Arsip Metode numerik kuliah USN kolaka

2. Jangan selalu melihat ke belakang karena disana ada masa
lalumu yang menghantuimu.
Jangan selalu melihat ke depan karena terkadang ada
masa depan yang membuatmu gelisah
Namun lihatlah ke atas karena disana ada Alloh yang
membuatmu bahagia……..
(Kutipan kata Prof Quraish Shihab)

3.  Interpolasi adalah metode yang digunakan untuk
menentukan atau memperkirakan suatu nilai yang
berada pada range data yang ada.
Contoh : X = 0, 2, 4, 6, 8, 10
Y = 12, 15,17, 30, 49
Untuk menentukan nilai Y pada X = 7,5 maka
dilakukan interpolasi.
 Ekstrapolasi adalah suatu metode yang digunakan
untuk menentukan atau memperkirakan suatu nilai
yang berada diluar interval atau dua titik yang segaris
Contoh: X = 0, 2, 4, 6, 8, 10
Y = 12, 15,17, 30, 49
Untuk menentukan nilai Y pada X = 15 maka
dilakukan ekstrapolasi.

4.  Interpolasi adalah metode yang digunakan untuk
menentukan atau memperkirakan suatu nilai yang
berada pada range data yang ada.
Contoh : X = 0, 2, 4, 6, 8, 10
Y = 12, 15,17, 30, 49
Untuk menentukan nilai Y pada X = 7,5 maka
dilakukan interpolasi.
 Ekstrapolasi adalah suatu metode yang digunakan
untuk menentukan atau memperkirakan suatu nilai
yang berada diluar interval atau dua titik yang segaris
Contoh: X = 0, 2, 4, 6, 8, 10
Y = 12, 15,17, 30, 49
Untuk menentukan nilai Y pada X = 15 maka
dilakukan ekstrapolasi.

6. DATA AWAL

7. DATA AWAL DAN DATA INTERPOLASI
Data Awal
Data Hasil Interpolasi

8. Hasil Interpolasi
Data Hasil Interpolasi

9. Data Awal vs Data Ekstrapolasi
Data Awal
Data Ekstrapolasi

10. 1. INTERPOLASI LINEAR
Data dalam bentuk tabel tidak begitu bervariasi,
sehingga memungkinkan untuk dilakukan pendekatan
dengan menggunakan sebuah garis lurus di antara
dua titik yang berdekatan
Titik Data

12. x
a
a
x
p 1
0
1 )
( 

1
1
0
1
0
1
0
0
x
a
a
y
x
a
a
y




0
1
1
0
0
1
0
0
1
0
1
1
x
x
y
x
y
x
a
x
x
y
y
a






0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
)
(
)
(
x
x
x
y
y
x
x
y
x
y
x
x
p






Polinom yang menginterpolasi 2 titik :
Didapat 2 persamaan sbb :
Dengan proses eliminasi didapatkan :
Sehingga persamaan mjd :
Dengan sedikit manipulasi aljabar didapat :
)
(
)
(
)
( 0
0
1
0
1
0
1 x
x
x
x
y
y
y
x
p 





13. )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
x
x
x
x
y
y
y
x
p
x
x
xy
xy
x
x
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
p
x
x
x
y
y
x
x
y
x
y
x
x
p




















)
(
)
(
)
( 0
0
1
0
1
0
1 x
x
x
x
y
y
y
x
p 




Sehingga, persamaan untuk interpolasi linier:

14. )
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
0
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
0
1
1
0
0
1
1
x
x
x
x
y
y
y
x
p
x
x
xy
xy
x
x
y
x
y
x
x
x
x
x
y
x
p
x
x
x
y
y
x
x
y
x
y
x
x
p




















)
(
)
(
)
( 0
0
1
0
1
0
1 x
x
x
x
y
y
y
x
p 




Sehingga, persamaan untuk interpolasi linier:

15. x0 x1
x
f(x)
L(x)
Interpolasi Linier

16. CONTOH :
• Jarak yang dibutuhkan sebuah kendaraan untuk berhenti adalah
fungsi kecepatan. Data percobaan berikut ini menunjukkan
hubungan antara kecepatan dan jarak yang dibutuhkan untuk
menghentikan kendaraan.
• Perkirakan jarak henti yang dibutuhkan bagi sebuah kenderaan
yang melaju dengan kecepatan 45 mil/jam.

17. CONTOH :
• maka untuk mencari nilai x=45 maka,
feet
f
f
x
x
x
x
x
f
x
f
x
f
x
f
5
.
77
5
.
12
65
5
10
25
65
)
45
(
)
40
45
(
40
50
65
90
65
)
45
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
( 0
0
1
0
1
0
















18. CONTOH (2) :
Diketahui data sebagai berikut :
Tentukan harga y pada x = 6,5 !
Jawab : x = 6,5 terletak antara x=6 & x=7
)
( 1
1
k
k
k
k
k
k y
y
x
x
x
x
y
y 



 

5
,
42
)
36
49
(
)
6
7
(
)
6
5
,
6
(
36 





y
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49
Hasilnya

19. Alternatif 2 :
x = 6,5 terletak antara x=1 & x=7
)
( 1
1
k
k
k
k
k
k y
y
x
x
x
x
y
y 



 

45
)
48
(
)
6
(
)
5
,
5
(
1
)
1
49
(
)
1
7
(
)
1
5
,
6
(
1 







y
Hasilnya

20. •Bandingkan hasil kedua jawaban tersebut !!
•Mana yang mendekati jawaban yang
sesungguhnya ..??
•Karena hub. x & y adalah y = x2 maka untuk
harga x = 6,5 didapat y = (6,5)2 = 42,25
=> Kesalahan mutlak (E) : |42,5 – 42,25| =
0,25
x -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7
y 9 4 1 0 1 4 9 16 25 36 49

21. Kesalahan mutlak (E), untuk :
y = 42,5  |42,5 – 42,25| = 0,25 = 25
Sedangkan untuk
y = 45  |45 – 42,25| = 3,25 = 325 %

22. CONTOH 3 :
DIKETAHUI TABEL AKAR BILANGAN SBB :
Tentukan akar dari 2,155
(2,155)1/2 = 1,46629 + (0,005/0,010) (1,46969 – 1,46629)
= 1,46629 + 0,00170
(2,155)1/2 = 1,46799
Kesalahan mutlaknya |1,4679918 -1,46799| = 0,0000018
• Tentukan akar dari 2,153 dan Kesalahan mutlaknya !
N …. 2,14 2,15 2,16 ….
N1/2 …. 1,46287 1,46629 1,46969 ….

23. F(x) = ax2 + bx + c

24. • Banyak kasus, penggunaan interpolasi linier tidak
memuaskan karena fungsi yang diinterpolasi berbeda
cukup besar dari fungsi linier
• Untuk itu digunakan polinomial lain yg berderajat
dua (interpolasi kuadrat) atau lebih mendekati
fungsinya
• Caranya :
- Pilih 3 titik & buat polinomial berderajat dua melalui
ke - 3 titik tsb., shg dpt dicari harga fgs. pada x = x*
- Pemilihan ke-3 ttk tsb., dapat :
- xk-1 < xk < xk+1 atau
- xk-1 < x* < xk < xk+1

25. x0 x1
x
f(x)
x2
h h
L(x)

26. Persamaan umum Polinomial kuadrat :
P(x) = a0 + a1 x + a2 x2 …..(*)
3 titik (xk-1,yk-1), (xk,yk) & (xk+1,yk+1) dilalui fgs. P(x) berarti:
yk-1 = a0 + a1 xk-1 + a2 xk-1
2
yk = a0 + a1 xk + a2 xk
2 …………………………. (**)
yk+1 = a0 + a1 xk+1+ a2 xk+1
2
=> Akan diperoleh dari 3 pers. yaitu a0, a1 dan a2 kemudian
subst. ke (*) & diperoleh pers. kuadrat, shg dapat dicari
nilai fgs. untuk x = x* yaitu P(x*) = a0 + a1 x* + a2 x*2
=> Sistim pers. non homogen (**) memp. solusi dan
solusinya unik (tunggal)

27. • Titik-titik data (x0,y0) (x1,y1) (x2,y2)
• Hitung a0, a1 dan a2 dari sistem persamaan
tersebut dengan Metode Eliminasi Gauss ?
2
2
2
2
2
1
1
0
2
1
2
1
1
0
1
0
2
0
1
0
0
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
a
y
x
a
x
a
a
y









Tugas: Buat Ringkasan dan contoh solusi numerik persamaan–persamaan
linear
*Ketik komputer, buat ppt dan perkelompok (5 org per kelompok),
presentase

28. Diberikan titik ln(8) = 2.0794, ln(9) = 2.1972, ln(9.5) =
2.2513. Tentukan nilai ln(9.2) dengan interpolasi kuadrat
Sistem Pers Linier yang terbentuk.
64 a2 + 8 a1 + a0 = 2.0794
81 a2 + 9 a1 + a0 = 2.1972
90.25 a2 + 9.5 a1 + a0 = 2.2513
Tentukan a0, a1, dan a3 serta persamaan polinom
kuadratnya
Kerjakan di rumah sebagai tugas!!!!

29. Solusi Numerik untuk persamaan-
persamaan linier:
a. Metode Langsung
1. Eliminasi Gauss
2. Eliminasi Gauss-Jordan
3. Dekomposisi
4. Sistim Tridiagonal

30. b. Metode Tak Langsung (Iterasi)
1. Metode Jacobi
2. Metode Gauss-Seidel
3. Metode Newton-Raphson
4. Successive over Relaxation
Metode tak langsung biasanya memerlukan
waktu yang sangat lama.

31. b. Metode Tak Langsung (Iterasi)
1. Metode Jacobi
2. Metode Gauss-Seidel
3. Metode Newton-Raphson
4. Successive over Relaxation
Metode tak langsung biasanya memerlukan
waktu yang sangat lama.

32. • Interpolasi Lagrange adalah salah satu formula untuk
interpolasi berselang tidak sama selain formula interpolasi
Newton umum & metoda Aitken. Walaupun demikian
dapat digunakan pula untuk interpolasi berselang sama.
• Misalkan fungsi y(x) kontinu & diferensiabel sampai turunan
(n+1) dalam interval buka (a,b). Diberikan (n+1) titik (x0,y0),
(x1,y1), …, (xn,yn) dengan nilai x tidak perlu berjarak sama
dengan yang lainnya, dan akan dicari suatu polinom
berderajat n. Untuk pemakaian praktis, formula interpolasi
Lagrange dapat dinyatakan sbb. :

33. Jika y(x) : nilai yang diinterpolasi; x : nilai yg berkorespondensi dg y(x)
x0, x1, …., xn : nilai x dan y0, y1, …., yn : nilai y







 0
0
2
0
1
0
2
1
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
)
( y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
y
n
n







1
1
2
1
0
1
2
0
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
n
n
n
n
n
n
n
n
y
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
)
)...(
)(
(
)
)...(
)(
(
.
.
1
1
0
1
1
0









34. Nilai yg. berkorespondensi dengan y = 10log x adalah :
Carilah 10log 301 ?
Untuk menghitung y(x) = 10log 301 dimana x = 301, maka nilai diatas
menjadi
X 300 304 305 307
10log x 2,4771 2,4829 2,4843 2,4871
x0 = 300 x1 = 304 x2 = 305 x3 = 307
y0 = 2,4771 y1 = 2,4829 y2 = 2,4843 y3 = 2,4871

35. 






 4771
,
2
)
307
300
)(
305
300
)(
304
300
(
)
307
301
)(
305
301
)(
304
301
(
)
(x
y







4829
,
2
)
307
304
)(
305
304
)(
300
304
(
)
307
301
)(
305
301
)(
300
301
(







4843
,
2
)
307
305
)(
304
305
)(
300
305
(
)
307
301
)(
304
301
)(
300
301
(
4871
,
2
)
305
307
)(
304
307
)(
301
307
(
)
305
301
)(
304
301
)(
300
301
(






7106
,
0
4717
,
4
9658
,
4
2739
,
1 



4786
,
2
)
( 
x
y

36. POLINOM NEWTON
• Polinom Lagrange kurang disukai dalam praktek
karena :
• Jumlah komputasi yang dibutuhkan untuk satu
kali interpolasi adalah besar. Interpolasi untuk
nilai x yang lain memerlukan jumlah komputasi
yang sama karena tidak ada bagian komputasi
sebelumnya yang dapat digunakan.
• Bila jumlah titik data meningkat atau menurun,
hasil komputasi sebelumnya tidak dapat
digunakan. Karena tidak ada hubungannya
antara pn-1(x) dan pn(x) pada polinom Lagrange
• Polinom yang dibentuk sebelumnya dapat
digunakan untuk membentuk polinom derajat
yang lebih tinggi.

37. POLINOM NEWTON
• Persamaan Polinom Linier
• Bentuk pers ini dapat ditulis :
• Yang dalam hal ini (1)
• Dan (2)
• Pers ini mrpk bentuk selish terbagi (divided-difference)
)
(
)
(
)
(
)
( 0
0
1
0
1
0
1 x
x
x
x
y
y
y
x
p 




)
(
)
( 0
1
0
1 x
x
a
a
x
p 


)
( 0
0
0 x
f
y
a 

)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
0
1
0
1
0
1
1
x
x
x
f
x
f
x
x
y
y
a






]
,
[ 0
1
1 x
x
f
a 

38. • Polinom kuadratik
• Atau
• Dari pers ini menunjukkan bahwa p2(x) dapat dibentuk dari pers
sebelumnya p1(x). Nilai a2 dapat ditemukan dengan mengganti x=x2
untuk mendapatkan (3)
• Nilai a0 dan a1 pada pers 1 dan 2 dimasukkan pada pers 3
)
)(
(
)
(
)
( 1
0
2
0
1
0
2 x
x
x
x
a
x
x
a
a
x
p 





)
)(
(
)
(
)
( 1
0
2
1
2 x
x
x
x
a
x
p
x
p 



)
)(
(
)
(
)
(
1
2
0
2
0
2
1
0
2
2
x
x
x
x
x
x
a
a
x
f
a






1
2
0
1
0
1
0
2
0
2
2
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
a







POLINOM NEWTON

39. POLINOM NEWTON
• Dengan melakukan utak-atik aljabar, pers ini
lebih disukai
0
2
0
1
1
2
0
2
0
1
0
1
1
2
0
2
2
]
,
[
]
,
[
)
(
)
(
)
(
)
(
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
x
x
f
x
f
x
x
x
f
x
f
a











40. POLINOM NEWTON
• Jadi tahapan pembentukan polinom Newton :
)
(
)
(
)
( 0
1
0
1 x
x
a
x
p
x
p 


)
(
)
( 0
1
0
1 x
x
a
a
x
p 


)
)(
(
)
(
)
( 1
0
2
0
1
0
2 x
x
x
x
a
x
x
a
a
x
p 





)
)(
(
)
(
)
( 1
0
2
1
2 x
x
x
x
a
x
p
x
p 



)
)(
)(
(
)
(
)
( 2
1
0
3
2
3 x
x
x
x
x
x
a
x
p
x
p 




)
)(
)(
(
)
)(
(
)
(
)
( 2
1
0
3
1
0
2
0
1
0
3 x
x
x
x
x
x
a
x
x
x
x
a
x
x
a
a
x
p 










41. POLINOM NEWTON
• Nilai konstanta a0, a1, a2,…, an, merupakan nilai selisih terbagi dengan
nilai
• Yang dalam hal ini
]
,
,...,
,
[
]
,
,
[
]
,
[
)
(
0
1
1
0
1
2
2
0
1
1
0
0
x
x
x
x
f
a
x
x
x
f
a
x
x
f
a
x
f
a
n
n
n 




0
0
1
2
1
1
1
0
1
1
)
,
,...,
,
[
]
,...,
,
[
]
,
,...,
,
[
]
,
[
]
,
[
]
,
,
[
)
(
)
(
]
,
[
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
f
n
n
n
n
n
n
n
k
i
k
j
j
i
k
j
i
j
i
j
i
j
i














42. POLINOM NEWTON
Karena a0, a1,a2, …an, merupakan nilai selisih terbagi,
maka polinom newton dinamakan polinom
interpolasi selisih terbagi newton. Nilai selisih terbagi
dapat dihitung dengan menggunakan tabel yng
disebut tabel selisih terbagi.

43. POLINOM NEWTON
• Dengan demikian polinom Newton dapat ditulis
dalam hub rekursif sebagai :
• Rekurens
• basis
• Atau dalam bentuk polinom yang lengkap sbb :
]
,
,...,
,
[
)
)...(
)(
(
)
(
)
( 0
1
1
1
1
0
1 x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
p
x
p n
n
n
n
n 

 




)
(
)
( 0
0 x
f
x
p 
]
,
,...,
,
[
)
)...(
)(
(
]
,
,
[
)
)(
(
]
,
[
)
(
)
(
)
(
0
1
1
1
1
0
0
1
2
1
0
0
1
0
0
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
x
x
x
f
x
x
x
f
x
p
n
n
n
n













44. CONTOH SOAL :
• Bentuklah polinom Newton derajat satu, dua, tiga dan
empat yang menghampiri f(x)=cos(x) dalam range[0.0,
4] dan jarak antar titik adalah 1.0. Lalu taksirlah f(x)
dengan x=2.5 dengan Polinom Newton derajat 3.
xi yi ST-1 ST-2 ST-3 ST-4
0.0 1 -0.4597 -0.2484 0.1466 -0.0147
1.0 0.5403 -0.9564 0.1913 0.0880
2.0 -0.4161 -0.5739 0.4551
3.0 -0.99 0.3363
4.0 -0.6536

45. CONTOH SOAL :
• Contoh cara menghitung nilai selisih terbagi pada
tabel :
2484
.
0
0
2
4597
.
0
9564
.
0
)
(
]
,
[
]
,
[
]
,
,
[
9564
.
0
1
2
5403
.
0
4161
.
0
)
(
)
(
)
(
]
,
[
4597
.
0
0
1
1
5403
.
0
)
(
)
(
)
(
]
,
[
0
2
0
1
1
2
0
1
2
1
2
1
2
1
2
0
1
0
1
0
1


























x
x
x
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
f
x
x
x
f
x
f
x
x
f

46. CONTOH SOAL :
• Maka polinom Newton derajat 1,2 dan 3 dengan x0 =
0 sebagai titik pertama :
• Nilai sejati f(2.5) adalah
• F(2.5) = cos(2.5)=-0.8011
)
0
.
3
)(
0
.
2
)(
0
.
1
)(
0
.
0
(
0147
.
0
)
0
.
2
)(
0
.
1
)(
0
.
0
(
1466
.
0
)
0
.
1
)(
0
.
0
(
2484
.
0
)
0
.
0
(
4597
.
0
0
.
1
)
(
)
cos(
)
0
.
2
)(
0
.
1
)(
0
.
0
(
1466
.
0
)
0
.
1
)(
0
.
0
(
2484
.
0
)
0
.
0
(
4597
.
0
0
.
1
)
(
)
cos(
)
0
.
1
)(
0
.
0
(
2484
.
0
)
0
.
0
(
4597
.
0
0
.
1
)
(
)
cos(
)
0
.
0
(
4597
.
0
0
.
1
)
(
)
cos(
4
3
2
1






































x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
x
p
x
x
x
x
x
x
x
x
p
x
x
x
x
x
p
x
x
x
p
x