Dokumen ini membahas tentang sistem koordinat dalam ruang tiga dimensi, termasuk jarak antar titik, titik tengah garis, sudut arah dan bilangan arah ruas garis, serta koordinat tabung dan bola. Sistem koordinat Cartesius menggunakan tiga sumbu yang saling tegak lurus untuk menentukan koordinat suatu titik dalam ruang. Jarak antar dua titik dihitung menggunakan rumus kuadrat akar dari perbedaan kuadrat koordinat

1. RUANG TIGA DIMENSI

2. A. SISTEM KOORDINAT DALAM RUANG
 Pada ruang tiga dimensi, titik titik dikorespondensikan satu-
satu dengan tripel bilangan real menggunakan tiga garis
koordinat yang saling tegak lurus.
 Titik asal yaitu sumbu koordinat (X,Y, dan Z) yang
membentuk sistem koordinat Cartesius dan berpotongan
disumbu koordinat.
 Bidang koordinat yaitu pasangan sumbu koordinat yang
menentukan sebuah bidang, seperti bidang XOY, XOZ, dan
YOZ.
 Koordinat titik adalah tiap titik pada ruang yang dinyatakan
dengan 3 bilangan.

3. B. JARAK DUA BUAH TITIK DALAM RUANG
DIMENSI TIGA
 Misalkan titik P1 (x1,y1,z1) dan P2 (x2,y2,z2) adalah titik-
titik pada ruang tiga dimensi.
 Jarak d antara P1 dan P2 adalah:
Contoh:
Hitunglah jarak antara titik-titik    2,5,00,2,3 dan

4.  Untuk koordinat titik tengah garis yang menghubungkan
titik-titik P1 (x1,y1,z1) dan P2 (x2,y2,z2) dihitung dengan
rumus:
Contoh:
Hitunglah titik tengah garis yang menghubungkan titik-titik
P1 (-2, 0, 4) dan P2 (4, -2, 2)

5. C. SUDUT ARAH, COSINUS ARAH DAN
BILANGAN ARAH DARI SEBUAH RUAS GARIS
 Misalkan ruas garis OA mengapit sudut-sudut α dengan sumbu
X, β dengan sumbu Y, dan γ dengan sumbu Z.
 Sudut-sudut α , β,dan γ disebut sudut-sudut arah ruas garis OA
yang ditentukan:
 Jika A adalah titik dengan koordinat (x1, x2, x3) berlaku:

6.  cos α, cos β,dan cos γ disebut cosinus-cosinus arah ruas
garis OA dan dipenuhi:
 Bilangan arah ruas garis yaitu bilangan-bilangan yang
sebanding dengan cosinus-cosinus arah suatu ruas garis.
Untuk segmen OA berlaku:
dimana x1,y1,z1 adalah bilangan-bilangan arah ruas garis OA.
Contoh:
Diketahui titik-titik A (2, 3, 1) dan B (6, 5, 5). Tentukanlah jarak
AB dan kosinus-kosinus arah ruas garis tersebut!

7. D. KOORDINAT TABUNG DAN BOLA
 Sistem koordinat tabung menggunakan koordinat kutub
sebagai ganti koordinat
Cartesius X, Y, dan Z pada bidang.
 Titik P mempunyai koordinat bola jika:
adalah jarak |OP| dari titik asal ke P’.
adalah sudut kutub yang berhubungan
dengan proyeksi OP terhadap bidang XY yaitu OP’.
adalah sudut antara sumbu Z dan ruas garis
OP.

8.  Titik P dapat digambar dalam koordinat Cartesius, koordinat
tabung, dan koordinat bola.
 Kaitan antara koordinat tabung dan koordinat Cartesius:
 Kaitan antara koordinat bola dan koordinat Cartesius: