nilai mutlak

1. By Alfiyatu Rahmawatiningrum
Nilai Mutlak
Konsep Nilai
Mutlak
Persamaan
Nilai Mutlak
Satu Variabel
Pertidaksamaan
Nilai Mulak
SatuVariabel

2. Dalam kegiatan pramuka terdapat latihan baris berbaris. Pimpinan regu
memberikan perintah untuk maju 5 langkah, mundur 2 langkah, kemudian
maju 4 langkah.
Berdasarkan peristiwa tersebut, dapat diperoleh konsep nilai mutlak dengan
melihat banyak langkahnya (tanda panah), bukan arahanya. Oleh karena itu
perhitungannya, 5 + −2 + 4 = 5 + 2 + 4 = 11 langkah
Titik
awal
Maju 5 langkah
mundur 2 langkah
Maju 4 langkah

3. Sehingga DEFINISI nilai mutlak dari setiap bilangan real 𝑥 yang
ditulis dengan simbol 𝑥 yaitu,
Simpulan dari kejadian tersebut yaitu,
1. Jarak titik 0 ke titik 𝑎 adalah 𝑎
2. Jarak titik 0 ke titik 𝑏 adalah 𝑏
3. Jarak titik 𝑎 ke titik 𝑏 adalah 𝑎 − 𝑏
𝑥 =
𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

4. Contoh Soal
Tulislah dalam bentuk Definisi fungsi nilai mutlak berikut!
1. 𝑥 − 1
2. 2𝑥 − 6
3. 3𝑥 − 1
Alternatif Penyelesaian:
1. 𝑥 − 1 =
𝑥 − 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 − 1 ≥ 0
− 𝑥 − 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 − 1 < 0
⟺ 𝑥 − 1 =
𝑥 − 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 1
−𝑥 + 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 1
𝑥 =
𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

5. 3. 3𝑥 − 1 =
3𝑥 − 1, 3𝑥 − 1 ≥ 0
− 3𝑥 − 1 , 3𝑥 − 1 < 0
⇔ 3𝑥 − 1 =
3𝑥 − 1, 𝑥 ≥
1
3
−3𝑥 + 1, 𝑥 <
1
3
2. 2𝑥 − 6 =
2𝑥 − 6 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2𝑥 − 6 ≥ 0
− 2𝑥 − 6 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 2𝑥 − 6 < 0
⟺ 2𝑥 − 6 =
2𝑥 − 6 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 3
−2𝑥 + 6 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 3

6. 1. Seorang anak berolahraga dengan cara naik turun tangga. Dari posisi diam,
anak tersebut naik 6 tangga, kemudian turun 8 tangga, di lanjutkan naik 4
tangga, lalu naik 7 tangga, dan akhirnya turun 3 tangga.
Permasalahan:
a. Buatlah Sketsa naik turun anak tersebut! Score: 25
b. Berapa tangga yang dinaikturuni anak tersebut? Score: 20
2. Tulislah dalam bentuk definisi fungsi nilai mutlak!
a. 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 1 Score: 15
b. 𝑓 𝑥 = 2𝑥 + 8 Score: 15
c. 𝑓 𝑥 = 5𝑥 − 2 Score: 15
3. Tentukan nilai mutlak dari 17 + 35 − −18 − 9 Score: 10
Latihan 1.1

7. 6 + −8 + 4 + 7 + −3 = 6 + 8 + 4 + 7 + 3 = 28 𝑙𝑎𝑛𝑔𝑘𝑎ℎ

8. 2. a. 𝑥 − 1 =
𝑥 − 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 − 1 ≥ 0
− 𝑥 − 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 − 1 < 0
⟺ 𝑥 − 1 =
𝑥 − 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ 1
−𝑥 + 1 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < 1
b. 2𝑥 + 8 =
2𝑥 + 8𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘2𝑥 + 8 ≥ 0
− 2𝑥 + 8 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘2𝑥 + 8 < 0
⟺ 2𝑥 + 8 =
2𝑥 + 8𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ −4
−2𝑥 − 8𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −4
c. 5𝑥 − 2 =
5𝑥 − 2𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 5𝑥 − 2 ≥ 0
− 5𝑥 − 2 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘5𝑥 − 2 < 0
⟺ 𝑥 − 1 =
5𝑥 − 2𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥
2
5
−5𝑥 + 2𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 <
2
5

9. 3. 17 + 35 − −18 − 9 = 17 + 35 − −27
= 52 − 27
= 25

10. Hubungan bentuk kuadrat dan
nilai mutlak
Hubungan bentuk kuadrat dan nilai mutlak untuk
setiap bilangan real 𝑥 berlaku,
𝑥 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
𝑦 = 𝑓 𝑥 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
𝑥, 𝑦 −5,5 −4,4 −3,3 −2,2 −1,1 0,0 1,1 2,2 3,3 4,4 5,5

11. 𝒙 −𝟓 −𝟒 −𝟑 −𝟐 −𝟏 0 1 2 3 4 5
𝑥2 25 16 9 4 1 0 1 4 9 16 25
𝑥2 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
𝑥 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5
Berdasarkan definisi dan gambar grafik diatas dapat disimpulkan bahwa nilai
𝑥 pada dasarnya menyatakan besar simpangan dari titik 𝑥 = 0
Berdasarkan tabel di atas dapat disimpulkan bahwa 𝑥 = 𝑥2

12. Sifat Operasi Nilai Mutlak untuk setiap 𝑥, 𝑦 bilangan
real berlaku,
1. 𝑥 = −𝑥
2. 𝑥 2 = 𝑥2 = 𝑥2
3. 𝑥𝑦 = 𝑥 𝑦
4.
𝑥
𝑦
=
𝑥
𝑦
, untuk 𝑦 ≠ 0
5. 𝑥 − 𝑦 = 𝑦 − 𝑥
Sifat Operasi Nilai Mutlak

13. Sifat 1.1
Untuk setiap a, b,c, dan 𝑥 bilangan real dengan 𝑎 ≠ 0
1. Jika 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 dengan 𝑐 ≥ 0, maka salah satu sifat
berikut ini berlaku:
i. 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐, untuk 𝑥 ≥ −
𝑏
𝑎
ii. − 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐, untuk 𝑥 < −
𝑏
𝑎
2. Jika 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐 dengan 𝑐 < 0, maka tidak ada bilangan
real 𝑥 yang memenuhi persamaan 𝑎𝑥 + 𝑏 = 𝑐
1. Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak Linear Satu Variabel
Menggunakan Definisi Nilai Mutlak

14. Contoh Masalah 1.1
1. 3𝑥 + 6 = 12
Penyelesaian:
3𝑥 + 6 =
3𝑥 + 6 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ −
6
3
− 3𝑥 + 6 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < −
6
3
Untuk 𝑥 ≥ −2 ⇔ 3𝑥 + 6 = 12
⇔ 3𝑥 = 12 − 6
⇔ 𝑥 = 2
Untuk 𝑥 < −2 ⇔ −3x − 6 = 12
⇔ −3𝑥 = 18
⇔ 𝑥 = −6

15. 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari persamaan 𝑥 + 2 + 2𝑥 − 1 =
14!
Alternatif Penyelesaian:
𝑥 + 2 =
𝑥 + 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ −2
−𝑥 − 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −2 … (𝑖)
dan
2𝑥 − 1 =
2𝑥 − 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥
1
2
−2𝑥 + 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 <
1
2
… (𝑖𝑖)

16. Bentuk (i) dan (ii) dapat disederhanakan menjadi
𝑥 + 2 =
𝑥 + 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ −2
−𝑥 − 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −2
=
𝑥 + 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥
1
2
𝑥 + 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − 2 ≤ 𝑥 <
1
2
−𝑥 − 2, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −2
2𝑥 − 1 =
2𝑥 − 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥
1
2
−2𝑥 + 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 <
1
2
=
2𝑥 − 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥
1
2
−2𝑥 + 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − 2 ≤ 𝑥 <
1
2

17. Sehingga untuk menyelesaikan persamaan 𝑥 + 2 + 2𝑥 − 1 = 14, ada
tiga kemungkinan syarat 𝑥, yaitu 𝑥 ≥
1
2
, −2 ≤ 𝑥 <
1
2
, atau 𝑥 < −2.
a. Untuk 𝑥 < −2.
−𝑥 − 2 + −2𝑥 + 1 = 14
⇔ −3𝑥 − 1 = 14
⟺ −3𝑥 = 15
⟺ 𝑥 = −5
Memenuhi karena 𝑥 = −5 berada pada domain 𝑥 < −2
b. Untuk −2 ≤ 𝑥 <
1
2
𝑥 + 2 + −2𝑥 + 1 = 14
⇔ −𝑥 + 3 = 14
⟺ −𝑥 = 11
⟺ 𝑥 = −11
Tidak memenuhi karena 𝑥 = −11 tidak berada pada domain −2 ≤ 𝑥 <
1
2
.

18. c. Untuk 𝑥 ≥
1
2
𝑥 + 2 + 2𝑥 − 1 = 14
⟺ 3𝑥 + 1 = 14
⟺ 3𝑥 = 13
⟺ 𝑥 =
13
3
Memenuhi karena 𝑥 =
13
3
berada pada domain 𝑥 ≥
1
2
Jadi, himpunan penyelesaiannya adalah −5,
13
3

19. Contoh Masalah 1.2
Sungai pada keadaan tertentu mempunyai sifat cepat meluap di
musim hujan dan cepat kering di musim kemarau. Diketahui debit
air sungai tersebut adalah 𝑝 liter/detik pada cuaca normal dan
mengalami perubahan debit sebesar 𝑞 liter/detik di cuaca tidak
normal. Tunjukkan nilai penurunan minimum dan peningkatan
maksimum debit air sungai tersebut.

20. Alternatif Penyelesaian:
Nilai Mutlak peningkatan dan penurunan debit air tersebut dengan
perubahan 𝑞 liter/detik dapat ditunjukkan dengan persamaan 𝑥 − 𝑝 = 𝑞,
𝑥 adalah debit air sungai.
Dengan Definisi nilai mutlak, maka diperoleh 𝑥 =
𝑥 − 𝑝, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 𝑝
−𝑥 + 𝑝, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 𝑝
Akibatnya, 𝑥 − 𝑝 = 𝑞 berubah menjadi
a. Untuk 𝑥 ≥ 𝑝, 𝑥 − 𝑝 = 𝑞 atau 𝑥 = 𝑝 + 𝑞
Hal ini berarti peningkatan maksimum debit air sungai adalah 𝑝 + 𝑞
b. Untuk 𝑥 < 𝑝, −𝑥 + 𝑝 = 𝑞 atau 𝑥 = 𝑝 − 𝑞
Hal ini berarti penurunan minimum debit air adalah 𝑝 − 𝑞

21. 2. Menyelesaikan Persamaan Nilai Mutlak
Linear Satu Variabel Menggunakan sifat 𝒙 =
𝒙𝟐
Contoh:
Tentukan nilai 𝑥 yang memenuhi 𝑥 + 7 = 2
Alternatif Penyelesaian:
𝑥 + 7 = 2
𝑥 + 7 2 = 2

22. Tentukan himpunan penyelesaian dari 3𝑥 + 4 = 𝑥 − 2
Alternatif Penyelesaian:
3𝑥 + 4 = 𝑥 − 2
3𝑥 + 4 2 = 𝑥 − 2 2

24. 1. Menggunakan Definisi Nilai Mutlak
𝑥 =
𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0
−𝑥, 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0
Untuk setiap 𝑎, 𝑥 bilangan riil berlaku sifat-sifat nilai mutlak sebagai
berikut.
a. Jika a ≥ 0 dan 𝑥 ≤ 𝑎, nilai −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎.
b. Jika 𝑎 < 0 dan 𝑥 ≤ 𝑎, tidak ada bilangan riil 𝑥 yang memenuhi
pertidaksamaan.
c. jika 𝑥 ≥ 𝑎 dan 𝑎 > 0, nilai 𝑥 ≥ 𝑎 atau 𝑥 ≤ −𝑎

25. 1. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 3𝑥 − 5 > 4
Altenatif Penyelesaian:
Contoh
a. Jika a ≥ 0 dan 𝑥 ≤ 𝑎, nilai −𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑎.
b. Jika 𝑎 < 0 dan 𝑥 ≤ 𝑎, tidak ada bilangan
riil 𝑥 yang memenuhi pertidaksamaan.
c. jika 𝑥 ≥ 𝑎 dan 𝑎 > 0, nilai 𝑥 ≥ 𝑎 atau
𝑥 ≤ −𝑎

26. Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan 2𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 5
Alternatif Penyelesaian:
2𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 5 ⇔ 2𝑥 − 1 − 𝑥 + 5 ≤ 0
2𝑥 − 1 =
2𝑥 − 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥
1
2
−2𝑥 + 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 <
1
2
… (𝑖𝑖)
dan
𝑥 + 5 =
𝑥 + 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ −5
−𝑥 − 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −5 … (𝑖)

27. Bentuk (i) dan (ii) dapat disederhanakan menjadi
2𝑥 − 1 =
2𝑥 − 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥
1
2
−2𝑥 + 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 <
1
2
=
2𝑥 − 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥
1
2
−2𝑥 + 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − 5 ≤ 𝑥 <
1
2
−2𝑥 + 1, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −5
𝑥 + 5 =
𝑥 + 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥ −5
−𝑥 − 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −5
=
𝑥 + 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 ≥
1
2
𝑥 + 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 − 5 ≤ 𝑥 <
1
2
−𝑥 − 5, 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑥 < −5

28. Sehingga untuk menyelesaikan persamaan 2𝑥 − 1 ≤ 𝑥 + 5 ⇔ 2𝑥 − 1 −
𝑥 + 5 ≤ 0 ada tiga kemungkinan syarat 𝑥, yaitu 𝑥 ≥
1
2
, −5 ≤ 𝑥 <
1
2
, atau 𝑥 <
− 5.
a. Untuk 𝑥 ≥
1
2
2𝑥 − 1 − (𝑥 + 5) ≤ 0
⇔ 𝑥 − 6 ≤ 0
⟺ 𝑥 ≤ 6
Diperoleh penyelesaian
1
2
≤ 𝑥 ≤ 6
b. Untuk −5 ≤ 𝑥 <
1
2
−2𝑥 + 1 − 𝑥 + 5 ≤ 0
−3𝑥 − 4 ≤ 0
−3𝑥 ≤ 4
𝑥 ≤ −
4
3
Diperoleh penyelesaian−
4
3
≤ 𝑥 <
1
2

29. c. Untuk 𝑥 < 5.
−2𝑥 + 1 − (−𝑥 − 5) ≤ 0
⇔ −𝑥 + 6 ≤ 0
⟺ −𝑥 ≤ −6
⟺ 𝑥 ≥ 6
Tidak ada nilai x yang memenuhi
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah
𝑥 −
4
3
≤ 𝑥 ≤ 6