ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2
2.1 ΓΝΗΣΙΑΚΑΙ ΚΑΤΑΧΡΗΣΤΙΚΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
• Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μικρότερο από τον παρονομαστή
λέγονται γνήσια κλάσματα. Αυτά είναι μικρότερα από μία ακέραιη
μονάδα.
2 7
π.χ. < 1, <1
6 10
2
Το κλάσμα μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 6 μέρη
6
και πήραμε τα 2 ,δηλαδή λιγότερα από το σύνολο.
• Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή και παρονομαστή τον ίδιο αριθμό
λέγονται ισοδύναμα με την ακέραιη μονάδα . Αυτά έχουν την ίδια αξία
με την ακέραιη μονάδα.
5 8 12
π.χ. = 1, = 1, =1
5 8 12
5
Το κλάσμα μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 5 μέρη και
5
πήραμε τα 5 ,δηλαδή τα πήραμε όλα άρα ολόκληρη την ακέραιη μονάδα .
• Τα κλάσματα που έχουν αριθμητή μεγαλύτερο από τον παρονομαστή
λέγονται καταχρηστικά κλάσματα. Αυτά είναι μεγαλύτερα από μία
ακέραιη μονάδα.
12 14 9
π.χ. > 1, > 1, >1
8 7 3
12
Το κλάσμα μας δείχνει ότι κόψαμε την ακέραιη μονάδα σε 8 μέρη και πήραμε τα 12 .
8
Αυτό φαινομενικά δε γίνεται γιατί δεν έχουμε 12 ,αλλά μόνο 8 κομμάτια . Η λύση στο
πρόβλημα είναι απλή : αν πάρω 2 ακέραιες μονάδες και τις κόψω σε 8 κομμάτια την
καθεμιά τότε θα έχω 8+8=16 κομμάτια και θα μπορέσω να πάρω 12.
4
2.
2.2 ΑΠΛΑ ΚΑΙΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
• Απλό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται μόνο από αριθμητή και
παρονομαστή.
2 9 8
π.χ. , ,
6 3 8
• Μεικτό ονομάζεται το κλάσμα που αποτελείται από έναν ακέραιο και ένα
κλάσμα .
2 9 8
π.χ. 4 , 5 , 7
6 3 8
2
Το μεικτό κλάσμα μας δείχνει ότι παίρνουμε π.χ. 4 ακέραιες μονάδες και τα
6
μιας ακόμη ακέραιης μονάδας. Δηλαδή χρειαζόμαστε συνολικά 5 ακέραιες μονάδες.
2.3 ΜΕΤΑΤΡΟΠΕΣ ΑΠΟ ΑΠΛΑ ΣΕ ΜΕΙΚΤΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ ΚΑΙ ΤΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟ
1.Για να μετατρέψουμε ένα μεικτό αριθμό σε κλάσμα κάνουμε τα εξής :
3
6
5
• Πολλαπλασιάζουμε τον παρονομαστή με τον ακέραιο: 5 χ 6 = 30
• Προσθέτουμε στο γινόμενο τον αριθμητή: 30 + 3 = 33
• Βάζουμε στη θέση του αριθμητή το άθροισμα και παρονομαστή αφήνουμε
τον ίδιο.
3 33
6 =
5 5
2 (4 x6) + 2 26 2 (5 x3) + 2 17
4 = = 5 = =
6 6 6 3 3 3
2.Για να μετατρέψουμε ένα απλό κλάσμα σε μεικτό κάνουμε τα εξής :
13 3
=2
5 5
• Διαιρούμε τον αριθμητή με τον παρονομαστή : 13 : 5 = 2 και υπόλοιπο 3
• Το πηλίκο της διαίρεσης είναι ο ακέραιος , το υπόλοιπο είναι ο αριθμητής και
παρονομαστής μένει ο ίδιος
13 3 3 υπόλοιπο
= 2
5 5
13:5=2 παρονομαστής ο ίδιος
5
3.
2.4 ΙΣΟΔΥΝΑΜΑ ΚΛΑΣΜΑΤΑ
Δύοκλάσματα λέγονται ισοδύναμα όταν έχουν την ίδια αξία , εκφράζουν δηλαδή το
3 6
ίδιο κομμάτι της ακέραιης μονάδας , π.χ. = . Αν δηλαδή κόψω μια πίτα σε 5
5 10
κομμάτια και πάρω τα 3 ή αν την κόψω σε 10 κομμάτια και πάρω τα 6 τότε θα έχω
πάρει την ίδια ποσότητα και στις δύο περιπτώσεις.
• Για να κατασκευάσω ισοδύναμα κλάσματα αρκεί να πολλαπλασιάσω ή
να διαιρέσω τους όρους του κλάσματος ( αριθμητής και παρονομαστής)
με τον ίδιο αριθμό .
χ2 χ3 χ4 χ5
2 4 6 8 10
= = = =
6 12 18 24 30
Προσοχή !!! πολλαπλασιάζουμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .
:2 :3 :4
24 12 8 6
= = =
60 30 20 15
Προσοχή !!! διαιρούμε το αρχικό κλάσμα όχι το προηγούμενο .
2.5 ΑΠΛΟΠΟΙΗΣΗ ΚΛΑΣΜΑΤΩΝ
Για να απλοποιήσουμε ένα κλάσμα διαιρούμε τον αριθμητή του και τον
παρονομαστή του με τον ίδιο αριθμό .
Όταν οι όροι του κλάσματος δε διαιρούνται πλέον , το κλάσμα
ονομάζεται ανάγωγο.
12 3 διαιρούμε αριθμητή και
παρονομαστή με το 4
32 = 8
Για να γίνει απλοποίηση υπάρχουν δύο τρόποι :
• Διαιρούμε τους όρους του κλάσματος με οποιονδήποτε αριθμό ( συνήθως το 2)
και επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία μέχρι να γίνει το κλάσμα ανάγωγο .
:2 :2 :2
24 12 6 3
= = =
64 32 16 8
6
4.
• Βρίσκουμε το μέγιστο κοινό διαιρέτη ( δηλαδή το μεγαλύτερο αριθμό που
διαιρεί και τους δύο όρους του κλάσματος ) και διαιρούμε απευθείας με
αυτόν .
:8
24 3
=
64 8
Με όποιο τρόπο κι αν κάνουμε την απλοποίηση το αποτέλεσμα θα είναι το
ίδιο .
Αν το κλάσμα είναι καταχρηστικό , το μετατρέπουμε σε μεικτό και
μετά κάνουμε απλοποίηση .
7
