Μέγιστος κοινός διαιρέτης, Μ Κ Δ , Εύρεση Μ Κ Δ , ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ , , teagher, Εκπαιδευτικό βίντεο από τo ΚΑΛΙΤΣΑ : https://mcjmcjmcj.wordpress.com​​/ , Άρθρο του μαθήματος:https://wp.me/PJcUD-8zB/ #teagher, #ΕΚΠΑΙΔΕΥΣΗ, #ΜΑΘΗΜΑΤΑ, #ΠΕΜΠΤΗΤΑΞΗ, #ΕΚΤΗΤΑΞΗ, #ΠΡΩΤΗΓΥΜΝΑΣΙΟΥ, #ΛΥΣΕΙΣ, #ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, #ΚΑΛΙΤΣΑ,

1. Μ. Κ. Δ.
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

2. α
α
Διαιρέτες
12 1
΄
1
1
-
0
΄
2
2
2
-
0
12 2
΄
6
1 2
-
00
΄ 12 3
΄
4
1 2
-
00
΄ 12 4
΄
3
1 2
-
00
΄ 12 5
΄
2
10
-
0
΄
2
12 6
΄
2
1 2
-
00
΄
12 7
΄
1
7
-
0
΄
5
12 8
΄
1
8
-
0
΄
4
12 9
΄
1
9
-
0
΄
3
12 10
΄
1
10
-
0
΄
2
12 11
΄
1
11
-
0
΄
1
12 12
΄
1
12
-
0
΄
0
Παρατηρούμε ότι ο αριθμός 12 διαιρείται ακριβώς(υπόλοιπο 0) με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 6, και 12.
Οι αριθμοί αυτοί λέγονται διαιρέτες του αριθμού 12.
Ο αριθμός 12 ονομάζεται και σύνθετος αριθμός.
Δ12 =1, 2, 3, 4, 6, 12
Διαιρέτες ενός αριθμού λέγονται οι αριθμοί που διαιρούν ακριβώς τον αριθμό αυτό.
Παίρνουμε τον αριθμό 12.
Κάνουμε τις διαιρέσεις
(Τέλεια διαίρεση , υπόλοιπο 0)

3. Κοινοί Διαιρέτες
Δ12 =1, 2, 3, 4, 6, 12
Παίρνουμε τον αριθμό 36.
Κάνουμε τις διαιρέσεις και παρατηρούμε ότι ο αριθμός 36 διαιρείται ακριβώς με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4,
6, 9, 12, 18 και 36.
Οι αριθμοί αυτοί λέγονται διαιρέτες του αριθμού 36. Δ36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
•
•
Παίρνουμε τον αριθμό 12.
Κάνουμε τις διαιρέσεις και παρατηρούμε ότι ο αριθμός 12 διαιρείται ακριβώς με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4,
6, και 12.
Οι αριθμοί αυτοί λέγονται διαιρέτες του αριθμού 12.
Δ12 =1, 2, 3, 4, 6, 12 Δ36 =1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
•
Παρατηρούμε ότι οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 6, και 12 διαιρούν ακριβώς και τον αριθμό 12 και τον αριθμό 36.
Οι αριθμοί αυτοί λέγονται κοινοί διαιρέτες των αριθμών 12 και 36.
Κ. Δ. (12, 36) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
•

4. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) (1ος τρόπος)
Δ12 =1, 2, 3, 4, 6, 12
Παίρνουμε τον αριθμό 36.
Κάνουμε τις διαιρέσεις και παρατηρούμε ότι ο αριθμός36 διαιρείται ακριβώςμε τους αριθμούς1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18 και 36.
Οι αριθμοί αυτοί λέγονται διαιρέτεςτου αριθμού 36.
Δ36 = 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
•
•
Παίρνουμε τον αριθμό 12.
Κάνουμε τις διαιρέσειςκαι παρατηρούμεότι ο αριθμός 12 διαιρείται ακριβώς με τους αριθμούς 1, 2, 3, 4, 6, και 12.
Οι αριθμοί αυτοί λέγονται διαιρέτεςτου αριθμού 12.
Δ12 =1, 2, 3, 4, 6, 12 Δ36 =1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36
•
Παρατηρούμεότι οι αριθμοί 1, 2, 3, 4, 6, και 12 διαιρούνακριβώςκαι τον αριθμό 12 και τον αριθμό 36.
Οι αριθμοί αυτοί λέγονται κοινοί διαιρέτες των αριθμών 12 και 36.
Κ. Δ. (12, 36) = 1, 2, 3, 4, 6, 12
•
Παρατηρούμε ότι ο μεγαλύτερος απ’ αυτούς τους Κοινούς Διαιρέτες είναι ο αριθμός 12
Ο μεγαλύτερος απ’ αυτούς τους Κοινούς Διαιρέτες, δηλαδή ο αριθμός 12, λέγεται Μέγιστος Κοινός
Διαιρέτης.
•
Μ. Κ. Δ. (12, 36) = 12
Δύο ή περισσότεροι φυσικοί αριθμοί μπορεί να έχουν κοινούς διαιρέτες.
Ο μεγαλύτερος κοινός διαιρέτης τους λέγεται Μέγιστος ΚοινόςΔιαιρέτης (Μ.Κ.Δ.).
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 12 και 36.

5. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.)(1ος τρόπος)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 16 και 30.
Δ16 = 1, 2, 4, 8, 16
Κ. Δ. (16, 30) = 1, 2
Μ. Κ. Δ. (16, 30) = 2
Δ30 = 1, 2, 3, 5, 6, 10, 15, 30
Δ24 = 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 24, 32 και 40.
Δ32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32 Δ40 = 1, 2, 4, 5, 8, 10, 20, 40
Κ. Δ. (24, 32, 40) = 1, 2, 4, 8
Μ. Κ. Δ. (24, 32, 40) = 8

10. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) (2ος τρόπος)
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 60 , 80 , 180.
 Γράφουμε τους αριθμούς τον ένα δίπλα από τον άλλο. 60 80 180
 Κατεβάζουμε το μικρότερο από αυτούς τους αριθμούς.
60
80 60
΄
1
60
-
2
΄
0
Διαιρούμε τους υπόλοιπους αριθμούς με αυτόν.
180 60
΄
3
180
-
00
΄ ΄
0
Γράφουμε το αντίστοιχο υπόλοιπο κάτω από τους
αριθμούς αυτούς.
20 0
 Κατεβάζουμε το νέο μικρότερο από αυτούς τους αριθμούς.
20
Διαιρούμε τους υπόλοιπους αριθμούς με αυτόν.
60 20
΄
3
60
-
0
΄
0
Γράφουμε το αντίστοιχο υπόλοιπο κάτω από τους
αριθμούς αυτούς.
0
 Τώρα μας έχει μείνει μόνο ένας αριθμός και οι άλλοι είναι 0.
Αυτός είναι ο Μ.Κ.Δ.
Μ. Κ. Δ. (60, 80, 180) = 20
0

11. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) (2ος τρόπος)
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 18 , 24 , 60.
 Γράφουμε τους αριθμούς τον ένα δίπλα από τον άλλο. 18 24 60
 Κατεβάζουμε το μικρότερο από αυτούς τους αριθμούς.
18
24 18
΄
1
18
-
0
΄
6
Διαιρούμετους υπόλοιπουςαριθμούςμε αυτόν.
60 18
΄
3
54
-
0
΄
6
Γράφουμε το αντίστοιχο υπόλοιπο κάτωαπό τους αριθμούς
αυτούς.
6 6
 Κατεβάζουμε πάλι το νέο μικρότερο από αυτούς τους αριθμούς.
6 6
Διαιρούμετους υπόλοιπουςαριθμούςμε αυτόν.
18 6
΄
3
18
-
0
΄
0
Γράφουμε το αντίστοιχο υπόλοιπο κάτωαπό τους αριθμούς
αυτούς.
0
 Τώρα μας έχει μείνει μόνο ένας αριθμός και ο άλλος είναι 0.
Αυτός είναι ο Μ.Κ.Δ.
Μ. Κ. Δ. (18, 24, 60) = 6
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 40 , 328.
40 328
40 8
328 40
΄
8
320
-
00
΄ ΄
8
8
40 8
΄
5
40
-
0
΄
0
0
Μ. Κ. Δ. (40, 328) = 8

20. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) (3ος τρόπος)
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 24 , 36 , 96.
 Παίρνουμε το μικρότερο από αυτούς τους αριθμούς και
τον διαιρούμε με τους άλλους.
36 24
΄
1
24
-
1
΄
2
Παρατηρούμε ότι δεν τους διαιρεί όλους ακριβώς.
96 24
΄
4
96
-
0
΄
0
 Παίρνουμε ξανά το μικρότερο από αυτούς τους
αριθμούς και τον διαιρούμε με το 2.
24 2
΄
1
2
-
0
΄
4
2
4
-
0
 Ελέγχουμε αν αυτό το πηλίκο διαιρεί τους άλλους
αριθμούς.
36 12
΄
3
36
-
0
΄
0
96 12
4
96
-
0 0
Παρατηρούμε ότι τους διαιρεί όλους ακριβώς.
 Άρα αυτός ο αριθμός είναι ο Μ.Κ.Δ. . Μ. Κ. Δ. (24, 36, 96) = 12
 Αν και πάλι δενδιαιρούσε τους άλλους αριθμούς θα συνεχίζαμε τηνίδια διαδικασία
με το 3, το 4, το 5, ... μέχρι να βρούμε τοναριθμόπου θα διαιρούσε ακριβώς όλους
τους άλλους.

21. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) (3ος τρόπος)
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 18, 48, 72.
48 18
΄
2
36
-
1
΄
2
78 18
΄
4
72
-
0
΄
6
18 2
΄
9
18
-
0
΄
0
48 9
΄
5
45
-
0
΄
3
18 3
΄
6
18
-
0
΄
0
18 4
΄
4
16
-
0
΄
2
18 5
΄
3
15
-
0
΄
3
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
18 6
΄
3
18
-
0
΄
0
48 6
΄
8
48
-
0
΄
0
78 6
΄
1
6
-
1
΄
8
3
18
-
0
0
Μ. Κ. Δ. (18, 48, 72) =6

27. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) (4ος τρόπος)
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 100, 150, 200.
 Αναλύουμε τον κάθε αριθμό σε γινόμενο πρώτων παραγόντων.
Μ. Κ. Δ. (100, 150, 200) = 2 ∙ 52 = 2 ∙ 5 ∙ 5 = 2 ∙ 25 = 50
100 2
50 2
25 5
5 5
1
100 = 2∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 = 22 ∙ 52
150 2
75 3
25 5
5 5
1
100 = 2∙ 3 ∙ 5 ∙ 5 = 2 ∙ 3 ∙ 52
200 2
100 2
50 2
25 5
5 5
1
200 = 2∙ 2 ∙ 2 ∙ 5 ∙ 5 = 23 ∙ 52
 Παίρνουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες από κάθε γινόμενο, με το μικρότερο εκθέτη.

28. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) (4ος τρόπος)
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 27, 36, 54.
 Αναλύουμε τον κάθε αριθμό σε γινόμενο πρώτο παραγόντων.
Μ. Κ. Δ. (27, 36, 54) = 32 = 3 ∙ 3 = 9
27 3
9 3
3 3
1
27 = 3 ∙ 3 ∙ 3 = 33
36 2
18 2
9 3
3 3
1
36 = 2∙ 2 ∙ 3 ∙ 3 = 22 ∙ 32
54 2
27 3
9 3
3 3
1
54 = 2∙ 3 ∙ 3 ∙ 3 = 2 ∙ 33
 Τώρα παίρνουμε μόνο τους κοινούς παράγοντες, από κάθε γινόμενο, με το μικρότερο εκθέτη.
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 30, 42, 48.
30 2
15 3
5 5
1
30 = 2 ∙ 3 ∙ 5
42 2
21 3
7 7
1
42 = 2 ∙ 3 ∙ 7
48 2
24 2
12 2
6 2
3 3
1
48 = 2∙ 2 ∙ 2 ∙ 2 ∙ 3 = 24 ∙ 3
Μ. Κ. Δ.(30, 42, 48) = 2 ∙ 3 = 6

29. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) (5ος τρόπος)
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 12, 48, 60.
 Γράφω οριζόντια τους αριθμούς και δεξιά τους
φέρνω μια κατακόρυφη γραμμή.
12 48 60
 Δεξιά από την κατακόρυφη γραμμή γράφω τον αριθμό 2.
(ή τον πρώτο αριθμό της αριθμογραμμής που διαιρεί όλους τους αριθμούς που έχουν δοθεί)
2
 Διαιρώ τους αριθμούς που έχουν δοθεί με το 2.
6 24 30 2
3 12 15 3
1 4 5
12 2
΄
6
12
-
0
΄
0
48 2
΄
2
4
-
0
΄
8
4
8
-
0
60 2
3
6
-
0 0
0
0
-
0
΄ ΄
΄΄
 Κάτω από τους αριθμούς που έχουν δοθεί, βάζω τα πηλίκα τους με το 2.
 Συνεχίζω την ίδια διαδικασία μέχρι να μην υπάρχει άλλος κοινός διαιρέτης
όλων των αριθμών που προέκυψαν αριστερά της γραμμής.
6 2
΄
3
6
-
0
24 2
1
2
-
0 4
2
4
-
0
30 2
1
2
-
1 0
5
10
-
00
΄ ΄
3 3
΄
1
3
-
0
12 3
΄
4
12
-
0
΄
0
15 3
΄
5
15
-
0
΄
0
 Μ.Κ.Δ. είναι το γινόμενο των αριθμών δεξιά της γραμμής.
Μ. Κ. Δ. (12, 48, 60) = 2 ∙ 2 ∙ 3 = 4 ∙ 3 =12 α

30. Μέγιστος κοινός διαιρέτης (Μ.Κ.Δ.) (5ος τρόπος)
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 39, 52, 65.
Μ. Κ. Δ. (39, 52, 65) = 13
 Γράφω οριζόντια τους αριθμούς και δεξιά τους
φέρνω μια κατακόρυφη γραμμή.
39 52 65
 Δεξιά από την κατακόρυφη γραμμή γράφω τον αριθμό 2 3, ... 13.
(Το 13 είναι ο πρώτος αριθμός της αριθμογραμμής που διαιρεί όλους τους αριθμούς που έχουν δοθεί.)
13
 Διαιρώ τους αριθμούς που έχουν δοθεί με το 13.
 κάτω από τους αριθμούς που έχουν δοθεί, βάζω τα πηλίκα.
3 4 5
 Δεν μπορώ να συνεχίζω την ίδια διαδικασία, αφού δεν υπάρχει άλλος κοινός διαιρέτης
όλων των αριθμών που προέκυψαν αριστερά της γραμμής.
 Μ.Κ.Δ. είναι ο αριθμός δεξιά της γραμμής.
• Να βρεις το Μ.Κ.Δ. των αριθμών 20, 40, 80. 20 40 80 2
10 20 40 2
5 10 20 5
1 5 10
Μ. Κ. Δ. (20, 40, 80) = 2 ∙ 2 ∙ 5 = 4 ∙ 5 =20
ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ