r2 του σηµείου Κ από τα σηµεία Α και Β.
δ. τον αριθµό των σηµείων του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ που λόγω της
συµβολής έχουν πλάτος ίσο µε το πλάτος της ταλάντωσης του σηµείου Κ.
5. Η πηγή κύματος Ο αρχίζει τη χρονική στιγμή t0 = 0 s να εκτελεί απλή
αρμονική ταλάντωση πλάτους Α = 0,05 m. Το αρμονικό κύμα που δημιουργεί-
ται διαδίδεται κατά μήκος γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, κατά τον
άξονα Οx. Στο παρακάτω σχήμα απεικονίζεται το στιγμιότυπο του κύματος
μετά από χρόνο t1 = 0,3 s, κατά τον οποίο το κύμα έχει διαδοθεί σε απόστα-
ση 3m.
α. Να βρείτε την ταχύτητα υ διάδοσης του κύματος στο ελαστικό μέσο.
β. Να βρείτε την περίοδο T του αρμονικού κύματος.
γ. Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος.
δ. Να απεικονίσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή
t2=t1+T/4.
1 2 3
y(m)
x(m)
0,05
Ο

6. Η κοινή φάση του ηλεκτρικού και µαγνητικού πεδίου ενός
ηλεκτροµαγνητικού κύµατος είναι 2π (6∙1010 t – 2∙102 x) στο σύστηµα SI.
α. Να δειχθεί ότι το ηλεκτροµαγνητικό κύµα διαδίδεται στο κενό.
β. Όταν το παραπάνω ηλεκτροµαγνητικό κύµα διαδίδεται σε ένα γυαλί έχει
µήκος κύµατος 2,5 mm. Να βρεθεί ο δείκτης διάθλασης του γυαλιού αυτού.
γ. Αναφερόµαστε στη διάδοση του ηλεκτροµαγνητικού κύµατος στο κενό. Τα
πεδία του περιγράφονται από τις
60 ηµ[2π (6 ∙ 1010 t – 2 ∙ 102 x)] (1)
2 ∙ 10–7 ηµ[2π (6 ∙ 1010 t – 2 ∙ 102 x)] (2) στο σύστηµα SI.
Να αιτιολογήσετε ποια από τις (1), (2) περιγράφει το ηλεκτρικό πεδίο και
ποια το µαγνητικό πεδίο.
∆ίνεται ότι η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτροµαγνητικών κυµάτων στο κενό
είναι
c = 3∙108 m/s.
7. Η µία άκρη ενός τεντωµένου σχοινιού είναι στερεωµένη σε ακλόνητο
σηµείο και η ελεύθερη άκρη εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, οπότε
σχηµατίζεται στάσιµο κύµα µε εξίσωση
y=0,4 συν10πxηµ40πt (SI)
Α. Να υπολογίσετε το πλάτος και το µήκος κύµατος για το κύµα, από το οποίο
προκύπτει το στάσιµο.
Β. Να υπολογίσετε σε πόση απόσταση από την ελεύθερη άκρη του σχοινιού
σχηµατίζεται ο τρίτος δεσµός του στάσιµου κύµατος.
8. Η πηγή Ο αρχίζει τη χρονική στιγµή t=0 να εκτελεί απλή αρµονική τα-
λάντωση, που περιγράφεται από την εξίσωση y=Aηµωt. Το κύµα που
δηµιουργεί, διαδίδεται κατά µήκος γραµµικού οµογενούς ελαστικού µέσου και
κατά τη θετική φορά. Ένα σηµείο Σ απέχει από την πηγή Ο απόσταση 10m.
Στη γραφική παράσταση που ακολουθεί φαίνεται η αποµάκρυνση του σηµείου
Σ από τη θέση ισορροπίας του, σε συνάρτηση µε το χρόνο.
1. Τη συχνότητα του κύµατος.
2. Την ταχύτητα διάδοσης του κύµατος.
3. Τη µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σηµείου Σ.
Β. Να γράψετε την εξίσωση αυτού του κύµατος.

9. Κατά μήκος του άξονα Χ΄Χ εκτείνεται ελαστική χορδή. Στη χορδή διαδίδε-
ται εγκάρσιο αρμονικό κύμα. Η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου Π1 της
χορδής περιγράφεται από την εξίσωση:
y1 = Aημ 30πt (SI)
ενώ η εγκάρσια απομάκρυνση ενός σημείου Π2, που βρίσκεται 6 cm δεξιά του
σημείου Π1, περιγράφεται από την εξίσωση:
2y A 30 t
6
 
    
 
(S.I.)
Η απόσταση μεταξύ των σημείων Π1 και Π2 είναι μικρότερη από ένα μήκος
κύματος.
α. Ποια είναι η φορά διάδοσης του κύματος;
β. Ποια είναι η ταχύτητα διάδοσης του κύματος;
γ. Αν η ταχύτητα διάδοσης του κύματος είναι ίση με την μέγιστη ταχύτητα τα-
λάντωσης των σημείων της χορδής, να υπολογίσετε το πλάτος του κύματος.
δ. Στο σχήμα που ακολουθεί, απεικονίζεται ένα στιγμιότυπο του κύματος.
Εκείνη τη στιγμή σε ποια από τα σημεία Α, Β, Γ, ∆, Ε, Ζ και Η η ταχύτητα τα-
λάντωσης είναι μηδενική και σε ποια είναι μέγιστη (κατ’ απόλυτη τιμή); Ποια
είναι η φορά της ταχύτητας ταλάντωσης των σημείων Β, ∆ και Ζ;
ε. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος που όταν συμβάλλει με το προηγού-
μενο, δημιουργεί στάσιμο κύμα.
∆ίνεται π = 3,14 .
10. Σε ένα σημείο μιας λίμνης, μια μέρα χωρίς αέρα, ένα σκάφος ρίχνει ά-
γκυρα. Από το σημείο της επιφάνειας της λίμνης που πέφτει η άγκυρα ξεκινά
εγκάρσιο κύμα. Ένας άνθρωπος που βρίσκεται σε βάρκα παρατηρεί ότι το
κύμα φτάνει σ’ αυτόν 50 s μετά την πτώση της άγκυρας. Το κύμα έχει ύψος
10 cm πάνω από την επιφάνεια της λίμνης, η απόσταση ανάμεσα σε δύο δια-
δοχικές κορυφές του κύματος είναι 1 m, ενώ μέσα σε χρόνο 5 s το κύμα
φτάνει στη βάρκα 10 φορές. Να υπολογίσετε:
Α. Την περίοδο του κύματος που φτάνει στη βάρκα.
Β. Την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
Γ. Την απόσταση της βάρκας από το σημείο πτώσης της άγκυρας.
Δ. Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του ανθρώπου στη βάρκα.

11. Η ένταση Ε του ηλεκτρικού πεδίου ηλεκτρομαγνητικού κύματος που
διαδίδεται στον αέρα με ταχύτητα c=3⋅108m/s περιγράφεται από την εξίσω-
ση
3 8 x
E 9 10 2 10 t  
     
 
(S.I.)
1. Τη μέγιστη τιμή Βmax του μαγνητικού πεδίου.
2. Το μήκος κύματος αυτού του ηλεκτρομαγνητικού κύματος.
3. Να γράψετε την εξίσωση που περιγράφει το μαγνητικό πεδίο.
Β. Το κύμα αυτό φτάνει στην κεραία ραδιοφωνικού δέκτη του οποίου το κύ-
κλωμα επιλογής LC έχει πηνίο με τιμή συντελεστή αυτεπαγωγής 2
1
L
50
 

Για ποια τιμή της χωρητικότητας C του πυκνωτή συντονίζεται ο δέκτης;
12. ∆ύο σημαδούρες Α και Β απέχουν μεταξύ τους απόσταση ΑΒ = 13,5m
και η ευθεία που διέρχεται από αυτές είναι κάθετη στην ακτογραμμή. Πλοίο
που κινείται παράλληλα στην ακτογραμμή, μακριά από τις σημαδούρες δημι-
ουργεί κύμα, με φορά διάδοσης από την Α προς την Β, το οποίο θεωρούμε
εγκάρσιο αρμονικό. Το κύμα διαδίδεται προς την ακτή. Εξ αιτίας του κύματος
η κάθε σημαδούρα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας της 30 φορές το λεπτό.
Ο χρόνος που απαιτείται, για να φθάσει ένα «όρος» του κύματος από τη ση-
μαδούρα Α στη Β, είναι 9s. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης κάθε σημαδού-
ρας είναι
5

m/s. Θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των αποστάσεων τη σημαδού-
ρα Α και ως αρχή μέτρησης των χρόνων τη στιγμή που η σημαδούρα Α βρί-
σκεται στη θέση ισορροπίας και κινείται προς τα θετικά.
α. Να υπολογιστεί το μήκος του κύματος.
β. Πόσο απέχει η σημαδούρα Α από την ακτή, αν αυτή βρίσκεται για 21η φο-
ρά στην ανώτερη θέση της ταλάντωσής της, όταν το κύμα φθάσει στην ακτή.
γ. Να γραφεί η εξίσωση ταλάντωσης της σημαδούρας Β, καθώς το κύμα δια-
δίδεται από τη σημαδούρα Α προς τη Β.
δ. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης της σημαδούρας Β κάποια
χρονική στιγμή που η σημαδούρα Α βρίσκεται στο ανώτατο σημείο της ταλά-
ντωσής της.
13. Σε μια χορδή δημιουργείται στάσιμο κύμα, η εξίσωση του οποίου είναι
x
y 10 20 t
4

    , όπου x, y δίνονται σε cm και t σε s. Να βρείτε:
α. το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης, τη συχνότητα και το μήκος κύματος.
β. τις εξισώσεις των δύο κυμάτων που παράγουν το στάσιμο κύμα.
γ. την ταχύτητα που έχει τη χρονική στιγμή t=0,1 s ένα σημείο της χορδής το
οποίο απέχει 3 cm από το σημείο x=0.
δ. σε ποιες θέσεις υπάρχουν κοιλίες μεταξύ των σημείων xΑ=3 cm και xB=9
cm.

Δίνονται: π=3,14 και
3 2
4 2

   .
14. Κατά μήκος ομογενούς γραμμικού ελαστικού μέσου που έχει τη διεύθυν-
ση του άξονα x, όπως φαίνεται στο σχήμα, διαδί-
δεται εγκάρσιο αρμονικό κύμα, το οποίο περι-
γράφεται από την εξίσωση:
y = 0,05 ημ2π (2t – 5x) (S.I.)
α. τη συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
β. τη μέγιστη επιτάχυνση ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου στο
οποίο διαδίδεται το κύμα.
γ. την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου τα οποία βρίσκο-
νται στον θετικό ημιάξονα Οx και παρουσιάζουν την ίδια χρονική στιγμή δια-
φορά φάσης
5
rad
2

.
δ. την ταχύτητα ταλάντωσης, τη χρονική στιγμή t = 1,5 s ενός σημείου του
ελαστικού μέσου το οποίο βρίσκεται στον θετικό ημιάξονα Οx και απέχει από
την αρχή Ο (x=0) απόσταση 0,3 m.
Δίνονται: π = 3,14 και π2 ≈ 10.
15. To άκρο Ο γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, που εκτείνεται κατά
τη διεύθυνση του ημιάξονα Οx, αρχίζει να ταλαντώνεται τη στιγμή t = 0, σύμ-
φωνα με την εξίσωση y t
2

  (y σε cm, t σε s). Το εγκάρσιο κύμα, που
δημιουργείται, διαδίδεται κατά μήκος του γραμμικού ελαστικού μέσου. Κά-
ποια χρονική στιγμή το στιγμιότυπο του κύματος απεικονίζεται στο παρακάτω
σχήμα.
Α. Να βρείτε το μήκος κύματος και την περίοδο του κύματος.
Β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος.
Γ. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.
Δ. Να βρείτε την ενέργεια ενός πολύ μικρού τμήματος του ελαστικού μέσου
μάζας Δm = 8 · 10−3 kg.
Δίνεται: π2 ≈ 10 .
16. Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος που διαδίδεται κατά μή-
κος του άξονα x΄x είναι: y 0,4 2 (2t 0,5x)    (S.I.)
Να βρείτε:
α. Το μήκος κύματος λ και την ταχύτητα διάδοσης του κύματος υ.
β. Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέσου.

γ. Τη διαφορά φάσης που παρουσιάζουν την ίδια χρονική στιγμή δύο σημεία
του ελαστικού μέσου, τα οποία απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με 1,5 m.
δ. Για τη χρονική στιγμή 1
11
t s
8
 να βρείτε την εξίσωση που περιγράφει το
στιγμιότυπο του κύματος, και στη συνέχεια να το σχεδιάσετε.
17. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο που εκτείνεται κατά μήκος του άξονα x΄x έχει
δημιουργηθεί στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση:
y = 0,1συνπx·ημ10πt (SI).
Στη θέση x = 0 εμφανίζεται κοιλία, και το σημείο του ελαστικού μέσου που
βρίσκεται στη θέση αυτή τη χρονική στιγμή t = 0 έχει μηδενική απομάκρυνση
από τη θέση ισορροπίας του και κινείται κατά τη θετική φορά.
α. Να υπολογιστεί η συχνότητα f και η ταχύτητα υ των κυμάτων από τα οποία
προέκυψε το στάσιμο κύμα.
β. Να υπολογιστεί τη χρονική στιγμή 1
1
t s
40
 η απομάκρυνση ενός σημείου Κ
του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση K
1
x m
4
 .
γ. Να προσδιοριστεί ο αριθμός των κοιλιών που υπάρχουν μεταξύ των σημείων
Μ και Ν του ελαστικού μέσου που βρίσκονται στις θέσεις xΜ=10,25m και
xΝ=14,75m αντίστοιχα.
Δίνονται:
2
4 4 2
 
    .
18. Η εξίσωση ενός γραμμικού αρμονικού κύματος είναι:
y=0,2 ημ2π(t-2x) (S. Ι.)
Γ.1. την περίοδο και το μήκος κύματος.
Γ.2. την ταχύτητα του κύματος.
Γ.3. τη μεγίστη επιτάχυνση της ταλάντωσης των σημείων του ελαστικού μέ-
σου.
Γ.4. την απόσταση μεταξύ δύο σημείων του ελαστικού μέσου που παρουσιά-
ζουν διαφορά φάσης 4π rad.
Δίδεται π2 ≈ 10
19. Στην επιφάνεια ενός υγρού που ηρεμεί, βρίσκονται δύο σύγχρονες σημει-
ακές πηγές Π1 και Π2, που δημιουργούν στην επιφάνεια του υγρού εγκάρσια
αρμονικά κύματα ίσου πλάτους. Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρο-
νική στιγμή tο=0 ξεκινώντας από τη θέση ισορροπίας τους και κινούμενες
προς την ίδια κατεύθυνση, την οποία θεωρούμε θετική. Η χρονική εξίσωση
της ταλάντωσης ενός σημείου Μ, που βρίσκεται στη μεσοκάθετο του ευθύ-
γραμμου τμήματος Π1Π2, μετά τη συμβολή των κυμάτων δίνεται στο SI από τη
σχέση:
yM=0,2ημ2π(5t-10).

Η ταχύτητα διάδοσης των κυμάτων στην επιφάνεια του υγρού είναι υ=2 m/s.
Έστω Ο το μέσο του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2 και d=1m η απόσταση με-
ταξύ των πηγών.
Να βρείτε:
Γ1. Την απόσταση ΜΠ1.
Γ2. Τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων Ο και Μ.
Γ3. Πόσα σημεία του ευθύγραμμου τμήματος Π1Π2 ταλαντώνονται με μέγιστο
πλάτος.
Γ4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης του σημείου Μ
σε συνάρτηση με τον χρόνο t για 0≤t≤2,5s.
Να χρησιμοποιήσετε το μιλιμετρέ χαρτί στο τέλος του τετραδίου.
20. Το άκρο Ο γραμμικού ομογενούς ελαστικού μέσου, που εκτείνεται κατά
τη διεύθυνση του ημιάξονα Οx, αρχίζει τη χρονική στιγμή tο=0 να ταλαντώνε-
ται με θετική ταχύτητα, δημιουργώντας αρμονικό κύμα. Στο σχήμα απεικονί-
ζεται το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t=1 sec.
Γ1. Να βρείτε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος υ και το μήκος κύματος λ.
Γ2. Να γράψετε την εξίσωση του κύματος.
Γ3. Να βρείτε τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης των σημείων του μέσου.
Γ4. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της απομάκρυνσης ενός σημείου Σ
του ελαστικού μέσου που βρίσκεται στη θέση xΣ=1 m, σε συνάρτηση με το
χρόνο.
Να χρησιμοποιήσετε το μιλιμετρέ χαρτί στο τέλος του τετραδίου.
21. Το άκρο Ο μιας ομογενούς και ελαστικής χορδής, που εκτείνεται κατά τη
διεύθυνση του θετικού ημιάξονα Οx, εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλα-
ντώσεις κατά τη διεύθυνση του άξονα y΄y και γύρω από την ίδια θέση ισορ-
ροπίας. Οι εξισώσεις των ταλαντώσεων στο S.Ι. είναι :
y1 = 0,1 ημ50πt και y2 = 0,05 ημ(50πt-π)
Από την ταλάντωση του άκρου Ο δημιουργείται αρμονικό κύμα που διαδίδεται
κατά μήκος της χορδής με ταχύτητα υ = 2 m/s.
Γ1. Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του άκρου Ο της χορδής.
Γ2. Να γράψετε την εξίσωση του αρμονικού κύματος που δημιουργείται.
Γ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης υλικού σημείου της χορδής που
βρίσκεται στη θέση x = 0,4 m τη χρονική στιγμή t1 = 0,1 s και τη χρονική
στιγμή t2 = 0,3 s.

Γ4. Αν τα σημεία Β και Γ της χορδής απέ-
χουν μεταξύ τους ΒΓ = d =
3λ
2
,
όπως φαίνεται στο σχήμα, να υπολογίσετε
την απομάκρυνση του σημείου Β (yB), όταν το σημείο Γ βρίσκεται στη μέγιστη
θετική του απομάκρυνση. (λ είναι το μήκος του κύματος)
22. Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια
υγρού εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ = 5 m/s. Μικρό κομ-
μάτι φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο Σ της επιφάνειας πλησιέστερα στην
πηγή Π2. Η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συ-
νάρτηση με τον χρόνο περιγράφεται από τη γραφική παράσταση του σχήμα-
τος. Οι πηγές αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = 0 και εκτελούν
ταλαντώσεις της μορφής y = Α∙ημωt .
Γ1. Να βρείτε τις αποστάσεις r1 και r2 του σημείου Σ από τις πηγές Π1 και
Π2,αντίστοιχα.
Γ2. Να γράψετε τη σχέση που δίνει την απομάκρυνση του φελλού από τη θέση
ισορροπίας του σε συνάρτηση με τον χρόνο, για t ≥ 0.
Γ3. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του φελλού κάποια χρονι-
κή στιγμή t1, κατά την οποία η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του
είναι 3
y 5 3 10 m
 
Γ4. Έστω Κ1 η μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού μετά τη συμβολή. Αλλά-
ζουμε τη συχνότητα των ταλαντώσεων των πηγών Π1 και Π2 έτσι ώστε η συ-
χνότητά τους να είναι ίση με τα
10
9
της αρχικής τους συχνότητας. Αν μετά τη
νέα συμβολή η μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού είναι Κ2, να βρεθεί ο λό-
γος 1
2
K
K
Δίνεται:
π 1
συν
3 2
 
 
 
.
Ίδια άσκηση στα εσπερινά με αντικατάσταση των Γ2 και Γ4 με:
Γ2. Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης κάθε πηγής.

ΘΕΜΑ 4ο
1. Δύο σύγχρονες πηγές Π1, Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια υγρού εγκάρσια
αρμονικά κύματα. Η εξίσωση της ταλάντωσης κάθε πηγής είναι
y=0,01⋅ημ(10πt) (SI) και η ταχύτητα διάδοσης των εγκαρσίων κυμάτων στην
επιφάνεια του υγρού είναι ίση με 1,5 m/s.
Ένα σημείο Λ της επιφάνειας του υγρού απέχει από την πηγή Π1 απόσταση
0,6 m και από την πηγή Π2 απόσταση 1 m, όπως δείχνει το σχήμα.
Οι πηγές Π1, Π2 αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = 0.
α. Να υπολογισθεί το μήκος κύματος των κυμάτων που δημιουργούν οι πηγές.
β. Πόση είναι η συχνότητα της ταλάντωσης του σημείου Λ μετά την έναρξη
της συμβολής;
γ. Να υπολογισθεί το πλάτος της ταλάντωσης του σημείου Λ μετά την έναρξη
της συμβολής.
δ. Να προσδιορισθεί η απομάκρυνση του σημείου Λ από τη θέση ισορροπίας
του, τη χρονική στιγμή
4
t s
3
 .
Δίνεται
4 1
3 2

   .

κεφάλαιο
μηχανική στερεού σώματος

ΜΗΧΑΝΙΚΗ ΣΤΕΡΕΟΥ ΣΩΜΑΤΟΣ
Α ομάδας
1. Σε τροχό που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει αποδείξτε τη σχέση που συνδέει
την ταχύτητα του κέντρου μάζας του με τη γωνιακή του ταχύτητα.
2. Σε τροχό που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει αποδείξτε τη σχέση που συνδέει
την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του με τη γωνιακή του επιτάχυνση.
3. Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο με τα-
χύτητα κέντρου μάζας υcm. Ποια η ταχύτητα του σημείου του τροχού που
απέχει απόσταση 2R από το δάπεδο και ποια η ταχύτητα του κατώτερου
σημείου του τροχού. Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας.
4. Σε στερεό σώμα ασκούνται δύο αντίρροπες δυνάμεις F1 και F2 με ίσα μέ-
τρα. Να αποδείξετε ότι η αλγεβρική τιμή ροπής των δύο δυνάμεων είναι η
ίδια ως προς οποιοδήποτε άξονα περιστροφής.
5. Αποδείξτε τη σχέση που δίνει τη ροπή αδράνειας λεπτού ομογενούς δακτυ-
λίου ακτίνας R και μάζας m ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο
του και είναι κάθετος στο επίπεδό του. Θεωρήστε ότι το πάχος του δακτυ-
λίου είναι αμελητέο σε σχέση με την ακτίνα του.
6. Αποδείξτε τη σχέση που δίνει τη στροφορμή στερεού σώματος.
7. Αποδείξτε τη σχέση που δίνει τη κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής στε-
ρεού σώματος.
8. Αποδείξτε τη σχέση που δίνει το έργο σταθερής δύναμης F που προκαλεί
την περιστροφή στερεού σώματος.
9. Αποδείξτε τη σχέση που δίνει την ισχύ σταθερής δύναμης F που προκαλεί
την περιστροφή στερεού σώματος.

Β ομάδας
10. Η ροπή αδράνειας κοίλης και λεπτότοιχης σφαίρας , μάζας Μ και ακτί-
νας R. ως προς τυχαία διάμετρο της είναι 22
MR
3
. Η ροπή αδράνειας της
σφαίρας ως προς άξονα εφαπτόμενο σε αυτή είναι:
α. ΜR2 β.
2
5MR
3
γ.
2
7MR
3
δ.
2
4MR
3
11. Τροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο με
ταχύτητα κέντρου μάζας υcm. Ποια η ταχύτητα σημείων της περιφέρειας
του τροχού, συναρτήσει της υcm, που απέχουν κατακόρυφη απόσταση:
α) R από το δάπεδο, και
β)
3R
2
από το δάπεδο.
Αιτιολογήστε τις απαντήσεις σας.
12. Στερεό σώμα αποτελείται από δύο ομογενείς δίσκους ακτίνας R και ένα
ομογενή κύλινδρο που ενώνει τα μέσα τους με ακτίνα r (r<R). Το στερεό
κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει ακουμπώντας σε οριζόντιο επίπεδο τους δύο
δίσκους. Αν η ταχύτητα του κέντρου μάζας του στερεού είναι υcm, υπολο-
γίστε την ταχύτητα του ανώτερου σημείου του κυλίνδρου συναρτήσει των
μεγεθών R, r, υcm.
13. Λεπτή ομογενής ράβδος μήκους L και μάζας Μ έχει ροπής αδράνειας
ως προς άξονα που διέρχεται από το άκρο της και είναι κάθετος σ’ αυτήν
21
I ML
3
 . Ποια η ροπής αδράνειας της ως προς άξονα που διέρχεται από
το μέσον της και είναι κάθετος σ’ αυτήν;
14. Αποδείξτε ότι η ροπή αδράνειας σώματος ως προς άξονα που διέρχεται
από το κέντρο μάζας του, έχει τη μικρότερη τιμή σε σχέση με οποιοδήποτε
άλλο παράλληλο άξονα.
15. Ομογενής τροχαλία ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο
επίπεδο, με τη βοήθεια δύναμης F. Η F είναι πάντα παράλληλη με το οριζό-
ντιο επίπεδο και το σημείο εφαρμογής της μπορεί να βρίσκεται σε οποιο-
δήποτε σημείο πάνω στην διάμετρο που είναι κάθετη στο επίπεδο. Υπάρχει
σημείο και ποιο, που μπορεί να ασκηθεί η F από το κέντρο του σώματος
μέχρι το ανώτερό του σημείο του, ώστε να μην είναι αναγκαία η ύπαρξη
της στατικής τριβής για να κάνει κύλιση χωρίς ολίσθηση αυξάνοντας με
σταθερό ρυθμό το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της; Θεωρήστε
δεδομένη την ακτίνα R της τροχαλίας.
( 2
cm
1
I mR
2
 )

16. Ομογενής τροχαλία έχει τυλιγμένο γύρω της λεπτό αβαρές μη εκτατό
νήμα. Ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη F στην άκρη του νήματος έτσι
ώστε το νήμα να παραμένει πάντα παράλληλο με το οριζόντιο δάπεδο και
να ξετυλίγεται προκαλώντας στην τροχαλία κύλιση χωρίς ολίσθηση.
α) Να αποδείξετε ότι η στατική τριβή που θα αναπτύσσεται θα είναι ίση με
το ένα τρίτο της δύναμης F. ( 2
cm
1
I mR
2
 )
β) Πόσο σχοινί πρέπει να ξετυλιχτεί ώστε η τροχαλία να εκτελέσει μια πλή-
ρη περιστροφή, θεωρώντας γνωστή την ακτίνα της R.
γ) i) Το μέτρο της δύναμης F είναι F=30N και η μάζα της m=10kg, να εξε-
τάσετε αν θα κυλίεται χωρίς ολίσθηση γνωρίζοντας ότι ο συντελεστής μέγι-
στης στατικής τριβής είναι μ=0,05
ii) Ποιος ο ελάχιστος συντελεστής μέγιστης στατικής τριβής πρέπει να υ-
πάρχει ώστε η τροχαλία να κυλίεται χωρίς ολίσθηση;
Δίνεται g=10m/s2.
17. Σφαίρα μάζας m και ακτίνας R, κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζό-
ντιο επίπεδο με την επίδραση σταθερής δύναμης F που ασκείται στο ανώ-
τερό της σημείο και παράλληλα με το οριζόντιο επίπεδο. Μετά από χρόνο
t1 η σφαίρα εγκαταλείπει το οριζόντιο επίπεδο και πέφτει στο κενό από ύ-
ψος h. Ταυτόχρονα με την εγκατάλειψη του οριζοντίου επιπέδου παύει και
η άσκηση της δύναμης F. Αν η σφαίρα πέφτει στο κενό για χρόνο ίδιο με το
t1 που βρισκόταν στο οριζόντιο επίπεδο, να υπολογίσετε τις περιστροφές
που θα εκτελέσει η σφαίρα μέχρι να φτάσει στο δάπεδο από τη στιγμή που
εγκατέλειψε το οριζόντιο επίπεδο, συναρτήσει των μεγεθών: m, F, R, g επι-
τάχυνση της βαρύτητας, h ύψος από το οριζόντιο επίπεδο μέχρι το έδαφος
τα οποία θεωρούνται δεδομένα. Κατά την πτώση οι τριβές θεωρούνται α-
μελητέες. ( 2
cm
2
I mR
5
 ).
18. Ένα στερεό σώμα έχει τη μορφή της ορθής γωνίας του διπλανού σχή-
ματος η οποία είναι κατασκευασμένη από δύο ίσες και ομογενείς ράβδους
ΟΑ και OΓ. Αφήνουμε τη γωνία να πέσει ελεύθε-
ρα από κάποιο ύψος με την πλευρά ΟΓ να είναι
αρχικά οριζόντια. Η γωνία κατά την πτώση της
θα εκτελέσει:
α) μόνο μεταφορική κίνηση.
β) μόνο περιστροφή.
γ) μεταφορική και περιστροφική κίνηση ταυτό-
χρονα.
19. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται μια ομογενής δοκός
η οποία ακουμπά στο οριζόντιο δάπεδο και σε κα-
τακόρυφο τοίχο. Να εξετάσετε όλες τις παρακάτω
περιπτώσεις και να δικαιολογήσετε σε ποια (ή ποιες)
η δοκός μπορεί να ισορροπεί ακίνητη.
α) Ο τοίχος και το δάπεδο είναι λεία
β) Ο τοίχος είναι λείος και το δάπεδο είναι τραχύ,
Α
Ο
Γ

ώστε να εμφανίζεται τριβή.
γ) Το δάπεδο είναι λείο και ο κατακόρυφος τοίχος είναι τραχύς, ώστε να
εμφανίζεται τριβή.
δ) Η δοκός εμφανίζει τριβή και με τον τοίχο και με το δάπεδο.
20. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η τομή ενός
ομογενούς κυλίνδρου που έχει μάζα m ακτίνα
R και κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατεβαίνοντας
το κεκλιμένο επίπεδο με γωνία κλίσης φ =
30°. Στο κέντρο μάζας του κυλίνδρου ασκεί-
ται σταθερή δύναμη παράλληλη στο κεκλιμέ-
νο, η οποία έχει μέτρο
mg
F
3
 και φορά προς
τα “πάνω”, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Αν η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα διερχόμενο από το κέ-
ντρο μάζας του και κάθετο στις βάσεις του είναι 21
mR
2
  και g η επιτά-
χυνση της βαρύτητας, τότε ο ρυθμός μεταβολής της ταχύτητας του κέ-
ντρου μάζας του έχει μέτρο ίσο με:
α)
g
3
β)
2g
3
γ)
g
9
21. Σβούρα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το
κέντρο μάζας της, με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω που έχει διεύθυνση κά-
θετη στο οριζόντιο επίπεδο και φορά προς τα πάνω. Η σβούρα λόγω μετά-
πτωσης μετά από κάποιο χρονικό διάστημα, χωρίς να αλλάξει το μέτρο της
γωνιακής ταχύτητας περιστρέφεται έτσι ώστε ο άξονας περιστροφής της
να «γείρει» κατά 60°. Ποια η μεταβολή της στροφορμής της σβούρας; Θε-
ωρήστε γνωστό το μέτρο της αρχικής της στροφορμής L.
22. Τέσσερις ίδιοι ομογενείς δίσκοι βρίσκονται ο ένας πάνω από τον άλλο
και μπορούν να περιστρέφονται γύρω από κοινό άξονα που διέρχεται από
το κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Αρχικά οι δίσκοι δεν
έρχονται σε επαφή μεταξύ τους και περιστρέφεται μόνο αυτός που βρίσκε-
ται στην κατώτερη θέση. Να αποδείξετε ότι αν αφήσουμε να πέσουν πάνω
του οι υπόλοιποι ώστε να περιστρέφονται ως ένας, η ταχύτητα του τελευ-
ταίου θα μειωθεί κατά 75%. Ποιο το ποσοστό μεταβολής της κινητικής ε-
νέργειας του συστήματος;
23. Κύβος μάζας m αφήνεται από ύψος h κεκλιμένου επιπέδου να ολισθή-
σει χωρίς τριβές έως τη βάση του. Ομογενής σφαίρα ίδιας μάζας m και α-
κτίνας R, αφήνεται από ύψος h κεκλιμένου επίπεδου ίδιας κλίσης με το
πρώτο να κυλήσει χωρίς να ολισθαίνει μέχρι τη βάση του. Ποιος πρέπει να
φ
F

είναι ο λόγος
h
h

ώστε να φτάσουν και τα δύο σώμα-
τα στις βάσεις με τις ίσες ταχύτητες κέντρου μάζας;
( 2
cm
2
I mR
5
 , R<<h)
24. Δύο τροχοί με ακτίνες R1=2m και R2=1m είναι
συζευγμένοι μέσω μη ολισθηρού ιμάντα έτσι ώστε να
περιστρέφονται μαζί, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν ο
πρώτος τροχός περιστρέφεται με σταθερή συχνότη-
τα f1=20Hz τότε η συχνότητα περιστροφής του δεύ-
τερου τροχού θα είναι:
α. f2=10Hz
β. f2=20Hz
γ. f2=40Hz
25. Μικρή ομογενής σφαίρα μπορεί να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο
εσωτερικό κυκλικής σιδηροτροχιάς. Να δείξετε ότι η ταχύτητα κέντρου μά-
ζας που πρέπει να έχει η σφαίρα στο ανώτερο σημείο της τροχιάς για να
κάνει ανακύκλωση, είναι ανεξάρτητη από τη μάζα της.

26. Η μεταφορική κίνηση που εκτελεί ένα σώμα δεν μπορεί να είναι καμπυ-
λόγραμμη.
27. Όταν ένα σώμα εκτελεί στροφική κίνηση υπάρχει τουλάχιστον ένα ση-
μείο του σώματος που παραμένει ακίνητο.
28. Η σύνθετη κίνηση ενός σώματος μπορεί να μελετηθεί ως επαλληλία μι-
ας μεταφορικής και μιας περιστροφικής κίνησης.
29. Σώμα που αφήνεται ελεύθερο να πέσει μέσα σε ομογενές βαρυτικό πε-
δίο, θα εκτελέσει σύνθετη κίνηση δηλαδή και περιστροφική και μεταφορι-
κή, μόνο αν τη στιγμή που το αφήσαμε ελεύθερο περιστρεφόταν. (Τριβές
και λοιπές αντιστάσεις κατά τη διάρκεια πτώσης θεωρούνται αμελητέες).
30. Ομογενής τροχαλία κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο.
Η επιτάχυνση του ανώτερου σημείου της είναι διπλάσια από την επιτάχυν-
ση του κέντρου μάζας της.
31. Η γωνιακή επιτάχυνση σώματος που εκτελεί ομαλή κυκλική κίνηση είναι
μηδέν.
32. Ομογενής δακτύλιος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο.
α) Υπάρχει κάποιο σημείο του εκτός από το κέντρο μάζας του που να έχει
ίδια ταχύτητα με αυτή του κέντρου μάζας του;
β) Υπάρχει σημείο της περιφέρειας που να έχει ίση κατά μέτρο ταχύτητα
με αυτή του κέντρου μάζας του;
33. Η αλγεβρική τιμή της ροπής μιας δύναμης που ασκείται σ’ ένα στερεό
σώμα, είναι ανεξάρτητη από τον άξονα περιστροφής του στερεού.
34. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων εξαρτάται από το σημείο περιστροφής του
σώματος.
35. Αν σ’ ένα στερεό σώμα που ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις, η συνι-
σταμένη των δυνάμεων είναι μηδέν και το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών
του ως προς οποιοδήποτε σημείο είναι μηδέν, τότε το σώμα μπορεί να κι-
νείται ευθύγραμμα ομαλά και ταυτόχρονα να κάνει στροφική ομαλή κίνη-
ση.

36. Η ροπή αδράνειας εκφράζει τη δυσκολία αλλαγής της περιστροφικής
κατάστασης ενός σώματος.
37. Ο θεμελιώδης νόμος της στροφικής κίνησης δεν ισχύει στην περίπτωση
που ο άξονας περιστροφής του σώματος αλλάζει κατεύθυνση, κατά τη
διάρκεια της κίνησης.
38. Η στροφορμή είναι διάνυσμα ομόρροπο πάντα με το διάνυσμα της γω-
νιακής επιτάχυνσης.
39. Για καταδύτρια που περιστρέφεται στον αέρα δεν ισχύει η αρχή διατή-
ρησης της στροφορμής, γιατί της ασκείται το βάρος της το οποίο δημιουρ-
γεί εξωτερική ροπή.
40. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σ' ένα στερεό
σώμα, το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι μηδέν, τότε
α. η γωνιακή του ταχύτητα αυξάνεται με σταθερό ρυθμό.
β. ο ρυθμός της γωνιακής μετατόπισης είναι σταθερός.
γ. η γωνιακή του επιτάχυνση είναι σταθερή.
δ. η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής του μεταβάλλεται.
41. Η σύμπτυξη των άκρων σε ακροβάτη που εκτελεί περιστροφές στον
αέρα, συμβάλλει στη μείωση της ροπής αδράνειάς του, συνεπώς στην αύ-
ξηση της γωνιακής του ταχύτητας.
42. Όταν ένας αστέρας νετρονίων εξαντλήσει τα αποθέματα ενέργειας που
διαθέτει, λόγω της συρρίκνωσής του, μειώνει τη ροπή αδράνειας του, με
αποτέλεσμα η κινητική ενέργειά του λόγω περιστροφής να αυξάνεται.
43. Ομογενής σφαίρα κατέρχεται σε κεκλιμένο επίπεδο κάνοντας κύλιση
χωρίς ολίσθηση. Το έργο της στατικής τριβής, εκφράζει τη μετατροπή της
δυναμικής ενέργειας σε κινητική.
44. Ομογενής κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε κεκλιμένο επίπεδο.
Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του φτάνοντας στη βάση του κεκλιμένου
επιπέδου θα εξαρτάται και από τη μάζα του.
45. Ο ρυθμός παραγωγής ή κατανάλωσης έργου κατά τη στροφική κίνηση
ισούται με το γινόμενο της συνισταμένης ροπής που ασκείται στο σώμα επί
τη γωνιακή του επιτάχυνση.

ΘΕΜΑ 1ο
1. Να γράψετε στο τετράδιό σας τη λέξη που συμπληρώνει σωστά καθε-
μία από τις παρακάτω προτάσεις.
Το αλγεβρικό άθροισμα των ...................... που δρουν σ' ένα στερεό που πε-
ριστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι ίσο με την αλγεβρική τιμή του
ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του.
Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν,
τότε η μεταβολή της ολικής στροφορμής του συστήματος είναι ...........
α. Η ροπή αδράνειας εκφράζει την αδράνεια στη µεταφορική κίνηση.
γ. Όταν ένα σώμα μετακινείται στο χώρο και ταυτόχρονα αλλάζει ο προσανα-
τολισμός του, λέμε ότι κάνει ........... κίνηση.
4. Αν το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που δρουν πάνω σ' ένα στερεό
σώμα, το οποίο περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, είναι μηδέν, τότε
α. η γωνιακή του ταχύτητα μεταβάλλεται.
β. η γωνιακή του ταχύτητα είναι σταθερή.
γ. η γωνιακή του επιτάχυνση μεταβάλλεται.
δ. η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής του μεταβάλλεται.
5. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά μεγέθη από τη Στήλη Ι και,
δίπλα σε καθένα, τη μονάδα της Στήλης ΙΙ που αντιστοιχεί σ' αυτό.
Ροπή αδράνειας Ι σώματος ως προς άξονα N∙m
Στροφορμή L στερεού σώματος rαd/s
Γωνιακή ταχύτητα ω kg∙m2
Ροπή δύναμης τ ως προς άξονα F
Συχνότητα f περιοδικού φαινομένου
kg∙
2
m
s
Hz

6. Η μονάδα μέτρησης της στροφορμής είναι
α. 1 kg  m2/s . β. 1 kg  m/s2 .
γ. 1 kg  m2 . δ. 1 kg  m/s .
δ. Η γωνιακή επιτάχυνση ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται γύρω από
σταθερό άξονα είναι ανάλογη προς τη συνολική εξωτερική ροπή που α-
σκείται στο σώμα.
ε. Αν η στροφορμή ενός στερεού σώματος παραμένει σταθερή, τότε η συνολι-
κή εξωτερική ροπή που ασκείται στο σώμα είναι μηδέν.
8. Κατά τη στροφική κίνηση ενός σώµατος ...
α. όλα τα σηµεία του σώµατος έχουν την ίδια ταχύτητα.
β. κάθε σηµείο του σώµατος κινείται µε γραµµική ταχύτητα υ = ωr (ω η γωνι-
ακή ταχύτητα, r η απόσταση του σηµείου από τον άξονα περιστροφής).
γ. κάθε σηµείο του σώµατος έχει γωνιακή ταχύτητα ω = υcm / R (υcm η ταχύ-
τητα του κέντρου µάζας, R η απόσταση του σηµείου από το κέντρο µάζας).
δ. η διεύθυνση του διανύσµατος της γωνιακής ταχύτητας µεταβάλλεται.
9. Να µεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα και να τον
συµπληρώσετε.
Φυσικό μέγεθος Μέγεθος* Μονάδες
Ροπή δύναμης ως προς σημείο. Ν∙m
Στροφορμή σώματος.
Γωνιακή ταχύτητα. Διανυσματικό
Ροπή αδράνειας ως προς άξονα. kg∙m2
* Να γράψετε µία από τις λέξεις µονόµετρο ή διανυσµατικό.
10. Εάν η στροφορµή ενός σώµατος που περιστρέφεται γύρω από σταθερό
άξονα παραµένει σταθερή, τότε η συνολική εξωτερική ροπή πάνω στο σώµα
α. είναι ίση µε το µηδέν.
β. είναι σταθερή και διάφορη του µηδενός.
γ. αυξάνεται µε το χρόνο.
δ. µειώνεται µε το χρόνο.
11. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα καθεµιάς από τις προτάσεις
που ακολουθούν και ακριβώς δίπλα του το γράµµα Σ αν η πρόταση αυτή εί-
ναι σωστή ή το γράµµα Λ, αν είναι λανθασµένη.
α. Η µονάδα µέτρησης της ροπής αδράνειας είναι 1 kg∙m2

12. Να γράψετε στο τετράδιό σας τα φυσικά µεγέθη από τη Στήλη I και δί-
πλα σε καθένα τη µονάδα της Στήλης II που αντιστοιχεί σ' αυτό.
Στήλη I Στήλη II
Μήκος κύµατος rad/s2
Γωνιακή επιτάχυνση Ν‧m
Ροπή δύναµης m
Ορµή
Kg‧
2
m
s
Στροφορµή
Kg‧
m
s
m
s
13. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό σας τις προτάσεις που ακολουθούν,
µε το γράµµα Σ, αν είναι σωστές και µε το γράµµα Λ, αν είναι λανθασµένες.
β. Όταν ένας ακροβάτης που περιστρέφεται στον αέρα ανοίξει τα άκρα του,
αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του.
δ. Στη µεταφορική κίνηση ενός σώµατος κάθε χρονική στιγµή όλα τα σηµεία
του έχουν την ίδια ταχύτητα.
14. Για να ισορροπεί ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώµα στο οποίο ασκού-
νται πολλές οµοεπίπεδες δυνάµεις, θα πρέπει :
α. η συνισταµένη των δυνάµεων που ασκούνται στο σώµα να είναι µηδέν
β. το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών των δυνάµεων να είναι µηδέν
γ. η συνισταµένη των δυνάµεων και το αλγεβρικό άθροισµα των ροπών των
δυνάµεων να είναι µηδέν
δ. η συνισταµένη των δυνάµεων να είναι µηδέν και το αλγεβρικό άθροισµα
των ροπών των δυνάµεων διάφορο του µηδενός.
β. Η στροφορµή ενός στερεού σώµατος παραµένει σταθερή, αν το αλγεβρικό
άθροισµα ροπών των δυνάµεων που ασκούνται σ’ αυτό είναι διάφορο του
µηδενός.
16. Ένα στερεό σώµα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα. Αν η γωνι-
ακή ταχύτητα περιστροφής του σώµατος υποδιπλασιαστεί, τότε η κινητική του
ενέργεια θα
α. υποτετραπλασιαστεί.

β. υποδιπλασιαστεί.
γ. τετραπλασιαστεί.
δ. παραµείνει αµετάβλητη.
17. Στην παρακάτω ερώτηση να γράψετε στο τετράδιό σας το γράμμα
κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε γράμμα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρό-
ταση και τη λέξη Λάθος για τη λανθασμένη.
δ. Ένας αθλητής καταδύσεων, καθώς περιστρέφεται στον αέρα, συμπτύσσει
τα άκρα του. Με την τεχνική αυτή αυξάνεται η γωνιακή ταχύτητα περιστρο-
φής του.
18. Tροχός ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο. Αν
υcm η ταχύτητα του τροχού λόγω μεταφορικής κίνησης, τότε η ταχύτητα των
σημείων της περιφέρειας του τροχού που απέχουν από το έδαφος απόσταση
ίση με R, έχει μέτρο:
α. υcm.
β. 2υcm.
γ. 0.
δ. cm2 .
19. Άνθρωπος βρίσκεται πάνω στην επιφάνεια και κοντά στο κέντρο οριζό-
ντιου δίσκου που περιστρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω
1
γύρω από άξονα κά-
θετο στο κέντρο του. Αν ο άνθρωπος μετακινηθεί στην περιφέρεια του δίσκου,
τότε η γωνιακή του ταχύτητα ω
2
θα είναι
α. ω
2
= ω
1
.
β. ω
2
> ω
1
.
γ. ω
2
< ω
1
.
δ. ω
2
= 0.
20. Η μονάδα μέτρησης της στροφορμής στο σύστημα S.I. είναι:
α. 1kg‧
m
s
β. 1kg‧
2
m
s
γ. 1kg∙ 2
m
s
δ. 1J∙s

21. Η περίοδος περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της είναι σταθερή.
Αυτό οφείλεται στο ότι η ελκτική δύναμη που δέχεται η Γη από τον Ήλιο
α. δημιουργεί σταθερή ροπή ως προς τον άξονά της.
β. δημιουργεί μηδενική ροπή ως προς τον άξονά της.
γ. έχει τη διεύθυνση της εφαπτομένης σε ένα σημείο του Ισημερινού της Γης.
δ. έχει τέτοιο μέτρο που δεν επηρεάζει την περιστροφή της Γης.
β. Όταν η συνισταμένη δύναμη που ασκείται σε ένα στερεό σώμα είναι μηδέν,
τότε το σώμα έχει πάντοτε μηδενική γωνιακή επιτάχυνση.
ε. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος είναι ανεξάρτητη από τη θέση
του άξονα περιστροφής του.
23. Μία σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση κινούμενη κατά μήκος κεκλιμένου
επιπέδου (αρχικά ανέρχεται και στη συνέχεια κατέρχεται).
α. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής της ως προς άξονα που διέρχεται
από το κέντρο μάζας της μεταβάλλεται.
β. Η φορά του διανύσματος της στατικής τριβής παραμένει σταθερή.
γ. Η φορά του διανύσματος της γωνιακής επιτάχυνσης μεταβάλλεται.
δ. Η φορά του διανύσματος της γωνιακής ταχύτητας παραμένει σταθερή.
24. Στον παρακάτω πίνακα, στη Στήλη Ι, αναφέρονται διάφορα φυσικά με-
γέθη, ενώ στη Στήλη ΙΙ αναφέρονται μονάδες μέτρησης των μεγεθών στο S.I.
Να γράψετε στο τετράδιό σας τους αριθμούς της Στήλης Ι και ακριβώς δίπλα
σε κάθε αριθμό ένα γράμμα από τη Στήλη ΙΙ, ώστε να δημιουργείται σωστή
αντιστοίχιση. (ένα δεδομένο της Στήλης ΙΙ περισσεύει).
1. Ροπή αδράνειας α. rad/s
2. Στροφορμή β. N.m
3. Γωνιακή ταχύτητα γ. kg.m
2
4. Ροπή δύναμης δ. m/s
2
5. Ένταση ηλεκτρικού πεδίου ε. V/m
στ. kg.m
2
/s
γ. Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν η ο-
λική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.

δ. Η ροπή αδράνειας ενός σώματος σταθερής μάζας έχει πάντα την ίδια τιμή.
27. Η ράβδος του σχήματος είναι αβαρής και οι μάζες m απέχουν εξίσου από
τον άξονα περιστροφής.
Αν η απόσταση των μαζών από τον άξονα περιστροφής υποδιπλασιαστεί, η
ροπή αδράνειας του συστήματος:
α. τετραπλασιάζεται.
β. διπλασιάζεται.
γ. υποδιπλασιάζεται.
δ. υποτετραπλασιάζεται.
α. Τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας  και της γωνιακής επιτάχυνσης
 έχουν πάντα την ίδια κατεύθυνση.
δ. Όταν ο φορέας της δύναμης, η οποία ασκείται σε ένα ελεύθερο στερεό σώ-
μα δεν διέρχεται από το κέντρο μάζας του, τότε το σώμα εκτελεί μόνο μετα-
φορική κίνηση.
30. Η ράβδος του σχήματος έχει μήκος L και μπορεί να στρέφεται γύρω από
άξονα που διέρχεται από το μέσο της Ο και είναι κάθετος σε αυτή.
Η ροπή της δύναμης F ως προς το σημείο Ο έχει μέτρο

α. 0 . β.
L
F
2
. γ.
L
F
2
. δ.
L
F
2
 .
γ. Αν η συνολική εξωτερική ροπή που ασκείται σε ένα σύστημα σωμάτων είναι
ίση με μηδέν, η ολική στροφορμή του συστήματος μεταβάλλεται
β. H ροπή αδράνειας ενός στερεού δεν εξαρτάται από τη θέση του άξονα πε-
ριστροφής του.
ε. Η Γη έχει στροφορμή λόγω της κίνησής της γύρω από τον Ήλιο.
γ. Όταν μια χορεύτρια καλλιτεχνικού πατινάζ, που περιστρέφεται, θέλει να πε-
ριστραφεί γρηγορότερα συμπτύσσει τα χέρια της.
34. Στη στροφική κίνηση το αλγεβρικό άθροισμα των έργων των ροπών των
δυνάμεων, που ασκούνται στο σώμα είναι
α. ίσο με τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας περιστροφής του σώματος.
β. ίσο με τη μεταβολή της στροφορμής του σώματος.
γ. πάντα θετικό.
δ. αντιστρόφως ανάλογο της συνολικής δύναμης που ασκείται στο σώμα.
β. H ροπή αδράνειας εκφράζει στη μεταφορική κίνηση ότι εκφράζει η μάζα
στη στροφική κίνηση.
γ. Η ροπή αδράνειας είναι μονόμετρο μέγεθος και έχει μονάδα μέτρησης στο
S.I. το 1 kg⋅m.

ε. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος δεν εξαρτάται από τον άξονα
περιστροφής του σώματος.
σμένη.
α. Η ροπή αδράνειας είναι διανυσματικό μέγεθος.
γ. Η μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής στο σύστημα
SI είναι το 1 kg m2/s2.
39. Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, με γωνιακή ταχύ-
τητα ω. Αν διπλασιαστεί η γωνιακή του ταχύτητα, τότε η κινητική του ενέργεια
α. μένει η ίδια.
β. διπλασιάζεται.
γ. τετραπλασιάζεται.
δ. οκταπλασιάζεται.
ε. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος είναι διανυσματικό μέγεθος.
41. Για να ισορροπεί ένα στερεό σώμα, αρκεί
α. η συνισταμένη των δυνάμεων που ενεργούν πάνω του να είναι ίση με μη-
δέν.
β. η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων που ενεργούν πάνω του να είναι
ίση με μηδέν.
γ. η συνισταμένη των δυνάμεων και η συνισταμένη των ροπών των δυνάμεων
που ενεργούν πάνω του να είναι ίση με μηδέν.
δ. το έργο του βάρους του να είναι ίσο με μηδέν.
β. Η στροφορμή είναι μονόμετρο μέγεθος.

ε. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο.
44. Η ροπή αδράνειας ενός στερεού σώματος ως προς άξονα περιστροφής
α. είναι διανυσματικό μέγεθος.
β. έχει μονάδα μέτρησης το 1Ν∙m, στο S.I.
γ. δεν εξαρτάται από την θέση του άξονα περιστροφής.
δ. εκφράζει την αδράνεια του σώματος στην περιστροφική κίνηση.
β. Όταν ένας αστέρας συρρικνώνεται λόγω βαρύτητας, η γωνιακή ταχύτητά
του λόγω ιδιοπεριστροφής αυξάνεται.
46. Το μέτρο της στροφορμής L ενός στερεού σώματος που περιστρέφεται
γύρω από άξονα με γωνιακή ταχύτητα ω και ροπή αδράνειας Ι, ως προς τον
ίδιο άξονα περιστροφής, είναι
α. Ι2ω
β. Ιω
γ. Ιω2
δ. I
γ. Η μονάδα της ροπής δύναμης στο SI είναι Nm.
48. Υλικό σημείο μάζας m και ταχύτητας υ κινείται σε περιφέρεια οριζόντιου
κύκλου ακτίνας r, όπως στο σχήμα:

Η στροφορμή του υλικού σημείου ως προς τον άξονα zz΄, ο οποίος διέρχεται
από το κέντρο της κυκλικής τροχιάς και είναι κάθετος στο επίπεδό της
α. είναι μονόμετρο μέγεθος.
β. έχει μέτρο mυr.
γ. είναι διάνυσμα και έχει διεύθυνση κάθετη στον άξονα zz΄.
δ. έχει μονάδα το Kg∙m.
γ. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επι-
πέδου τους.
50. Όταν ένα σώμα εκτελεί ομαλή στροφική κίνηση, τότε η γωνιακή του
α. ταχύτητα αυξάνεται.
β. ταχύτητα μένει σταθερή.
γ. επιτάχυνση αυξάνεται.
δ. επιτάχυνση μειώνεται.
δ. Η ροπή αδράνειας είναι διανυσματικό μέγεθος.
52. Η λεπτή ομογενής ράβδος του σχήματος έχει ροπή αδράνειας Ι1, Ι2, Ι3, Ι4
ως προς τους παράλληλους άξονες ε1, ε2, ε3, ε4 αντίστοιχα, όπως φαίνεται
στο σχήμα.
Η μικρότερη ροπή αδράνειας είναι η
α. Ι1.
β. Ι2.
γ. Ι3.
δ. Ι4.
γ. Το κέντρο μάζας ενός σώματος μπορεί να βρίσκεται και έξω από το σώμα.
δ. Εάν η συνολική εξωτερική ροπή σε ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν, η
ολική στροφορμή του συστήματος αυξάνεται συνεχώς.

β. Όλα τα σημεία ενός σώματος που εκτελούν μεταφορική κίνηση έχουν την
ίδια ταχύτητα.
ε. Αν η συνολική εξωτερική ροπή σ’ ένα σύστημα σωμάτων είναι μηδέν, τότε η
ολική στροφορμή του συστήματος παραμένει σταθερή.
γ. Ο ρυθμός μεταβολής της στροφορμής μετριέται σε
2
m
kg
s
.
δ. Σε στερεό σώμα που εκτελεί στροφική κίνηση και το μέτρο της γωνιακής
του ταχύτητας αυξάνεται, τα διανύσματα της γωνιακής ταχύτητας και της
γωνιακής επιτάχυνσης είναι αντίρροπα.
56. Στερεό σώμα στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από το
κέντρο μάζας του. Η γωνιακή ταχύτητα (ω) μεταβάλλεται με το χρόνο (t), ό-
πως στο σχήμα:
Η συνισταμένη των ροπών που ασκούνται στο σώμα:
α. είναι μηδέν τη χρονική στιγμή t1
β. είναι σταθερή και διάφορη του μηδενός
γ. είναι σταθερή και ίση με το μηδέν
δ. αυξάνεται με το χρόνο.
δ. Η ροπή αδράνειας ως προς άξονα ενός στερεού έχει τη μικρότερη τιμή της,
όταν ο άξονας αυτός διέρχεται από το κέντρο μάζας του στερεού.
ε. Μονάδα μέτρησης του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής είναι και το
1Ν⋅m.

58. Αν έλιωναν οι πολικοί πάγοι και ανέβαινε λίγο η στάθμη της θάλασσας,
τότε
α. η στροφορμή της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της θα αυξηθεί, ενώ
η ροπή αδράνειάς της ως προς τον ίδιο άξονα θα παραμείνει σταθερή.
β. η στροφορμή της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της θα παραμείνει
σταθερή, ενώ η ροπή αδράνειάς της ως προς τον ίδιο άξονα θα αυξηθεί.
γ. η στροφορμή της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της θα παραμείνει
σταθερή, ενώ η ροπή αδράνειάς της ως προς τον ίδιο άξονα θα μειωθεί.
δ. η στροφορμή της Γης ως προς τον άξονα περιστροφής της θα μειωθεί, ενώ
η ροπή αδράνειάς της ως προς τον ίδιο άξονα θα παραμείνει σταθερή.
β. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του επι-
πέδου τους.
σμένη.
δ. Σε στερεό σώμα σφαιρικού σχήματος που στρέφεται με σταθερή γωνιακή
ταχύτητα γύρω από άξονα διερχόμενο από το κέντρο του ισχύει πάντα ΣF=0.
α. Τα υποθετικά στερεά που δεν παραμορφώνονται, όταν τους ασκούνται δυ-
νάμεις, λέγονται μηχανικά στερεά.
ε. Μονάδα μέτρησης στροφορμής στο SI είναι το 1 N∙m∙s.
δ. Σε μια μεταβαλλόμενη στροφική κίνηση στερεού σώματος, τα διανύσματα
της γωνιακής επιτάχυνσης και της γωνιακής ταχύτητας έχουν πάντα την ίδια
διεύθυνση.
ε. Τροχός που κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει έχει κινητική ενέργεια, μόνο
λόγω στροφικής κίνησης.
63. Σε ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις
έτσι ώστε αυτό να εκτελεί μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση. Για τη συ-

νισταμένη των δυνάμεων ΣF που του ασκούνται και για το αλγεβρικό άθροι-
σμα των ροπών Στ ως προς οποιοδήποτε σημείο του, ισχύει:
α) ΣF = 0, Στ = 0
β) ΣF ≠ 0, Στ ≠ 0
γ) ΣF ≠ 0, Στ = 0
δ) ΣF = 0, Στ ≠ 0
σμένη.
ε) Η γη έχει στροφορμή λόγω περιστροφής από τον άξονά της και λόγω περι-
φοράς γύρω από τον ήλιο.
65. Ένα μηχανικό στερεό περιστρέφεται γύρω από ακλόνητο άξονα περι-
στροφής. Αν διπλασιαστεί η στροφορμή του στερεού, χωρίς να αλλάξει θέση ο
άξονας περιστροφής γύρω από τον οποίο στρέφεται, τότε η κινητική του ε-
νέργεια
α. παραμένει σταθερή
β. υποδιπλασιάζεται
γ. διπλασιάζεται
δ. τετραπλασιάζεται.
δ. Η ροπή ζεύγους δυνάμεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σημείο του
επιπέδου που ορίζουν οι δύο δυνάμεις.
ε. Όταν οι ακροβάτες θέλουν να κάνουν πολλές στροφές στον αέρα,
συμπτύσσουν τα χέρια και τα πόδια τους.
67. Κατά τη στροφική κίνηση ενός στερεού γύρω από σταθερό άξονα
α. η διεύθυνση του διανύσματος της στροφορμής του στερεού
μεταβάλλεται
β. όλα τα σημεία του στερεού έχουν την ίδια γραμμική ταχύτητα
γ. κάθε σημείο του στερεού έχει γωνιακή ταχύτητα ανάλογη με την
απόστασή του από τον άξονα περιστροφής
δ. κάθε σημείο του στερεού έχει μέτρο γραμμικής ταχύτητας ανάλογο με
την απόστασή του από τον άξονα περιστροφής.

δ. Η γη έχει στροφορμή μόνο λόγω της κίνησής της γύρω από τον ήλιο.

ΘΕΜΑ 2ο
1. Δίσκος παιδικής χαράς περιστρέφεται
περί κατακόρυφο άξονα κάθετο στο επίπεδό
του διερχόμενο από το κέντρο του δίσκου Ο.
Στο δίσκο δεν ασκείται καμία εξωτερική δύ-
ναμη. Ένα παιδί μετακινείται από σημείο Α
της περιφέρειας του δίσκου στο σημείο Β
πλησιέστερα στο κέντρο του. Τότε ο δίσκος
θα περιστρέφεται:
α. πιο αργά
β. πιο γρήγορα.
2. Καλλιτέχνης του πατινάζ περιστρέφεται γύρω από τον άξονά του, χω-
ρίς τριβές. Στην αρχή ο καλλιτέχνης έχει τα χέρια απλωμένα και στη συνέχεια
τα συμπτύσσει. Ο καλλιτέχνης περιστρέφεται πιο γρήγορα, όταν έχει τα χέρια:
α. απλωμένα
β. συνεπτυγμένα.
3. Να εξηγήσετε γιατί η χρονική διάρκεια της περιστροφής της γης γύρω
από τον εαυτό της παραμένει σταθερή, δηλαδή 24 ώρες.
4. Στερεό σώμα περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα με γωνιακή τα-
χύτητα ω. Αν η ροπή αδράνειας του σώματος ως προς τον άξονα περιστρο-
φής του είναι Ι, να αποδείξετε ότι η κινητική ενέργεια του σώματος λόγω της
στροφικής του κίνησης δίνεται από τη σχέση 21
K I
2
  .
5. Ένα οµογενές σώµα µε κανονικό γεωµετρικό σχήµα κυλίεται, χωρίς να
ολισθαίνει. Η κινητική ενέργεια του σώµατος λόγω της µεταφορικής κίνησης
είναι ίση µε την κινητική του ενέργεια λόγω της στροφικής κίνησης γύρω από
τον άξονα που περνά από το κέντρο µάζας του. Το γεωµετρικό σχήµα του
σώµατος είναι:
α. σφαίρα.
β. λεπτός δακτύλιος.
γ. κύλινδρος.

6. ∆ακτύλιος και δίσκος µε οπή, η µάζα του οποίου είναι οµογενώς
κατανεµηµένη, όπως στο σχήµα, έχουν την ίδια µάζα και την ίδια ακτίνα.
Αν Ι∆Σ και Ι∆Κ οι ροπές αδράνειας του δίσκου και του δακτυλίου αντίστοιχα ως
προς άξονες κάθετους στο επίπεδό τους που διέρχονται από τα κέντρα τους,
τι ισχύει;
α. Ι∆Σ > Ι∆Κ.
β. Ι∆Σ < Ι∆Κ.
γ. Ι∆Σ = Ι∆Κ.
7. Τρεις σφαίρες αµελητέων διαστάσεων που η κάθε µία έχει την ίδια
µάζα m, συνδέονται µεταξύ τους µε ράβδους αµελητέας µάζας και µήκους L,
όπως φαίνεται στο σχήµα.
Το σύστηµα περιστρέφεται σε οριζόντιο επίπεδο γύρω από κατακόρυφο άξονα
που διέρχεται από µία από τις σφαίρες.
Η ροπή αδράνειας του συστήµατος ως προς αυτόν τον άξονα είναι:
α. mL2 β. 2mL2 γ. 3mL2
8. Σώµα ακίνητο αρχίζει τη χρονική στιγµή t=0 να περιστρέφεται γύρω
από σταθερό άξονα µε σταθερή γωνιακή επιτάχυνση. Αν τη χρονική στιγµή t1
η κινητική ενέργεια λόγω της περιστροφής είναι K1 και τη χρονική στιγµή
t2=2t1 είναι Κ2, τότε:
α. Κ2=2Κ1 β. Κ2=4Κ1 γ. Κ2=8Κ1

9. Στο σχήµα φαίνεται σε τοµή το σύστηµα δύο
οµοαξονικών κυλίνδρων µε ακτίνες R
1
, R
2
µε R
1
>R
2
που
µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο
άξονα, ο οποίος συµπίπτει µε τον κατά µήκος άξονα
συµµετρίας των κυλίνδρων. Εξαιτίας των ίσων βαρών w που
κρέµονται από τους δύο κυλίνδρους, πώς θα περιστραφεί
το σύστηµα;
α. σύµφωνα µε τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρο-
λογιού
β. αντίθετα προς τη φορά περιστροφής των δεικτών του ρολογιού.
10. ∆ύο οµογενείς δακτύλιοι Α, Β των οποίων το πάχος είναι αµελητέο σε
σχέση µε την ακτίνα τους, έχουν την ίδια µάζα και ακτίνες RA, RB όπου RA>RB.
Οι δακτύλιοι περιστρέφονται ο καθένας γύρω από άξονα που διέρχεται από το
κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους µε την ίδια γωνιακή ταχύτη-
τα.
Ποιος από τους δύο δακτυλίους έχει µεγαλύτερη κινητική ενέργεια λόγω περι-
στροφής;
11. ∆ύο οµογενείς κυκλικοί δακτύλιοι ∆1 και ∆2 µε ακτίνες R και 2R, κυλίο-
νται σε οριζόντιο επίπεδο µε σταθερές γωνιακές ταχύτητες 3ω και ω, αντί-
στοιχα. Ο λόγος των ταχυτήτων των κέντρων µάζας των δακτυλίων ∆1 και ∆2,
είναι
α. 3/2, β. 1/2, γ. 1.
12. ∆ύο ίδιοι οριζόντιοι κυκλικοί δίσκοι (α) και (β) μπορούν να ολισθαίνουν
πάνω σε οριζόντιο ορθογώνιο τραπέζι Γ∆ΕΖ χωρίς τριβές, όπως στο σχήμα.
Αρχικά οι δύο δίσκοι είναι ακίνητοι και τα κέντρα τους απέχουν ίδια απόστα-
ση από την πλευρά ΕΖ. Ίδιες σταθερές δυ-
νάμεις F με διεύθυνση παράλληλη προς
τις πλευρές ∆Ε και ΓΖ ασκούνται σ’ αυ-
τούς. Στο δίσκο (α) η δύναμη ασκείται πά-
ντα στο σημείο Α του δίσκου. Στο δίσκο
(β) η δύναμη ασκείται πάντα στο σημείο Β
του δίσκου.
Αν ο δίσκος (α) χρειάζεται χρόνο tα για να
φτάσει στην απέναντι πλευρά ΕΖ, ενώ ο

δίσκος (β) χρόνο tβ, τότε:
α. tα > t β β. tα = tβ γ. tα < tβ
13. Υποθέτουμε ότι κλιματολογικές συνθήκες επιβάλλουν την μετανάστευ-
ση του πληθυσμού της Γης προς τις πολικές ζώνες. Η κινητική ενέργεια λόγω
περιστροφής της Γης γύρω από τον άξονά της:
α. θα μείνει σταθερή.
β. θα ελαττωθεί.
γ. θα αυξηθεί.
14. Ομογενής σφαίρα μάζας m και ακτίνας R κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε
οριζόντιο επίπεδο. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας είναι υcm. Η
ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μά-
ζας της είναι Icm= (2/5)mR
2
.
Η ολική κινητική ενέργεια της σφαίρας είναι
α. 2
cm
2
m
5

β. 2
cm
7
m
10

γ. 2
cm
9
m
10

15. Ένας απομονωμένος ομογενής αστέρας σφαιρικού σχήματος ακτίνας R
στρέφεται γύρω από τον εαυτό του (ιδιοπεριστροφή) με συχνότητα fο . O α-
στέρας συρρικνώνεται λόγω βαρύτητας διατηρώντας το σφαιρικό του σχήμα
και την αρχική του μάζα. Σε κάποιο στάδιο της συρρίκνωσής του η νέα συχνό-
τητα ιδιοπεριστροφής του θα είναι
α. μεγαλύτερη από την αρχική συχνότητα fο .
β. μικρότερη από την αρχική συχνότητα fο .
γ. ίση με την αρχική συχνότητα fο.
16. Σε οριζόντιο επίπεδο ο δίσκος του σχήματος με ακτίνα R κυλίεται χωρίς
να ολισθαίνει και η ταχύτητα του κέντρου μάζας του Κ είναι υcm.

H ταχύτητα του σημείου που βρίσκεται στη θέση Β της κατακόρυφης διαμέ-
τρου και απέχει απόσταση R/2 από το Κ θα είναι
α) cm
3
2
 .
β) cm
2
3
 .
γ) cm
5
2
 .
17. Στο σχήμα φαίνεται ένας ομογενής συμπαγής κυκλικός δίσκος (Ι) και ένας
ομογενής συμπαγής κυκλικός δακτύλιος (ΙΙ), που έχουν την ίδια ακτίνα και την
ίδια μάζα.
Κάποια χρονική στιγμή ασκούνται στα σώματα αυτά δυνάμεις ίδιου μέτρου,
εφαπτόμενες στην περιφέρεια. Οι γωνιακές επιταχύνσεις που θα αποκτήσουν
θα είναι:
α. αI = αΙΙ. β. αI < αΙΙ. γ. αI > αΙΙ.
18. Ένας κύλινδρος που είναι αρχικά ακίνητος και μπορεί να περιστραφεί γύ-
ρω από το σταθερό άξονά του δέχεται την επίδραση σταθερής ροπής.
Τη στροφορμή του κυλίνδρου σε συνάρτηση με το χρόνο απεικονίζει το σχήμα

α. Ι.
β. ΙΙ.
γ. ΙΙΙ.
19. Μια λεπτή και ομογενής ράβδος ΑΒ μπορεί να περιστρέφεται είτε γύρω
από τον άξονα x είτε γύρω από τον άξονα y. Οι άξονες αυτοί είναι κάθετοι στη
ράβδο και βρίσκονται εκατέρωθεν του μέσου Ο της ράβδου.
Αν α, β είναι η απόσταση κάθε άξονα από τα άκρα της ράβδου, όπως φαίνε-
ται στο σχήμα, και ισχύει α > β ο λόγος των ροπών αδράνειας της ράβδου Ιx,
Ιy ως προς τους άξονες x,y αντίστοιχα είναι:
α. x
y
I
1
I
 β. x
y
I
1
I
 γ. x
y
I
1
I
 .
20. Η συνολική ροπή των δύο αντίρροπων δυνά-
μεων F1 και F2 του σχήματος, που έχουν ίδιο μέτρο,
είναι
α. μεγαλύτερη ως προς το σημείο Κ.
β. μεγαλύτερη ως προς το σημείο Μ.
γ. ανεξάρτητη του σημείου ως προς το οποίο υπο-
λογίζεται.
21. Ένας κύβος και μία σφαίρα ίδιας μάζας αφήνονται να κινηθούν από το
ίδιο ύψος δύο διαφορετικών κεκλιμένων επιπέδων. Ο κύβος ολισθαίνει χωρίς
τριβές στο ένα και η σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση στο άλλο. Για τις ταχύ-
τητες του κύβου και του κέντρου μάζας της σφαίρας στη βάση των κεκλιμέ-
νων επιπέδων ισχύει ότι
α. μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα του κύβου.
β. μεγαλύτερη είναι η ταχύτητα της σφαίρας.

γ. οι ταχύτητες είναι ίσες.
22. Η ομογενής ράβδος AB του σχήματος μπορεί να περιστρέφεται χωρίς
τριβές γύρω από τον άξονα συμμετρίας (ξ) του σχήματος. Οι δύο σφαίρες Σ1,
Σ2 μάζας m καθεμιά μπορούν να μετακινούνται κατά μήκος της ράβδου. Η
ράβδος ξεκινά να περιστρέφεται
α. πιο εύκολα στη θέση 1.
β. πιο εύκολα στη θέση 2.
γ. το ίδιο εύκολα και στις δύο περιπτώσεις.
23. Σε ένα ακίνητο ρολόι που βρίσκεται σε κανονική λειτουργία, ο λόγος της
στροφορμής του λεπτοδείκτη (L1) προς την στροφορμή του ωροδείκτη (L2), ως
προς τον κοινό άξονα περιστροφής τους, είναι 1
2
L
L
  , όπου λ θετική σταθε-
ρά.
Ο λόγος των κινητικών ενεργειών τους 1
2


αντίστοιχα είναι
α. 6λ. β. 12λ. γ. 24λ .
24. Ο δίσκος του σχήματος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο επίπεδο.
Η ταχύτητα του κέντρου Ο είναι υO. Το σημείο Α βρίσκεται στην περιφέρεια
του δίσκου και το ΑΟ είναι οριζόντιο.

Η ταχύτητα του σημείου Α έχει μέτρο
α. 2    β. 2    γ.    
25. Χορεύτρια στρέφεται, χωρίς τριβές, έχοντας ανοιχτά τα δυο της χέρια με
σταθερή γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω. Η χορεύτρια συμπτύσσοντας τα χέρια
της αυξάνει το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της, σε
5
2
ω. Ο
λόγος της αρχικής προς την τελική ροπή αδράνειας της χορεύτριας, ως προς
τον άξονα περιστροφής της, είναι:
α. 1 β.
5
2
γ.
2
5
26. Στη θέση Α οριζόντιου δίσκου βρίσκεται ένα παιδί και το σύστημα παιδί –
δίσκος περιστρέφεται χωρίς τριβές, με γωνιακή ταχύτητα ω, γύρω από κατα-
κόρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του δίσκου Ο.
Αν το παιδί μετακινηθεί από τη θέση Α στη θέση Β του δίσκου (σχήμα), τότε η
γωνιακή ταχύτητα του δίσκου
α. θα αυξηθεί.
β. θα παραμείνει η ίδια.

γ. θα μειωθεί.
27. Η οριζόντια ράβδος του σχήματος είναι αβαρής, η σημειακή μάζα m1
είναι τετραπλάσια από τη σημειακή μάζα m2, και το μήκος d2 είναι διπλάσιο
από το μήκος d1. Το σύστημα περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κα-
τακόρυφο άξονα z΄z.
Η ροπή αδράνειας της μάζας m1 ως προς τον άξονα z΄z είναι
α. μεγαλύτερη από β. μικρότερη από γ. ίση με
τη ροπή αδράνειας της μάζας m2 ως προς τον ίδιο άξονα.
28. Τροχός αρχικά ακίνητος, αρχίζει (t=0) και περιστρέφεται υπό την επί-
δραση σταθερής ροπής, γύρω από σταθερό άξονα, που διέρχεται από το κέ-
ντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του.
Η κινητική ενέργεια K του τροχού ως συνάρτηση του χρόνου απεικονίζεται
στο σχήμα:
29. Τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από ακλόνητο ορι-
ζόντιο άξονα που περνά από το κέντρο μάζας της. Γύρω από την τροχαλία εί-
ναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα.

Όταν στο ελεύθερο άκρο του νήματος ασκούμε κατακόρυφη δύναμη με φορά
προς τα κάτω μέτρου F, η τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση μέτρου αγων,1
ενώ, όταν κρεμάμε στο ελεύθερο άκρο του νήματος σώμα βάρους w = F η
τροχαλία αποκτά γωνιακή επιτάχυνση αγων,2. Ισχύει:
α. αγων,1 = αγων,2 β. αγων,1 > αγων,2 γ. αγων,1 < αγων,2
30. Μία δοκός κινείται πάνω σε δύο όμοιους κυλίνδρους, όπως φαίνεται στο
σχήμα, χωρίς να ολισθαίνει.
Οι κύλινδροι κυλίονται στο οριζόντιο δάπεδο χωρίς να ολισθαίνουν. Αν η δοκός
μετατοπιστεί κατά 10 cm ο κάθε κύλινδρος θα μετατοπιστεί κατά
α. 10 cm β. 5 cm γ. 20 cm
Να επιλέξετε το γράμμα που αντιστοιχεί στη σωστή τιμή.
31. Ένας δίσκος Δ1 με ροπή αδράνειας Ι1 στρέφεται με γωνιακή ταχύτητα ω1
και φορά περιστροφής όπως φαίνεται στο σχήμα, γύρω από σταθερό κατακό-
ρυφο άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό
του.
Ένας δεύτερος δίσκος Δ2 με ροπή αδράνειας Ι2= 1Ι
4
, που αρχικά είναι ακίνη-
τος, τοποθετείται πάνω στο δίσκο Δ1, ενώ αυτός περιστρέφεται, έτσι ώστε να
έχουν κοινό άξονα περιστροφής, που διέρχεται από τα κέντρα των δύο δί-
σκων, όπως δείχνει το σχήμα.
Μετά από λίγο οι δύο δίσκοι αποκτούν κοινή γωνιακή ταχύτητα ω.

Αν L1 είναι το μέτρο της αρχικής στροφορμής του δίσκου Δ1, τότε το μέτρο
της μεταβολής της στροφορμής του δίσκου Δ1 είναι:
i) 0
ii)
1
1
L
5
iii)
1
2
L
5
32. Στο σχήμα φαίνεται ένας ομογενής συμπαγής κυκλικός δίσκος (1) και έ-
νας συμπαγής κυκλικός δακτύλιος (2), που έχουν την ίδια ακτίνα και την ίδια
μάζα.
Κάποια χρονική στιγμή ασκούνται στα σώματα αυτά δυνάμεις ίδιου μέτρου,
εφαπτόμενες στην περιφέρεια, όπως φαίνεται στο σχήμα και τα σώματα αρχί-
ζουν να κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν στο οριζόντιο επίπεδο.
α) Για τις ροπές αδράνειας Ι1 και Ι2 των σωμάτων (1) και (2) αντίστοιχα,
ισχύει :
i) Ι1 = Ι2 ii) Ι1 < Ι2 iii) Ι1 > Ι2
Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας. (μονάδες 2)
β) Για τις επιταχύνσεις των κέντρων μάζας αcm,1 και αcm,2 των σωμάτων (1)
και (2) αντίστοιχα, ισχύει :
i) αcm,1 = αcm,2 ii) αcm,1 < αcm,2 iii) αcm,1 > αcm,2
33. Οριζόντιος, αρχικά ακίνητος, δίσκος μπορεί να στρέφεται γύρω από στα-
θερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό
του. Το αλγεβρικό άθροισμα των ροπών που ασκούνται στο δίσκο μεταβάλλε-
ται σε συνάρτηση με το χρόνο, όπως φαίνεται στο σχήμα 3.

Τότε, η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει τη μέγιστη τιμή της τη χρονική
στιγμή
i. t1 ii. t2 iii. t3
34. Αθλήτρια του καλλιτεχνικού πατινάζ περιστρέφεται γύρω από κατακόρυ-
φο άξονα που περνάει από το κέντρο μάζας της. Οι εξωτερικές δυνάμεις που
ασκούνται στην αθλήτρια δεν δημιουργούν ροπή ως προς τον άξονα περι-
στροφής της και οι τριβές με τον πάγο είναι αμελητέες. Αν κάποια στιγμή συ-
μπτύξει τα χέρια της, ενώ συνεχίζει να στρέφεται γύρω από τον ίδιο άξονα, η
κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής της αθλήτριας:
i) παραμένει σταθερή ii) μειώνεται iii) αυξάνεται

ΘΕΜΑ 3ο
1. Ομογενής δοκός ΑΒ μήκους L=3m και βάρους w=50Ν ισορροπεί ορι-
ζόντια, στηριζόμενη στο άκρο Α και στο σημείο Γ, που απέχει από το άλλο ά-
κρο Β απόσταση d=0,5m, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
1. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που ασκούν τα στηρίγματα στη δοκό
στα σημεία Α και Γ.
Στο άκρο Β της δοκού τοποθετείται σώμα βάρους w1 και παρατηρούμε
ότι η δύναμη που ασκείται στη δοκό από το στήριγμα στο άκρο Α ελαττώνεται
στο μισό.
2. Να υπολογίστε το βάρος w1 του σώματος.
2. Οριζόντιος οµογενής και συµπαγής δίσκος, µάζας Μ=3Kg και ακτίνας
R=0,2m, µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από κατακόρυφο άξονα
που διέρχεται από το κέντρο του. Τη χρονική στιγµή t=0 ασκούµε στο δίσκο
δύναµη F σταθερού µέτρου 3Ν που εφάπτεται στην περιφέρειά του, οπότε ο
δίσκος αρχίζει να περιστρέφεται. Κάποια χρονική στιγµή ο δίσκος έχει κινητι-
κή ενέργεια K=75J.
α) τη ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του
β) τη γωνιακή επιτάχυνση του δίσκου
γ) τη γωνιακή του ταχύτητα τη χρονική στιγµή
δ) τη ροπή αδράνειας του δίσκου, αν η περιστροφή του γινόταν γύρω από κα-
τακόρυφο άξονα που περνάει από το µέσον µιας ακτίνας του.
Η ροπή αδράνειας του παραπάνω δίσκου, ως προς άξονα που είναι κάθετος
στο επίπεδό του και διέρχεται από το κέντρο του, δίνεται από τη σχέση
Ιcm=1/2MR
2
.
3. Το γιο-γιο του σχήματος αποτελείται από ομογενή συ-
μπαγή κύλινδρο που έχει μάζα m=0,12kg και ακτίνα
R=1,5·10
–2
m
.
. Γύρω από τον κύλινδρο έχει τυλιχτεί νήμα.
Τη χρονική στιγμή t=0 αφήνουμε τον κύλινδρο να πέσει.
Το νήμα ξετυλίγεται και ο κύλινδρος περιστρέφεται γύρω
από νοητό οριζόντιο άξονα x΄x, ο οποίος ταυτίζεται με
τον άξονα συμμετρίας του. Το νήμα σε όλη τη διάρκεια
της κίνησης του κυλίνδρου παραμένει κατακόρυφο και

τεντωμένο και δεν ολισθαίνει στην περιφέρεια του κυλίνδρου. Τη στιγμή που
έχει ξετυλιχτεί νήμα μήκους ℓ=20R, η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυ-
λίνδρου είναι υcm=2m/s.
α. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα πε-
ριστροφής του. (Ο τύπος που μας δίνει τη ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως
προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του, δεν θεωρείται γνωστός).
β. Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του κυ-
λίνδρου, καθώς αυτός κατέρχεται.
γ. Τη χρονική στιγμή που η ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι
υcm=2m/s, το νήμα κόβεται.
Να υπολογίσετε το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξονα
περιστροφής του μετά την πάροδο χρόνου 0,8s από τη στιγμή που κόπηκε το
νήμα.
δ. Να κάνετε σε βαθμολογημένους άξονες το διάγραμμα του μέτρου της
στροφορμής σε συνάρτηση με το χρόνο από τη χρονική στιγμή t=0, μέχρι τη
χρονική στιγμή που αντιστοιχεί σε χρόνο 0,8s από τη στιγμή που κόπηκε το
νήμα.
Δίνεται g=10m/s2
4. Ομογενής δίσκος μάζας m = 40 kg και ακτίνας R = 20 cm στρέφεται με
γωνιακή συχνότητα ω = 5 rad/s γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από
το κέντρο του και είναι κάθετος σ’ αυτόν.
α. Την κινητική ενέργεια του δίσκου λόγω της περιστροφής του.
β. Το μέτρο της αρχικής στροφορμής του δίσκου.
γ. Τη μέση ισχύ της ροπής (σε απόλυτη τιμή) που θα ακινητοποιήσει το δίσκο
σε χρόνο 5 s.
δ. Το μέτρο της σταθερής ροπής που ακινητοποιεί το δίσκο σε χρόνο 5 s.
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του
είναι
2
mR
I
2
 .
5. Η ράβδος ΟΑ του σχήματος με μήκος L = 1 m και μάζα Μ = 6 kg είναι ορι-
ζόντια και περιστρέφεται υπό την επίδραση οριζόντιας δύναμης F που έχει
σταθερό μέτρο και είναι διαρκώς κάθετη στη ράβδο, στο άκρο της Α. Η περι-
στροφή γίνεται γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το
Ο.

Αρχικά η ράβδος είναι ακίνητη. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες. Να υπολογι-
στούν:
α. Η τιμή της δύναμης F, αν γνωρίζουμε ότι το έργο που έχει προσφέρει η δύ-
ναμη στη διάρκεια της πρώτης περιστροφής είναι 30π J.
β. Η γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου.
γ. Ο ρυθμός με τον οποίο η δύναμη μεταφέρει ενέργεια στη ράβδο στο τέλος
της πρώτης περιστροφής.
Δίνονται: 30 9,7 
Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο
μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο 2
cm
1
ML
12
  .
6. Ομογενής και ισοπαχής ράβδος μήκους L=4m και μάζας M=2kg ισορροπεί
οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοί-
χο. Σε σημείο Κ της ράβδου έχει προσδεθεί το ένα άκρο κατακόρυφου αβα-
ρούς νήματος σταθερού μήκους, με το επάνω άκρο του συνδεδεμένο στην
οροφή, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Στο σημείο Γ ισορροπεί ομογενής σφαίρα μάζας m=2,5kg και ακτίνας
r=0,2m.
Δίνονται:
L
4
  ,
3L
4
  .
α. Να υπολογισθεί το μέτρο της δύναμης που ασκεί το νήμα στη ράβδο.

Τη χρονική στιγμή t=0 ασκείται στο κέντρο μάζας της σφαίρας με κατάλληλο
τρόπο, σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F=7N, με φορά προς το άκρο Β. Η
σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
β. Να υπολογισθεί το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας
κατά την κίνησή της.
γ. Να υπολογισθεί το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας
όταν φθάσει στο άκρο Β.
δ. Να υπολογισθεί το μέτρο της στροφορμής της σφαίρας όταν φθάσει στο
άκρο Β.
Δίνονται: η ροπή αδράνειας της σφαίρας μάζας m ως προς το κέντρο μάζας
της 22
mr
5
  και g=10 m/s2.
7. Κυκλική στεφάνη ακτίνας R=0,2m και μάζας m=1Kg κυλίεται χωρίς να ο-
λισθαίνει, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η τα-
χύτητα του κέντρου μάζας Κ είναι
υcm=10m/s. Η ροπή αδράνειας της στε-
φάνης ως προς άξονα που διέρχεται από
το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος
προς το επίπεδό της είναι Ιcm=mR2.
Ο είναι το κατώτατο και A το ανώτατο ση-
μείο της στεφάνης. Η ευθεία ΚΒ είναι πα-
ράλληλη στο δάπεδο.
Γ1. τα μέτρα των ταχυτήτων στα σημεία
Ο, Α και Β της στεφάνης.
Γ2. τη γωνιακή ταχύτητα της στεφάνης.
Γ3. τη ροπή αδράνειας της στεφάνης ως προς το σημείο Ο.
Γ4. την κινητική ενέργεια της στεφάνης.
8. Οριζόντιος ομογενής δίσκος με μάζα Μ = 2 Kg και ακτίνα R = 0,5 m μπο-
ρεί να στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό κατακόρυφο άξονα που
διέρχεται από το κέντρο του.
Ο δίσκος αρχικά είναι ακίνητος. Κάποια στιγμή tο = 0, ασκείται σε σημείο της
περιφέρειας του δίσκου δύναμη σταθερού μέτρου F = 10 N, συνεχώς εφα-
πτόμενη σε αυτόν.

Γ1. Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F από τη στιγμή tο = 0 έως τη στιγμή
που η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου έχει γίνει ω = 8 rad/s.
Γ2. Να υπολογίσετε τη γωνία που έχει διαγράψει ο δίσκος μέχρι εκείνη τη
στιγμή.
Γ3. Να υπολογίσετε την ισχύ της δύναμης F την ίδια στιγμή
Τη στιγμή που η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου είναι ω = 8 rad/s, η δύναμη F
καταργείται και ο δίσκος συνεχίζει να στρέφεται με την ταχύτητα αυτή. Από
κάποιο ύψος αφήνεται να πέσει ένα κομμάτι λάσπης μάζας m = 1 Kg αμελη-
τέων διαστάσεων, που κολλάει στον δίσκο σε σημείο της περιφέρειάς του.
Γ4. Να υπολογίσετε τη νέα γωνιακή ταχύτητα που θα αποκτήσει το σύστημα
δίσκος – λάσπη.
Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι
21
I MR
2
 .
9. Ομογενής και ισοπαχής δοκός (ΟΑ), μάζας
M=6kg και μήκους ℓ=0,3 m, μπορεί να στρέφεται
χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από
οριζόντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο.
Στο άλλο της άκρο Α υπάρχει στερεωμένη μικρή
σφαίρα μάζας
M
m
2
 .
Γ1. Βρείτε την ροπή αδράνειας του συστήματος
δοκού-σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής
του.
Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου
120
F Ν
π
 , που είναι συνεχώς κάθετη στη δοκό, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Γ2. Βρείτε το έργο της δύναμης F κατά την περιστροφή του συστήματος μέχρι
την οριζόντια θέση της.
Γ3. Βρείτε την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος δοκού-σφαίρας στην οριζό-
ντια θέση.
Επαναφέρουμε το σύστημα δοκού-σφαίρας στην αρχική κατακόρυφη θέση
του. Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου F 30 3 N  , που είναι
συνεχώς κάθετη στη δοκό.
Γ4. Βρείτε τη γωνία που σχηματίζει η δοκός με την κατακόρυφο τη στιγμή που
η κινητική της ενέργεια γίνεται μέγιστη.
Δίνονται: g=10m/s2 , ροπή αδράνειας ομογενούς δοκού μάζας Μ και μήκους
ℓ, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος
σε αυτήν 2
cm
1
I M
12
 ,
3
ημ60 συν30
2
    ,
1
ημ30 συν60
2
    .

10. Ομογενής και ισοπαχής δοκός (ΟΑ), μάζας M=6kg και μήκους ℓ=0,3 m,
μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζό-
ντιο άξονα που περνά από το ένα άκρο της Ο.
Στο άλλο της άκρο Α υπάρχει στερεωμένη μι-
κρή σφαίρα μάζας
M
m
2
 .
Γ1. Βρείτε την ροπή αδράνειας του συστήμα-
τος δοκού-σφαίρας ως προς τον άξονα περι-
στροφής του.
Ασκούμε στο άκρο Α δύναμη, σταθερού μέτρου
120
F Ν
π
 , που είναι συνεχώς κάθετη στη δο-
κό, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Γ2. Βρείτε το έργο της δύναμης F κατά την περιστροφή του συστήματος μέχρι
την οριζόντια θέση ΙΙ.
Γ3. Βρείτε την γωνιακή ταχύτητα του συστήματος δοκού-σφαίρας στην οριζό-
ντια θέση ΙΙ.
Η δοκός με τη μικρή σφαίρα αφήνεται ελεύθερη από την οριζόντια θέση της
ΙΙ, χωρίς αρχική γωνιακή ταχύτητα. Φτάνοντας στην κατακόρυφη θέση Ι, συ-
γκρούεται με ακίνητο σφαιρίδιο, μάζας 1
M
m
2
 , που είναι δεμένο στο άκρο
νήματος μήκους ℓ και το άλλο άκρο στερεωμένο στο Ο. Το σύστημα δοκού-
σφαίρας μετά την κρούση παραμένει ακίνητο.
Γ4. Βρείτε την ταχύτητα της σφαίρας μάζας m1 αμέσως μετά την κρούση.
Δίνονται: g=10m/s2 , ροπή αδράνειας ομογενούς δοκού μάζας Μ και μήκους
ℓ, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος
σε αυτήν 2
cm
1
I M
12
 .
11. Συμπαγής ομογενής δίσκος, μάζας Μ= 2 2 kg και ακτίνας R=0,1 m, εί-
ναι προσδεδεμένος σε ιδανικό ελατήριο, σταθεράς k=100 N/m στο σημείο Α
και ισορροπεί πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο, που σχηματίζει γωνία φ=45ο με το
οριζόντιο επίπεδο, όπως στο σχήμα. Το ελατήριο είναι παράλληλο στο κεκλι-
μένο επίπεδο και ο άξονας του ελατηρίου απέχει απόσταση d=
R
2
από το κέ-
ντρο (Ο) του δίσκου. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο ακλόνητα
στο σημείο Γ.

Γ1. Να υπολογίσετε την επιμήκυνση του ελατηρίου.
Γ2. Να υπολογίσετε το μέτρο της στατικής τριβής και να προσδιορίσετε την
κατεύθυνσή της.
Κάποια στιγμή το ελατήριο κόβεται στο σημείο Α και ο δίσκος αμέσως κυλίε-
ται, χωρίς να ολισθαίνει, κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου.
Γ3. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου.
Γ4. Να υπολογίσετε τη στροφορμή του δίσκου ως προς τον άξονα περιστρο-
φής του, όταν το κέντρο μάζας του έχει μετακινηθεί κατά διάστημα s= 0,3 2
m στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου.
Δίνονται: η ροπή αδράνειας ομογενούς συμπαγούς δίσκου ως προς άξονα που
διέρχεται κάθετα από το κέντρο του 2
cm
1
I MR
2
 , η επιτάχυνση της βαρύτη-
τας g=10m/s2, ημ45ο=
2
2
.
12. Μια ομογενής ράβδος ΑΒ που έχει μήκος
ℓ=3 m και μάζα Μ=6 kg έχει στο ένα άκρο της Β
μόνιμα στερεωμένο ένα σώμα μικρών διαστάσεων
μάζας m=1 kg. H ράβδος στηρίζεται με το άλλο
άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο μέσω άρθρω-
σης. Η ράβδος συγκρατείται σε θέση ισορροπίας,
σχηματίζοντας γωνία φ με την κατακόρυφο, με
νήμα το οποίο είναι συνδεδεμένο στον τοίχο και
στο μέσο (Κ) της ράβδου και είναι κάθετο σε αυ-
τή, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Γ1. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου-σώματος ως προς άξονα που
διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετος στη ράβδο.
Γ2. Το μέτρο της τάσης του νήματος.
Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται και η ράβδος μαζί με το σώμα αρχίζει να πε-
ριστρέφεται στο επίπεδο του σχήματος, χωρίς τριβές.
Γ3. Το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου μόλις κοπεί το νήμα.
Γ4. Το μέτρο της ταχύτητας του σημείου Β της ράβδου όταν αυτή γίνει οριζό-
ντια για πρώτη φορά.
Δίνονται: συνφ=0,8 , ημφ=0,6 , η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον
άξονα περιστροφής ΙΑ=
1
3
Μℓ2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2.

ΘΕΜΑ 4ο
1. Δύο ίδιες, λεπτές, ισοπα-
χείς και ομογενείς ράβδοι ΟΑ
και ΟΒ, που έχουν μάζα Μ = 4
Κg και μήκος L = 1,5 m η κα-
θεμία, συγκολλούνται στο ένα
άκρο τους Ο, ώστε να σχηματί-
ζουν ορθή γωνία. Το σύστημα
των δύο ράβδων μπορεί να πε-
ριστρέφεται περί οριζόντιο άξο-
να, κάθετο στο επίπεδο ΑΟΒ,
που διέρχεται από την κορυφή
Ο της ορθής γωνίας. Το σύστη-
μα αρχικά συγκρατείται στη θέ-
ση όπου η ράβδος ΟΑ είναι ορι-
ζόντια (όπως στο σχήμα). Η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς το κέ-
ντρο μάζας της είναι Icm =
1
12
ML2.
A. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς τον άξο-
να περιστροφής που διέρχεται από το Ο.
Β. Από την αρχική του θέση το σύστημα των δύο ράβδων αφήνεται ελεύ-
θερο να περιστραφεί περί τον άξονα περιστροφής στο σημείο Ο, χωρίς
τριβές. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης του συστή-
ματος των δύο ράβδων τη στιγμή της εκκίνησης.
Γ. Τη χρονική στιγμή κατά την οποία οι ράβδοι σχηματίζουν ίσες γωνίες
με την κατακόρυφο Οx, να υπολογίσετε:
α. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας του συστήματος των δύο ράβδων.
β. Το μέτρο της στροφορμής της κάθε ράβδου ως προς τον άξονα περι-
στροφής που διέρχεται από το σημείο Ο.
Δίνονται: g = 10ms-2, ημ45ο = συν45ο =
2
2
= 0,7.
2. Ομογενής άκαμπτη ράβδος ΑΖ έχει μήκος L = 4m, μάζα M = 3kg και
ισορροπεί σε οριζόντια θέση, όπως φαίνεται στο σχήμα. Στο άκρο της Α υπάρ-
χει ακλόνητη άρθρωση γύρω από την οποία η ράβδος μπορεί να περιστρέφε-
ται, χωρίς τριβές, ενώ στο άλλο άκρο της Ζ υπάρχει στερεωμένο σφαιρίδιο
μάζας m1 = 0,6kg και αμελητέων διαστάσεων. Ένα αβαρές τεντωμένο νήμα
ΔΓ συνδέει το σημείο Γ της ράβδου με σφαιρίδιο μάζας m2 = 1kg, το οποίο
είναι στερεωμένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 100
N/m. Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι ακλόνητο. Η απόσταση ΑΓ είναι ίση με
2,8m. Όλη η διάταξη βρίσκεται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο, στο οποίο γίνο-
νται και όλες οι κινήσεις.

Α.1 τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου – σφαιριδίου m1 ως προς
τον οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το σημείο Α και είναι κάθετος
στο επίπεδο της διάταξης
Α.2 το μέτρο της τάσης του νήματος ΔΓ.
Β. Αν κόψουμε το νήμα ΔΓ, το σφαιρίδιο m2 εκτελεί αμείωτη αρμονική τα-
λάντωση, ενώ η ράβδος μαζί με το σώμα m1, υπό την επίδραση της
βαρύτητας, περιστρέφoνται χωρίς τριβές γύρω από το σημείο Α.
Β.1 το χρόνο που χρειάζεται το σφαιρίδιο m2 από τη στιγμή που κόβεται το
νήμα μέχρι τη στιγμή που θα φθάσει στην ψηλότερη θέση του για πρώ-
τη φορά
Β.2 το μέτρο της γραμμικής ταχύτητας του σημείου Ζ, τη στιγμή που η ρά-
βδος περνάει από την κατακόρυφη θέση.
Δίνονται: g = 10ms-2, ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς το κέντρο μά-
ζας της:
Icm =
1
12
ML2, π = 3,14.
3. Συµπαγής και οµογενής σφαίρα µάζας m=10 kg και ακτίνας R=0,1 m
κυλίεται ευθύγραµµα χωρίς ολίσθηση ανερχόµενη κατά µήκος κεκλιµένου ε-
πιπέδου γωνίας φ µε ηµφ=0,56. Τη χρονική στιγµή t=0 το κέντρο µάζας της
σφαίρας έχει ταχύτητα µε µέτρο υο=8m/s. Να υπολογίσετε για τη σφαίρα:
α. το µέτρο της γωνιακής ταχύτητας περιστροφής της τη χρονική στιγµή t=0.
β. το µέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου µάζας της.
γ. το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της στροφορµής κατά τη διάρκεια της κί-
νησής της.
δ. το µέτρο της ταχύτητας του κέντρου µάζας της καθώς ανεβαίνει, τη στιγµή
που έχει διαγράψει
30

περιστροφές.
∆ίνονται: η ροπή αδράνειας της σφαίρας περί άξονα διερχόµενο από το κέ-
ντρο της:
Ι=
2
5
mR2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10m/s2 .
4. Η οµογενής τροχαλία του σχήµατος ακτίνας R = 0,2 m και µάζας Μ =
3 kg µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο άξο-
Α
Δ
m1
m2
Γ Ζ
k

να που περνάει από το κέντρο της Ο και είναι κάθετος
στο επίπεδό της. Σώµα Σ1 µάζας m1 = 1 kg είναι δεµένο
στο ελεύθερο άκρο αβαρούς νήµατος το οποίο είναι
τυλιγµένο στην περιφέρεια της τροχαλίας. Αρχικά το
σύστηµα είναι ακίνητο. Κάτω από το σώµα Σ1 και σε α-
πόσταση h βρίσκεται σώµα Σ2 µάζας m2 = 3 kg το οποίο
ισορροπεί στερεωµένο στη µια άκρη κατακόρυφου ιδανι-
κού ελατηρίου σταθεράς k = 200 N/m η άλλη άκρη του
οποίου είναι στερεωµένη στο έδαφος. Αφήνουµε ελεύ-
θερο το σύστηµα τροχαλίας–σώµατος Σ1 να κινηθεί. Με-
τά από χρόνο t = 1s το σώµα Σ1 συγκρούεται µετωπικά
και πλαστικά µε το σώµα Σ2, ενώ το νήµα κόβεται. Το
συσσωµάτωµα εκτελεί αµείωτη απλή αρµονική ταλάντω-
ση στην κατακόρυφη διεύθυνση. Να υπολογίσετε:
α. το µέτρο της επιτάχυνσης µε την οποία κινείται το
σώµα Σ1 µέχρι την κρούση.
β. την κινητική ενέργεια της τροχαλίας µετά την κρούση.
γ. το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το
συσσωµάτωµα.
δ. το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της ορµής του συσσωµατώµατος, τη
στιγµή που απέχει από τη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης απόσταση x = 0,1
m.
Να θεωρήσετε ότι το νήµα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας.
∆ίνονται: η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής
της: Ι=
1
2
MR2και η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 m/s2 .
5. Ομογενής στερεά ράβδος ΟΑ, μήκους L = 2 m και μάζας Μ = 0,3 kg
μπορεί να περιστρέφεται ελεύθερα (χωρίς τριβές) στο οριζόντιο επίπεδο, περί
κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από το σταθερό σημείο Ο. Στο άκρο Α της
ράβδου στερεώνεται σφαιρίδιο Σ1 μάζας m = 0,1 kg, και το σύστημα ράβδου
και σφαιριδίου Σ1 περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω = 1 rad/s.
Στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο βρίσκεται δεύτερο σφαιρίδιο Σ2, ίσης μάζας με το
Σ1, προσδεμένο στο άκρο αβαρούς ελατηρίου, σταθεράς Κ = 20 Ν/m . Ο άξο-
νας του ελατηρίου είναι οριζόντιος και εφάπτεται της κυκλικής τροχιάς του
σφαιριδίου Σ1 (όπως στο σχήμα). Το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεω-
μένο ακλόνητα. Οι διαστάσεις των σφαιριδίων είναι αμελητέες. Όταν η ταχύ-
τητα

 του σφαιριδίου Σ1 έχει τη διεύθυνση του άξονα του ελατηρίου, το
σφαιρίδιο Σ1 αποκολλάται από τη ράβδο και κινούμενο ευθύγραμμα συγκρού-
εται με το σφαιρίδιο Σ2 με το οποίο ενσωματώνεται.

Να βρείτε:
α. Τη στροφορμή του συστήματος ράβδου-σφαιριδίου Σ1 ως προς τον ά-
ξονα περιστροφής που διέρχεται από το σημείο Ο.
β. Το μέτρο υ της ταχύτητας του σφαιριδίου τη στιγμή που αποκολλάται
από τη ράβδο.
γ. Την περίοδο Τ της ταλάντωσης του συστήματος ελατηρίου-
συσσωματώματος Σ1 και Σ2 .
δ. Το πλάτος της ταλάντωσης αυτής.
(Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον κατακόρυφο άξονα
που διέρχεται από το σημείο Ο, Ιο =
1
3
ΜL2 και π = 3,14).
6. Οµογενής και ισοπαχής ράβδος ΑΓ µε µήκος 1m και βάρος 30Ν ισορ-
ροπεί οριζόντια. Το άκρο Α της ράβδου συνδέεται µε άρθρωση σε κατακόρυ-
φο τοίχο. Το άλλο άκρο της Γ συνδέεται µε τον τοίχο µε αβαρές νήµα ∆Γ που
σχηµατίζει γωνία 30° µε τη ράβδο, όπως φαίνεται στο σχήµα.
Α. Να υπολογίσετε τα µέτρα των δυνάµεων που ασκούνται στη ράβδο από το
νήµα και την άρθρωση.
Β. Κάποια στιγµή κόβουµε το νήµα στο άκρο Γ και η ράβδος αρχίζει να περι-
στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από την άρθρωση σε κατακόρυφο επίπεδο.
1. Το µέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου µόλις κοπεί το νήµα.
2. Το µέτρο του ρυθµού µεταβολής της στροφορµής της ράβδου, τη στιγµή
που αυτή σχηµατίζει γωνία 60° µε την αρχική της θέση.
3. Την κινητική ενέργεια της ράβδου, τη στιγµή που διέρχεται από την κατα-
κόρυφη θέση.
Σ1 Σ2
Ο
υ
Α

∆ίνονται : η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον οριζόντιο άξονα που
διέρχεται από το άκρο της Α και είναι κάθετος σε αυτή είναι ΙΑ=1kg·m2 .
7. Μια ομογενής ράβδος ΑΒ που έχει μήκος ℓ = 1 m και μάζα Μ = 6 kg,
έχει στο άκρο της Β μόνιμα στερεωμένο
ένα σώμα μικρών διαστάσεων με μάζα
m=2kg . Η ράβδος στηρίζεται με το άκρο
της Α μέσω άρθρωσης και αρχικά διατη-
ρείται οριζόντια με τη βοήθεια νήματος, το
ένα άκρο του οποίου είναι δεμένο στο μέ-
σο της ράβδου και το άλλο στον κατακό-
ρυφο τοίχο, όπως στο σχήμα. Η διεύθυνση του νήματος σχηματίζει γωνία φ =
30
ο
με την διεύθυνση της ράβδου στην οριζόντια θέση ισορροπίας.
A. Να υπολογίσετε:
Α.1. Το μέτρο της τάσης του νήματος.
Α.2. Τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδου– σώματος ως προς άξονα
που διέρχεται από το Α και είναι κάθετος στο επίπεδο του σχήματος.
Β. Κάποια στιγμή το νήμα κόβεται και η ράβδος μαζί με το σώμα που είναι
στερεωμένο στο άκρο της, αρχίζει να περιστρέφεται στο επίπεδο του σχήμα-
τος. Θεωρώντας τις τριβές αμελητέες να υπολογίσετε το μέτρο:
Β.1. Της γωνιακής επιτάχυνσης του συστήματος ράβδου-σώματος ως προς
τον άξονα περιστροφής, μόλις κόβεται το νήμα.
Β.2. Της ταχύτητας του σώματος στο άκρο της ράβδου, όταν αυτή φτάνει
στην κατακόρυφη θέση.
∆ίνονται: Για τη ράβδο η ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα που διέρχεται
από το κέντρο μάζας και είναι παράλληλος στον άξονα περιστροφής της:
Icm = (1/12) Mℓ2
.
Η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 .
8. Άκαμπτη ομογενής ράβδος ΑΓ με μήκος ℓ και μάζα Μ=3kg έχει το άκρο
της Α αρθρωμένο και ισορροπεί οριζόντια. Στο άλλο άκρο Γ ασκείται σταθερή
κατακόρυφη δύναμη F μέτρου 9Ν, με φορά προς τα κάτω. Η ράβδος ΑΓ εφά-
πτεται στο σημείο Β με στερεό που αποτελείται από δύο ομοαξονικούς κυλίν-
δρους με ακτίνες R1=0,1m και R2=0,2m, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Η απόσταση του σημείου επαφής Β από το άκρο Γ της ράβδου είναι
4
. To
στερεό μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, σαν ένα σώμα γύρω από στα-
θερό οριζόντιο άξονα που περνάει από το κέντρο του. Ο άξονας περιστροφής

συμπίπτει με τον άξονα συμμετρίας των δύο κυλίνδρων. Η ροπή αδράνειας
του στερεού ως προς τον άξονα περιστροφής είναι Ι=0,09 kgm2. Γύρω από
τον κύλινδρο ακτίνας R1 είναι τυλιγμένο αβαρές και μη εκτατό νήμα στο άκρο
του οποίου κρέμεται σώμα μάζας m=1kg.
α. Να υπολογίσετε την κατακόρυφη δύναμη που δέχεται η ράβδος στο σημείο
Β από το στερεό.
β. Αν το σώμα μάζας m ισορροπεί, να βρείτε το μέτρο της δύναμης της στατι-
κής τριβής μεταξύ της ράβδου και του στερεού.
γ. Στο σημείο επαφής Β μεταξύ ράβδου και στερεού ρίχνουμε ελάχιστη ποσό-
τητα λιπαντικής ουσίας έτσι, ώστε να μηδενιστεί η τριβή χωρίς να επιφέρει
μεταβολή στη ροπή αδράνειας του στερεού. Να υπολογίσετε το μέτρο της τα-
χύτητας του σώματος μάζας m, όταν θα έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,5m.
Να θεωρείσετε ότι το νήμα ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στον εσωτερικό
κύλινδρο.
δ. Να υπολογίσετε το ρυθμό παραγωγής έργου στο στερεό τη χρονική στιγμή
που έχει ξετυλιχθεί νήμα μήκους 0,5m.
∆ίνεται g=10m/s2.
9. Τροχαλία μάζας Μ = 6kg και ακτίνας R=0,25m μπορεί να περιστρέφεται
χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της.
Γύρω από την τροχαλία υπάρχει αβαρές και μη
εκτατό νήμα. Στα άκρα του νήματος υπάρχουν σε
κατακόρυφη θέση τα σώματα Σ1 και Σ2 με μάζες
m1=4kg και m2 =1kg αντίστοιχα. Το σώμα Σ2 είναι
κολλημένο με σώμα Σ3 μάζας m3=1kg, το οποίο
συγκρατείται από κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς
Κ=100 Ν/m. Το σύστημα αρχικά ισορροπεί όπως
Κάποια χρονική στιγμή, την οποία θεωρούμε ως
χρονική στιγμή μηδέν (tο=0), τα σώματα Σ2 και Σ3
αποκολλώνται και το Σ3 εκτελεί απλή αρμονική τα-
λάντωση κατά τη διεύθυνση της κατακορύφου.
α. Να υπολογιστεί το πλάτος της ταλάντωσης του
σώματος Σ3.
β. Να γραφεί η εξίσωση της απομάκρυνσης του
σώματος Σ3 σε συνάρτηση με το χρόνο, θεωρώντας ως θετική φορά, τη φορά
προς τα επάνω.
γ. Να υπολογιστεί η γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας μετά την αποκόλληση
των σωμάτων Σ2 και Σ3.
δ. Να υπολογιστεί ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της τροχαλίας
τη χρονική στιγμή t=0,1 s.
∆ίνονται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από
το κέντρο μάζας της Ι =
1
2
MR2, η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα
είναι αρκετά μεγάλη, ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση και g =10 m/s2 .

10. Ομογενής ράβδος μήκους ℓ=2 m και μάζας Μ=3
kg, είναι αναρτημένη από οριζόντιο άξονα Α, γύρω
από τον οποίο μπορεί να περιστραφεί σε κατακόρυφο
επίπεδο. Στον ίδιο άξονα Α είναι δεμένο αβαρές νήμα
με το ίδιο μήκος ℓ, στο άλλο άκρο του οποίου είναι
δεμένο σφαιρίδιο μάζας m=0,5 kg. Αρχικά το νήμα
είναι τεντωμένο στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και το
σφαιρίδιο βρίσκεται σε ύψος h=0,8 m πάνω από το
κατώτερο σημείο της ράβδου.
Στη συνέχεια το σφαιρίδιο αφήνεται ελεύθερο και
προσκρούει στο άκρο της ράβδου. Μετά την κρούση
το σφαιρίδιο ακινητοποιείται. Οι τριβές θεωρούνται αμελητέες.
Να βρείτε:
A. Την ταχύτητα του σφαιριδίου λίγο πριν την κρούση.
Β. Τη γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση.
Γ.Τη γραμμική ταχύτητα του κέντρου μάζας Κ της ράβδου αμέσως μετά την
κρούση.
Δ. Το ποσό της μηχανικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμική κατά την
κρούση.
Ε. Τη μέγιστη ανύψωση του κέντρου μάζας της ράβδου.
Δίνονται: Η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς οριζόντιο άξονα που διέρχε-
ται από το κέντρο μάζας της: Icm = (1/12) Mℓ2. Η επιτάχυνση της βαρύτητας
g = 10 m/s2 .
11. Ομογενής ράβδος μήκους L=0,3 m και μάζας Μ=1,2 kg μπορεί να περι-
στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από το άκρο
της Α. Αρχικά την κρατούμε σε οριζόντια θέση και στη συνέχεια την αφήνουμε
ελεύθερη. Θεωρούμε την αντίσταση του αέρα αμελητέα.
α. Να βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου ως προς τον άξονα περι-
στροφής τη στιγμή που αφήνεται ελεύθερη.
β. Να βρείτε τη στροφορμή της ράβδου όταν φθάσει σε κατακόρυφη θέση.
Τη στιγμή που η ράβδος φθάνει στην κατακόρυφη θέση το κάτω άκρο της
ράβδου συγκρούεται ακαριαία με ακίνητο σώμα Σ αμελητέων διαστάσεων που
έχει μάζα m=0,4 kg. Μετά την κρούση το σώμα κινείται κατά μήκος κυκλικού
τόξου ακτίνας L, ενώ η ράβδος συνεχίζει να κινείται με την ίδια φορά. Δίνεται
ότι η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση είναι
5

, όπου
ω η γωνιακή ταχύτητά της αμέσως πριν την κρούση.
γ. Να βρείτε την ταχύτητα του σώματος Σ αμέσως μετά την κρούση.

δ. Να βρείτε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μετατράπηκε σε θερμι-
κή ενέργεια κατά την κρούση.
Δίνονται: η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς τον άξονα Α 21
L
3
   και
g=10 m/s2.
12. Στο γιογιό του σχήματος που έχει μάζα Μ=6kg και ακτί-
να R=0,1m, έχει τυλιχτεί πολλές φορές γύρω του λεπτό αβα-
ρές νήμα. Με σταθερό το ένα άκρο του νήματος αφήνουμε
το γιογιό να κατεβαίνει. Όταν αυτό έχει κατέβει κατά
5
h m
3
 αποκτά μεταφορική ταχύτητα υcm=5m/s.
Να βρείτε:
A. Τη μεταφορική επιτάχυνση του κέντρου μάζας του σώμα-
τος.
Β. Τη γωνιακή επιτάχυνση του σώματος και την τάση του
νήματος.
Γ. Το λόγο της στροφικής κινητικής ενέργειας προς τη μεταφορική κινητική
ενέργεια του σώματος, χωρίς να θεωρήσετε γνωστό τον τύπο της ροπής α-
δράνειας του γιογιό.
∆. Τη σχέση που περιγράφει πώς μεταβάλλεται η στροφική κινητική ενέργεια
του σώματος σε συνάρτηση με το χρόνο.
Δίνονται: g = 10 m/s2.
13. Ένας ομογενής και συμπαγής κύλινδρος μάζας Μ = 2 kg και ακτίνας R =
0,2 m αφήνεται να κυλήσει κατά μήκος ενός πλάγιου επιπέδου γωνίας κλίσης
φ, με ημφ = 0,6, όπως φαίνεται στο σχήμα:
Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
α. το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας του κυλίνδρου καθώς αυτός
κυλίεται.
β. το μέτρο της δύναμης της στατικής τριβής που ασκείται στον κύλινδρο από
το πλάγιο επίπεδο.
γ. το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου κατά τον άξονά του, όταν η κατα-
κόρυφη μετατόπιση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου από το σημείο που αυ-
τός αφέθηκε ελεύθερος είναι h1 = 4,8 m.

δ. τo πλήθος των περιστροφών που εκτελεί ο κύλινδρος από τη στιγμή που
αφήνεται ελεύθερος μέχρι τη στιγμή που το κέντρο μάζας του έχει μετατοπι-
στεί κατακόρυφα κατά h2 = 2,4π m.
Δίνονται: Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονά του 21
I MR
2

και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 .
14. Η ομογενής τροχαλία του σχήματος έχει μάζα M = 6 kg
και ακτίνα R=0,3m. Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν αντίστοιχα
μάζες m1 = 5 kg και m2 = 2 kg.
H τροχαλία και τα σώματα Σ1 , Σ2 είναι αρχικά ακίνητα και τα
κέντρα μάζας των Σ1 , Σ2 βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο επίπε-
δο.
Τη χρονική στιγμή t = 0 το σύστημα αφήνεται ελεύθερο να
κινηθεί.
α. το μέτρο της επιτάχυνσης με την οποία θα κινηθούν τα σώματα Σ1 και Σ2.
β. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας.
γ. το μέτρο της στροφορμής της τροχαλίας, ως προς τον άξονα περιστροφής
της, τη χρονική στιγμή t1 = 2 s.
δ. τη χρονική στιγμή t
2
κατά την οποία η κατακόρυφη απόσταση των κέντρων
μάζας των Σ1 , Σ2 θα είναι h = 3 m.
Δίνoνται: Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής
της 21
I MR
2
 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2 .
Σημείωση: Η τριβή ανάμεσα στην τροχαλία και στο νήμα είναι αρκετά μεγάλη,
ώστε να μην παρατηρείται ολίσθηση.
Να θεωρήσετε ότι τα σώματα Σ1 και Σ2 δεν φτάνουν στο έδαφος ούτε συ-
γκρούονται με την τροχαλία.
15. Στερεό Π μάζας Μ=10kg αποτελείται από δύο κολλημένους ομοαξονι-
κούς κυλίνδρους με ακτίνες R και 2R, όπου R = 0,2 m όπως στο σχήμα. Η ρο-
πή αδράνειας του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι I =
MR2 . Το στερεό Π περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο
άξονα Ο΄Ο, που συμπίπτει με τον άξονά του. Το σώμα Σ μάζας m=20 kg κρέ-
μεται από το ελεύθερο άκρο αβαρούς νήματος που είναι τυλιγμένο στον κύ-
λινδρο ακτίνας R. Γύρω από το τμήμα του στερεού Π με ακτίνα 2R είναι τυ-
λιγμένο πολλές φορές νήμα, στο ελεύθερο άκρο Α του οποίου μπορεί να α-
σκείται οριζόντια δύναμη F.

α. Nα βρείτε το μέτρο της αρχικής δύναμης Fο που ασκείται στο ελεύθερο
άκρο Α του νήματος, ώστε το σύστημα που εικονίζεται στο σχήμα να παραμέ-
νει ακίνητο.
Τη χρονική στιγμή to = 0 που το σύστημα του σχήματος είναι ακίνητο, αυξά-
νουμε τη δύναμη ακαριαία έτσι ώστε να γίνει F = 115 N.
β. Να βρείτε την επιτάχυνση του σώματος Σ.
Για την χρονική στιγμή που το σώμα Σ έχει ανέλθει κατά h = 2 m, να βρείτε:
γ. Το μέτρο της στροφορμής του στερεού Π ως προς τον άξονα περιστροφής
του.
δ. Τη μετατόπιση του σημείου Α από την αρχική του θέση.
ε. Το ποσοστό του έργου της δύναμης F που μετατράπηκε σε κινητική ενέρ-
γεια του στερεού Π κατά τη μετατόπιση του σώματος Σ κατά h.
Δίνεται g = 10 m/s2.
To συνολικό μήκος κάθε νήματος παραμένει σταθερό.
16. Στην επιφάνεια ενός ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ = 40 kg και ακτίνας
R = 0,2 m, έχουμε τυλίξει λεπτό σχοινί αμελητέας μάζας, το ελεύθερο άκρο
του οποίου έλκεται με σταθερή δύναμη F παράλληλη προς την επιφάνεια κε-
κλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσεως 30ο, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Το σχοινί ξετυλίγεται χωρίς ολίσθηση, περιστρέφοντας ταυτόχρονα τον κύλιν-
δρο. Ο κύλινδρος κυλίεται πάνω στην επιφάνεια του κεκλιμένου επιπέδου χω-
ρίς ολίσθηση.
α. Να υπολογισθεί το μέτρο της δύναμης F, ώστε ο κύλινδρος να ανεβαίνει
στο κεκλιμένο επίπεδο με σταθερή ταχύτητα.

Αν αρχικά ο κύλινδρος είναι ακίνητος με το κέντρο μάζας του στη θέση Α και
στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού ασκηθεί σταθερή δύναμη F = 130N, όπως
στο σχήμα:
β. Να υπολογισθεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.
γ. Να υπολογισθεί το μέτρο της στροφορμής του κυλίνδρου ως προς τον άξο-
να περιστροφής του όταν το κέντρο μάζας του περνάει από τη θέση Γ του
σχήματος, η οποία βρίσκεται h = 1m ψηλότερα από τη θέση Α.
δ. Να υπολογισθεί το έργο της δύναμης F κατά τη μετακίνηση του κέντρου
μάζας του κυλίνδρου από τη θέση Α στη θέση Γ και να δείξετε ότι αυτό ισού-
ται με τη μεταβολή της μηχανικής ενέργειας του κυλίνδρου κατά τη μετακί-
νηση αυτή.
Δίνονται: επιτάχυνση βαρύτητας g = 10m/s2, ροπή αδράνειας του κυλίνδρου
ως προς τον άξονα περιστροφής του
2
R
2

  , ημ30ο=
1
2
.
17. Ομογενής και συμπαγής κύλινδρος μάζας m = 5kg και ακτίνας R=0,2m
αφήνεται από την ηρεμία (θέση Α) να κυλήσει κατά μήκος πλάγιου επιπέδου,
όπως φαίνεται στο σχήμα.
Ο κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
Τη στιγμή που το κέντρο μάζας του κυλίνδρου έχει κατακόρυφη μετατόπιση h
(θέση Γ), η ταχύτητα του κέντρου μάζας του είναι υcm=8m/s.
α. Τη γωνιακή ταχύτητα ω του κυλίνδρου στη θέση Γ.
β. Τη στροφορμή του κυλίνδρου στη θέση Γ.
γ. Την κατακόρυφη μετατόπιση h.
δ. Τον λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική ενέργεια του
κυλίνδρου σε κάποια χρονική στιγμή, κατά τη διάρκεια της κίνησής του.
Δίνεται: g = 10 m/s2.
Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι
21
I mR
2
 .
18. Θέλουμε να μετρήσουμε πειραματικά την άγνωστη ροπή αδράνειας δί-
σκου μάζας m=2 kg και ακτίνας r=1 m. Για το σκοπό αυτό αφήνουμε τον δί-
σκο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ=30° ξεκινώ-
ντας από την ηρεμία. Διαπιστώνουμε ότι ο δίσκος διανύει την απόσταση x=2
m σε χρόνο t=1 s.

Δ1. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειάς του ως προς τον άξονα που διέρχεται
από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του.
Δ2. Από την κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου αφήνονται να κυλίσουν ταυτό-
χρονα δίσκος και δακτύλιος ίδιας μάζας Μ και ίδιας ακτίνας R. Η ροπή αδρά-
νειας του δίσκου είναι 2
1
1
I MR
2
 και του δακτυλίου Ι2=ΜR2 ως προς τους
άξονες που διέρχονται από τα κέντρα μάζας τους και είναι κάθετοι στα επί-
πεδά τους.
Να υπολογίσετε ποιο από τα σώματα κινείται με τη μεγαλύτερη επιτάχυνση.
Συνδέουμε με κατάλληλο τρόπο τα κέντρα μάζας των δύο στερεών, όπως φαί-
νεται και στο σχήμα, με ράβδο αμελητέας μάζας, η οποία δεν εμποδίζει την
περιστροφή τους και δεν ασκεί τριβές. Το σύστημα κυλίεται στο
κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει.
Δ3. Να υπολογίσετε το λόγο των κινητικών ενεργειών K1/K2 όπου K1 η κινητι-
κή ενέργεια του δίσκου και Κ2 η κινητική ενέργεια του δακτυλίου.
Δ4. Αν η μάζα κάθε στερεού είναι Μ=1,4 kg, να υπολογίσετε τις δυνάμεις που
ασκεί η ράβδος σε κάθε σώμα. Μεταφέρετε το σχήμα στο τετράδιό σας και
σχεδιάστε τις πιο πάνω δυνάμεις.
Δίνεται: g=10 m/s2,
1
30
2
  
19. Λεπτή ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους ℓ και μάζας Μ μπορεί να στρέφεται
γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στη ράβδο χωρίς τριβές, ο οποίος διέρχεται
από το σημείο Ο της ράβδου. Η απόσταση του σημείου Ο από το Α είναι
4
.
Στο άκρο Α της ράβδου στερεώνεται σημειακή μάζα m, όπως φαίνεται στο
σχήμα.
Η ράβδος ισορροπεί σε οριζόντια θέση και δέχεται από τον άξονα δύναμη μέ-
τρου F = 20N.
Δ1. Να υπολογιστούν οι μάζες m και Μ.
Στη συνέχεια τοποθετούμε τον άξονα περιστροφής της ράβδου στο άκρο Γ,
ώστε να παραμένει οριζόντιος και κάθετος στη ράβδο, και αφήνουμε το σύ-
στημα ελεύθερο να περιστραφεί από την οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε:

Δ2. το μήκος ℓ της ράβδου, αν τη στιγμή που αφήνεται ελεύθερη έχει γωνια-
κή επιτάχυνση μέτρου αγων = 3,75rad/s2.
Δ3. το λόγο της κινητικής ενέργειας της μάζας m προς τη συνολική κινητική
ενέργεια του συστήματος, κατά τη διάρκεια της περιστροφής του συστήματος
των δύο σωμάτων.
Δ4. το μέτρο της στροφορμής του συστήματος των δύο σωμάτων, όταν η ρά-
βδος έχει στραφεί κατά γωνία φ ως προς την οριζόντια διεύθυνση τέτοια, ώ-
στε ημφ = 0,3.
Δίνονται: επιτάχυνση βαρύτητας g = 10m/s2, ροπή αδράνειας της ράβδου ως
προς άξονα κάθετο στη ράβδο που διέρχεται από το κέντρο μάζας της
2
cm
1
I M
12
 .
20. Ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους L=1m και μάζας Μ=3kg ισορροπεί οριζό-
ντια, όπως στο σχήμα. Το άκρο Α της ράβδου στηρίζεται με άρθρωση σε κα-
τακόρυφο τοίχο. Το άλλο άκρο Γ συνδέεται με την οροφή με κατακόρυφο
σχοινί.
Κάποια στιγμή κόβουμε το σχοινί και η ράβδος αφήνεται να περιστραφεί γύ-
ρω από την άρθρωση χωρίς τριβές.
Η ροπή αδράνειας της ράβδου, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο
μάζας της και είναι κάθετος σ’ αυτή, είναι:
2
cm
1
I M
12
 και 2
m
g 10
s

Δ.1. τη δύναμη που δέχεται η ράβδος από το σχοινί, όταν αυτή ισορροπεί.
Δ.2. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης τη στιγμή που κόβεται το σχοινί και η
ράβδος είναι οριζόντια.
Δ.3. το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας της ράβδου στην κατακόρυφη θέση
της.
Δ.4. το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής στην κατακόρυφη θέση της.
21. Μια μικρή σφαίρα μάζας m=1kg, ακτίνας r=0,02m και ροπής αδράνειας
ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της 2
cm
2
mr
5
  , αφήνεται
από το σημείο Α που βρίσκεται σε ύψος h=9m πάνω από το οριζόντιο επίπε-
δο, όπως φαίνεται στο σχήμα.

Η σφαίρα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει. Όταν η σφαίρα διέρχεται από το ση-
μείο Β του οδηγού, το οποίο απέχει απόσταση R=2m από το οριζόντιο επίπε-
δο, να υπολογίσετε:
Δ1. τη ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το ση-
μείο Β και είναι παράλληλος προς τον άξονα περιστροφής της.
Δ2. το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας της σφαίρας.
Δ3. το μέτρο της στροφορμής της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής
της.
Δ4. το μέγιστο ύψος στο οποίο θα φθάσει το κέντρο μάζας της σφαίρας, από
το σημείο Β.
Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αμελητέα.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10m/s2
22. Αβαρής ράβδος μήκους 3d (d=1m) μπορεί να στρέφεται γύρω από ορι-
ζόντιο άξονα, που είναι κάθετος σε αυτήν και διέρχεται από το Ο. Στο άκρο Α
που βρίσκεται σε απόσταση 2d από το Ο υπάρχει σημειακή μάζα mA=1 kg και
στο σημείο Γ, που βρίσκεται σε απόσταση d από το Ο έχουμε επίσης σημειακή
μάζα mΓ=6 kg. Στο άλλο άκρο της ράβδου, στο σημείο Β, είναι αναρτημένη
τροχαλία μάζας Μ=4 kg από την οποία κρέμονται οι μάζες m1=2 kg,
m2=m3=1 kg. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται γύρω από άξονα Ο΄.
Δ1. Αποδείξτε ότι το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο στην οριζόντια θέση.
Κόβουμε το Ο΄Β, που συνδέει την τροχαλία με τη ράβδο στο σημείο Β.

Δ2. Βρείτε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει γωνία
30ο με την κατακόρυφο.
Όταν η σημειακή μάζα mA φτάνει στο κατώτατο σημείο, συγκρούεται πλαστι-
κά με ακίνητη σημειακή μάζα m4=5 kg.
Δ3. Βρείτε τη γραμμική ταχύτητα του σημείου Α αμέσως μετά τη κρούση.
Στην αρχική διάταξη, όταν η τροχαλία με τα σώματα είναι δεμένη στο Β, κό-
βουμε το νήμα που συνδέει μεταξύ τους τα σώματα m2 και m3 και αντικαθι-
στούμε την mA με μάζα m.
Δ4. Πόση πρέπει να είναι η μάζα m, ώστε η ράβδος να διατηρήσει την ισορ-
ροπία της κατά τη διάρκεια περιστροφής της τροχαλίας;
Τα νήματα είναι αβαρή, τριβές στους άξονες δεν υπάρχουν και το νήμα δεν
ολισθαίνει στη τροχαλία.
Δίνεται: g=10 m/s2, ημ30°=1/2, ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς ά-
ξονα που διέρχεται από το κέντρο της Ι=MR2/2.
23. Λεία οριζόντια σανίδα μήκους L = 3m και μάζας Μ = 0,4 Kg αρθρώνεται
στο άκρο της Α σε κατακόρυφο τοίχο. Σε απόσταση d = 1m από τον τοίχο, η
σανίδα στηρίζεται ώστε να διατηρείται οριζόντια. Ιδανικό αβαρές ελατήριο
σταθεράς Κ = 100 Ν/m συνδέεται με το ένα άκρο του στον τοίχο και το άλλο
σε σώμα Σ1 μάζας m1 = 1 Kg. Το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος, ο
άξονάς του είναι οριζόντιος και διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος
Σ1.
Το κέντρο μάζας του σώματος Σ1 βρίσκεται σε απόσταση d από τον τοίχο. Στη
συνέχεια, ασκούμε στο σώμα Σ1 σταθερή οριζόντια δύναμη μέτρου F = 40 N
με κατεύθυνση προς το άλλο άκρο Γ της σανίδας. Όταν το σώμα Σ1 διανύσει
απόσταση s = 5 cm, η δύναμη παύει να ασκείται στο σώμα και, στη συνέχεια,
το σώμα εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση.
Δ1. Να υπολογίσετε το πλάτος της απλής αρμονικής ταλάντωσης που θα ε-
κτελέσει το σώμα Σ1.
Δ2. Να εκφράσετε το μέτρο της δύναμης FΑ που δέχεται η σανίδα από τον
τοίχο σε συνάρτηση με την απομάκρυνση του σώματος Σ1 και να σχεδιάσετε
την αντίστοιχη γραφική παράσταση. Για το σχεδιασμό της γραφικής παρά-
στασης να χρησιμοποιηθεί χαρτί μιλιμετρέ.
Κατά μήκος της σανίδας από το άκρο Γ κινείται σώμα Σ2 μάζας m2=1Kg με
ταχύτητα υ2=2 3 m/s. Τα δύο σώματα συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά,
όταν η απομάκρυνση του σώματος Σ1 είναι x1, όπου x1 ≥ 0. Το σώμα Σ1 μετά
την κρούση ταλαντώνεται με το μέγιστο δυνατό πλάτος.
Δ3. Να βρείτε την απομάκρυνση x1.

Δ4. Να βρείτε μετά από πόσο χρονικό διάστημα από τη στιγμή της κρούσης
τα δύο σώματα θα συγκρουστούν για δεύτερη φορά.
Θεωρούμε θετική τη φορά της απομάκρυνσης προς το Γ. Τριβές στην άρθρω-
ση και στο υποστήριγμα δεν υπάρχουν. Δίνεται: επιτάχυνση βαρύτητας g =
10m/s2.
Ίδια άσκηση και στα εσπερινά με αντικατάσταση του Δ4 με το:
Δ4΄. Να βρείτε το πλάτος της νέας ταλάντωσης που θα κάνει το Σ1.
24. Η τροχαλία του σχήματος είναι ομογενής με μάζα m=4 kg και ακτίνα
R=0,5m. Τα σώματα Σ1 και Σ2 έχουν μάζες m1=2 kg και m2=1 kg αντίστοιχα
και βρίσκονται αρχικά ακίνητα στο ίδιο ύψος. Κάποια στιγμή (tο=0) αφήνο-
νται ελεύθερα.
Να βρείτε:
Δ1. Το μέτρο της επιτάχυνσης που θα αποκτήσουν τα σώματα Σ1 και Σ2.
Δ2. Τα μέτρα των τάσεων των νημάτων.
Δ3. Το μέτρο της γωνιακής ταχύτητα της τροχαλίας τη στιγμή t=2 s.
Δ4. Την κινητική ενέργεια του συστήματος, τη στιγμή που το κάθε σώμα έχει
μετατοπιστεί κατά h=3 m.
Δίνεται: g=10m/s2. Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που
διέρχεται από το κέντρο της είναι Ι=
1
2
mR2. Τα νήματα δεν ολισθαίνουν στην
τροχαλία.
25. Ομογενής δίσκος μάζας m=4kg και ακτίνας R=0,1m είναι ακίνητος πάνω
σε πλάγιο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30ο με τον άξονά του οριζόντιο. Γύρω από
το δίσκο είναι τυλιγμένο λεπτό, αβαρές και μη ελαστικό νήμα. Στην ελεύθερη
άκρη του νήματος ασκείται σταθερή δύναμη μέτρου F1 με διεύθυνση παράλ-
ληλη προς την επιφάνεια του πλάγιου επιπέδου και με φορά προς τα πάνω,
όπως φαίνεται στο σχήμα.

Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της στατικής τριβής που δέχεται ο δίσκος από
το πλάγιο επίπεδο.
Αντικαθιστούμε τη δύναμη F1 με δύναμη F2 ίδιας κατεύθυνσης με την F1 και
μέτρου F2=7N, με αποτέλεσμα ο δίσκος να αρχίσει να κυλίεται χωρίς να ολι-
σθαίνει προς τα κάτω. Το νήμα τυλίγεται γύρω από το δίσκο χωρίς να ολισθαί-
νει.
Δ2. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου, καθώς και
τη νέα τιμή της στατικής τριβής.
Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του σημείου εφαρμογής της F2
τη χρονική στιγμή t1 κατά την οποία ο δίσκος έχει αποκτήσει γωνιακή ταχύτη-
τα μέτρου ω1=10 rad/s.
Δ4. Να υπολογίσετε το διάστημα που διάνυσε το κέντρο μάζας του δίσκου
από τη στιγμή που άρχισε να κινείται μέχρι τη χρονική στιγμή t1.
Δίνονται: ημ30ο=
1
2
, η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2 και η ροπή α-
δράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του I=
1
2
mR2.
26. Δίνεται συμπαγής, ομογενής κύλινδρος μάζας Μ και ακτίνας R. Αφήνουμε
τον κύλινδρο να κυλίσει χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με
επιτάχυνση της βαρύτητας g), πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας φ, όπως
φαίνεται στο σχήμα που ακολουθεί:
Δ1. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου.
Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται οριζόντιος.
Δ2. Από το εσωτερικό αυτού του κυλίνδρου, που έχει ύψος h, αφαιρούμε
πλήρως ένα ομοαξονικό κύλινδρο ακτίνας r, όπου r < R, όπως απεικονίζε-
ται στο παρακάτω σχήμα:

Να αποδείξετε ότι η ροπή αδράνειας του κοίλου κυλίνδρου, ως προς τον άξο-
να του, που προκύπτει μετά την αφαίρεση του εσωτερικού κυλινδρικού τμή-
ματος, είναι:
 
  
 
4
2
4κοιλ
r
ΜR 1
R
1
I
2
Στη συνέχεια λιπαίνουμε το κυλινδρικό τμήμα που αφαιρέσαμε και το επανα-
τοποθετούμε στη θέση του, ούτως ώστε να εφαρμόζει απόλυτα με τον κοίλο
κύλινδρο χωρίς τριβές. Το νέο σύστημα που προκύπτει αφήνεται να κυλίσει
χωρίς ολίσθηση, υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση της βαρύ-
τητας g), στο ίδιο κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Δ3. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του συστήματος.
Δ4. Όταν r =
R
2
, να υπολογίσετε, σε κάθε χρονική στιγμή της κύλισης στο
κεκλιμένο επίπεδο, το λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινη-
τική ενέργεια του συστήματος.
Ο άξονας του συστήματος διατηρείται πάντα οριζόντιος.
Δίνονται: Η ροπή αδράνειας Ι συμπαγούς και ομογενούς κυλίνδρου μάζας Μ
και ακτίνας R, ως προς τον άξονα γύρω από τον οποίο στρέφεται:
 2
ΜR
1
I
2
Ο όγκος V ενός συμπαγούς κυλίνδρου ακτίνας R και ύψους h: V=πR2h
Ίδια άσκηση στα εσπερινά με αντικατάσταση των Δ3 και Δ4 με:
Ο κοίλος κύλινδρος που προκύπτει αφήνεται να κυλίσει χωρίς ολίσθηση,
υπό την επίδραση της βαρύτητας (με επιτάχυνση βαρύτητας g), στο ίδιο
κεκλιμένο επίπεδο, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα:
Δ3. Να υπολογίσετε την επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κοίλου κυλίνδρου.
Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται πάντα οριζόντιος.
Δ4. Να υπολογίσετε, σε κάθε χρονική στιγμή της κύλισης στο κεκλιμένο

επίπεδο, το λόγο της μεταφορικής προς την περιστροφική κινητική
ενέργεια του κοίλου κυλίνδρου. Ο άξονας του κυλίνδρου διατηρείται πάντα
οριζόντιος.
27. Μια ισοπαχής δοκός ΑΒ αποτελείται από δύο ομογενή τμήματα ΑΚ και
ΚΒ, μήκους
L
2
το καθένα, με μάζες m1 = 5 m2 και m2 = 0,5 kg, αντίστοιχα.
Τα κομμάτια αυτά είναι κολλημένα μεταξύ τους στο σημείο Κ, ώστε να
σχηματίζουν τη δοκό ΑΒ μήκους L = 1 m.
H δοκός ισορροπεί σε οριζόντια θέση, με το άκρο της Α να στηρίζεται στον
τοίχο μέσω άρθρωσης, ενώ το μέσο της Κ συνδέεται με τον τοίχο με σχοινί
που σχηματίζει γωνία φ = 30° με τη δοκό.
Δ1. Να υπολογίσετε τις δυνάμεις που δέχεται η δοκός από το σχοινί και την
άρθρωση.
Κάποια στιγμή το σχοινί κόβεται και η ράβδος αρχίζει να στρέφεται χωρίς
τριβές γύρω από το άκρο της Α σε κατακόρυφο επίπεδο.
Δ2. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου σε
συνάρτηση με τη γωνία θ, που σχηματίζει αυτή με την αρχική της θέση
(0° ≤ θ < 90°).
Δ3. Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας του άκρου Β΄ της ράβδου (υΒ΄)
σε συνάρτηση με τη γωνία θ.
Τη στιγμή που η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία θ = 30°, συγκρούεται πλα-
στικά με αρχικά ακίνητο σφαιρίδιο αμελητέων διαστάσεων και μάζας m = m2,
το οποίο σφηνώνεται στο μέσο Κ΄ της ράβδου.

Δ4. Να υπολογίσετε το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας κατά την
κρούση.
Δίνονται:
• η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2,
• ροπή αδράνειας ομογενούς και ισοπαχούς ράβδου μάζας m και
μήκους L ως προς άξονα κάθετο στο μέσο της 21
Ι mL
12
 ,
• ο 1
ημ30
2
 , ο 3
συν30
2
 .
Ίδια άσκηση στα εσπερινά με αντικατάσταση των Δ1, Δ2 και Δ3 με:
Δ1. Να υπολογίσετε τη δύναμη που δέχεται η δοκός από το σχοινί.
Κάποια στιγμή το σχοινί κόβεται και η ράβδος αρχίζει να στρέφεται χωρίς
τριβές γύρω από το άκρο της Α σε κατακόρυφο επίπεδο.
Δ2. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση της ράβδου, ακριβώς μετά το κό-
ψιμο του σχοινιού.
Δ3. Να υπολογίσετε την ταχύτητα του άκρου Β’ της ράβδου (υΒ’), τη
στιγμή που η ράβδος έχει στραφεί κατά γωνία θ = 30°.
28. Λεπτή ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους ℓ = 1,5 m και μάζας Μ μπορεί να
στρέφεται χωρίς τριβή γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο σε αυτή, ο οποίος
διέρχεται από σημείο Κ της ράβδου και απέχει από το άκρο Γ απόσταση d = ℓ
/ 6 . Στο άκρο Γ τοποθετούμε σώμα μάζας m = 3,2 kg αμελητέων διαστάσεων
και το σύστημα ισορροπεί με τη ράβδο σε οριζόντια θέση.
Δ1. τη μάζα Μ της ράβδου και το μέτρο της δύναμης που δέχεται η ράβδος
από τον άξονα.
Δ2. τη ροπή αδράνειας του συστήματος ράβδος − σώμα ως προς τον άξονα
περιστροφής.
Απομακρύνουμε το σώμα μάζας m και τη στιγμή t = 0 αφήνουμε τη ράβδο
ελεύθερη να περιστραφεί από την οριζόντια θέση. Να υπολογίσετε:
Δ3. το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της ράβδου τη στιγμή t = 0.
Δ4. το μέτρο της στροφορμής της ράβδου, όταν αυτή σχηματίζει με την αρχι-
κή της οριζόντια θέση γωνία φ ( ημφ = 0,7 ) για πρώτη φορά.
Δίνονται :
• η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο
μάζας της και είναι κάθετος στη ράβδο : 2
cm
1
Ι ML
12
 και
• η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 m/s2

29. Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΓ μήκους
ℓ = 2m και μάζας Μ = 5,6 kg ισορροπεί με τη βοήθεια
οριζόντιου νήματος, μη εκτατού, που συνδέεται στο
μέσο της, όπως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της
ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε κατακόρυφο τοίχο.
Δίνεται: ημφ = 0,6 και συνφ = 0,8
Δ1. Να προσδιορίσετε τη δύναμη F που δέχεται η ρά-
βδος από την άρθρωση.
Μικρή ομογενής σφαίρα, μάζας m = 0,4 kg και ακτίνας
1
r m
70
 κυλίεται χω-
ρίς ολίσθηση, έχοντας εκτοξευθεί κατά μήκος της ράβδου από το σημείο Κ
προς το άκρο Γ.
Δ2. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας κατά την κίνησή της από το
Κ μέχρι το Γ.
Δ3. Με δεδομένο ότι η σφαίρα φτάνει στο άκρο Γ, να βρείτε τη σχέση που πε-
ριγράφει την τάση του νήματος σε συνάρτηση με την απόσταση του σημείου
επαφής της σφαίρας με τη ράβδο, από το σημείο Κ.
Αφού η σφαίρα έχει εγκαταλείψει τη ράβδο, κόβουμε το νήμα. Η ράβδος
στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος
διέρχεται από το άκρο της Α, χωρίς τριβές.
Δ4. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ρά-
βδου στη θέση στην οποία η ράβδος σχηματίζει γωνία φ με την κατακόρυφο
που διέρχεται από το άκρο Α, όπως στο παρακάτω
σχήμα.
Δεύτερη λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος ΑΔ,
μήκους ℓ΄ = ℓ και μάζας Μ΄ = 3 Μ είναι αρθρω-
μένη και αυτή στο σημείο Α γύρω από τον ίδιο άξο-
να περιστροφής με την ράβδο ΑΓ. Η ράβδος ΑΔ
συγκρατείται ακίνητη, με κατάλληλο μηχανισμό, σε
θέση όπου σχηματίζει γωνία φ με τον κατακόρυφο
τοίχο όπως στο σχήμα. Οι δύο ράβδοι συγκρούο-
νται και ταυτόχρονα ο μηχανισμός ελευθερώνει τη
ράβδο ΑΔ, χωρίς απώλεια ενέργειας. Οι ράβδοι με-
τά την κρούση κινούνται σαν ένα σώμα, χωρίς τρι-
βές. Ο χρόνος της κρούσης θεωρείται αμελητέος.
Δ5. Να υπολογίσετε το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του
συστήματος κατά την κρούση.
Όλες οι κινήσεις πραγματοποιούνται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο.
Δίνονται :
• Η ροπή αδράνειας Ιρ λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους ℓ, ως
προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος σε αυτή:
2
ρ
1
Ι Μ
3


• Η ροπή αδράνειας Ισϕ ομογενούς σφαίρας μάζας m και ακτίνας r ως προς
άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της : 2
σφ
2
I mr
5

• g = 10 m/s2
30. Λεπτή, άκαμπτη και ισοπαχής ράβδος ΑΒ μήκους ℓ = 1 m και μάζας Μ =
3 kg, μπορεί να στρέφεται χωρίς τριβές σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από
οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σημείο Ο αυτής, είναι κάθετος στη ράβδο
και απέχει από το άκρο της Β απόσταση
OB=d=
4
.
Στο μέσο Κ της ράβδου και στο άκρο της Α
στερεώνουμε δύο σφαιρίδια μάζας m1 και m2
αντίστοιχα, όπου m1 = m2 = 1 kg. Δίνοντας
κατάλληλη ώθηση το σύστημα περιστρέφεται
και χτυπά σε κατακόρυφο τοίχο με το άκρο Α,
τη στιγμή που η ράβδος σχηματίζει με το ορι-
ζόντιο επίπεδο γωνία θ, τέτοια ώστε ημθ =
0,83 (σχήμα 6).
Δ1. Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας του
συστήματος ράβδου-σφαιριδίων ως προς τον άξονα περιστροφής.
Δ2. Να υπολογίσετε το μέτρο της γωνιακής ταχύτητας ω2 του συστήματος
ράβδου-σφαιριδίων αμέσως μετά την κρούση, ώστε αυτό να εκτελέσει οριακά
ανακύκλωση.
Δ3. Κατά την κρούση με τον τοίχο, το ποσοστό απωλειών της κινητικής ενέρ-
γειας είναι το 75% της κινητικής ενέργειας του συστήματος ράβδου-
σφαιριδίων πριν την κρούση. Να υπολογίσετε τη μεταβολή της στροφορμής
του συστήματος ως προς τον άξονα περιστροφής του κατά την κρούση.
Δ4. Όταν το σύστημα ράβδου-σφαιριδίων
περνά από την οριζόντια θέση για πρώτη
φορά, να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού
μεταβολής της στροφορμής του σφαιριδίου
m2 ως προς τον άξονα που διέρχεται από το
σημείο Ο (σχήμα 7).
Δίνονται:
• επιτάχυνση βαρύτητας g = 10 m/s2,
• ροπή αδράνειας Icm λεπτής ομογενούς
ράβδου μάζας Μ και μήκους ℓ, ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο
μάζας της και είναι κάθετος σε αυτή 2
cm
1
Ι M
12
  
Ίδια άσκηση στα εσπερινά με αντικατάσταση του Δ4 με:
Δ4. Όταν το σύστημα ράβδου-σφαιριδίων περνά από την οριζόντια θέση για
πρώτη φορά να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήματος (σχήμα
7).

31. Δύο συγκολλημένοι ομοαξονικοί κύλινδροι με ακτίνες R1 και R2=2R1 απο-
τελούν το στερεό Π του σχήματος. Το στερεό έχει μάζα Μ=25kg, ροπή αδρά-
νειας ως προς τον άξονα περιστροφής του Ι=1kg.m2 και R1=0,2m. Το στερεό
μπορεί να στρέφεται γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα που συμπίπτει με τον
άξονά του, χωρίς τριβές. Το σώμα Σ μάζας m = 50 kg κρέμεται από το ελεύ-
θερο άκρο αβαρούς και μη εκτατού νήματος που είναι τυλιγμένο πολλές φο-
ρές στον κύλινδρο ακτίνας R1. Με τη βοήθεια οριζόντιου ελατηρίου το σύστη-
μα ισορροπεί όπως στο Σχήμα 3.
Δ1. Να υπολογίσετε το μέτρο της δύναμης του ελατηρίου.
Δ2. Να υπολογίσετε τη δύναμη F (μέτρο, κατεύθυνση) που ασκεί ο άξονας στο
στερεό.
Τη χρονική στιγμή to=0 κόβεται το ελατήριο στο σημείο Α και το στερεό αρχί-
ζει να στρέφεται.
Δ3. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του στερεού.
Δ4. Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του στερεού
την χρονική στιγμή t = 0,9 s.
Δίνεται ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s2 .

κεφάλαιο
κρούσεις – φαινόμενο Doppler

ΚΡΟΥΣΕΙΣ – ΦΑΙΝΟΜΕΝΟ DOPPLER
Α ομάδας
1. Σώμα μάζας m1 κινείται με ταχύτητα υ1 και συγκρούεται κεντρικά και ελα-
στικά με σώμα μάζας m2 που κινείται με ταχύτητα υ2 ίδιας φοράς με τη υ1.
Αποδείξτε τις σχέσεις που προσδιορίζουν τις ταχύτητες υ1΄ και υ2΄ των σω-
μάτων m1 και m2 αντίστοιχα μετά την κρούση.
2. Δύο σώματα ίσης μάζας που κινούνται με ταχύτητες ίδιας φοράς υ1 και υ2
συγκρούονται κεντρικά και ελαστικά. Αποδείξτε τις σχέσεις που προσδιορί-
ζουν τις ταχύτητες υ1΄ και υ2΄ των σωμάτων μετά την κρούση.
3. Να αποδείξετε ότι στην περίπτωση που μια σφαίρα συγκρούεται ελαστικά
και πλάγια με ένα τοίχο:
α) η σφαίρα ανακλάται με ταχύτητα ίσου μέτρου,
β) η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης.
4. Ποια σχέση προσδιορίζει τη συχνότητα fA που αντιλαμβάνεται κινούμενος
παρατηρητής με ταχύτητα υΑ ως προς ακίνητη πηγή που εκπέμπει ήχο συ-
χνότητας fS, αν απομακρύνεται από την ηχητική πηγή; Αποδείξτε τη σχέση.
Ποια η μορφή της σχέσης όταν ο παρατηρητής πλησιάζει την ηχητική πηγή;
5. Ποια σχέση προσδιορίζει τη συχνότητα fA που αντιλαμβάνεται ακίνητος πα-
ρατηρητής, από πηγή που εκπέμπει ήχο συχνότητας fS και κινείται με ταχύ-
τητα υs απομακρυνόμενη από τον παρατηρητή; Αποδείξτε τη σχέση. Ποια η
μορφή της σχέσης αν η πηγή πλησιάζει τον παρατηρητή;
Β ομάδας
6. Σώμα μάζας m1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας
m2. Ποιος θα πρέπει να είναι ο λόγος 1
2
m
m
, ώστε το πρώτο σώμα να χάσει
το 75% της κινητικής του ενέργειας κατά την κρούση.

7. Μικρό σώμα μάζας m κινείται με κινητική ενέργεια Κ και συγκρούεται κε-
ντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα τριπλάσιας μάζας, δημιουργώντας
συσσωμάτωμα. Η απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος των
δύο σωμάτων κατά τη διάρκεια της κρούσης είναι:
α. Κ/2, β. 3Κ/4, γ.Κ/3, δ.Κ/4
8. Σώμα μάζας m κινείται έχοντας σταθερή ταχύτητα υ και συγκρούεται με
κατακόρυφο τοίχο, ελαστικά υπό γωνία 45°. Να αποδείξετε ότι η μεταβολή
στην ορμή του σώματος θα είναι P m 2   .
9. Σώμα (1) που φέρει πηγή ήχου συχνότητας fs, κινείται ευθύγραμμα με στα-
θερή κατά μέτρο ταχύτητα υs, ίση με το ένα τέταρτο της ταχύτητας του
ήχου. Σώμα (2) που φέρει δέκτη ακουστικών συχνοτήτων, τη χρονική στιγ-
μή to=0, ξεκινά να κινείται στην ευθεία που κινείται και το πρώτο σώμα με
σταθερή επιτάχυνση α, επιδιώκοντας να φτάσει το σώμα (1).
α) Να κατασκευάσετε ποιοτικά το διάγραμμα της συχνότητας που αντι-
λαμβάνεται ο δέκτης συναρτήσει του χρόνου από τη χρονική στιγμή μηδέν
μέχρι τη χρονική στιγμή t1 που θα αντιληφθεί την πραγματική συχνότητα
της πηγής.
β) Να αποδείξετε ότι μέχρι τη χρονική στιγμή t1 το σώμα (1) θα έχει διανύ-
σει διπλάσια απόσταση από το σώμα (2).
Δεχθείτε ως δεδομένα τη συχνότητα της πηγής fs, την ταχύτητα του ήχου
υ, και την επιτάχυνση του δεύτερου σώματος α.
10. Ένα σώμα μά-
ζας m = 0,01 kg
είναι δεμένο στην
ελεύθερη άκρη ο-
ριζόντιου ελατηρί-
ου σταθεράς k =
1600 N/m και εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α. Πάνω στο
σώμα είναι προσαρμοσμένη πηγή ηχητικών κυμάτων. Στο ίδιο οριζόντιο ε-
πίπεδο με την πηγή και πάνω στη διεύθυνση ταλάντωσης του σώματος βρί-
σκεται ανιχνευτής ηχητικών κυμάτων, στερεωμένος σε κατάλληλη θέση,
ώστε να μην επηρεάζει την ταλάντωση του σώματος. Ο λόγος της ελάχιστης
συχνότητας fmin προς τη μέγιστη συχνότητα fmax που μετρά ο ανιχνευτής εί-
ναι min
max
f 1
f 3
 . Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι υηχ = 340 m/s, να
υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης Α του σώματος. Θεωρήστε ότι η ταλά-
ντωση του σώματος είναι αμείωτη (δεν επηρεάζεται από την παρουσία του
αέρα).

11. Κατά τη διάρκεια της κρούσης η ορμή του μονωμένου συστήματος των
σωμάτων παραμένει σταθερή.
12. Στην ανελαστική κρούση δεν διατηρείται η κινητική ενέργεια του συ-
στήματος των σωμάτων που συμμετέχουν στην κρούση.
13. Στην κεντρική ανελαστική κρούση δύο σωμάτων με την ίδια μάζα τα
σώματα ανταλλάσσουν ταχύτητες.
14. Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας.
15. Σε κεντρική κρούση δύο σφαιρών οι ταχύτητες των σωμάτων πριν και
μετά την κρούση έχουν την ίδια φορά.
16. Κατά την ελαστική κρούση δύο σφαιρών η ορμή της κάθε σφαίρας δια-
τηρείται.
17. Κατά την ανελαστική κρούση δύο σωμάτων η μηχανική ενέργεια της
κάθε σφαίρας μειώνεται.

ΘΕΜΑ 1ο
α. Έκκεντρη ονοµάζεται η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων
µάζας των σωµάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες.
2. Παρατηρητής πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα UA ακίνητη ηχητική πηγή
και αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας fA. Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα εί-
ναι υ, τότε η συχνότητα fS του ήχου που εκπέμπει η πηγή είναι ίση με:
α. Af


 
β. Af


  
γ. Af 

δ. Af 

α. Η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων
που συγκρούονται είναι παράλληλες ονομάζεται ............
4. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα
σε κάθεγράµµα τη λέξη Σωστό για τη σωστή πρόταση και τη λέξη Λάθος για
τη λανθασµένη.
α. Το φαινόµενο Doppler ισχύει και στην περίπτωση των ηλεκτροµαγνητικών
κυµάτων.
5. Σε κάθε κρούση ισχύει
α. η αρχή διατήρησης της μηχανικής ενέργειας.
β. η αρχή διατήρησης της ορμής.
γ. η αρχή διατήρησης του ηλεκτρικού φορτίου.
δ. όλες οι παραπάνω αρχές.
α. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων η μηχανική ενέργεια του συστή-
ματος παραμένει σταθερή.

δ. Ένας παρατηρητής ακούει ήχο με συχνότητα ........... από τη συχνότητα
μιας πηγής, όταν η μεταξύ τους απόσταση ελαττώνεται.
7. Για κάθε µια από τις επόµενες προτάσεις να µεταφέρετε στο τετράδιό
σας το γράµµα της και δίπλα να γράψετε την ένδειξη (Σ), αν αυτή είναι Σω-
στή, ή (Λ), αν αυτή είναι Λανθασµένη.
α. Όταν µια σφαίρα προσκρούει ελαστικά σε ένα τοίχο, τότε πάντα ισχύει
'

 = -

 (

 η ταχύτητα της σφαίρας πριν την κρούση, '

 η ταχύτητα της
σφαίρας µετά την κρούση).
β. Κατά τη πλαστική κρούση δύο σωµάτων πάντα p


= ά
p
ισχύει ( p


η
ορµή του συστήµατος πριν την κρούση, ά
p
η ορµή του συστήµατος µετά την
κρούση).
γ. Κατά την κρούση δύο σωµάτων η κινητική ενέργεια του συστήµατος πάντα
διατηρείται.
δ. Σώµα Α συγκρούεται ελαστικά και κεντρικά µε ακίνητο αρχικά σώµα Β που
έχει την ίδια µάζα µε το Α. Τότε η ταχύτητα του Α µετά την κρούση
µηδενίζεται.
ε. Έκκεντρη ονοµάζεται η κρούση αν οι ταχύτητες των σωµάτων βρίσκονται
σε τυχαία διεύθυνση.
8. Κατά την κεντρική ανελαστική κρούση δύο σφαιρών (οι οποίες κατά τη
διάρκεια της κρούσης αποτελούν µονωµένο σύστηµα), διατηρείται σταθερή :
α. η κινητική ενέργεια κάθε σφαίρας
β. η κινητική ενέργεια του συστήµατος των δύο σφαιρών
γ. η ορµή κάθε σφαίρας
δ. η ορµή του συστήµατος των δύο σφαιρών
9. Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό σας τις προτάσεις που ακολουθούν,
µε το γράµµα Σ, αν είναι σωστές και µε το γράµµα Λ, αν είναι λανθασµένες.
γ. Καθώς παρατηρητής πλησιάζει ακίνητη ηχητική πηγή, αντιλαµβάνεται ήχο
του οποίου η συχνότητα είναι µεγαλύτερη από αυτήν που παράγει η πηγή.
γ. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαµβάνεται ένας ακίνητος παρατηρητής,
καθώς µια ηχητική πηγή πλησιάζει ισοταχώς προς αυτόν, είναι µεγαλύτερη
από τη συχνότητα του ήχου που εκπέµπει η πηγή.
11. Μια κρούση λέγεται πλάγια όταν:

α. δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ορμής.
β. δεν ικανοποιεί την αρχή διατήρησης της ενέργειας.
γ. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση έχουν
τυχαία διεύθυνση.
δ. οι ταχύτητες των κέντρων μάζας των σωμάτων πριν από την κρούση είναι
παράλληλες.
ε. Σε κάθε κρούση ισχύει η αρχή διατήρησης της ενέργειας.
α. Το φαινόμενο Doppler χρησιμοποιείται από τους γιατρούς, για να παρακο-
λουθούν τη ροή του αίματος.
β. Στις ανελαστικές κρούσεις δεν διατηρείται η ορμή.
14. Ηχητική πηγή και παρατηρητής βρίσκονται σε σχετική κίνηση. Ο παρατη-
ρητής ακούει ήχο μεγαλύτερης συχνότητας από αυτόν που παράγει η πηγή,
μόνο όταν
α. η πηγή είναι ακίνητη και ο παρατηρητής απομακρύνεται από αυτήν.
β. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και η πηγή απομακρύνεται από αυτόν.
γ. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται με ομόρροπες ταχύτητες, με τον πα-
ρατηρητή να προπορεύεται και να έχει κατά μέτρο μεγαλύτερη ταχύτητα από
αυτήν της πηγής.
δ. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται με ομόρροπες ταχύτητες, με την πηγή
να προπορεύεται και να έχει κατά μέτρο ταχύτητα μικρότερη από αυτήν του
παρατηρητή.
δ. Η σχέση που περιγράφει το φαινόμενο Doppler για το φως είναι διαφορετι-
κή από αυτή που ισχύει για τον ήχο.
ε. Κρούση στο μικρόκοσμο ονομάζεται το φαινόμενο στο οποίο τα «συγκρουό-
μενα» σωματίδια αλληλεπιδρούν με σχετικά μεγάλες δυνάμεις για πολύ μικρό
χρονικό διάστημα.
16. Σε μια κρούση δύο σφαιρών

α. το άθροισμα των κινητικών ενεργειών των σφαιρών πριν από την κρούση
είναι πάντα ίσο με το άθροισμα των κινητικών ενεργειών τους μετά από την
κρούση.
β. οι διευθύνσεις των ταχυτήτων των σφαιρών πριν και μετά από την κρούση
βρίσκονται πάντα στην ίδια ευθεία.
γ. το άθροισμα των ορμών των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα ίσο
με το άθροισμα των ορμών τους μετά από την κρούση.
δ. το άθροισμα των ταχυτήτων των σφαιρών πριν από την κρούση είναι πάντα
ίσο με το άθροισμα των ταχυτήτων τους μετά από την κρούση.
β. Το φαινόμενο Doppler εμφανίζεται στα μηχανικά κύματα και όχι στα ηλε-
κτρομαγνητικά.
18. Σε μια ελαστική κρούση δεν διατηρείται
α. η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος.
β. η ορμή του συστήματος.
γ. η μηχανική ενέργεια του συστήματος.
δ. η κινητική ενέργεια κάθε σώματος.
δ. Όταν μια σφαίρα μικρής μάζας προσκρούει ελαστικά και κάθετα στην επι-
φάνεια ενός τοίχου, ανακλάται με ταχύτητα ίδιου μέτρου και αντίθετης φο-
ράς από αυτή που είχε πριν από την κρούση.
20. Σώμα μάζας m κινείται οριζόντια με ταχύτητα μέτρου υ. Στην πορεία συ-
γκρούεται μετωπικά με άλλο σώμα και επιστρέφει κινούμενο με ταχύτητα μέ-
τρου 2υ. Το μέτρο της μεταβολής της ορμής του είναι:
α. 0. β. mυ. γ. 2mυ. δ. 3mυ.
21. Δεν έχουμε φαινόμενο Doppler όταν:
α. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και απομακρύνεται η πηγή.
β. ο παρατηρητής και η πηγή κινούνται προς την ίδια κατεύθυνση με την ίδια
ταχύτητα.
γ. ο παρατηρητής είναι ακίνητος και πλησιάζει η πηγή.
δ. η πηγή είναι ακίνητη και πλησιάζει ο παρατηρητής.

22. Μια ανελαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων χαρακτηρίζεται ως πλαστι-
κή όταν,
α. η ορμή του συστήματος δεν διατηρείται.
β. τα σώματα μετά την κρούση κινούνται χωριστά.
γ. η ολική κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται.
δ. οδηγεί στη συγκόλληση των σωμάτων, δηλαδή στη δημιουργία συσσωματώ-
ματος.
23. Ένας παρατηρητής βρίσκεται ακίνητος στην αποβάθρα ενός σταθμού την
ώρα που πλησιάζει ένα τρένο, το οποίο κινείται με σταθερή ταχύτητα. Η σει-
ρήνα του τρένου εκπέμπει ήχο συχνότητας fS. Η συχνότητα του ήχου που α-
ντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι
α. ίση με τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός του τρέ-
νου.
β. μεγαλύτερη από τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδη-
γός του τρένου.
γ. μικρότερη από τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός
του τρένου.
δ. ίση με τη συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η σειρήνα του τρένου.
ε. Μικρή σφαίρα, που κινείται ευθύγραμμα και ομαλά σε οριζόντιο επίπεδο,
συγκρούεται ελαστικά και πλάγια με κατακόρυφο τοίχο. Στην περίπτωση αυτή
η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης.
25. Η κρούση στην οποία διατηρείται η κινητική ενέργεια του συστήματος
των συγκρουόμενων σωμάτων, ονομάζεται:
α. ελαστική
β. ανελαστική
γ. πλαστική
δ. έκκεντρη
26. Σε μια ελαστική κρούση δύο σωμάτων
α. ένα μέρος της κινητικής ενέργειας μετατρέπεται σε θερμική.
β. η ορμή κάθε σώματος παραμένει σταθερή.
γ. η κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.
δ. η κινητική ενέργεια του συστήματος ελαττώνεται.
27. Σε κάθε κρούση
α. η συνολική ορμή του συστήματος των συγκρουόμενων σωμάτων διατηρεί-
ται.

β. η συνολική κινητική ενέργεια του συστήματος παραμένει σταθερή.
γ. η μηχανική ενέργεια κάθε σώματος παραμένει σταθερή.
δ. η ορμή κάθε σώματος διατηρείται σταθερή.
γ. Η συχνότητα του ήχου της σειρήνας του τρένου, την οποία αντιλαμβάνεται
ο μηχανοδηγός, είναι σε όλη τη διάρκεια της κίνησης σταθερή.
29. Παρατηρητής Α κινείται με σταθερή ταχύτητα υ
A
προς ακίνητη πηγή ή-
χου S, όπως φαίνεται στο σχήμα, αρχικά πλησιάζοντας και στη συνέχεια απο-
μακρυνόμενος απ’ αυτή.
Ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο με συχνότητα που είναι:
α. συνεχώς μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πηγής.
β. συνεχώς μικρότερη από τη συχνότητα της πηγής.
γ. αρχικά μεγαλύτερη και στη συνέχεια μικρότερη από τη συχνότητα της πη-
γής.
δ. αρχικά μικρότερη και στη συνέχεια μεγαλύτερη από τη συχνότητα της πη-
γής.
ε. Μία ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι η πλαστική κρούση.
β. Όταν ένας παρατηρητής πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα μια ακίνητη ηχη-
τική πηγή, τότε ακούει ήχο μικρότερης συχνότητας (βαρύτερο) από αυτόν
που παράγει η πηγή.
32. Η ανελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών:
α. είναι πάντα μη κεντρική.
β. είναι πάντα πλαστική.
γ. είναι πάντα κεντρική.

δ. είναι κρούση, στην οποία πάντα μέρος της κινητικής ενέργειας των δύο
σφαιρών μετατρέπεται σε θερμότητα.
σμένη.
β. Σε μια πλαστική κρούση διατηρείται η μηχανική ενέργεια του συστήματος
των συγκρουόμενων σωμάτων.
α. Σε μία πλαστική κρούση μεταξύ δύο σωμάτων η κινητική ενέργεια του συ-
στήματος διατηρείται.
35. Όταν μια μικρή σφαίρα προσπίπτει πλάγια σε κατακόρυφο τοίχο και συ-
γκρούεται με αυτόν ελαστικά, τότε
α. η κινητική ενέργεια της σφαίρας πριν την κρούση είναι μεγαλύτερη από την
κινητική ενέργεια που έχει μετά την κρούση.
β. η ορμή της σφαίρας δεν μεταβάλλεται κατά την κρούση.
γ. η γωνία πρόσπτωσης της σφαίρας είναι ίση με τη γωνία ανάκλασης.
δ. η δύναμη που ασκεί ο τοίχος στη σφαίρα έχει την ίδια διεύθυνση με την
αρχική ταχύτητα της σφαίρας.
α. Κατά την ελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών ελαττώνεται η κινητική ε-
νέργεια του συστήματος των σφαιρών.
37. Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση κατά την οποία οι ταχύτητες των κέ-
ντρων μάζας των δύο συγκρουόμενων σωμάτων είναι μεταξύ τους
α. κάθετες
β. παράλληλες
γ. ίσες
δ. σε τυχαίες διευθύνσεις
38. Στην ανελαστική κρούση μεταξύ δύο σφαιρών διατηρείται
α. η ορμή κάθε σφαίρας.
β. η ορμή του συστήματος.
γ. η μηχανική ενέργεια του συστήματος.

δ. η κινητική ενέργεια του συστήματος.
γ. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωμάτων η μηχανική ενέργεια του συστή-
ματος παραμένει σταθερή.
40. Μία ηχητική πηγή πλησιάζει με σταθερή ταχύτητα προς έναν ακίνητο
παρατηρητή και εκπέμπει ήχο συχνότητας fs και μήκους κύματος λ. Τότε ο
παρατηρητής αντιλαμβάνεται τον ήχο
α. με συχνότητα μικρότερη της fs.
β. με συχνότητα ίση με την fs.
γ. με μήκος κύματος μικρότερο του λ.
δ. με μήκος κύματος ίσο με το λ.
41. Σε μία πλαστική κρούση
α. δε διατηρείται η ορμή.
β. η τελική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι μεγαλύτερη της αρχικής.
γ. η κινητική ενέργεια του συστήματος διατηρείται.
δ. η αρχική κινητική ενέργεια του συστήματος είναι μεγαλύτερη της τελικής.
ε. Η ορμή ενός μονωμένου συστήματος σωμάτων δεν διατηρείται κατά τη
διάρκεια μιας ανελαστικής κρούσης.
ε. Στην ελαστική κρούση δύο σφαιρών η κινητική ενέργεια του συστήματος
ελαττώνεται.
44. Παρατηρητής απομακρύνεται με σταθερή ταχύτητα υΑ από ακίνητη ηχη-
τική πηγή, η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας fs. Το διάνυσμα της ταχύτητας
βρίσκεται στην ευθεία πηγής – παρατηρητή. Aν η ταχύτητα του ήχου στον
αέρα είναι υ, η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής είναι
α. A s
Α
υ
f f
υ υ


β. Α
A s
υ υ
f f
υ

 γ. Α
A s
υ υ
f f
υ

 δ. Α
A s
υ υ
f f
υ



δ. Στις μη κεντρικές κρούσεις δεν ισχύει η αρχή διατήρησης της ορμής για το
συγκρουόμενο σύστημα σωμάτων.
α. Βασιζόμενοι στο φαινόμενο Doppler μπορούμε να βγάλουμε συμπεράσματα
για την ταχύτητα ενός άστρου σε σχέση με τη Γη.
47. Σφαίρα, μάζας m1, κινούμενη με ταχύτητα 1υ , συγκρούεται μετωπικά και
ελαστικά με ακίνητη σφαίρα μάζας m2. Οι ταχύτητες 1υ  και 2υ  των σφαιρών
μετά την κρούση
α. έχουν πάντα την ίδια φορά
β. σχηματίζουν μεταξύ τους γωνία 90ο
γ. έχουν πάντα αντίθετη φορά
δ. έχουν πάντα την ίδια διεύθυνση.
α. Μια ειδική περίπτωση ανελαστικής κρούσης είναι εκείνη που οδηγεί στη
συγκόλληση των σωμάτων-στη δημιουργία συσσωματώματος.
49. Σε μία ελαστική κρούση
α. η ορμή και η ενέργεια του συστήματος των σωμάτων διατηρούνται σταθε-
ρές.
β. η ορμή του συστήματος των σωμάτων αυξάνεται ενώ η ολική ενέργεια του
συστήματος των σωμάτων μειώνεται.
γ. η ορμή του συστήματος των σωμάτων μειώνεται ενώ η ολική ενέργεια του
συστήματος των σωμάτων αυξάνεται.
δ. η ορμή του συστήματος των σωμάτων παραμένει σταθερή ενώ η ολική ε-
νέργεια του συστήματος των σωμάτων μειώνεται.
50. Περιπολικό ακολουθεί αυτοκίνητο που έχει παραβιάσει το όριο ταχύτη-
τας. Τα δύο αυτοκίνητα κινούνται με ίσες ταχύτητες. Αν η σειρήνα του περι-
πολικού εκπέμπει ήχο συχνότητας fS, τότε, η συχνότητα fA που αντιλαμβάνεται
ο οδηγός του άλλου αυτοκινήτου είναι:
α. fA=2fS

β. A S
1
f f
2
γ. fA=fS
δ. fA=0
σμένη.
ε. Έκκεντρη ονομάζεται η κρούση κατά την οποία οι ταχύτητες των κέντρων
μάζας των δύο σωμάτων που συγκρούονται είναι παράλληλες αλλά μη συγ-
γραμμικές.
52. Κατά την πλαστική κρούση δύο σφαιρών:
α) διατηρείται η μηχανική ενέργεια του συστήματος των σφαιρών
β) διατηρείται η ορμή του συστήματος των σφαιρών
γ) αυξάνεται η μηχανική ενέργεια του συστήματος των σφαιρών
δ) διατηρείται η μηχανική ενέργεια και η ορμή του συστήματος των
σφαιρών
δ. Κατά την κεντρική ελαστική κρούση δύο σφαιρών, οι οποίες έχουν ίσες μά-
ζες, οι σφαίρες ανταλλάσσουν ταχύτητες.
54. Μικρότερη συχνότητα ακούει ένας παρατηρητής σε σχέση με την πραγ-
ματική συχνότητα του ήχου που παράγει μια πηγή, όταν πηγή και παρατηρη-
τής
α. είναι ακίνητοι.
β. κινούνται στην ίδια ευθεία, διατηρώντας σταθερή την μεταξύ τους
απόσταση.
γ. πλησιάζουν μεταξύ τους κινούμενοι στην ίδια ευθεία.
δ. απομακρύνονται μεταξύ τους κινούμενοι στην ίδια ευθεία.
55. Σφαίρα Σ1 συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα Σ2 τε-
τραπλάσιας μάζας. Μετά την κρούση
α. η σφαίρα Σ1 παραμένει ακίνητη
β. η σφαίρα Σ1 συνεχίζει να κινείται στην ίδια κατεύθυνση
γ. όλη η κινητική ενέργεια της σφαίρας Σ1 μεταφέρθηκε στη σφαίρα Σ2

δ. ισχύει 1 2Δp Δp  , όπου 1Δp , 2Δp οι μεταβολές των ορμών των δύο σφαι-
ρών.
56. Στην κεντρική ελαστική κρούση δύο σωμάτων
α. διατηρείται μόνο η ορμή του συστήματος
β. διατηρείται μόνο η μηχανική ενέργεια του συστήματος
γ. διατηρείται και η ορμή και η μηχανική ενέργεια του συστήματος
δ. δεν διατηρείται ούτε η ορμή, ούτε η μηχανική ενέργεια του συστήματος.
α. Όταν ένας παρατηρητής πλησιάζει μια ακίνητη ηχητική πηγή, η
συχνότητα την οποία ακούει είναι μικρότερη από αυτήν που παράγει η πηγή.

ΘΕΜΑ 2o
1. Σφαίρα μάζας m κινούμενη με ταχύτητα μέτρου υ1 συγκρούεται κε-
ντρικά και ελαστικά με ακίνητη σφαίρα ίσης μάζας. Να βρείτε τις σχέσεις που
δίνουν τις ταχύτητες των δύο σφαιρών, μετά την κρούση, με εφαρμογή των
αρχών που διέπουν την ελαστική κρούση.
2. Σφαίρα A που κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται κεντρικά
και πλαστικά με άλλη όμοια αλλά ακίνητη σφαίρα Β που βρίσκεται στο ίδιο
επίπεδο. Να αποδείξετε ότι η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος μετά
την κρούση είναι ίση με το μισό της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Α, πριν
από την κρούση.
3. Μια µικρή σφαίρα µάζας m1 συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά
µε ακίνητη µικρή σφαίρα µάζας m2. Μετά την κρούση οι σφαίρες κινούνται
µε αντίθετες ταχύτητες ίσων µέτρων. Ο λόγος των µαζών 1
2
m
m
α. 1, β. 1/3, γ. 1/2.
4. Ένας παρατηρητής κινείται µε σταθερή ταχύτητα υΑ προς ακίνητη
σηµειακή ηχητική πηγή. Οι συχνότητες που αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής,
πριν και αφού διέλθει από την ηχητική πηγή, διαφέρουν µεταξύ τους κατά Sf
10
όπου fs η συχνότητα του ήχου που εκπέµπει η ηχητική πηγή. Αν υ η ταχύτητα
διάδοσης του ήχου στον αέρα, ο λόγος 

είναι ίσος µε:
α. 10, β. 1/10, γ. 1/20.
5. Σφαίρα Α µάζας mA συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε δεύτερη α-
κίνητη σφαίρα Β µάζας mB. Το ποσοστό της µηχανικής ενέργειας που έχει
µεταφερθεί από την Α στη Β µετά την κρούση γίνεται µέγιστο όταν:
α. mA = mΒ β. mA < mΒ γ. mA > mΒ

6. Σώµα µάζας m κινείται οριζόντια µε ταχύτητα µέτρου υ1. Το σώµα συ-
γκρούεται µε κατακόρυφο τοίχο και ανακλάται µε ταχύτητα µέτρου υ2 όπου
υ2<υ1. Η κρούση είναι :
α. Ελαστική
β. Ανελαστική.
Ποια από τις δύο περιπτώσεις είναι η σωστή;
7. Σε µετωπική κρούση δύο σωµάτων Α και Β που έχουν µάζες m και 2m,
αντίστοιχα, δηµιουργείται συσσωµάτωµα που παραµένει ακίνητο στο σηµείο
της σύγκρουσης. Ο λόγος των µέτρων των ορµών των δύο σωµάτων πριν από
την κρούση, είναι
α. 1/2. β. 2. γ. 1.
8. Σώμα μάζας m, το οποίο έχει κινητική ενέργεια Κ, συγκρούεται πλαστικά
με σώμα μάζας 4m. Μετά την κρούση, το συσσωμάτωμα μένει ακίνητο. Η μη-
χανική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση, είναι:
α.
5
K
4
β. Κ γ.
7
K
4
9. Σώμα μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ συγκρούεται κεντρικά και πλα-
στικά με ακίνητο σώμα διπλάσιας μάζας.
Η ταχύτητα του συσσωματώματος μετά την κρούση έχει μέτρο
α. 2υ.
β. υ/2.
γ. υ/3.
10. Μια ηχητική πηγή κινείται με ταχύτητα Us ίση με το μισό της ταχύτητας
του ήχου, πάνω σε μια ευθεία ε πλησιάζοντας ακίνητο παρατηρητή Π1 ενώ
απομακρύνεται από άλλο ακίνητο παρατηρητή Π2 . Οι παρατηρητές βρίσκο-
νται στην ίδια ευθεία με την ηχητική πηγή. Ο λόγος της συχνότητας του ήχου
που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Π1 προς την αντίστοιχη συχνότητα που
αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Π2 είναι
α. 2 . β. 1 . γ. 3 .

11. Σε σημείο ευθείας ε βρίσκεται ακίνητη ηχητική πηγή S που εκπέμπει ήχο
σταθερής συχνότητας. Πάνω στην ίδια ευθεία ε παρατηρητής κινείται εκτελώ-
ντας απλή αρμονική ταλάντωση πλάτους Α, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής θα είναι μέγιστη,
όταν αυτός βρίσκεται
α. στη θέση ισορροπίας Ο της ταλάντωσής του κινούμενος προς την πηγή.
β. σε τυχαία θέση της ταλάντωσής του απομακρυνόμενος από την πηγή.
γ. σε μία από τις ακραίες θέσεις της απλής αρμονικής ταλάντωσης.
12. Σφαίρα Σ1 κινούμενη προς ακίνητη σφαίρα Σ2, ίσης μάζας με την Σ1, συ-
γκρούεται μετωπικά και ελαστικά με αυτήν. Το ποσοστό της αρχικής κινητικής
ενέργειας της Σ1 που μεταβιβάζεται στη Σ2 κατά την κρούση είναι
α. 50%. β. 100%. γ. 75%.
13. ∆ύο μικρά σώματα με μάζες m1 και m2 συγκρούονται κεντρικά και ελα-
στικά. Αν ∆Κ1 είναι η μεταβολή της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας
m1 και ∆K2 είναι η μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m2
λόγω της ελαστικής κρούσης, τότε ισχύει
α. 1
2
1

 

β. 1
2
1



γ. 1 1
2 2
m
m



.
14. Μεταξύ δύο ακίνητων παρατηρητών Β και Α κινείται πηγή S με σταθερή
ταχύτητα υS πλησιάζοντας προς τον Α. Οι παρατηρητές και η πηγή βρίσκονται
στην ίδια ευθεία. Η πηγή εκπέμπει ήχο μήκους κύματος λ, ενώ οι παρατηρη-
τές Α και Β αντιλαμβάνονται μήκη κύματος λ1 και λ2 αντίστοιχα. Τότε για το
μήκος κύματος του ήχου που εκπέμπει η πηγή θα ισχύει:
α. 1 2
2
  
 
β. 1 2
2
 
 

γ. 1 2
1 2
 
 
  
15. Ένα αυτοκίνητο Α μάζας Μ βρίσκεται σταματημένο σε κόκκινο φανάρι.
Ένα άλλο αυτοκίνητο Β μάζας m, ο οδηγός του οποίου είναι απρόσεκτος, πέ-
φτει στο πίσω μέρος του αυτοκινήτου Α. Η κρούση θεωρείται κεντρική και
πλαστική. Αν αμέσως μετά την κρούση το συσσωμάτωμα έχει το 1/3 της κινη-
τικής ενέργειας που είχε αμέσως πριν την κρούση, τότε θα ισχύει:
α.
m 1
M 6

β.
m 1
M 2

γ.
m 1
M 3

16. Δύο σώματα Α και Β με μάζες mA και mB, αντίστοιχα, συγκρούονται με-
τωπικά. Οι ταχύτητές τους πριν και μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το
χρόνο φαίνονται στο παρακάτω διάγραμμα.
Ο λόγος των μαζών mΑ και mΒ είναι:
α. A
B
m 3
m 5
 β. A
B
m 1
m 2
 γ. A
B
m 2
m 3
 δ. A
B
m 3
m 2

17. Σφαίρα μάζας m1 προσπίπτει με ταχύτητα υ1 σε ακίνητη σφαίρα μάζας
m2, με την οποία συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά. Μετά την κρούση η

σφαίρα μάζας m1 γυρίζει πίσω με ταχύτητα μέτρου ίσου με το
1
5
της αρχικής
της τιμής. Για το λόγο των μαζών ισχύει
α. 2
1
m 3
m 2

β. 2
1
m 2
m 3

γ. 2
1
m 1
m 3

18. Δύο σώματα Α και Β, με μάζες 3m και m αντίστοιχα, βρίσκονται ακίνητα
πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Δίνουμε στο σώμα Β αρχική ταχύτητα υ έτσι
ώστε να συγκρουστεί κεντρικά και ελαστικά με το ακίνητο σώμα Α. Ποια είναι
η ταχύτητα του σώματος Β μετά την κρούση;
α.
2

 β.
2

γ.
4

19. Πηγή ηχητικών κυμάτων κινείται ευθύγραμμα με σταθερή ταχύτητα μέ-
τρο S
10

  , όπου υ το μέτρο της ταχύτητας του ήχου στον αέρα. Ακίνητος
παρατηρητής βρίσκεται στην ευθεία κίνησης της πηγής. Όταν η πηγή πλησιά-
ζει τον παρατηρητή, αυτός αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f1, και όταν η πη-
γή απομακρύνεται απ’ αυτόν, ο παρατηρητής αντιλαμβάνεται ήχο συχνότη-
τας f2. Ο λόγος 1
2
f
f
ισούται με
α.
9
11
. β.
11
10
. γ.
11
9
.
20. Ακίνητο σώμα Σ μάζας Μ βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο επίπεδο.
Βλήμα μάζας m κινείται οριζόντια με ταχύτητα υ = 100 m/s σε διεύθυνση
που διέρχεται από το κέντρο μάζας του σώματος Σ και σφηνώνεται σ’ αυτό.

Αν η ταχύτητα του συσσωματώματος αμέσως μετά την κρούση είναι V=2 m/s,
τότε ο λόγος των μαζών
m
M
είναι ίσος με:
α. 50 β.
1
25
γ.
1
49
.
21. Σώμα μάζας mA κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με ταχύτητα μέτρου υΑ
και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα μάζας mΒ = 2mA. Η
μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των δύο σωμάτων, η οποία
παρατηρήθηκε κατά την κρούση, είναι:
α.
2
Am
6

   . β.
2
Am
3

   . γ.
2
A2m
3

  
22. Ηχητική πηγή S εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας fS. Όταν η πηγή πλη-
σιάζει με ταχύτητα μέτρου u ακίνητο παρατηρητή Α, κινούμενη στην ευθεία
«πηγής- παρατηρητή», ο παρατηρητής Α αντιλαμβάνεται ήχο συχνότητας f1.
Όταν ο παρατηρητής Α, κινούμενος με ταχύτητα μέτρου u, πλησιάζει την ακί-
νητη πηγή S, κινούμενος στην ευθεία «πηγής-παρατηρητή», αντιλαμβάνεται
ήχο συχνότητας f2. Τότε είναι :
α. f1 > f2 β. f1 = f2 γ. f1 < f2
23. Μικρό σώμα Σ1 μάζας m που κινείται με ταχύτητα υ συγκρούεται κεντρι-
κά με αρχικά ακίνητο μικρό σώμα Σ2 μάζας 2m.
Μετά την κρούση το σώμα Σ1 παραμένει ακίνητο.
Μετά την κρούση η κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων
α. αυξήθηκε.
β. παρέμεινε η ίδια.
γ. ελαττώθηκε.

24. Ένα τρένο εκπέμπει ήχο και κατευθύνεται προς τούνελ που βρίσκεται σε
κατακόρυφο βράχο. Ο ήχος που εκπέμπεται από το τρένο ανακλάται στο
βράχο αυτό.
Ένας παρατηρητής που βρίσκεται κοντά στις γραμμές και πίσω από το τρένο
ακούει τον ήχο που προέρχεται από το τρένο με συχνότητα f1 και τον εξ’ ανα-
κλάσεως ήχο από το βράχο με συχνότητα f2. Τότε ισχύει ότι:
α. f1 < f2, β. f1 = f2, γ. f1 > f2.
25. Δύο σώματα με μάζες m1=2 kg και m2=3 kg κινούνται χωρίς τριβές στο
ίδιο οριζόντιο επίπεδο και σε κάθετες διευθύνσεις με ταχύτητες υ1=4 m/s και
υ2=2 m/s (όπως στο σχήμα) και συγκρούονται πλαστικά.
Η κινητική ενέργεια του συσσωματώματος είναι:
α. 5 J
β. 10 J
γ. 20 J
26. Μια ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας και κινείται με
σταθερή ταχύτητα. Στην ευθεία που κινείται η πηγή βρίσκεται ακίνητος παρα-
τηρητής. Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής όταν τον
έχει προσπεράσει είναι κατά 30% μικρότερη από τη συχνότητα που αντιλαμ-
βανόταν, όταν τον πλησίαζε η πηγή. Αν η ταχύτητα του ήχου στον αέρα είναι
υ, τότε η ταχύτητα της πηγής είναι
α.
2
17

, β.
3
17

, γ.
4
17

.

27. Παρατηρητής Α κινείται προς την ηχητική πηγή S με ταχύτητα υΑ, όπως
Η ηχητική πηγή S κινείται ομόρροπα με τον παρατηρητή Α με ταχύτητα
υS=2υΑ και εκπέμπει ήχο συχνότητας fS
Η συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής Α είναι
α. μικρότερη της fS
β. ίση με την fS
γ. μεγαλύτερη από την fS
28. Ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο σταθερής συχνότητας f. Με μια δεύτερη ηχη-
τική πηγή δημιουργούμε ταυτόχρονα ήχο, τη συχνότητα του οποίου μεταβάλ-
λουμε. Σε αυτήν τη διαδικασία δημιουργούνται διακροτήματα ίδιας συχνότη-
τας για δύο διαφορετικές συχνότητες f1, f2 της δεύτερης πηγής.
Η τιμή της f είναι:
α. 1 2f f
2

β. 1 2
1 2
f f
f f


γ. 2 1f f
2

29. Δύο σώματα, το Α με μάζα m1 και το Β με μάζα m2, είναι διαρκώς σε ε-
παφή και κινούνται σε λείο οριζόντιο επίπεδο με την ίδια ταχύτητα υ. Τα σώ-
ματα συγκρούονται κεντρικά με σώμα Γ μάζας 4m1, το οποίο αρχικά είναι α-
κίνητο.
Μετά την κρούση το Α σταματά, ενώ το Β κολλάει στο Γ και το συσσωμάτωμα
αυτό κινείται με ταχύτητα υ/3. Τότε θα ισχύει:
α. 1
2
m
2
m
 β. 1
2
m 1
m 2
 γ. 1
2
m
1
m

30. Στο παρακάτω σχήμα

τα δύο σώματα Σ1 και Σ2 είναι όμοια, το δάπεδο είναι λείο και οριζόντιο και το
κατακόρυφο τοίχωμα είναι λείο και ακλόνητο. Το Σ2 είναι αρχικά ακίνητο και
το Σ1 κινείται προς το Σ2 με ταχύτητα υ. Οι κρούσεις μεταξύ των Σ1 και Σ2 εί-
ναι κεντρικές και ελαστικές και η κρούση του Σ2 με το τοίχωμα είναι ελαστική.
Μετά από όλες τις κρούσεις που θα μεσολαβήσουν
α. το Σ1 κινείται με ταχύτητα υ , ενώ το Σ2 είναι ακίνητο.
β. τα Σ1 και Σ2 κινούνται με ταχύτητα
υ
2
 .
γ. το Σ1 ακινητοποιείται, ενώ το Σ2 κινείται με ταχύτητα 2υ .
31. Ανάμεσα σε δύο παράλληλους τοίχους ΑΓ και ΒΔ, υπάρχει λείο οριζόντιο
δάπεδο. Τα ευθύγραμμα τμήματα ΑΒ και ΓΔ είναι κάθετα στους τοίχους.
Σφαίρα Σ1 κινείται πάνω στο δάπεδο, με σταθερή ταχύτητα, μέτρου υ, παράλ-
ληλη στους τοίχους, και καλύπτει τη διαδρομή από το ΑΒ μέχρι το ΓΔ σε χρόνο
t1. Στη συνέχεια δεύτερη σφαίρα Σ2 που έχει ταχύτητα μέτρου υ συγκρούεται
ελαστικά με τον ένα τοίχο υπό γωνία φ=60ο και, ύστερα από διαδοχικές ελα-
στικές κρούσεις με τους τοίχους, καλύπτει τη διαδρομή από το ΑΒ μέχρι το ΓΔ
σε χρόνο t2. Οι σφαίρες εκτελούν μόνο μεταφορική κίνηση.
Τότε θα ισχύει:
α. t2= 2t1 β. t2= 4t1 γ. t2= 8t1
Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση.
Δίνονται: ο 3
ημ60
2
, ο 1
συν60
2
.
32. Αυτοκίνητο με ταχύτητα Α
υ
υ
10
 (όπου υ η ταχύτητα του ήχου ως προς
τον ακίνητο αέρα) κινείται ευθύγραμμα προς ακίνητο περιπολικό. Προκειμέ-
νου να ελεγχθεί η ταχύτητα του αυτοκινήτου εκπέμπεται από το περιπολικό

ηχητικό κύμα συχνότητας f1. Το κύμα, αφού ανακλαστεί στο αυτοκίνητο, επι-
στρέφει στο περιπολικό με συχνότητα f2. Ο λόγος των συχνοτήτων 2
1
f
f
είναι:
α.
11
9
β.
11
10
γ.
9
11
33. Σφαίρα μάζας m1 κινείται έχοντας κινητική ενέργεια Κ1 και συγκρούεται
πλαστικά με σφαίρα μάζας m2 = 3m1, η οποία είναι αρχικά ακίνητη. Η μηχα-
νική ενέργεια που χάθηκε κατά την κρούση είναι ίση με:
α) 1
3
Κ
4
β) 1
1
Κ
4
γ) 1
1
Κ
2
34. Σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε διεύθυνση κάθετη σε κατακόρυφο τοίχο
κινείται σφαίρα μάζας m1 με ταχύτητα μέτρου υ1. Κάποια χρονική
στιγμή η σφαίρα μάζας m1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη
σφαίρα μάζας m2 (m2 > m1). Μετά την κρούση με τη μάζα m1, η m2
συγκρούεται ελαστικά με τον τοίχο.
Παρατηρούμε ότι η απόσταση των μαζών m1 και m2, μετά την κρούση της m2
με τον τοίχο, παραμένει σταθερή. Ο λόγος των μαζών 1
2
m
m
είναι:
i) 3 ii) 1 iii)
1
3
35. Σώμα μάζας m1 με κινητική ενέργεια Κ1 συγκρούεται κεντρικά και πλα-
στικά με αρχικά ακίνητο σώμα μάζας m2 = 3 m1. Το ποσοστό απωλειών της
κινητικής ενέργειας κατά την κρούση είναι:

i) 75%
ii) 50%
iii) 64%
36. Πηγή Π ηχητικών κυμάτων εκπέμπει ήχο με συχνότητα fs. Η πηγή, είναι
στερεωμένη κατάλληλα σε κατακόρυφο τοίχωμα που διαχωρίζει την δεξαμενή
του νερού από τον αέρα, έτσι ώστε τα ηχητικά κύματα που εκπέμπει να δια-
δίδονται στον αέρα και στο νερό (σχήμα 2).
Δύο δέκτες Δ1 και Δ2 που βρίσκονται, ο πρώτος στον αέρα και ο δεύτερος στο
νερό, στην ίδια ευθεία με την πηγή κινούνται προς την πηγή με ταχύτητες μέ-
τρων υ1 και υ2, αντίστοιχα.
Αν οι συχνότητες f1 και f2 που ανιχνεύουν οι δύο δέκτες είναι ίσες και η ταχύ-
τητα διάδοσης του ήχου στο νερό υν είναι τετραπλάσια της ταχύτητας διάδο-
σης του ήχου στον αέρα υα (υν = 4υα), ο λόγος των ταχυτήτων 1
2
υ
υ
είναι
i. 1
2
υ 1
υ 3
 ii. 1
2
υ 1
υ 4
 iii. 1
2
υ 1
υ 2

37. Δύο σώματα Α και Β με μάζες m και 4m αντίστοιχα, κινούνται πάνω στην
ίδια ευθεία με αντίθετη φορά, όπως φαίνεται στο Σχήμα 1. Τα δύο σώματα
έχουν ίσες κινητικές ενέργειες και συγκρούονται μετωπικά και πλαστικά.
Αν υ1 είναι το μέτρο της ταχύτητας του σώματος A και V το μέτρο της ταχύτη-
τας του συσσωματώματος που δημιουργείται μετά την κρούση, τότε:

i) 1υ
V
5
 ii) 12υ
V
5
 iii) 13υ
V
5


ΘΕΜΑ 3ο
1. Τα σώματα Σ1 και Σ2, αμελητέων διαστάσεων, με μάζες m1=1kg και
m2=3kg αντίστοιχα είναι τοποθετημένα σε λείο οριζόντιο επίπεδο. Το σώμα Σ1
είναι δεμένο στη μία άκρη οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k=100
N/m. Η άλλη άκρη του ελατηρίου, είναι ακλόνητα στερεωμένη. Το ελατήριο
με τη βοήθεια νήματος είναι συσπειρωμένο κατά 0,2m, όπως φαίνεται στο
σχήμα. Το Σ2 ισορροπεί στο οριζόντιο επίπεδο στη θέση που αντιστοιχεί στο
φυσικό μήκος ℓ0 του ελατηρίου.
Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα και το σώμα Σ1 κινούμενο προς τα
δεξιά συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με το σώμα Σ2. Θεωρώντας ως αρχή
μέτρησης των χρόνων τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά κίνησης την
προς τα δεξιά, να υπολογίσετε
α. την ταχύτητα του σώματος Σ1 λίγο πριν την κρούση του με το σώμα Σ2.
β. τις ταχύτητες των σωμάτων Σ1 και Σ2, αμέσως μετά την κρούση.
γ. την απομάκρυνση του σώματος Σ1, μετά την κρούση, σε συνάρτηση με το
χρόνο.
δ. την απόσταση μεταξύ των σωμάτων Σ1 και Σ2 όταν το σώμα Σ1 ακινητοποι-
είται στιγμιαία για δεύτερη φορά.
Δεχθείτε την κίνηση του σώματος Σ1 τόσο πριν, όσο και μετά την κρούση ως
απλή αρμονική ταλάντωση σταθεράς k.
Δίνεται π=3,14
2. Ένα σώμα Σ1 με μάζα m1=1kg κινείται με ταχύτητα υ1=10m/s σε λείο ορι-
ζόντιο επίπεδο και κατά μήκος του άξονα x΄x, όπως φαίνεται στο σχήμα.
Το σώμα Σ1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα Σ2 μάζας
m2=3kg που βρίσκεται στο ίδιο οριζόντιο επίπεδο με το Σ1. Η διάρκεια της
κρούσης θεωρείται αμελητέα και η φορά της ταχύτητας υ1 θετική. Να υπολο-
γίσετε:
Γ1. την ταχύτητα του Σ1 μετά την κρούση.
Γ2. την ταχύτητα του Σ2 μετά την κρούση.
Γ3. την κινητική ενέργεια του συστήματος των δύο σωμάτων μετά την κρούση
τους.
Γ4. την αλγεβρική τιμή της μεταβολής της ορμής του σώματος Σ1, λόγω της
κρούσης.

3. Παρατηρητής Α κινείται με σταθερή ταχύτητα υΑ μεταξύ δύο ακίνητων η-
χητικών πηγών S1 και S2, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήμα.
Η πηγή S2 αρχικά δεν εκπέμπει ήχο, ενώ η πηγή S1 εκπέμπει ήχο με συχνότη-
τα f1 = 100 Hz.
Γ1. Υπολογίστε την ταχύτητα υΑ με την οποία πρέπει να κινείται ο παρατηρη-
τής, ώστε να ακούει ήχο με συχνότητα fΑ = 100,5 Hz.
Κάποια στιγμή ενεργοποιείται και η δεύτερη ηχητική πηγή S2, η οποία εκπέ-
μπει ήχο συχνότητας f2 = 100 Hz.
Γ2. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα Δt1 μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενι-
σμών της έντασης του ήχου που ακούει ο κινούμενος παρατηρητής.
Η συχνότητα της ηχητικής πηγής S2 μεταβάλλεται σε f′2 = 100,5 Hz, ενώ ο
παρατηρητής Α σταματάει να κινείται.
Γ3. Να υπολογίσετε το χρονικό διάστημα Δt2 μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενι-
σμών της έντασης του ήχου που ακούει ο ακίνητος παρατηρητής.
Γ4. Να υπολογίσετε το πλήθος των ταλαντώσεων τις οποίες εκτελεί το τύμπα-
νο του αυτιού του παρατηρητή Α μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενισμών της έ-
ντασης του ήχου που ακούει.
Θεωρούμε ότι οι εντάσεις των ήχων των δύο πηγών είναι ίσες και δεν μετα-
βάλλονται με την απόσταση.
Δίνεται: ταχύτητα διάδοσης ήχου στον αέρα υηχ = 340 m/s.
4. Σώμα Σ1 με μάζα m1 κινείται σε οριζόντιο επίπεδο ολισθαίνοντας προς άλ-
λο σώμα Σ2 με μάζα m2 = 2 m1, το οποίο αρχικά είναι ακίνητο. Έστω υ0 η τα-
χύτητα που έχει το σώμα Σ1 τη στιγμή t0 = 0 και ενώ βρίσκεται σε απόσταση d
= 1 m από το σώμα Σ2. Αρχικά, θεωρούμε ότι το σώμα Σ2 είναι ακίνητο πάνω
στο επίπεδο δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου με αμελητέα
μάζα και σταθερά ελατηρίου k, και το οποίο έχει το φυσικό του μήκος ℓ0. Το
δεύτερο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο τοίχο, όπως φαί-
νεται στο σχήμα:
Αμέσως μετά τη κρούση, που είναι κεντρική και ελαστική, το σώμα Σ1 αποκτά
ταχύτητα με μέτρο υ1΄ = 10 m/s και φορά αντίθετη της αρχικής ταχύτητας.
Δίνεται ότι ο συντελεστής τριβής ολίσθησης των δύο σωμάτων με το οριζόντιο
επίπεδο είναι μ = 0,5 και ότι η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g = 10 m/s2.
Γ1. Να υπολογίσετε την αρχική ταχύτητα υ0 του σώματος Σ1.
Γ2. Να υπολογίσετε το ποσοστό της κινητικής ενέργειας που μεταφέρθηκε
από το σώμα Σ1 στο σώμα Σ2 κατά την κρούση.

Γ3. Να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο κίνησης του σώματος Σ1 από την
αρχική χρονική στιγμή t0 μέχρι να ακινητοποιηθεί τελικά.
Δίνεται: 10 ≅3,2
Γ4. Να υπολογίσετε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου, αν δίνεται ότι
m2 = 1kg και k = 105 N/m.
Θεωρήστε ότι η χρονική διάρκεια της κρούσης είναι αμελητέα και ότι τα δύο
σώματα συγκρούονται μόνο μία φορά.
5. Σε κινούμενο τρένο (1) με ταχύτητα υ1 υπάρχει ηχητική πηγή που εκπέμπει
ήχο συχνότητας fs για χρονικό διάστημα Δts. Τρένο (2) κινείται με ταχύτητα
υ2 αντίθετης φοράς και τη στιγμή to = 0 απέχει από το τρένο (1) απόσταση d.
Στο τρένο (1) υπάρχει συσκευή ανίχνευσης των ανακλώμενων στο τρένο (2)
ηχητικών κυμάτων. Δίνεται ότι ο ανακλώμενος ήχος στο τρένο (2) έχει την ί-
δια συχνότητα με τον προσπίπτοντα σε αυτόν ήχο.
Γ1. Αν f1 είναι η συχνότητα του ήχου που ανιχνεύει η συσκευή, να δείξετε ότι
 
 
 
 
2 1
1 S
2 1
υ υ υ υ
f f
υ υ υ υ
 
  
 
.
Δίνονται: ταχύτητα ήχου υ=340 m/s, fs=1900 Hz, υ1=20 m/s, υ2=20 m/s,
Δts = 0,81 s.
Γ2. Αν τη χρονική στιγμή t1 = 6,8 s η συσκευή αρχίζει να ανιχνεύει τον ανα-
κλώμενο ήχο, να βρεθεί η απόσταση d που είχαν τα τρένα τη χρονική στιγμή
to = 0.
Γ3. Ποια χρονική στιγμή t2 η συσκευή ανίχνευσης των ανακλώμενων
κυμάτων σταματά να καταγράφει τον ανακλώμενο ήχο;

ΘΕΜΑ 4ο
1. Σώμα μάζας m1 = 0,1 kg που είναι προσδεμένο στο άκρο τεντωμένου
νήματος αφήνεται ελεύθερο από ύψος h, όπως φαίνεται στο σχήμα. Όταν το
νήμα βρίσκεται στην κατακόρυφη θέση, το σώμα έχει ταχύτητα μέτρου
U1 = 2 m/sec και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας
m2, όπου m2 = m1 .
Το σώμα μάζας m2, μετά την σύγκρουση, κινείται σε λείο οριζόντιο επίπεδο
και συγκρούεται μετωπικά και πλαστικά με σώμα μάζας m3 = 0,7 kg. Το σώμα
μάζας m3 είναι προσδεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου στα-
θεράς k = 20 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένο. Τη
στιγμή της σύγκρουσης, το ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και ο άξονάς
του συμπίπτει με τη διεύθυνση της κίνησης του σώματος μάζας m2. Να θεω-
ρήσετε αμελητέα τη χρονική διάρκεια των κρούσεων και τη μάζα του νήμα-
τος.
α. το ύψος h από το οποίο αφέθηκε ελεύθερο το σώμα μάζας m1 .
β. το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m2, με την οποία προ-
σκρούει στο σώμα μάζας m3 .
γ. το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το συσσωμάτωμα που προέκυ-
ψε από την πλαστική κρούση.
δ. το μέτρο της ορμής του συσσωματώματος μετά από χρόνο t s
15

 από
τη χρονική στιγμή που αυτό άρχισε να κινείται.
Δίνονται: g = 10 m/s2
2. Σώµα Σ1 µε µάζα m1=1kg και ταχύτητα 1

 κινείται σε οριζόντιο επίπε-
δο και κατά µήκος του άξονα x΄x χωρίς τριβές, όπως στο σχήµα. Το σώµα Σ1
συγκρούεται µε σώµα Σ2 µάζας m2=3kg που αρχικά είναι ακίνητο. Η κρούση
οδηγεί στη συγκόλληση των σωµάτων.

1. Να δικαιολογήσετε γιατί το συσσωµάτωµα που προκύπτει από τη συγκόλ-
ληση θα συνεχίσει να κινείται κατά µήκος του άξονα x΄x.
2. Να εξηγήσετε γιατί η θερµοκρασία του συσσωµατώµατος θα είναι
µεγαλύτερη από την αρχική κοινή θερµοκρασία των δύο σωµάτων.
3. Να υπολογίσετε το λόγο K2/K1 όπου Κ2 η κινητική ενέργεια του
συσσωµατώµατος και Κ1 η κινητική ενέργεια του σώµατος Σ1 πριν την κρού-
ση.
4. Να δικαιολογήσετε αν ο λόγος K2/K1 µεταβάλλεται ή όχι στην περίπτωση
που το σώµα µάζας m1 εκινείτο µε ταχύτητα διπλάσια της υ1.
3. Έστω σώμα (Σ) μάζας Μ = 1 kg και κωνικό βλήμα (β) μάζας m= 0,2 kg. Για
να σφηνώσουμε με τα χέρια μας ολόκληρο το
βλήμα στο σταθερό σώμα (Σ), όπως φαίνεται στο
σχήμα, πρέπει να δαπανήσουμε ενέργεια 100 J.
Έστω τώρα ότι το σώμα (Σ) που είναι ακίνητο σε
λείο οριζόντιο επίπεδο, πυροβολείται με το βλήμα
(β). Το βλήμα αυτό κινούμενο οριζόντια με κινητι-
κή ενέργεια Κ προσκρούει στο σώμα (Σ) και ακολουθεί πλαστική κρούση.
α. Για Κ = 100 J θα μπορούσε το βλήμα να σφηνωθεί ολόκληρο στο σώμα (Σ);
β. Ποια είναι η ελάχιστη κινητική ενέργεια Κ που πρέπει να έχει το βλήμα, ώ-
στε να σφηνωθεί ολόκληρο στο σώμα (Σ);
γ. Για ποια τιμή του λόγου
m
M
το βλήμα με κινητική ενέργεια Κ = 100 J σφη-
νώνεται ολόκληρο στο (Σ);
4. Στην οροφή ερευνητικού εργαστηρίου είναι στερεωμένο ιδανικό ελατήριο
σταθεράς k=60Ν/m, στο άλλο άκρο του οποίου στερεώνεται σώμα Σ1 με μάζα
m1=17kg. To σύστημα ισορροπεί. Ένας παρατηρητής βρίσκεται στον κατακό-
ρυφο άξονα y΄y που ορίζει ο άξονας του ελατηρίου. Ο παρατηρητής εκτοξεύ-
ει κατακόρυφα προς τα πάνω σώμα Σ
2
μάζας m
2
=3kg με ταχύτητα μέτρου
υo=12m/s. Το σημείο εκτόξευσης απέχει απόσταση h=2,2m από το σώμα Σ1.
Το σώμα Σ2 έχει ενσωματωμένη σειρήνα που εκπέμπει συνεχώς ήχο συχνότη-
τας fs=700Hz.
α. Nα υπολογίσετε τη συχνότητα του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρη-
τής λίγο πριν από την κρούση του σώματος Σ2 με το σώμα Σ1.
β. Η κρούση που επακολουθεί είναι πλαστική και γίνεται με τρόπο ακαριαίο.
Να βρεθεί η σχέση που περιγράφει την απομάκρυνση y της ταλάντωσης του
συσσωματώματος από τη θέση ισορροπίας του συσσωματώματος, σε συνάρ-
τηση με το χρόνο. Για την περιγραφή αυτή θεωρούμε ως αρχή μέτρησης του
χρόνου (t=0) τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά του άξονα των απο-
μακρύνσεων τη φορά της ταχύτητας του συσσωματώματος αμέσως μετά την
κρούση.

γ. Η σειρήνα δεν καταστρέφεται κατά την κρούση. Να βρεθεί η σχέση που δί-
νει τη συχνότητα fA, την οποία αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτηση
με το χρόνο μετά την κρούση.
δ. Να βρεθεί ο λόγος της μέγιστης συχνότητας fΑ,max προς την ελάχιστη συχνό-
τητα fΑ,min που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής.
∆ίνονται η ταχύτητα διάδοσης του ήχου στον αέρα υηχ=340m/s και
g=10m/s2.
5. Το σώμα Σ2 του σχήματος που έχει μάζα m2 = 2 kg είναι δεμένο στο
ένα άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, σταθεράς k, του οποίου το άλλο ά-
κρο είναι ακλόνητο. Το σώμα Σ2 ταλαντώνεται οριζόντια πάνω στο λείο οριζό-
ντιο επίπεδο ΠΠ΄ με πλάτος Α = 0,1 m και περίοδο Τ =
5

s
1. Την τιμή της σταθεράς k του ελατηρίου.
2. Τη μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος Σ2 .
Β. Το σώμα Σ1 του σχήματος με μάζα m1 = 2 kg αφήνεται ελεύθερο να ολι-
σθήσει πάνω στο λείο πλάγιο επίπεδο, από τη θέση Γ. Η κατακόρυφη απόστα-
ση της θέσης Γ από το οριζόντιο επίπεδο είναι Η = 1,8 m .
Το σώμα Σ1 , αφού φθάσει στη βάση του πλάγιου επιπέδου, συνεχίζει να κινεί-
ται, χωρίς να αλλάξει μέτρο ταχύτητας, πάνω στο οριζόντιο επίπεδο ΠΠ΄. Το
Σ1 συγκρούεται μετωπικά (κεντρικά) και ελαστικά με το σώμα Σ2 τη στιγμή που
το Σ2 έχει τη μέγιστη ταχύτητά του και κινείται αντίθετα από το Σ1 .
1. Να υπολογίσετε τη μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου μετά από αυτή την
κρούση.
2. Να δείξετε πως στη συνέχεια το σώμα Σ2 θα προλάβει το σώμα Σ1 και θα
συγκρουστούν πάλι πριν το σώμα Σ1 φτάσει στη βάση του πλάγιου επιπέδου.
Η απόσταση από τη βάση του πλάγιου επιπέδου μέχρι το κέντρο της ταλά-
ντωσης του Σ2 είναι αρκετά μεγάλη. Η διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμε-
λητέα.
∆ίνεται g= 10 m/s2 .
6. Σώμα μάζας m1 κινούμενο σε οριζόντιο επίπεδο συγκρούεται με ταχύτητα
μέτρου υ1=15m/s κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο σώμα μάζας m2. Η χρο-
νική διάρκεια της κρούσης θεωρείται αμελητέα.
Αμέσως μετά την κρούση, το σώμα μάζας m1 κινείται αντίρροπα με ταχύτητα
μέτρου υ1΄=9m/s.
α. Να προσδιορίσετε το λόγο των μαζών m1/m2 .

β. Να βρεθεί το μέτρο της ταχύτητας του σώματος μάζας m2 αμέσως μετά
την κρούση.
γ. Να βρεθεί το ποσοστό της αρχικής κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας
m1 που μεταβιβάστηκε στο σώμα μάζας m2 λόγω της κρούσης.
δ. Να υπολογισθεί πόσο θα απέχουν τα σώματα όταν σταματήσουν.
Ο συντελεστής τριβής ολίσθησης μεταξύ του επιπέδου και κάθε σώματος είναι
μ=0,1. Δίνεται g=10m/s2.
7. Το σώμα Σ1 μάζας m1 = 1 kg του επόμενου σχήματος
αφήνεται να ολισθήσει από την κορυφή λείου κατακόρυφου τεταρτοκυκλίου
ακτίνας R = 1,8 m. Στη συνέχεια το σώμα Σ1 κινείται πάνω σε λείο οριζόντιο
επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με ακίνητο σώμα Σ2 μάζας m2
= 2 kg. Το σώμα Σ2 είναι στερεωμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου στα-
θεράς k = 300 Ν/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε ακλόνητο
σημείο. Τη στιγμή της κρούσης η ταχύτητα του Σ1 είναι παράλληλη με τον ά-
ξονα του ελατηρίου. Μετά την κρούση το συσσωμάτωμα εκτελεί απλή αρμονι-
κή ταλάντωση.
Να βρείτε:
A. Την ταχύτητα του σώματος Σ1, στο οριζόντιο επίπεδο, πριν συγκρουστεί με
το Σ2.
Β. Την ταχύτητα του συσσωματώματος, αμέσως μετά την κρούση.
Γ. Το διάστημα που διανύει το συσσωμάτωμα, μέχρι η ταχύτητά του να μηδε-
νιστεί για πρώτη φορά.
Δ. Το χρονικό διάστημα από τη στιγμή της κρούσης, μέχρι τη στιγμή που η τα-
χύτητα του συσσωματώματος μηδενίζεται για δεύτερη φορά.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 m/s2.
8. Το σώμα Σ1 του σχήματος έχει μάζα 1Kg, κινείται με ταχύτητα υ1=8m/s σε
λείο και οριζόντιο επίπεδο και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητο
σώμα Σ2, μάζας 3Kg. To Σ2 είναι δεμένο στην άκρη οριζόντιου ελατηρίου στα-
θεράς 300Ν/m, που βρίσκεται στο φυσικό μήκος του.
Δ1. τις ταχύτητες των δύο σωμάτων μετά την κρούση.
Δ2. την περίοδο της ταλάντωσης του σώματος Σ2.
Δ3. την ενέργεια με την οποία ταλαντώνεται το σώμα Σ2.

Δ4. την απόσταση μεταξύ των σωμάτων όταν το Σ2 επιστρέφει για πρώτη φο-
ρά στο σημείο της κρούσης.
9. Σε λείο οριζόντιο επίπεδο σφαίρα μάζας m1=m=1kg, κινούμενη με ταχύτη-
τα υ=
4
3
m/s, συγκρούεται ελαστικά αλλά όχι κεντρικά με δεύτερη όμοια
σφαίρα μάζας m2=m, που είναι αρχικά ακίνητη. Μετά την κρούση οι σφαίρες
έχουν ταχύτητες μέτρων υ1 και υ2 = 1υ
3
, αντίστοιχα.
Δ1. Να βρείτε τη γωνία φ που σχηματίζει το διάνυσμα της ταχύτητας 2υ με το
διάνυσμα της ταχύτητας 1υ .
Δ2. Να υπολογίσετε τα μέτρα των ταχυτήτων υ1 και υ2.
Σώμα μάζας Μ=3m ισορροπεί δεμένο στο άκρο ελατηρίου, σταθεράς
k=100Ν/m, που βρίσκεται κατά μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας θ =30ο,
όπως στο σχήμα.
Η σφαίρα, μάζας m1, κινούμενη οριζόντια με την ταχύτητα 1υ , σφηνώνεται
στο σώμα Μ.
Δ3. Να βρείτε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των σω-
μάτων (Μ,m1) κατά την κρούση.
Δ4. Δεδομένου ότι το συσσωμάτωμα (Μ,m1) μετά την κρούση εκτελεί απλή
αρμονική ταλάντωση, να βρείτε το πλάτος Α της ταλάντωσης αυτής.
Δίνονται: η επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s2, ημ30ο=
1
2
, συν30ο=
3
2
.
Ίδια άσκηση και στα εσπερινά με αντικατάσταση των Δ3 και Δ4 με τα:
Σώμα μάζας Μ=3m ισορροπεί δεμένο στο άκρο ελατηρίου, σταθεράς k, που
βρίσκεται σε οριζόντιο επίπεδο. Το ελατήριο βρίσκεται στη θέση του φυσικού
του μήκους.
Η σφαίρα μάζας m1, κινούμενη οριζόντια με ταχύτητα υ1, σφηνώνεται στο
σώμα Μ.

Δ3. Να βρείτε τη μεταβολή της κινητικής ενέργειας του συστήματος των σω-
μάτων (Μ, m1) κατά την κρούση.
Δ4. Αν ο συντελεστής τριβής μεταξύ συσσωματώματος (Μ, m1) και οριζοντίου
επιπέδου είναι μ=
1
12
και η μέγιστη συσπείρωση του ελατηρίου μετά την
κρούση είναι xmax=0,02m, να βρεθεί η σταθερά k του ελατηρίου.
Δίνεται: επιτάχυνση βαρύτητας g=10 m/s2.

εφ’ όλης της ύλης

εφ' όλης της ύλης
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ
229
εφ’ όλης της ύλης …
ΘΕΜΑ 1ο & 2ο
1. Σώμα μάζας m ισορροπεί σε κατακόρυφο ελατήριο και αυτό επιμηκύ-
νεται κατά x. Φέρνουμε το σώμα στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου και
το αφήνουμε ελεύθερο. Το ελατήριο θα επιμηκυνθεί μέγιστα κατά:
α) x, β) 2x, γ) 4x, δ) 0
2. Σε οριζόντιο ιδανικό ελατήριο στα-
θεράς k, στερεώνουμε αριστερά και δεξιά
του αντίστοιχα, σώματα με μάζες m1 και
m2 όπως φαίνεται στο σχήμα. Το δάπεδο
παρουσιάζει τριβή μόνο με το σώμα m2 με συντελεστή οριακής τριβής μS. Βά-
λουμε το σώμα μάζας m1 προς τα δεξιά από τη θέση ισορροπίας του με απο-
τέλεσμα το σύστημα μάζας m1 – ελατήριο να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλά-
ντωση. Η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωση του m1 ώστε το m2 να μην ολισθήσει
είναι:
α) s 2
max
1
μ m g
υ
k m


, β) s 2
max
μ m g
υ
k
 , γ) s 1
max
2
μ m g
υ
k m


g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
3. Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k
έχει το πάνω του άκρο στερεωμένο ακλόνητα. Στο
κάτω του άκρο τοποθετούμε ακλόνητα σώμα μά-
ζας m1. Με τη βοήθεια λεπτού αβαρούς μη εκτα-
τού νήματος, που στερεώνουμε ακλόνητα στο m1
κρεμάμε σώμα μάζας m2 κάτω από το m1, όπως
φαίνεται στο σχήμα. Εκτρέπουμε το σώμα μάζας
m2 στη διεύθυνση του νήματος προς τα κάτω κα-
τά d και το αφήνουμε ελεύθερο με αποτέλεσμα το
σύστημα να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Η μέγιστη αρχική μετατόπιση d από τη θέση ισορ-
ροπίας του m2, ώστε να μη χαλαρώσει το νήμα είναι:
m1
m2
k
m2
k
νήμα
m1

230
α) 1 2(m m )g
d
k

 , β) 2m g
d
k
 , γ) 1m g
d
k
 ,
4. Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k έχει το
πάνω του άκρο στερεωμένο ακλόνητα. Στο κάτω του
άκρο τοποθετούμε ακλόνητα σώμα μάζας m1=3m. Με
τη βοήθεια λεπτού αβαρούς μη εκτατού νήματος, που
στερεώνουμε ακλόνητα στο m1 κρεμάμε σώμα μάζας
m2=m κάτω από το m1, όπως φαίνεται στο σχήμα. Αφή-
νουμε το σύστημα ελεύθερο με τεντωμένο το νήμα από
τη θέση ισορροπίας του m1 με αποτέλεσμα το σύστημα
να εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
Α. Η μέγιστη τάση του νήματος είναι:
α) Τνmax=5mg/4, β) Τνmax=mg/4, γ) Τνmax=mg
Β. Για να πάψει το νήμα να είναι τεντωμένο πρέπει το σύστημα θα πρέπει να
βρεθεί σε απόσταση x από τη θέση ισορροπίας του συστήματος, όπου x:
α) x=4mg/k, β) x=mg/k, γ) x=3mg/k
Γ. Γράψτε τη χρονική εξίσωση της τάσης του νήματος που δέχεται το σώμα
μάζας m2, θεωρώντας θετική φορά τη φορά του βάρους.
5. Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k, έχει το
κάτω του άκρο στερεωμένο ακλόνητα. Στο πάνω του άκρο
στερεώνουμε ακλόνητα σώμα μάζας m1. Στη θέση ισορρο-
πίας του συστήματος αφήνουμε πάνω στο m1 δεύτερο σώ-
μα μάζας m2 και το σύστημα ξεκινά απλή αρμονική ταλά-
ντωση. Tο σώμα m2 θα χάσει την επαφή του με το m1, σε
απόσταση d από την αρχική θέση ισορροπίας, όπου:
α) 1m g
d
k
 , β) 2m g
d
k
 , γ) 1 2(m m )g
d
k

 ,
m1
m2
k
m2
k
νήμα
m1

231
6. Οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k έχει το ένα του άκρο στερεω-
μένο ακλόνητα. στο άλλο του άκρο τοποθετούμε ακλόνητα σώμα μάζας m1.
Πάνω στο m1 αφήνουμε σώμα μάζας m2 όπως φαί-
νεται στο σχήμα. μεταξύ του m1 και του m2 εμφανί-
ζεται τριβή με συντελεστή οριακής τριβής μs. Ε-
κτρέπουμε το m1 κατά d από τη θέση ισορροπίας
του κατά d και το αφήνουμε ελεύθερο, με αποτέλε-
σμα το σύστημα του σχήματος να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλάντωση. Η μέ-
γιστη απομάκρυνση του συστήματος από τη θέση ισορροπίας του ώστε το m2
να μην ολισθήσει πάνω στο m1 είναι:
α) s 1 2μ (m m )g
d
k

 , β) s 1μ m g
d
k
 , γ) s 2μ m g
d
k
 ,
7. Οριζόντιο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k έχει
το ένα του άκρο στερεωμένο ακλόνητα. Στο άλλο
του άκρο τοποθετούμε ακλόνητα σώμα μάζας m1.
Πάνω στο m1 αφήνουμε σώμα μάζας m2 όπως
φαίνεται στο σχήμα. Μεταξύ του m1 και του m2
εμφανίζεται τριβή με συντελεστή οριακής τριβής μ. Εκτρέπουμε το m1 κατά d
από τη θέση ισορροπίας του και το αφήνουμε ελεύθερο, με αποτέλεσμα το
σύστημα του σχήματος να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλάντωση. Ο ελάχιστος
συντελεστής μέγιστης στατικής τριβής μεταξύ των δύο σωμάτων m1 και m2
ώστε το m2 να μην ολισθήσει πάνω στο m1 είναι:
α) 1 2d(m m )g
μ
k

 , β)
1 2
kd
μ
(m m )g


, γ)
2
kd
μ
m g

όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
8. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k έχει το πάνω του άκρο στερεωμένο
ακλόνητα. Στο κάτω του άκρο στερεώνουμε σώμα μάζας m. Το σύστημα ισορ-
ροπεί ακίνητο (θέση Α) και τη χρονική στιγμή to=0 ασκούμε στο σώμα κατα-
κόρυφη σταθερή δύναμη F με αποτέλεσμα το σώμα να ξεκινήσει να κινείται
προς τα κάτω. Όταν το σώμα σταματήσει στιγμιαία για πρώτη φορά (θέση Β)
ακαριαία καταργούμε τη δύναμη F.
A. Αν t1 είναι ο χρόνος κίνησης του σώματος από τη θέση Α στη θέση Β με
τη βοήθεια της δύναμης F και t2 ο χρόνος κίνησης του σώματος από τη
θέση Β στη θέση Α αμέσως μετά τη κατάργηση της δύναμης F, ισχύει:
k
m1
m2
k
m1
m2

232
α. t1=2t2, β) t2=2t1, γ) t1=t2.
B. Αν υ1 είναι η μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το σώμα κατά τη κάθοδό
του από τη θέση Α στη θέση Β με τη βοήθεια της δύναμης F και υ2 η
μέγιστη ταχύτητα που αποκτά το σώμα κατά την άνοδό του από τη θέ-
ση Β στη θέση Α αμέσως μετά τη κατάργηση της δύναμης F, ισχύει:
α. υ2=2υ1, β) υ1=2υ2, γ) υ1=υ2
9. Σε ιδανικό κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλε-
κτρικές ταλαντώσεις, για κάποιο χρονικό διάστημα Δt, η πο-
λικότητα του πυκνωτή και η φορά του ρεύματος είναι αυτή
που φαίνονται στο διπλανό σχήμα.
Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή;
Στο χρονικό διάστημα Δt:
α) Η απόλυτη τιμή της έντασης του ρεύματος αυξάνεται.
β) Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή μειώνεται.
γ) Η απόλυτη τιμή της έντασης του ρεύματος μειώνεται και η ενέργεια του
ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή αυξάνεται.
δ) Η τάση στους οπλισμούς του πυκνωτή είναι μεγαλύτερη από την τάση στα
άκρα του πηνίου.
10. Σε ιδανικό κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλε-
κτρικές ταλαντώσεις, η πολικότητα του πηνίου και η φορά
του ρεύματος για κάποιο χρονικό διάστημα Δt φαίνονται
στο διπλανό σχήμα. Σε αυτό το χρονικό διάστημα Δt:
α) Η απόλυτη τιμή της έντασης ρεύματος αυξάνεται.
β) Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου στο πυκνωτή μειώνε-
ται.
γ) Η απόλυτη τιμή της διαφοράς δυναμικού στα άκρα του πυκνωτή μειώνεται.
δ) Η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πηνίο μειώνεται.
11. Στο κύκλωμα LC που εκτελεί αμείωτες ηλεκτρικές ταλαντώσεις η ενέρ-
γεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή, γίνεται διπλάσια από την ενέργεια
του μαγνητικού πεδίου του πηνίου όταν η ένταση του ρεύματος είναι:
α)
9

 β) μηδέν γ)
3
3

 δ)
3


C
L
i
C L
+
−
i

233
12. Ταλαντωτής εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με πλάτος που μειώνεται εκ-
θετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση Α = Αοe–Λt, όπου Λ θετική σταθερά.
Να επιλέξετε από κάθε περίπτωση τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε
την επιλογή σας.
Α) Στο τέλος των 10 πρώτων ταλαντώσεων το πλάτος της ταλάντωσης έχει
μειωθεί στο
1
4
του αρχικού. Μετά από 10 ακόμη ταλαντώσεις το πλάτος της
ταλάντωσης θα ισούται με:
α) ο
8

β) ο
16

γ) ο
32

Β) Αν Εο η αρχική ενέργεια της ταλάντωσης, τότε μετά τις 10 πρώτες ταλα-
ντώσεις το έργο της δύναμης που αντιστέκεται στην κίνηση του ταλαντωτή
είναι ίσο με:
α) ο
8

 β) ο
16

 γ) ο15
16


13. Σώμα εκτελεί φθίνουσα μηχανική ταλάντωση και το πλάτος του μειώνε-
ται εκθετικά με το χρόνο σύμφωνα με τη σχέση t
oA A e
 . Αν η αρχική ενέρ-
γεια ταλάντωσης είναι Εο=20J και το έργο της αντιτιθέμενης δύναμης στο τέ-
λος της πέμπτης ταλάντωσης είναι: FW 15 J
  , τότε το έργο της αντιτιθέμε-
νης δύναμης για τις επόμενες 5 ταλαντώσεις είναι:
α) -3,75J, β) -5J, γ) 18,75J
14. Σύστημα υποβάλλεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με περίοδο διε-
γέρτη Τδ ίση με την ιδιοπερίοδο Το του συστήματος. Αν η περίοδος διεγέρτη Τδ
αρχίσει να αυξάνεται, τότε το πλάτος του ταλαντευόμενου συστήματος:
α. θα μειώνεται διαρκώς.
β. θα αυξάνεται διαρκώς.
γ. θα αυξάνεται μέχρι κάποια τιμή και μετά θα αρχίσει να μειώνεται.
δ. θα μειώνεται μέχρι κάποια τιμή και μετά θα αρχίσει να αυξάνεται.
15. Σύστημα υποβάλλεται σε εξαναγκασμένη ταλάντωση με συχνότητα διε-
γέρτη fδ μικρότερη από την ιδιοσυχνότητα του συστήματος fο. Αν η περίοδος
διεγέρτη Tδ αρχίσει να μειώνεται τότε το πλάτος ταλάντωσης, θα:
α) μειώνεται διαρκώς,
β) αυξάνεται διαρκώς,
γ) θα αυξάνεται αρχικά και κάποια στιγμή θα αρχίσει να μειώνεται.

234
16. Απλός αρμονικός ταλαντωτής εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές
ταλαντώσεις, που εξελίσσονται στην ίδια ευθεία και γύρω από την ίδια θέση
ισορροπίας και περιγράφονται από τις εξισώσεις, x1=0,4ημωt (S.I.) και
x2=0,2ημ(ωt + φ) (S.I.) με π 0 φ . Έστω Ε η ενέργεια του ταλαντωτή όταν
εκτελεί τη συνισταμένη ταλάντωση και Ε1 και Ε2 είναι οι ενέργειες του ταλα-
ντωτή όταν εκτελεί ξεχωριστά τις ταλαντώσεις x1 = f (t) και x2 = f (t) αντίστοι-
χα.
Αν ισχύει η σχέση Ε = Ε1 – Ε2, τότε η χρονική εξίσωση της συνισταμένης τα-
λάντωσης, στο σύστημα μονάδων S.I. είναι:
α) x = 0, 2 3
π
ημ ωt
3
 
 
 
β) x = 0, 2  ημ πωt  γ) x = 0, 2 3
π
ημ ωt
6
 
 
 
17. Σωματίδιο εκτελεί ταυτόχρονα δύο αρμονικές ταλαντώσεις με συχνότη-
τες f1=1002Ηz και f2=998Hz, που εξελίσσονται γύρω από την ίδια θέση και
στην ίδια διεύθυνση. Σε χρονικό διάστημα 10sec:
Α. Το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του:
α. 40 φορές β. 20000 φορές γ. 40000 φορές
Β. Το πλάτος ταλάντωσης μηδενίζεται:
α. 40 φορές β. 20000 φορές γ. 40000 φορές
18. Υλικό σημείο Σ μάζας εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλα-
ντώσεις, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση
ισορροπίας. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν το ίδιο πλάτος και οι συχνότητες τους
διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων είναι:
x1=Αημ(2002πt) (S.I.) και x2=Αημ(1998πt) (S.I.).
Α1. Το πλάτος της ιδιόμορφης ταλάντωσης που θα εκτελέσει το σώμα Σ, θα
υποδιπλασιαστεί σε σχέση με τη μέγιστή του τιμή, για πρώτη φορά τη χρονική
στιγμή:
α) 1
1
t s
6
 , β) 1
1
t s
2
 , γ) 1
1
t s
4

Α2. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Β1. Το πλήθος ταλαντώσεων που θα έχει εκτελέσει μέχρι τότε το σώμα θα εί-
ναι:
α)
500
3
, β) 500, γ) 250

235
Β2. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
19. Υλικό σημείο Σ μάζας εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές ταλα-
ντώσεις, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση
ισορροπίας. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν το ίδιο πλάτος Α και οι συχνότητες
τους διαφέρουν πολύ λίγο μεταξύ τους. Οι εξισώσεις των δύο ταλαντώσεων
είναι της μορφής: x1=Αημ(ω1t) και x2=Αημ(ω2t). Κάποια χρονική στιγμή t1 η
διαφορά φάσης των δύο ταλαντώσεων είναι 100π. Τη χρονική στιγμή
2 1
1 2
t t

 
 
το πλάτος ταλάντωσης θα είναι:
α) 0, β) Α, γ) 2Α
20. Στα σημεία Α και Β της επιφάνειας μιας ήρεμης λίμνης βρίσκονται δύο
σύγχρονες πηγές κυμάτων που ταλαντώνονται χωρίς αρχική φάση και δημι-
ουργούν επιφανειακά κύματα με ίδιο πλάτος
και μήκος κύματος λ = 1,5 m.
Ένα σημείο της μεσοκαθέτου του ευθυγράμμου
τμήματος ΑΒ ταλαντώνεται με πλάτος ίσο με 20
cm.
Αν (ΑΒ) = 3 m, (ΒΣ) = 4 m και ΑΒΣˆ = 90°, τότε
το πλάτος ταλάντωσης του σημείου Σ είναι ίσο
με:
α) 10 cm β) 20 cm γ) 10 3 cm
21. Στα σημεία Κ και Λ της επιφάνειας μιας ήρεμης λίμνης βρίσκονται δύο
σύγχρονες πηγές κυμάτων Π1 και Π2 που ταλαντώνονται χωρίς αρχική φάση
και δημιουργούν επιφανειακά κύματα με ίδιο πλάτος και μήκος κύματος λ =
0,5 m. Τρία σημεία της επιφάνειας του υγρού, τα Α, Β και Γ, απέχουν απο-
στάσεις από τις πηγές Π1 και Π2 ίσες με α1 = 3 m και α2 = 4 m, β1 = 3,6 m
και β2 = 4,45 m, γ1 = 2,6 m και γ2 = 4,5 m αντίστοιχα. Να επιλέξετε τη σω-
στή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
Το σημείο που διέρχεται από τη θέση ισορροπίας του με τη μεγαλύτερη ταχύ-
τητα είναι:
α) το σημείο Α. β) το σημείο Β. γ) το σημείο Γ.
Α
ΣΒ

236
22. Σε δύο σημεία Κ και Λ της επιφάνειας ενός υγρού υπάρχουν δύο πηγές
κυμάτων, οι οποίες αρχίζουν τη χρονική στιγμή t = 0 να εκτελούν κατακόρυ-
φες αρμονικές ταλαντώσεις με εξίσωση απομάκρυνσης, της μορφής y =
0,2ημωt (S.I.). Τα κύματα που δημιουργούνται διαδίδονται στην επιφάνεια
του υγρού χωρίς απώλειες ενέργειας και χωρίς μεταβολή του πλάτους τους.
Ένα υλικό σημείο Σ του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ, εκτελεί α.α.τ. και η γρα-
φική παράσταση απομάκρυνσης του σημείου από τη θέση ισορροπίας του συ-
ναρτήσει του χρόνου φαίνεται στο παρακάτω γράφημα.
Α1. Ανάμεσα στο σημείο Σ και το σημείο Μ μέσο του ευθυγράμμου τμή-
ματος ΚΛ υπάρχουν:
α) 1, β) 2, γ) 3,
σημεία ενισχυτικής συμβολής.
Α2. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
Β1. Για να γίνει το Σ το πλησιέστερο σημείο στο Μ ενισχυτικής πρέπει να
μεταβάλλουμε ταυτόχρονα τη συχνότητα των δύο πηγών κατά:
α) 100%, β) 200%, γ) 50%
Β2. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.
23. Δύο σύγχρονες πηγές Α και Β βρίσκονται πάνω σε ήρεμη επιφάνεια υ-
γρού και ταλαντώνονται παράγοντας απλά αρμονικά κύματα που διαδίδονται
με ταχύτητα υ=1m/s πάνω στην επιφάνεια. Σημείο Κ που βρίσκεται πάνω στο
ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ έχει συχνότητα ταλάντωσης που δίνεται από τη σχέση:
0 0 t 0,5s
f 0,5Hz 0,5s t 3,5s
0 t 3,5s
 

  
 
A. Η απόσταση ΑΒ των δύο πηγών είναι:
α) 3m, β) 4m, γ) 5m
B. Μεταξύ των δύο πηγών το πλήθος των σημείων ακυρωτικής συμβολής εί-
ναι:
α) 3 β) 4 γ) 5
t (s)
y (m)
−0,2
0, 2
0 9
0,4
−0,4
5

237
Να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας.
24. Σε χορδή σχηματίζεται στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσω-
ση:
y 3 0,25 x t    , όπου y και x σε cm και t σε sec.
Η απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών κοιλιών είναι:
α) 5cm, β) 4cm, γ) 3cm
25. Σε χορδή που το άκρο της Ο είναι ελεύθερο σχηματίζεται από τη συμ-
βολή δύο εγκαρσίων κυμάτων ίδιας συχνότητας και πλάτους Α, στάσιμο κύμα.
Δύο σημεία Κ και Λ της χορδής βρίσκονται εκατέρωθεν του πρώτου δεσμού
και σε αποστάσεις
6

και
12

απ’ αυτόν αντίστοιχα. Ο λόγος των μέγιστων τα-
χυτήτων των δύο σημείων max
max




είναι:
α) 3 , β) 1, γ) 2
26. Δύο γραμμικά αρμονικά κύματα ίδιου πλάτους και χωρίς αρχική φάση
διαδίδονται στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο και δημιουργούν στάσιμο κύμα
που περιγράφεται από την εξίσωση y = 2Aσυν
2πx
λ
ημ
2πt
Τ
. Δύο σημεία Π και Σ
του ελαστικού μέσου βρίσκονται αριστερά και δεξιά του πρώτου δεσμού και
απέχουν αποστάσεις
8
λ
και
12
λ
αντίστοιχα απ’ αυτόν.
Α) Ποια από τις παρακάτω προτάσεις είναι η σωστή;
Η διαφορά φάσης των ταλαντώσεων αυτών των σημείων είναι:
α) 2π β) π γ) 0 δ) π/2
Β) Το πηλίκο της μέγιστης ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Π, προς τη μέ-
γιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σημείου Σ max(Π)
max(Σ)
υ
υ
, ισούται με:
α) 1 β) 2 γ)
2
3
Να αιτιολογήσετε τις επιλογές σας.

238
27. Σε ένα γραμμικό ελαστικό μέσο έχει σχηματιστεί στάσιμο κύμα που πε-
ριγράφεται από την εξίσωση: συν ημy 1,5 0,25 x t    , όπου y και x σε cm και t
σε s.
Δύο σημεία του ελαστικού μέσου ταλαντώνονται με μέγιστο πλάτος. Να επιλέ-
ξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
Αν μεταξύ αυτών των σημείων υπάρχει ένα ακίνητο σημείο, τότε η μέγιστη με-
ταξύ τους απόσταση είναι:
α) 5cm, β) 4cm, γ) 3cm
28. Ένας ακροατής ακούει τον αγαπημένο του ραδιοσταθμό, που εκπέμπει
στα
π
300
ΜHz. Ο ραδιοφωνικός δέκτης περιλαμβάνει ιδανικό κύκλωμα L-C, με
πυκνωτή μεταβλητής χωρητικότητας και πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L
= 10 μΗ.
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
Η χωρητικότητα του πυκνωτή, όταν ο ακροατής ακούει τον αγαπημένο του
ραδιοσταθμό είναι ίση με:
α)
π
111
10
 F β) 111
10
36

 F γ)
36
10
F
29. Το μέτρο της έντασης του ηλεκτρικού πεδίου ενός ηλεκτρομαγνητικού
κύματος που διαδίδεται σε ένα οπτικό υλικό με δείκτη διάθλασης n = 1,5 εί-
ναι κάποια στιγμή ίσο με 2
2 10
 V/m.
Αν δίνεται ότι η ταχύτητα των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο κενό είναι c =
8
3 10 m/s, τότε την ίδια στιγμή το μέτρο της έντασης του μαγνητικού πεδίου
μέσα στο υλικό είναι ίσο με:
α) 10-10 Τ β) 10
1,5 10
 Τ γ) 102
10
3

 Τ
30. Tα άκρα χορδής μήκους 3m είναι στερεωμένα ακλόνητα. Αν πάνω στη
χορδή σχηματίζεται στάσιμο κύμα με τρεις συνολικά κοιλίες:
A. H απόσταση μεταξύ δύο διαδοχικών δεσμών είναι:
α. 1m β. 2m γ. 0,5m
B. Η απόσταση της δεύτερης κοιλίας από το αριστερό άκρο της χορδής είναι:
α. 1m β. 1,5m γ. 2m
Γ. Πόσο τις εκατό πρέπει να μεταβάλλουμε τη συχνότητα του κύματος ώστε
στη χορδή να δημιουργηθούν εννέα κοιλίες;
α. 100% β. 200% γ. 300%

239
31. Μονοχρωματική ακτινοβολία προσπίπτει
υπό γωνία θ1=60°, προερχόμενη από τον αέρα,
στην επιφάνεια ομογενούς διαφανούς σφαίρας,
ακτίνας R όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ακτίνα κι-
νείται μέσα στη σφαίρα για χρόνο t=4∙10-10 s, δι-
ανύοντας απόσταση S= 3 ∙R.
Α. Ο δείκτης διάθλασης του υλικού της σφαίρας είναι:
α) 3 , β) 2 , γ) 3
B. Η ακτίνα της σφαίρας είναι:
α) 4cm, β)
12
cm
3
, γ) 3 cm
Δίνεται η ταχύτητα του φωτός στο κενό c=3∙108 m/sec.
32. Στην πλευρά ΑΒ γυάλινου πρίσματος
που βρίσκεται μέσα σε αέρα, προσπίπτει
μονοχρωματική ακτινοβολία όπως φαίνεται
στο σχήμα. Να σχεδιαστεί η πορεία της α-
κτινοβολίας στο γυάλινο πρίσμα μέχρι την
έξοδό της απ’ αυτό. Δίνεται η γωνία
Α=60º, η γωνία φ=30º και ο δείκτης διά-
θλασης του πρίσματος n= 3 .
( Προσοχή!! στην ίδια άσκηση με Α=90º, φ=45º και n= 2 , ΔΕΝ ΒΓΑΙΝΕΙ από
την απέναντι έδρα)
33. Στο γυάλινο ημικύκλινδρο του σχήματος που
βρίσκεται μέσα σε αέρα, προσπίπτει μονοχρωματική
ακτινοβολία στο σημείο Α και διαθλάται μόνο από την
επίπεδη επιφάνεια. Αν γωνία φ=45º και ο δείκτης διά-
θλασης του κυλίνδρου είναι n= 2 , να σχεδιαστεί η
πορεία της δέσμης μέχρι να βγει από τον ημικύλινδρο.
θ1
φ
Α
Β
Α
φ
Κ

240
34. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται η πορεία μιας ακτινοβολίας η οποία προ-
σπίπτει υπό γωνία φ = 30° στη διαχωριστική επιφάνεια δύο οπτικών μέσων.
Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές
και ποιες λανθασμένες;
α) Το μέσο (2) είναι οπτικά πυκνότερο από το
μέσο (1).
β) Η ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας στο
μέσο (2) είναι μεγαλύτερη από την ταχύτητα
διάδοσης της ακτινοβολίας στο μέσο (1).
γ) Η γωνία εκτροπής της ακτινοβολίας από την αρχική της κατεύθυνση είναι
60°.
δ) Αν ο δείκτης διάθλασης του μέσου (1) είναι n1 = 2 , τότε ο δείκτης διά-
θλασης του μέσου (2) είναι n2 =
1
2
.
ε) Αν η γωνία πρόπτωσης της ακτινοβολίας στη διαχωριστική επιφάνεια των
δύο μέσων είναι μεγαλύτερη από 30°, η ακτινοβολία θα υποστεί ολική ανά-
κλαση.
35. Μια ομογενής σφαίρα ακτίνας R είναι
κατασκευασμένη από διαφανές υλικό με
δείκτη διάθλασης n = 2 και βρίσκεται πάνω
σε οριζόντιο δάπεδο. Μια μονοχρωματική
ακτίνα φωτός προσπίπτει εφαπτομενικά στο
ανώτερο σημείο Α της σφαίρας διαθλάται και
εξερχόμενη από τη σφαίρα πέφτει στο
δάπεδο σε ένα σημείο Γ.
Α) Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτινοβολίας από την πρόσπτωσή της στη
σφαίρα μέχρι να φτάσει στο δάπεδο.
Β) Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
Η οριζόντια απόσταση των σημείων Α και Γ, είναι ίση με:
α) R β)
R 3
3
γ) R 3
Γ) Πόσος πρέπει να είναι ο δείκτης διάθλασης του υλικού της σφαίρας ώστε η
ακτινοβολία να πέφτει κάθετα στο δάπεδο.
36. Μονοχρωματική ακτινοβολία προσπίπτει
κάθετα στην πλευρά ΑΓ ορθογώνιου πρίσματος
με γωνία 30


  , η πορεία της οποίας φαίνεται
στο σχήμα.
Αν το πρίσμα περιβάλλεται από αέρα, ο δείκτης
διάθλασης του πρίσματος είναι:
φ1n
2n
Α
Α
Γ
Δ

241
α. n 2 β. n 3 γ.
3
n
2

37. Μονοχρωματική ακτινοβολία διαδίδεται σε διαφανές υλικό με δείκτη
διάθλασης n1 = 2 για την ακτινοβολία αυτή. Η ακτινοβολία μεταβαίνει από
το υλικό 1 στο υλικό 2 που αποτελεί συνέχεια του
πρώτου, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα με γω-
νία πρόσπτωσης θπ. Να υπολογίσετε την ελάχιστη
τιμή της γωνίας πρόσπτωσης ώστε η ακτινοβολία
μετά τη διάδοσή της στο υλικό 2 να μην εξέρχεται
στον αέρα.
38. Μονοχρωματική ακτινοβολία προσπίπτει κά-
θετα στη διαχωριστική επιφάνεια διαφανούς πλακιδίου πάχους D με δείκτη
διάθλασης n 3 . Για να εξέλθει από το πλακίδιο απαιτείται χρόνος Δt1. Η
ίδια ακτινοβολία προσπίπτει στο ίδιο πλακίδιο σχηματίζοντας με τη διαχωρι-
στική επιφάνεια αυτού γωνία φ=30° όπως φαίνεται στο σχήμα και για να ε-
ξέλθει αυτή τη φορά από αυτό απαιτείται χρόνος Δt2. (Θεωρήστε ότι τα πλα-
κίδια έχουν μεγάλο πλάτος και οι όποιες διαθλάσεις – ανακλάσεις δημιουρ-
γούνται, γίνονται στις οριζόντιες έδρες, και τα πλακίδια περιβάλλονται από
αέρα)
Για τους χρόνους Δt1 και Δt2 ισχύει:
α) 2 1
2 3
t t
3
   , β) 2 1t 2 3 t   , γ) 2 1t t   .
39. Το πρίσμα του σχήματος περιβάλλεται
από αέρα. Μια μονοχρωματική δέσμη ακολου-
θεί τη πορεία που φαίνεται στο σχήμα. Για τη
ταχύτητα διάδοσης υ, της ακτινοβολίας στο δι-
αφανές υλικό του πρίσματος ισχύει:
φ
D
n1
n2
αέρας
θπ
60°

242
α)
c
2
  , β)
c
2
  , γ)
c
2
  .
Όπου c η ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας στον αέρα.
40. Φωτεινή σημειακή πηγή μονοχρωματικού φωτός βρίσκεται σε βάθος h
κάτω από την ήρεμη επιφάνεια νερού με δείκτη διάθλασης n. Η περίμετρος
του οπτικού δίσκου που βλέπει στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού παρατη-
ρητής που βρίσκεται έξω από το νερό είναι:
α)
2
2πh
n 1
, β)
2
h
n 1
, γ)
2
2
πh
n 1
,
41. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται δοχείο
που το κάτω του μέρος αποτελείται από δι-
αφανές υλικό με δείκτη διάθλασης 1n 5
και το πάνω του μέρος από διαφανές υγρό
με δείκτη διάθλασης 2n 2 , ύψους h και
τα δύο. Στο κάτω μέρος του δοχείου βρί-
σκεται φωτεινή πηγή που ρίχνει φως προς
την πάνω επιφάνεια του υγρού. Το δοχείο
περιβάλλεται από αέρα και στα τοιχώματά
του δεν γίνονται ανακλάσεις. Στην ελεύθερη επιφάνεια του υγρού δημιουργεί-
ται οπτικός δίσκος ακτίνας:
α) R=h, β) R=1,5h, γ) R=2h
42. Ο ομογενής κύβος του διπλανού
σχήματος, βάρους w και πλευράς α,
εφάπτεται σε οριζόντιο λείο δάπεδο με
τη μια πλευρά του να ακουμπά στο
άκρο ενός σκαλοπατιού που έχει ύψος

h
4
. Θέλουμε να ανεβάσουμε το κύ-
βο πάνω στο σκαλοπάτι, ασκώντας σ’
αυτόν δύναμη F .
Α) Η μικρότερη τιμή του μέτρου της δύναμης που πρέπει να ασκήσουμε, ώστε
ο κύβος μόλις που να ανασηκωθεί από το οριζόντιο δάπεδο, είναι ίση με:
α
α
α/4
Κ
h
h

243
α)
2w
5
β)
w
5
γ) 2w
Β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
43. Η ομογενής ράβδος ΑΓ του διπλανού σχήματος έχει μάζα m = 3 kg,
μήκος l = 1 m και μπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο χωρίς
τριβές, γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται
από το άκρο της Γ και είναι κάθετος στη ράβδο. Η
ράβδος αρχικά διατηρείται ακίνητη και οριζόντια.
Ασκώντας στο άκρο Α της ράβδου δύναμη F στα-
θερού μέτρου και διαρκώς κάθετη στη ράβδο τη
θέτουμε σε περιστροφή και τη στιγμή που η ρά-
βδος διέρχεται από την ανώτερη θέση της με γω-
νιακή ταχύτητα ω = 30 rad/s, καταργούμε τη
δύναμη.
Αν η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από μέσο της
και είναι κάθετος στη ράβδο είναι cm
21
ml
12
  , τότε το μέτρο της δύναμης F
είναι ίσο με:
α) 60 Ν β)
π
60
Ν γ)
π
30
Ν
44. Μικρή σφαίρα ακτίνας r αφήνεται στην κορυφή πολύ μεγαλύτερης α-
κλόνητης σφαίρας ακτίνας R. Η μικρή σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση στην
περιφέρεια της μεγάλης μέχρι τη χρονική στιγμή που την εγκαταλείπει πέφτο-
ντας τελικά στο δάπεδο. Το συνημίτονο της γωνίας φ κατά τη στιγμή της ε-
γκατάλειψης θα είναι:
α)
1
2
  , β)
10
17
  , γ)
3
2
 
Κατά τον υπολογισμό να δεχτείτε ότι η ακτίνα της
μικρής σφαίρας είναι αμελητέα σε σχέση με την α-
κτίνα της μεγάλης σφαίρας. Επίσης η ροπή αδρά-
νειας της μικρής σφαίρας ως προς άξονα που διέρ-
χεται από το κέντρο της είναι: Ιcm=0,4Mr2.
(Προσοχή!! Παρόμοιο θέμα είναι το κλασικό θέμα
της ανακύκλωσης άσκηση 4.69 σχ. βιβλίου σελίδα
145)
F
φ
R
r

244
45. Ομογενής κύλινδρος (Α) αφήνεται από την κορυφή κεκλιμένου επιπέ-
δου ύψους h. Ο κύλινδρος κάνοντας κύλιση χωρίς ολίσθηση κατεβαίνει στη
βάση του κεκλιμένου και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με άλλο όμοιο
κύλινδρο (Β) που ήταν αρχικά ακίνητος. Κατά τη διάρκεια της κρούσης δεν
αναπτύσσονται μεταξύ των κυλίνδρων τριβές. Αν ο συντελεστής τριβής ολί-
σθησης μεταξύ του οριζοντίου επιπέδου και των κυλίνδρων είναι μ:
Α. Περιγράψετε την κίνηση του κυλίνδρου (Α) αμέσως μετά τη κρούση.
Β. Ι. Ο κύλινδρος (Β) θα ξεκινήσει να κάνει κύλιση χωρίς ολίσθηση σε χρόνο Δt
μετά την ελαστική κρούση, με:
α.  2
2h
Δt
27μ g
β.  2
4h
Δt
27μ g
γ.  2
4h
Δt
3μ g
,
όπου g η επιτάχυνση της βαρύτητας.
ΙΙ. Να αιτιολογήσετε την επιλογή σας.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχε-
ται από τα κέντρα των βάσεών του ίση με: Icm=0,5mR2.
46. Η ροπή αδράνειας συμπαγούς ομογενούς κυλίνδρου, ως προς άξονα
που διέρχεται από τα κέντρα των βάσεων του, δίνεται από τη σχέση
Ι=0,5ΜR2, όπου Μ η μάζα του και R η ακτίνα του. Από αυτόν το κύλινδρο
αφαιρούμε με ειδικό εργαλείο υλικό και σχηματίζοντας κύλινδρο με ακτίνα
R/2, με αποτέλεσμα να απομένει ένας ισοπαχής κούφιος κύλινδρος που ονο-
μάζουμε στερεό Π. Για τη ροπή αδράνειας ΙΠ του στερεού Π ως προς άξονα
που διέρχεται από τα κέντρα των βάσεων του, θα ισχύει:
α) Π
15 Ι
I
16

 , β) Π
Ι
I
2
 , γ) Π
Ι
I
4

Ο όγκος κυλίνδρου δίνεται από τη σχέση V=πR2h, όπου R η ακτίνα των βά-
σεών του και h το ύψος του.
47. Ομογενής ράβδος μάζας Μ και μήκους L, έχει στη μία της άκρη κολλη-
μένη σημειακή μάζα m=M/2. Το σύστημα ισορροπεί οριζόντια στηριζόμενο σε
σημείο Κ. Αν η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από
το κέντρο της ράβδου και είναι κάθετος σ’ αυτή δίνεται από τη σχέση
2
cm
1
I ML
12
 , τότε η ροπή αδράνειας του συστήματος ως προς άξονα που διέρ-
χεται από το Κ και είναι κάθετος στη ράβδο θα δίνεται από τη σχέση:
α) 2
Κ
1
I ML
8
 , β) 2
Κ
1
I ML
6
 , γ) 2
Κ
1
I ML
4


245
48. Ένας κύβος βάλλεται από τη βάση κεκλιμένου επιπέδου με αρχική τα-
χύτητα υο και κινείται σε αυτό ανεβαίνοντας προς την κορυφή κινούμενος
χωρίς τριβή. Από τη βάση του ίδιου κεκλιμένου επιπέδου βάλλεται προς τα
πάνω με την ίδια αρχική ταχύτητα και μία σφαίρα ίδιας μάζας με τον κύβο, η
οποία ανέρχεται στο κεκλιμένο κάνοντας κύλιση χωρίς ολίσθηση. Να υπολογί-
σετε το λόγο
h
h


όπου hκ το μέγιστο ύψος που φτάνει ο κύβος και hσ, το μέγι-
στο ύψος που φτάνει η σφαίρα. Οι διαστάσεις των δύο σωμάτων είναι μικρές
σε σχέση με το μέγιστο ύψος που φτάνουν. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας
ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της είναι: 2
cm
2
I mR
5
 .
( Στο ίδιο πρόβλημα μπορεί να ζητηθεί να συγκριθούν οι χρόνοι κίνησης, τότε
αντιμετωπίζουμε το θέμα με εξισώσεις κίνησης ΣF=mα για τον κύβο, ΣF=mαcm
και Στ=Ιαγων για τη σφαίρα ... Παρόμοιο θέμα ερώτηση 4.28 σχ. βιβλίου σελί-
δα 138)
49. Δακτύλιος με όλη τη μάζα συγκεντρωμένη στη περιφέρειά του, ομογε-
νής κύλινδρος και μία ομογενής σφαίρα κυλίονται κατά μήκος οριζοντίου επι-
πέδου κάνοντας κύλιση χωρίς ολίσθηση, με την ίδια ταχύτητα κέντρου μάζας
υ. Στο τέλος του οριζοντίου συναντούν κεκλιμένο στο οποίο συνεχίζουν να α-
νέρχονται κάνοντας κύλιση χωρίς ολίσθηση. Αν hδ το μέγιστο ύψος που θα
φτάσει ο δακτύλιος, hκ το μέγιστο ύψος που θα φτάσει ο κύλινδρος και hσ το
μέγιστο ύψος που θα φτάσει η σφαίρα, τότε για τα τρία ύψη ισχύει:
α) hδ=hκ =hσ, β) hδ>hκ >hσ, γ) hδ<hκ <hσ
Δίνονται οι ροπές αδράνειας της σφαίρας ως προς τον άξονα περιστροφής
της: 2
ί
2
I mR
5
   και του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του:
2
ί
1
I mR
2
   .
50. Ομογενής σφαίρα κυλίεται χωρίς ολίσθηση κατά μήκος οριζοντίου επι-
πέδου με ταχύτητα κέντρου μάζας υ. Στο τέλος του οριζοντίου συναντά κεκλι-
μένο στο οποίο συνεχίζει να ανέρχεται. Αν hλ το μέγιστο ύψος που θα φτάσει
η σφαίρα αν το κεκλιμένο είναι λείο και hτ το μέγιστο ύψος που θα φτάσει η
σφαίρα αν το κεκλιμένο έχει τριβή ικανή να κάνει κύλιση χωρίς ολίσθηση, τότε
για τα δύο ύψη ισχύει:
α) hτ=hλ, β) hτ>hλ, γ) hτ<hλ

246
51. Για να μετρήσουμε το συντελεστή τριβής ενός κεκλιμένου επιπέδου που
μπορούμε να μεταβάλλουμε τη γωνία κλίσης του, χρησιμοποιούμε ένα λεπτό
ομογενή δακτύλιο που έχει όλη τη μάζα του συγκεντρωμένη στη περιφέρειά
του και ένα άλλο σώμα παραλληλεπίπεδο. Αφήνουμε χωρίς αρχική ταχύτητα
και τα δύο σώματα από το ίδιο ύψος του κεκλιμένου. Ο δακτύλιος κάνει κύλι-
ση χωρίς ολίσθηση και το παραλληλεπίπεδο σώμα κατέρχεται ολισθαίνοντας.
Μεταβάλλοντας τη γωνία του κεκλιμένου επιπέδου πετυχαίνουμε μια γωνία φ
ώστε το ένα σώμα να μην προσπερνά το άλλο κατά τη κάθοδό τους. Αν η γω-
νία φ είναι 45° τότε ο συντελεστής τριβής είναι:
α) μ=1 β)μ=0,5 γ)μ=2
52. Ομογενής κύλινδρος μικρού ύψους σε σχέση με την ακτίνα βάσης του,
αφήνεται με τη βάση του να εφάπτεται σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ.
Ο κύλινδρος μόλις που ολισθαίνει. Τον ίδιο κύλινδρο τον αφήνουμε από την
κορυφή του κεκλιμένου επιπέδου αυτή τη φορά όρθιο, με το επίπεδο των βά-
σεών του να είναι κάθετο στο κεκλιμένο επίπεδο. Ο κύλινδρος:
α) θα παραμείνει ακίνητος,
β) θα κάνει κύλιση χωρίς ολίσθηση κατεβαίνοντας
γ) θα ολισθήσει κατά μήκος του κεκλιμένου επιπέδου.
Δίνεται η ροπή αδράνειας ομογενούς κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχε-
ται από τα κέντρα των βάσεών του ίση με: Icm=0,5mR2 και ότι μορια-
κής=μολίσθησης=μ (οι συντελεστές τριβής οριακής και ολίσθησης ταυτίζονται)
53. Σφαίρα μάζας m και ακτίνας R περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή τα-
χύτητα ωο πριν ακουμπήσει σε οριζόντιο δάπεδο. Ακουμπώντας σ’ αυτό αρχι-
κά κυλίεται ολισθαίνοντας, και κάποια χρονική στιγμή t ξεκινά κύλιση χωρίς
ολίσθηση. Να βρεθεί αυτή η χρονική στιγμή αν δίνονται: η ροπή αδράνειας
της σφαίρας γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο της 2
cm
2
I mR
5
 , η
επιτάχυνση της βαρύτητας g, ο συντελεστής τριβής μ, η ακτίνα της σφαίρας
R.
54. Ομογενής κύλινδρος μάζας Μ
και ακτίνας R έχει τυλιγμένο στη πε-
ριφέρειά του λεπτό αβαρές μη εκτα-
τό νήμα. Ο κύλινδρος τοποθετείται
σε οριζόντιο επίπεδο όπως στο σχή-
μα και τη χρονική στιγμή to=0 α-

247
σκούμε στο άκρο του νήματος σταθερή οριζόντια δύναμη F. Η ροπή αδρά-
νειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του δίνεται από τη σχέ-
ση I=0,5MR2. άξονα Αν αcm1 και αγων1 η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του
κυλίνδρου και η γωνιακή του επιτάχυνση αντίστοιχα όταν το επίπεδο δεν είναι
λείο (και κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει) και αcm2 και αγων2 η επιτάχυνση του κέ-
ντρου μάζας του κυλίνδρου και η γωνιακή του επιτάχυνση αντίστοιχα όταν το
επίπεδο είναι λείο, ισχύει:
Α. α.
cm1 cm2
4
3
  
, β.
cm 1 cm 2
3
4
  
, γ. cm1 cm2   .
Β. α.
1 2
2
3
   
, β.,
1 2
3
2
   
γ. 1 2    .
55. Συμπαγής σφαίρα ακτίνας R κυλίεται χωρίς ολίσθηση σε οριζόντιο επί-
πεδο με κινητική ενέργεια Κ. Η ροπή αδράνειας της σφαίρας, ως προς άξονα
που διέρχεται από το σημείο που η σφαίρα εφάπτεται με το οριζόντιο επίπεδο
και είναι παράλληλος με αυτό είναι Ι=1,4ΜR2.
Η κινητική ενέργεια της σφαίρας λόγω περιστροφής Κπερ είναι:
α.
2
K
7
   β.
7
K
12
   γ.
7
K
2
  
56. Σφαιρίδιο μάζας m διαγράφει κύκλο ακτίνας
r1 με κινητική ενέργεια Κ1. Το σχοινί που είναι δε-
μένο το σφαιρίδιο περνάει από κατακόρυφο σωλή-
να ΚΛ. Το έργο της δύναμης που πρέπει να ασκή-
σουμε στο ελεύθερο άκρο του σχοινιού μέχρι η α-
κτίνα περιστροφής του σφαιριδίου να γίνει r1/2,
είναι:
α. 1
2

β. 2Κ1 γ. 3Κ1
Κ
Λ
F
m

248
57. Μια λεπτή ανομοιογενής ράβδο στηρίζεται σε
άρθρωση στο αριστερό της άκρο Ο και σε κατακό-
ρυφο νήμα στο δεξί της άκρο Α. Αν η μάζας της είναι
Μ=4kg, το μήκος της είναι L=2m και η τάση του νή-
ματος όταν ισορροπεί είναι Τ=10Ν, τότε το κέντρο
μάζας της βρίσκεται σε απόσταση:
α. 1m β. 0,5m γ. 1,5m
από το σημείο Ο.
Δίνεται g=10 m/s2.
58. Δύο ράβδοι ίδιου μήκους από διαφορετικό υλικό συνδέονται στα άκρα
τους ώστε να σχηματίσουν μία ε-
νιαία σανίδα. Η πυκνότητα της ρά-
βδου (α) είναι μεγαλύτερη από τη
πυκνότητα της (β). Η σανίδα είναι
ελεύθερη να κινείται σε λείο οριζό-
ντιο επίπεδο. Στη σανίδα και στα άκρα της ασκούνται δύο σταθερές δυνάμεις
F ίδιου μέτρου, παράλληλες στο επίπεδο, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η σανίδα
θα εκτελέσει:
α) μόνο μεταφορική κίνηση.
β) μόνο περιστροφική .
γ) και τις δύο παραπάνω κινήσεις.
59. Ένας κύβος από πάγο και ένας κύλινδρος αφήνονται από το ίδιο ύψος
σε πλάγιο επίπεδο. Ο κύλινδρος κυλίεται κατά μήκος του πλαγίου επιπέδου
χωρίς ολίσθηση, ενώ ο κύβος ολισθαίνει χωρίς τριβή. Οι μάζες των δύο σωμά-
των είναι ίσες και οι διαστάσεις τους μικρές σε σχέση με το ύψος από το ο-
ποίο αφέθηκαν να κινηθούν.
Α. Για τις κινητικές ενέργειες των δύο σωμάτων φτάνοντας στη βάση του πλα-
γίου επιπέδου ισχύει:
α. Κκυλίνδρου=Κκύβου β. Κκυλίνδρου>Κκύβου γ. Κκυλίνδρου<Κκύβου
Β. Για τους χρόνους άφιξης των δύο σωμάτων στη βάση του πλαγίου επιπέδου
ισχύει:
α. tκυλίνδρου=tκύβου β. tκυλίνδρου>tκύβου γ. tκυλίνδρου<tκύβου
Α
Ο
(α) (β)
LL

249
60. Ένας ιδιόμορφος κύλινδρος αφήνεται από την κορυφή κεκλιμένου επι-
πέδου ύψους h και κάνοντας κύλιση χωρίς ολίσθηση φτάνει στη βάση του, με
ταχύτητα κέντρου μάζας cm
5
gh
3
  . Αν η ροπή αδράνειας του ιδιόμορφου
αυτού κυλίνδρου δίνεται από τη σχέση I=λ∙Μ∙R2, όπου Μ η μάζα του, R η ακτί-
να των βάσεων του και λ μία σταθερά, τότε για τη σταθερά λ ισχύει:
α)
1
5
  , β)
1
2
  , γ) λ=5.
61. Ομογενής κύλινδρος κινείται σε οριζόντιο
δάπεδο και στο διπλανό σχήμα έχουν σχεδια-
στεί οι ταχύτητες του ανώτερου και του κατώ-
τερου σημείου του. Αν η ροπή αδράνειας του
κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του
δίνεται από τη σχέση I=0,5MR2 , η κινητική του
ενέργεια θα είναι:
α. 29
m
4
   , β. 21
m
2
   , γ.
23
m
2
   .
62. Μια μικρή σφαίρα μάζας m και ακτί-
νας r αφήνεται από ύψος h πάνω σε οδηγό
όπως φαίνεται στο σχήμα. Αν η κίνησή της
γίνεται χωρίς ολίσθηση, το μικρότερο ύψος
από το οποίο πρέπει να αφεθεί ώστε να κά-
νει ανακύκλωση στην κυκλική τροχιά ακτί-
νας R, είναι:
α. h=2,7R β. h=R γ. h=5,4R
Θεωρήστε την ακτίνα της σφαίρας πολύ μικρή σε σχέση με την ακτίνα R. Δίνε-
ται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέ-
ντρο της: Icm=0,4mr2.
63. Σφαίρα περιστρέφεται και μεταφέρεται σε οριζόντιο δάπεδο με γωνια-
κή ταχύτητα μέτρου ω=20 rad/s, το διάνυσμα της οποίας είναι παράλληλο
στο έδαφος και με φορά από την ανατολή προς τη δύση. Η μεταφορική του
ταχύτητα έχει μέτρο υcm=10m/s με διάνυσμα παράλληλο στο έδαφος και με
R

250
φορά προς το βορά. Αν η ακτίνα της σφαίρας είναι R=1m, η σφαίρα κυλίεται
χωρίς ολίσθηση;
64. Ο κύλινδρος του σχήματος
αφήνεται στη κορυφή κεκλιμένου
επιπέδου γωνίας κλίσης θ, να κάνει
κύλιση χωρίς ολίσθηση κατεβαίνο-
ντας το. Η ροπή αδράνειας του κυ-
λίνδρου ως προς άξονα που διέρχε-
ται από το σημείο επαφής του κυ-
λίνδρου με το κεκλιμένο επίπεδο και
είναι παράλληλος με την ευθεία που
ενώνει τα κέντρα των βάσεων του,
δίνεται από τη σχέση: I=(λ+1)MR2,
όπου Μ η μάζα του κυλίνδρου, R η
ακτίνα του και λ θετική σταθερά. Ο συντελεστής οριακής τριβής που παρου-
σιάζει ο κύλινδρος με την επιφάνεια του κεκλιμένου είναι μs. Η μέγιστη τιμή
της σταθεράς λ για να κάνει ο κύλινδρος κύλιση χωρίς ολίσθηση είναι:
α) s
s
μ
εφθ μ
, β)
s
εφθ
εφθ μ
, γ) s
s
μ
εφθ μ
,
(Αριθμητική εφαρμογή θ=45°, μς=0,5 και ζητά το λ ή δίνει το λ=1 και μς=0,5
και ζητά τη μέγιστη γωνία κεκλιμένου)
65. Κύλινδρος μάζας m ακτί-
νας R βρίσκεται πάνω σε δύο
οριζόντιες σανίδες. Στον κύλιν-
δρο είναι τυλιγμένο λεπτό αβα-
ρές μη εκτατό νήμα. Στο ελεύ-
θερο άκρο του νήματος ασκούμε
κατακόρυφη δύναμη F με απο-
τέλεσμα ο κύλινδρος να κυλίεται
χωρίς να ολισθαίνει πάνω στις δύο σανίδες. Αν ο συντελεστής μέγιστης στατι-
κής τριβής μεταξύ κυλίνδρου και σανίδας είναι
1
μ
3
 :
Α. Η μέγιστη δύναμη που μπορώ να ασκήσω στο νήμα ώστε να κάνει κύλιση
χωρίς ολίσθηση είναι:
α) F=mg, β) F=2mg, γ) F=mg/2
Β. Τότε η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του κυλίνδρου είναι:
θ

251
α) cm
2g
α
3
, β) αcm=g, γ) cm
3g
α
2

Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα που διέρχεται από
τα κέντρα των βάσεών του: 2
cm
1
I mR
2

66. Μικρό ποντίκι μάζας m τρέχει οριζόντια
με ταχύτητα υ και πηδά με αυτή τη ταχύτητα σε
στεφάνη μάζας M και ακτίνας R. Αν το ποντίκι
πέφτει πάνω στη στεφάνη με την οριζόντια ταχύ-
τητα που είχε τρέχοντας και κάθεται απευθείας
στο κατώτατο σημείο της στεφάνης, ποιο θα έ-
πρεπε να ήταν το μέτρο της ταχύτητας του ώστε
μόλις να φτάσει στο υψηλότερο σημείο περι-
στρεφόμενο μαζί με τη στεφάνη; Θεωρήστε ότι
όλη η μάζα της στεφάνης είναι συγκεντρωμένη
στη περιφέρεια της, το ποντίκι θεωρείστε το υλικό σημείο. (Οι ράβδοι στήρι-
ξης της στεφάνης είναι αβαρείς)
α)


4gR(M m)
υ
m , β)


2gRm
υ
m M , γ)


2
2
4gR(m M)
υ
m
67. Δύο όμοιες ράβδοι (α) και
(β) έχουν μήκος l και συνδέονται
μεταξύ τους με άρθρωση αμελη-
τέας μάζας και αμελητέας διά-
στασης. Οι ράβδοι μπορούν να
περιστρέφονται γύρω από την
άρθρωση χωρίς τριβές. Οι δύο
ράβδοι όπως φαίνεται στο σχήμα
κινούνται με σταθερή ταχύτητα υ πάνω σε λείο οριζόντιο δάπεδο έτσι ώστε
να βρίσκονται στην ίδια ευθεία και το διάνυσμα της ταχύτητας να είναι κάθε-
το στην ευθεία των δύο ράβδων. Κάποια χρονική στιγμή σταματάει ακαριαία
η ράβδος (α). Η ράβδος (β) θα συμπέσει με τη ράβδο (α) όπως φαίνεται στο
σχήμα σε χρόνο:
α)
2πL
t
3υ
 , β)
πL
t
2υ
 , γ)
πL
t
6υ

Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται
από το κέντρο μάζας της 2
cm
1
Ι ML
12
 .
(α) (β)
LL
(α)
(β)

252
68. Οι οδοντωτοί δίσκοι του σχήματος έχουν
ροπές αδράνειας: Ιcm1=8Icm2 και ακτίνες
R1=2R2. Οι δίσκοι μπορούν να περιστρέφονται
χωρίς τριβές γύρω από σταθερούς παράλληλους
άξονες που διέρχονται από τα κέντρα τους και
είναι παράλληλοι στο επίπεδό τους. Ο δίσκος 2
στρέφεται αρχικά με γωνιακή ταχύτητα ω, χω-
ρίς να βρίσκεται σε επαφή με το δίσκο 1 που
είναι αρχικά ακίνητος. Κάποια στιγμή οι δύο δίσκοι έρχονται σε επαφή. Μετά
τη συναρμογή τους η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου 1 έχει μέτρο:
α. rad s
10

β. rad s
6

γ. rad s
2

69. Η ομογενής τροχαλία του διπλανού σχήματος έχει
μάζα Μ. Μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω
από σταθερό άξονα που διέρχεται από το κέντρο της
και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Στη περιφέρεια της
τροχαλίας έχουμε τυλίξει λεπτό, αβαρές μη εκτατό νήμα
η άκρη του οποίου καταλήγει σε σώμα μάζας m=Μ/6.
Τη χρονική στιγμή to=0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο
με αποτέλεσμα το σώμα να κατεβαίνει, το νήμα να ξετυ-
λίγεται από τη τροχαλία και να τη περιστρέφει, χωρίς να
γλιστρά από τη περιφέρειά της.
Α. Η δύναμη στήριξης της τροχαλίας κατά τη κάθοδο του σώματος έχει μέτρο
α) F=6mg, β) F=6,75mg, γ) F=7mg
B. Για το ρυθμό μεταβολής στροφορμής της τροχαλίας και για τον ρυθμό με-
ταβολής στροφορμής του συστήματος συστdL
dt
ισχύει:
α) τροχ συστ
dL dL
dt dt
, β) τροχ συστ
dL dL3
dt 4 dt
, γ) τροχ συστ
dL dL4
dt 3 dt
Γ. Αν κάποια χρονική στιγμή t1 η κινητική ενέργεια του σώματος μάζας m εί-
ναι Κ τότε την ίδια χρονική στιγμή η κινητική ενέργεια του συστήματος θα εί-
ναι:
α) 3Κ, β) 4Κ, γ) 2Κ
Αιτιολογήστε όλες τις απαντήσεις σας.
δίσκος 1 δίσκος 2
m

253
Η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της δίνεται
από τη σχέση I=0,5MR2.
70. Στο κέντρο μάζας του ομογενούς δίσκου
μάζας m=2kg του σχήματος ασκούμε οριζόντια
σταθερή δύναμη F όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο
δίσκος με την επίδραση της δύναμης F τη χρο-
νική στιγμή to=0 ξεκινά να κυλίεται χωρίς να
ολισθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο.
Η ισχύς της δύναμης F συναρτήσει του χρόνου φαίνεται στο παρακάτω διά-
γραμμα.
A. Το μέτρο της δύναμης F είναι:
α) 20Ν, β) 30Ν, γ) 40Ν
Β. Η ταχύτητα του κέντρου μάζας του δίσκου τη χρονική στιγμή t1=2s είναι:
α) 10m/s, β) 20m/s, γ) 30m/s
Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο
μάζας του και είναι κάθετος στο επίπεδό του δίνεται από τη σχέση:    21
R
2
και μπορούν να περιστρέφονται γύρω από κοινό άξονα που διέρχεται από το
κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Αρχικά οι δίσκοι δεν έρχο-
νται σε επαφή μεταξύ τους και περιστρέφεται μόνο αυτός που βρίσκεται στην
κατώτερη θέση. Αν αφήσουμε να πέσουν πάνω του οι υπόλοιποι ώστε να πε-
ριστρέφονται ως ένας, η ταχύτητα του τελευταίου θα μειωθεί κατά:
α. 75% β. 25% γ. 30%
2 t (s)
P (W)
600
0

254
72. Σε τροχό ο οποίος περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα ασκείται
δύναμη F που μεταβάλλει τη γωνιακή του ταχύτητα. Το έργο της δύναμης εί-
ναι μεγαλύτερο αν η μεταβολή γίνεται:
α. από 1rad/s σε 3rad/s
β. από 4rad/s σε 6rad/s
γ. από -2rad/s σε 5rad/s
δ. από -3rad/s σε 4rad/s
73. Ομογενής δίσκος μάζας Μ και ακτίνας R περιστρέφεται χωρίς τριβές
γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επί-
πεδο του. Στη περιφέρεια του δίσκου στέκεται άνθρωπος μάζας
M
m
2
 . Ο δί-
σκος μαζί με τον άνθρωπο περιστρέφεται με σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Αν
ο άνθρωπος μετακινηθεί από την περιφέρεια του δίσκου στο κέντρο του, το
έργο που παράγεται από αυτόν θα είναι:
α)
2 2
Μω R
W
2
 , β)
2 2
Μω R
W
8
 , γ)  2 2
W Μω R
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς το άξονα περιστροφής του
δίνεται από τη σχέση: 2
cm
1
I MR
2
 και θεωρήστε τον άνθρωπο ως υλικό σημείο.
74. Τροχός έχει ροπή αδράνειας Ι και περιστρέφεται γύρω από σταθερό
άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του με
σταθερή γωνιακή ταχύτητα ω. Αν ο άξονας περιστροφής, περιστραφεί με κα-
τάλληλη δύναμη κατά 90 τότε το μέτρο της μεταβολής της στροφορμής θα
είναι:
α. μηδέν β. Ιω γ. Ιω 2
75. Ομογενής κύλινδρος ακτίνας R και μάζας Μ, κυλίεται χωρίς ολίσθηση
σε οριζόντιο επίπεδο με κινητική ενέργεια Κ. Η ροπή αδράνειας του κυλίν-
δρου, ως προς άξονα που διέρχεται από το σημείο που ο κύλινδρος εφάπτεται
με το οριζόντιο επίπεδο και είναι παράλληλος με την ευθεία που ενώνει τα κέ-
ντρα των βάσεων του, είναι Ι=1,5ΜR2.
Η κινητική ενέργεια της σφαίρας λόγω περιστροφής Κπερ είναι:

255
α.
1
K
3
   β. K   γ.
3
K
5
  
76. Στερεό σώμα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει σε οριζόντιο δάπεδο. Κάποια
χρονική στιγμή η κινητική του ενέργεια λόγω μεταφοράς είναι: Κμετ=8J, ενώ η
κινητική του ενέργεια συνολικά, την ίδια χρονική στιγμή, είναι: K=12J. Τη
χρονική στιγμή που θα διαθέτει συνολική κινητική ενέργεια Κ=15J η κινητική
ενέργεια λόγω μεταφοράς θα είναι:
α. Κμετ=10J β. Κμετ=5J γ. Κμετ=11J
και μπορούν να περιστρέφονται γύρω από κοινό άξονα που διέρχεται από το
κέντρο τους και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Αρχικά οι δίσκοι δεν έρχο-
νται σε επαφή μεταξύ τους και περιστρέφεται μόνο αυτός που βρίσκεται στην
κατώτερη θέση. Αν αφήσουμε να πέσουν πάνω του οι υπόλοιποι ώστε να πε-
ριστρέφονται ως ένας, η απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος θα
είναι:
α. 75% β. 25% γ. 30%
78. Τα αστέρια που μετατρέπονται σε αστέρες νετρονίων, όταν εξαντλή-
σουν τα αποθέματα ενέργειας που διαθέτουν συρρικνώνονται λόγω της βαρύ-
τητας με αποτέλεσμα την αύξηση της γωνιακής τους ταχύτητας. Αν σε κάποιο
στάδιο της συρρίκνωσής τους έχουν διπλασιάσει τη γωνιακή τους ταχύτητα
τότε η κινητική τους ενέργεια θα έχει γίνει:
α. διπλάσια β. τετραπλάσια γ. υποδιπλάσια
79. Σώμα (Α) μάζας m και κινητικής ενέργειας Κ συγκρούεται κεντρικά και
πλαστικά σε λείο οριζόντιο επίπεδο με άλλο σώμα (Β) τριπλάσιας μάζας από
το (Α) το οποίο είναι αρχικά ακίνητο. Το έργο της δύναμης που άσκησε κατά
τη διάρκεια της κρούσης το (Β) σώμα στο (Α) είναι:
α) -Κ/16, β) -15Κ/16, γ) -3Κ/4

256
80. Δύο σώματα με μάζες m1=m και m2=3m κινούνται σε κάθετες διευ-
θύνσεις με την ίδια κατά μέτρο ταχύτητα υ1 και κάποια στιγμή συγκρούονται
πλαστικά. Αν Κ1 η κινητική ενέργεια του σώματος m1 πριν την κρούση:
Α. Η απώλεια της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την κρούση είναι:
α. Κ1 β. 1,5Κ1 γ. 2Κ1
Β. Το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του συστήματος κατά την
κρούση είναι:
α. 100% β. 37,5% γ. 75%
Να αιτιολογήσετε τις απαντήσεις σας
81. Σώμα μάζας m κινείται οριζόντια με ταχύτητα υο και συγκρούεται κε-
ντρικά και πλαστικά με αρχικά ακίνητο σώμα μάζας M που ισορροπεί σε ορι-
ζόντιο επίπεδο. Το συσσωμάτωμα που δημιουργείται κατά τη κρούση αποκτά
ταχύτητα VA.
Ίδιο σώμα μάζας m κινείται με ταχύτητα 2υο και συγκρούεται πλαστικά με αρ-
χικά ακίνητο σώμα μάζας Μ που ισορροπεί σε οριζόντιο δάπεδο, αυτή τη φο-
ρά όμως, η κρούση γίνεται υπό γωνία φ=60° με το οριζόντιο επίπεδο. Το συσ-
σωμάτωμα που δημιουργείται κατά τη κρούση αποκτά ταχύτητα VΒ.
Α. Για τις ταχύτητες VA και VB ισχύει:
α. VA=VB β. VA>VB γ. VA<VB
Β. Αν QA η θερμότητα που παρήχθει κατά την πρώτη κρούση και QB η
θερμότητα που παρήχθει κατά τη δεύτερη κρούση, τότε ισχύει:
α. QA<QB β. QA>QB γ. QA=QB
82. Δύο σφαίρες ίσων μαζών κινούνται στην ίδια διεύθυνση η μεν πρώτη με
ταχύτητα υ1=20m/s και η δεύτερη με αντίθετη φορά και ταχύτητα κατά μέ-
τρο υ2=10m/s. Αν η πρώτη σφαίρα μετά τη κρούση αποκτά ταχύτητα
1 10 m /s  ίδιας φοράς με αυτή της υ1 τότε η κρούση είναι:
α. ελαστική β. ανελαστική γ. πλάγια

257
83. Σώμα (Α) μάζας m κινείται με ταχύτητα υ και συγκρούεται κεντρικά και
ανελαστικά με αρχικά ακίνητο σώμα (Β) ίδιας μάζας. Μετά τη κρούση το σώ-
μα (Α) θα:
α) κινηθεί με αντίθετη φορά σε σχέση με την αρχική του.
β) κινηθεί με φορά ίδια σε σχέση με την αρχική του.
γ) ακινητοποιηθεί.
84. Μια σφαίρα μάζας m1 κινείται με ταχύτητα μέτρου υ1 = ηχ
10
υ
πάνω σε
λείο δάπεδο και συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με άλλη ακίνητη σφαίρα
μάζας m2, η οποία φέρει ηχητική πηγή αμελητέας μάζας που εκπέμπει ήχο
συχνότητας fs. Ένας ακίνητος δέκτης βρίσκεται στην ευθεία κίνησης των
σφαιρών και καταγράφει τις συχνότητες f1 και f2, του ήχου που εκπέμπει η
ηχητική πηγή πριν και μετά την κρούση, αντίστοιχα.
Αν το πηλίκο των συχνοτήτων 1
2
f
f
, που καταγράφει ο δέκτης πριν και μετά την
κρούση είναι ίσο με
9
10
, τότε ο λόγος 1
2
m
m
των μαζών είναι ίσος με:
α) 3 β)
1
3
γ) 1
85. Άνθρωπος βρίσκεται σε όχημα και κινείται μεταξύ δύο ακίνητων πηγών
που εκπέμπουν ήχο ίδιας συχνότητας f. Ο άνθρωπος αντιλαμβάνεται ήχο που
η έντασή του μηδενίζεται περιοδικά με συχνότητα υποδεκαπλάσια της συχνό-
τητας ήχου των πηγών. Η ταχύτητα του οχήματος είναι:
α) υ/20, β) υ/10, γ) υ/2,
όπου υ η ταχύτητα του ήχου στον αέρα.
86. Ένα ραντάρ της τροχαίας φέρει πομπό και δέκτη ηχητικών κυμάτων.
Το ραντάρ τοποθετείται σε ένα σταθερό σημείο και στέλνει ηχητικό κύμα συ-
χνότητας fs προς ένα αυτοκίνητο που κινείται με ταχύτητα υΑ στην ευθεία ρα-
ντάρ – αυτοκινήτου και κατευθύνεται προς το ραντάρ. Ο ήχος ανακλάται στο
αυτοκίνητο και το ανακλούμενο κύμα καταγράφεται από το δέκτη του ρα-
ντάρ.

258
Αν υηχ είναι η ταχύτητα του ήχου στον αέρα και η διαφορά συχνοτήτων που
στέλνει ο πομπός του ραντάρ με τη συχνότητα που καταγράφει ο δέκτης του,
είναι ίση με s
9
f
, τότε η ταχύτητα υΑ του αυτοκινήτου είναι ίση με:
α)
19

β) ηχυ
17
γ) ηχυ
10
87. Ακίνητος παρατηρητής αρχίζει τη χρονική
στιγμή to = 0 να κινείται προς ακίνητη ηχητική πηγή η
οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας fs.
Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογήσε-
τε την επιλογή σας.
Αν ο παρατηρητής κινείται στην ευθεία που τον συν-
δέει με την πηγή και η σχέση της συχνότητας του ή-
χου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε συνάρτη-
ση με το χρόνο φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα, τότε ο παρατηρητής:
α) πλησιάζει προς την πηγή κινούμενος με σταθερή επιτάχυνση.
β) απομακρύνεται από την πηγή κινούμενος με σταθερή ταχύτητα.
γ) πλησιάζει προς την πηγή κινούμενος με σταθερή ταχύτητα.
δ) πλησιάζει προς την πηγή κινούμενος με σταθερή επιβράδυνση.
88. Στο διπλανό διάγραμμα απεικονίζεται η συ-
χνότητα που αντιλαμβάνεται ένας παρατηρητής, σε
σχέση με το χρόνο, από ακίνητη πηγή ακουστικών
συχνοτήτων fS.
Α) Ο παρατηρητής από τη χρονική στιγμή 0 έως τη
χρονική στιγμή t1 κινείται:
α) ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενα χωρίς αρχική
ταχύτητα και πλησιάζει στην ηχητική πηγή
β) ευθύγραμμα ομαλά επιταχυνόμενα με αρχική ταχύτητα και πλησιάζει στην
ηχητική πηγή
γ) ευθύγραμμα ομαλά και απομακρύνεται από την ηχητική πηγή.
Β) Ο παρατηρητής από τη χρονική στιγμή t1 και έπειτα:
α) απομακρύνεται από την πηγή με σταθερή ταχύτητα
β) πλησιάζει προς την πηγή με σταθερή ταχύτητα
γ) παραμένει ακίνητος
Να δικαιολογήσετε τις επιλογές σας για όλες τις παραπάνω απαντή-
σεις.
t
Αf
sf
fA
tt1
f2
fs
f1
0

259
89. Ακίνητος παρατηρητής αρχίζει τη χρονική
στιγμή to = 0 να απομακρύνεται από ακίνητη ηχη-
τική πηγή η οποία εκπέμπει ήχο συχνότητας fs.
Να επιλέξετε τη σωστή πρόταση και να δικαιολογή-
σετε την επιλογή σας.
Αν ο παρατηρητής κινείται στην ευθεία που τον
συνδέει με την πηγή και η σχέση της συχνότητας
του ήχου που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής σε
συνάρτηση με το χρόνο φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα, τότε ο παρατηρη-
τής:
α) κινείται με σταθερή ταχύτητα.
β) κινείται με σταθερή επιβράδυνση.
γ) κινείται με σταθερή επιτάχυνση.
90. Ακίνητη ηχητική πηγή εκπέμπει ήχο συχνότητας fS για χρονικό διάστη-
μα ΔtS.Παρατηρητής κινούμενος προς την ηχητική πηγή με σταθερή ταχύτητα
υ ακούει τον ήχο της πηγής για χρόνο ΔtΑ, όπου:
α. ΔtΑ= ΔtS β. ΔtΑ>ΔtS γ. ΔtΑ<ΔtS
91. Τρένο πλησιάζει σε τούνελ που βρίσκεται σε κατακόρυφο βράχο. Ένας
ακίνητος παρατηρητής βρίσκεται πίσω από το τρένο ακούει δύο ήχους, ένα
απευθείας από το τρένο με συχνότητα f1 και ένα από ανάκλαση από τον κα-
τακόρυφο βράχο με συχνότητα f2.
Α. Για τις συχνότητες των δύο ήχων που ακούει ισχύει:
α. f1=f2 β. f1>f2 γ. f1<f2
Β. Για τον χρόνο Δt1 που διαρκεί ο ήχος από ανάκλαση και τον χρόνο Δt2 που
διαρκεί ο ήχος απευθείας από το τρένο ισχύει:
α. Δt1=Δt2 β. Δt1>Δt2 γ. Δt1<Δt2
92. Μηχανοδηγός τρένου που πλησιάζει σε σταθμό ηχεί τη σφυρίχτρα του
τρένου για χρόνο Δt1 και ακούει τη σφυρίχτρα με συχνότητα f1. Ακίνητος
σταθμάρχης που βρίσκεται στο σιδηροδρομικό σταθμό ακούει συχνότητα
σφυρίχτρας f2 για χρόνο Δt2.
A. Για τις συχνότητες που αντιλαμβάνεται ο μηχανοδηγός και ο σταθμάρχης,
ισχύει:
α. f1= f2 β. f1>f2 γ. f1<f2
t
Αf
sf
f1

260
B. Για τους χρόνους που ακούνε τον ήχο της σφυρίχτρας ισχύει:
α. Δt1= Δt2 β. Δt1>Δt2 γ. Δt1<Δt2
93. Να αιτιολογήσετε την ορθότητα ή μη της παρακάτω πρότασης:
«Όταν μειώνεται η απόσταση πηγής – παρατηρητή η συχνότητα που ακούει ο
παρατηρητής είναι μεγαλύτερη από αυτή που εκπέμπει η πηγή, ενώ όταν αυ-
ξάνεται η μεταξύ τους απόσταση η παρατηρούμενη συχνότητα είναι μικρότε-
ρη της εκπεμπόμενης»
94. Δύο αεροπλάνα κινούνται στο ίδιο ύψος h από ακίνητο παρατηρητή
που βρίσκεται στο έδαφος με ίδιες ταχύτητες υα=υ/2, όπου υ η ταχύτητα του
ήχου. Τα αεροπλάνα βρίσκονται σε απόσταση μεταξύ τους S=1,5h και οι μη-
χανές τους παράγουν ήχο συχνότητας f. Τη στιγμή που τα αεροπλάνα ισαπέ-
χουν από τον παρατηρητή, αυτός αντιλαμβάνεται διακροτήματα συχνότητας:
α.
60
f f
91
 
, β.
4
f f
3
 
, γ.
3
f f
4
 
95. Σώμα που φέρει πηγή ακουστικών συχνοτήτων, ταλαντώνεται σε οριζό-
ντιο επίπεδο σε άξονα x΄x με πλάτος ταλάντωσης Α. Στην ευθεία ταλάντωσης
και μακριά από το πλάτος ταλάντωσης προς τη θετικό ημιάξονα x΄x βρίσκεται
ανιχνευτής ακουστικών συχνοτήτων. Κάποια χρονική στιγμή o ανιχνευτής ξε-
κινά να κινείται με σταθερή ταχύτητα υmax/2 προς το σώμα που ταλαντώνε-
ται. Αν υmax η μέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης του σώματος, τότε ο ανιχνευτής
θα ακούει ακριβώς τη συχνότητα της πηγής στη θέση:
α)
A 3
x
2
 κινούμενο προς τα αρνητικά,
β)
A 3
x
2
  κινούμενο προς τα θετικά,
γ)
A
x
2
 κινούμενο προς τα αρνητικά.

261
96. Δέκτης ακουστικών συχνοτήτων που τη χρονική στιγμή to=0 έχει ταχύ-
τητα υο≠0 ξεκινά ευθύγραμμη ομαλά επιταχυνόμενη κίνηση κατευθυνόμενος
προς ακίνητη ηχητική πηγή. Αν η ηχητική πηγή εκπέμπει συχνότητα fS τότε η
γραφική παράσταση της συχνότητας fA που αντιλαμβάνεται ο παρατηρητής
σε συνάρτηση με το χρόνο είναι:
fA
fS
0
t (s)
fA
fS
0
t (s)
fA1
fA
fS
0
fA2
t (s)
(α) (β) (γ)

262
ΘΕΜΑ 3ο & 4ο
1. Στο πάνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 100 N/m
ισορροπεί ένα σώμα μάζας m1, ενώ το άλλο άκρο του ελατηρίου στερεώνεται
στο οριζόντιο δάπεδο. Απομακρύνουμε κατακόρυφα προς τα πάνω το σώμα
μάζας m1 από τη Θ.Ι. του κατά d = 0,2 m και τη χρονική στιγμή t = 0 το
εκτοξεύουμε κατακόρυφα προς τα πάνω από τη θέση που το εκτρέψαμε με
αρχική ταχύτητα μέτρου 1υ 7,5 m/s. To σώμα μετά την εκτόξευσή του
εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με περίοδο ίση με 0,8 s.
α) Να υπολογίσετε τη μάζα m1.
β) Να γράψετε τις εξισώσεις απομάκρυνσης, ταχύτητας και επιτάχυνσης της
ταλάντωσης της μάζας m1, θεωρώντας ως θετική τη φορά της αρχικής
εκτροπής.
γ) Κάποια χρονική στιγμή t1 που η μάζα m1 διέρχεται από τη Θ.Ι. της
κινούμενη προς τα πάνω, αφήνεται να πέσει από σημείο Γ που βρίσκεται στην
ίδια κατακόρυφο με τον άξονα του ελατηρίου δεύτερο σώμα μάζας m2 = 0,4
kg το οποίο τελικά συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά με τη μάζα m1 τη
χρονική στιγμή που αυτή φτάνει στην πάνω ακραία θέση της ταλάντωσης της
για πρώτη φορά μετά τη στιγμή t1. Να υπολογίσετε:
i) το διάστημα που διάνυσε το σώμα μάζας m2 μέχρι να συγκρουστεί με το
σώμα μάζας m1,
ii) το πλάτος της ταλάντωσης του συσσωματώματος.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 m/s2 και για τις πράξεις π2 = 10.
2. Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100N/m έ-
χει το κάτω του άκρο στερεωμένο ακλόνητα. Στο πάνω του ά-
κρο τοποθετούμε ακλόνητα στερεωμένο σώμα μάζας M=3kg.
Από ύψος h=1,6m πάνω από τη θέση ισορροπίας του Μ αφή-
νουμε να πέσει ελεύθερα σώμα μάζας m=1kg, το οποίο συ-
γκρούεται και κολλά προσωρινά με το σώμα μάζας Μ.
α) Να αποδείξετε ότι η κρούση δεν θα είναι ελαστική και ότι το
σύστημα θα εκτελέσει απλή αρμονική ταλάντωση.
β) Να υπολογίσετε το πλάτος ταλάντωσης.
γ) Να γράψετε τη συνάρτηση της δύναμης που δέχεται το σώ-
μα μάζας m από το σώμα που είναι ακλόνητα στερεωμένο στο
ελατήριο, συναρτήσει της θέσης και να κατασκευάσετε το αντίστοιχο γράφη-
μα σε βαθμονομημένους άξονες.
δ) Να βρείτε το ελάχιστο ύψος h΄ που πρέπει να αφήσουμε αρχικά το σώμα
μάζας m, πάνω από τη θέση ισορροπίας του M, ώστε κατά τη διάρκειας της
ταλάντωσης του συστήματος να χάσει την επαφή του με το Μ.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/s2. Οι τριβές και λοιπές αντι-
στάσεις με τον αέρα θεωρούνται αμελητέες.
M
m
k
h

263
3. Κατακόρυφο ελατήριο σταθεράς k=100N/m έχει το κάτω του άκρο
στερεωμένο ακλόνητα. Στο πάνω άκρο του ελατηρίου τοποθετούμε σταθερά
σώμα μάζας m=2kg. Το σώμα στη θέση ισορροπίας τη χρονική στιγμή to=0
εκρήγνυται σε δύο κομμάτια. Το πάνω κομμάτι του σώματος με μάζα
m
2
, α-
ποκτά ταχύτητα κατακόρυφη με φορά προς τα πάνω μέτρου 1 3 m /s  . Το
κάτω κομμάτι μένει προσκολλημένο στο ελατήριο και ξεκινά απλή αρμονική
ταλάντωση.
α) Ποια η ταχύτητα του κομματιού που έμεινε στο ελατήριο αμέσως μετά την
έκρηξη.
β) Ποια η μέγιστη ταχύτητα του σώματος που εκτελεί απλή αρμονική ταλά-
ντωση;
γ) Ποια χρονική στιγμή το σώμα που εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση, θα
επανέλθει στη θέση που έγινε η έκρηξη, για πρώτη φορά;
4. Στο λείο κεκλιμένο επί-
πεδο του διπλανού σχήματος
γωνίας κλίσης φ=30° ισορροπεί
ακίνητο σώμα μάζας Μ=9kg,
δεμένο σε ελατήριο σταθεράς
k=100N/m, το άλλο άκρο του
οποίου είναι στερεωμένο ακλό-
νητα σε σταθερό σημείο. Δεύ-
τερο σώμα μάζας m=1kg είναι
δεμένο σε κατακόρυφο νήμα
μήκους l=1m. Εκτρέπουμε το
σώμα μάζας m από τη κατακό-
ρυφο κατά γωνία θ=60° κρατώντας τεντωμένο το νήμα και το αφήνουμε ε-
λεύθερο. Μόλις το νήμα γίνεται κατακόρυφο το σώμα μάζας m συγκρούεται
πλαστικά με το σώμα μάζας Μ που ισορροπεί στο κεκλιμένο επίπεδο και το
νήμα την ίδια χρονική στιγμή σπάει. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει από τη
κρούση ξεκινά αμέσως μετά απλή αρμονική ταλάντωση.
α) Ποιο το όριο θραύσης του νήματος αν είναι γνωστό ότι σπάει όταν βρεθεί
στη κατακόρυφο θέση.
β) Ποια η εξίσωση ταλάντωσης του συσσωματώματος.
γ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συσσωματώματος
αμέσως μετά τη κρούση.
δ) Ποια η απώλεια της κινητικής ενέργειας κατά τη κρούση.
5. Στη βάση κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ=30° προσδένουμε ιδα-
νικό ελατήριο σταθεράς k=100N/m. Στο άλλο άκρο του ελατηρίου τοποθε-
τούμε σταθερά σώμα μάζας m1=2kg. Στη θέση που ισορροπεί το m1 με το ε-
Μ
k
m
θ
φ

264
λατήριο, φέρνουμε σώμα μάζας m2=m1 και μόλις
που το ακουμπάμε με το m1 όπως φαίνεται στο σχή-
μα. Από αυτή τη θέση βάλουμε τα δύο σώματα με
ταχύτητα 2 m /s  , στη διεύθυνση του ελατηρίου
με φορά προς τα κάτω με αποτέλεσμα να σύστημα
να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλάντωση.
α) Ποια η μέγιστη ταχύτητα που θα αποκτήσουν τα δύο σώματα.
β) Να αποδείξετε ότι τα δύο σώματα θα χάσουν την επαφή μεταξύ τους.
γ) Ποια η επιτάχυνση του σώματος m1 τη στιγμή που χάνεται η επαφή των
δύο σωμάτων;
δ) Ποια η μέγιστη απομάκρυνση του σώματος m1 από τη θέση ισορροπίας του
μετά την αποκόλληση του από το άλλο σώμα;
Δίνεται: g=10m/s2.
6. Το κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=300N/m του σχήματος
έχει στο κάτω του άκρο στερεωμένο ακλόνητα σώμα μάζας m2=2kg και στο
πάνω του άκρο επίσης στερεωμένο ακλόνητα σώμα μάζας
m1=1kg. Το σώμα μάζας m2 ισορροπεί στο οριζόντιο δάπε-
δο μαζί με όλο το σύστημα όπως φαίνεται στο σχήμα. Ε-
κτρέπουμε κατακόρυφα το σώμα m1 από τη θέση ισορροπί-
ας του κατά d=5cm προς τα κάτω και το αφήνουμε ελεύθε-
ρο με αποτέλεσμα το σύστημα μάζας m1 – ελατήριο να ξε-
κινήσει απλή αρμονική ταλάντωση. Αν θεωρήσουμε θετική
φορά την αρχική εκτροπή:
α) Ποια η αλγεβρική τιμή της δύναμης που δέχεται το m2 από το έδαφος συ-
ναρτήσει της θέσης του σώματος σε σχέση με τη θέση ισορροπίας του. Ποιο
το αντίστοιχο γράφημα;
β) Ποιο το γράφημα δυναμικής ενέργειας ταλάντωσης συναρτήσει του χρό-
νου;
γ) Ποια η μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας του
σώματος m1 κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του.
δ) Ποια η μέγιστη αρχική εκτροπή dmax του σώματος m1 από τη θέση ισορρο-
πίας του ώστε το m2 να μην ανασηκωθεί από το δάπεδο κατά τη διάρκεια της
ταλάντωσης.
Οι τριβές με το δάπεδο να θεωρηθούν αμελητέες.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
7. Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100N/m έχει το πάνω του
άκρο στερεωμένο ακλόνητα. Στο κάτω του άκρο δένουμε λεπτό αβαρές και
μη εκτατό νήμα στο κάτω άκρο του οποίου στερεώνουμε ακλόνητα σώμα μά-
ζας m1=1kg όπως φαίνεται στο σχήμα. Εκτρέπουμε το σώμα κατά d=5cm στη
διεύθυνση του νήματος προς τα κάτω και αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο με
m1
m2
k
φ
m1
m2
k

265
αποτέλεσμα αυτό να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλά-
ντωση. Αν θεωρήσουμε θετική φορά την αρχική ε-
κτροπή:
α) Ποια η αλγεβρική τιμή της τάσης του νήματος συ-
ναρτήσει της θέσης του σώματος σε σχέση με τη θέση
ισορροπίας του. Ποιο το αντίστοιχο γράφημα;
β) Ποια η μέγιστη αρχική εκτροπή ώστε το νήμα να
μην χαλαρώσει κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης;
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2
8. Ένα σώμα μάζας m = 4 kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου
ελατηρίου σταθεράς k = 400 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι δεμένο
στην οροφή και ισορροπεί ακίνητο. Φέρνουμε το σώμα στη θέση που το
ελατήριο έχει το φυσικό του μήκος και τη στιγμή που το αφήνουμε ελεύθερο
να κινηθεί έρχεται μια μικρή σφαίρα που κινείται κατακόρυφα και
συγκρούεται μετωπικά μ’ αυτό, χωρίς να δημιουργείται συσσωμάτωμα. Το
σώμα μάζας m αμέσως μετά την κρούση αποκτά ταχύτητα μέτρου υ = 3
m/s με φορά προς τα πάνω και αρχίζει να ταλαντώνεται.
α) Να αποδείξετε ότι η σταθερά επαναφοράς της ταλάντωσης του σώματος
ισούται με τη σταθερά k του ελατηρίου.
β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα.
γ) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος από τη
θέση ισορροπίας του, θεωρώντας ως t = 0 τη στιγμή που το σώμα αφήνεται
να κινηθεί και ως θετική φορά τη φορά προς τα πάνω.
δ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη δύναμη που δέχεται το σώμα από το ελατήριο
κατά τη διάρκεια της ταλάντωσής του.
ε) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος
καθώς και το ρυθμό μεταβολής της δυναμικής ενέργειας της ταλάντωσης, τη
χρονική στιγμή που το σώμα ανερχόμενο διέρχεται από τη θέση φυσικού
μήκους του ελατηρίου.
στ) Να υπολογίσετε την ενέργεια που πρέπει να προσφερθεί στο σώμα μέσω
του έργου μιας εξωτερικής δύναμης, ώστε να διπλασιαστεί το πλάτος της
ταλάντωσης του, χωρίς να μεταβληθεί κάποιο φυσικό χαρακτηριστικό του
ταλαντούμενου συστήματος.
9. Πυκνωτής χωρητικότητας C=1μF είναι συνδεδεμένος μέσω μεταγωγού
με τα άκρα ωμικής αντίστασης R1=5Ω όπως φαίνεται στο κύκλωμα του
σχήματος. Ο μεταγωγός παραμένει για μεγάλο χρονικό διάστημα στη θέση 1
ώστε ο πυκνωτής να φορτιστεί πλήρως. Στη συνέχεια τη χρονική στιγμή to=0
μετακινείται ακαριαία στη θέση 2 έτσι ώστε να μην δημιουργηθεί σπινθήρας.
Για το κύκλωμα δίνονται: Ε=20V, r=2Ω, R2=3Ω, L=10mH.
m1
k
νήμα

266
α) Ποιο το φορτίο που αποκτά ο πυκνωτής
πριν τη μετακίνηση του μεταγωγού και ποιος
οπλισμός του θα φορτιστεί πρώτος θετικά;
β) Ποιες οι χρονικές εξισώσεις φορτίου και
έντασης ρεύματος από τη στιγμή που ο
μεταγωγός θα μετακινηθεί στη θέση 2;
γ) Ποια η απόλυτη τιμή της τάσης απο
αυτεπαγωγή που αναπτύσεται στο πηνίο τη
στιγμή που το ρεύμα πέρνει για πρώτη φορά
τιμή i1=−5∙10-2A.
δ) Ποια η τάση στα άκρα του πυκνωτή τη στιγμή που η δυναμική ενέργεια του
μαγνητικού πεδίου γίνεται τριπλάσια από εκείνη του ηλεκτρικού πεδίου, για
πρώτη φορά;
10. Ηλεκτρικό κύκλωμα αποτε-
λείται από τα στοιχεία που φαίνο-
νται στο διπλανό σχήμα. Στην αρ- χή
οι διακόπτες δ1 και δ3 παραμέ-
νουν κλειστοί για μεγάλο χρονικό
διάστημα και ο δ2 ανοικτός. Τη
χρονική στιγμή to=0 ανοίγουμε
ταυτόχρονα τους διακόπτες δ1 και δ3
και κλείνουμε τον δ2 χωρίς να δη- μι-
ουργηθεί σε κανέναν απ’ αυτούς
σπινθήρας. Για τα στοιχεία του
κυκλώματος δίνονται: Ε1=20V, r1=1Ω, R=9Ω, L=10-1mH, C=1μF, E2=20V.
α) Ποια η ενέργεια του κυκλώματος LC Που δημιουργείται μετά τη χρονική
στιγμή to=0.
β) Ποιες οι χρονικές εξισώσεις του φορτίου στον πυκνωτή και της έντασης του
ρεύματος στο κύκλωμα μετά τη χρονική στιγμή to=0, θεωρώντας την αρχική
φορά του ρεύματος θετική.
γ) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της τάσης στα άκρα του πυκνωτή όταν το ρεύ-
μα στο κύκλωμα πάρει τη μέγιστη τιμή του;
11. Ιδανικό πηνίο συντελεστού αυτεπαγωγής
L=20mH είναι συνδεδεμένο σε κύκλωμα
συνεχούς τάσης όπως φαίνεται στο σχήμα με το
διακόπτη δ κλειστό για μεγάλο χρονικό
διάστημα. Τη χρονική στιγμή to=0 ανοίγουμε το
διακόπτη δ. Για το κύκλωμα του σχήματος
δίνονται: Ε=20V, r=1Ω, R=4Ω, C=8μF.
α) Ποια η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το
κύκλωμα όταν διακόπτης δ είναι κλειστός και
αφού έχει αποκατασταθεί το ρεύμα.
Ε, r
R2
R1 C L
μ
1 2
Ε1, r1
R
L C E2
δ2δ1 δ3
C
L
E, r R
δ

267
β) Εξηγείστε γιατί ο πυκωντής δεν φορτίζεται για όσο χρονικό διάστημα
παραμένει κλειστός ο διακόπτης. Γιατί ο πυκνωτής φορτίζεται όταν ο
διακόπτης δ ανοίξει;
γ) Ποιες οι χρονικές εξισώσεις έντασης του ρεύματος και φορτίου στα άκρα
του πυκνωτή, από τη στιγμή που ο διακόπτης δ ανοίγει;
δ) Ποια η απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής τάσης στα άκρα του πυκνωτή
όταν η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου γίνει μισή από τη μέγιστη;
12. Το κύκλωμα του σχήματος αποτελείται από
ιδανικό πηνίο συντελεστού αυτεπαγωγής L=10mH,
ιδανικό πυκνωτή χωρητικότητας C=4μF και ιδανική
πηγή συνεχούς τάσης V=20V. Τα καλώδια διασύν-
δεσης των στοιχείων του κυκλώματος έχουν μηδενι-
κή αντίσταση. Αρχικά ο μεταγωγός μ είναι στη θέση
1 και ο πυκνωτής φορτίζεται πλήρως. Τη χρονική
στιγμή to=0, μετακινούμε το μεταγωγό ακαριαία στη
θέση 2, χωρίς τη δημιουργία σπινθήρα με αποτέλεσμα το κύκλωμα LC που
δημιουργείται να ξεκινήσει αμείωτη ηλεκτρική ταλάντωση.
α. Να γράψετε τις εξισώσεις φορτίου στον πυκνωτή και έντασης ρεύματος για
το κύκλωμα LC, που δημιουργείται μετά τη χρονική στιγμή to. Σε ποιον οπλι-
σμό του πυκνωτή αναφέρεται η εξίσωση φορτίου που γράψατε; Ποια η ερμη-
νεία του πρόσημου της εξίσωσης έντασης ρεύματος;
β. Ποια η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα τη χρονική στιγμή που το φορτί-
ου στον πυκνωτή γίνεται 4∙10-5 C για δεύτερη φορά;
γ. Να παραστήσετε σε κοινούς άξονες την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου
του πυκνωτή, την ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου και την ολική
ενέργεια σε συνάρτηση με την ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα.
δ. Ποια χρονική στιγμή η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου του πηνίου γίνεται
για πρώτη φορά ίση με την ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή;
ε. Ποια η ένταση του ρεύματος στο κύκλωμα τις στιγμές που η ενέργεια του
ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται τριπλάσια από την ενέργεια του μα-
γνητικού πεδίου του πηνίου;
στ. Ποια θα έπρεπε να ήταν η χωρητικότητα του πυκνωτή ώστε η μέγιστη έ-
νταση του ρεύματος να μην ξεπερνούσε την τιμή των 2mA;
13. Το κύκλωμα του σχήματος αποτελείται
από πηγή ηλεκτρεγερτικής δύναμης Ε και μη-
δενικής εσωτερικής αντίστασης, ιδανικό πηνίο
συντελεστού αυτεπαγωγής L=0,2H, ιδανικό
πυκνωτή χωρητικότητας C=20μF και αντιστάτη
με αντίσταση R=10Ω. Αρχικά ο διακόπτης δ
είναι κλειστός, το κύκλωμα διαρρέεται από
σταθερό ρεύμα ο πυκνωτής είναι αφόρτιστος
και η ενέργεια του μαγνητικού πεδίου στο πη-
V
L
C
μ
1 2
Α
Γ
C
L
E, r R
δ
Α Γ

268
νίο είναι UB=0,4J. Τη χρονική στιγμή to=0, ανοίγουμε το διακόπτη δ.
α. Εξηγείστε γιατί όταν ανοίγουμε το διακόπτη δ, φορτίζεται ο πυκνωτής. Ποι-
ος οπλισμός του πυκνωτή φορτίζεται πρώτος θετικά;
β. Γράψτε τις εξισώσεις που δίνουν το φορτίο στον πυκνωτή και την ένταση
του ρεύματος στο κύκλωμα μετά το άνοιγμα του διακόπτη.
γ. Ποια η απόλυτη τιμή του ρυθμού μεταβολής της έντασης του ρεύματος στο
κύκλωμα τη χρονική στιγμή που το φορτίο στον πυκνωτή γίνει ίσο με 2∙10-3 C.
δ. Ποια η ηλεκτρεγερτική δύναμη Ε της πηγής.
14. Το κύκλωμα του σχήματος αποτελείται από
δύο ιδανικά πηνία συντελεστών αυτεπαγωγής α-
ντίστοιχα L1=0,8H και L2=0,2H και ιδανικό πυκνω-
τή χωρητικότητας C=20μF. Αρχικά ο διακόπτης Δ1
είναι κλειστός και ο Δ2 ανοικτός και ο πυκνωτής
έχει φορτιστεί πλήρως από πηγή τάσης V=40V. Τη
χρονική στιγμή που το ρεύμα στο κύκλωμα είναι
i1=0,1A ακαριαία και χωρίς τη δημιουργία σπινθή-
ρων ανοίγουμε το διακόπτη Δ1 και κλείνουμε ταυ-
τόχρονα το διακόπτη Δ2.
Ποιες οι χρονικές εξισώσεις της έντασης του ρεύματος στο κύκλωμα και του
φορτίου του πυκνωτή μετά το κλείσιμο του διακόπτη Δ2;
15. Το κύκλωμα του διπλανού σχήματος
αποτελείται από πυκνωτή χωρητικότητας
C=100μF ιδανικά πηνία με συντελεστές αυτε-
παγωγής L1=L και 2
L
L
4
 με L=16∙10-2H, και
ιδανική πηγή με V=8∙10-2V.
Ο μεταγωγός αρχικά βρίσκεται στη θέση 1 και
ο πυκνωτής φορτίζεται πλήρως. Τη χρονική
στιγμή to=0 μετακινούμε ακαριαία τον αγωγό
στη θέση 2 χωρίς τη δημιουργία σπινθήρα και
απώλεια ενέργειας.
α. Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις του φορτίου στον πυκνωτή και της έ-
ντασης ρεύματος στο κύκλωμα L1C μετά τη μετακίνηση του μεταγωγού στη
θέση 2.
β. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής της ενέργειας του
πυκνωτή στο κύκλωμα L1C.
γ. Κάποια στιγμή όπου η ένταση του ρεύματος που διαρρέει το πηνίο L1 έχει
την αρχική φορά και τιμή √310-3Α, μετακινούμε ακαριαία τον μεταγωγό από
τη θέση 2 απευθείας στη θέση 3, οπότε το κύκλωμα RL2C ξεκινά φθίνουσα
ηλεκτρική ταλάντωση. Αν το μέγιστο φορτίο στον πυκνωτή δίνεται από τη
L1 L2
C
Δ1 Δ2
V L1
C
L2
R
1
2 3
μ

269
σχέση Q=Qoe-(πln2)t, να υπολογίσετε μετά από πόσες πλήρεις ταλαντώσεις το
μέγιστο φορτίο του πυκνωτή θα γίνει ίσο με Q΄=10-6C.
δ. Πόση ενέργεια έγινε θερμότητα στην αντίσταση R μέχρι τη στιγμή που υπο-
διπλασιάστηκε το φορτίο στον πυκνωτή;
Δίνεται π2=10.
16. Η επιλογή των σταθμών σε ένα ραδιοφωνικό δέκτη γίνεται με τη βοή-
θεια ενός ιδανικού κυκλώματος L-C, το οποίο περιλαμβάνει πυκνωτή μεταβλη-
τής χωρητικότητας και ιδανικό πηνίο με συντελεστή αυτεπαγωγής L = 10 μΗ.
Ένας ακροατής ακούει τον αγαπημένο του ραδιοσταθμό, που εκπέμπει στα
100 ΜHz.
α) Πόση είναι η ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος L-C, και η χωρητικότητα του
πυκνωτή, όταν ο ακροατής ακούει τον αγαπημένο του ραδιοσταθμό.
β) Αν η μέγιστη τιμή του φορτίου του πυκνωτή είναι ίση με 92
10


C, να υπο-
λογίσετε την ενέργεια της ηλεκτρικής ταλάντωσης που εκτελεί το κύκλωμα L-
C.
γ) Αν ο ακροατής μεταβάλλει την ιδιοσυχνότητα του κυκλώματος, ώστε να
“πιάσει” άλλο σταθμό που εκπέμπει στα 50 ΜΗz, τότε μεταβάλλεται και η μέ-
γιστη τιμή του φορτίου του πυκνωτή και η μέγιστη τιμή της έντασης του ρεύ-
ματος, η οποία γίνεται ίση με 0,5 Α. Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή της τάσης
που εμφανίζεται τώρα στους οπλισμούς του πυκνωτή.
Για τις πράξεις δίνεται: π2 = 10
17. Το σώμα μάζας m=2kg του σχήματος
μπορεί να εκτελεί ταλάντωση σε λείο κεκλι-
μένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30°, μέσα
σε δοχείο στο οποίο μπορούμε να μεταβάλ-
λουμε την πίεση του αέρα. Το σώμα ισορρο-
πεί δεμένο στο πάνω του μέρος με λεπτό
αβαρές μη εκτακτό νήμα, στο εμφανίζεται
τάση Τ=20Ν, και το ελατήριο σε αυτή τη
θέση έχει επιμηκυνθεί. Στο κάτω του μέρος
είναι δεμένο σταθερά με ιδανικό ελατήριο
σταθεράς k=100N/m, ενώ το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι δεμένο σταθερά
τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου. Κάποια χρονική στιγμή, κόβουμε το νήμα
με αποτέλεσμα το σύστημα να ξεκινήσει φθίνουσα ταλάντωση με αντιτιθέμενη
δύναμη της μορφής F=−bυ. Το πλάτος ταλάντωσης του συστήματος μετά από
5 ταλαντώσεις γίνεται Α5=0,1m.
Α) i) Να αποδείξετε ότι το αρχικό πλάτος ταλάντωσης θα είναι Α-
ο=0,2m.
ii) Πόση ενέργεια έγινε θερμότητα (ή πιο το έργο της αντιτιθέμε-
νης δύναμης), μετά τη παρέλευση των 10 πρώτων ταλαντώσεων.
αντλία
k
m
φ

270
Β) Τη χρονική στιγμή που ολοκληρώνεται η 10η ταλάντωση αντλούμε
ακαριαία όλο τον αέρα από το δοχείο χωρίς να επηρεαστεί το πλάτος ταλά-
ντωσης με αποτέλεσμα το σώμα να συνεχίσει να εκτελεί απλή αρμονική ταλά-
ντωση αλλά αμείωτη αυτή τη φορά. Αν θεωρήσουμε to=0 τη χρονική στιγμή
ολοκλήρωσης της 10ης ταλάντωσης:
i) Ποια η χρονική εξίσωση θέσης για το σώμα, θεωρώντας θετική
φορά τη φορά της αρχικής εκτροπής;
ii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώ-
ματος τη χρονική στιγμή που το ελατήριο έχει συσπειρωθεί κατά Δx=0,075m.
18. Κατακόρυφο ιδανικό ελατήριο σταθεράς k=100 N/m έχει το πάνω του
άκρο στερεωμένο ακλόνητα. Στo κάτω του άκρο προσδένουμε σταθερά σώμα
μάζας m=1kg. Το σύστημα εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση με δύναμη απόσβε-
σης που είναι της μορφής F=−υ (S.I.). Εφαρμόζουμε διεγείρουσα δύναμη με
συχνότητα f=6/π Hz με αποτέλεσμα το σύστημα να εκτελεί εξαναγκασμένη
ταλάντωση με πλάτος σταθερό που αποκαθίσταται στη τιμή Α=0,1m. Αν η τα-
λάντωση δεν παρουσιάζει αρχική φάση:
α) Ποια η εξίσωση ταχύτητας της εξαναγκασμένης ταλάντωσης;
β) Ποιος ο μέγιστος ρυθμός απορρόφησης ενέργειας του συστήματος από το
διεγέρτη;
γ) Αν αυξήσουμε ελάχιστα τη συχνότητα διεγέρτη τι θα πάθει το πλάτος ταλά-
ντωσης;
δ) Πόσο πρέπει να μεταβάλουμε τη μάζα του σώματος για να έχουμε μεγιστο-
ποίηση του πλάτους;
19. Υλικό σημείο Σ μάζας m=2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές
ταλαντώσεις, οι οποίες γίνονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω από την ίδια
θέση ισορροπίας. Η πρώτη αρμονική ταλάντωση που εκτελεί το σώμα περι-
γράφεται από την εξίσωση: x1=A1ημωt και η δεύτερη αρμονική ταλάντωση
έχει πλάτος Α2 και παρουσιάζει διαφορά φάσης από τη πρώτη
3

  rad, και
προηγείται αυτής. Οι δύο ταλαντώσεις έχουν συχνότητα
5
f Hz

. Η εξίσωση
ταχύτητας της συνισταμένης ταλάντωσης που εκτελεί το σώμα Σ δίνεται από
την: 0,2 3 ( t )
6

     (S.I.)
α) Ποιες οι εξισώσεις θέσης των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων που εκτελεί το
σώμα Σ;
β) Να γραφτεί η χρονική εξίσωση δύναμης της συνισταμένης ταλάντωσης που
εκτελεί το σώμα Σ και να γίνει η γραφική παράσταση συναρτήσει του χρόνου
μέχρι τη χρονική στιγμή t1=0,4πs.

271
γ) Ποιος ο λόγος κινητικής προς δυναμική ενέργεια του σώματος, τη χρονική
στιγμή που η απομάκρυνση του σώματος Σ εξ’ αιτίας της πρώτης μόνο ταλά-
ντωσης θα ήταν x1=1cm.
20. Υλικό σημείο Σ μάζας m=2kg εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρμονικές
ταλαντώσεις της μορφής x=Aημωt, ίδιου πλάτους, οι οποίες γίνονται στην ίδια
διεύθυνση και γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Το σώμα παρουσιάζει γω-
νιακή συχνότητα ταλάντωσης ω=90π r/s και μεταξύ δύο διαδοχικών μηδενι-
σμών του πλάτους εκτελεί 45 ταλαντώσεις, ενώ η μέγιστη ταχύτητα που πα-
ρουσιάζει είναι 7,2π m/s.
α) Ποια η περίοδος διακροτημάτων;
β) Ποια η χρονική εξίσωση της συνισταμένης ταλάντωσης;
γ) Ποιες οι εξισώσεις των δύο συνιστωσών ταλαντώσεων;
δ) Ποιο το γράφημα του πλάτους συναρτήσει του χρόνου από τη χρονική
στιγμή to=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t1=2s.
21. Ένα γραμμικό ελαστικό μέσο ταυτίζεται με τον θετικό ημιάξονα Οx. Μια
πηγή παραγωγής ημιτονοειδών κυμάτων, η οποία βρίσκεται στην αρχή Ο του
άξονα αρχίζει τη χρονική στιγμή t = 0 να εκτελεί κατακόρυφη απλή αρμονική
ταλάντωση με εξίσωση της μορφής y = 4ημωt (y σε cm, t σε s). Το
παραγόμενο εγκάρσιο κύμα διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του άξονα
και τη χρονική στιγμή t1 = 0,2 s, φτάνει στο σημείο Μ, που έχει τετμημένη
xM=+24 cm. Την ίδια χρονική στιγμή η φάση της ταλάντωσης της πηγής, με
4π rad.
α) Να υπολογίσετε, την συχνότητα ταλάντωσης της πηγής.
β) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης του κύματος και να γράψετε την
εξίσωση του παραγόμενου αρμονικού κύματος.
γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1 και να
υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του υλικού σημείου που βρίσκεται στην
αρχή Ο του άξονα την ίδια στιγμή.
δ) Δύο υλικά σημεία Κ και Λ του ελαστικού μέσου έχουν τετμημένες 15 cm
και 18 cm, αντίστοιχα. Να υπολογίσετε την απόσταση μεταξύ των υλικών
σημείων Κ και Λ, τη χρονική στιγμή t1 = 0,2 s.
22. Απλό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά
μήκος μιας ελαστικής χορδής. Το σημείο Ο
της χορδής ξεκινά ταλάντωση τη χρονική
στιγμή to=0, μεταξύ δύο ακραίων θέσεων που
απέχουν μεταξύ τους απόσταση 8m. Το διά-
γραμμα της φάσης των σημείων του μέσου
στο οποίο διαδίδεται το κύμα σε συνάρτηση
με την απόσταση από το σημείο Ο, τη χρονική
φ (rad)
2π
0
2 x (m)
t1=1s

272
στιγμή t1=1s, φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα.
α) Ποια η περίοδος και το μήκος κύματος
β) Ποια η εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου Κ που βρίσκεται σε θέση με από-
σταση από το Ο xK=4m.
γ) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2=2,5s;
( Θα μπορούσε να ζητείται να σχεδιαστεί διάγραμμα φ – x αντί να δίνεται)
23. Απλό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά
μήκος μιας ελαστικής χορδής. Το σημείο Ο της
χορδής ξεκινά ταλάντωση τη χρονική στιγμή
to=0, μεταξύ δύο ακραίων θέσεων που απέ-
χουν μεταξύ τους απόσταση 10cm. Το διά-
γραμμα της φάσης των σημείων του μέσου στο
οποίο διαδίδεται το κύμα σε συνάρτηση με την
απόσταση από το σημείο Ο, τη χρονική στιγμή
t1=2s, φαίνεται στο διπλανό διάγραμμα.
α) Ποια η εξίσωση του απλού αρμονικού κύμα-
τος.
β) Ποιο το στιγμιότυπο του κύματος τις χρονικές στιγμές:
i) t1=0,6s, ii) t2=0,7s, iii) t3=0,85s
γ) Ποια η εξίσωση θέσης – χρόνου και ταχύτητας – χρόνου για σημείο Κ που
βρίσκεται σε απόσταση xK=8cm από το σημείο Ο. Ποιες οι αντίστοιχες γραφι-
κές παραστάσεις;
δ) Ποια η ταχύτητα του σημείου Κ τη χρονική στιγμή t3;
24. Απλό αρμονικό κύμα διαδίδε-
ται κατά μήκος μιας ελαστικής χορ-
δής. Το σημείο Ο της χορδής ξεκινά
ταλάντωση τη χρονική στιγμή to=0,
μεταξύ δύο ακραίων θέσεων που α-
πέχουν μεταξύ τους απόσταση 80cm.
Το διάγραμμα της φάσης των σημεί-
ων του μέσου στο οποίο διαδίδεται το
κύμα σε συνάρτηση με την απόσταση
από το σημείο Ο, τη χρονική στιγμή
t1=1s, φαίνεται στο διπλανό διά-
γραμμα.
α) Ποια η εξίσωση του απλού αρμονικού κύματος;
β) Ποια η εξίσωση απομάκρυνσης για ένα σημείο K που βρίσκεται στη θέση
xK=−6m και ποια η γραφική παράσταση θέσης του σημείου Κ συναρτήσει του
χρόνου;
γ) Ποια η ταχύτητα του σημείου K τις χρονικές στιγμές t1=1s, t2=1,25s.
0,2
φ (rad)
10π
0
x (m)
t1=2s
−5
φ (rad)
20π
0
x (m)
t1=1s

273
δ) Ποια η εξίσωση θέσης σημείου Μ που βρίσκεται στη θέση M
25
x m
24
 και
ποιο το γράφημα θέσης – χρόνου για το συγκεκριμένο σημείο.
ε) Ποιο το διάγραμμα φάσης – θέσης για τα σημεία του ελαστικού μέσου τη
χρονική στιγμή t3=2s. Ποιο θα ήταν το γράφημα αν το κύμα διαδιδόταν στην
αντίθετη κατεύθυνση απ’ αυτή που πραγματικά διαδίδεται στην ίδια χρονική
στιγμή;
25. Το άκρο Ο γραμμικού ελαστικού μέσου ξεκινά να ταλαντώνεται τη χρο-
νική στιγμή to=0 από τη θέση ισορροπίας του με θετική ταχύτητα. Η απόστα-
ση των δύο ακραίων θέσεων της ταλάντωσής του είναι 4m και σε χρόνο
Δt1=3s η φάση του έχει μεταβληθεί κατά π/2. Η διαταραχή μετά από χρόνο
Δt2=10s έχει φτάσει στο σημείο Κ (xK=20m) του ελαστικού μέσου.
α. Ποια η εξίσωση του κύματος.
β. Να παραστήσετε γραφικά τις φάσεις των σημείων του μέσου στο οποίο δι-
αδίδεται το κύμα σε συνάρτηση με την απόσταση x από την αρχή των αξόνων
Ο, τη χρονική στιγμή t1=6s.
γ. Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t2=24s.
δ. Σχεδιάστε το στιγμιότυπο αν η φορά διάδοσης ήταν προς τον αρνητικό η-
μιάξονα, τη χρονική στιγμή t2.
26. Δύο σώματα Σ1 και Σ2 ίσης μάζας m είναι δεμένα στα κάτω άκρα δύο
όμοιων κατακόρυφων ελατηρίων σταθεράς
k το καθένα, τα άλλα άκρα των οποίων εί-
ναι δεμένα στην οροφή. Τα σώματα εκτε-
λούν εξαναγκασμένες αρμονικές ταλαντώ-
σεις ίδιας συχνότητας f = 5 Hz και φέρουν
στο κάτω μέρος τους μικρές ακίδες, έτσι
ώστε όταν έρχονται στην κάτω ακραία θέση
της ταλάντωσής τους, οι ακίδες να εφάπτονται στη επιφάνεια ενός υγρού και
να δημιουργούν σύγχρονα επιφανειακά κύματα, ίδιου πλάτους τα οποία συμ-
βάλλουν στην επιφάνεια του υγρού. Τα σημεία Κ και Λ, στα οποία εφάπτονται
οι ακίδες με την επιφάνεια του υγρού απέχουν μεταξύ τους απόσταση ίση με
2 m. Από τη χρονική στιγμή to = 0 που οι ακίδες έρχονται για πρώτη φορά σε
επαφή με την επιφάνεια του υγρού και μέχρι τη στιγμή που αρχίζει να ταλα-
ντώνεται το μέσο Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ, πέρασε χρόνος ίσος με 2
s, ενώ το μέγιστο ύψος στο οποίο ανέρχεται το σημείο Μ από τη θέση ισορ-
ροπίας του είναι ίσο με 0,04 m.
α) Να υπολογίσετε το πλάτος των επιφανειακών κυμάτων και να γράψετε τη
χρονική εξίσωση της ταλάντωσης του σημείου Μ.
β) Να υπολογίσετε τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων του σημείου Μ και
ενός σημείου Σ του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ, το οποίο απέχει αποστάσεις
1,25 m και 0,75 m αντίστοιχα από τα σημεία Κ και Λ, από τη στιγμή που έ-
χουν συμβάλλει και τα δύο κύματα στα σημεία Μ και Σ.

274
γ) Να βρείτε πόσα ακίνητα σημεία του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ υπάρχουν
μεταξύ των σημείων Μ και Σ.
δ) Να υπολογίσετε κατά πόσο πρέπει να μεταβάλλουμε τη συχνότητα των τα-
λαντώσεων που εκτελούν τα σώματα (παραμένοντας πάντα ίσες μεταξύ τους),
ώστε το σημείο Σ να είναι σημείο ακυρωτικής συμβολής και μεταξύ του Σ και
του Μ να παρεμβάλλεται ένα μόνο σημείο ενισχυτικής συμβολής.
27. Δύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 βρίσκονται στα σηµεία Α και
Β που απέχουν μεταξύ τους απόσταση d = 1,8 m της ελεύθερης επιφάνειας
νερού και προκαλούν όµοια εγκάρσια κύµατα συχνότητας f = 10 Ηz, που
διαδίδονται µε ταχύτητα υ = 2 m/s. Ένα σηµείο Κ της επιφάνειας του νερού
βρίσκεται πάνω στο ευθύγραµµο τµήµα ΑΒ και απέχει από τα σημεία Α και Β
αποστάσεις (ΑΚ) = r1 και (ΒΚ) = r2 µε r1 > r2. Tο σηµείο Κ ταλαντώνεται µε
µέγιστο πλάτος ίσο με 0,5 m και μεταξύ του σημείου Κ και του μέσου Μ του
ΑΒ υπάρχει ένα σημείο του ευθυγράμμου τμήματος ΑΒ το οποίο είναι ακίνητο.
α) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του σημείου Κ, εξαιτίας της
συμβολής.
β) Να υπολογίσετε τις αποστάσεις r1 και r2 του σηµείου Κ από τα σηµεία Α και
Β.
γ) Να βρείτε τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων των σημείων Κ και του
μέσου Μ του ΑΒ.
δ) Να βρείτε τον αριθµό των σηµείων του ευθύγραµµου τµήµατος ΑΒ που
εξαιτίας της συµβολής έχουν πλάτος ταλάντωσης ίσο µε το πλάτος της
ταλάντωσης του σηµείου Κ.
ε) Ποια η ποσοστιαία μεταβολή στη συχνότητα των πηγών ώστε το Κ να γίνει
το πλησιέστερο στο Μ σημείο που θα παραμένει διαρκώς ακίνητο;
28. Σε δύο σημεία Κ
και Λ της επιφάνειας
ενός υγρού υπάρχουν
δύο πηγές κυμάτων, οι
οποίες αρχίζουν τη χρο-
νική στιγμή t = 0 να ε-
κτελούν κατακόρυφες
αρμονικές ταλαντώσεις
με εξίσωση απομάκρυν-
σης, της μορφής y = 0,02ημωt (S.I.). Τα κύματα που δημιουργούνται διαδίδο-
νται στην επιφάνεια του υγρού χωρίς απώλειες ενέργειας και χωρίς μεταβολή
του πλάτους τους. Ένα υλικό σημείο Σ του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ, απέχει
απόσταση x1 = 0,6 m από το σημείο Κ και απόσταση x2 (x1 < x2), από το Λ.
Κάποια χρονική στιγμή το υλικό σημείο Σ αρχίζει να ταλαντώνεται και η απο-
μάκρυνση του από τη θέση ισορροπίας του μεταβάλλεται με το χρόνο, όπως
φαίνεται στο παραπάνω διάγραμμα.
0,3 0,6
-0,02
0,02
0 t (s)
y (m)

275
α) Να εξετάσετε το είδος της συμβολής στο σημείο Σ (ακυρωτική ή ενισχυτική)
και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
β) Να υπολογίσετε το μήκος κύματος των δύο κυμάτων που διαδίδονται στην
επιφάνεια του υγρού.
γ) Να βρείτε μεταξύ του μέσου Μ του ευθυγράμμου τμήματος ΚΛ και του ση-
μείου Σ, σε πόσα σημεία του ΚΛ, έχουμε ακυρωτική συμβολή.
δ) Να γράψετε την εξίσωση ταλάντωσης του υλικού σημείου Μ (μέσο του ΚΛ),
σε συνάρτηση με το χρόνο και να την παραστήσετε γραφικά σε βαθμολογημέ-
νους άξονες.
29. Δύο κατακόρυφα ελατήρια με σταθερές k1 και k2 αντίστοιχα, εκτελούν
εξαναγκασμένη ταλάντωση σε συντονισμό, ίδιας συχνότητας f πάνω από την
ήρεμη επιφάνεια νερού. Στο κάτω τους άκρο καταλήγουν σε δύο καρφιά μα-
ζών m1= 1kg και m2=2m1. Τα καρφιά μετατρέπονται σε δύο σύγχρονες πηγές
κυμάτων Π1 και Π2 μηδενικής αρχικής φάσης. Τα εγκάρσια κύματα που παρά-
γονται είναι ίδιου μήκους λ και διαδίδονται αναλλοίωτα στην επιφάνεια του
νερού. Ένα σημείο Σ της επιφάνειας του ευθυγράμμου τμήματος Π1Π2 ταλα-
ντώνεται λόγω συμβολής σύμφωνα με την εξίσωση yΣ=0,4ημ(10πt-20π), όπου
το yΣ σε m και t σε sec. Για τις αποστάσεις του Σ από τις δύο πηγές, ισχύει: r2
− r1=
13
3

, όπου r2 η απόσταση από την Π2 και r1 η απόσταση από την Π1 α-
ντίστοιχα. Το ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 έχει μήκος d=6m.
α) Ποιες οι σταθερές των ελατηρίων k1 και k2.
β) Ποιο το πλάτος, το μήκος κύματος και η ταχύτητα διάδοσης του κάθε κύ-
ματος.
γ) Ποιες οι αποστάσεις r1 και r2 του Σ από τις δύο πηγές.
δ) Θεωρώντας ότι το ευθύγραμμο τμήμα Π1Π2 αποτελείται από υλικά σημεία
του μέσου με ίδια στοιχειώδη μάζα dm, να υπολογίσετε πόσα σημεία βρίσκο-
νται ανάμεσα στα σημεία Π1 και Σ του ευθύγραμμου τμήματος Π1Σ, που έχουν
ενέργεια τετραπλάσια απ’ αυτήν του σημείου Σ.
Δίνεται π2=10.
30. Για δύο πηγές απλών αρμονικών κυμάτων που βρίσκονται στην επιφά-
νεια μιας ήρεμης λίμνης τα διαγράμματα φάσης – χρόνου φαίνονται παρακά-
τω:
φ (rad)
π
3π
0
1 t (sec)
φ (rad)
2π
0
1 t (sec)

276
Το πλάτος ταλάντωσης των πηγών είναι Α=2m και η ταχύτητα διάδοσης των
κυμάτων στο νερό είναι υ=1m/s.
α) Ποια η γωνιακή συχνότητα ταλάντωσης των δύο πηγών;
β) Ποιες οι εξισώσεις κυμάτων των δύο πηγών;
γ) Ένα σημείο Κ της επιφάνειας που απέχει απόσταση r1=2m από την πρώτη
πηγή και r2=1m από τη δεύτερη πηγή, είναι σημείο ενισχυτικής, ακυρωτικής
συμβολής ή τίποτε από τα δύο;
δ) Ποια η εξίσωση ταλάντωσης ενός σημείου Μ που απέχει αντίστοιχα από τις
πηγές αποστάσεις r1=4m και r2=3,5m;
ε) Ποιο το μέτρο της ταχύτητας του Μ όταν βρεθεί στη θέση y1=–2m;
( Σε πιο απλή μορφή αυτής της άσκησης θα μπορούσε να δίνει κατευθείαν τις
εξισώσεις των κυμάτων αντί τα διαγράμματα φ-t. Δείτε και την άσκηση 2.52
σχ. βιβλίου σελίδα 84 και προσέξτε το ερώτημα γ.)
31. Στην ήρεμη επιφάνεια ενός υγρού, διαδίδονται αρμονικά κύματα που
δημιουργούν δύο σύγχρονες πηγές Σ1 και Σ2. Οι πηγές ξεκινούν τη κίνησή
τους, ταυτόχρονα, από τη θέση ισορροπίας τους τη χρονική στιγμή to=0, με
θετική ταχύτητα ταλάντωσης και εκτελούν ταλαντώσεις ίδιας συχνότητας και
ίδιου πλάτους. Σημείο Κ της επιφάνειας του
υγρού, απέχει απόσταση r1=6m από τη πηγή
Σ1, βρίσκεται πάνω στην ευθεία που διέρχε-
ται από τη Σ1 και είναι κάθετη στο ευθύ-
γραμμο τμήμα Σ1Σ2. Η ταχύτητα διάδοσης
των κυμάτων είναι υ=4m/s. Το μέσο Μ του
ευθυγράμμου τμήματος Σ1Σ2 ξεκινά ταλά-
ντωση τη χρονική στιγμή tM=1s, με πλάτος
ταλάντωσης 4cm και για να βρεθεί για πρώτη φορά στην ακραία του θέση
θέλει χρόνο Δt=0,0625s.
α) Ποια η απόσταση του σημείου Κ από τη δεύτερη πηγή;
β) Ποια η εξίσωση κίνησης του σημείου Κ;
γ) Ποια η ταχύτητα του Κ τις χρονικές στιγμές: i) 1Kt 1 s , ii) 2Kt 2,25 s .
δ) Πόσα σημεία με πλάτος ίδιο με του μέσου Μ υπάρχουν στο ευθύγραμμο
τμήμα Σ1Κ.
ε) Ποια θα πρέπει να είναι η μεταβολή στη συχνότητα των δύο πηγών, ώστε το
σημείο Κ να βρεθεί στη πρώτη υπερβολή ενισχυτικής συμβολής μετά το ση-
μείο Μ.
στ) Αν οι δύο πηγές ξεκινούσαν τις ταλαντώσεις ταυτόχρονα με την αρχική
τους συχνότητα, αλλά η πηγή Σ2 ξεκινούσε την ταλάντωσή της από τη θέση
+Α, ενώ η Σ1 από τη θέση ισορροπίας της με θετική ταχύτητα, ποιο θα ήταν
τότε το πλάτος του σημείου Κ, μετά τη συμβολή των δύο κυμάτων στο σημείο
αυτό;
6 m
K
Σ1 Σ2

277
32. Δύο γραμμικά αρμονικά κύματα με εξισώσεις  ημπ1y 0,02 2t 10x 
(S.I.) και  ημπ1y 0,02 2t 10x  (S.I.), διαδίδονται στο ίδιο γραμμικό ελαστικό
μέσο και δημιουργούν στάσιμο κύμα. Θεωρούμε ως αρχή μέτρησης των
αποστάσεων σημείο Ο που ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος και τη χρονική
στιγμή τη χρονική στιγμή t = 0 έχει απομάκρυνση y = 0 και υ > 0.
α) Να βρείτε το μέγιστο πλάτος της ταλάντωσης των σημείων του γραμμικού
ελαστικού μέσου και να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.
β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης ενός σημείου M του μέσου που
βρίσκεται στη θέση xM = 0,5 m και να γράψετε τη χρονική εξίσωση της
ταλάντωσής του.
γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Μ, τη
στιγμή που η απομάκρυνσή του ισούται με yM = – 0,02 m.
δ) Να βρείτε τον αριθμό των δεσμών μεταξύ των σημείων Κ (xK = 0,3 m) και Λ
(xΛ = 0,6 m) και να προσδιορίσετε τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων
αυτών των σημείων την ίδια χρονική στιγμή.
ε) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος μεταξύ των σημείων Κ
και Λ τη χρονική στιγμή t1 που το σημείο Μ βρίσκεται στη μέγιστη θετική του
απομάκρυνση, καθώς και το στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή 2 1t t
4

  .
διαδίδονται στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο με ταχύτητα υ = 0,2 m/s και
δημιουργούν στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση y = 2Aσυν
2πx
λ
ημ
2πt
Τ
. Ένα σημείο του ελαστικού μέσου ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος και
η απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσής του είναι ίση με 0,08 m,
ενώ για να μεταβεί το υλικό σημείο από τη μια ακραία θέση της ταλάντωσής
του στην άλλη, χρειάζεται χρόνο Δt = 0,5 s.
α) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης των κυμάτων που δημιουργούν το
στάσιμο και να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.
βρίσκεται στη θέση xM = 0,5 m και να γράψετε τη χρονική εξίσωση της
γ) Να υπολογίσετε το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του σημείου Μ, τη
στιγμή που η απομάκρυνσή του ισούται με yM = – 0,02 m.
δ) Να βρείτε τον αριθμό των δεσμών μεταξύ των σημείων Κ (xK = 0,3 m) και Λ
(xΛ = 0,6 m) και να προσδιορίσετε τη διαφορά φάσης των ταλαντώσεων
αυτών των σημείων την ίδια χρονική στιγμή.
ε) Να σχεδιάσετε το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος μεταξύ των σημείων Κ
και Λ τη χρονική στιγμή t1 που το σημείο Μ βρίσκεται στη μέγιστη θετική του
απομάκρυνση, καθώς και το στιγμιότυπο τη χρονική στιγμή 2 1t t
4

  .

278
διαδίδονται στο ίδιο γραμμικό ελαστικό μέσο με ταχύτητα υ = 0,2 m/s και
δημιουργούν στάσιμο κύμα που περιγράφεται από την εξίσωση y = 2Aσυν
2πx
λ
ημ
2πt
Τ
. Ένα σημείο του ελαστικού μέσου ταλαντώνεται με μέγιστο πλάτος και
η απόσταση των ακραίων θέσεων της ταλάντωσής του είναι ίση με 0,08 m,
ενώ για να μεταβεί το υλικό σημείο από τη μια ακραία θέση της ταλάντωσής
του στην άλλη, χρειάζεται χρόνο Δt = 0,5 s.
α) Να βρείτε το πλάτος της ταλάντωσης των κυμάτων που δημιουργούν το
στάσιμο και να γράψετε την εξίσωση του στάσιμου κύματος.
βρίσκεται στη θέση xM=0,5m και να γράψετε τη χρονική εξίσωση της
γ) Ποιο το στιγμιότυπο του κύματος από το σημείο Ο έως το σημείο Μ τις χρο-
νικές στιγμές: i) t1=4s, ii) t2=4,25s, iii) t3=
25
6
s.
δ) Ποια η ποσοστιαία μεταβολή στη συχνότητα ώστε το Μ να γίνει το τέταρτο
σημείο από το Ο που θα παραμένει διαρκώς ακίνητο.
35. Κατά μήκος ελαστικής χορδής
διαδίδονται δύο ίδια αρμονικά κύματα
με αντίθετες κατευθύνσεις. Το στιγ-
μιότυπο του κύματος μεταξύ του ση-
μείου Ο και του σημείου Κ με xK=9m,
τη στιγμή t1 που κανένα σημείο δεν
διαθέτει κινητική ενέργεια φαίνεται
στο διπλανό σχήμα. Η ταχύτητα διά-
δοσης των τρεχόντων κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο είναι υ=2m/s.
α) Ποιες οι εξισώσεις των δύο κυμάτων που δημιούργησαν το στάσιμο.
β) Πόσες κοιλίες βρίσκονται μεταξύ των σημείων Μ με xM=-3m και Κ.
γ) Ποια η επιτάχυνση του σημείου Ν με xN=8m τη χρονική στιγμή t2=3s
δ) Ποιο το στιγμιότυπο του κύματος μεταξύ των σημείων Μ και Ν τη χρονική
στιγμή t2.
36. Σε ελαστική χορδή διαδίδονται δύο ίδια αρμονικά κύματα με αντίθετες
κατευθύνσεις. Το σημείο Ο της
χορδής ξεκινά ταλάντωση τη
χρονική στιγμή to=0 και για να
μηδενιστεί δύο διαδοχικές φορές
η δυναμική του ενέργεια απαιτεί-
ται χρόνος Δt=0,5s. Η χορδή δε-
χόμαστε ότι αποτελείται από δι-
αδοχικά σημεία με στοιχειώδη
x (m)
y (m)
−4
4
K0
Ε x10-3 J
32
2,25 x0

279
μάζα dm= 2
1

gr. Η συνολική ενέργεια των σημείων της χορδής συναρτήσει της
θέσης τους στον x΄x άξονα φαίνεται στη διπλανή γραφική παράσταση.
α) Ποιο το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργήσουν το
στάσιμο;
β) Ποια η εξίσωση του στάσιμου κύματος;
γ) Πόσοι δεσμοί υπάρχουν μεταξύ των σημείων Κ (xK=−1,5m) και Μ
(xΜ=2,5m);
δ) Ποιο το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος από το σημείο Ο έως το σημείο
Ν (xΝ=2,25m) τη χρονική στιγμή t2=1,5s;
37. Σε γραμμικό μέσο που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του άξονα Ox δη-
μιουργείται στάσιμο κύμα, με κοιλία στη θέση Ο (x=0). Τη χρονική στιγμή to=0
το σημείο Ο (x=0) έχει μέγιστη θετική ταχύτητα. Στα παρακάτω σχήματα έ-
χουν παρασταθεί γραφικά η θέση του σημείου Κ (xK=1m) συναρτήσει του
χρόνου και η ταχύτητα των σημείων του μέσου τη χρονική στιγμή to=0.
α) Ποια η εξίσωση του στάσιμου κύματος;
β) Ποια η χρονική εξίσωση επιτάχυνσης σημείου M (xM=3m) και ποια η διαφο-
ρά φάσης του σημείου αυτού με το O (x=0)
γ) Ποιο το στιγμιότυπο του στάσιμου κύματος τη χρονική στιγμή t1=0,25s από
το σημείο Ο (x=0) μέχρι το σημείο Ν (xN=4m).
δ) Ποια η γραφική παράσταση του πλάτους των σημείων του μέσου συναρτή-
σει της θέσης του στον άξονα Οx από το σημείο Ο (x=0) μέχρι το σημείο Ν
(xN=4m).
ε) Ποια η ποσοστιαία μεταβολή που πρέπει να υποστεί η συχνότητα των κυμά-
των που δημιουργούν του στάσιμο ώστε το σημείου Κ να γίνει ο πρώτος του
δεσμός;
38. Σε γραμμικό ελαστικό μέσο
που εκτείνεται κατά μήκος του ά-
ξονα x΄x, έχει δημιουργηθεί στάσι-
μο κύμα. Το σημείο Ο (x=0) του μέ-
σου είναι κοιλία του κύματος, και
τη χρονική στιγμή to=0, το σημείο
βρίσκεται στη θέση ισορροπίας του
κινούμενο κατά τη θετική κατεύ-
t (s)
y (m)
0,2
0
−0,2
X=1m
x (m)
υ (m/s)
−0,2π
0,2π
0
0,5
x (m)
y (m)
−0,02
0,02
0 1

280
θυνση. Για κάποια χρονική στιγμή που τα σημεία του μέσου εκτός από τους
δεσμούς, έχουν κινητική ενέργεια το 75% της συνολικής τους, το στιγμιότυπο
του κύματος φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο χρόνος που χρειάζεται ένα ση-
μείο του μέσου για να βρεθεί από τη θέση ισορροπίας του απ’ ευθείας στη
θέση που φαίνεται στο στιγμιότυπο είναι
1
t s
120
  .
Α. α) Ποιο το πλάτος των κυμάτων που συμβάλλουν για να δημιουργηθεί
το στάσιμο κύμα.
β) Ποια η εξίσωση στάσιμου κύματος.
γ) Ποιο το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή t1=1,0125s από
το σημείο x=0 μέχρι το σημείο Κ (xK=1m).
Β. Για τη δημιουργία του παραπάνω στάσιμου κύματος συμβάλλουν τα
δύο πανομοιότυπα κύματα διαδιδόμενα αντίθετα και τη χρονική στιγμή to=0
και τα δύο μέτωπα των κυμάτων βρίσκονται στο σημείο Ο (x=0).
α) Σε πόση περιοχή του ελαστικού μέσου έχει δημιουργηθεί στάσιμο
κύμα τη χρονική στιγμή t2=0,2s.
β) Ποια η θέση του σημείου Μ (xM=4m) τις χρονικές στιγμές: i)
1Mt 0, 425 s , ii) 2Mt 0,925 s .
γ) Ποιο το γράφημα θέσης – χρόνου για το σημείο Κ (xκ=1m) , από τη
χρονική στιγμή to=0 μέχρι τη χρονική στιγμή t3=0,4s.
39. Σε οριζόντια τεντωμένη χορδή μήκους L=5m, όπου τα άκρα της είναι
στερεωμένα ακλόνητα, δημιουργείται στάσιμο κύμα με 5 συνολικά κοιλίες. Το
στάσιμο κύμα περιγράφεται από την εξίσωση: 
  2 2πx
y 4 10 συν ημ2πt
λ
(S.I.)
α) Ποιο το πλάτος και η περίοδος των κυμάτων που συνέβαλλαν για να δημι-
ουργηθεί το στάσιμο;
β) Ποιο το μήκος κύματος των κυμάτων που συνέβαλλαν για να δημιουργηθεί
το στάσιμο;
γ) Ποιο το πλάτος ταλάντωσης σημείου που απέχει από το μέσο της χορδής
απόσταση d=1/6 m;
δ) Ποια η ελάχιστη συχνότητα που θα μπορούσαν να έχουν τα κύματα που
συμβάλουν ώστε να αποκατασταθεί πάλι στάσιμο στη παραπάνω χορδή;
40. Απλό αρμονικό κύμα διαδίδεται κατά μήκος μιας ελαστικής χορδής που
ταυτίζεται με τον άξονα x΄x. Το σημείο Ο της χορδής (x=0), ξεκινά ταλάντωση
τη χρονική στιγμή to=0 από τη θέση ισορροπίας (yo=0) του με θετική ταχύτη-
τα (υο>0). Οι φάσεις των σημείων του μέσου σε δύο διαφορετικές χρονικές
στιγμές t1=2s και t2=4s συναρτήσει της θέσης x των σημείων πάνω στον άξο-

281
να x΄x φαίνονται στο διπλανό διάγραμμα.
Θεωρούμε κάθε σημείο του μέσου υλικό ση-
μείο με στοιχειώδη μάζα dm=1gr. Τυχαίο ση-
μείο του μέσου από τη στιγμή που ξεκινά τα-
λάντωση μέσα σε χρόνο Δt=1s διανύει από-
σταση S=4cm.
A. α) Ποια η εξίσωση του κύματος;
β) Ποιο το γράφημα κινητικής ενέργει-
ας των σημείων του μέσου συναρτήσει της
θέσης τους στον άξονα x΄x τη χρονική στιγμή t1=1s για 2 m x 1 m   .
B. Θεωρούμε ότι τη χρονική στιγμή to=0 δεύτερο κύμα ίδιο με το πρώτο, με
αντίθετη φορά διάδοσης, θέτει σε ταλάντωση το σημείο Ο του άξονα x΄x
(x=0) όπως και το πρώτο κύμα, με τελικό αποτέλεσμα τη δημιουργία στάσιμου
κύματος κατά μήκος της χορδής.
α) Ποιο το γράφημα φάσης των σημείων του μέσου συναρτήσει της θέ-
σης τους στον άξονα x΄x τη χρονική στιγμή t1=1s, εξ’ αιτίας του θετικά διαδι-
δόμενου κύματος.
β) Σε πόσο μήκος της χορδής θα έχει διαδοθεί στάσιμο κύμα τη χρονι-
κή στιγμή t1=1s.
γ) Ποια η θέση yK του σημείου Κ με xK=4m τις χρονικές στιγμές: i)
t2=1,25s, ii) t3=5,25s.
δ) Ποιο το στιγμιότυπο του κύματος τη χρονική στιγμή 4
73
t s
12
 για
0 x 2 m  .
41. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου ηλεκτρομαγνητικού κύματος που δια-
δίδεται στον αέρα περιγράφεται από την εξίσωση:
π
ημ
2
2 2 10
E 6 10 t x
3

  
    
 
(S.I.)
α) Ποια η συχνότητα του κύματος;
β) Ποια η αντίστοιχη εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου;
γ) Να εξετάσετε αν μπορεί να γίνει λήψη αυτού του ηλεκτρομαγνητικού κύμα-
τος από δέκτη με ιδανικό κύκλωμα LC που έχει πηνίο συντελεστού αυτεπαγω-
γής L = 5mH και πυκνωτή μεταβλητής χωρητικότητας C, όπου 4∙10-12F < C <
6∙10-12F.
δ) Αν το ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδοθεί σε διαφανές μέσο όπου η ταχύτητα
του θα μεταβληθεί κατά 50%, να γράψετε τις εξισώσεις που θα περιγράφουν
την ένταση του ηλεκτρικού πεδίου και την ένταση του μαγνητικού πεδίου αν
τότε Εmax = 4,2∙10-2 V/m.
Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης των ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στον αέρα c =
3∙108 m/s, π2=10.
O-4
4π
t1=2s
t2=4sφ (rad)
x (m)

282
42. Ηλεκτρομαγνητικό κύμα διαδίδεται στον αέρα και η εξίσωση του ηλε-
κτρικού πεδίου είναι: 2
E 3 10 ( t 800 x)
      (S.I.) Το κύμα κάποια χρονική
στιγμή προσπίπτει στην ήρεμη επιφάνεια της θάλασσας με γωνία πρόσπτωσης
θ=60º στοχεύοντας υποβρύχιο που βρίσκεται σε βάθος 2
h 3 10 m  και α-
πέχει οριζόντια απόσταση Δx=100m από το σημείο πρόσπτωσης.
α) Ποια η εξίσωση του μαγνητικού πεδίου κατά τη διάδοση του κύματος στον
αέρα;
β) Ποιος ο δείκτης διάθλασης της θάλασσας;
γ) Ποια η ταχύτητα διάδοσης του κύματος στη θάλασσα;
δ) Ποια η φάση του Η/Μ κύματος κατά τη διάδοση του στη θάλασσα;
ε) Αν το Η/Μ κύμα λαμβάνεται στο υποβρύχιο από μια διάταξη LC, με πηνίο
συντελεστού αυτεπαγωγής
1
L mH
144
 , ποια θα έπρεπε να είναι η χωρητικό-
τητα του πυκνωτή;
στ) Σε πόσο χρόνο από τη στιγμή πρόσπτωσης του Η/Μ κύματος στην θάλασ-
σα το κύμα θα ληφθεί από το υποβρύχιο;
Δίνεται ταχύτητα διάδοσης Η/Μ κυμάτων στον αέρα: 8
c 3 10 m /s  . Για τις
πράξεις π2=10.
(Μπορεί το Η/Μ κύμα να διαδίδεται αντί σε θάλασσα και να έχουμε απλή διά-
θλαση, σε πρίσμα και να ζητήσει περισσότερα περί «γεωμετρικής οπτικής»,
όπως στο 5 θέμα. Δείτε και την άσκηση 2.50 σχ. βιβλίου σελίδα 84.)
43. Φωτεινή σημειακή πηγή βρίσκεται σε βάθος h κάτω από την ήρεμη ε-
πιφάνεια νερού. Η φωτεινή πηγή στέλνει κωνική δέσμη φωτός στην επιφάνεια
του νερού εξερχόμενη προς τον αέρα, σχηματίζοντας κυκλικό δίσκο ακτίνας
r= 3 m , πάνω στην επιφάνεια του νερού. Η ένταση του ηλεκτρικού πεδίου
της ακτινοβολίας μέσα στο νερό δίνεται από την εξίσωση:
14
7
y
E 1500 2 (5 10 t )
3 10
    

(S.I.).
Α. α. Ποιος ο δείκτης διάθλασης του νερού.
β. Ποια η εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου της ακτινοβολίας στο
νερό.
γ. Ποιο το βάθος h που βρίσκεται η φωτεινή πηγή.
Β. Η φωτεινή πηγή ξεκινά να κινείται τη χρονική στιγμή to=0 σε κατακό-
ρυφη διεύθυνση και με φορά προς τα κάτω κάνοντας απλή αρμονική ταλά-
ντωση. Η πηγή θέλει χρόνο Δt=1s να επανέλθει στην αρχική της θέση μετά τη
χρονική στιγμή to=0. Η μέγιστη ακτίνα οπτικού δίσκου που εμφανίζεται στην
επιφάνεια του νερού κατά την α.α.τ. είναι max
4 3
r m
3
 , ενώ η ελάχιστη rmin=
3 m . Αν θεωρήσετε θετική φορά προς τα κάτω:
α. Ποιο το πλάτος ταλάντωσης της πηγής;
β. Ποια η χρονική εξίσωση θέσης της πηγής;
Δίνεται η ταχύτητα διάδοσης της ακτινοβολίας στο κενό: c=3∙108 m/s

283
Θεωρήστε ότι το φως δεν εξασθενεί κατά τη διάδοσή του στο νερό.
44. Μονοχρωματική ακτινοβολία διαδίδεται με τη μορφή
ηλεκτρομαγνητικού κύματος και εισέρχεται σε γυάλινο πρίσμα που έχει τομή
ορθογωνίου και ισοσκελούς τριγώνου ΑΒΓ, κάθετα στην έδρα ΑΒ και από το
μέσο της, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Η ακτινοβολία μέσα στο γυαλί
και μέχρι να πέσει στην έδρα ΒΓ
διανύει απόσταση που ισοδυναμεί με
6 μήκη κύματος. Η ένταση του
ηλεκτρικού πεδίου κατά τη διάδοση
της ακτινοβολίας στο γυαλί,
περιγράφεται από την εξίσωση
10
E 0,05ημπ(12 10 t 600x)  
(S.I.), ενώ το μέτρο της έντασης του
μαγνητικού πεδίου στον αέρα, έχει
μέγιστη τιμή ίση με -10
2 10 Τ.
α) Να υπολογίσετε την ταχύτητα διά-
δοσης της ακτινοβολίας στο γυαλί.
β) Να γράψετε την εξίσωση της έντασης του μαγνητικού πεδίου κατά τη
διάδοση της ακτινοβολίας στο γυαλί και στον αέρα.
γ) Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτινοβολίας από την είσοδό της στο γυαλί
μέχρι την έξοδό της ξανά στον αέρα.
δ) Να υπολογίσετε το συνολικό χρόνο κίνησης της ακτινοβολίας στο γυαλί.
Δίνεται η ταχύτητα της ακτινοβολίας στο κενό 8
c =3 10 m/s.
45. Μια ομογενής σφαίρα ακτίνας R = 0,5 m και μάζας Μ = 2 kg είναι κα-
τασκευασμένη από διαφανές υλικό που
έχει δείκτη διάθλασης n =
3
2
. Η σφαί-
ρα είναι στερεωμένη στην κορυφή κε-
κλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ =
30° και ισορροπεί ακίνητη. Μια μονο-
χρωματική ακτίνα φωτός διαδίδεται ο-
ριζόντια και πέφτει στη σφαίρα στο ση-
μείο Α, το οποίο είναι το αντιδιαμετρικό
του σημείου επαφής της σφαίρας με το
κεκλιμένο. Η ακτίνα διαθλάται κατά την είσοδό της στη σφαίρα και
εξερχόμενη απ’ αυτήν πέφτει στο κεκλιμένο επίπεδο σε ένα σημείο του (έστω
το σημείο Δ).
Α) Να σχεδιάσετε την πορεία της ακτινοβολίας και να υπολογίσετε το μήκος
ΑΔ.
φ
Α
ΓΑ
Β

284
Β) Στη συνέχεια η σφαίρα αφήνεται ελεύθερη και κυλίεται χωρίς ολίσθηση κα-
τερχόμενη του κεκλιμένου επιπέδου.
i) Nα σχεδιάσετε τη δύναμη της στατικής τριβής που δέχεται η σφαίρα από το
κεκλιμένο και να δικαιολογήσετε τη φορά που σχεδιάσατε.
ii) Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της ταχύτητας του κέ-
ντρου μάζας της σφαίρας κατά τη διάρκεια της κίνησής της στο κεκλιμένο ε-
πίπεδο.
iii) Να υπολογίσετε το μέτρο του spin της σφαίρας τη χρονική στιγμή που αυ-
τή κατερχόμενη έχει εκτελέσει Ν =
π
3, 5
περιστροφές.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα διερχόμενο από το κέ-
ντρο της Icm = 22
R
5

46. Η διπλή τροχαλία του διπλανού σχήματος αποτελείται από δύο λε-
πτούς ομογενείς δίσκους οι οποίοι είναι κολλημένοι
μεταξύ τους, ώστε να περιστρέφονται σαν ένα σώμα,
χωρίς τριβές και γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο
στο επίπεδο της σελίδας. Οι δύο αυτοί δίσκοι έχουν
μάζες Μ1, Μ2 και ακτίνες R1 = 0,4 m και R2 = 0,2
m, αντίστοιχα. Γύρω από κάθε δίσκο έχουμε τυλίξει
αβαρή και μη εκτατά νήματα, στα ελεύθερα άκρα
των οποίων έχουμε δέσει τα σώματα Σ1 και Σ2, μα-
ζών m1 = 2 kg και m2 = 6 kg, αντίστοιχα.
Αρχικά διατηρούμε το σύστημα (διπλή τροχαλία –
σώματα) ακίνητο, με τα δύο σώματα να βρίσκονται
στο ίδιο ύψος, όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα και
κάποια στιγμή που θεωρούμε ως tο = 0 το αφήνουμε ελεύθερο. Κατά τη διάρ-
κεια της κίνησης του συστήματος τα σώματα m1 και m2 δέχονται τις δυνάμεις
T1 και Τ2 από τα νήματα οι οποίες έχουν ίσα μέτρα.
α) Να εξετάσετε προς τα πού θα περιστραφεί το σύστημα όταν αφεθεί ελεύ-
θερο και να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
β) Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση της τροχαλίας κατά τη διάρκεια της
περιστροφής της.
γ) Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής του συ-
στήματος (διπλή τροχαλία – σώματα), κατά τη διάρκεια της κίνησής του.
δ) Να υπολογίσετε τη στροφορμή της διπλής τροχαλίας, ως προς τον άξονα
περιστροφής της, τη χρονική στιγμή που η κατακόρυφη απόσταση των δύο
σωμάτων είναι ίση με 24 m.
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g =10 m/s2. Η αντίσταση του αέρα να
θεωρηθεί αμελητέα.
m1 m2
1
2

285
47. Μονοχρωματική ακτινοβολία προσπίπτει υπό γωνία θ1=60°, προερχό-
μενη από τον αέρα, στην επιφάνεια ομογενούς διαφανούς σφαίρας, ακτίνας
R όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ακτίνα κινείται μέσα στη σφαίρα για χρόνο t =
4∙10-10 s, διανύοντας απόσταση S=R∙ 3 m.
Α. Να υπολογίσετε την ακτίνα και το δείκτη διάθλα-
σης του υλικού της σφαίρας, για την συγκεκριμένη
ακτινοβολία.
Β. Η παραπάνω σφαίρα, της οποίας η μάζα είναι
m=140g, τη χρονική στιγμή to = 0 βάλλεται κατά
μήκος κεκλιμένου επιπέδου γωνίας κλίσης φ με τα-
χύτητα μέτρου υο=1m/sec. Η σφαίρα κυλίεται χωρίς
να ολισθαίνει μέχρι να φτάσει στη βάση του κεκλιμένου τη χρονική στιγμή t1 =
2 s. Στη διάρκεια του δεύτερου δευτερολέπτου της κίνησης της η ταχύτητά
της αυξάνεται κατά Δυ =
25
7
m/sec.
α) Ποια η γωνία κλίσης του κεκλιμένου επιπέδου;
β) Ποια η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας όταν φτάσει στη βάση του κεκλιμέ-
νου επιπέδου;
Δίνεται η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το
κέντρο μάζας της: 2
cm
2
I MR
5
 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/sec2.
48. Η τροχαλία του σχήματος έχει μάζα
Μ=4kg, ακτίνα R=0,5m και μπορεί να περι-
στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο
άξονα που είναι κάθετος στο επίπεδό της και
διέρχεται από το κέντρο της. Στο αυλάκι της
τροχαλίας έχουμε τυλίξει αβαρές μη εκτατό
νήμα μεγάλου μήκους και στο ελεύθερο άκρο
έχουμε προσδέσει σώμα μάζας m1=2kg. Από
το σημείο Κ της τροχαλίας, που απέχει
R
2
από
τον άξονα περιστροφής της, αναρτάται μέσω
αβαρούς μη εκτατού νήματος σώμα μάζας
m2=1kg, το οποίο είναι προσδεμένο στο πάνω
άκρο κατακόρυφου ιδανικού ελατηρίου σταθε-
ράς k=100N/m, το κάτω άκρο του οποίου εί-
ναι στερεωμένο ακλόνητα στο έδαφος. Το ελα-
τήριο στη θέση αυτή έχει επιμηκυνθεί κατά xo.
Το σύστημα ισορροπεί στη θέση αυτή με τη
βοήθεια σταθερής οριζόντιας δύναμης F=5N, η οποία ασκείται στο σημείο Λ
όπως φαίνεται στο σχήμα, και απέχει από τον άξονα περιστροφής της τροχα-
λίας κατά
R
2
.
θ1
Κ
Λ
m2
m1
k
O
F

286
Α. Υπολογίστε την επιμήκυνση xo του ελατηρίου.
Β. Τη χρονική στιγμή to=0, καταργείται η δύναμη F και το νήμα που συγκρατεί
τη μάζα m2 υπερβαίνει το όριο θραύσης του και κόβεται ακαριαία, με αποτέ-
λεσμα να το σύστημα ελατήριο, σώμα μάζας m2, να ξεκινήσει απλή αρμονική
ταλάντωση. Η δε τροχαλία την ίδια χρονική στιγμή να ξεκινήσει να περιστρέ-
φεται.
α) Γράψτε την εξίσωση ταλάντωσης του σώματος m2 θεωρώντας θετική φορά
τη φορά της αρχικής εκτροπής.
β) Ποια η επιτάχυνση του σώματος m1;
γ) Ποια η στροφορμή της τροχαλίας τη στιγμή που το m2 θα έχει εκτελέσει
Ν=10π ταλαντώσεις;
δ) Ποια η γραφική παράσταση του ρυθμού μεταβολής της κινητικής ενέργειας
της τροχαλίας συναρτήσει του χρόνου, μέχρι το σώμα m2 να εκτελέσει τις
Ν=10π ταλαντώσεις;
Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς τον άξονα που διέρχεται
από το κέντρο μάζας της και είναι κάθετος στο επίπεδό της: 2
cm
1
I MR
2
 , η
επιτάχυνση της βαρύτητας g=10 m/sec2 και για τις πράξεις π2=10.
49. Μια σφαίρα μάζας
M=2kg και ακτίνας R=1m
αφήνεται από σημείο
κεκλιμένου επιπέδου που
έχει γωνία κλίσης φ = 45°.
Η σφαίρα κυλίεται στο
κεκλιμένο επίπεδο χωρίς
να ολισθαίνει και τη στιγμή
που το κέντρο μάζας της
έχει μετατοπιστεί
κατακόρυφα κατά ύψος h,
το σημείο Ζ της σφαίρας,
που απέχει απόσταση 2R
από το κεκλιμένο επίπεδο, κινείται με ταχύτητα μέτρου υΖ = 2 m/s (σε σχέση
με το κεκλιμένο επίπεδο).
α) Να υπολογίσετε το ύψος h,
β) Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας
κατά την κύλισή της στο κεκλιμένο επίπεδο, καθώς και το μέτρο της
επιτάχυνσης του σημείου Ζ της σφαίρας.
γ) Να υπολογίσετε το μέτρο του ρυθμού μεταβολής της στροφορμής της
σφαίρας.
δ) Να βρείτε το χρόνο κύλισης της σφαίρας στο κεκλιμένο επίπεδο μέχρι να
μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά h.
ε) Να υπολογίσετε το μικρότερο συντελεστή στατικής τριβής μεταξύ της
σφαίρας και του κεκλιμένου επιπέδου ώστε να μην ολισθαίνει η σφαίρα.
στ) Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας της
σφαίρας κατά την κύλισή της στο κεκλιμένο επίπεδο υπολογίζετε από τη
h
Ζ
Ζ

287
σχέση cmΣ
dK 7
F υ
dt 5
  .
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από
το κέντρο μάζας της υπολογίζεται από τη σχέση 22
ΜR
5
  . Η επιτάχυνση της
βαρύτητας ισούται με g = 10 m/s2. Θεωρήστε γνωστό ότι ημ45° = συν45° =
0,7.
50. Η διπλή τροχαλία του διπλανού σχήματος αποτελείται από δύο λεπτούς
κυλίνδρους με μάζες Μ1 = Μ2 = 1 kg και ακτίνες
R1 = 0,2 m και R2 = 0,6 m αντίστοιχα που είναι
κολλημένοι μεταξύ τους και μπορεί να
περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό
άξονα που διέρχεται από το κέντρο των δύο
κυλίνδρων και είναι κάθετος στις βάσεις τους.
Στους δύο κυλίνδρους έχουμε τυλίξει αβαρές μη
εκτατό νήμα στα άκρα των οποίων έχουμε δέσει
δύο σώματα μάζας m1 και m2. Τη χρονική στιγμή
t = 0, αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο να
κινηθεί, οπότε η διπλή τροχαλία αρχίζει να
περιστρέφεται και τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούν τα νήματα στα
σώματα m1 και m2 κατά τη διάρκεια της κίνησης είναι Τ1 = 5,5 Ν και Τ2 =
3,5 Ν αντίστοιχα.
α) Να υπολογίσετε τη ροπή αδράνειας της διπλής τροχαλίας.
β) Να βρείτε τη φορά περιστροφής της τροχαλίας, το μέτρο του ρυθμού
μεταβολής της στροφορμής της, το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσής της
γ) Να υπολογίσετε τις μάζες m1 και m2 των δύο σωμάτων.
δ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τροχαλία -
μάζες.
ε) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια που έχει το σύστημα τροχαλία -
μάζες, 1 s μετά τη στιγμή που αφέθηκε ελεύθερο να κινηθεί.
στ) Αν τη χρονική στιγμή t = 0 τα δύο σώματα βρίσκονται στο ίδιο οριζόντιο
επίπεδο, να υπολογίσετε την κατακόρυφη απόστασή τους τη χρονική στιγμή 1
s.
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας κάθε κυλίνδρου ως προς άξονα κάθετο στο
επίπεδο των δύο βάσεών του και διερχόμενο από το κέντρο του, υπολογίζεται
από τη σχέση 2
cm
1
ΜR
2
  . Η επιτάχυνση της βαρύτητας ισούται με
g=10m/s2.
51. Η διπλή τροχαλία του διπλανού σχήματος αποτελείται από δύο λεπτούς
δίσκους οι οποίοι είναι κολλημένοι μεταξύ τους, ώστε να περιστρέφονται σαν
ένα σώμα, χωρίς τριβές και γύρω από οριζόντιο άξονα κάθετο στο επίπεδο
m2 m1
2
1
0t

288
της σελίδας. Οι δύο αυτοί δίσκοι έχουν μάζες Μ1 =
8 kg και Μ2 = 2 kg και ακτίνες R1 = 0,4 m και R2
= 0,2 m, αντίστοιχα. Γύρω από κάθε δίσκο έχουμε
τυλίξει αβαρή και μη εκτατά νήματα, στα ελεύθε-
ρα άκρα των οποίων έχουμε δέσει τα σώματα Σ1
και Σ2, μαζών m1 = 2 kg και m2, αντίστοιχα.
Α) Αρχικά το σύστημα (διπλή τροχαλία – σώματα),
ισορροπεί ακίνητο, με τα δύο σώματα να βρίσκο-
νται στο ίδιο ύψος h = 1,8 m, από το έδαφος, ό-
πως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Να υπολογίσετε:
α) τη ροπή αδράνειας της διπλής τροχαλίας ως
προς τον άξονα περιστροφής της.
β) τη μάζα m2, του σώματος Σ2.
Β) Κάποια χρονική στιγμή κόβουμε το νήμα που
συγκρατεί το σώμα Σ2, οπότε το σώμα αυτό πέφτει
ελεύθερα στο δάπεδο. Να υπολογίσετε:
α) την γωνιακή επιτάχυνση που αποκτά στη συνέχεια η διπλή τροχαλία,
β) το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής του συστήματος τροχαλία – σώμα
m1, κατά τη διάρκεια της πτώσης του m1.
γ) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της διπλής τροχαλίας, τη χρο-
νική στιγμή που το σώμα Σ2 φτάνει στο έδαφος.
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας κάθε δίσκου ως προς άξονα διερχόμενο από το
κέντρο του και κάθετο στο επίπεδο του, υπολογίζεται από τη σχέση 21
R
2
  
και η επιτάχυνση της βαρύτητας g =10 m/s2. Η αντίσταση του αέρα να θεω-
ρηθεί αμελητέα.
52. Στο διπλανό σχήμα λεπτό αβαρές μη ελαστικό νήμα
είναι τυλιγμένο γύρω από τροχαλία μάζας Μ και ακτίνας R,
άκρη του οποίου είναι ακλόνητα στερεωμένη σε οριζόντιο
επίπεδο. Η τροχαλία διαθέτει δεύτερο ομόκεντρο αυλάκι α-
κτίνας R/3, γύρω από το οποίο έχουμε τυλίξει όμοιο νήμα με
το προηγούμενο, η άκρη του οποίου καταλήγει σε σώμα μά-
ζας m=M/2. Τη χρονική στιγμή to=0 και με τα νήματα τε-
ντωμένα αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο. Αν τα νήματα δεν
γλιστρούν στα αυλάκια να υπολογίσετε:
α) Την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της τροχαλίας.
β) Την επιτάχυνση του σώματος m.
γ) Τις τάσεις των νημάτων.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της τροχαλίας γύρω από τον άξονα περιστροφής
της Ιcm=0,5MR2, η επιτάχυνση της βαρύτητας g, και η μάζα Μ.
m1 m2
h
m
Μ

289
53. Στο παρακάτω σχήμα φαίνεται μια διπλή τροχαλία που αποτελείται από
δυο ομογενής τροχαλίες κολλημένες μεταξύ τους έτσι ώστε να περιστρέφονται
χωρίς τριβές γύρω από άξονα που διέρχεται από τα κέντρα τους και είναι κά-
θετος στο επίπεδό τους. Οι τροχαλίες έχουν μάζες Μ1=11,5kg και Μ2=4kg με
ακτίνες αντίστοιχα R1=0,4m και R2=0,2m αντίστοιχα. Στις περιφέρειες των
δύο τροχαλιών είναι τυλιγμένα αβαρή μη εκτατά και λεπτά νήματα που δεν
ολισθαίνουν στις περιφέρειές τους. Το νήμα από τη τροχαλία ακτίνας R1 κα-
ταλήγει σε σώμα μάζας m1=3kg και το νήμα από τη τροχαλία ακτίνας R2 κα-
ταλήγει στη περιφέρεια ομογενούς δίσκου μάζας m2=8kg και ακτίνας r στην
οποία και είναι τυλιγμένο. Τα νήματα δεν ολισθαίνουν στα αυλάκια που είναι
τυλιγμένα. Τη χρονική στιγμή to=0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο με τεντω-
μένα νήματα με αποτέλεσμα το σώμα μάζας m1 να κατεβαίνει και ο δίσκος να
κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο.
α) Να υπολογιστεί η επιτάχυνση του κέντρου μάζας του δίσκου.
β) Τα μέτρα των τάσεων των νημάτων.
γ) Ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ δίσκου και οριζοντίου επι-
πέδου ώστε ο δίσκος να κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει.
δ) Αν τη χρονική στιγμή t1=8s ο δίσκος φτάνει στο τέλος του οριζοντίου επι-
πέδου να υπολογιστεί το μέτρο της ταχύτητας που θα έχει λίγο πριν ακουμπή-
σει στο έδαφος αν το ύψος πτώσης είναι h=3,2m.
Η ροπή αδράνειας της κάθε τροχαλίας ως προς τον άξονα περιστροφής της
δίνεται από τη σχέση:    21
R
2
, η επιτάχυνση της βαρύτητας είναι g=10m/s2,
η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς το άξονα περιστροφής του δίνεται από
τη σχέση I=0,5mr2.
54. Ο ομογενής κύλινδρος ακτίνας R=1m, του διπλανού σχήματος μάζας m
= 2 kg, ανεβαίνει στο κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ = 30° με τη βοή-
θεια σταθερής δύναμης F = 10 Ν, που ασκείται μέσω νήματος που είναι τυ-
m1
m2
, r
Μ1
Μ2

290
λιγμένο στον κύλινδρο, στο ανώτερο σημείο
του. Τη χρονική στιγμή t1 το κέντρο μάζας
του έχει μετατοπιστεί κατακόρυφα κατά h
= 1,2 m.
Α) Για τη χρονική στιγμή t1, να υπολογίσετε:
i) την ταχύτητα του κέντρου μάζας του κυ-
λίνδρου,
ii) το ρυθμό μεταβολής της κινητικής του
ενέργειας,
iii) την επιτάχυνση του άκρου Γ του νήμα-
τος.
Β) Τη χρονική στιγμή t1, κόβουμε το νήμα που ανεβάζει τον κύλινδρο, οπότε
και καταργείται η δύναμη F. Να υπολογίσετε τη στροφορμή του κυλίνδρου,
κατά τον άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας του και είναι κάθετος στις
δύο βάσεις του 1,2 s μετά το κόψιμο του νήματος.
Γ) Αν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του κυλίνδρου και του κεκλιμένου
επιπέδου είναι ίσος με s
3
3
μ , να εξετάσετε το είδος της κίνησης του κυλίν-
δρου στην περίπτωση όπου το μέτρο της δύναμης είναι F = 30 Ν.
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα διερχόμενο από
το κέντρο του και κάθετο στις βάσεις του, υπολογίζεται από τη σχέση
21
mR
2
  και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2. Η αντίσταση του αέ-
ρα να θεωρηθεί αμελητέα.
55. Ο ομογενής κύλινδρος του δι-
πλανού σχήματος έχει μάζα m = 2 kg,
ακτίνα R = 0,2 m και ανεβαίνει το
κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης θ =
30° με την επίδραση σταθερής δύ-
ναμης F , η οποία ενεργεί στο κέντρο
μάζας του κυλίνδρου. Ο φορέας της
δύναμης είναι παράλληλος στο κεκλιμένο επίπεδο και ο κύλινδρος κυλίεται
στο κεκλιμένο χωρίς να ολισθαίνει σ’ αυτό. Ο συντελεστής στατικής τριβής
ανάμεσα στον κύλινδρο και το κεκλιμένο επίπεδο είναι ίσος με s
3
4
μ . Η δύ-
ναμη ενεργεί στο κύλινδρο από τη χρονική στιγμή to = 0, μέχρι τη χρονική
στιγμή t1 = 2 s, και στη συνέχεια καταργείται. Μέχρι τη χρονική στιγμή t1, που
καταργήθηκε η δύναμη το κέντρο μάζας του κυλίνδρου μετατοπίστηκε κατά
10 m στη διεύθυνση του κεκλιμένου επιπέδου.
α) Να υπολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της στροφορμής στη χρονική διάρκεια
που ενεργεί η δύναμη F .
β) Να υπολογίσετε το έργο της δύναμης F από τη χρονική στιγμή to = 0 μέχρι
τη χρονική στιγμή t1 που καταργήθηκε η δύναμη.
F
φ
F
Γ

291
γ) Να υπολογίσετε τη μέγιστη τιμή του μέτρου της δύναμης F , ώστε ο κύλιν-
δρος να ανεβαίνει κυλιόμενος το κεκλιμένο επίπεδο χωρίς να ολισθαίνει.
δ) Να υπολογίσετε την κινητική ενέργεια του κυλίνδρου, 3 s μετά τη χρονική
στιγμή t1 όπου καταργήθηκε η δύναμη F .
Δίνεται ότι η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς άξονα διερχόμενο από
το κέντρο του και κάθετο στις βάσεις του, υπολογίζεται από τη σχέση
21
mR
2
  και η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2. Η αντίσταση του αέ-
ρα να θεωρηθεί αμελητέα.
56. Δύο οριζόντιοι ομογενείς δίσκοι (1) και (2) στρέφονται γύρω από κοινό
κατακόρυφο άξονα με γωνιακές ταχύτητες οι οποίες έχουν μέτρα ω1 = 20
rad/s, ω2 = 8 rad/s και αντίθετη φορά όπως φαίνεται στο διπλανό σχήμα. Ο
δίσκος (1) έχει ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα
περιστροφής Ι1 = 0,2 kgm2. Ο δίσκος (1) αρχίζει να
μετακινείται σιγά – σιγά κατά μήκος του άξονα
περιστροφής και κάποια στιγμή έρχεται σε επαφή
με το δίσκο (2), οπότε απ’ αυτή τη στιγμή και μετά
οι δίσκοι περιστρέφονται σαν ένα σώμα με την ίδια
γωνιακή ταχύτητα μέτρου ω = 4 rad/s. Να υπολο-
γίσετε:
α) τη ροπή αδράνειας του δίσκου (2) ως προς τον
άξονα περιστροφής του (δύο λύσεις).
β) τη στροφορμή του συστήματος των δύο δίσκων, πριν και μετά την επαφή
τους.
γ) το επί τοις εκατό ποσοστό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του συστήμα-
τος των δύο δίσκων (σε σχέση με την αρχική τους κινητική ενέργεια). Να εξη-
γήσετε που οφείλεται αυτή η μεταβολή της κινητικής ενέργειας.
57. Σφαίρα βρίσκεται σε
τραχύ οριζόντιο επίπεδο και
της ασκείται στο κέντρο της
οριζόντια σταθερή δύναμη
F=10N. Η σφαίρα αφού δια-
νύσει απόσταση x1=7m, σ’ αυτό το επίπεδο εισέρχεται σε λείο οριζόντιο επί-
πεδο μήκους x2=2,2m χωρίς να αλλάξει η δύναμη F. Η σφαίρα έχει μάζα
m=1kg και ακτίνα R=1m, η ροπή αδράνειας της ως προς άξονα που διέρχε-
ται από το κέντρο μάζας της δίνεται από τη σχέση: 2
cm
2
I mR
5
 .
α) Να δικαιολογήσετε τη φορά της στατικής τριβής κατά την κίνηση της σφαί-
ρας στο τραχύ επίπεδο.
1ω
2ω
(1)
(2)
F
τραχύ
επίπε-
λείο
επίπε-
F

292
β) Ποιος ο λόγος της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας της σφαίρας στο τραχύ
επίπεδο αcm1 προς την επιτάχυνση του κέντρου μάζας της σφαίρας στο λείο
επίπεδο αcm2.
γ) Ποια η γωνιακή ταχύτητα της σφαίρας στο τέλος του πρώτου επιπέδου;
δ) Ποια η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας στο τέλος του λείου επι-
πέδου;
ε) Ποιος ο συνολικός αριθμός περιστροφών της σφαίρας στο τέλος του λείου
επιπέδου;
στ) Ποιος θα έπρεπε να ήταν ο ελάχιστος συντελεστής μέγιστης στατικής τρι-
βής στο δεύτερο επίπεδο ώστε η σφαίρα να συνεχίσει να κάνει κύλιση χωρίς
ολίσθηση;
(Παραλλαγές της ίδιας άσκησης θα μπορούσαν να δοθούν με τη δύναμη να
ασκείται υπό γωνία φ στο κέντρο της σφαίρας ή η σφαίρα να κατέρχεται ένα
κεκλιμένο επίπεδο που στην αρχή να ήταν τραχύ και στη συνέχεια λείο.)
58. Στον κύλινδρο του σχήματος
έχουμε τυλίξει λεπτό αβαρές και μη
εκτατό νήμα στη περιφέρειά του. Ο
κύλινδρος κυλίεται χωρίς να ολι-
σθαίνει στο οριζόντιο δάπεδο έχο-
ντας ταχύτητα κέντρου μάζας
υocm=10m/s. Τη χρονική στιγμή
to=0 ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη στην άκρη του νήματος με αποτέλε-
σμα να ακινητοποιούμε τον κύλινδρο σε χρόνο Δt=10s. Ο κύλινδρος καθ’ όλη
τη διάρκεια της κίνησης και μέχρι την ακινητοποίησή του κάνει κύλιση χωρίς
ολίσθηση. Αν η μάζα του είναι Μ=10kg και η ακτίνα του R=0,5m:
α. Ποιο το μέτρο της επιτάχυνσης (επιβράδυνσης) του κέντρου μάζας του και
ποια η απόσταση που διανύει μέχρι να ακινητοποιηθεί.
β. Ποιο το μέτρο της δύναμης F που ασκούμε και ποιο το μέτρο της στατικής
τριβής.
γ. Ποια η ισχύς της δύναμης τη στιγμή t1=5s.
Η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του δίνεται
από τη σχέση I=0,5MR2
59. Κατακόρυφη ράβδος μήκος L=0,3m και μάζας Μ=4kg ι-
σορροπεί κατακόρυφα, όπως φαίνεται στο σχήμα. Η ράβδος μπο-
ρεί να περιστρέφεται γύρω από σταθερό άξονα που διέρχεται από
το πάνω της άκρο και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Βλήμα υπο-
τετραπλάσιας μάζας κινείται με ταχύτητα υ και συγκρούεται με τη
ράβδο στο κέντρο της κάθετα και εξέρχεται απ’ αυτή με ταχύτητα
μισή απ’ αυτή που είχε πριν την κρούση. Αν η ράβδος μετά την
κρούση ίσα που καταφέρνει να βρεθεί στην οριζόντια θέση:
α) Να υπολογιστεί η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου αμέσως μετά την κρούση.
υ

293
β) Να βρεθεί η ταχύτητα του βλήματος μετά την κρούση.
γ) Να υπολογιστεί το μέτρο της στροφορμής της ράβδου τη στιγμή που ανε-
βαίνοντας σχηματίζει γωνία 60º με την κατακόρυφο.
δ) Ποια η απώλεια της μηχανικής ενέργειας κατά την κρούση;
Δίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται από το
κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της: 2
cm
1
I ML
12
 .
(Θα μπορούσε να ζητά την ταχύτητα του βλήματος πριν την κρούση ώστε η
ράβδος να εκτελέσει ανακύκλωση)
60. Ένα καρούλι αποτελείται από δύο δίσκους μάζας Μδ=2kg και διαμέ-
τρου dδ=4m ο καθένας και ένα κύλινδρο μάζας MK=4kg και διαμέτρου
dK=2m. Τα κέντρα μάζας των τριών σω-
μάτων βρίσκονται στην ίδια ευθεία. Το
καρούλι τοποθετείται σε σανίδα μήκους
L=3m η οποία στο αριστερό της άκρο Ο
στερεώνεται σε άρθρωση και στο δεξί της
άκρο Α σε κατακόρυφο νήμα το άλλο ά-
κρο του οποίου είναι στερεωμένο ακλό-
νητα. Μέσου λεπτού αβαρούς μη εκτατού
νήματος που είναι τυλιγμένο στον κύλιν-
δρο ασκούμε σταθερή οριζόντια δύναμη
F=42N με αποτέλεσμα το καρούλι να κυ-
λίεται χωρίς να ολισθαίνει πάνω στη σα-
νίδα.
α. Ποια η ροπή αδράνειας που παρουσιάζει το καρούλι;
β. Ποια η γωνιακή επιτάχυνση με την οποία κινείται;
γ. Ποια η ταχύτητα του ανώτερου σημείου του κυλίνδρου όταν το καρούλι έχει
διανύσει απόσταση x1=3m από τη στιγμή που ξεκίνησε;
δ. i) αν ο συντελεστής στατικής τριβής μεταξύ του στερεού και σανίδας
ήταν μ=5∙10-2 να εξετάσετε αν το καρούλι θα έκανε κύλιση χωρίς ολίσθηση.
ii) Ποιος θα πρέπει να είναι ο ελάχιστος συντελεστής στατικής τριβής
ώστε το καρούλι να έκανε κύλιση χωρίς ολίσθηση;
ε. Αν το όριο θραύσης του νήματος είναι
170
T
3
   και η μάζα της
σανίδας Μσ=6kg, να βρείτε σε πόση απόσταση από το άκρο Ο πρέπει να βρε-
θεί το καρούλι ώστε να σπάσει το νήμα.
Δίνονται η ροπή αδράνειας δίσκου γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέ-
ντρο του και είναι κάθετος στο επίπεδό του : Ιcm=0,5MR2, η ροπή αδράνειας
του κυλίνδρου γύρω από άξονα που διέρχεται από τα κέντρα των δύο βάσε-
ων: Ιcm=0,5MR2 και η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2.
F
A
O

294
61. Τρεις ομογε-
νής ράβδοι μάζας
M=2kg και μήκους
L 3 m η κάθε μία,
ενώνονται μεταξύ
τους ώστε να φτιά-
ξουν ισόπλευρο τρί-
γωνο ΟΑΓ που θα
ονομάσουμε στερεό
Σ. Στο σημείο Ο του
τριγώνου υπάρχει
σταθερή άρθρωση
που επιτρέπει στο
στερεό Σ να περι-
στρέφεται χωρίς τριβές γύρω από αυτή στο επίπεδο που ορίζεται από το τρί-
γωνο ΟΑΓ. Στην άκρη Α του τριγώνου που σχηματίστηκε, δένουμε λεπτό αβα-
ρές μη εκτατό νήμα που μέσω αβαρούς τροχαλίας, δένεται στο σώμα μάζας
m2=3kg όπως φαίνεται στο σχήμα. Η τροχαλία μπορεί να περιστρέφεται χω-
ρίς τριβές γύρω από άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος
στο επίπεδό της και το νήμα δεν ολισθαίνει στο αυλάκι της τροχαλίας. Το τρί-
γωνο ισορροπεί έτσι ώστε η ράβδος ΑΓ να είναι κατακόρυφη. Το σώμα m2
συνδέεται ακλόνητα με ιδανικό οριζόντιο ελατήριο σταθεράς k=400N/m το
άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Το σώμα m2
μπορεί να κινείται χωρίς τριβές στο οριζόντιο δάπεδο. Πάνω στο m2 τοποθε-
τούμε σώμα μάζας m1=1kg. Όλο το σύστημα ισορροπεί ακίνητο όπως φαίνε-
ται στο σχήμα.
Α. Να υπολογιστεί η ροπή αδράνειας του στερεού Σ ως προς τον άξονα που
διέρχεται από το Ο και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζεται από το τρίγω-
νο ΟΑΓ.
Β. Τη χρονική στιγμή to=0 κόβουμε το νήμα με αποτέλεσμα το σύστημα m1,
m2 και ελατήριο να ξεκινήσει απλή αρμονική ταλάντωση και το στερεό Σ να
ξεκινήσει να περιστρέφεται γύρω από την άρθρωση Ο.
α) i) Ποια η γωνιακή επιτάχυνση του στερεού Σ τη χρονική στιγμή to=0.
ii) Ποια η εφαπτομενική επιτάχυνση στη διεύθυνση της τροχιάς τους, των ση-
μείων Γ και Μ, όπου Μ το μέσο της ράβδου ΑΓ.
β) i) Ποια η μέγιστη κινητική ενέργεια που θα αποκτήσει το στερεό Σ.
ii) Ποια η μέγιστη γραμμική ταχύτητα των σημείων Γ και Μ.
γ) Ποια η χρονική εξίσωση ταλάντωσης του συστήματος των δύο μαζών m1,
m2 και του ελατηρίου k.
δ) Ποιος θα πρέπει να είναι ο ελάχιστος συντελεστής οριακής τριβής μεταξύ
των σωμάτων m1 και m2 ώστε να μην ολισθήσει κατά τη διάρκεια της ταλά-
ντωσης το σώμα m1 πάνω στο σώμα m2.
Δίνεται η ροπή αδράνειας της κάθε ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται
από το μέσον της και είναι κάθετος στο επίπεδό της: 2
cm
1
I ML
12
 . Η επιτάχυνση
της βαρύτητας g=10m/s2.
O
A
Γ
k
m1
m2

295
φ φ
h
S
1
2
62. Δύο ίδιοι κύλινδροι ακτίνας R=10cm και μάζας Μ βρίσκονται στα δύο
κεκλιμένα επίπεδα γωνίας κλίσης φ=30° όπως φαίνεται στο σχήμα. Ο κύλιν-
δρος 1 έχει γύρω του τυλιγμένο αβαρές μη εκτατό νήμα που μέσω αβαρούς
τροχαλίας κα-
ταλήγει στο κέ-
ντρο του κυλίν-
δρου 2. Τη χρο-
νική στιγμή
to=0 που αφή-
νουμε το σύ-
στημα ελεύθερο
ο κύλινδρος 1
απέχει από το
τέλος του κε-
κλιμένου επιπέ-
δου που βρίσκεται, απόσταση S=45 m όπως φαίνεται στο σχήμα. Το τέλος
αυτού του κεκλιμένου απέχει από το οριζόντιο δάπεδο κατακόρυφη απόσταση
h=200m. Αν η ροπή αδράνειας των κυλίνδρων ως προς άξονα που διέρχεται
από τα κέντρα των βάσεων τους δίνεται από τη σχέση Icm=0,5MR2:
Α. Αν θεωρήσουμε ότι οι κύλινδροι μπορούν να κυλίονται χωρίς να ολισθαί-
νουν και το νήμα δεν γλιστρά στο αυλάκι της τροχαλίας αλλά ούτε και στον
κύλινδρο 1.
α) Να αποδειχτεί ότι το σύστημα των δύο κυλίνδρων από τη στιγμή που θα
αφεθεί ελεύθερο θα κινηθεί.
β) Να προσδιοριστεί η φορά κίνησης καθώς και η επιτάχυνση του κέντρου μά-
ζας του κυλίνδρου 2.
Β. Αν το νήμα κόβεται ακαριαία τη χρονική στιγμή t1=15s:
α) Ποιος θα έπρεπε να είναι ο ελάχιστος συντελεστής μέγιστης στατικής τρι-
βής ώστε ο κύλινδρος 2 να κάνει κύλιση χωρίς ολίσθηση;
β) Ποια η ταχύτητα κέντρου μάζας του κυλίνδρου 1 λίγο πριν ακουμπήσει το
οριζόντιο δάπεδο, πέφτοντας από το ύψος των 200 μέτρων;
γ) Ποιο το πλήθος των περιστροφών που θα εκτελέσει ο κύλινδρος 1 από τη
στιγμή που θα εγκαταλείψει το κεκλιμένο επίπεδο μέχρι ελάχιστα πριν ακου-
μπήσει το οριζόντιο δάπεδο;
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2. Αντιστάσεις από τον αέρα
δεν λαμβάνονται υπόψιν.
63. Η ομογενής ράβδος του σχήματος έχει μάζα Μρ=12kg, μήκος 4m και
μπορεί να περιστρέφεται γύρω από σημείο Ο που βρίσκεται σε απόσταση
l1=1m από το αριστερό της άκρο. Στο αριστερό της άκρο έχουμε τοποθετήσει
ακλόνητα σημειακή μάζα m. Σε απόσταση l2=3m από το αριστερό της άκρο
έχουμε στερεώσει νήμα μήκους 32m λεπτό, αβαρές και μη εκτατό, το οποίο
έχουμε τυλίξει σε τροχαλία μάζας Μτ=90kg. To κέντρο μάζας της τροχαλίας
απέχει κάθετα 2m από τη ράβδο. Αρχικά η ράβδος ισορροπεί στην οριζόντια
θέση και η τροχαλία είναι ακίνητη. Τη χρονική στιγμή to=0 αφήνουμε την τρο-
χαλία ελεύθερη, οπότε κατεβαίνει με το νήμα να ξετυλίγεται από το αυλάκι

296
της χωρίς να ολισθαίνει σε αυτό
ενώ η ράβδος παραμένει στην
οριζόντια θέση.
α. Ποια η ταχύτητα του ανώτε-
ρου σημείου της τροχαλίας τη
στιγμή που ξετυλίγεται όλο το
νήμα.
β. Ποια η μάζα m που έχουμε το-
ποθετήσει στο αριστερό άκρο της
ράβδου.
γ. Όταν το νήμα ξετυλίγεται όλο
από την τροχαλία και αυτή πλέον πέφτει ελεύθερα, η ράβδος με τη σημειακή
ξεκινά να περιστρέφεται. Ποια η στροφορμή του συστήματος ράβδος σημει-
ακή μάζα όταν το σύστημα φτάσει στην κατακόρυφη θέση;
δ. Ποια η ταχύτητα του κέντρου μάζας της τροχαλίας όταν αυτή πέσει 20m
ακόμα μετά την αποδέσμευσή της από το νήμα;
Δίνονται g=10m/s2, η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρ-
χεται από το μέσον της και είναι κάθετος στο επίπεδό της: 2
cm
1
I ML
12
 , η
ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως προς άξονα που διέρχεται από το μέσον
της και είναι κάθετος στο επίπεδό της: 2
cm
1
I MR
2
 και για τις πράξεις:
96
4,4
5

64. Ομογενής ράβδος μήκους L=2m και μάζας Μ=6kg μπο-
ρεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζό-
ντιο ακλόνητο άξονα ο οποίος διέρχεται από το ένα της άκρο Ο,
ενώ στο άλλο της άκρο έχουμε στερεώσει σημειακή μάζα
m1=0,5kg. Βλήμα μάζας m2=0,08kg κινείται με ταχύτητα μέ-
τρου υ=600m/s σε διεύθυνση που σχηματίζει φ=30° με την
αρχικά ακίνητη κατακόρυφη ράβδο, και συγκρούεται σε σημείο
της ράβδου που απέχει απόσταση 3L/4 από το σημείο Ο. Το
βλήμα μετά τη κρούση βγαίνει από την άλλη μεριά της ράβδου
σε διεύθυνση ίδια με την αρχική του έχοντας ταχύτητα
6

  .
α) Ποια η γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του συστήματος ράβδος-m1 αμέ-
σως μετά τη κρούση.
β) Αποδείξτε ότι το σύστημα ράβδος – m1 δεν θα κάνει ανακύκλωση.
γ) Ποια η απώλεια της ενέργειας κατά τη κρούση.
κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της δίνεται από τη σχέση
21
L
12
   και g=10m/s2.
l2
l1
Om
φ
m2
m1
O
3L/4

297
65. Ο οριζόντιος δίσκος του σχήματος έχει μάζα Μ=4kg και ακτίνα
R=0,5m και μπορεί να περι-
στρέφεται χωρίς τριβές γύρω
από κατακόρυφο ακλόνητο ά-
ξονα. Στη περιφέρεια του δί-
σκου είναι τυλιγμένο ένα αβα-
ρές μη εκτατό νήμα που διέρχε-
ται από το αυλάκι τροχαλίας
που έχει μάζα m=2kg και ακτί-
να r=0,1m και μπορεί να περι-
στρέφεται γύρω από ακλόνητο
άξονα που διέρχεται από το κέ-
ντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της. Το νήμα καταλήγει σε σώμα μά-
ζας m1=2kg που είναι σταθερά προσδεδεμένο. Τη χρονική στιγμή to=0 αφή-
νουμε το σύστημα ελεύθερο να κινηθεί.
Α. α) Ποιο το μέτρο της γωνιακής επιτάχυνσης της τροχαλίας.
β) Ποια τα μέτρα των δυνάμεων που ασκούνται στη τροχαλία από το
νήμα.
γ) Ποιο το διάνυσμα της στροφορμής της τροχαλίας τη χρονική στιγμή
t1=2s.
Β. Τη χρονική στιγμή t1 ξετυλίγεται όλο το νήμα με αποτέλεσμα στο δίσκο
να μην ασκείται καμία ροπή. Αφήνουμε από ύψος να πέσει πάνω στο δίσκο
στοιχειώδης μάζα dm και κολλά σε αυτόν σε απόσταση d1=0,2m από το κέ-
ντρο του με αποτέλεσμα να μεταβληθεί η γωνιακή ταχύτητα του δίσκου κατά
12rad/s.
α) Αν η κρούση διήρκησε Δt=0,1s πόση ροπή δέχτηκε ο δίσκος κατά
μέσο κατά τη διάρκεια της κρούσης;
β) υπολογίστε τη μάζα dm.
Δίνεται η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του
υπολογίζεται από τη σχέση: Ιδ=0,5ΜR2, της τροχαλίας ως προς τον άξονα πε-
ριστροφής της από τη σχέση: Ιτρ=0,5mr2. Η επιτάχυνση της βαρύτητας
g=10m/s2. Το νήμα δεν ολισθαίνει ούτε στην περιφέρεια του δίσκου ούτε στο
αυλάκι της τροχαλίας. Θεωρήστε τη μάζα dm ως υλικό σημείο.
66. Ο κάθετος κύλινδρος του σχήματος έχει μάζα M=4kg, ακτίνα R=1m
και μπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές, γύρω από κατακόρυφο άξονα που
διέρχεται από τα κέντρα των δύο βάσεών του. Στον άξονα αυτό και στο πάνω
μέρος του έχει τοποθετηθεί οριζόντια ράβδος μάζας ΜΡ=12kg και μήκους
L=4m. Η ράβδος είναι στερεωμένη στο μέσο της κάθετα στον άξονα. Στη ρά-
βδο και σε αποστάσεις L/4 από το μέσο της έχουν τοποθετηθεί στοιχειώδεις
μάζες m2=m3=1kg. Η ράβδος με τις μάζες περιστρέφεται μαζί με τον κύλιν-
δρο και όλα μαζί αποτελούν το στερεό Σ. Στη περιφέρεια του κυλίνδρου, είναι
τυλιγμένο ένα αβαρές μη εκτατό νήμα που διέρχεται από το αυλάκι τροχαλίας
που έχει μάζα m=2kg και ακτίνα r=0,1m και μπορεί να περιστρέφεται γύρω
από ακλόνητο άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο
επίπεδό της. Το νήμα καταλήγει σε σώμα μάζας m1=9kg που είναι σταθερά
Μ
R
m, r
m1

298
προσδεδεμένο σε αυτό. Τη χρο-
νική στιγμή to=0 αφήνουμε το
σύστημα ελεύθερο.
Α. α) Να υπολογιστεί η ρο-
πή αδράνειας του στερεού Σ.
β) Ποια η γωνιακή επιτά-
χυνση του κυλίνδρου;
Β. Τη χρονική στιγμή t1=2s το
νήμα κόβεται.
α) Ποιο το spin του στερεού τη
χρονική στιγμή t2=4s. Ποιο το
γράφημα του spin του στερεού
συναρτήσει του χρόνου από τη
χρονική στιγμή to μέχρι τη χρονική στιγμή t2;
β) Τη χρονική στιγμή t2 οι στοιχειώδεις μάζες m2 και m3 γλιστράνε ακαριαία
και σταθεροποιούνται στα δύο άκρα αντίστοιχα της ράβδου. Ποια η νέα γω-
νιακή ταχύτητα του στερεού Σ;
Δίνεται η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστρο-
φής του υπολογίζεται από τη σχέση: Ικ=0,5ΜR2, της τροχαλίας ως προς τον
άξονα περιστροφής της από τη σχέση: Ιτρ=0,5mr2, της ράβδου ως προς άξονα
που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος σε αυτή: 21
I L
3
   . Η
επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2. Το νήμα δεν ολισθαίνει ούτε στην πε-
ριφέρεια του κυλίνδρου, ούτε στο αυλάκι της τροχαλίας. Θεωρήστε τις μάζες
m2 και m3 ως υλικά σημεία.
67. Για να υπολογίσουμε πειρα-
ματικά τη ροπή αδράνειας μιας
πέτρας χρησιμοποιούμε την πει-
ραματική διάταξη του σχήματος
που αποτελείται από οριζόντιο ο-
μογενή δίσκο μάζας mδ=3kg και
ακτίνας Rδ=2m. Ομογενή κύλινδρο
μάζας mκ=2kg, και ακτίνας
Rκ=1m, που είναι κολλημένος με
το δίσκο όπως φαίνεται στο σχήμα
έτσι ώστε ο άξονας που διέρχεται
από το κέντρο του δίσκου και είναι
κάθετος στο επίπεδό του να ταυτί-
ζεται με τον άξονα που διέρχεται
από τα κέντρα βάσεων του κυλίν-
δρου. Το σύστημα των δύο στερεών δίσκου – κυλίνδρου μπορεί να περιστρέ-
φεται χωρίς τριβές ως ένα στερεό σώμα, γύρω από τον άξονα που προαναφέ-
ραμε και διέρχεται από τα κέντρα μάζας του δίσκου και του κυλίνδρου. Γύρω
από τον κύλινδρο έχουμε τυλίξει λεπτό αβαρές μη εκτατό νήμα που μέσω
τροχαλίας μάζας mT=1kg καταλήγει σε σώμα μάζας m=3kg όπως φαίνεται
στο σχήμα.
Μ, R
m2
m, r
m1
m3
ΜΡ
mκ , Rκ
mΤ
m
mδ , Rδ

299
Πάνω στο δίσκο στερεώνουμε πέτρα έτσι ώστε ο άξονας που διέρχεται από το
κέντρο μάζας της να συμπίπτει με αυτόν του στερεού κυλίνδρου – δίσκου.
Τη χρονική στιγμή to=0 αφήνουμε το σύστημα ελεύθερο με αποτέλεσμα το
σώμα μάζας m να αποκτήσει ταχύτητα υ=8m/s τη στιγμή που έχει ξετυλιχτεί
νήμα μήκους l=20m.
Α. α. Ποια η ροπή αδράνειας της πέτρας ως προς τον άξονα περιστροφής της;
β. Ποια τα μέτρα των τάσεων νήματος που δέχεται η τροχαλία;
γ. Ποιος ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του στερεού που απο-
τελείται από τον δίσκο τον κύλινδρο και τη πέτρα και ποιος ο ρυθμός μεταβο-
λής της κινητικής ενέργειας του σώματος μάζας m, τη στιγμή που έχει ξετυλι-
χτεί νήμα μήκους l=20m.
B. To νήμα που συνδέει τον κύλινδρο με τη τροχαλία τη στιγμή που το σώμα
έχει ταχύτητα υ=8m/s σπάει ακαριαία και ταυτόχρονα σηκώνουμε τη πέτρα
από το δίσκο. Ποια η νέα γωνιακή ταχύτητα περιστροφής του δίσκου;
Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g=10m/s2, η ροπή αδράνειας του δί-
σκου ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο του και είναι κάθετος στο
επίπεδό του (άξονας περιστροφής του): 2
cm,
1
I m R
2
   , η ροπή αδράνειας του
κυλίνδρου ως προς άξονα που συνδέει τα κέντρα των βάσεων του (άξονας
περιστροφής του): 2
cm,
1
I m R
2
   και η ροπή αδράνειας της τροχαλίας ως
προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό
της (άξονας περιστροφής της): 2
cm,
1
I m R
2
  
68. Η λεπτή ομογενής ράβδος του
σχήματος μπορεί να περιστρέφεται
γύρω από το σημείο Σ χωρίς τριβές.
Στο δεξί άκρο της ράβδου έχουμε το-
ποθετήσει στοιχειώδη μάζα m2 και η
ράβδος ισορροπεί οριζόντια με τη
βοήθεια νήματος που καταλήγει σε
σώμα μάζας m1=1kg, το οποίο είναι σταθερά προσδεμένο σε ιδανικό ελατή-
ριο σταθεράς k=100N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι σταθερά προσδεμέ-
νο σε οριζόντιο δάπεδο. Η ράβδος έχει μήκος L=4m και μάζα Μ=12kg. Τη
χρονική στιγμή to=0 το νήμα κόβεται και το σώμα m1 ξεκινά α.α.τ. ενώ η ρά-
βδος ξεκινά να περιστρέφεται γύρω από το σημείο Σ. Το σώμα εκτελεί α.α.τ.
και το μέτρο της μέγιστης ταχύτητας που αναπτύσσει είναι υmax=2 m/s.
α) Ποια η τάση του νήματος;
β) Ποια η στοιχειώδης μάζα m2.
γ) Ποια η ταχύτητα της μάζας m2 τη στιγμή που η ράβδος θα γίνει κατακόρυ-
φη για πρώτη φορά;
Σ m2
m1
k
L
4

300
κέντρο της και είναι κάθετος στο επίπεδό της: 2
cm
1
I ML
12
 . Η επιτάχυνση της
βαρύτητας g=10m/s2.
69. Ομογενής ράβδος μάζας Μ=7kg και μήκους L=0,3m, μπορεί να στρέ-
φεται χωρίς τριβές γύρω από σημείο Ο, ισορροπεί οριζόντια όπως φαίνεται
στο σχήμα. Αφήνουμε τη
ράβδο και μόλις γίνει κατα-
κόρυφη συγκρούεται το κά-
τω της σημείο με ομογενή
σφαίρα μάζας m=2,5kg.
Μετά τη κρούση η ράβδος
ακινητοποιείται και η σφαί-
ρα ξεκινά να κινείται στην αρχή ολισθαίνοντας και μετά κυλιόμενη μέχρι να
φτάσει στο τέλος του οριζοντίου επιπέδου όπου ξεκινά να ανέρχεται σε κυκλι-
κή ράγα ακτίνας R=L/2, συνεχίζοντας να κάνει κύλιση χωρίς ολίσθηση.
α) Ποια η γωνιακή ταχύτητα της ράβδου λίγο πριν την κρούση με τη σφαίρα;
β) Ποια η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας αμέσως μετά τη κρούση
της με τη ράβδο;
γ) Ποια η ταχύτητα του κέντρου μάζας της σφαίρας όταν πλέον αυτή θα κυλί-
εται χωρίς να ολισθαίνει στο οριζόντιο επίπεδο;
δ) Πόση θερμότητα θα παραχθεί κατά τη κίνηση της σφαίρας στο οριζόντιο
επίπεδο;
ε) Ποια η κάθετη δύναμη που δέχεται η σφαίρα από το δάπεδο τη στιγμή που
βρίσκεται στο κατώτατο σημείο της κυκλική ράγας;
στ) Η σφαίρα θα καταφέρει να κάνει ανακύκλωση στην κυκλική ράγα;
μέσον της και είναι κάθετος στο επίπεδό της: 2
cm,ρ
1
I ML
12
 . Η ροπή αδράνειας
της σφαίρας ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της
2
cm,σ
2
I mr
5
 . Θεωρήστε πολύ μικρή την ακτίνας της σφαίρας σε σχέση με την
ακτίνα της κυκλικής ράγας.
70. Δύο λεπτές ομογενής ράβδοι βρίσκονται αναρτημέ-
νες από το άκρο τους Ο, και μπορούν να περιστρέφονται
χωρίς τριβές, γύρω από άξονα που διέρχεται απ’ αυτό το
σημείο και είναι κάθετος στο επίπεδό τους. Οι ράβδοι έ-
χουν το ίδιο μήκος L=30cm και μάζες αντίστοιχα Μ1=1kg
και M2=3kg. Εκτρέπουμε τη ράβδο (1) από τη κατακόρυ-
φο και την αφήνουμε ελεύθερη, με αποτέλεσμα να συ-
γκρουστεί πλαστικά με την αρχικά ακίνητη κατακόρυφη
ράβδο (2). Κατά τη διάρκεια της κρούσης η ράβδος (2)
O
(1)
(2)
Ο

301
δέχεται ροπή τ2 που το μέτρο της συναρτήσει του χρόνου παριστάνεται γρα-
φικά στη διπλανή γραφική παράσταση.
α) Ποια η γωνιακή ταχύτητα του συσσωματώματος των δύο ράβδων αμέσως
μετά τη κρούση;
β) Ποιο ποσοστό της αρχικής
κινητικής ενέργειας του συ-
στήματος έγινε θερμότητα κα-
τά τη κρούση;
γ) Ποια η αρχική γωνιακή ε-
κτροπή από τη κατακόρυφο
της ράβδου (1);
Δίνεται η ροπή αδράνειας της
ράβδου ως προς άξονα που
διέρχεται από το κέντρο μάζας
και είναι κάθετος σ αυτή: Icm=(1/12)ML2.
71. Πάνω σε κεκλιμένο επίπεδο γωνίας κλίσης φ=30°, κρατάμε ακίνητους
δύο όμοιους ομογενής κυλίνδρους ακτίνας R=0,2m και μάζας m=2kg ο καθέ-
νας. Πάνω στους 2
κυλίνδρους κρατά-
με ακίνητη ομογενή
σανίδα μεγάλου μή-
κους και μάζας
Μ=1kg, όπως φαί-
νεται στο σχήμα. Οι
δύο κύλινδροι είναι
συμμετρικά τοποθε-
τημένοι δεξιά και
αριστερά από το
κέντρο βάρους της
σανίδας. Τη χρονική
στιγμή to=0 αφή-
νουμε το σύστημα
ελεύθερο. Αν υπο-
θέσουμε ότι μεταξύ
της σανίδας και των
κυλίνδρων, όπως και μεταξύ των κυλίνδρων και του κεκλιμένου δεν υπάρχει
ολίσθηση και ότι η σανίδα παραμένει σε επαφή και με τους δύο κυλίνδρους
μέχρι να την αφαιρέσουμε:
Α. α) Να υπολογίσετε το μέτρο της επιτάχυνσης του κέντρου μάζας κάθε κυ-
λίνδρου.
β) Ποιο το μέτρο της δύναμης που ασκεί ο κάθε κύλινδρος στη σανίδα τη
στιγμή που αφήσαμε το σύστημα ελεύθερο;
Β. Τη χρονική στιγμή t1=2s αφαιρούμε ακαριαία τη σανίδα και ο πρώτος κύ-
λινδρος (αυτός που βρίσκεται πιο κοντά στη βάση του κεκλιμένου) απέχει από
τ (Νm)
t (ms)10
45
0
φ
h

302
τη βάση του κεκλιμένου επιπέδου απόσταση S=33m. Στη βάση του κεκλιμέ-
νου ο κύλινδρος θα συναντήσει κενό ύψους h=16m όπως φαίνεται στο σχήμα.
α) Ποιος θα έπρεπε να είναι ο συντελεστής μέγιστης στατικής τριβής μεταξύ
κυλίνδρου και κεκλιμένου ώστε ο κύλινδρος να συνεχίσει να κάνει κύλιση χω-
ρίς ολίσθηση και μετά της αφαίρεση της σανίδας;
β) Λίγο πριν ακουμπήσει ο κύλινδρος στο οριζόντιο δάπεδο:
i) Ποιο το μέτρο της ταχύτητας του κέντρου μάζας του;
ii) Ποια η στροφορμή του, και
iii) Ποιος ο ρυθμός μεταβολής στροφορμής του;
Η ροπή αδράνειας του κάθε κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του
δίνεται από τη σχέση I=0,5mR2, g=10m/s2.
72. Ένα σώμα Σ μάζας Μ = 3 kg εκτελεί απλή αρμονική ταλάντωση με συ-
χνότητα f =
π
5
Hz σε λείο οριζόντιο δάπεδο και η απόσταση των ακραίων θέ-
σεων της τροχιάς του είναι ίση με 0,2 m. Πάνω στο σώμα βρίσκεται προσαρ-
μοσμένη ηχητική πηγή αμελητέας μάζας που εκπέμπει ήχο συχνότητας fs =
676 Hz. Δεύτερο σώμα μάζας m = 1kg, που κινείται με ταχύτητα μέτρου υ =
2 3 m/s, συγκρούεται μετωπικά και ελαστικά με το σώμα Σ, τη στιγμή που
αυτό βρίσκεται στη μέγιστη απομάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του.
α) Να υπολογίσετε τις ταχύτητες των σωμάτων αμέσως μετά την κρούση.
β) Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της απομάκρυνσης του σώματος Σ για την
ταλάντωση που εκτελεί αμέσως μετά την κρούση. Να θεωρήσετε ως χρονική
στιγμή to = 0 τη στιγμή της κρούσης και ως θετική φορά, τη θετική φορά της
ταλάντωσης του σώματος Σ πριν την κρούση.
γ) Αν ένας ακίνητος δέκτης ηχητικών κυμάτων βρίσκεται στην ευθεία της τα-
λάντωσης του σώματος Σ, να υπολογίσετε:
i) τη μέγιστη συχνότητα του ήχου που καταγράφει ο δέκτης μετά την κρούση.
ii) το μέτρο της δύναμης επαναφοράς που δέχεται το σώμα Σ τη στιγμή που ο
δέκτης καταγράφει την πραγματική συχνότητα του ήχου που εκπέμπει η πηγή
μετά την κρούση.
Δίνεται η ταχύτητα του ήχου στον αέρα υηχ = 340 m/s.
73. Σώμα μάζας m1=2kg κινείται με ταχύτητα υ1=100m/s και συγκρούεται
κεντρικά και πλαστικά με αρχικά ακίνητο σώμα
μάζας m2=8kg που ηρεμεί σε λείο οριζόντιο δά-
πεδο. Αν θεωρήσουμε ότι κατά τη διάρκεια της
κρούσης το σώμα m1 δέχεται σταθερή μέση δύ-
ναμη από το m2 μέτρου F=16∙103 N:
α) Ποια η κοινή ταχύτητα του συσσωματώματος που δημιουργείται;
β) Πόσο χρόνο διήρκησε η κρούση;
γ) Πόσο διάστημα διένυσε το m1 μέσα στο m2 μέχρι να σταματήσει;
δ) Πόση θερμότητα παράχθηκε κατά τη κρούση;
m1
m2

303
74. Ένα σώμα μάζας m1 = 1 kg αφήνεται ελεύθερο να ολισθήσει από την
κορυφή λείου τεταρτοκυκλίου ακτίνας R = 0,8 m. Το σώμα m1 συναντά
ακίνητο σώμα m2 = 3 kg, το οποίο βρίσκεται στη βάση του τεταρτοκυκλίου
και με το οποίο συγκρούεται κεντρικά και πλαστικά. Το συσσωμάτωμα (m1 +
m2) που προκύπτει κινείται στο λείο οριζόντιο δάπεδο, στην προέκταση του
τεταρτοκυκλίου και συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με σώμα m3 το οποίο
είναι δεμένο στο άκρο ιδανικού ελατηρίου σταθεράς k = 400 N/m που
βρίσκεται στην κατάσταση φυσικού μήκους. Το συσσωμάτωμα (m1 + m2)
ακινητοποιείται εξαιτίας της ελαστικής κρούσης με το σώμα m3. Να
υπολογίσετε:
α) το ποσοστό επί τοις εκατό της απώλειας της κινητικής ενέργειας εξαιτίας
της πλαστικής κρούσης.
β) τη μάζα m3,
γ) το ποσοστό επί τοις εκατό της αρχικής μηχανικής ενέργειας της μάζας m1,
που μεταφέρθηκε στη μάζα m3, εξαιτίας της ελαστικής κρούσης.
δ) το χρόνο κίνησης της μάζας m3, μέχρι να συγκρουστεί πάλι με το
συσσωμάτωμα,
ε) το μήκος της τροχιάς που διανύει η μάζα m3, μέχρι να συγκρουστεί πάλι με
το συσσωμάτωμα,
στ) το μέγιστο ύψος που θα ανέβει το συσσωμάτωμα στο τεταρτοκύκλιο, μετά
την δεύτερη κρούση του με τη μάζα m3.
Θεωρήστε γνωστό ότι το επίπεδο μηδενικής δυναμικής ενέργειας ταυτίζεται
με το οριζόντιο επίπεδο. Δίνεται η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2.

Παράρτημα
Α. Θέματα εξετάσεων Ενιαίου Λυκείου – Ιούνιος 2014
Β. Επαναληπτικά Θέματα Ο.Ε.Φ.Ε. 2003 – 2014

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ∆ΑΣ – Γ΄ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ
ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 6 ΣΕΛΙ∆ΕΣ
ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ
Γ΄ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΙ ΕΠΑΛ (ΟΜΑΔΑ Β΄)
ΤΡΙΤΗ 10 ΙΟΥΝΙΟΥ 2014
ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΦΥΣΙΚΗ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ (ΚΑΙ ΤΩΝ ΔΥΟ ΚΥΚΛΩΝ)
ΣΥΝΟΛΟ ΣΕΛΙΔΩΝ: ΕΞΙ (6)
Θέμα Α
Στις ερωτήσεις Α1-Α4 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθμό της
ερώτησης και, δίπλα, το γράμμα που αντιστοιχεί στη φράση η οποία
συμπληρώνει σωστά την ημιτελή πρόταση.
A1. Τα μήκη κύματος τεσσάρων ηλεκτρομαγνητικών ακτινοβολιών που
διαδίδονται στο κενό συμβολίζονται ως:
υπέρυθρο: λυ, ραδιοκύματα: λρ, πράσινο ορατό φως: λπ, ακτίνες Χ: λχ.
Η σχέση μεταξύ των μηκών είναι:
α) λχ > λρ > λυ > λπ
β) λρ > λπ > λυ > λχ
γ) λρ > λυ > λπ > λχ
δ) λυ > λχ > λρ > λπ
Μονάδες 5
A2. Η ταχύτητα ενός ηχητικού κύματος εξαρτάται από:
α) την περίοδο του ήχου
β) το υλικό στο οποίο διαδίδεται το κύμα
γ) το μήκος κύματος
δ) το πλάτος του κύματος.
Μονάδες 5
A3. Σε ένα αρχικά ακίνητο στερεό σώμα ασκούνται ομοεπίπεδες δυνάμεις έτσι
ώστε αυτό να εκτελεί μόνο επιταχυνόμενη μεταφορική κίνηση. Για τη
συνισταμένη των δυνάμεων FΣ που του ασκούνται και για το αλγεβρικό
άθροισμα των ροπών Στ ως προς οποιοδήποτε σημείο του, ισχύει:
α) FΣ = 0, Στ = 0
β) FΣ ≠ 0, Στ ≠ 0
γ) FΣ ≠ 0, Στ = 0
δ) FΣ = 0, Στ ≠ 0
Μονάδες 5
A4. Η δύναμη επαναφοράς που ασκείται σε ένα σώμα μάζας m που εκτελεί
απλή αρμονική ταλάντωση είναι ίση με F. Το πηλίκο
F
m
:
α) παραμένει σταθερό σε σχέση με το χρόνο
β) μεταβάλλεται αρμονικά σε σχέση με το χρόνο
γ) αυξάνεται γραμμικά σε σχέση με το χρόνο
δ) γίνεται μέγιστο, όταν το σώμα διέρχεται από τη θέση ισορροπίας.
Μονάδες 5

Α5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιο
σας, δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό,
αν η πρόταση είναι σωστή, ή τη λέξη Λάθος, αν η πρόταση είναι
α) Κριτήριο για τη διάκριση των μηχανικών κυμάτων σε εγκάρσια και
διαμήκη είναι η διεύθυνση ταλάντωσης των μορίων του ελαστικού
μέσου σε σχέση με την διεύθυνση διάδοσης του κύματος.
β) Σε μια εξαναγκασμένη ταλάντωση η ενέργεια που προσφέρεται στο
σύστημα αντισταθμίζει τις απώλειες και έτσι το πλάτος της
ταλάντωσης διατηρείται σταθερό.
γ) Κατά τη διάδοση ηλεκτρομαγνητικών κυμάτων στο κενό, το πηλίκο
των μέτρων των εντάσεων του μαγνητικού και του ηλεκτρικού πεδίου
ισούται με την ταχύτητα του φωτός
B
c
E
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠
.
δ) Η συχνότητα μονοχρωματικής ακτινοβολίας μειώνεται, όταν η
ακτινοβολία περνά από τον αέρα σε ένα διαφανές μέσο.
ε) Η γη έχει στροφορμή λόγω περιστροφής γύρω από τον άξονά της και
λόγω περιφοράς γύρω από τον ήλιο.
Μονάδες 5
Θέμα Β
Β1. Δύο όμοια σώματα, ίσων μαζών m το καθένα, συνδέονται με όμοια
ιδανικά ελατήρια σταθεράς k το καθένα, των οποίων τα άλλα άκρα είναι
συνδεδεμένα σε ακλόνητα σημεία, όπως στο σχήμα. Οι άξονες των δύο
ελατηρίων βρίσκονται στην ίδια ευθεία, τα ελατήρια βρίσκονται στο φυσικό
τους μήκος ℓ0 και το οριζόντιο επίπεδο στο οποίο βρίσκονται είναι λείο.
Μετακινούμε το σώμα 1 προς τα αριστερά κατά d και στη συνέχεια το
αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί. Το σώμα 1 συγκρούεται πλαστικά με το
σώμα 2. Το συσσωμάτωμα που προκύπτει εκτελεί απλή αρμονική
ταλάντωση με σταθερά επαναφοράς D = 2k. Αν Α1 το πλάτος της
ταλάντωσης του σώματος 1 πριν τη κρούση και Α2 το πλάτος της
ταλάντωσης του συσσωματώματος μετά την κρούση, τότε ο λόγος 1
2
A
A
είναι:
i) 1 ii)
1
2
iii) 2

α) Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
Μονάδες 2
β) Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
Μονάδες 6
Β2. Κατά τη σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων με
παραπλήσιες συχνότητες f1 και f2, ίδιας διεύθυνσης και ίδιου πλάτους,
που γίνονται γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας, με f1 > f2,
παρουσιάζονται διακροτήματα με περίοδο διακροτήματος ΤΔ = 2 s. Αν στη
διάρκεια του χρόνου αυτού πραγματοποιούνται 200 πλήρεις ταλαντώσεις,
οι συχνότητες f1 και f2 είναι:
i) f1 = 200,5 Hz, f2 = 200 Hz
ii) f1 = 100,25 Hz, f2 = 99,75 Hz
iii) f1 = 50,2 Hz, f2 = 49,7 Hz
Μονάδες 2
Μονάδες 6
Β3. Σε λείο οριζόντιο επίπεδο και σε διεύθυνση κάθετη σε κατακόρυφο
τοίχο κινείται σφαίρα μάζας m1 με ταχύτητα μέτρου υ1. Κάποια χρονική
στιγμή η σφαίρα μάζας m1 συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά με ακίνητη
σφαίρα μάζας m2 (m2 > m1). Μετά την κρούση με τη μάζα m1, η m2
συγκρούεται ελαστικά με τον τοίχο.
Παρατηρούμε ότι η απόσταση των μαζών m1 και m2, μετά την κρούση της
m2 με τον τοίχο, παραμένει σταθερή. Ο λόγος των μαζών 1
2
m
m
είναι:
i) 3 ii) 1 iii)
1
3
Μονάδες 2
Μονάδες 7

Θέμα Γ
Δύο σύγχρονες σημειακές πηγές Π1 και Π2 δημιουργούν στην επιφάνεια
υγρού εγκάρσια κύματα που διαδίδονται με ταχύτητα υ = 5 m/s. Μικρό κομμάτι
φελλού βρίσκεται σε κάποιο σημείο Σ της επιφάνειας πλησιέστερα στην πηγή
Π2. Η απομάκρυνση του σημείου Σ από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση
με τον χρόνο περιγράφεται από τη γραφική παράσταση του σχήματος. Οι πηγές
αρχίζουν να ταλαντώνονται τη χρονική στιγμή t = 0 και εκτελούν ταλαντώσεις
της μορφής y Α ημωt= ⋅ .
Γ1. Να βρείτε τις αποστάσεις 1r και 2r του σημείου Σ από τις πηγές Π1 και Π2,
αντίστοιχα.
Μονάδες 6
Μονάδες 6
Γ3. Ποιο είναι το μέτρο της ταχύτητας ταλάντωσης του φελλού κάποια χρονική
στιγμή t1, κατά την οποία η απομάκρυνσή του από τη θέση ισορροπίας του
είναι
3
1y 5 3 10 m−
= ⋅ ;
Μονάδες 6
Γ4. Έστω Κ1 η μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού μετά τη συμβολή.
Αλλάζουμε τη συχνότητα των ταλαντώσεων των πηγών Π1 και Π2 έτσι ώστε
η συχνότητά τους να είναι ίση με τα
10
9
της αρχικής τους συχνότητας. Αν
μετά τη νέα συμβολή η μέγιστη κινητική ενέργεια του φελλού είναι Κ2, να
βρεθεί ο λόγος 1
2
K
K
.
Μονάδες 7
Δίνεται :
π 1
συν
3 2
⎛ ⎞
=⎜ ⎟
⎝ ⎠

Θέμα Δ
Λεπτή, άκαμπτη και ομογενής ράβδος
ΑΓ μήκους ℓ = 2m και μάζας Μ = 5,6 kg
ισορροπεί με τη βοήθεια οριζόντιου νήματος,
μη εκτατού, που συνδέεται στο μέσο της,
όπως φαίνεται στο σχήμα. Το άκρο Α της
ράβδου συνδέεται με άρθρωση σε
κατακόρυφο τοίχο.
Δίνεται: ημφ 0,6= και συνφ 0,8=
Δ1. Να προσδιορίσετε τη δύναμη F που δέχεται η ράβδος από την άρθρωση.
Μονάδες 4
Μικρή ομογενής σφαίρα, μάζας m = 0,4 kg και ακτίνας
1
r m
70
= κυλίεται
χωρίς ολίσθηση, έχοντας εκτοξευθεί κατά μήκος της ράβδου από το σημείο Κ
προς το άκρο Γ.
Δ2. Να βρεθεί η γωνιακή επιτάχυνση της σφαίρας κατά την κίνησή της από το
Κ μέχρι το Γ.
Μονάδες 5
Δ3. Με δεδομένο ότι η σφαίρα φτάνει στο άκρο Γ, να βρείτε τη σχέση που
περιγράφει την τάση του νήματος σε συνάρτηση με την απόσταση του
σημείου επαφής της σφαίρας με τη ράβδο, από το σημείο Κ.
Μονάδες 5
Αφού η σφαίρα έχει εγκαταλείψει τη ράβδο, κόβουμε το νήμα. Η ράβδος
στρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο γύρω από οριζόντιο άξονα, ο οποίος
διέρχεται από το άκρο της Α, χωρίς τριβές.
Δ4. Να υπολογίσετε τον ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας της ράβδου
στη θέση στην οποία η ράβδος σχηματίζει γωνία φ με την κατακόρυφο που
διέρχεται από το άκρο Α, όπως στο παρακάτω σχήμα.
Μονάδες 6
Δεύτερη λεπτή, άκαμπτη και ομογενής
ράβδος ΑΔ, μήκους ℓ΄ = ℓ και μάζας Μ΄ = 3 Μ
είναι αρθρωμένη και αυτή στο σημείο Α γύρω
από τον ίδιο άξονα περιστροφής με την
ράβδο ΑΓ. Η ράβδος ΑΔ συγκρατείται
ακίνητη, με κατάλληλο μηχανισμό, σε θέση
όπου σχηματίζει γωνία φ με τον κατακόρυφο
τοίχο όπως στο σχήμα. Οι δύο ράβδοι
συγκρούονται και ταυτόχρονα ο μηχανισμός
ελευθερώνει τη ράβδο ΑΔ, χωρίς απώλεια
ενέργειας. Οι ράβδοι μετά την κρούση

κινούνται σαν ένα σώμα, χωρίς τριβές. Ο χρόνος της κρούσης θεωρείται
αμελητέος.
Δ5. Να υπολογίσετε το ποσοστό απώλειας της κινητικής ενέργειας του
συστήματος κατά την κρούση.
Μονάδες 5
Όλες οι κινήσεις πραγματοποιούνται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο.
Δίνονται :
• Η ροπή αδράνειας ρΙ λεπτής ομογενούς ράβδου μάζας Μ και μήκους ℓ, ως
προς άξονα που διέρχεται από το ένα της άκρο και είναι κάθετος σε αυτή:
1
M
3
=ρΙ ℓ2
• Η ροπή αδράνειας σϕΙ ομογενούς σφαίρας μάζας m και ακτίνας r ως προς
άξονα που διέρχεται από το κέντρο μάζας της :
22
m r
5
=σϕΙ
•
2
g 10 m s=
ΟΔΗΓΙΕΣ (για τους εξεταζομένους)
1. Στο εξώφυλλο του τετραδίου να γράψετε το εξεταζόμενο μάθημα. Στο εσώφυλλο
πάνω-πάνω να συμπληρώσετε τα Ατομικά στοιχεία μαθητή. Στην αρχή των
απαντήσεών σας να γράψετε πάνω-πάνω την ημερομηνία και το εξεταζόμενο
μάθημα. Να μην αντιγράψετε τα θέματα στο τετράδιο και να μη γράψετε
πουθενά στις απαντήσεις σας το όνομά σας.
2. Να γράψετε το ονοματεπώνυμό σας στο πάνω μέρος των φωτοαντιγράφων
αμέσως μόλις σας παραδοθούν. Τυχόν σημειώσεις σας πάνω στα θέματα δεν
θα βαθμολογηθούν σε καμία περίπτωση. Κατά την αποχώρησή σας να
παραδώσετε μαζί με το τετράδιο και τα φωτοαντίγραφα.
3. Να απαντήσετε στο τετράδιό σας σε όλα τα θέματα μόνο με μπλε ή μόνο με
μαύρο στυλό με μελάνι που δεν σβήνει. Μολύβι επιτρέπεται, μόνο αν το ζητάει η
εκφώνηση, και μόνο για πίνακες, διαγράμματα κλπ.
4. Κάθε απάντηση επιστημονικά τεκμηριωμένη είναι αποδεκτή.
5. Διάρκεια εξέτασης: τρεις (3) ώρες μετά τη διανομή των φωτοαντιγράφων.
6. Ώρα δυνατής αποχώρησης: 10.00 π.μ.
ΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΣΤΕ KΑΛΗ ΕΠΙΤΥΧΙΑ
ΤΕΛΟΣ ΜΗΝΥΜΑΤΟΣ

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2003
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ο.Ε.Φ.Ε. 2003
ΘΕΜΑΤΑ ΦΥΣΙΚΗΣ Γ’ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
Θ Ε Μ Α 1ο
Οδηγία: Στις ερωτήσεις 1-5 να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό της ερώτησης και
δίπλα το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
1. Η επιτάχυνση ενός υλικού σηµείου, το οποίο εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση,
α) είναι µέγιστη στη θέση ισορροπίας της ταλάντωσης.
β) είναι σταθερή.
γ) έχει µέτρο ανάλογο της αποµάκρυνσης του σηµείου από τη θέση
ισορροπίας του.
δ) έχει την ίδια φάση µε την ταχύτητα του υλικού σηµείου. (Mονάδες 4)
2. Μια σφαίρα Α συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε ακίνητη σφαίρα Β διπλάσιας
µάζας. Μετά την κρούση:
α) η ταχύτητα της σφαίρας Α είναι µηδέν.
β) η σφαίρα Β θα παραµείνει ακίνητη.
γ) η σφαίρα Α συνεχίζει προς την ίδια κατεύθυνση.
δ) µέρος της κινητικής ενέργειας της σφαίρας Α έχει µεταφερθεί στη σφαίρα Β.
(Mονάδες 4)
3. Ένα µηχανικό σύστηµα που εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση βρίσκεται σε
κατάσταση συντονισµού. Αν αυξήσουµε τη συχνότητα του διεγέρτη τότε:
α) το πλάτος της ταλάντωσης θα µειωθεί.
β) το πλάτος της ταλάντωσης θα αυξηθεί.
γ) η ολική ενέργεια της ταλάντωσης δεν θα µεταβληθεί.
δ) το σύστηµα θα απορροφά ενέργεια από το διεγέρτη µε τον ίδιο ρυθµό.
(Mονάδες 4)
4. Η ταχύτητα διάδοσης ενός µηχανικού κύµατος σε ένα ελαστικό µέσο εξαρτάται:
α) από το µήκος κύµατος που έχει το κύµα.
β) από τις ιδιότητες του ελαστικού µέσου.
γ) από την ενέργεια που µεταφέρει το κύµα.
δ) από το πλάτος ταλάντωσης των µορίων του ελαστικού µέσου.
(Mονάδες 4)

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2003
5. Μια δέσµη µονοχρωµατικής ακτινοβολίας προερχόµενη από ένα οπτικό υλικό Α,
προσπίπτει στη λεία επίπεδη επιφάνεια ενός οπτικού υλικού Β. Το φαινόµενο της
ολικής εσωτερικής ανάκλασης µπορεί να συµβεί αν:
α) η ακτινοβολία προσπίπτει κάθετα στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο
οπτικών υλικών
β) το οπτικό υλικό Β είναι πυκνότερο από το οπτικό υλικό Α.
γ) η γωνία πρόσπτωσης της ακτινοβολίας στη διαχωριστική επιφάνεια των δύο
υλικών είναι µικρότερη της κρίσιµης γωνίας.
δ) για τους δείκτες διάθλασης nA και nB των δύο οπτικών υλικών ισχύει nA>nB
(Mονάδες 4)
6. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν γράφοντας στο τετράδιό σας τη
λέξη «Σωστή» ή «Λανθασµένη» δίπλα στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε
πρόταση:
α) Η κίνηση ενός σώµατος η οποία προκύπτει από τη σύνθεση δύο απλών
αρµονικών ταλαντώσεων που εξελίσσονται στην ίδια διεύθυνση και γύρω
από το ίδιο σηµείο είναι πάντα µια απλή αρµονική ταλάντωση.
β) Το πλάτος της ταλάντωσης ενός σώµατος, που εκτελεί ταυτόχρονα δύο
απλές αρµονικές ταλαντώσεις ίδιας διεύθυνσης, ίδιου πλάτους Α, οι οποίες
εξελίσσονται γύρω από το ίδιο σηµείο µε συχνότητες f1 και f2 που
διαφέρουν πολύ λίγο µεταξύ τους, είναι |)(|2|'| 21 tff −Α=Α συνπ .
γ) Αν αυξήσουµε τη χωρητικότητα του πυκνωτή σε ένα ιδανικό κύκλωµα
ηλεκτροµαγνητικών ταλαντώσεων χωρίς να µεταβάλλουµε το µέγιστο
φορτίο, η ολική ενέργεια του κυκλώµατος αυξάνεται και η περίοδος της
ταλάντωσης µειώνεται.
δ) Το πλάτος Α σε µια φθίνουσα µηχανική ταλάντωση µειώνεται σε συνάρτηση
µε το χρόνο σύµφωνα µε την εξίσωση −
= Λt
oA A e , αν η δύναµη απόσβεσης
F είναι της µορφής F=-bυ.
(Το Αο είναι το πλάτος της ταλάντωσης τη στιγµή t=0,το b είναι η σταθερά απόσβεσης,
το Λ µια σταθερά που εξαρτάται από το b και την ταχύτητα υ του σώµατος.)
ε) Σε µια µετωπική ελαστική κρούση δύο σωµάτων συµβαίνει πάντοτε
ανταλλαγή ταχυτήτων.
(Mονάδες 5)

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2003
Θ Ε Μ Α 2ο
Α. ∆ύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2 αρχίζουν τη χρονική στιγµή t=0 να
ταλαντώνονται στην επιφάνεια υγρού σύµφωνα µε την εξίσωση y A ηµωt= ⋅ . Οι
δύο πηγές δηµιουργούν αρµονικά κύµατα του ίδιου µήκους κύµατος λ τα οποία
διαδίδονται στην επιφάνεια του υγρού. Ένα σηµείο Μ, το οποίο βρίσκεται στην
επιφάνεια του υγρού, απέχει από τις πηγές Π1 και Π2 αποστάσεις r1 και r2
αντίστοιχα, µε r1-r2=λ/3.
α) Να δείξετε ότι το πλάτος ταλάντωσης του σηµείου Μ µετά τη συµβολή των
κυµάτων είναι ίσο µε Α. (Mονάδες 5)
β) Να γράψετε την εξίσωση αποµάκρυνσης - χρόνου y(t) και ταχύτητας-χρόνου
υ(t) για το σηµείο Μ µετά τη συµβολή των δύο κυµάτων. (Mονάδες 4)
Β. Ο οριζόντιος δίσκος του σχήµατος (α) µπορεί να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω
από κατακόρυφο ακλόνητο άξονα που περνά από το κέντρο µάζας του.
Στο σχήµα (β) δίνεται το διάγραµµα της γωνιακής ταχύτητας του δίσκου σε
συνάρτηση µε το χρόνο.
α) Να µεταφέρετε στο τετράδιο σας το σχήµα (α) και να σχεδιάσετε τα
διανύσµατα της γωνιακής επιτάχυνσης και της στροφορµής του δίσκου µια
χρονική στιγµή t για την οποία ισχύει 0<t<t1. (Mονάδες 2)
β) Να δικαιολογήσετε ποιες από τις προτάσεις που ακολουθούν είναι σωστές
και ποιες λανθασµένες.
i) Η συνισταµένη των ροπών που δέχεται ο δίσκος είναι µηδέν.
ii) Το µέτρο της στροφορµής του δίσκου είναι σταθερό
iii) Η κινητική ενέργεια του δίσκου δίνεται από τη σχέση
2
L
K
2I
= , όπου Ι
είναι η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής
του. (Mονάδες 6)
Σχήµα (α)
ω
ω0
0 t1 t
Σχήµα (β)
ω
Ο

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2003
Γ. Μια ηχητική πηγή S εκπέµπει ηχητικά κύµατα συχνότητας fs που διαδίδονται στον
αέρα µε ταχύτητα υ.
α) Να γράψετε την εξίσωση της συχνότητας του ήχου που αντιλαµβάνεται
ένας παρατηρητής ο οποίος πλησιάζει την ακίνητη πηγή µε σταθερή
ταχύτητα υΑ, και τη συχνότητα που αντιλαµβάνεται ο παρατηρητής αν είναι
αυτός ακίνητος και τον πλησιάζει η πηγή µε σταθερή ταχύτητα υs=υΑ.
(Mονάδες 4)
β) Εάν είναι υ>υΑ, ποια από τις δύο συχνότητες είναι µεγαλύτερη;
(Mονάδες 2)
Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. (Mονάδες 2)
Θ Ε Μ Α 3ο
Οµογενής δίσκος µάζας M=3,6kg και ακτίνας R=0,2m µπορεί
να περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από σταθερό οριζόντιο
άξονα που περνά από το κέντρο µάζας του και είναι κάθετος
στο επίπεδό του. Αρχικά ο δίσκος είναι ακίνητος.
Βλήµα αµελητέων διαστάσεων, µάζας m=0,2 kg, κινείται
οριζόντια στο επίπεδο του δίσκου µε ταχύτητα 0υ
r
και
ενσωµατώνεται ακαριαία στο ανώτερο σηµείο του δίσκου. Η
γωνιακή ταχύτητα του συστήµατος αµέσως µετά την κρούση είναι ω=20rad/sec.
α) Τη ροπή αδράνειας του συστήµατος µετά την κρούση. (Mονάδες 6)
β) Το µέτρο της ταχύτητας 0υ
r
του βλήµατος. (Mονάδες 6)
γ) Για πόσο χρόνο θα πρέπει η σταθερή εφαπτοµενική δύναµη F=8 N να ασκείται στην
περιφέρεια του τροχού, ώστε το σύστηµα των δύο σωµάτων να ακινητοποιηθεί.
(Mονάδες 8)
δ) Την κινητική ενέργεια του συστήµατος και το ρυθµό ελάττωσής της τη χρονική
στιγµή t1=0,5 sec λόγω της επίδρασης της δύναµης F
r
. (Mονάδες 5)
Η ροπή αδράνειας του δίσκου ως προς τον άξονα περιστροφής του είναι 2
∆
1
I ΜR
2
= .
R
υο
m
Μ

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2003
Θ Ε Μ Α 4ο
∆ύο κύµατα διαδίδονται ταυτόχρονα κατά µήκος µιας τεντωµένης χορδής η οποία έχει τη
διεύθυνση του άξονα των x. Από τη συµβολή των δύο κυµάτων προκύπτει στάσιµο κύµα.
Στο ακόλουθο σχήµα φαίνεται ένα στιγµιότυπο του στάσιµου κύµατος τη στιγµή κατά την
οποία όλα τα σηµεία της χορδής βρίσκονται στις θέσεις της µέγιστης αποµάκρυνσής τους.
Η συχνότητα των κυµάτων που συµβάλλουν για να δώσουν το στάσιµο κύµα είναι f=40Hz.
Θεωρούµε ότι τη στιγµή t=0 για x=0 είναι y=0.
α) Να γραφεί η εξίσωση του στάσιµου κύµατος. (Mονάδες 6)
β) Να υπολογίσετε το πλάτος της ταλάντωσης του σηµείου Κ της χορδής του οποίου η
τετµηµένη είναι xκ=50cm. (Mονάδες 6)
γ) i) Να βρεθεί η αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του σηµείου Κ της
χορδής τη στιγµή κατά την οποία η ταχύτητα του ισούται µε το µισό της
µέγιστης τιµής της. (Mονάδες 4)
ii) Πόσο είναι το πηλίκο της δυναµικής προς την κινητική ενέργεια της ταλάντωσης
του σηµείου Κ αυτή τη στιγµή; (Mονάδες 4)
δ) Έστω Λ το σηµείο της χορδής το οποίο είναι το πλησιέστερο σηµείο προς τα
αριστερά του Κ και ταλαντώνεται µε πλάτος ίσο µε το πλάτος καθενός από τα δύο
κύµατα που συµβάλλουν για να δηµιουργήσουν το στάσιµο κύµα.
Πόση είναι η απόσταση µεταξύ των σηµείων Λ και Κ τη χρονική στιγµή κατά την
οποία τα δύο σηµεία κινούνται µε τη µέγιστη ταχύτητα τους;
(Mονάδες 5)

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2004
ÊÑÉÔÇÑÉÁ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ 1
Å Ê Ä Ï Ô É Ê Ï Ó Ï Ì É Ë Ï Ó Ó Õ Ã Ã Ñ Á Ö Å Ù Í Ê Á È Ç Ã Ç Ô Ù Í
ÅÐÁÍÁËÇÐÔÉÊÅÓ ÁÓÊÇÓÅÉÓ
ÈÅÌÁ 1ï
Ïäçãßá:Óôéò åñùôÞóåéò 1–5 íá ãñÜøåôå óôï ôåôñÜäéü óáò ôïí áñéèìü ôçò åñþôçóçò êáé äßðëá
ôï ãñÜììá ðïõ áíôéóôïé÷åß óôç óùóôÞ áðÜíôçóç.
1.Áí äéðëáóéÜóïõìå ôï ðëÜôïò ôçò ôáëÜíôùóçò åíüò óõóôÞìáôïò, ôüôå ôï ìÝôñï ôçò ìÝãéóôçò
ôá÷ýôçôáò:
á. ðáñáìÝíåé ôï ßäéï.
â. äéðëáóéÜæåôáé.
ã. õðïäéðëáóéÜæåôáé.
ä. ôåôñáðëáóéÜæåôáé.
(ÌïíÜäåò 4)
2. ¼ôáí Ýíáò ðáñáôçñçôÞò ðëçóéÜæåé ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá ðñïò ìßá áêßíçôç ðçãÞ Þ÷ïõ, ï
Þ÷ïò ðïõ áêïýåé Ý÷åé óõ÷íüôçôá:
á. ßäéá ìå áõôÞ ôçò ðçãÞò.
â. ìéêñüôåñç áðü áõôÞ ôçò ðçãÞò.
ã. ìåãáëýôåñç áðü áõôÞ ôçò ðçãÞò.
ä. ßäéá ìå ôç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ áêïýåé, üôáí áðïìáêñýíåôáé áðü ôçí ðçãÞ ìå ôçí
ßäéá ôá÷ýôçôá.
(ÌïíÜäåò 4)
3. Ìéá ìïíï÷ñùìáôéêÞ áêôéíïâïëßá, üôáí äéáäßäåôáé óå Ýíá ìÝóï ìå äåßêôç äéÜèëáóçò 1,5,
Ý÷åé ìÞêïò êýìáôïò 300 nm. Ç áêôéíïâïëßá áõôÞ åßíáé:
á. ïñáôÞ.
â. áêôßíåò ×.
ã. õðåñéþäçò.
ä. õðÝñõèñç.
(ÌïíÜäåò 4)
kritiria gia frodistiria.pm6 6/4/2004, 3:51 ìì1

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2004
2 ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÊÇ ÅÐÁÃÙÃÇ
4.Õëéêü óçìåßï åêôåëåß êõêëéêÞ êßíçóç êÝíôñïõÊ, üðùò öáßíå-
ôáé óôï ó÷Þìá. Ôï äéÜíõóìá x
H
ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï Ê êáé
åßíáé êÜèåôï óôï åðßðåäï ôçò êõêëéêÞò ôñï÷éÜò äåí ìðïñåß
íá åßíáé:
á. ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá.
â. ãùíéáêÞ åðéôÜ÷õíóç.
ã. ïñìÞ.
ä. óôñïöïñìÞ.
(ÌïíÜäåò 4)
5. ÊáôÜ ôç äéÜñêåéá ôçò êñïýóçò äýï óùìÜôùí, äéáôçñåßôáé:
á. ç ïñìÞ ôïõ êÜèå óþìáôïò.
â. ç ïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò.
ã. ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ êÜèå óþìáôïò.
ä. ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ óõóôÞìáôïò.
(ÌïíÜäåò 4)
6. Íá ÷áñáêôçñßóåôå êÜèå ìßá áðü ôéò ðñïôÜóåéò ðïõ áêïëïõèïýí ìå ôï ãñÜììá Ó, áí åßíáé
óùóôÞ, êáé ìå ôï ãñÜììá Ë, áí åßíáé ëáíèáóìÝíç.
á. Ç ðåñßïäïò ìéáò öèßíïõóáò ôáëÜíôùóçò äåí åîáñôÜôáé áðü ôç óôáèåñÜ áðüóâåóçò.
â. Ìéá áðü ôéò ìïíÜäåò ôïõ äåßêôç äéÜèëáóçò åßíáé ôï 1nm.
ã. Ôï öáéíüìåíï ôçò ïëéêÞò åóùôåñéêÞò áíÜêëáóçò ðáñáôçñåßôáé, üôáí ìéá áêôßíá öùôüò
ìåôáâáßíåé áðü Ýíá ïðôéêÜ ðõêíüôåñï óå Ýíá ïðôéêÜ áñáéüôåñï ìÝóï.
ä. ¸íá óôåñåü óþìá åßíáé äõíáôü íá Ý÷åé êéíçôéêÞ åíÝñãåéá, ÷ùñßò íá Ý÷åé ïñìÞ.
å. Óôï öáéíüìåíï Doppler ïé ôá÷ýôçôåò ôçò ðçãÞò êáé ôïõ ðáñáôçñçôÞ áíáöÝñïíôáé óôï
óýóôçìá áíáöïñÜò ôïõ ìÝóïõ äéÜäïóçò.
(ÌïíÜäåò 5)
ÈÅÌÁ 2ï
1. Õëéêü óçìåßï ìÜæáò m äéáãñÜöåé êõêëéêÞ ôñï÷éÜ áêôßíáò r ìå ôá÷ýôçôá óôáèåñïý ìÝ-
ôñïõ õ. Ç êéíçôéêÞ åíÝñãåéá ôïõ õëéêïý óçìåßïõ ìðïñåß íá õðïëïãéóôåß:

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2004
ÊÑÉÔÇÑÉÁ ÁÎÉÏËÏÃÇÓÇÓ 3
á. áðü ôç ó÷Ýóç

= 2
K mõ .
â. áðü ôç ó÷Ýóç

= 2
K Éù , üðïõ É ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôïõ õëéêïý óçìåßïõ ùò ðñïò Üîï-
íá ðïõ äéÝñ÷åôáé áðü ôï êÝíôñï ôçò êõêëéêÞò ôñï÷éÜò êáé åßíáé êÜèåñïò óôï åðßðåäü
ôçò êáé ù ôï ìÝôñï ôçò ãùíéáêÞò ôïõ ôá÷ýôçôáò.
ã. êáé áðü ôéò äýï ðáñáðÜíù ó÷Ýóåéò.
Íá äéêáéïëïãÞóåôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò.
(ÌïíÜäåò 8)
2. Äýï óþìáôáÓ1 êáé Ó2 ìå ìÜæåòm1 êáém2 êéíïýíôáé ìå ôá÷ýôçôåò 1õ
H
êáé 2õ
H
êáé óõãêñïý-
ïíôáé êåíôñéêÜ. Áí êáôÜ ôçí êñïýóç ôá äýï óþìáôá áíôáëëÜóóïõí ôá÷ýôçôåò, íá áðïäåß-
îåôå üôé:
á. Ý÷ïõí ßóåò ìÜæåò.
â. ç êñïýóç åßíáé åëáóôéêÞ.
(ÌïíÜäåò 10)
3. Ìïíï÷ñùìáôéêÞ áêôßíá öùôüò, ç ïðïßá äéáäßäåôáé áñ÷éêÜ óôïí áÝñá, ðñïóðßðôåé óôçí
åðßðåäç åðéöÜíåéá ãõÜëéíçò ðëÜêáò ðÜ÷ïõò d, ôçò ïðïßáò ï äåßêôçò äéÜèëáóçò åßíáé n.
Ç ãùíßá ðñüóðôùóçò åßíáé 45ï
. Íá áðïäåßîåôå üôé:
á. ç áêôßíá åîÝñ÷åôáé áðü ôç ãõÜëéíç ðëÜêá.
â. ç åîåñ÷üìåíç áêôßíá åßíáé ðáñÜëëçëç ðñïò ôçí áñ÷éêÞ.
(ÌïíÜäåò 7)
ÈÅÌÁ 3ï
¸íá ðåñéðïëéêü ìå ôç óåéñÞíá ôïõ óå ëåéôïõñãßá êéíåßôáé åõèýãñáììá ìå óôáèåñÞ ôá÷ýôçôá
Sõ = 20 m/s, áíÜìåóá óå äýï áêßíçôïõò ðáñáôçñçôÝò Á êáé Â. Ï ðáñáôçñçôÞò Á áêïýåé
Þ÷ï óõ÷íüôçôáò fA= 425 Hz, åíþ ï ðáñáôçñçôÞò Â áêïýåé Þ÷ï âáñýôåñï áðü áõôüí ðïõ
áêïýåé ï ðáñáôçñçôÞò Á.
á. Ôï ðåñéðïëéêü êéíåßôáé ðñïò ôïí ðáñáôçñçôÞ Á Þ ðñïò ôïí ðáñáôçñçôÞ Â; Íá äéêáéï-
ëïãÞóåôå ôçí áðÜíôçóÞ óáò.
(ÌïíÜäåò 8)

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2004
4 ÇËÅÊÔÑÏÌÁÃÍÇÔÉÊÇ ÅÐÁÃÙÃÇ
â. Ðïéá åßíáé ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ôçò óåéñÞíáò ðïõ èá Üêïõãå êáèÝíáò áðü ôïõò äýï ðá-
ñáôçñçôÝò, áí ôï ðåñéðïëéêü óôáìáôïýóå íá êéíåßôáé;
(ÌïíÜäåò 10)
ã. Ðïéá åßíáé ç óõ÷íüôçôá ôïõ Þ÷ïõ ðïõ áêïýåé ï ðáñáôçñçôÞò Â, üôáí ï ðáñáôçñçôÞò Á
áêïýåé Þ÷ï óõ÷íüôçôáò fA= 425Hz;
(ÌïíÜäåò 7)
Ç ôá÷ýôçôá äéÜäïóçò ôïõ Þ÷ïõ óôïí áÝñá åßíáé õ=340m/s.
ÈÅÌÁ 4ï
Ç ôñï÷áëßá ôïõ ó÷Þìáôïò åßíáé ïìïãåíÞò ìå ìÜæá m=4kg êáé áêôßíá
R =20cm. Ôá óþìáôá Ó1 êáé Ó2 Ý÷ïõí ìÜæåò m1 =4kg êáé m2 =2kg
êáé ôï ó÷ïéíß ðïõ ôá óõãêñáôåß Ý÷åé áìåëçôÝá ìÜæá. Ôï óþìá Ó2 åßíáé
êïëëçìÝíï ìå Üëëï óþìá Ó3 ìÜæáò m3 =1kg. Ôï óþìá Ó3 åßíáé óôå-
ñåùìÝíï óôï Üêñï êáôáêüñõöïõ åëáôçñßïõ, óôáèåñÜò Ê=100Í/m,
ôï Üëëï Üêñï ôïõ ïðïßïõ åßíáé óôåñåùìÝíï óôï Ýäáöïò. Ôï óýóôçìá
áñ÷éêÜ âñßóêåôáé óå éóïññïðßá. Ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t=0 ôá óþìáôá
Ó2 êáé Ó3 áðïêïëëïýíôáé.
á. Íá ãñÜøåôå ôçí åîßóùóç ôçò áðïìÜêñõíóçò ôçò ôáëÜíôùóçò ðïõ
èá åêôåëÝóåé ôï óþìá Ó3.
(ÌïíÜäåò 5)
â. Íá õðïëïãßóåôå ôç ãùíéáêÞ ôá÷ýôçôá ôçò ôñï÷áëßáò ôç óôéãìÞ ðïõ
ôï óþìáÓ3 äéÝñ÷åôáé áðü ôç èÝóç éóïññïðßáò ôïõ ãéá ðñþôç öïñÜ.
(ÌïíÜäåò 5)
ã. Íá õðïëïãßóåôå ôç óôñïöïñìÞ ôïõ óõóôÞìáôïò ôçò ôñï÷áëßáò êáé
ôùí óùìÜôùí Ó1 êáé Ó2 ôç ÷ñïíéêÞ óôéãìÞ t=2s.
(ÌïíÜäåò 5)
Äßíïíôáé: ç ñïðÞ áäñÜíåéáò ôçò ôñï÷áëßáò ùò ðñïò ôïí ÜîïíÜ ôçò É

= 2
mR êáé ç åðéôÜ÷õíóç
ôçò âáñýôçôáò g=10m/s2
.
Ç ôñéâÞ áíÜìåóá óôçí ôñï÷áëßá êáé ôï ó÷ïéíß åßíáé áñêåôÜ ìåãÜëç, þóôå íá ìçí ðáñáôçñåßôáé
ïëßóèçóç. Ôá óþìáôá Ó1, Ó2, Ó3 åßíáé ìéêñþí äéáóôÜóåùí.

OEΦE
ΘEM
ATA
2005
Επαναληπτικά Θέµατα ΟΕΦΕ 2005
Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση της φροντιστηριακής µονάδας
1
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΘΕΜΑ 1o
Για τις ερωτήσεις 1 – 4, να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και
1. Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Τη στιγµή που το
φορτίο του πυκνωτή στο κύκλωµα είναι µέγιστο,
α. η ένταση του ρεύµατος είναι µέγιστη.
β. η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου είναι ίση µε την
ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή.
γ. η ένταση του ρεύµατος είναι µηδέν.
δ. η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή είναι µηδέν.
[Μονάδες 5]
2. Στο ελεύθερο άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k είναι
δεµένο σώµα µάζας m, το οποίο εκτελεί εξαναγκασµένη ταλάντωση.
Αρχικά η συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης είναι f = f0 , όπου f0 η
ιδιοσυχνότητα του ταλαντούµενου συστήµατος. Αν κάποια στιγµή
διπλασιάσουµε την µάζα του σώµατος, διατηρώντας σταθερή την
συχνότητα της διεγείρουσας δύναµης, τότε το πλάτος της ταλάντωσης
του συστήµατος:
α. θα αυξηθεί
β. θα παραµείνει σταθερό
γ. θα ελαττωθεί
δ. θα µηδενιστεί
[Μονάδες 5]
ε π α ν α λ η π τ ι κ ά
2 0 0 5θ έ µ α τ α

OEΦE
ΘEM
ATA
2005
2
3. Όταν µια µονοχρωµατική ακτινοβολία η οποία διαδίδεται στο κενό
εισέρχεται σε ένα οπτικό µέσο, η ταχύτητα διάδοσής της µειώνεται
κατά 20%. Η τιµή του δείκτη διάθλαση του οπτικού µέσου είναι:
α. 1,5
β. 1,25
γ. 0,80
δ. 1,75
[Μονάδες 5]
4. Στάσιµο κύµα δηµιουργείται κατά µήκος ενός ελαστικού µέσου.
∆ύο υλικά σηµεία Α και Β του ελαστικού µέσου, βρίσκονται δεξιά
ενός δεσµού, σε αποστάσεις
8
λ
και
4
λ
αντίστοιχα. Η ενέργεια
ταλάντωσης ΕΑ του σηµείου Α θα είναι :
α. µηδέν
β. µεγαλύτερη της ενέργειας ταλάντωσης ΕΒ του σηµείου Β
γ. ίση µε την ενέργεια ταλάντωσης ΕΒ του σηµείου Β
δ. µικρότερη της ενέργειας ταλάντωσης ΕΒ του σηµείου Β
[Μονάδες 5]
Στην ερώτηση 5, να γράψετε στα τετράδιο σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα τη
λέξη Σωστό αν η πρόταση είναι σωστή και τη λέξη Λάθος αν η πρόταση είναι
5. Ένα υλικό σηµείο εκτελεί ταυτόχρονα δύο απλές αρµονικές
ταλαντώσεις ίδιου πλάτους Α και διαφορετικών συχνοτήτων f1 και f2
αντίστοιχα. Οι ταλαντώσεις εκτελούνται στην ίδια διεύθυνση και
γύρω από την ίδια θέση ισορροπίας. Αν οι συχνότητες των δύο
ταλαντώσεων f1 και f2 διαφέρουν πολύ λίγο µεταξύ τους, τότε.
α. Η σύνθεση των δυο ταλαντώσεων είναι απλή αρµονική
ταλάντωση συχνότητας f = (f1 + f2 )/2.
β. Η συνισταµένη κίνηση είναι ταλάντωση πλάτους 2Α.

OEΦE
ΘEM
ATA
2005
3
γ. Το υλικό σηµείο εκτελεί ιδιόµορφη περιοδική κίνηση
συχνότητας f ≈ f1
δ. Η κίνηση του υλικού σηµείου πραγµατοποιείται µε συχνότητα
f = (f1 – f2 )/2
ε. Η κίνηση του σώµατος είναι απεριοδική.
[Μονάδες 5]
ΘΕΜΑ 2ο
1. Σηµειακή µάζα m1 κινείται µε ταχύτητα µέτρου υ1 και συγκρούεται
µετωπικά και ελαστικά µε ακίνητο σώµα m2. Η µάζα m1 εκπέµπει ήχο
συχνότητας fs και αποµακρύνεται από ακίνητο παρατηρητή Α, όπως
φαίνεται στο σχήµα. Μετά την κρούση η µάζα m1 έχει ταχύτητα
µέτρου
2
1
υ
.
υ1
S
m2 m1 A
1A. Το ποσοστό της κινητικής ενέργειας της µάζας m1 που
µεταφέρεται στη µάζα m2 είναι :
α. 0% β. 75% γ. 100% δ. 50%
i. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση.
[Μονάδες 2]
ii. Nα δικαιολογήσετε την απάντησή σας.
[Μονάδες 3]

OEΦE
ΘEM
ATA
2005
4
1Β. Μετά την κρούση ο ακίνητος παρατηρητής Α ακούει ήχο
µεγαλύτερης συχνότητας από τη συχνότητα που εκπέµπει η πηγή,
αν ο λόγος των µαζών
2
m
1
m
είναι :
α.
2
m
1
m
= 1 β.
2
m
1
m
= 3 γ.
2
m
1
m
=
3
1
[Μονάδες 2]
[Μονάδες 4]
2. Ένα αποµονωµένο οµογενές άστρο, σφαιρικού σχήµατος,
περιστρέφεται γύρω από µία διάµετρό του, µε γωνιακή ταχύτητα ω0
και έχει κινητική ενέργεια K0. Στα τελευταία στάδια της ζωής του το
άστρο συρρικνώνεται λόγω βαρυτικών δυνάµεων.
2A. Να εξηγήσετε γιατί η µείωση της ακτίνας του οδηγεί σε αύξηση
της κινητικής του ενέργειας.
[Μονάδες 2]
2B. Αν η ακτίνα του άστρου µειωθεί κατά 50% σε σχέση µε την
αρχική της τιµή, τότε η κινητική ενέργεια του άστρου µετά τη
συρρίκνωση θα είναι :
α. 2K0 β. 3K0 γ. 4K0
[Μονάδες 2]
[Μονάδες 4]
∆ίνεται ότι η ροπή αδράνειας του άστρου ως προς άξονα περιστροφής
που διέρχεται από µια διάµετρο του είναι Icm= 2MR
5
2

OEΦE
ΘEM
ATA
2005
5
3. Σηµειακή µάζα εκτελεί ταυτόχρονα δυο απλές αρµονικές
ταλαντώσεις ιδίας διεύθυνσης και θέσης ισορροπίας µε εξισώσεις
x1= A1ηµωt και x2 = A2ηµ(ωt + φ)
Αν Ε1 είναι η ενέργεια που θα είχε η σηµειακή µάζα αν εκτελούσε
µόνο τη πρώτη ταλάντωση και Ε2 είναι η ενέργεια που θα είχε αν
εκτελούσε µόνο την δεύτερη ταλάντωση, τότε η ενέργεια Ε της
σύνθετης ταλάντωσης θα είναι Ε = Ε1 + Ε2, αν η διαφορά φάσης των
δυο ταλαντώσεων είναι
α. φ = 0 β. φ =
2
π
γ. φ = π δ. φ =
3
π
[Μονάδες 2]
[Μονάδες 4]
ΘΕΜΑ 3ο
Στα σηµεία Α και Β της επιφάνειας υγρού που ηρεµεί,
δηµιουργούνται από δύο σύγχρονες πηγές κυµάτων Π1 και Π2
εγκάρσια επιφανειακά κύµατα. Η εξίσωση ταλάντωσης της κάθε
πηγής είναι: y = 2ηµ5πt (y σε mm, t σε sec). Ένα πολύ µικρό κοµµάτι
φελλού βρίσκεται σε σηµείο Σ της επιφάνειας του υγρού , σε
αποστάσεις r1 = 4 m και r2 αντίστοιχα, από τις πηγές Α και Β. Το
κύµα από την πηγή Π1 φτάνει στο σηµείο Σ τη χρονική στιγµή
t1 = 0,4 sec και από την πηγή Π2 µε καθυστέρηση ∆t = 0,4 sec.
A1. Να βρεθούν η ταχύτητα διάδοσης και το µήκος κύµατος των
κυµάτων.
[Μονάδες 5]

OEΦE
ΘEM
ATA
2005
6
A2. Να σχεδιάσετε τη γραφική παράσταση της αποµάκρυνσης του
φελλού από τη θέση ισορροπίας του σε συνάρτηση µε το χρόνο,
έως τη χρονική στιγµή t2 = 0,8sec
[Μονάδες 5]
Β1. Να βρεθεί το πλάτος της ταλάντωσης που εκτελεί ο φελλός, από
τη στιγµή που αρχίζει η συµβολή των δυο κυµάτων στο σηµείο Σ
και µετά.
[Μονάδες 5]
Β2. Να βρεθεί η ταχύτητα του φελλού τη χρονική στιγµή t3 = 1,2 sec.
[Μονάδες 5]
Γ. Να βρεθεί η ελάχιστη συχνότητα που πρέπει να έχουν οι δυο
πηγές, ώστε στο σηµείο Σ να επιτυγχάνεται συµβολή µε
απόσβεση.
[Μονάδες 5]
Να θεωρήσετε ότι µεταβάλλοντας τη συχνότητα των πηγών, αυτές
παραµένουν σύγχρονες και µε µηδενική αρχική φάση. Επίσης να
θεωρήσετε ότι το πλάτος των επιφανειακών κυµάτων παραµένει
σταθερό κατά τη διάδοσή τους στο υγρό.
ΘΕΜΑ 4Ο
Λεπτή οµογενής ράβδος ΑΓ έχει µάζα Μ = 2 kg, µήκος L = 3 m και
µπορεί να περιστρέφεται στο κατακόρυφο επίπεδο χωρίς τριβές, γύρω
από σταθερό οριζόντιο άξονα που διέρχεται από σηµείο της Ο. Στο
άκρο Α της ράβδου είναι στερεωµένη σηµειακή µάζα m1 = 1 kg.
Ο
m1 υ
Λ
m2
A Γ

OEΦE
ΘEM
ATA
2005
7
Α. Να υπολογίσετε την απόσταση ΑΟ, του άξονα περιστροφής από το
άκρο της ράβδου Α, ώστε το σύστηµα ράβδου – µάζας m1 να
ισορροπεί οριζόντια.
[Μονάδες 5]
Β. Σηµειακή µάζα m2 = 1 kg, κινούµενη κατακόρυφα µε φορά προς τα
κάτω, συγκρούεται πλαστικά µε τη ράβδο στο σηµείο της Λ, που
είναι το µέσο της απόστασης ΟΓ.
Β1. Να υπολογίσετε την ταχύτητα υ της σηµειακής µάζας m2
ελάχιστα πριν την κρούση, ώστε η γωνιακή ταχύτητα του
συστήµατος, αµέσως µετά την πλαστική κρούση, να είναι
ω = 9 rad/s.
[Μονάδες 5]
Β2. Να υπολογίσετε την απώλεια της µηχανικής ενέργειας κατά
την διάρκεια της πλαστικής κρούσης.
[Μονάδες 4]
Γ. Να υπολογίσετε τη γωνιακή επιτάχυνση του συστήµατος αµέσως
µετά την κρούση.
[Μονάδες 3]
∆1. Να υπολογίσετε το µέτρο της ελάχιστης ταχύτητας της σηµειακής
µάζας m2 ακριβώς πριν την κρούση, ώστε το σύστηµα να φτάσει
στην κατακόρυφη θέση έχοντας περιστραφεί κατά γωνία 270ο
.
[Μονάδες 5]
∆2. Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της στροφορµής του συστήµατος
ως προς τον άξονα περιστροφής του Ο όταν η ράβδος έχει
στραφεί κατά γωνία 270o
.
[Μονάδες 3]
∆ίνεται η ροπή αδράνειας της ράβδου ως προς άξονα που διέρχεται
από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτή Icm =
12
1
ML2
και
η επιτάχυνση της βαρύτητας: g = 10 m/s2
.

Ï.Å.Ö.Å.
ÈÅÌÁÔÁ
2006
Τα θέµατα προορίζονται για αποκλειστική χρήση τη̋ φροντιστηριακή̋ µονάδα̋
1
1
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΦΥΣΙΚΗ
ΘΕΜΑ 1ο
Στι̋ ερωτήσει̋ 1 - 4 να γράψετε στο τετράδιό σα̋ τον αριθµό των ερώτηση̋ και
δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
1. Τροχό̋ κυλίεται πάνω σε οριζόντιο επίπεδο χωρί̋ να ολισθαίνει. Αν η
ταχύτητα του κέντρου µάζα̋ του τροχού έχει µέτρο υcm, η ταχύτητα του
κατώτερου σηµείου τη̋ περιφέρεια̋ έχει µέτρο:
α. υcm
β. υcm/2
γ. 0
δ. 2 υcm
Μονάδε̋ 5
2. Ακίνητο̋ παρατηρητή̋ αρχίζει, τη χρονική
στιγµή to=0, αρχίζει να κινείται ω̋ προ̋
ακίνητη πηγή, η οποία εκπέµπει ήχο
συχνότητα̋ fs. Αν ο παρατηρητή̋ κινείται επί
τη̋ ευθεία̋ που τον συνδέει µε την πηγή και η
σχέση τη̋ συχνότητα̋ fΑ του ήχου που
αντιλαµβάνεται αυτό̋ σε συνάρτηση µε το χρόνο t, δίνεται από το διπλανό
διάγραµµα, τότε ο παρατηρητή̋:
α.πλησιάζει προ̋ την πηγή κινούµενο̋ µε σταθερή ταχύτητα,
β.αποµακρύνεται από την πηγή κινούµενο̋ µε σταθερή ταχύτητα,
γ.πλησιάζει προ̋ την πηγή κινούµενο̋ µε σταθερή επιτάχυνση,
δ.αποµακρύνεται από την πηγή κινούµενο̋ µε σταθερή επιτάχυνση.
Μονάδε̋ 5
t
fA
0
fS

Ï.Å.Ö.Å.
ÈÅÌÁÔÁ
2006
2
2
3. Στα σηµεία Α και Β τη̋ επιφάνεια̋ µια̋
ήρεµη̋ λίµνη̋ βρίσκονται δύο
σύγχρονε̋ πηγέ̋ Π1 και Π2, που
ταλαντώνονται χωρί̋ αρχική φάση και
δηµιουργούν επιφανειακά κύµατα ίδιου
πλάτου̋ Α. Σηµείο Σ τη̋ επιφάνεια̋ τη̋
λίµνη̋ του οποίου η θέση φαίνεται στο διπλανό σχήµα, εκτελεί ταλάντωση
µε πλάτο̋ 2Α. Αν (ΑΒ)=3m, (ΒΣ)=4m και )ΣΒˆΑ( =90ο
, τότε το µήκο̋ κύµατο̋
των κυµάτων που δηµιουργούν οι πηγέ̋ Π1 και Π2 µπορεί να ισούται µε:
α. 0,3m β. 0,4m γ. 0,5m δ. 0,6m
Μονάδε̋ 5
4. Για κάποιο χρονικό διάστηµα ∆t, η πολικότητα του
πυκνωτή και η φορά του ρεύµατο̋ σε ένα ιδανικό
κύκλωµα LC, που εκτελεί αµείωτε̋ ηλεκτρικέ̋
ταλαντώσει̋, φαίνονται στο επόµενο σχήµα.
Στο χρονικό διάστηµα ∆t:
α. Η απόλυτη τιµή τη̋ ένταση̋ του ηλεκτρικού ρεύµατο̋ αυξάνεται, το
ίδιο και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου.
β. Η απόλυτη τιµή τη̋ ένταση̋ του ηλεκτρικού ρεύµατο̋ µειώνεται και
η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου αυξάνεται.
γ. Η απόλυτη τιµή τη̋ ένταση̋ του ηλεκτρικού ρεύµατο̋ αυξάνεται και
η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου µειώνεται.
δ. Η απόλυτη τιµή τη̋ ένταση̋ του ηλεκτρικού ρεύµατο̋ µειώνεται, το
ίδιο και η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου.
Να χαρακτηρίσετε στο τετράδιό σα̋ τι̋ προτάσει̋ που ακολουθούν, µε το
γράµµα Σ αν είναι σωστέ̋ και µε το γράµµα Λ, αν είναι λανθασµένε̋.
Μονάδε̋ 5
Β Σ
Α
L
Ci
+q –q

Ï.Å.Ö.Å.
ÈÅÌÁÔÁ
2006
3
3
5. Στο σχήµα που ακολουθεί απεικονίζεται η πορεία
µια̋ µονοχρωµατική̋ ακτινοβολία̋ η οποία
προσπίπτει υπό γωνία φ=30ο
στη διαχωριστική
επιφάνεια δύο οπτικών µέσων.
Ποιε̋ από τι̋ προτάσει̋ που ακολουθούν είναι
σωστέ̋ και ποιε̋ λανθασµένε̋;
α. Το µέσο (2) είναι οπτικά πυκνότερο από το µέσο (1).
β. Η ταχύτητα διάδοση̋ τη̋ ακτινοβολία̋ στο µέσο (2) είναι µεγαλύτερη
από τη ταχύτητα διάδοση̋ τη̋ ακτινοβολία̋ στο µέσο (1).
γ. Η γωνία εκτροπή̋ τη̋ ακτινοβολία̋ από την αρχική τη̋ κατεύθυνση
είναι 60ο
.
δ. Αν ο δείκτη̋ διάθλαση̋ του µέσου (1) είναι n1= 2 , τότε ο δείκτη̋
διάθλαση̋ του µέσου (2) είναι n2=
2
1
.
ε. Αν η γωνία πρόσπτωση̋ τη̋ ακτινοβολία̋ στη διαχωριστική
επιφάνεια των δύο µέσων είναι µεγαλύτερη από 30ο
, η ακτινοβολία
θα υποστεί ολική ανάκλαση .
Μονάδε̋ 5
ΘΕΜΑ 2ο
Α. Από τη συµβολή δύο εγκάρσιων κυµάτων, ίδια̋ συχνότητα̋ και πλάτου̋
A, έχει δηµιουργηθεί σε χορδή µήκου̋ L στάσιµο κύµα. Στο στιγµιότυπο
που ακολουθεί όλα τα µόρια του ελαστικού µέσου έχουν τη µέγιστη
αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπία̋ του̋.
x = Lx = 0
α. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του στάσιµου κύµατο̋ µετά χρόνο
∆t=
2
Τ
.
Μονάδε̋ 4
n2
n1 φ

Ï.Å.Ö.Å.
ÈÅÌÁÔÁ
2006
4
4
β. ∆ύο σηµεία Κ, Λ του ελαστικού µέσου βρίσκονται αριστερά και δεξιά
του πρώτου δεσµού, σε αποστάσει̋
8
λ
και
12
λ
αντίστοιχα. Ο λόγο̋ των
µέγιστων επιταχύνσεων των σηµείων Κ, Λ είναι:
α. 2 β.
2
1
γ. 1
Μονάδε̋ 4
Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση και να δικαιολογήσετε την επιλογή σα̋.
Β. Σε κύκλωµα LC που εκτελεί αµείωτε̋ ηλεκτρικέ̋ ταλαντώσει̋ η ενέργεια
του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή γίνεται διπλάσια από την ενέργεια του
µαγνητικού πεδίου του πηνίου όταν η ένταση του ρεύµατο̋ είναι:
α.
9
Ι
± β. µηδέν γ.
3
3Ι
± δ.
3
Ι
±
Μονάδε̋ 9
Γ. Ένα̋ ταλαντωτή̋ εκτελεί φθίνουσα ταλάντωση µε πλάτο̋ που µειώνεται
εκθετικά µε το χρόνο σύµφωνα µε τη σχέση Α=Α0e-Λt
, όπου Λ µία θετική
σταθερά.
α. Στο τέλο̋ των 10 πρώτων ταλαντώσεων το πλάτο̋ τη̋ ταλάντωση̋
έχει µειωθεί στο
4
1
του αρχικού. Μετά από ακόµα 10 ταλαντώσει̋ το
πλάτο̋ τη̋ ταλάντωση̋ θα ισούται µε:
1.
8
Α0
2.
16
Α0
3.
32
Α0
Μονάδε̋ 4
β. Αν Ε0 είναι η αρχική ενέργεια τη̋ ταλάντωση̋, τότε µετά από τι̋ 10
πρώτε̋ ταλαντώσει̋ το έργο τη̋ δύναµη̋ που αντιστέκεται στην
κίνηση του ταλαντωτή ισούται µε:
1. -
8
Ε0
2. +
16
Ε0
3. -
16
Ε15 0
Μονάδε̋ 4

Ï.Å.Ö.Å.
ÈÅÌÁÔÁ
2006
5
5
ΘΕΜΑ 3ο
Σώµα Σ, µάζα̋ Μ=3kg εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε συχνότητα f=
π
5
Hz σε
λείο οριζόντιο επίπεδο και η απόσταση των ακραίων θέσεων τη̋ τροχιά̋ του
είναι 0,2m. Πάνω στο σώµα Σ βρίσκεται προσαρµοσµένη ηχητική πηγή αµελητέα̋
µάζα̋, που εκπέµπει ήχο µε συχνότητα fs= 676 Hz.
∆εύτερο σώµα, µάζα̋ m = 1kg, που κινείται µε ταχύτητα µέτρου υ=2 3 m/s,
συγκρούεται µετωπικά και ελαστικά µε το σώµα Σ, τη στιγµή που αυτό βρίσκεται
στη µέγιστη αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπία̋ του, όπω̋ φαίνεται στο
παρακάτω σχήµα :
Α. Να βρεθούν οι ταχύτητε̋ των δύο σωµάτων αµέσω̋ µετά την κρούση.
Μονάδε̋ 6
Β. Να γράψετε την εξίσωση αποµάκρυνση̋ του σώµατο̋ Σ από την θέση
ισορροπία̋ του σε συνάρτηση µε το χρόνο, για την ταλάντωση που ξεκινά
αµέσω̋ µετά την κρούση.
Να θεωρήσετε ω̋ χρονική στιγµή tο=0 τη στιγµή τη̋ κρούση̋ και ω̋ θετική
φορά τη θετική φορά τη̋ ταλάντωση̋ του σώµατο̋ Σ πριν την κρούση.
Μονάδε̋ 8
Γ. Ακίνητο̋ δέκτη̋ ηχητικών κυµάτων βρίσκεται στη διεύθυνση τη̋
ταλάντωση̋ του σώµατο̋ Σ.
α. Να βρεθεί η µέγιστη συχνότητα του ήχου που καταγράφει ο δέκτη̋
µετά την κρούση.
Μονάδε̋ 6
β. Να βρεθεί το µέτρο τη̋ δύναµη̋ επαναφορά̋ που δέχεται το σώµα Σ
τη στιγµή που ο δέκτη̋ καταγράφει την πραγµατική συχνότητα που
εκπέµπει η πηγή µετά την κρούση.
Μονάδε̋ 5
∆ίνεται η ταχύτητα διάδοση̋ του ήχου στον αέρα : υηχ =340m/s
- Α x=0 +A
Μ mυ

Ï.Å.Ö.Å.
ÈÅÌÁÔÁ
2006
6
6
ΘΕΜΑ 4ο
Η οµογενή̋ ράβδο̋ ΟΑ του σχήµατο̋ που ακολουθεί έχει µήκο̋ L=1m, µάζα
m=3kg και µπορεί να περιστρέφεται σε κατακόρυφο επίπεδο, χωρί̋ τριβέ̋, γύρω
από οριζόντιο ακλόνητο άξονα που περνά από το άκρο τη̋ Ο και είναι κάθετο̋
σε αυτή.
Α. Η ράβδο̋ ισορροπεί σε οριζόντια θέση µε τη βοήθεια δύναµη̋ µέτρου F1,
που ασκείται στο άκρο Α, κάθετα στη ράβδο.
Να υπολογίσετε το µέτρο τη̋ δύναµη̋ F1 και το µέτρο τη̋ δύναµη̋ που
δέχεται η ράβδο̋ από τον άξονα περιστροφή̋.
Μονάδε̋ 6
Β. Ασκώντα̋ στο άκρο Α, αντί τη̋ F1 µια δύναµη F2, σταθερού µέτρου και
διαρκώ̋ κάθετη στη ράβδο, η ράβδο̋ ανέρχεται και περνά από την
ανώτερη θέση τη̋ µε γωνιακή ταχύτητα ω= 30 rad/s. Τη στιγµή αυτή η F2
παύει να ασκείται στη ράβδο. Να υπολογίσετε το µέτρο τη̋ δύναµη̋ F2.
Μονάδε̋ 6
Γ. Τη χρονική στιγµή κατά την οποία η ράβδο̋ διέρχεται από την οριζόντια
θέση στη διάρκεια τη̋ καθόδου τη̋, να υπολογίσετε:
α. το ρυθµό µεταβολή̋ τη̋ στροφορµή̋ τη̋ ράβδου ω̋ προ̋ τον άξονα
περιστροφή̋ τη̋.
Μονάδε̋ 3
β. το ρυθµό µεταβολή̋ τη̋ κινητική̋ ενέργεια̋ τη̋ ράβδου.
Μονάδε̋ 3
F1
A Κ Ο

Ï.Å.Ö.Å.
ÈÅÌÁÔÁ
2006
7
7
∆. Σηµειακή µάζα m1=0,1kg, κινούµενη οριζόντια µε ταχύτητα µέτρου
υ1=100m/s, συγκρούεται πλαστικά µε τη ράβδο, τη στιγµή που η ράβδο̋
διέρχεται από το κατώτερο σηµείο τη̋ τροχιά̋ τη̋. Πόσο πρέπει να απέχει
το σηµείο τη̋ σύγκρουση̋ από τον άξονα περιστροφή̋ τη̋ ράβδου, ώστε η
ράβδο̋ µετά τη σύγκρουση να ακινητοποιηθεί;
Μονάδε̋ 7
∆ίνονται η επιτάχυνση τη̋ βαρύτητα̋ g=10m/s2
και η ροπή αδράνεια̋ τη̋
ράβδου ω̋ προ̋ άξονα περιστροφή̋ κάθετο σε αυτή και διερχόµενο από το
κέντρο µάζα̋ τη̋ Icm=
12
1
ML2
.

ÊÅÍÔÑÏ
ÌÅËÅÔÇÓ
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
1
1
Γ΄ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ
ΦΥΣΙΚΗ
ZHTHMA 1
Στις ερωτήσεις 1 έως 4 να γράψετε στο τετράδιο σας τον αριθµό της ερώτησης και
δίπλα σε κάθε αριθµό το γράµµα που αντιστοιχεί στη σωστή απάντηση.
1. Σκέδαση είναι
α) η ανάκλαση του φωτός σε διαφορετικές κατευθύνσεις όταν αυτό προσπίπτει
σε τραχείες επιφάνειες.
β) το φαινόµενο στο οποίο δύο σωµατίδια αλληλεπιδρούν χωρίς να έρθουν σε
επαφή, µε σχετικά µεγάλες δυνάµεις για πολύ µικρό χρόνο.
γ) η αλλαγή της κατεύθυνσης µιας µονοχρωµατικής ακτινοβολίας όταν αυτή
προσπίπτει σε λεία επιφάνεια.
δ) η συµβολή δυο κυµάτων που εκπέµπονται από µη σύγχρονες πηγές.
(5 µονάδες)
2. Αυτοκίνητο κινείται µε κατεύθυνση από το νότο προς το βορρά και κάποια
στιγµή ο οδηγός φρενάρει. Αν κατά τη διάρκεια του φρεναρίσµατος, οι τροχοί
του κυλίονται χωρίς να ολισθαίνουν, η γωνιακή επιβράδυνση των τροχών του
έχει φορά:
α) από τη δύση προς την ανατολή
β) από την ανατολή προς τη δύση
γ) από το νότο προς το βορρά
δ) από το βορρά προς το νότο.
(5 µονάδες)
3. Μία ακτίνα φωτός διαδίδεται µέσα σε ευθύγραµµη οπτική ίνα µεγάλου µήκους.
Η ακτίνα προσπίπτει στα διαµήκη τοιχώµατα της οπτικής ίνας µε γωνία φ, όπως
φαίνεται στο σχήµα. Ο δείκτης διάθλασης της ίνας είναι 2=n . Μετά από
διαδοχικές ολικές ανακλάσεις, η ακτίνα θα εξέλθει από το δεξιό άκρο της
οπτικής ίνας, αν η γωνία φ είναι:
α) φ=750
, β) φ=600
, γ) φ=450
, δ) φ=300
(5 µονάδες)
φ

ÊÅÍÔÑÏ
ÌÅËÅÔÇÓ
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
2
2
4. Σφαιρίδιο µάζας m, είναι αναρτηµένο στο ελεύθερο κάτω άκρο κατακόρυφου
ιδανικού ελατηρίου. Το σύστηµα εκτελεί στον αέρα εξαναγκασµένη ταλάντωση
µε συχνότητα fδ = 2⋅f0, όπου f0 η ιδιοσυχνότητα του συστήµατος. Αν η
συχνότητα του διεγέρτη µεταβληθεί έτσι ώστε fδ
΄
= f0, τότε το πλάτος της
ταλάντωσης του συστήµατος:
α) θα αυξηθεί
β) θα µειωθεί
γ) θα παραµείνει σταθερό
δ) θα µηδενιστεί
(5 µονάδες)
5. Στις παρακάτω προτάσεις, να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα που
χαρακτηρίζει την κάθε µία και δίπλα το γράµµα (Σ) αν είναι σωστή και το
γράµµα (Λ) αν είναι λανθασµένη.
α) Στη φθίνουσα ταλάντωση το ποσό ενέργειας που “χάνεται” από το
ταλαντούµενο σύστηµα σε κάθε περίοδο είναι σταθερό.
β) Σ’ ένα ιδανικό κύκλωµα ηλεκτρικών ταλαντώσεων η συχνότητα µε την οποία
µεταβάλλεται η ενέργεια του πυκνωτή είναι διπλάσια από την συχνότητα µε την
οποία µεταβάλλεται το φορτίο του.
γ) Το φαινόµενο Doppler ισχύει µόνο στα ηχητικά κύµατα.
δ) Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα υπακούουν στην αρχή της επαλληλίας.
ε) Στο στάσιµο κύµα έχουµε µεταφορά ενέργειας και ορµής.
(5 µονάδες)
ZHTHMA 2
1. Σώµα Σ1, µάζας m1 και ταχύτητας 1υ συγκρούεται κεντρικά και ελαστικά µε
ακίνητο σώµα Σ2, µάζας m2. Αν η ταχύτητα του σώµατος m1 µετά την κρούση
είναι
2
υ
-'υ 1
1 = .
α1) Ο λόγος των µαζών
2
1
m
m
είναι:
i)
1
3
ii)
5
2
iii) 3
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση.
(1 µονάδες)
α2) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας .
(4 µονάδες)
β1) Το µέτρο της µεταβολής της ορµής του σώµατος Σ1 είναι :
i)
3
2
mυ1 ii)
1
2
mυ1 iii) 0
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση. (1 µονάδες)
β2) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας .
(4 µονάδες)

ÊÅÍÔÑÏ
ÌÅËÅÔÇÓ
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
3
3
2. Στο ιδανικό κύκλωµα LC του σχήµατος τη χρονική στιγµή t = 0 ο πυκνωτής
ήταν φορτισµένος µε φορτίο Q και το κύκλωµα δε διαρρέεται από ρεύµα.
t T/4
- - - - q
L C
+ + + + q
Ι
Τη χρονική στιγµή t1 , όπου 0 t1
T
4
το φορτίο του πυκνωτή είναι q =
Q
2
.
Το ποσοστό της ενέργειας του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή που έχει µετατραπεί σε
ενέργεια µαγνητικού πεδίου του πηνίου από τη χρονική στιγµή µηδέν (0) έως τη
χρονική στιγµή t είναι :
α) i) 50% ii) 25% iii) 75%
(2 µονάδες)
β) Να δικαιολογήσετε την επιλογή σας.
(5 µονάδες)
3. Σώµα Σ, προσδεδεµένο στο ελεύθερο άκρο οριζόντιου ιδανικού ελατηρίου, την
χρονική στιγµή t0 = 0 αρχίζει να εκτελεί στον οριζόντιο άξονα γραµµική αρµονική
ταλάντωση, συχνότητας f = 0,2 Hz, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα. Πάνω στο
σώµα Σ βρίσκεται ηχητική πηγή που είναι δεµένη ακλόνητα ως προς το σώµα Σ. Για
χρονικό διάστηµα ∆t = 2,5 sec η ηχητική πηγή εκπέµπει ήχο συχνότητας fs, τον οποίο ο
παρατηρητής, που βρίσκεται συνεχώς δεξιά από το ταλαντούµενο σύστηµα,
αντιλαµβάνεται µε συχνότητα fΑ ≥ fs. Αν θεωρήσετε ως θετική φορά της κίνησης τη
φορά προς τα δεξιά, τότε:
Σ
O X

ÊÅÍÔÑÏ
ÌÅËÅÔÇÓ
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
4
4
α) Η χρονική εξίσωση αποµάκρυνσης του σώµατος Σ δίνεται από τη σχέση :
i) x= Α· ηµ (ωt + π) ii) x= Α· ηµ (ωt +
2
π
) iii) x= Α· ηµ (ωt +
3
2
π
)
(1 µονάδες)
(3 µονάδες)
β) στη διάρκεια των 2,5sec, ο παρατηρητής θα αντιληφθεί ήχο µε την µέγιστη
συχνότητα για :
i) 1φορά, ii) 2 φορές, iii) 3 φορές
Επιλέξτε τη σωστή απάντηση
(1 µονάδες)
(3 µονάδες)
ZHTHMA 3
Με κατάλληλο τρόπο δηµιουργούµε στην ήρεµη επιφάνεια υγρού δύο σύγχρονες
πηγές παραγωγής κυµάτων Ο1 και Ο2 που βρίσκονται µεταξύ τους σε απόσταση
m6=l . Κάποια χρονική στιγµή t0 = 0, που θεωρούµε σαν αρχή των χρόνων, οι πηγές
αρχίζουν να ταλαντώνονται, παράγοντας εγκάρσια κύµατα που διαδίδονται στην
επιφάνεια του υγρού, µε ταχύτητα 2 m/sec. Σε σηµείο Α της επιφάνειας του υγρού
τοποθετείται φελλός, του οποίου η αποµάκρυνση από την θέση ισορροπίας σε
συνάρτηση µε τον χρόνο περιγράφεται από την γραφική παράσταση που ακολουθεί .
α) Να γραφούν οι εξισώσεις των κυµάτων που παράγουν οι πηγές Ο1 και Ο2.
(6 µονάδες)

ÊÅÍÔÑÏ
ÌÅËÅÔÇÓ
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
5
5
Σ1
Σ3Σ2
β) Να εξετάσετε αν το σηµείο Α στο οποίο βρίσκεται ο φελλός είναι σηµείο
ενίσχυσης, απόσβεσης ή τυχαίο σηµείο.
(6 µονάδες)
γ) Να βρεθεί η αποµάκρυνση λόγω ταλάντωσης του φελλού τις χρονικές στιγµές t1=1
sec, t2=2,125sec και t3=2,275 sec.
(6 µονάδες)
δ) Να βρεθεί το πλήθος των υπερβολών ενίσχυσης που τέµνουν το ευθύγραµµο
τµήµα Ο1Α που συνδέει την πηγή Ο1 µε το σηµείο Α.
(7 µονάδες)
ZHTHMA 4
Σώµα Σ1 , µάζας m1 = 2 kg, µπορεί να κινείται κατακόρυφα προς τα κάτω έτσι ώστε
µέσω της τροχαλίας, µάζας m = 2 kg, να ξετυλίγεται το σχοινί που είναι τυλιγµένο
γύρω από τον κύλινδρο του σχήµατος, ακτίνας R = 0,2 m, που µπορεί να
περιστρέφεται µε τον άξονά του κατακόρυφο. Κατακόρυφη αβαρής ράβδος,
αµελητέας ακτίνας διέρχεται από τον άξονα του κυλίνδρου και στο επάνω άκρο της
στερεώνεται από το µέσο της δεύτερη
οριζόντια αβαρής ράβδος, µήκους
L=1m, όπως φαίνεται στο σχήµα. ∆ύο
µικροί δακτύλιοι Σ2 και Σ3, µε αµελητέες
διαστάσεις και ίσες µάζες m2 = m3 =
0,025 kg, βρίσκονται στα άκρα της
οριζόντιας ράβδου και συνδέονται
µεταξύ τους µέσω αβαρούς νήµατος µε
όριο θραύσης Τθρ = 25 Ν. Το όλο
σύστηµα µπορεί να περιστρέφεται χωρίς
τριβές σαν ενιαίο σώµα γύρω από άξονα
που έχει τη διεύθυνση της κατακόρυφης
ράβδου. Το νήµα που συνδέει τους
δακτυλίους και το σχοινί που συνδέει το
σώµα Σ1 µε το κύλινδρο παραµένουν
διαρκώς τεντωµένα. Η τριβή ανάµεσα
στη τροχαλία και το σχοινί είναι αρκετά
µεγάλη ώστε να µην παρατηρείται
ολίσθηση .
Να βρεθούν:
α) η τάση του νήµατος που ασκείται στο σώµα Σ1 αν γνωρίζετε ότι η επιτάχυνσή του
είναι α = 4 m/s2
.
(5 µονάδες)
β) η συχνότητα περιστροφής των δακτυλίων Σ2 και Σ3 µετά από χρονικό διάστηµα
1,5π s από την έναρξη της περιστροφής τους.
(6 µονάδες)
γ) η ροπή αδράνειας του κυλίνδρου ως προς τον άξονα περιστροφής του συστήµατος.
(6 µονάδες)
δ) η γωνία περιστροφής του κυλίνδρου από την έναρξη της περιστροφής του
συστήµατος µέχρι την στιγµή που το νήµα που συνδέει τους δακτυλίους είναι έτοιµο
να κοπεί.
(8 µονάδες)
Η τροχαλία περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από οριζόντιο άξονα που διέρχεται από
το κέντρο της και έχει ροπή αδράνειας 2
1
2
1
mRI = όπου R1 η ακτίνα της τροχαλίας.

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÝá
Óìýñíç
1
1
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ
ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
ΦΥΣΙΚΗ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1 - 4 και
1. Ένα ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί ηλεκτρικές ταλαντώσεις. Όταν η τιµή της
έντασης του ηλεκτρικού ρεύµατος που διαρρέει το κύκλωµα είναι µέγιστη, τότε:
α. Το φορτίο του πυκνωτή γίνεται µέγιστο.
β. Η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή ισούται µε την ενέργεια του
µαγνητικού πεδίου του πηνίου.
γ. Η τάση στους οπλισµούς του πυκνωτή ισούται µε µηδέν.
δ. Η ενέργεια της ταλάντωσης µηδενίζεται.
Μονάδες 5
2. ∆ύο σύγχρονες πηγές Π1 και Π2, παράγουν εγκάρσια αρµονικά κύµατα πλάτους Α,
τα οποία διαδίδονται στην ήρεµη επιφάνεια ενός υγρού. Το πλάτος της ταλάντωσης
του µέσου του ευθύγραµµου τµήµατος Π1Π2 είναι:
α. 0
β. Α/2
γ. Α
δ. 2Α
Μονάδες 5
3. Περιπολικό της αστυνοµίας έχει τη σειρήνα του σε λειτουργία και καταδιώκει ένα
αυτοκίνητο. Το περιπολικό και το αυτοκίνητο κινούνται επάνω στην ίδια ευθεία.
Αν ο οδηγός του αυτοκινήτου, κατά την προσπάθεια διαφυγής του, αντιλαµβάνεται
τον ήχο της σειρήνας µε την ίδια συχνότητα που τον αντιλαµβάνεται και ο οδηγός
του περιπολικού, τότε:
α. Το περιπολικό πλησιάζει το αυτοκίνητο.
β. Το περιπολικό και το αυτοκίνητο κινούνται µε ίσες ταχύτητες.
γ. Το αυτοκίνητο αποµακρύνεται από το περιπολικό.
δ. Το περιπολικό σταµάτησε την καταδίωξη.
Μονάδες 5

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÝá
Óìýñíç
2
2
4. ∆ύο σφαίρες, µε διαφορετικές µάζες, συγκρούονται κεντρικά και πλαστικά. Αν
αµέσως µετά την κρούση η κινητική ενέργεια του συστήµατος µηδενίζεται, τότε οι
σφαίρες πριν την κρούση είχαν:
α. ίσες κινητικές ενέργειες.
β. ίσες ταχύτητες.
γ. αντίθετες ορµές.
δ. αντίθετες ταχύτητες.
Μονάδες 5
5. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας δίπλα
στο γράµµα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση, τη λέξη Σωστό, αν η πρόταση είναι
σωστή, ή Λάθος, αν η πρόταση είναι λανθασµένη
α. Σε ένα γραµµικό ελαστικό µέσο στο οποίο δηµιουργείται στάσιµο κύµα, όλα τα
σηµεία που ταλαντώνονται φτάνουν ταυτόχρονα στις ακραίες θέσεις της
ταλάντωσής τους.
β. Στην απλή αρµονική ταλάντωση ενός σώµατος, η αποµάκρυνση και η
ταχύτητά του έχουν ίσες φάσεις.
γ. Η ροπή ζεύγους δυνάµεων είναι ίδια ως προς οποιοδήποτε σηµείο του επιπέδου
στο οποίο ανήκει το ζεύγος.
δ. Η κινητική ενέργεια λόγω περιστροφής των αστέρων νετρονίων (pulsars),
αυξάνεται στα τελευταία στάδια της ζωής τους.
ε. Έκκεντρη ονοµάζεται η κρούση στην οποία οι ταχύτητες των κέντρων µάζας
των σωµάτων που συγκρούονται βρίσκονται σε τυχαίες µεταξύ τους
διευθύνσεις.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ 2ο
1. Σώµα εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, πλάτους Α. Τη χρονική στιγµή κατά την
οποία το σώµα διέρχεται από τη θέση
A
x ,
2
= + ο λόγος της κινητικής ενέργειας
προς τη δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης είναι:
α.
K 1
U 3
= β.
K
1
U
= γ.
Κ
3
U
=
Μονάδες 2
Μονάδες 4

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÝá
Óìýñíç
3
3
2. Ένας ταλαντωτής εκτελεί φθίνουσες µηχανικές ταλαντώσεις, των οποίων το πλάτος
µεταβάλλεται σύµφωνα µε την εξίσωση
t
A e−Λ
οΑ = ⋅ , όπου Λ µια θετική
σταθερά. Τη χρονική στιγµή κατά την οποία η αρχική ενέργεια του ταλαντωτή έχει
µειωθεί κατά 75%, το πλάτος της ταλάντωσης είναι:
α. 0Α
2
β. 0Α
4
γ. 0Α 3
2
Μονάδες 2
Μονάδες 4
3. Ακτίνα µονοχρωµατικού φωτός διαδίδεται µέσα σε υγρό και προσπίπτει στη
διαχωριστική επιφάνεια του υγρού µε τoν αέρα, µε γωνία πρόσπτωσης 45ο
. Αν η
φάση του κύµατος στο υγρό δίνεται από τη σχέση
62π
φ t 8π 10 x (SI)
Τ
= − ⋅ και
στον αέρα από τη σχέση
6
o
o
2π
φ t 4π 10 x(SI)
Τ
= − ⋅ , τότε:
α. H περίοδος Το του κύµατος στον αέρα είναι ίση µε την περίοδο Τ του κύµατος
στο υγρό.
β. H ακτίνα εξέρχεται στον αέρα.
Να χαρακτηρίσετε κάθε µία από τις παραπάνω προτάσεις ως σωστή ή λανθασµένη.
Μονάδες 2 (1+1)
Μονάδες 5 (1+4)
∆ίνεται: ηµ30ο
=
1
2
.
4. Οι γραφικές παραστάσεις των στροφορµών δύο στερεών σωµάτων Σ1 και Σ2 σε
συνάρτηση µε τον χρόνο απεικονίζονται στο κοινό διάγραµµα που ακολουθεί. Τα
στερεά περιστρέφονται γύρω από σταθερούς άξονες που διέρχονται από τα κέντρα
µάζας τους και έχουν ίσες ροπές αδράνειας.
t
L
Σ1
Σ2
2L
L
0 t

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÝá
Óìýñíç
4
4
Οι γωνιακές επιταχύνσεις αγ.1 και αγ.2, των στερεών σωµάτων Σ1 και Σ2 αντίστοιχα,
συνδέονται µε τη σχέση:
α. αγ.1 = αγ.2 β. αγ.1 = 2αγ.2 γ. αγ.1 =
1
2
αγ.2
Μονάδες 2
Μονάδες 4
ΘΕΜΑ 3ο
Γραµµικό ελαστικό µέσο εκτείνεται κατά µήκος του οριζόντιου ηµιάξονα Ox. Τη
χρονική στιγµή 0t 0= , το υλικό σηµείο Ο του ελαστικού µέσου (x 0= ), αρχίζει να
εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση, η αποµάκρυνση της οποίας περιγράφεται από την
εξίσωση y = 0,1ηµωt (SI). Η ταλάντωση του σηµείου Ο εξελίσσεται στην
κατακόρυφη διεύθυνση και έχει ως αποτέλεσµα την παραγωγή αρµονικού κύµατος, το
οποίο διαδίδεται προς τη θετική κατεύθυνση του ηµιάξονα Οx.
Αν γνωρίζετε ότι τη χρονική στιγµή 0,4s το υλικό σηµείο Ο έχει εκτελέσει δύο
πλήρεις ταλαντώσεις και την ίδια χρονική στιγµή το κύµα έχει διαδοθεί µέχρι τη θέση
1x 4m= , τότε:
α. Να υπολογίσετε το µήκος κύµατος .
Μονάδες 6
β. Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης ενός σηµείου Ν, που βρίσκεται στη
θέση 2x 3m= , τη χρονική στιγµή κατά την οποία η φάση του σηµείου Ο είναι
3,75π rad.
Μονάδες 7
γ. i. Να σχεδιάσετε το στιγµιότυπο του κύµατος τη χρονική στιγµή 0,25 s.
ii. Nα προσδιορίσετε τις θέσεις των σηµείων του ελαστικού µέσου που έχουν
µέγιστη κινητική ενέργεια εκείνη τη χρονική στιγµή.
Μονάδες 7
Αν η απλή αρµονική ταλάντωση του υλικού σηµείου Ο προκύπτει από την σύνθεση
δύο απλών αρµονικών ταλαντώσεων, οι οποίες εξελίσσονται στην κατακόρυφη
διεύθυνση και οι αποµακρύνσεις τους περιγράφονται από τις εξισώσεις y1 = A1ηµωt
και y2 = 0,1ηµ(ωt + π), τότε:
δ. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης y1 σε συνάρτηση µε το χρόνο.
Μονάδες 5
∆ίνεται:
3π 2
συν
4 2
= − και 3,14π = .

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÝá
Óìýñíç
5
5
ΘΕΜΑ 4ο
Ο αρχικά ακίνητος τροχός του σχήµατος, ο οποίος βρίσκεται στη βάση κεκλιµένου
επιπέδου (θέση Α) γωνίας κλίσης 30ο
, αποτελείται από ένα λεπτό οµογενή δακτύλιο,
µάζας 6 kg και ακτίνας 1m και από δύο λεπτές οµογενείς ράβδους, µήκους 2m και
µάζας 3 kg η καθεµία, που είναι τοποθετηµένες κάθετα µεταξύ τους.
Τη χρονική στιγµή t 0,= ασκούµε στο κέντρο µάζας Ο του τροχού σταθερή δύναµη
F, παράλληλη στο κεκλιµένο επίπεδο, µέτρου 100 N και ο τροχός αρχίζει να κυλίεται
χωρίς να ολισθαίνει, ανερχόµενος στο κεκλιµένο επίπεδο. Όταν ο τροχός φθάσει στην
κορυφή του κεκλιµένου επιπέδου (θέση Β) έχει εκτελέσει
12,5
π
περιστροφές. Στη
θέση Β καταργούµε τη δύναµη F και ο τροχός στη συνέχεια εγκαταλείπει το
κεκλιµένο επίπεδο, διαγράφοντας καµπύλη τροχιά. Να υπολογίσετε:
α. Τη ροπή αδράνειας του τροχού ως προς άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας
του και είναι κάθετος στο επίπεδο που ορίζει ο τροχός.
Μονάδες 5
β. Το µέτρο της στατικής τριβής που δέχεται ο τροχός από το κεκλιµένο επίπεδο.
Μονάδες 6
γ. Το ρυθµό µεταβολής της κινητικής ενέργειας του τροχού λόγω περιστροφικής
κίνησης ακριβώς πριν αυτός χάσει την επαφή του µε το κεκλιµένο επίπεδο (Θέση
Β).
Μονάδες 7
δ. Την ταχύτητα του κέντρου µάζας του τροχού την στιγµή που αυτός διέρχεται από
την θέση Γ του σχήµατος, αν γνωρίζετε ότι η κατακόρυφη µετατόπιση του κέντρου
µάζας του τροχού από τη θέση Β µέχρι τη θέση Γ είναι 2,2 m προς τα κάτω.
Μονάδες 7
∆ίνονται:
Η ροπή αδράνειας λεπτής οµογενούς ράβδου, µήκους L και µάζας m, ως προς άξονα
που διέρχεται από το κέντρο µάζας της και είναι κάθετος σε αυτή, υπολογίζεται από τη
σχέση
2
cm
1
Ι = mL
12
, η επιτάχυνση της βαρύτητας g = 10 m/s2
, ο 1
ηµ30
2
= .
ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÝá
Óìýñíç

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÝá
Óìýñíç
6
6
Η αντίσταση του αέρα θεωρείται αµελητέα.
Θεωρείστε επίσης ότι σε όλη την διάρκεια της κίνησης του τροχού δεν µεταβάλλεται η
διεύθυνση του άξονα περιστροφής του.

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2009
1
1
Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
ΦΥΣΙΚΗ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
Να γράψετε στο τετράδιό σας τον αριθµό καθεµιάς από τις παρακάτω ερωτήσεις 1-4 και
1. Σε κύκλωµα αµείωτων ηλεκτρικών ταλαντώσεων
α. οι µεταβολές της έντασης του ρεύµατος στο κύκλωµα καθυστερούν των
µεταβολών του φορτίου του πυκνωτή κατά
4
T
t =∆ .
β. όταν µειώνεται το φορτίο του πυκνωτή αυξάνεται η ένταση του ρεύµατος.
γ. στη διάρκεια µίας περιόδου ο πυκνωτής φορτίζεται µία φορά και
εκφορτίζεται άλλη µία.
δ. στη διάρκεια µίας περιόδου η ενέργεια του ηλεκτρικού πεδίου του πυκνωτή
και η ενέργεια του µαγνητικού πεδίου του πηνίου γίνονται ίσες µεταξύ τους
δύο φορές.
Μονάδες 5
2. Στο διπλανό σχήµα φαίνεται το στιγµιότυπο ενός
εγκάρσιου γραµµικού αρµονικού κύµατος που
διαδίδεται προς τη θετική φορά του άξονα x .(Για τον
άξονα y η θετική φορά είναι προς τα πάνω). Για τις
φάσεις και τις ταχύτητες ταλάντωσης των σηµείων Α
και Β του µέσου ισχύει:
α. φΑ φΒ, υΑ 0 υΒ 0.
β. φΑ φΒ, υΑ 0 υΒ 0.
γ. φΑ φΒ, υΑ 0 υΒ 0.
δ. φΑ φΒ, υΑ 0 υΒ 0.
Μονάδες 5
3. Σώµα περιστρέφεται περί σταθερό άξονα έχοντας στροφορµή µέτρου L.
Ασκούµε σ΄ αυτό ροπή δύναµης µέτρου τF που το επιβραδύνει µε σταθερή
γωνιακή επιβράδυνση. Ο χρόνος που χρειάζεται για να σταµατήσει το σώµα
είναι:
α.
Fτ
L
t = β. FτLt ⋅= γ.
L
τ
t F
= δ.
F
2
τ
L
t =
Μονάδες 5
0
+y
+x

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2009
2
2
4. Η κρούση µεταξύ των δύο σωµάτων του
διπλανού σχήµατος είναι κεντρική και ελαστική.
Τότε:
α. Αν m1 = m2, θα είναι 0p1 =∆ .
β. Αν m1 m2, θα είναι 0p1 ∆ .
γ. Ισχύει 21 pp ∆−=∆ και ∆Κ1 = -∆Κ2.
δ. Ισχύει 21 pp ∆=∆ και ∆Κ1 = ∆Κ2.
Μονάδες 5
5. Να γράψετε στο τετράδιό σας το γράµµα κάθε πρότασης και δίπλα σε κάθε
γράµµα τη λέξη Σωστό, για τη σωστή πρόταση, και τη λέξη Λάθος, για τη
α. Μονοχρωµατικό φως διαδίδεται σε οπτικό µέσον µε δείκτη διάθλασης n1
και συναντά την επίπεδη διαχωριστική επιφάνεια µε ένα άλλο οπτικό µέσον
µε δείκτη διάθλασης n2. Ολική ανάκλαση είναι δυνατόν να συµβεί όταν
n1 n2.
β. Ηλεκτροµαγνητικό κύµα παράγεται από ηλεκτρικό φορτίο του οποίου
µεταβάλλεται συνεχώς το µέτρο της ταχύτητάς του.
γ. Σε µία µηχανική ταλάντωση, της οποίας το πλάτος ακολουθεί τον εκθετικό
νόµο Α = Αοe-Λt
, ο λόγος δύο διαδοχικών πλατών προς την ίδια κατεύθυνση
είναι σταθερός και ίσος µε eΛΤ
, όπου Τ η περίοδος της φθίνουσας
ταλάντωσης.
δ. Σώµα µάζας m κινείται µε ταχύτητα υ και συγκρούεται κάθετα σε
ακλόνητη επίπεδη επιφάνεια. Αν η κρούση είναι ελαστική, τότε το µέτρο
της µεταβολής της ορµής του είναι 2mυ και η µεταβολή του µέτρου της
ορµής του είναι µηδέν.
ε. Για ένα στερεό, που στρέφεται γύρω από σταθερό άξονα, η στροφορµή του
είναι ανάλογη της κινητικής του ενέργειας.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ 2ο
1. Η επιφάνεια υγρού θεωρείται ελαστικό και οµογενές µέσον. ∆ύο σηµεία της
επιφάνειας τη χρονική στιγµή t = 0 αρχίζουν να εκτελούν κατακόρυφη
αρµονική ταλάντωση ίδιας περιόδου Τ, ίδιου πλάτους Α και ίδιας φάσης. Τα
σηµεία αυτά θεωρούνται ως πηγές εγκάρσιων αρµονικών κυµάτων και το
πλάτος των κυµάτων αυτών δεν µειώνεται µε την απόσταση. Υπάρχουν σηµεία
της επιφάνειας του υγρού τα οποία αρχίζουν να κινούνται όταν φθάνει σ’
αυτά το κύµα από την πλησιέστερη πηγή και σταµατούν την κίνησή τους όταν
φθάνει και το κύµα από την πιο αποµακρυσµένη (σηµεία απόσβεσης). Για τα
σηµεία αυτά το χρονικό διάστηµα της κίνησής τους είναι:
α. ∆t = N
2
T
β. ∆t = (2N+1)
2
T
. γ. ∆t = (2N + 1)
4
T
.
Όπου .....2,1,0N =
Μονάδες 2
m
+
1 m2
1
2

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2009
3
3
Μονάδες 6
2. Οµογενές σώµα αφήνεται ελεύθερο στη θέση (1) του κεκλιµένου επιπέδου,
όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.
Στη θέση αυτή έχει δυναµική ενέργεια λόγω του βάρους και του ύψους του
από το επίπεδο µηδενικής δυναµικής ενέργειας U(1) = 140 J. Στη διάρκεια της
κίνησής του το σώµα κυλίεται χωρίς να ολισθαίνει και χωρίς να αλλάζει
προσανατολισµό ο άξονας περιστροφής του. Στη θέση (2) έχει κινητική
ενέργεια λόγω περιστροφής Kπ(2) = 30 J και δυναµική ενέργεια U(2) = 35 J.
Τότε στη θέση (3), όπου η δυναµική του ενέργεια είναι U(3) = 14 J, έχει:
α. κινητική από περιστροφή Kπ(3) = 36 J και κινητική από µεταφορά
Κµ(3) = 90 J.
β. κινητική από περιστροφή Kπ(3) = 34 J και κινητική από µεταφορά
Κµ(3) = 92 J.
γ. κινητική από περιστροφή Kπ(3) = 38 J και κινητική από µεταφορά
Κµ(3) = 88 J.
Μονάδες 2
Μονάδες 6
3. Στην ευθεία x΄x κινείται όχηµα µε ταχύτητα υs µικρότερη της ταχύτητας υ του
ήχου στον αέρα. Από το όχηµα εκπέµπεται ήχος ακουστής συχνότητας fS και
µήκους κύµατος
S
S
f
υ
λ = . Στην ίδια ευθεία και πίσω από το όχηµα βρίσκονται
δύο παρατηρητές Α1 και Α2, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.
Ο παρατηρητής Α1 είναι ακίνητος και ακούει ήχο συχνότητας fA1, ενώ µετράει
µήκος κύµατος λΑ1. Ο παρατηρητής Α2 κινείται προς την ίδια φορά µε το
όχηµα έχοντας ταχύτητα υ2 υs, οπότε ακούει ήχο συχνότητας fA2, ενώ
µετράει µήκος κύµατος λΑ2. Τότε ισχύει:
(1)
(2)
(3)
s2
1
A
=0
1
fs sff
A
x
2
A1 A2 A2A1

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2009
4
4
α. fA1 fA2.
β. fA1 fA2.
γ. fA1 = fA2.
Μονάδες 2
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ 3ο
Σε γραµµικό, οµογενές και ελαστικό µέσον, που εκτείνεται κατά τη διεύθυνση του
οριζόντιου άξονα x΄Ox, διαδίδεται εγκάρσιο αρµονικό κύµα προς τη θετική φορά.
Όταν το κύµα φθάνει σε κάθε σηµείο του µέσου, αυτό ξεκινάει την αρµονική του
ταλάντωση από τη θέση ισορροπίας του κινούµενο προς τη θετική φορά του
κατακόρυφου άξονα y΄y. Η διέλευσή του από τη θέση ισορροπίας του γίνεται 20
φορές σε κάθε 2 δευτερόλεπτα µε ταχύτητα µέτρου 2π m/s. Η ελάχιστη οριζόντια
απόσταση δύο σηµείων του µέσου, των οποίων οι ταλαντώσεις έχουν διαφορά φάσης
∆φ = π rad, είναι 1 m.
A. Να υπολογίσετε το µήκος κύµατος, την συχνότητα και την ταχύτητα διάδοσης
του κύµατος.
Μονάδες 4
Β. Ένα δεύτερο πανοµοιότυπο κύµα διαδίδεται στο ίδιο µέσον, αλλά προς την
αρνητική φορά του άξονα x΄Ox και συναντιέται µε το πρώτο κύµα την χρονική
στιγµή t = 0 στην αρχή Ο(x = 0) του άξονα x΄Ox.
1. Να γραφούν οι εξισώσεις των δύο κυµάτων.
Μονάδες 4
2. Σε πόσο µήκος του ελαστικού µέσου έχει δηµιουργηθεί στάσιµο κύµα τη
χρονική στιγµή t1 = 0,2 s;
Μονάδες 4
3. Πόσοι δεσµοί έχουν δηµιουργηθεί στην περιοχή αυτή του στάσιµου
κύµατος;
Μονάδες 4
4. Ποια είναι η εξίσωση του στάσιµου κύµατος;
Μονάδες 4
Γ. Τι αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας του έχει τη χρονική στιγµή t1 = 0,2 s
το σηµείο Κ του µέσου µε xΚ = 2,25 m;
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ 4ο
Ο δίσκος τροχαλίας είναι οµογενής, έχει µάζα Μ = 2 Kg, ακτίνα R = 0,2 m και
ροπή αδράνειας ως προς τον άξονα περιστροφής που περνάει από το κέντρο του K και
είναι κάθετος στο επίπεδό του 2
MR
2
1
I = . Ο άξονας περιστροφής Κ είναι το άκρο
αβαρούς ράβδου ΚΑ, της οποίας το άλλο άκρο Α είναι στερεωµένο µε άρθρωση στην
οροφή. Το σύστηµα ράβδος – τροχαλία µπορεί να στραφεί περί την άρθρωση Α στο

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2009
5
5
ίδιο κατακόρυφο επίπεδο του δίσκου της τροχαλίας. Τριβές στον άξονα περιστροφής
και στην άρθρωση δεν υπάρχουν.
Σώµα Σ1 έχει µάζα m1 = 4 Kg και είναι προσδεµένο στο ελεύθερο άκρο ιδανικού
ελατηρίου σταθερής k = 100 N/m, το άλλο άκρο του οποίου είναι στερεωµένο σε
ακλόνητο σηµείο. Το σύστηµα µάζα – ελατήριο βρίσκεται πάνω σε λείο οριζόντιο
επίπεδο και στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο που βρίσκεται και ο δίσκος της τροχαλίας.
Στο παρακάτω σχήµα η διάταξη βρίσκεται σε ισορροπία. Το νήµα που είναι δεµένο το
σώµα Σ1 µε τον δίσκο της τροχαλίας είναι οριζόντιο. Το σηµείο πρόσδεσης Β στον
δίσκο της τροχαλίας βρίσκεται στην ίδια κατακόρυφο µε το Κ και σε απόσταση ΚΒ =
d = 0,1 m, ενώ η ράβδος ΑΚ σχηµατίζει µε την οριζόντια οροφή γωνία θ. Το σώµα Σ2
έχει µάζα m2 = 2 Kg και είναι δεµένο σε νήµα το οποίο έχει τυλιχτεί αρκετές φορές
στο αυλάκι του δίσκου της τροχαλίας. Τα νήµατα θεωρούνται αβαρή, λεπτά και µη
ελαστικά.
Α.1. Να υπολογίσετε το µέτρο της δύναµης Ν που ασκεί η αβαρής ράβδος ΑΚ στον
άξονα Κ της τροχαλίας.
Μονάδες 7
2. Να προσδιορίσετε τη γωνία θ που σχηµατίζει η αβαρής ράβδος ΑΚ µε την
οριζόντια οροφή.
Μονάδες 4
Β. Συγκολλούµε την άρθρωση Α έτσι ώστε η αβαρής ράβδος να παραµένει
ακλόνητη στη θέση που προσδιορίστηκε προηγουµένως και τη χρονική στιγµή
t = 0 κόβουµε το οριζόντιο νήµα. Τότε το σώµα Σ1 εκτελεί απλή αρµονική
ταλάντωση µε D = k και θετική φορά για τον οριζόντιο άξονα της κίνησης
προς τα δεξιά, ενώ το σώµα Σ2 κινείται προς τα κάτω. Το κατακόρυφο νήµα
στο οποίο είναι δεµένο ξετυλίγεται χωρίς να ολισθαίνει στο αυλάκι του δίσκου
της τροχαλίας, µένοντας συνεχώς κατακόρυφο.
1. Να γράψετε την εξίσωση της αποµάκρυνσης της ταλάντωσης του σώµατος
Σ1 σε συνάρτηση µε το χρόνο.
Μονάδες 6
2. Τη χρονική στιγµή που το σώµα Σ1 περνάει από τη θέση ισορροπίας του για
δεύτερη φορά, να υπολογίσετε τον ρυθµό µεταβολής της κινητικής
ενέργειας του σώµατος Σ2 και την στροφορµή του δίσκου της τροχαλίας.
Μονάδες 8
∆ίνεται g = 10 m/s2
k
R
1
2
d

ÏÅÖÅ
ÈÅÌÁÔÁ
2009
6
6
Προτεινόµενο Θέµα : Εναλλακτικά το ΘΕΜΑ (2ο
. 3) θα µπορούσε να ζητηθεί
και υπό την µορφή που παραθέτουµε στη συνέχεια.
ΘΕΜΑ 2ο
3. Στην ευθεία x΄x κινείται όχηµα µε ταχύτητα υs µικρότερη της ταχύτητας υ του
ήχου στον αέρα. Από το όχηµα εκπέµπεται ήχος ακουστής συχνότητας fS και
µήκους κύµατος
S
S
f
υ
λ = . Στην ίδια ευθεία και πίσω από το όχηµα βρίσκονται
δύο παρατηρητές Α1 και Α2, όπως φαίνεται στο παρακάτω σχήµα.
Ο παρατηρητής Α1 είναι ακίνητος και ακούει ήχο συχνότητας fA1, ενώ µετράει
µήκος κύµατος λΑ1. Ο παρατηρητής Α2 κινείται προς την ίδια φορά µε το
όχηµα έχοντας ταχύτητα υ2 υs, οπότε ακούει ήχο συχνότητας fA2, ενώ
µετράει µήκος κύµατος λΑ2. Τότε ισχύει:
α. fA1 fA2 και λΑ1 λΑ2 λS.
β. fA1 fA2 και λΑ1 λΑ2 λS.
γ. fA1 fA2 και λΑ1 = λΑ2 λS.
Μονάδες 2
Μονάδες 7
s2
1
A
=0
1
fs sff
A
x
2
A1 A2 A2A1

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
1
1
Γ' ΤΑΞΗ ΓΕΝ.ΛΥΚΕΙΟΥ
ΘΕΤΙΚΗ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗ
ΦΥΣΙΚΗ
ΕΚΦ ΝΗΣΕΙΣ
ΘΕΜΑ 1ο
1. Αρµονικό κύµα διαδίδεται σε ένα ευθύγραµµο ελαστικό µέσο. Όλα τα σηµεία
του µέσου διάδοσης, που ταλαντώνονται λόγω της διέλευσης του κύµατος,
έχουν κάθε χρονική στιγµή:
α. ίδια ταχύτητα ταλάντωσης
β. ίδια αποµάκρυνση από τη θέση ισορροπίας τους
γ. ίδια συχνότητα ταλάντωσης
δ. ίδια φάση
Μονάδες 5
2. Κατά την πλαστική κρούση δύο σωµάτων διατηρείται:
α. η ορµή του κάθε σώµατος
β. η κινητική ενέργεια του κάθε σώµατος
γ. η ορµή του συστήµατος
δ. η κινητική ενέργεια του συστήµατος
Μονάδες 5
3. Ακτίνα µονοχρωµατικού φωτός, που αρχικά κινείται στον αέρα, προσπίπτει
υπό γωνία φ (0φ
2
π
) στην ήρεµη επιφάνεια υγρού. Αν µειώσουµε τη γωνία
πρόσπτωσης, τότε:
α. η συχνότητα f του µονοχρωµατικού φωτός αυξάνεται.
β. ο δείκτης διάθλασης του υγρού µειώνεται.
γ. η διεύθυνση της διαθλώµενης ακτίνας γίνεται παράλληλη στη
διαχωριστική επιφάνεια.
δ. η γωνία διάθλασης µειώνεται.
Μονάδες 5
4. Σε ευθύγραµµο ελαστικό µέσο, που εκτείνεται στη διεύθυνση του άξονα x΄x,
έχουµε διάδοση κυµάτων. Στο ελαστικό µέσο δηµιουργείται στάσιµο κύµα, µε
το σηµείο 0=x του ελαστικού µέσου να είναι κοιλία. Ξεκινώντας από το
σηµείο 0=x και κινούµενοι προς τα θετικά του άξονα x΄x, η διαφορά φάσης
µεταξύ της δεύτερης και της τέταρτης κοιλίας που συναντάµε είναι:
α. π/2 rad
β. π rad
γ. 2π rad
δ. 0 rad
Μονάδες 5

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
2
2
5. Να χαρακτηρίσετε κάθε µία από τις προτάσεις που ακολουθούν ως σωστή (Σ)
ή ως λανθασµένη (Λ).
α. Όταν αυξάνουµε τη συχνότητα του διεγέρτη σε µια εξαναγκασµένη
ταλάντωση, το πλάτος της αυξάνεται συνεχώς.
β. Τα ηλεκτροµαγνητικά κύµατα µπορούν να παραχθούν από
επιταχυνόµενα ηλεκτρικά φορτία.
γ. Όταν ένα σώµα εκτελεί µεταφορική κίνηση, το ευθύγραµµο τµήµα που
συνδέει δύο τυχαία σηµεία του µετατοπίζεται παράλληλα προς τον
εαυτό του.
δ. Χορεύτρια που περιστρέφεται χωρίς τριβές γύρω από τον κατακόρυφο
άξονα που διέρχεται από το κέντρο µάζας της, εκτείνοντας οριζόντια τα
χέρια της µειώνει τη γωνιακή ταχύτητα περιστροφής της.
ε. Όταν ένας ποδηλάτης αποµακρύνεται από µία ακίνητη ηχητική πηγή,
ακούει ήχο µε συχνότητα µεγαλύτερη από τη συχνότητα του ήχου που
εκπέµπει η πηγή.
Μονάδες 5
ΘΕΜΑ 2ο
Α. Ιδανικό κύκλωµα LC εκτελεί ηλεκτρική ταλάντωση µε µέγιστο φορτίο Q
(Q0).
Α.1. Ποιο από τα διαγράµµατα που ακολουθούν παριστάνει τη µαγνητική
ενέργεια UΒ που είναι αποθηκευµένη στο µαγνητικό πεδίο του πηνίου
ως συνάρτηση του φορτίου q στον πυκνωτή;
Μονάδες 2
UB UB UB
-Q +Q +Q +Q-Q -Q
q q q
Α.2. Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας
Μονάδες 6
Β. Οι δύο συµπαγείς και οµογενείς δίσκοι ∆1 και ∆2 του σχήµατος περιστρέφονται
χωρίς τριβές και έχοντας το επίπεδό τους οριζόντιο, γύρω από κοινό και
σταθερό κατακόρυφο άξονα που διέρχεται από τα κέντρα µάζας τους.

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
3
3
∆1
∆2
Οι δύο δίσκοι µπορούν να περιστρέφονται ανεξάρτητα ο ένας ως προς τον
άλλο και έχουν ως προς τον άξονα περιστροφής τους ροπές αδράνειας Ι1 και
Ι2=2Ι1 αντίστοιχα. Αν η ολική στροφορµή του συστήµατος των δύο δίσκων
είναι µηδέν, τότε:
B.1. Οι δύο δίσκοι περιστρέφονται
α. οµόρροπα β. αντίρροπα
Μονάδες 1
Μονάδες 3
Β.2. Ο λόγος των κινητικών ενεργειών των δίσκων Κ1/Κ2 είναι:
α.
1
2
β. 1 γ. 2
Μονάδες 2
Μονάδες 3
Γ. Τα σηµειακά σώµατα Σ1, Σ2 και Σ3, µε µάζες m1=2m, m2=m και m3=m
αντίστοιχα, ηρεµούν σε λείο οριζόντιο επίπεδο και βρίσκονται επί της ίδιας
ευθείας. Κάποια χρονική στιγµή εκσφενδονίζουµε προς τα δεξιά (θετική
κατεύθυνση) τα σώµατα Σ2 και Σ3 µε ταχύτητες µέτρου υυ =2 και
3
3
υ
υ =
αντίστοιχα. Μετά τις ελαστικές κρούσεις πού θα ακολουθήσουν, το σώµα Σ3:
3υ
Σ1Σ2Σ3
(+)2υ
α. θα ακινητοποιηθεί
β. θα κινείται προς την θετική κατεύθυνση
γ. θα κινείται προς την αρνητική κατεύθυνση

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
4
4
Γ.1. Επιλέξτε τη σωστή απάντηση
Μονάδες 2
Γ.2. Αιτιολογήστε την απάντησή σας
Μονάδες 6
ΘΕΜΑ 3ο
Τη χρονική στιγµή 0 0 st = δύο πηγές κυµάτων Π1 και Π2, που βρίσκονται στην ήρεµη
επιφάνεια µιας λίµνης, αρχίζουν να ταλαντώνονται µε µέγιστη ταχύτητα ταλάντωσης
και προς τη θετική κατεύθυνση, έχοντας συνεχώς την ίδια φάση. Τα παραγόµενα
εγκάρσια αρµονικά κύµατα διαδίδονται στην επιφάνεια του νερού µε αµείωτο πλάτος
A = 1 cm. Ένα σηµείο Σ, που απέχει από τις πηγές Π1 και Π2 αποστάσεις cm101 =d
και 2 14 cmd = αντίστοιχα, αρχίζει να ταλαντώνεται τη χρονική στιγµή 1 1s,t = κατά
την οποία η κάθε πηγή έχει πραγµατοποιήσει 5 πλήρεις ταλαντώσεις.
α. Να υπολογίσετε την ταχύτητα διάδοσης και το µήκος κύµατος των κυµάτων
που παράγονται από τις δύο πηγές.
Μονάδες 6
β. Να παραστήσετε γραφικά το πλάτος ταλάντωσης του σηµείου Σ σε συνάρτηση
µε το χρόνο, από τη χρονική στιγµή 0 0 st = µέχρι τη χρονική στιγµή
3 2 s.t =
Μονάδες 6
γ. Να υπολογίσετε την ταχύτητα ταλάντωσης του σηµείου Σ τη χρονική στιγµή
7,12
=t s.
Μονάδες 6
δ. Να υπολογίσετε την ελάχιστη οριζόντια απόσταση ανάµεσα σε δύο διαδοχικά
σηµεία του ευθύγραµµου τµήµατος που συνδέει τις δύο πηγές, τα οποία
ταλαντώνονται µε µέγιστο πλάτος 2Α. Θεωρήστε ότι ανάµεσα στις δύο πηγές
υπάρχουν τουλάχιστον 3 τέτοια σηµεία.
Μονάδες 7
ΘΕΜΑ 4ο
Σώµα Σ, µικρών διαστάσεων και µε µάζα 1 kgm = , ισορροπεί πάνω σε λείο οριζόντιο
επίπεδο, δεµένο στο άκρο οριζόντιου ελατηρίου και στο άκρο µη εκτατού νήµατος
αµελητέας µάζας, όπως φαίνεται στο σχήµα. Το οριζόντιο ελατήριο έχει σταθερά
N/m100=k και το άλλο άκρο του είναι ακλόνητα στερεωµένο σε κατακόρυφο
τοίχο. Ταυτόχρονα το νήµα είναι στερεωµένο στο άκρο Α οµογενούς και ισοπαχούς
ράβδου ΟΑ, µάζας 0,4 kg και µήκους 0,5 m. Η ράβδος µπορεί να περιστρέφεται σε
κατακόρυφο επίπεδο και γύρω από σταθερό οριζόντιο άξονα, που είναι κάθετος σε
αυτήν και διέρχεται από το άκρο της Ο. H ράβδος ισορροπεί σχηµατίζοντας µε την
κατακόρυφο γωνία θ, µε 0,8ηµ =θ και 0,6συν =θ , ενώ το ελατήριο στην παραπάνω
θέση έχει δυναµική ενέργεια 0,32 JU = .

ÊÝíôñï
ÌåëÝôçò
ÍÅÁ
ÓÌÕÑÍÇ
5
5
Ο
Α
ℓ θ
000000000000000000
000000
0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000
000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
Σk
Τη χρονική στιγµή 0 0 st = κόβουµε το νήµα και το σύστηµα ελατήριο – σώµα Σ
αρχίζει να εκτελεί απλή αρµονική ταλάντωση µε D = k, ενώ η ράβδος αρχίζει να
περιστρέφεται. Θεωρώντας ως δεδοµένο ότι πριν κόψουµε το νήµα όλα τα σώµατα
της διάταξης βρίσκονται στο ίδιο κατακόρυφο επίπεδο και ότι το σώµα Σ διατηρεί
συνεχώς επαφή µε το οριζόντιο επίπεδο, να απαντήσετε στα επόµενα ερωτήµατα:
α. Να γράψετε τη σχέση της αποµάκρυνσης του σώµατος Σ σε συνάρτηση µε το
χρόνο, θεωρώντας ως θετική τη φορά προς τα δεξιά.
Μονάδες 6
β. Να υπολογίσετε το µέτρο της ταχύτητας του ελεύθερου άκρου Α της ράβδου,
όταν αυτή διέρχεται από την κατακόρυφη θέση.
Μονάδες 6
γ. Να βρεθεί ο ρυθµός µεταβολής της ορµής του σώµατος Σ τη χρονική στιγµή
κατά την οποία η κινητική και η δυναµική ενέργεια της ταλάντωσης θα γίνουν
ίσες για πρώτη φορά.
Μονάδες 6
δ. Να υπολογίσετε το µέτρο της τάσης του νήµατος πριν κόψουµε το νήµα.
Μονάδες 7
∆ίνεται: η ροπή αδράνειας οµογενούς ράβδου ως προς άξονα που περνάει από το
κέντρο µάζας της και είναι κάθετος στο επίπεδο περιστροφής της: 2
cm
1
12
Ι M= ℓ ,
g = 10 m/s2
.

Φυσική Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα 2015

Φυσική Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα 2015

More Related Content

What's hot

Viewers also liked

Similar to Φυσική Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα 2015

Φυσική Γ΄ Λυκείου - Επαναληπτικά Θέματα 2015