Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang definisi vektor dan operasi-operasi dasar vektor seperti penjumlahan vektor, pengurangan vektor, modulus vektor, dan pembagian ruas garis. Diberikan pula contoh-contoh soal untuk mempraktikkan konsep-konsep tersebut. Ringkasan utamanya adalah definisi vektor sebagai besaran yang memiliki besar dan arah, serta cara merepresentasikan vektor secara geometris, aljabar

1. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
DEFINISI
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar/nilai dan arah.
Secara geometris vektor digambarkan sebagai ruas garis berarah, dengan panjang ruas garis
menyatakan besar vektor dan arah ruas garis menyatakan arah vektor .
B
Contoh : Vektor AB .
A
Titik A disebut titik pangkal dan titik B dinamakan titik ujung atau titik tangkap vektor.
A . BEBERAPA VEKTOR KHUSUS
1. Vektor Nol : adalah vektor yang besarnya nol satuan dan arahnya tak tertentu.
2. Vektor Posisi
B
y Vektor posisi titik A adalah vektor yang titik y
pangkalnya di O dan ujungnya di titik A. Vektor
A posisi dari titik A dilambangkan dengan OA atau a
atau a . A
x
Sembarang vektor AB dapat dinyatakan dalam x
O
bentuk hasil pengurangan dari vektor posisi sbb: O
AB  b  a
3. Vektor Basis
Vektor basis adalah vektor yang panjangnya satu satuan dan arahnya searah dengan sumbu
koordinat.
z
Vektor basis yang searah dengan sumbu x dinamakan vektor i
atau vektor i .
Vektor basis yang searah dengan sumbu y dinamakan vektor j
y
atau vektor j .
Vektor basis yang searah dengan sumbu z dinamakan vektor k
x
atau vektor k .
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

2. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
Secara aljabar sebuah vektor dapat dinyatakan dengan salah satu cara, sbb :
1. Vektor kolom ( matriks kolom )
 xA   xB 
   
Jika A (x A , y A , z A ) dan B (x B , y B , z B ) maka OA  a   y A  dan OB  b   yB ,
 z   z 
 A   B 
 xB  xA 
 
sehingga : AB  b  a   y B  y A 

 z  z 

 B A 
2. Vektor baris ( matriks baris )
Jika A (x A , y A , z A ) dan B (x B , y B , z B ) maka OA  a  xA yA z A  dan
OB  b   xB yB z B  , sehingga : AB  b  a  xB  xA yB yA zB  zA 
3. Vektor basis
Jika A (x A , y A , z A ) dan B (x B , y B , z B ) maka OA  a  x A i  y A j  z A k dan
OB  b  x B i  y B j  z B k , sehingga :
AB  b  a  (x B  x A ) i  ( y B  y A ) j  (z B  z A ) k
Diketahui titik-titik A(10,3,7) , B(6,2,5) dan C(8,4,1)
1 . Nyatakan vektor OA  a dengan vektor kolom.
2 . Nyatakan vektor BC dengan vektor baris.
3 . Nyatakan vektor AB dengan vektor basis.
 10 
 
1 . Vektor OA  a dinyatakan dengan vektor kolom : OA  a   3 
7 
 
2 . Vektor BC dinyatakan dengan vektor baris : BC  c  b  ( 8 4 1)(6 2 5 )
= ( 14 6 4 )
3 . Vektor AB dinyatakan dengan vektor basis : AB  b  a  (6 i  2 j  5k )  (10 i  3 j  7k )
= 4 i  5 j  2k
1. Diketahui titik-titik K ( 2 , 4 , 1 ) , L ( 8 ,  6 , 2 ) dan M ( 5 , 7 ,  3 ) .
Nyatakan vektor-vektor berikut dengan menggunakan vektor kolom :
a. OM b. KL c. ML d. MK
2. Diketahui titik-titik D ( 6 , 8 , 1 ) , E ( 4 ,  3 , 2 ) dan F ( 5 , 0 , 4 ) .
Nyatakan vektor-vektor berikut dengan menggunakan vektor basis :
a. OF b. DE c. DF d. EF
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

3. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
B . MODULUS VEKTOR ( PANJANG VEKTOR )
Jika A (x A , y A , z A ) dan B (x B , y B , z B ) maka panjang vektor OA adalah OA atau a , yaitu :
a  xA  yA zA
2 2 2
Dan panjang vektor AB adalah :
AB  ( x B  x A )2  ( y B  y A )2  ( z B  z A )2
1 . Hitunglah panjang vektor r  14 i  2 j  5 k !
2 . Jika A (  10 , 8 , 4 ) dan B (  2 , 3 ,  1 ) hitunglah panjang vektor AB !
1 . Panjang vektor r  14 i  2 j  5 k adalah : r  14 2  2 2  (5 ) 2
 169  4  25
 225  15
2 . Jika A (  10 , 8 , 4 ) dan B (  2 , 3 ,  1 ) panjang vektor AB adalah :
AB  (  2  (10) ) 2  ( 3  8 ) 2  (  1  4 ) 2
= 82  (  5 ) 2  (  5 ) 2 = 64  25  25 = 114
1. Hitunglah panjang vektor-vektor berikut :
 3   8 
   
a. 6 i  2 j  3 k d.  0  e.   4 
 4   10 
   
b.  4 i  4 j  2 k
c. 7 i  5 j  5k
2. Diketahui titik : A ( 1 , 3 , 6 ) , B ( 12 ,  2 , 7 ) dan C ( 5 , 4 , 8 ) .
Hitunglah panjang vektor-vektor berikut :
a. OC b. AB c. AC d. CB
3. Diketahui titik D ( 3 , 6 , 1 ) dan E ( m , 4 , 2 ) .
Jika panjang vektor DE sama dengan 11, hitunglah nilai m !
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

4. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
C . PEMBAGIAN RUAS GARIS
B
n Diketahui ruas garis AB. Titik P terletak pada ruas garis tersebut
sedemikian hingga AP : PB = m : n .
P Maka :
m
namb
p 
A m n
Jika A (x A , y A , z A ) dan B (x B , y B , z B ) , maka :
O
n xA m xB n yA m yB n zA m zB
xP  yP  zP 
m n m n m n
Pada perbandingan AP : PB = m : n ,
1. Jika P terletak di antara A dan B , maka m > 0 dan n > 0 .
2. Jika P terletak pada perpanjangan AB , maka m < 0 dan n > 0 .
3. Jika P terletak pada perpanjangan BA , maka m > 0 dan n < 0 .
Jika A ( 6 , 2 , 4 ) dan B ( 10 , 8 , 12 ) . P terletak pada AB sedemikian hingga AP : PB = 3 : 2 .
Tentukan koordinat titik P !
Koordinat P dapat ditentukan sbb :
Cara 1 :
2xA 3xB 2  6  3 10 12  30 42
xP    
5 5 5 5
2yA 3yB 2  (2)  3  8 4  24
yP     4
5 5 5
2 z A  3 zB 2  4  3  (12) 8  36  28
zP    
5 5 5 5
42 28
Jadi P ( ,4, )
5 5
Cara 2 :
 6   10   12   30   12  30   42   42 
               42 
2  2 3  8   4    24    4  24   20   
 4    12   8    36   8  36    28   5 
2 a  3b  20   5 
           
p           4 
5 5 5 5 5  5   
  28    28 
 
   5 
 5 
42 28
Jadi P ( ,4, )
5 5
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

5. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
1. Tentukan koordinat titik P jika diketahui :
a. A ( 3 , 2 , 4 ) , B ( 6 , 5 , 10 ) , dan AP : PB = 2 : 1
b. R ( 8 , 3 , 1 ) , S ( 1 , 9 , 2 ) , dan RP : PS = 4 : 2
c. K ( 4 , 1 , 3 ) , L ( 4 , 2 , 1 ) , dan KP : PL = 3 : 5
d. M ( 7 , 11 , 5 ) , N ( -2 , 5 , 8 ) , dan MP : PN = 4 : 3
e. C ( 1 , 5 , 3 ) , D ( 2 , 1 , 1 ) , dan CP : PD = 6 : 3
2. Titik A ( 6 , 5 , 4 ) dan B ( 5 , 3 , 4 ) . Titik P terletak pada ruas garis AB sedemikian hingga
AP : PB = 1 : 3 . Tentukan koordinat titik B !
D . OPERASI VEKTOR
1. Perkalian Vektor Dengan Bilangan Riil
Diketahui vektor a dan k  R .
Secara geometris vektor k a adalah vektor yang panjangnya k kali panjang vektor a dan
arahnya searah dengan vektor a .
x A  x A  k x A 
     
Secara aljabar , jika a   y A  maka : k a k y A   k y A 
z  z  k z 
 A   A   A 
 7   7   6  (7)    42 
       
1 . Jika a   3  maka 6 a  6  3    6  3    18 
 12   12   6  12   72 
       
2 . Jika b  8 i  4 j  2 k , maka 2 b   2 ( 8 i  4 j  2 k )   16 i  8 j  4 k
2. Penjumlahan Vektor
Diketahui vektor a dan b .
Secara geometris vektor a dan b dapat dijumlahkan dengan cara sbb :
Dengan aturan jajaran genjang . Dengan aturan segitiga
Contoh : Contoh :
x A  x B 
   
Jika a   y A  dan b   y B  .
z  z 
 A   B 
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

6. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
Secara aljabar hasil penjumlahan antara vektor a dan b , adalah :
x A  x B  x A  x B 
     
a b  yA   yB   yA  yB 
z  z  z 
 A   B   A  zB 
Diketahui titik-titik A ( 12 , 3 , 6 ) , B ( 8 , 6 , 10 ) dan C ( 3 , -9 , 14 ) .
Hitunglah : AB  CB  3 AC !
AB  CB  3 AC  ( b  a )  ( b  c )  3 ( c  a )   4a  2b  2c
 12   8   3    38 
       
  4  3   2  6   2  9    6 
 6    10   14   32 
       
3. Pengurangan Vektor
Diketahui vektor a dan b . Pengurangan vektor a  b dapat dinyatakan dalam bentuk
penjumlahan vektor a + (  b ) , dengan vektor  b adalah vektor yang panjangnya sama
dengan vektor b dan arahnya berlawanan dengan vektor b .
Contoh :
x A  x B 
   
Jika a y A  dan b y B  . Secara aljabar hasil
z  z 
 A   B 
pengurangan a  b , adalah :
x A  x B  x A  x B 
     
a b  yA   yB   yA  yB 
z  z  z 
 A   B   A zB 
Diketahui titik-titik K ( 9 , 4 , 3 ) , L ( 16 , 5 , 10 ) dan M ( 8 , 20 , -12 ) .
Hitunglah : ML  KL !
9  8  1 
     
ML  KL  ( l  m )  ( l  k )  k  m   4    20     16 
 3    12   15 
     
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

7. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
1. Diketahui titik A ( 24 , 18 ,  12 ) , B ( 14 , 21 , 18 ) , C ( 6 ,  5 , 1 ) dan D ( 22 , 16 , 10 ).
Hitunglah :
a. AD  CB f. DA  DB
b. BA  10 AC g. 2 AC  3 CB
c. BD  6 DA  4 AB
h. 5 OA  2 CD  9 AD
d. 8 AD  DB  OB
e. CA  7 AD  3 AO
2. Diketahui a  50 i  12 j  k , b  36 i  18 j  40 k , dan
c   25 i  10 j  16 k
Hitunglah :
a. c  a  2 b c. 4b  6c
b. b  8 a  3c
 7   13    16 
     
3. Diketahui : r  9  , s  8  , dan t   12  , hitunglah :
 11  5   40 
     
a. t  r b. s  8 t  9 r
4. Diketahui titik H ( m , 6 ,  2 ) , I ( 12 , n , 10 ) , dan J ( 3 , -4 , r ).
Jika HI  4 JH  6 JI , hitunglah m , n , dan r !
E . PERKALIAN SKALAR DUA VEKTOR
Definisi : Perkalian skalar antara vektor a dan b adalah a  b , dengan :
a  b  a b cos 
Dengan  adalah sudut antara vektor a dan b .
x A  x B 
   
Jika a   y A  dan b   y B  , maka : a  b  x A . x B  y A .y B  z A . z B
z  z 
 A   B 
Sifat-sifat perkalian skalar
1. a  b  b  a
2. a  ( b  c )  a  b  a  c
3. a  a  a 2
4. a  b  0 , jika dan hanya jika a  0 , atau b  0 , atau a  b .
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

8. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
1. Diketahui a  5 dan b  12 , sudut antara vektor a dan b adalah 60  , hitunglah
a  b !
2. Diketahui titik-titik R ( 6 , 1 , 7 ) , S ( 9 , 4 , 0 ) dan T ( 21 , 11 , 2 ), hitunglah RT  TS
3. Diketahui vektor a  m i 4 j 2k tegak lurus pada vektor b  7 i  m j  6 k ,
hitunglah nilai m !
1. Jika a  5 dan b  12 , sudut antara vektor a dan b adalah 60  , maka :
1
a  b  a b cos   5 . 12 . cos 60   5 . 12 .  30
2
2. Diketahui titik-titik R ( 6 , 1 , 7 ) , S ( 9 , 4 , 0 ) dan T ( 21 , 11 , 2 ).
 21    6   9   21   27    12 
           
RT  TS  ( t  r )  ( s  t )  (   11    1  )  (  4     11  )    10    15 
 2   7   0   2   5   2 
           
= 27 . ( 12 ) + ( 10 ) . 15 + ( 5 ) . ( 2 ) = 464
3. Vektor a  m i  4 j  2 k tegak lurus pada vektor b   7 i  m j  6 k , maka nilai m
dapat ditentukan sebagai berikut :
a  b  0   3m   12
 ( m i  4 j  2 k )  ( 7 i  m j  6 k )  0  m  4
  7m  4m  12  0
1. Hitunglah nilai a  b jika diketahui :
a. a  8 , b  4 dan  = 30  d. a  3 , b  13 dan  = 330 
b. a  7 , b  3 dan  = 150 
c. a  20 , b  12 dan  = 225 
2. Hitunglah nilai p  q jika diketahui :
a. p  16 i  4 j  2 k dan q   15 i  6 j  k
b. p  8i  6 k dan q  9 j  28 k
3. Hitunglah nilai r  s jika diketahui :
5   90   11   37 
       
a. r   26  dan s  15  b. r   0  dan s   6 
 3  56   16   4
       
4. Diketahui titik A ( 24 , 18 ,  12 ) , B ( 14 , 21 , 18 ) , C ( 6 ,  5 , 1 ) dan D ( 22 , 16 , 10 ).
Hitunglah :
a. AB  CD c. ( 8 BD  3 BA )  ( 2 DA  5 DC )
b. ( DB  AB )  ( BC  AD ) d AC  (  5 BA  CA )
5. Tentukan nilai m jika vektor-vektor berikut saling tegaklurus :
a. h  2m i  8 j  7 k dan g   5 i  3m j  2 k
b. x  2m i  4m j  4 k dan q  m i  3 j  4 k
6. Diketahui a  b  12 , a  4 dan b  6 . Hitunglah a  b !
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

9. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
F . SUDUT ANTARA DUA VEKTOR
Jika  adalah sudut antara vektor vektor a dan b , maka nilai  dapat ditentukan dari :
a  b
cos  
a b
Hitunglah nilai dari cos  , jika  adalah sudut antara vektor a  5 i  4 j  3 k dan
b 2i 2 j  k !
Jika  adalah sudut antara vektor a  5 i  4 j  3 k dan b 2i 2 j  k , maka nilai
kosinus  dapat ditentukan sebagai berikut :
a  b 5 . 2  4 . (2 )  (3 ) . (1 ) 10  8  3 5
cos     
a b 5 2  4 2  (3 ) 2 2 2  (2 ) 2  (1 ) 2 25  16  9 4  4 1 50 9
5 1
  2
3.5 2 3
Besar sudut  = 61,87 
1. Hitunglah nilai kosinus sudut antara vektor-vektor berikut :
a. p  8 i  6 j  2 k dan q  4 i  3 j  8 k
b. p   3 i  7 j  k dan q  10 i  j  9 k
5   12 
   
c. r   12  dan s   6 
 3   4 
   
 14   2 
   
d. r   18  dan s    2 
 16   1 
   
2. Jika besar sudut antara vektor a   m i  12 j  3 k dan b  8 i  2 j  k adalah
120 . Hitunglah nilai m !
 15   3 
   
3. Jika  adalah sudut antara vektor c   7  dan d   6  , hitunglah cos  , sin  ,
 4   20 
   
dan tan  !
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

10. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
G . PROYEKSI VEKTOR ORTOGONAL
Proyeksi ortogonal vektor a pada vektor b adalah ‘bayangan tegak lurus’ dari
vektor a pada vektor b .
Ada dua macam proyeksi vektor ortogonal , yaitu :
1. Proyeksi vektor .
Proyeksi vektor ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah vektor ‘bayangan’ nya , yaitu vektor
c , dengan :
 a b 
c   b
 b 2 
 
2. Proyeksi skalar ortogonal .
Proyeksi skalar ortogonal a pada vektor b hasilnya adalah panjang ( modulus ) dari vektor
‘bayangan’ nya , yaitu c , dengan :
a b
c 
b
Diketahui vektor : a  10 i  6 j  3 k dan b  4 i  8 j  6 k
Tentukan : a . proyeksi vektor a pada vektor b !
b. proyeksi skalar a pada vektor b !
a . Proyeksi vektor a pada b adalah
 ab  5
c   b  (4i 8 j 6k )
 b 2 58
  20 40 30
   i  j  k
 40  48  18  58 58 58
 (4i 8 j 6k )

 16  64  36 
2

 
10
29
i 
20
29
j 
15
29
k
 10 
 (4i 8 j 6k )
 116 
a b 40  48  18 10 10 5
b . Proyeksi skalar a pada b adalah c      29
b 16  64  36 116 2 29 29
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com

11. Ringkasan Materi dan Soal-soal Matematika Kelas XII IPA Semester 1
1. Diketahui vektor p  4 i  7 j  2 k dan q   3 i  6 j  6 k , tentukan :
a. Proyeksi vektor p pada q b. Proyeksi vektor q pada p
 12   3 
   
2. Diketahui vektor k   8  dan m   4  , tentukan :
 6   2 
   
a. Proyeksi vektor m pada k b. Proyeksi skalar k pada m
3. Diketahui K ( 14 , 3 , 8 ) , L ( 10 , 1 , 6 ) , M ( 4 , 7 , 0 ) dan N ( 8 , 12 , -6 ). Tentukan :
a. Proyeksi vektor KN pada LK c. Proyeksi vektor MN pada NL
b. Proyeksi skalar LM pada KL d. Proyeksi skalar LM  2 MK pada LN
2
4. Proyeksi skalar a  28 i  m j  16 k pada b   4 i  3 j  5 k sama dengan 2.
5
Hitunglah nilai m !
Tri Rusdiyono, S.Pd.
http://berbagimedia.wordpress.com