ΣΥΝΟΠΤΙΚΗ ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΗΝ ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ (χειρόγραφη) + ΕΡΓΟ-ΕΝΕΡΓΕΙΑ-ΙΣΧΥ από Α΄Λυκείου+ΚΥΚΛΙΚΗ ΚΙΝΗΣΗ από Β΄Λυκείου Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com

1. ΧΕΙΡΟΓΡΑΦΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΤΗΝ ΕΛΕΥΘΕΡΗ
ΑΜΕΙΩΤΗ ΑΡΜΟΝΙΚΗ
ΤΑΛΑΝΤΩΣΗ Γ΄ΛΥΚΕΙΟΥ
ΛΑΜΠΡΟΣ ΑΔΑΜ
www.lam-lab.com
adamlscp@gmail.com

2. ..ξεκινάμε λίγο
με Α΄Λυκείου:
έργο-ενέργεια-ισχύ…..
Λάμπρος Αδάμ
www.lam-lab.com
adamlscp@gmail.com

3. Περίληψη Θεωρίας Έργου-Ενέργειας από Α΄ Λυκείου 1
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
Συνοπτική Θεωρία στο Έργο – Ενέργεια – Ισχύς (Α΄ΛΥΚΕΙΟΥ)
1. Τι ορίζουμε ως έργο W σταθερής δύναμης F,
που μετατοπίζει το σώμα στο οποίο ασκείται
στη φορά της F κατά Δx;
xF
ό
έ
ύ
έ
W 
















2. Αν η σταθερή δύναμη F σχηματίζει
γωνία φ με τη μετατόπιση Δx, τι έργο
παράγει;
Έργο παράγει μόνο η συνιστώσα Fx που
μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της
στη διεύθυνση της μετατόπισης Δx.
  xFxFxFWWW xFFF yx
0
3. Η δύναμη η κάθετη στη μετατόπιση του σημείου εφαρμογής της, τι έργο
παράγει;
Η δύναμη που είναι κάθετη στη μετατόπιση, σχηματίζει γωνία 90ο και με βάση τον
ορισμό του έργου, θα είναι:
00900
 xFxFW 
Η δύναμη η κάθετη στην μετατόπιση δεν παράγει έργο, που σημαίνει ότι δεν
προκαλεί καμία ενεργειακή αλλαγή.
4. Το έργο είναι μονόμετρο ή διανυσματικό μέγεθος και τι μονάδα έχει;
Παρόλο που το έργο ορίζεται μέσω της δύναμης και της μετατόπισης, που είναι και τα δύο
διανυσματικά μεγέθη, το έργο είναι μονόμετρο μέγεθος!
Μονάδα έργου στο S.I. είναι: 1Joule=έργο δύναμης 1Ν που
μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της κατά 1m στη
διεύθυνσή της (1Joule=1Newton . 1m)
5. Μπορούμε να βρούμε το έργο μιας δύναμης από το
διάγραμμα Δύναμης-Μετατόπισης;
α) Αν μια σταθερή δύναμη F μετακινεί κατά x το σημείο
εφαρμογής της στη διεύθυνσή της, το έργο της είναι: w=F.x.
Μία τέτοια δύναμη σε άξονες, δύναμη-μετατόπιση,

4. Περίληψη Θεωρίας Έργου-Ενέργειας από Α΄ Λυκείου 2
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
παριστάνεται από μια ευθεία παράλληλη στον άξονα των μετατοπίσεων. Τότε:
WF= F.x = (ΟΓ) (OA) = (Εμβαδόν δ/τος F-x)
β) Αν η δύναμη είναι μεταβλητού μέτρου και μετατοπίζει το σημείο εφαρμογής της στη
διεύθυνσή της, τότε:
Δηλαδή: το έργο μεταβλητής δύναμης ίδιας διεύθυνσης με τη μετατόπιση, είναι
αριθμητικά ίσο με το εμβαδόν του σχήματος του διαγράμματος F-x , που περικλείεται
από τη γραμμή που αποδίδει τη δύναμη και τον άξονα των μετατοπίσεων.
6. Τι εκφράζει το έργο και τι το πρόσημό του;
Έστω ένα σώμα μετατοπίζεται από τη θέση ①, όπου ηρεμούσε (t=0), στη θέση ②, όπου
αποκτά ταχύτητα υ τη χρονική στιγμή t. Η μετατόπιση αυτή γίνεται με τις δυνάμεις του
σχήματος: F=κινητήρια δύναμη την οποία ασκεί ένας εργάτης, Τ=τριβή ολίσθησης,
Ν=κάθετος δύναμη στήριξης και mg=βάρος. Ποια είναι τα έργα των δυνάμεων και τι
σημαίνουν τα πρόσημά τους; Ποιες ενεργειακές μεταβολές συμβαίνουν;
0 xFWF : εκφράζει την ενέργεια που ο εργάτης ΔΙΝΕΙ στο
κιβώτιο (ΩΦΕΛΙΜΟ έργο για το κιβώτιο), σε βάρος
της χημικής ενέργειας του εργάτη.
01800
 xxTWT  : εκφράζει την ενέργεια που η τριβή
ΠΑΙΡΝΕΙ από το κιβώτιο (ΚΑΤΑΝΑΛΙΣΚΟΜΕΝΟ
έργο) και την οποία μετατρέπει σε θερμότητα.

5. Περίληψη Θεωρίας Έργου-Ενέργειας από Α΄ Λυκείου 3
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
0900
 xgmWmg
0900
 xNWN
Άρα το έργο εκφράζει μεταφορά ενέργειας από το περιβάλλον στο σώμα (θετικό
έργο) ή από το σώμα στο περιβάλλον του (αρνητικό έργο). Ταυτόχρονα
συμβαίνει και αλλαγή στην μορφή ενέργειας (π.χ. από χημική σε κινητική ή από
κινητική σε θερμότητα).
7. Τι λέει το Θεώρημα Μεταβολής της Κινητικής Ενέργειας (Θ.Μ.Κ.Ε.);
Φυσικό Φαινόμενο: αυτό που εκθέσαμε στο προηγούμενο ερώτημα (7).
Προσθέτοντας όλα τα έργα των δυνάμεων στο κιβώτιο παίρνουμε:
























έ
ή
ή
m
tamtaam
WxFxFWWWW FNmgTF
0
2
1
)(
2
1
2
1
)(
2
22
8. Τι είναι βαρυτική δυναμική ενέργεια U;
Στους Ολυμπιακούς αγώνες της Ατλάντα το 1996 ο
Πύρρος Δήμας κερδίζει το Χρυσό Μετάλλιο
σηκώνοντας M=210kg στο ζετέ!!
Αν υποθέσουμε ότι η ανύψωση του βάρους έγινε αργά
( υ≈0) από την επιφάνεια της Γης μέχρι το ύψος h πάνω
από το έδαφος, τότε το μέτρο της δύναμης που άσκησε
ο Πύρρος Δήμας είναι ίση με το μέτρο του βάρους
F=Mg. Ποιο είναι το έργο της F και τι εκφράζει;
Απάντηση: hgMhFWF 
Οι δυνάμεις mg και Ν ΔΕΝ ΑΝΤΑΛΛΑΣΟΥΝ
ενέργεια με το κιβώτιο
Απόδειξη
Θ.Μ.Κ.Ε.

6. Περίληψη Θεωρίας Έργου-Ενέργειας από Α΄ Λυκείου 4
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
9. Ποια σχέση συνδέει το έργο βάρους WB και τη βαρυτική δυναμική ενέργεια U;
Ένας μαθητής αφήνει από ύψος H μια ελαστική
μπάλα να πέσει στο δάπεδο. Τότε έχουμε:
)(
)(
hHgmhgmHgmUU
hHgmW
A
A
B




επειδή τα δεύτερα μέλη είναι ίσα, ισχύει:


  UUW A
Και γενικά έχουμε:
!!
)(
ήόά
U
UU
UUW








Συμπέρασμα: Οι διατηρητικές ή συντηρητικές δυνάμεις (π.χ. βάρος, ηλεκτρική δύναμη,
δύναμη ελατηρίου) σε κλειστή διαδρομή δεν παράγουν έργο και το αντίστροφο.
Προσοχή: Οι συντηρητικές δυνάμεις σε ανοιχτή διαδρομή παράγουν έργο, το οποίο είναι
ανεξάρτητο από τη διαδρομή και εξαρτάται μόνο από την αρχική και τελική θέση:



  UUW ήή
F ή

  0ήή
F ή
W 

10. Τι είναι Μηχανική Ενέργεια και πότε Διατηρείται;
Ας υποθέσουμε ότι κατά την κίνηση ενός σώματος η μόνη δύναμη που παράγει έργο είναι
το βάρος. Τότε εφαρμόζουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για την μετακίνηση του σώματος από μια αρχική σε
μία τελική κατάσταση. Τότε έχουμε:
Κτελική –Καρχική=Wβάρους (1)
Η ελάττωση
της Χημικής
Ενέργειας
του Πύρρου
Δήμα
Μέσω του έργου
WF=M.g.h
Μετατρέπεται
σε ΑΥΞΗΣΗ
ΤΗΣ
ΒΑΡΥΤΙΚΗΣ
ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ
ΕΝΕΡΓΕΙΑΣ
ΔU=M.g.h
Αν
Uεδαφος=0
Η ΒΑΡΥΤΙΚΗ
ΔΥΝΑΜΙΚΗ
ΕΝΕΡΓΕΙΑ
ΣΩΜΑΤΟΣ σε
ύψος h είναι:
U=M.g.h

7. Περίληψη Θεωρίας Έργου-Ενέργειας από Α΄ Λυκείου 5
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
Όμως ισχύει: Wβάρους=Uαρχική-Uτελική (2)
Άρα από (1), (2) έχουμε: Κτελική –Καρχική= Uαρχική-Uτελική 
 Κτελική+Uτελική = Καρχική +Uαρχική 




 
Άρα: Η Μηχανική Ενέργεια ενός σώματος διατηρείται σταθερή όταν η μόνη δύναμη
που παράγει έργο πάνω στο σώμα είναι το βάρος.
Έτσι το βάρος λέγεται ΔΙΑΤΗΡΗΤΙΚΗ (ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΗ) δύναμη, αφού όταν
μόνο αυτό παράγει έργο, τότε ΔΙΑΤΗΡΕΙΤΑΙ η Μηχανική Ενέργεια του σώματος
11. Καλά, υπάρχει και Θεώρημα Μεταβολής της Μηχανική Ενέργεια; Έλεος!
Υπόθεση: Έστω ότι σε ένα σώμα ασκούνται οι δυνάμεις το βάρος Β και μια μη συντηρητική
δύναμη F. Τότε αν εφαρμόσουμε Θ.Μ.Κ.Ε. για το σώμα, το οποίο μεταβαίνει από μια
αρχική θέση σε μια τελική θέση με τη δράση των F και Β, θα γράψουμε:
Κτελική –Καρχική=Wβάρους + WF (1)
Όμως ισχύει: Wβάρους=Uαρχική-Uτελική (2)
Άρα από (1), (2) έχουμε: Κτελική –Καρχική= Uαρχική-Uτελική + WF 
 Κτελική+Uτελική - ( Καρχική +Uαρχική ) = WF 
  
 


 FW
Άρα: Αφού τη Μηχανική Ενέργεια δεν τη μεταβάλλει το Βάρος (συντηρητική δύναμη), η
Μεταβολή της Μηχανικής Ενέργειας θα οφείλεται ΜΟΝΟ στα έργα των ΜΗ
ΣΥΝΤΗΡΗΤΙΚΩΝ δυνάμεων, δηλαδή όλων των άλλων δυνάμεων πλην του
Βάρους.

8. Περίληψη Θεωρίας Έργου-Ενέργειας από Α΄ Λυκείου 6
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
12. Τι λέμε Ισχύ στη Φυσική; Έχει σχέση με τους ρυθμούς μεταβολής ενέργειας; Τι
διαφορά υπάρχει μεταξύ μέσης και στιγμιαίας ισχύος;
Ας δούμε καλύτερα μια άσκηση, να έχει και αριθμούς!
Ένα σώμα μάζας 2kg ηρεμεί στο έδαφος (θέση ①), όπου δεχόμαστε μηδενική τη
δυναμική του ενέργεια. Σε μια στιγμή t0=0, ασκούμε πάνω του μια σταθερή
κατακόρυφη δύναμη F=24Ν, μέχρι τη στιγμή t1=3s (θέση ②). Δίνεται g=10m/s2.
Να βρεθούν:
i) από τη στιγμή t0=0 (θέση ①) μέχρι τη στιγμή t1=3s (θέση ②)
 η μέση ισχύς της δύναμης F
 η μέση ισχύς του βάρους Β
 ο μέσος ρυθμός αύξησης της βαρυτικής δυναμικής
ενέργειας
 ο μέσος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας
ii) τη στιγμή t1=3s (θέση ②)
 η στιγμιαία ισχύς της δύναμης F
 η στιγμιαία ισχύς του βάρους Β
 o στιγμιαίος ρυθμός αύξησης της βαρυτικής δυναμικής
ενέργειας
 o στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας
Απάντηση
Με βάση το 2ο Νόμο του Νεύτωνα, το σώμα επιταχύνεται ανεβαίνοντας με επιτάχυνση:

22
s
m
m
mgF
m
F
a 





Τη χρονική στιγμή t1=3s το σώμα θα έχει ανεβεί σε ύψος h1 από το έδαφος και θα έχει
στιγμιαία ταχύτητα υ1:
 
s
ms
s
m
t
ms
s
m
tah
632
932
2
1
2
1
211
2
2
2
11



Σημείωση: Για το μέσο ρυθμό μεταβολής θα χρησιμοποιείται το σύμβολο
t
...


όπου Δt= t1-t0 =3s-0s=
=3s=μεγάλος χρόνος, ενώ για το στιγμιαίο ρυθμό θα χρησιμοποιείται το σύμβολο
dt
d...
, όπου
dt→0 γύρω από τη χρονική στιγμή t1=3s

9. Περίληψη Θεωρίας Έργου-Ενέργειας από Α΄ Λυκείου 7
Λάμπρος Αδάμ www.lam-lab.com adamlscp@gmail.com
ΜΕΣΗ ΙΣΧΥΣ P
ΜΕΣΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
από t0=0 έως t1=3s
ΣΤΙΓΜΙΑΙΑ ΙΣΧΥΣ P
ΣΤΙΓΜΙΑΙΟΣ ΡΥΘΜΟΣ ΜΕΤΑΒΟΛΗΣ
τη χρονική στιγμή t1=3s
H μέση ισχύς της δύναμης F είναι:
W
s
J
ss
mN
tt
hF
t
W
P F
F
7272
03
924
01
1











H στιγμιαία ισχύς της δύναμης F είναι:
Ws
s
m
N
taFF
dt
dyF
dt
dW
P F
F
1443224 2



 
H μέση ισχύς του βάρους B=mg είναι:
W
s
J
ss
mN
tt
hB
t
W
P B
B
6060
03
920
180
01
0
1












H στιγμιαία ισχύς του βάρους B=mg είναι:
Ws
s
m
Ntagm
gm
dt
dyB
dt
dW
P B
B
1203220
180
2
0



 

Ο μέσος ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής
δυναμικής ενέργειας είναι:
s
J
ss
mN
tt
hgm
tt
UU
t
U tt
60
03
920
0
01
1
01
)()( 01













Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της βαρυτικής
δυναμικής ενέργειας είναι:
s
J
s
s
m
Ntagm
gm
dt
dyB
dt
dW
dt
dU B
1203220
180
2
0





 

Ο μέσος ρυθμός μεταβολής της
κινητικής ενέργειας
s
J
ss
s
m
kg
tt
m
tt
KK
t
K tt
12
03
)6(2
2
1
0
2
1
2
01
2
01
)()( 01














Ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής της κινητικής
ενέργειας
s
J
s
s
m
kg
tamtaam
F
dt
dyF
dt
dW
dt
dK F
243)2(2 2
2
2
....




 




10. ..συνεχίζουμε
λίγο με Β΄Λυκείου:
κυκλική κίνηση…..
Λάμπρος Αδάμ
www.lam-lab.com
adamlscp@gmail.com

13. ..και επιτέλους
Γ΄Λυκείου:
αρμονική
ταλάντωση…..
Λάμπρος Αδάμ
www.lam-lab.com
adamlscp@gmail.com