Dokumen tersebut membahas tentang bilangan acak dan teknik pembangkitan bilangan acak seperti Middle Square dan Linear Congruential Generator. Bilangan acak memiliki sifat tidak dapat diprediksi namun tidak sembarangan, dan digunakan dalam simulasi dan kriptografi.

1. Bilangan Acak
Pertemuan-04 Simulasi dan
Pemodelan Sistem

2. Pengertian Bilangan Acak
• Bilangan acak adalah bilangan sembarang tetapi
tidak sembarangan.
• Bilangan acak: bilangan yang tidak dapat diprediksi
• Bilangan acak (random) banyak digunakan di dalam
kriptografi
• Tidak ada komputasi yang benar-benar menghasilkan
deret bilangan acak secara sempurna.
• Bilangan acak yang dihasilkan dengan rumus-rumus
matematika adalah bilangan acak semu (pseudo),
karena pembangkitan bilangannya dapat diulang
kembali.

3. Kriteria Bilangan Acak
• Bilangan acak harus mempunyai distribusi
serba sama (uniform)
Beberapa bilangan acak yang diambil harus
mempunyai peluang terambil sama besar.
• Masing-masing bilangan acak tidak saling
tergantung atau independence
• Bilangan acak ini disimbolkan dengan U, dan
nilainya dari 0 sampai dengan 1, maka
dinyatakan dalam U(0,1).

4. BILANGAN ACAK (1)
Caranya membangkitkan bilangan acak :
• Melempar dadu, memutar roda roulette, atau
mengocok kartu undian (zaman dahulu)
• Menggunakan seed komputer secara numerik untuk
memperoleh Pseudo Random Number (zaman
modern)

5. BILANGAN ACAK (2)
Syarat Random Number Generator (RNG) :
• Berdistribusi Uniform (0,1)  goodness of fit
• Randomness, tidak ada korelasi
• Long cycle, deretan bilangan yang dibangkitkan tidak
segera berulang
• Repeatability, dapat digunakan berulang-ulang dan
diperoleh bilangan yang berbeda tiap membangkitkan
• Algoritma yang cepat dan storage tidak besar
• Konektivitas yang mudah antar software yang berbeda

6. Teknik Random Number Generator
• Middle Square (MS)
• Linear Congruential Generator (LCG)

7. MIDDLE SQUARE (MS)
• Metode ini digunakan untuk membangkitkan
bilangan random sepanjang n digit.
• Untuk membangkitkan bilangan berikutnya,
bilangan yang sekarang dikuadratkan,
kemudian dari hasil kuadrat tersebut diambil n
digit yang terletak di tengah.
• Kelemahan cara ini adalah jika mencapai
bilangan 0, bilangan-bilangan berikutnya akan
terus 0.

8. MIDDLE SQUARE (MS)
ALGORITMA :
1. Diberikan 6 digit integer yang positif (Z0)
2. Kuadratkan Z0 untuk memperoleh 12 digit
integer (Ui), i=0,1,2,…
3. Ambillah 6 digit Ui dari tengah sebagai 6 digits
integer positif selanjutnya (Zj), j=1,2,3,…
4. Bagi Zj sehingga diperoleh bilangan kurang
dari 1 dan berdistribusi Uniform (0,1).
5. Ulangi langkah 2 dengan input dari Zj

9. Contoh perhitungan dengan
menggunakan teknik Middle Square

10. LINEAR CONGRUENTIAL
GENERATOR (LCG)
FORMULA :
• Panjang kerandoman m, yaitu dari 0 s/d m-1
• xn akan bernilai antara 0 s/d m-1, sehingga untuk
membangkitkan bilangan random antara 0 dan 1,
maka digunakan formulasi un = xn/m
• Jika c = 0 maka dinamakan sebagai Multiplicative
LCG (atau MLCG)
1( ) modn nx ax c m

11. a : konstanta pengali ( a < m )
c : konstanta pergeseran ( c < m )
m: konstanta modulus ( > 0 )
X0: bilangan awal ( bilangan bulat ≥ 0 , X0 < m )
Ui: bilangan acak ke i dan Ui(0,1) = Xi / m

12. Contoh perhitungan LCG
i Zi m a c Zi+1 Ui
0 7 16 5 3 6 0.3750
1 6 16 5 3 1 0.0625
2 1 16 5 3 8 0.5000
3 8 16 5 3 11 0.6875
4 11 16 5 3 10 0.6250
5 10 16 5 3 5 0.3125
6 5 16 5 3 12 0.7500
7 12 16 5 3 15 0.9375
8 15 16 5 3 14 0.8750
9 14 16 5 3 9 0.5625
10 9 16 5 3 0 0.0000
11 0 16 5 3 3 0.1875
12 3 16 5 3 2 0.1250
13 2 16 5 3 13 0.8125
14 13 16 5 3 4 0.2500
15 4 16 5 3 7 0.4375
16 7 16 5 3 6 0.3750

13. • Kita lihat pada tabel , U17 mempunyai nilai
yang sama dengan U1. Jika kita menginginkan
bilangan acak dalam jumlah yang banyak,
maka nilai m hendaknya sebesar 2b dengan b
adalah jumlah bit pada komputer yang akan
digunakan.

14. • LCG mempunyai periode tidak lebih besar dari m,
dan pada kebanyakan kasus periodenya kurang
dari itu.
• LCG mempunyai periode penuh (m–1) jika
memenuhi syarat berikut:
1. c relatif prima terhadap m.
2. a – 1 dapat dibagi dengan semua faktor prima dari m
3. a – 1 adalah kelipatan 4 jika m adalah kelipatan 4
4. m > maks(a, c, x0)
5. a > 0, c > 0

15. Latihan Soal
1. Jika x0=5 dan xn=3xn-1 mod 150, tentukan nilai
dari x1, x2, …, x10
2. Jika x0=3 dan xn=(5xn-1+7)mod 200, tentukan
nilai dari x1, x2, …, x10
3. Jika diketahui suatu komputer berkapasitas
12 bit, dengan x0=129 dan a=67, tentukan
nilai dari x1, x2, …, x5. Jika diketahui Ui=xn/m,
tentukan pula nilai dari U1, U2, …, U5

16. VARIABEL ACAK DAN FUNGSI
DISTRIBUSI PROBABILITAS
• Variabel acak (random variable):
variabel yang nilainya ditentukan oleh hasil sebuah eksperimen.
Yaitu, variabel acak merepresentasikan hasil yang tidak pasti.
• Variabel acak diskrit:
variabel acak yang nilainya dapat dicacah (dihitung).
Contoh:
- Banyak pembeli yang memasuki sebuah toko.
- Banyak televisi yang terjual pada periode tertentu.
• Variabel acak kontinu:
Variabel acak yang nilainya tidak dapat dicacah.
Contoh:
- Perpanjangan pegas jika ditarik.
- Berat segenggam strawberry.

17. • Bilangan Acak yang akan dipergunakan dalam
simulasi, harus mempunyai pola yang sama
dengan pola data pengamatan
• Oleh karena itu, maka dari bilangan acak yang
didapat harus dibangkitkan bilangan acak yang
sesuai pola distribusi