Hàm số - 1. Tính đơn điệu của Hàm số

1. 1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1.1 LÝ THUYẾT
1. Nhắc lại định nghĩa về tính đồng biến, nghịch biến.
Định nghĩa: Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn hoặc nửa khoảng. Giả sử hàm số y = f(x)
xác định trên K. Ta nói:
∗ Hàm số y = f(x) đồng biến trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ hơn
x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là:
x1 < x2 ⇒ f(x1) < f(x2)
∗ Hàm số y = f(x) nghịch biến trên K nếu với mọi cặp x1, x2 thuộc K mà x1 nhỏ
hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là:
x1 < x2 ⇒ f(x1) > f(x2)
Nhận xét: Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị của nó sẽ đi lên từ trái sang phải,
hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị của nó sẽ đi xuống từ trái sang phải.
2. Tính đơn điệu và dấu của đạo hàm.
Định lí: cho hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K, khi đó:
∗ Nếu f (x) ≥ 0 ∀x ∈ K thì hàm số f(x) đồng biến trên K (dấu = xảy ra tại hữu hạn
điểm).
∗ Nếu f (x) ≤ 0 ∀x ∈ K thì hàm số f(x) nghịch biến trên K (dấu = xảy ra tại hữu
hạn điểm).
∗ Nếu f (x) = 0 ∀x ∈ K thì f(x) là hàm hằng trên K
Nhận xét:
∗ Các hàm số đa thức, phân thức và các hàm số chứa căn mà ta xét thường chỉ bằng 0
tại hữu hạn điểm nên ta chỉ quan tâm đến dấu của đạo hàm là chủ yếu.
∗ Các hàm số lượng giác tuần hoàn nên chỉ cần xét dấu đạo hàm trên một chu kỳ là đủ.
3. Quy tắc xét tính đơn điệu của hàm số.
Quy tắc:
Bước 1: Tìm tập xác định và tính f (x).
Bước 2: Tìm các điểm mà tại đó f (x) = 0 hoặc f (x) không xác định.
Bước 3: Sắp xếp các điểm đó theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên.
Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên, nêu kết luận về tính đồng biến, nghịch biến của hàm số.
4. Các ví dụ:
Câu 1. Cho hàm số y = x −
4
x − 2
. Phát biểu nào sau đây đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên R.
B. Hàm số đồng biến trên từng khoảng (−∞, 2), (2, +∞).
C. hàm số đồng biến trên R{2}.
D. Hàm số nghịch biến trên (−∞, 2), đồng biến trên (2, +∞) .
Lời giải:
TXĐ: D = R{2}
f (x) = 1 +
4
(x − 2)2
1
lovestem
.edu.vn

2. Ta thấy f (x) > 0 ∀x ∈ D ⇒ Hàm số đồng biến trên (−∞, 2), (2, +∞)
⇒ đáp án đúng là B.
Câu 2. Khoảng nghịch biến của đồ thị hàm số y =
1
4
x4
+ x3
− 4x + 1 là:
A. (−4; +∞). B. (−∞; 1). C. (−4; 1). D. (−∞; −4).
Lời giải:
TXĐ: D = R
y = x3
+ 3x2
− 4
y = 0 ⇔ x3
+ 3x2
− 4 ⇔ x = −4, x = 1 Ta có bảng biến thiên sau:
x
y
y
−∞ −4 1 +∞
+ 0 − 0 +
−∞−∞
1717
−
9
4
−
9
4
+∞+∞
⇒ Đáp án đúng là C.
Câu 3. Với giá trị nào của m thì hàm số y =
1
3
x3
+(m−2)x2
−8mx+3m+3 đồng biến
trên tập xác định của nó ?
A. m ≥ −2. B. m ≤ −2. C. m = −2. D. m = −2.
Lời giải: với dạng toán này thông thường ta sẽ dùng phương pháp xét dấu tam thức bậc
hai để tìm ra m.
TXĐ: D = R
y = x2
+ 2(m − 2)x − 8m
= (m − 2)2
+ 8m = (m + 2)2
.
Để y đồng biến trên TXĐ thì y ≥ 0 ∀x ⇔ ≤ 0 ∀x (do có hệ số a = 1 > 0)
Khi đó có (m + 2)2
≤ 0 ⇔ m = −2
⇒ Đáp án đúng là D.
1.2 BÀI TẬP
1.2.1 Câu hỏi ở mức độ nhận biết.
Câu 1. Cho hình vẽ dưới đây là đồ thị của một hàm số, dựa vào đồ thị cho biết hàm số đồng
biến trên khoảng nào ?
A. (0; 2). B. (−∞; 0). C. R(0; 2). D. (−∞; 0), (2; +∞).
2
lovestem
.edu.vn

3. Câu 2. Hàm số nào sau đây đồng biến trên R ?
A. y = (x2
− 1)2
− 3x + 2. B. y =
x
√
x2 + 1
.
C. y =
x
x + 1
. D. y = tan x.
Câu 3. Cho đồ thị hàm số, kết luận nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 0) và nghịch biến trên (0; 1).
B. Hàm số đồng biến trên(−∞; 1) và nghịch biến trên (1; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên (−1; 0), (1; +∞).
D. Hàm số nghịch biến trên (−1; 0), (1; +∞).
Câu 4. Cho đồ thị hàm số sau, kết luận nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên R{−1}.
B. Hàm số nghịch biến trên (−∞; −1), (−1; +∞).
C. Hàm số đồng biến trên (−∞; −1) nghịch biến trên (−1; +∞).
D. Hàm số đồng biến trên(−∞; −1), (−1; +∞).
Câu 5. Chọn mệnh đề sai trong các mệnh đề dưới đây:
A. Hàm số y = f(x) là đồng biến trên (a; b) nếu có f (x) > 0 ∀x ∈ (a; b).
B. Nếu hàm số y = f(x) có f (x) < 0 ∀x ∈ (a; b) thì hàm nghịch biến trên (a; b) .
C. Nếu hàm y = f(x) có f (x) ≤ 0 ∀x ∈ (a; b) và f (x) = 0 tại một số điểm hữu hạn thì hàm
nghịch biến trên (a; b).
D. Hàm số y = f(x) là đồng biến trên (a; b) nếu có f (x) ≥ 0 ∀x ∈ (a; b) .
1.2.2 Câu hỏi ở mức độ thông hiểu.
Câu 6. Khoảng đồng biến của hàm số y = −x4
+ 8x2
− 3 là:
A. (−∞; −2) và (0; 2). B. (−∞; 0) và (0; 2).
C. (−∞; −2) và (2; +∞). D. (−2; 0) và (2; +∞).
3
lovestem
.edu.vn

4. Câu 7. Cho hàm số y =
x3
3
− 2x2
+ 5, kết luận nào sau đây là đúng ?
A. Hàm số đồng biến trên (−∞; 4). B. Hàm số nghịch biến trên(0; 4).
C. Hàm số đồng biến trên(0; +∞). D. Hàm số nghịch biến trên(4; +∞).
Câu 8. Các khoảng nghịch biến của hàm số y =
x + 3
x − 2
là:
A. (−∞; −3), (−3; ∞). B. (−∞; 2).
C. R{−3}. D. (−∞; 2), (2; +∞).
Câu 9. Hàm số nào sau đây nghịch biến trên khoảng (1; 3) ?
A. y =
x2
+ x − 1
x − 1
. B. y =
1
2
x2
− 2x + 3.
C. y =
2x − 5
x − 1
. D. y =
2
3
x3
− 4x2
+ 6x − 1.
Câu 10. Trong hai hàm số f(x) = 4x + sin(4x), g(x) = x2
tan(x) + x hàm số nào đồng biến
trên tập xác định ?
A. f(x) và g(x). B. Chỉ f(x).
C. Chỉ g(x). D. Cả 2 đều không đồng biến trên TXĐ.
Câu 11. Trong hai hàm số f(x) = x4
+ 2x2
+ 1, g(x) =
x + 2
x + 1
. Hàm số nào nghịch biến trên
(−∞; −1)
A. Chỉ f(x). B. Chỉ g(x).
C. Cả f(x), g(x). D. Cả hai đều không nghịch biến trên TXĐ.
1.2.3 Câu hỏi ở mức độ vận dụng.
Câu 12. Cho hàm số f(x) = e
1
3
x3−2x2+3x+1
, kết luận nào sau đây là đúng ?
A. Đồng biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (3; +∞).
B. Nghịch biến trên mỗi khoảng (−∞; 1) và (3; +∞) .
C. Đồng biến trên khoảng (−∞; 1) và nghịch biến trên khoảng (3; +∞) .
D. Nghịch biến trên khoảng (−∞; 1) và đồng biến trên khoảng (3; +∞) .
Lời giải. Sau khi tính đạo hàm
f (x) = e
1
3
x3−2x2+3x+1
.(x2
− 4x + 3)
Ta cần chú ý rẳng e
1
3
x3−2x2+3x+1
> 0 ∀x nên ta chỉ xét đa thức x2
− 4x + 3. Đây là một đa
thức bậc hai thông thường nên đến đây có thể áp dụng lí thuyết để giải.
Câu 13. Điều kiện của m để hàm số y = −
1
3
x3
+ (m − 1)x + 7 nghịch biến trên R là:
A. m > 1. B. m = 2. C. m = 1. D. m ≥ 2.
Câu 14. Điều kiện của m để hàm số y =
2 − m
3
x3
+ mx2
+ (3m − 2)x + m đồng biến trên R
là:
A. m ∈ R. B. m < 2. C. m = −1. D. m ∈ R{1; 2}.
Câu 15. Tìm tất cả các giá trị thực m để hàm số sau y =
x + m
x − 2
đồng biến trên khoảng xác
định.
A. m > −2. B. m ≤ −2. C. m ≥ −2. D. m < −2.
4
lovestem
.edu.vn

5. 1.2.4 Câu hỏi ở mức độ vận dụng cao.
Câu 16. Giá trị của m để hàm số y = −x3
− 3x2
+ 4mx − 2 nghịch biến trên (−∞; 0] là:
A. m ≤ −
3
4
. B. m ≥ −
3
4
. C. m ≥
3
4
. D. m ≤
3
4
.
Câu 17. Giá trị của m để hàm số y = x3
− 3mx + 5 nghịch biến trong khoảng (−1; 1) là:
A. 1. B. 2. C. 3. D. −1.
Câu 18. Tìm tất cả các giá trị thực của m để hàm số y =
x2
− 2mx + 3m − 5
x − 2
đồng biến trên
khoảng (2; +∞)
A. m ≥ −1. B. m ≤ −1. C. m ≥ −2. D. m > −1.
Lời giải. Chọn đáp án D
Với câu này ta cần rút gọn các số hạng ở tử cho mẫu:
y =
x2
− 2mx + 3m − 5
x − 2
= x + 2 − 2m −
m + 1
x − 2
Sau đó ta tính y rồi làm tương tự như những ý trên.
Câu 19. Xác định m để phương trình x3
− 3mx + 2 = 0 có nghiệm duy nhất
A. m > 1. B. m < 2. C. m < 1. D. m < −2.
Lời giải. Chọn đáp án C
Xét f(x) = x3
− 3mx + 2
Ta cần hiểu đơn giản phương trình f(x) = 0 có nghiệm duy nhất
⇔ hàm số f(x) cắt trục Ox tại một điểm suy nhất ⇔ hàm chỉ đồng biến hoặc nghịch biến .
Vì vậy ta chỉ cần tìm điều kiện để f (x) > 0 hoặc f (x) < 0 là xong.
5
lovestem
.edu.vn