Συνοπτική θεωρία βασισμένη στο σχολικό βιβλίο αλλά και εμπλουτισμένη με επιπλέον γνωστικά αντικείμενα

1. ΤΑΛΑΝΤΩΣΕΙΣ
Ελεύθερη και αμείωτη μηχανική ταλάντωση
Ελεύθερη και φθίνουσα μηχανική ταλάντωση
Εξαναγκασμένες ταλαντώσεις
Σύνθεση ταλαντώσεων
Επιμέλεια παρουσίασης: Γιάννης Στάθης

2. Μερικά βασικά μεγέθη (γνωστά
από την κυκλική κίνηση):
1. Περίοδος (Τ) → Τ=t / N
2. Συχνότητα (f) → f=N / t
3. Γωνιακή συχνότητα (ω) → ω=2πf=2π/Τ

3. Απλή Αρμονική Ταλάντωση (ΑΑΤ) ή
αλλιώς Γραμμική Αρμονική Ταλάντωση (ΓΑΤ)
Κινήσεις →
↓
Περιοδικές κινήσεις →
↓
Ταλαντώσεις →
↓
Απλές (ή γραμμικές) →
↓
Αρμονικές

4. Οι χρονικές εξισώσεις…
1. της απομάκρυνσης: x=A ημ(ωt),
όπου Α το πλάτος της ταλάντωσης
(η μέγιστη απόσταση από τη θέση ισορροπίας)
2. της ταχύτητας: u=ωΑ συν(ωt),
όπου ωΑ=umax το πλάτος της ταχύτητας (ή
μέγιστη ταχύτητα  στη θέση ισορροπίας)
3. της επιτάχυνσης: α=-ω2
Α ημ(ωt), όπου
ω2
Α=amax το πλάτος της επιτάχυνσης (ή
μέγιστη επιτάχυνση  στις ακραίες θέσεις)

5. Και οι αντίστοιχες γραφικές παραστάσεις:

6. Σχέσεις μεταξύ
α και x, u και x, u και α
2
xα = −ω
2 2
u A x= ±ω −
2 2
maxu uα = ±ω −

7. …και οι αντίστοιχες γραφικές
παραστάσεις
α-x

8. …και οι αντίστοιχες γραφικές
παραστάσεις
u-x

9. …και οι αντίστοιχες γραφικές
παραστάσεις
u-α

10. Η φάση:
 Όταν τη στιγμή t0=0 το σώμα βρίσκεται στη
Θ.Ι. (x=0) με θετική ταχύτητα (u>0) τότε δεν
έχουμε αρχική φάση (φ0=0) και φάση φ
ορίζεται το γινόμενο: φ=ωt
 Για οποιαδήποτε άλλη περίπτωση έχουμε
αρχική φάση (φ0≠0) και φάση φ ορίζεται το
άθροισμα: φ=ωt+φ0, όπου φ0 η αρχική
φάση.

11. Και πάλι χρονική γραφική παράσταση…
Η κλίση της γραφικής
παράστασης ισοδυναμεί
με την γωνιακή συχνότητα
της ΑΑΤ,
φ = ωt + φ0
t
∆φ
ω =
∆

12. Διαφορά φάσης.
 Όταν δύο (αρμονικά μεταβαλλόμενα) φυσικά
μεγέθη δεν έχουν διαφορά φάσης (δηλαδή
όπως λέμε είναι συμφασικά) αυτό σημαίνει ότι
παίρνουν ταυτόχρονα μέγιστη και ελάχιστη
τιμή.
 Αντίθετα, όταν δύο (αρμονικά μεταβαλλόμενα)
φυσικά μεγέθη έχουν διαφορά φάσης αυτό
σημαίνει ότι δεν παίρνουν ταυτόχρονα μέγιστη
και ελάχιστη τιμή.

13. στην ΑΑΤ:
 Μεταξύ ταχύτητας και απομάκρυνσης:
Δφ=π/2 rad (προηγείται η ταχύτητα)
 Μεταξύ επιτάχυνσης και ταχύτητας :
Δφ=π/2 rad (προηγείται η επιτάχυνση)
 Μεταξύ επιτάχυνσης και απομάκρυνσης:
Δφ=π rad (προηγείται η επιτάχυνση)

14. Δύναμη στην ΑΑΤ
 Σύμφωνα με τον 2ο Νόμο του Newton:
ΣF=m·α
Όμως α=-αmaxημ(ωt), άρα
ΣF=m (-αmaxημ(ωt))=-mω2
Αημ(ωt)
Θέτουμε: D=m·ω2
(σταθερά επαναφοράς)
και προκύπτει,
ΣF=-DΑ·ημ(ωt) (1) και
ΣF=-D·x (2)

15. Γραφικές παραστάσεις ΣF:
→ Γραφική παράσταση
ΣF-t (με φ0=0):
→ Γραφική παράσταση
ΣF-x

16. Ενέργεια στην ΑΑΤ:
 Για την κινητική ενέργεια ισχύει:
 Για τη δυναμική ενέργεια ισχύει:
 Για τη μηχανική ενέργεια ισχύει:
21
K mu
2
=
21
U Dx
2
=
2 2
max max
1 1
E K U mu Dx K U ct
2 2
= + = + = = =

17. Χρονική εξίσωση κινητικής ενέργειας
Κ =f(t)
Αντικαθιστούμε τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας
στην εξίσωση της κινητικής ενέργειας:
2 2
2 2 2
1 1
K mu m( ( t))
2 2
1
D ( t) E ( t)
2
= = ωΑσυν ω =
= Α συν ω = συν ω

18. Χρονική εξίσωση δυναμικής ενέργειας
U=f(t)
Αντικαθιστούμε τη χρονική εξίσωση της
απομάκρυνσης στην εξίσωση της δυναμικής
ενέργειας:
2 2
2 2 2
1 1
U Dx D( ( t))
2 2
1
D ( t) E ( t)
2
= = Αηµ ω =
= Α ηµ ω = συν ω

19. Γραφικές παραστάσεις των ενεργειών
σε συνάρτηση με το χρόνο:

20. Τα βασικά μεγέθη…

21. Συνολικά σε μια ΑΑΤ με φ0=0:
t=0 0<t<T/4 t=T/4 T/4<t<T/2 t=T/2 T/2<t<3T/4 t=3T/4 3T/4<t<T t=T
φ 0 rad 0<φ<π/2 π/2 rad π/2<φ<π π rad π<φ<3π/2 3π/2 rad 3π/2<φ<2π 2π rad
x 0 x>0, x  +A x>0, x  0 x <0, x  - A x <0, x  0
u + umax
u>0, u  u=0 u<0, u  - umax
u <0, u  0 u >0, u  + umax
α 0 α<0, α  - αmax
α<0, α  0 α >0, α  + αmax
α >0, α  0
ΣF 0 ΣF<0, ΣF  - ΣFmax
ΣF<0, ΣF  0 ΣF>0, ΣF  + ΣFmax
ΣF>0, ΣF  0
K Kmax
K  0 K  Kmax
K  0 K  Kmax
U 0 U  Umax
U  0 U  Umax
U  0

22. Φθίνουσες μηχανικές ταλαντώσεις
 Φθίνουσα ή αποσβεννύμενη λέγεται
η ταλάντωση κατά την οποία η
ενέργεια του συστήματος
ελαττώνεται.

23. Γιατί φθίνουσες;
Η απόσβεση (ελάττωση του πλάτους) οφείλεται
σε δυνάμεις που αντιτίθενται στην κίνηση. Οι
δυνάμεις αυτές μεταφέρουν ενέργεια από το
ταλαντούμενο σύστημα στο περιβάλλον. Έτσι, η
μηχανική ενέργεια και το πλάτος του συστήματος
με την πάροδο του χρόνου ελαττώνονται.
 Όλες οι ταλαντώσεις στο μακρόκοσμο είναι φθίνουσες γιατί καμιά
κίνηση δεν είναι απαλλαγμένη από τριβές και αντιστάσεις.

24. Ποια κατηγορία φθινουσών ταλαντώσεων
μελετάμε;
Ιδιαίτερη σημασία έχουν οι φθίνουσες ταλαντώσεις στις
οποίες η αντιτιθέμενη δύναμη είναι ανάλογη της
ταχύτητας.
F΄= - b·u
 To b είναι μια σταθερά που ονομάζεται σταθερά
απόσβεσης και εξαρτάται από :
 τις ιδιότητες του μέσου καθώς και
 το σχήμα και
 το μέγεθος του αντικειμένου που κινείται.
Ο ρυθμός με τον οποίο μειώνεται το πλάτος μιας
ταλάντωσης εξαρτάται από την τιμή της σταθεράς b.

25. (α) Όταν η σταθερά απόσβεσης
είναι μηδέν η ταλάντωση είναι
αμείωτη.
(β) Φθίνουσα ταλάντωση. Η
περίοδος διατηρείται σταθερή
και ανεξάρτητη του πλάτους.
(γ) Όταν η σταθερά απόσβεσης
μεγαλώνει, το πλάτος της
ταλάντωσης μειώνεται πιο
γρήγορα και η περίοδος
παρουσιάζει μικρή
αύξηση.
(δ) Όταν η σταθερά απόσβεσης
είναι πολύ μεγάλη η κίνηση είναι
απεριοδική.

26. Παρατηρήσεις:
 Η περίοδος, για ορισμένη τιμή της σταθεράς b,
διατηρείται σταθερή και ανεξάρτητη από το
πλάτος. Όταν η σταθερά b μεγαλώνει το πλάτος
της ταλάντωσης μειώνεται πιο γρήγορα και η
περίοδος παρουσιάζει μια μικρή αύξηση.
 Σε ακραίες περιπτώσεις στις οποίες η σταθερά
απόσβεσης παίρνει πολύ μεγάλες τιμές, η
κίνηση γίνεται απεριοδική, δηλαδή, ο
ταλαντωτής, επιστρέφει στη θέση ισορροπίας
χωρίς ποτέ να την υπερβεί.

27. Παρατηρήσεις:
 Το πλάτος της ταλάντωσης μειώνεται εκθετικά
σε συνάρτηση με το χρόνο, ισχύει δηλαδή:
 Το Λ είναι μια σταθερά που εξαρτάται από τη
σταθερά απόσβεσης και τη μάζα του
ταλαντούμενου συστήματος.
 Ο λόγος δύο διαδοχικών μέγιστων
απομακρύνσεων προς την ίδια κατεύθυνση
διατηρείται σταθερός, δηλαδή
T0 1
1 2 1
A A
... e
A A
ΛΚ
Κ+
Α
= = = = σταθ =
Α
t
0 e−Λ
Α = Α ×

28. Ενέργεια στη φθίνουσα ταλάντωση
Όπως και στις αμείωτες μηχανικές ταλαντώσεις
ισχύει:
όπου άρα:
δηλαδή και η ενέργεια μειώνεται εκθετικά με το χρόνο
21
E DA
2
=
t
0A A e−Λ
= ×
2 2 t 2 t
0 0
1
E DA e E e
2
− Λ − Λ
= × = ×

29. Χρόνος υποδιπλασιασμού / χρόνος
ημιζωής:
 Χρόνος υποδιπλασιασμού(1)
ονομάζεται το χρονικό
διάστημα που απαιτείται ώστε μία ποσότητα να ελαττωθεί
στο μισό της αρχικής της τιμής
Για το πλάτος της ταλάντωσης αποδεικνύεται ότι:
(1) ο όρος αυτός χρησιμοποιείται συχνά στην πυρηνική Φυσική αλλά και γενικά για κάθε μέγεθος που μειώνεται εκθετικά
σε συνάρτηση με το χρόνο!
1/ 2
ln 2
t =
Λ
t0
=0 ln2/Λ 2 ln2/Λ 3 ln2/Λ 4 ln2/Λ …
A0
A0
/ 2 A0
/ 4 A0
/ 8 A0
/ 16 …

30. Χρήσιμα για τις ασκήσεις
Για τις ασκήσεις θα χρησιμοποιήσουμε τις
ακόλουθες ιδιότητες των λογαρίθμων:
ln
ln1 0
ln e 1
e
ln ln
ln ln
α
ν
=
=
= α
α = ν× α
α β
= −
β α

31. Εξαναγκασμένες μηχανικές ταλαντώσεις
Όταν ένα σύστημα διεγείρεται και αφήνεται ελεύθερο να
εκτελέσει ταλάντωση τότε η ταλάντωση λέγεται
ελεύθερη ταλάντωση.
 Αν δεν υπάρχουν αντιστάσεις η ταλάντωση θα είναι
αμείωτη και η συχνότητά της θα είναι η
 που ονομάζεται ιδιοσυχνότητα της ταλάντωσης
 Στην πραγματικότητα θα είναι φθίνουσα και η
συχνότητά της θα είναι λίγο μικρότερη από την f0, αλλά
στην πράξη μπορούμε να τη θεωρήσουμε ίση με αυτή.
0
1 D
f
2 m
=
π

32. Διεγέρτης
→Αν θέλουμε να διατηρείται σταθερό το πλάτος
της ταλάντωσης πρέπει να ασκήσουμε στο
σύστημα μια δύναμη που μεταβάλλεται
περιοδικά με το χρόνο.
Αυτή την πρόσθετη δύναμη την ονομάζουμε
διεγείρουσα δύναμη, η κίνηση του συστήματος
ονομάζεται εξαναγκασμένη ταλάντωση και το
σώμα που προκαλεί την ταλάντωση με την
περιοδική δύναμη που ασκεί (διεγείρουσα
δύναμη) διεγέρτης.

33. Ένα παράδειγμα συστήματος
ελατηρίου-μάζας που εξαναγκάζεται σε
ταλάντωση

34. Χαρακτηριστικά της
εξαναγκασμένης ταλάντωσης
1. Ο διεγέρτης επιβάλλει ΠΑΝΤΑ στην ταλάντωση
τη συχνότητά του! fταλ=fδιεγέρτη
2. Το πλάτος εξαρτάται από τη συχνότητα του
διεγέρτη!
Αν μεταβληθεί η συχνότητα του διεγέρτη
μεταβάλλεται και το πλάτος της ταλάντωσης
όπως φαίνεται στο ακόλουθο διάγραμμα:

35. Διάγραμμα πλάτους εξαναγκασμένης ταλάντωσης
σε συνάρτηση με τη συχνότητα του διεγέρτη
Οι τιμές του πλάτους είναι
γενικά μικρές, εκτός αν η
συχνότητα f πλησιάζει στην
ιδιοσυχνότητα f0, οπότε το
πλάτος παίρνει μεγάλες τιμές
και γίνεται μέγιστο όταν η
συχνότητα γίνει ίση με την
ιδιοσυχνότητα f0 .
Τότε λέμε ότι έχουμε συντονισμό.
Στην ιδανική περίπτωση(2)
που η
ταλάντωση δεν έχει απώλειες
ενέργειας (πρακτικά αυτό είναι
αδύνατο), όταν f=f0 , το πλάτος
της εξαναγκασμένης
ταλάντωσης γίνεται άπειρο.
(α) Ταλάντωση χωρίς. (β) Ταλάντωση με
απόσβεση απόσβεση.

36. Χαρακτηριστικά της
εξαναγκασμένης ταλάντωσης
3. Το πλάτος της ταλάντωσης κατά το συντονισμό εξαρτάται
από τη σταθερά απόσβεσης. Η αύξηση της σταθεράς
απόσβεσης, συνεπάγεται μείωση του πλάτους της
εξαναγκασμένης ταλάντωσης και, ταυτόχρονα,
μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού σε μικρότερες
τιμές.
b1 < b2 < b3
Η μετατόπιση της συχνότητας συντονισμού προς μικρότερες τιμές επιβεβαιώνει την παρατήρηση ότι με την αύξηση του b η
ιδιοσυχνότητα του ταλαντωτή μικραίνει, όπως μάθαμε στις φθίνουσες ταλαντώσεις…

37. Εφαρμογές του συντονισμού
1. Το κτίριο συμπεριφέρεται
όπως το μεταλλικό
έλασμα
2. Η γέφυρα συμπεριφέρεται
όπως η χορδή

38. (2)
Και κάτι «εκτός ύλης»
Η συνάρτηση του πλάτους της ταλάντωσης με την
συχνότητα της διεγείρουσας δύναμης δίνεται από τη
σχέση,
και για ευνόητους λόγους δεν αναφέρεται στο σχολικό
βιβλίο. Αξίζει όμως να παρατηρήσουμε ότι αν b=0 και
ωδιεγ=ω0 τότε ο παρονομαστής μηδενίζεται και το πλάτος
γίνεται άπειρο…!
0
2
2 2 2
0
F / m
A
b
( )
m
=
×ω 
ω − ω − ÷
 

39. Σύνθεση ταλαντώσεων
 Όταν ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα δύο (ή
περισσότερες) αρμονικές ταλαντώσεις τότε
η συνισταμένη κίνηση που κάνει το σώμα
λέγεται σύνθετη ταλάντωση και η μελέτη
της σύνθεση ταλαντώσεων.

40. Α. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων
της ίδιας συχνότητας,
που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση.
Έστω ότι ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα τις
(συνιστώσες ή επιμέρους) ταλαντώσεις με
εξισώσεις
Σύμφωνα με την Αρχή της Επαλληλίας των Κινήσεων
(Α.Ε.Κ. ☺), η απομάκρυνση του σώματος κάθε στιγμή
θα είναι το άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε
αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά:
1 1
2 2
x A ( t)
x A ( t )
= ×ηµ
= ηµ ω× + φ
ω
1 2x x x= +

41. Α. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων
της ίδιας συχνότητας,
που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια διεύθυνση.
Η σχέση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή
Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι τελικά
το σώμα κάνει ΑΑΤ γύρω από το σημείο Ο, με
την ίδια διεύθυνση και την ίδια συχνότητα.
x A ( t )ω= ×ηµ + θ
2 2
1 2 1 22Α = Α + Α + Α Α συνφ
2
1 2
Α ηµφ
εφθ =
Α + Α συνφ

42. Δύο ειδικές περιπτώσεις:
 Αν φ=0 rad τότε:
και
δηλαδή το πλάτος της ταλάντωσης είναι ίσο με το άθροισμα των
πλατών και η φάση της είναι ίδια με τη φάση των επιμέρους
ταλαντώσεων.
 Αν φ=π rad τότε:
και ή
δηλαδή το πλάτος είναι ίσο με τη διαφορά των πλατών και η φάση ίση
με τη φάση της ταλάντωσης που έχει το μεγαλύτερο πλάτος.
1 2Α = Α + Α
0radθ =1 2Α = Α − Α
0radθ =
radθ = π

43. Υπολογισμός της ενέργειας της
σύνθετης ταλάντωσης
 Αν E1 και Ε2 είναι οι ενέργειες των επιμέρους
ταλαντώσεων τότε η ενέργεια της σύνθετης
ταλάντωσης αποδεικνύεται ότι ισούται με:
1 2 1 2E E E 2 E Eολ = + + × ×συνφ

44. Β. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων
με διαφορετικές συχνότητες και ίδιο πλάτος
που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια
διεύθυνση.
Έστω ότι ένα σώμα κάνει ταυτόχρονα τις (συνιστώσες
ή επιμέρους) ταλαντώσεις με εξισώσεις
Σύμφωνα με την Αρχή της Επαλληλίας των Κινήσεων
(Α.Ε.Κ. ☺), η απομάκρυνση του σώματος κάθε στιγμή
θα είναι το άθροισμα των απομακρύνσεων που θα είχε
αν έκανε την κάθε ταλάντωση ξεχωριστά:
1 2x x x= +
1
2 2
1x A ( t)
x A ( t)
= ×ηµ
= ×η ωµ
ω

45. Β. Σύνθεση δύο απλών αρμονικών ταλαντώσεων
με διαφορετικές συχνότητες, ίδιο πλάτος
που γίνονται γύρω από το ίδιο σημείο στην ίδια
διεύθυνση.
Η σχέση αυτή μπορεί να πάρει τη μορφή(1)
Το συμπέρασμα που προκύπτει είναι ότι τελικά
το σώμα ΔΕΝ ΚΑΝΕΙ ΑΑΤ γύρω από το σημείο
Ο, αλλά μία πολύπλοκη κίνηση.
1 12 2
x 2A ( t) ( t)
2 2
ω ω− +ω ω
= ×συν ×ηµ

46.  Όταν οι δύο επιμέρους γωνιακές
συχνότητες διαφέρουν λίγο μεταξύ τους:
→ Ο παράγοντας:
μεταβάλλεται με το χρόνο πολύ πιο αργά από τον
παράγοντα:
ο οποίος μεταβάλλεται με συχνότητα:
21
A' 2A ( t)
2
−
× υ
ω
=
ω
σ ν
21
( t)
2
+ ω
η
ω
µ
2
2
1
1
2
ω
ωω ≈
ω+
≈ ω=

47.  Όταν οι δύο επιμέρους γωνιακές
συχνότητες διαφέρουν λίγο μεταξύ τους:
Έτσι η αρχική σχέση μπορεί να γραφτεί ως:
που περιγράφει μια ιδιόμορφη ταλάντωση που έχει την
ίδια περίπου συχνότητα με τις επί μέρους ταλαντώσεις.
 Το πλάτος Α΄ της κίνησης μεταβάλλεται, με αργό
ρυθμό, από μηδέν μέχρι 2Α (λέμε ότι η κίνηση του
παρουσιάζει διακροτήματα).
x A' ( t)= ×ηµ ω

48. Για την ιδιόμορφη αυτή ταλάντωση
ισχύει:



2
2
1
1
2
ω
ωω ≈
ω+
≈ ω=
1 2f f
f
2
+
=
1 2
1 2
T
f f f
= =
+

49. Ο χρόνος ανάμεσα σε δύο διαδοχικούς μηδενισμούς (ή
δύο διαδοχικές μεγιστοποιήσεις) του πλάτους ονομάζεται
περίοδος (Τδ) του διακροτήματος.
Αποδεικνύεται ότι:
1 2
1
T
f f
δ =
−

50. (1) Τριγωνομετρική ταυτότητα
2
2 2
α −β α +β
ηµα + ηµβ = ×συν ×ηµ