Cực trị của hàm số, ôn thi đại học môn toán

Khảo sát hàm số
KSHS 02: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dạng 1: Cực trị của hàm số bậc 3: y = f(x ) = ax 3 + bx 2 + cx + d
A. Kiến thức cơ bản
· Hàm số có cực đại, cực tiểu Û phương trình y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt.
· Hoành độ x1,x2 của các điểm cực trị là các nghiệm của phương trình y¢ = 0.
· Để viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu, ta có thể sử dụng
phương pháp tách đạo hàm.
– Phân tích y = f¢(x ).q (x ) + h(x ) .
– Suy ra y1 = h(x1),y2 = h(x2) .
Do đó phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu là: y = h(x ) .
· Gọi a là góc giữa hai đường thẳng d1 : y = k1x + b1, d2 : y = k2x + b2 thì
k k
k k
1 2
1 2
tan
1
-
=
+
a
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
Gọi k là hệ số góc của đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
1. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu song song (vuông
góc) với đường thẳng d : y = px + q .
– Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu.
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện: k = p (hoặc k
= - 1 ).
p
2. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu tạo với đường thẳng
d : y = px + q một góc a .
– Viết phương trình đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Giải điều kiện: k p
kp
tan
1
- =
+
a . (Đặc biệt nếu d º Ox, thì giải điều kiện: k = tana )
3. Tìm điều kiện để đường thẳng đi qua các điểm cực đại, cực tiểu cắt hai trục Ox, Oy
tại hai điểm A, B sao cho DIAB có diện tích S cho trước (với I là điểm cho trước).
– Viết phương trình đường thẳng D đi qua các điểm cực đại, cực tiểu.
– Tìm giao điểm A, B của D với các trục Ox, Oy.
– Giải điều kiện SDIAB = S .
4. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho DIAB có diện tích S
cho trước (với I là điểm cho trước).
– Giải điều kiện SDIAB = S .
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B đối xứng qua đường thẳng d
cho trước.
– Gọi I là trung điểm của AB.
– Giải điều kiện: d
ìD ^
í Î î
I d
.
5. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B cách đều đường thẳng d cho
trước.
Trang 9 - ôn luy ện thi đại học online

– Giải điều kiện: d (A,d ) = d (B,d ) .
6. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B và khoảng cách giữa hai
điểm A, B là lớn nhất (nhỏ nhất).
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B (có thể dùng phương trình đường thẳng qua hai điểm
cực trị).
– Tính AB. Dùng phương pháp hàm số để tìm GTLN (GTNN) của AB.
7. Tìm điều kiện để hàm số có cực đại, cực tiểu và hoành độ các điểm cực trị thoả hệ
thức cho trước.
– Phân tích hệ thức để áp dụng định lí Vi-et.
8. Tìm điều kiện để hàm số có cực trị trên khoảng K1 = (-¥;a ) hoặc K2 = (a;+¥) .
y ' = f(x ) = 3ax 2 + 2bx + c .
Đặt t = x -a . Khi đó: y ' = g (t) = 3at2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c
Hàm số có cực trị thuộc K1 = (-¥;a ) Hàm số có cực trị thuộc K2 = (a;+¥)
Hàm số có cực trị trên khoảng (-¥;a )
Û f(x ) = 0 có nghiệm trên (-¥;a ) .
Û g (t) = 0 có nghiệm t < 0
0
' 0
0
0
é P
<
êìD Û êï ³ êí
S
< êëîï P
³
Hàm số có cực trị trên khoảng (a;+¥)
Û f(x ) = 0 có nghiệm trên (a;+¥) .
Û g (t) = 0 có nghiệm t > 0
0
' 0
0
0
é P
<
S
> êëîï P
³
9. Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả:
a) x1 <a < x2 b) x1 < x2 <a c) a < x1 < x2
y ' = f(x ) = 3ax 2 + 2bx + c .
Đặt t = x -a . Khi đó: y ' = g (t) = 3at2 + 2(3aa + b)t + 3aa 2 + 2ba + c
a) Hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả x1 <a < x2
Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < 0 < t2 Û P< 0
b) Hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả x1 < x2 <a
ìD > Ûï < íï
î >
Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < t2 < 0 S
' 0
0
0
P
c) Hàm số có hai cực trị x1, x2 thoả a < x1 < x2
ìD > Ûï > íï
î >
Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả 0 < t1 < t2 S
' 0
0
0
P
Câu 1. Cho hàm số y = -x 3 + 3mx 2 + 3(1- m2)x + m3 - m2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = 1.
2) Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1).
· y ¢= -3x 2 + 6mx + 3(1- m2) .
Trang 10

PT y ¢= 0 có D = 1> 0, "m Þ Đồ thị hàm số (1) luôn có 2 điểm cực trị (x1; y1), (x2; y2) .
Chia y cho y¢ ta được: y 1 x m y 2x m2 m
æ ö ¢ = ç - ¸ + - + è ø
3 3
Khi đó: y x m2 m
1 = 2 1 - + ; y x m m 2
2 = 2 2 - +
PT đường thẳng qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) là y = 2x - m2 + m .
Câu 2. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + mx + m - 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m = 3.
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía đối với trục hoành.
· PT hoành độ giao điểm của (C) và trục hoành:
é = -
ê = + + - = ë
x 3 + 3x 2 + mx + m - 2 = 0 (1) Û x
1
g x x 2 x m
( ) 2 2 0 (2)
(Cm) có 2 điểm cực trị nằm về 2 phía đối với trục Ox ÛPT (1) có 3 nghiệm phân biệt
Û (2) có 2 nghiệm phân biệt khác –1 Û m
ìíD ¢= - > î - = - ¹
3 0
( 1) 3 0
g m
Û m < 3
Câu 3. Cho hàm số y = -x 3 + (2m +1)x 2 - (m2 - 3m + 2)x - 4 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của trục tung.
· y ¢= -3x 2 + 2(2m +1)x - (m2 - 3m + 2) .
(Cm) có các điểm CĐ và CT nằm về hai phía của trục tung Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm trái
dấu Û 3(m2 - 3m + 2) < 0 Û 1< m < 2 .
Câu 4. Cho hàm số y 1 x 3 mx 2 (2m 1)x 3
= - + - - (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
3
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu nằm về cùng một phía đối với trục tung.
· TXĐ: D = R ; y ¢= x 2 - 2mx + 2m -1.
Đồ thị (Cm) có 2 điểm CĐ, CT nằm cùng phía đối với trục tung Û y ¢= 0 có 2 nghiệm phân
biệt cùng dấu Û m m
ìíD¢ = - + > î m
- >
2 2 1 0
2 1 0
m
m
1
1
2
ìï ¹ Ûí > ïî
.
Câu 5. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu cách đều đường thẳng y = x -1.
· Ta có: y ' = 3x 2 - 6x - m .
Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 3x 2 - 6x - m = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2
ÛD ' = 9+ 3m > 0Û m > -3 (*)
Gọi hai điểm cực trị là A( x1; y1) ;B( x2; y2 )
Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y x y m x m
1 1 ' 2 2 2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö
= ç - ¸ + ç - ¸ + ç + ¸
è ø è ø è ø
2 2 2 ; 2 2 2
3 3 3
Þ y1 y x1 ) m x1 m y2 y x2 )
m x2 m
3
( æ ö ( æ ö
ç - ¸ + + ç - ¸ + +
è ø
=
è
=
ø
= =

2 2 2
3 3
æ ö
= ç - ¸ + +
è ø
Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y m x m
Các điểm cực trị cách đều đường thẳng y = x -1Ûxảy ra 1 trong 2 trường hợp:
TH1: Đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị song song hoặc trùng với đường thẳng y = x -1
2 m 2 1 9
3 m
2
Û - = Û = (không thỏa (*))
TH2: Trung điểm I của AB nằm trên đường thẳng y = x -1
+
1 2 1 2 2 2 2 2
x m m x x x x
( ) ( ) I I
Û = - Û = - Û
m
y
m
y
y
m
x
x 2
1 2 1 2
3 3
2
1
2 .2 2
1
2
2
0 0
3 3
2
æ ö æ ö
ç - ¸ + + ç + ¸= + -
è ø è ø
æ ö
+
æ ö
Ûç - ¸ + ç + ¸= Û =
è ø è
ø
Vậy các giá trị cần tìm của m là: m = 0 .
Câu 6. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 4m3 (m là tham số) có đồ thị là (Cm).
2) Xác định m để (Cm) có các điểm cực đại và cực tiểu đối xứng nhau qua đường thẳng y = x.
· Ta có: y¢ = 3x 2 - 6mx ; y x
0 02
¢ = Û é = êë =
x m
. Để hàm số có cực đại và cực tiểu thì m ¹ 0.
uuur
Đồ thị hàm số có hai điểm cực trị là: A(0; 4m3), B(2m; 0) Þ AB= (2m;-4m3)
Trung điểm của đoạn AB là I(m; 2m3)
A, B đối xứng nhau qua đường thẳng d: y = x Û AB d
ì ^
í î
I Î d
2 4 0
2
Û m m
m m
3
3
ìï
- =
í
îï =
Û m
2
2
= ±
Câu 7. Cho hàm số y = -x 3 + 3mx 2 - 3m -1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 1.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0.
· y ¢= -3x 2 + 6mx ; y ¢= 0Û x = 0 Ú x = 2m .
Hàm số có CĐ, CT Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 0 .
uuur
Khi đó 2 điểm cực trị là: A(0;-3m -1), B(2m;4m3 -3m -1) Þ AB(2m;4m3)
Trung điểm I của AB có toạ độ: I(m;2m3 - 3m -1)
r
Đường thẳng d: x + 8y - 74 = 0 có một VTCP u = (8;-1)
.
ì Î
í ^ î
A và B đối xứng với nhau qua d Û I d
AB d
8(2 3 3 1) 74 0
. 0
Û m m m
uuur r Û m = 2
ABu
ìï
+ - - - =
í
îï =
Câu hỏi tương tự:
a) y x 3 3x 2 m2x m,d : y 1 x 5
= - + + = - . ĐS: m = 0 .
2 2
Câu 8. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + mx (1).
¢
D1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 0.
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số (1) có các điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng
với nhau qua đường thẳng d: x - 2y - 5 = 0 .
· Ta có y = x 3 - 3x 2 + mx Þ y ' = 3x 2 - 6x + m
Hàm số có cực đại, cực tiểu Û y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt Û = 9 - 3 m > 0 Û m <
3 Trang 12

1 1 2 2 1
3 3 3 3
æ ö ¢ æ ö = ç - ¸ + ç - ¸ +
è ø è ø
Ta có: y x y m x m
2 2 1
3 3
æ ö
= ç - ¸ +
è ø
Þ đường thẳng D đi qua các điểm cực trị có phương trình y m x m
2 2
3
nên D có hệ số góc k1 m
= - .
1 5
2 2
d: x - 2y - 5 = 0 y x
Û = - Þ d có hệ số góc k2
1
2
=
Để hai điểm cực trị đối xứng qua d thì ta phải có d ^ D
1 1 æ 2 2 ö
1 0
= - Û ç - ¸= - Û =
Þ k1k2 m m
2 3
è ø
Với m = 0 thì đồ thị có hai điểm cực trị là (0; 0) và (2; –4), nên trung điểm của chúng là
I(1; –2). Ta thấy I Î d, do đó hai điểm cực trị đối xứng với nhau qua d.
Vậy: m = 0
Câu 9. Cho hàm số y = x 3 - 3(m +1)x 2 + 9x + m - 2 (1) có đồ thị là (Cm).
2) Với giá trị nào của m thì đồ thị hàm số có điểm cực đại và điểm cực tiểu đối xứng với
nhau qua đường thẳng d: y x
1
2
= .
· y ' = 3x 2 - 6(m +1)x + 9
Hàm số có CĐ, CT Û D ' = 9(m +1)2 - 3.9 > 0 Ûm Î(-¥;-1- 3)È(-1+ 3;+¥)
Ta có y x m y m2 m x m 1 1 2( 2 2) 4 1
æ ö = - + ç ¸ ¢ - + - + +
è 3 3
ø
Giả sử các điểm cực đại và cực tiểu là A(x1; y1), B(x2; y2) , I là trung điểm của AB.
Þ y 1 = -2( m2 + 2 m - 2) x 1 + 4 m
+1; y 2 = -2( m 2
+ 2 m - 2) x 2 + 4 m +1
và: x x m
ì í 1 + 2
= +
î
x 1 x
2
= 2( 1)
. 3
Vậy đường thẳng đi qua hai điểm cực đại và cực tiểu là y = -2(m2 + 2m - 2)x + 4m +1
A, B đối xứng qua (d): y x
1
2
ì ^
í Î î
= Û AB d
I d
Û m = 1.
Câu 10. Cho hàm số y = x 3 - 3(m +1)x 2 + 9x - m , với m là tham số thực.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 1.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1,x2 sao cho x1 - x2 £ 2 .
· Ta có y ' = 3x 2 - 6(m +1)x + 9.
+ Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại x1, x2 ÛPT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2
Û PT x 2 - 2(m +1)x + 3 = 0 có hai nghiệm phân biệt là x1, x2 .
é > - + Û = + - > Û ê
' ( 1)2 3 0 1 3
m m
m
1 3
D
ë < - -
(1)
+ Theo định lý Viet ta có x1 + x2 = 2(m +1); x1x2 = 3. Khi đó:
x x ( x x ) 2 2
x x ( m )
1 - 2 £ 2Û 1 + 2 - 4 1 2 £ 4Û4 +1 -12 £ 4 m m Û( +1)2 £ 4Û-3£ £ 1 (2)
+ Từ (1) và (2) suy ra giá trị của m cần tìm là -3£ m < -1- 3 và -1+ 3 < m £ 1.

Câu 11. Cho hàm số y = x 3 + (1- 2m)x 2 + (2- m)x + m + 2 , với m là tham số thực.
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 x2
1
3
- > .
· Ta có: y ' = 3x 2 + 2(1- 2m)x + (2- m)
Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 )
m m m m m
m
2 2
5
' (1 2 ) 3(2 ) 4 5 0 4
1
D
é
Û = - - - = - - > Û ê >
ê < - ë
(*)
2
(1 2 ) ; 2
3
+ = - - = -
Hàm số đạt cực trị tại các điểm x1,x2 . Khi đó ta có: x1 x2 m x1x2 m
3
2
2
x x ( x x ) ( x x ) x x
1 2 1 2 1
2 1 2
1
3
4 1
9
- > Û - = + - >
4(1 2m)2 4(2 m) 1 16m2 12m 5 0 m 3 29 m 3 29
Û - - - > Û - - > Û > + Ú < -
Kết hợp (*), ta suy ra m m
8 8
3 29 1
8
> + Ú < -
Câu 12. Cho hàm số y 1 x 3 mx 2 mx 1
= - + - , với m là tham số thực.
3
mm
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 - x2 ³ 8.
· Ta có: y ' = x 2 - 2mx + m .
Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 (giả sử x1 < x2 )
Û D¢ = m 2 - m > 0 Û 0
1
é <
êë >
(*). Khi đó: x1 + x2 = 2m, x1x2 = m .
x1 - x2 ³ 8 Û x x 2
( 1 - 2) ³ 64 Û m m 2 - -16 ³ 0 Û
é - m
£ ê + m
êë
êê
³ 1 65
2
1 65
2
(thoả (*))
Câu 13. Cho hàm số y 1 x 3 (m 1)x 2 3(m 2)x 1
= - - + - + , với m là tham số thực.
3 3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho ứng với m = 2 .
2) Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại x1, x2 sao cho x1 + 2x2 = 1.
· Ta có: y ¢= x 2 - 2(m -1)x + 3(m - 2)
Hàm số có cực đại và cực tiểu Û y ¢= 0có hai nghiệm phân biệt x1, x2
> Û - + > (luôn đúng với "m)
Û 2 m 5m 7 0 0 D¢
2( 1)
3( 2)
ì + = -
í = - î
Khi đó ta có: x x m
1 2
1 2
x x m
3 2
1 2 3( 2)
ì x 2
= - m
îï x 2 - x 2
= m
ïí
-
Û ( )
m2 m m 8 16 9 0 4 34
Û + - = Û = - ± .
4
Câu 14. Cho hàm số y = 4x 3 + mx 2 - 3x .
Trang 14

2) Tìm m để hàm số có hai điểm cực trị x1, x2 thỏa x1 = -4x2 .
· y x mx 2 12 2 3 ¢= + - . Ta có: m m 2 36 0, D¢
= + > " Þ hàm số luôn có 2 cực trị x1, x2 .
4 ; ; 1
Khi đó: x1 x2 x1 x2 m x1x2
6 4
ì
= - + = - = - íî
m
9
2
Þ = ±
a) y = x 3 + 3x 2 + mx +1; x1 + 2x2 = 3 ĐS: m = -1 05 .
Câu 15. Cho hàm số y 1 x 3 ax 2 3ax 4
= - - + (1) (a là tham số).
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi a = 1.
2) Tìm a để hàm số (1) đạt cực trị tại x1, x2 phân biệt và thoả mãn điều kiện:
2 2
1 2
x ax a a
2 2
a x ax a
2 1
2 9
2
2 9
+ +
+ =
+ +
(2)
· y¢ = x 2 - 2ax - 3a . Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1, x2
a a 2 4 12 0 D Û = + > Û aa
3
0
é < -
êë >
(*). Khi đó x1 + x2 = 2a , x1x2 = -3a .
Ta có: x 2 ax a a ( x x ) a a 2 a
1 + 2 2 + 9 = 2 1 + 2 +12 = 4 +12 > 0
Tương tự: x 2 ax a a 2 a
2 + 2 1 + 9 = 4 +12 > 0
2 2
2 2
4 + 12 + =
2
Do đó: (2) Û a a a
4 +
12
a a a
2
2
Û 4 +12 = 1 Û3a ( a + 4) = 0 Ûa = -4
a a
a
Câu 16. Cho hàm số y = 2x 3 + 9mx 2 +12m2x +1 (m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = –1.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số có cực đại tại xCĐ, cực tiểu tại xCT thỏa mãn: x CÑ xCT 2 = .
· Ta có: y¢ = 6x 2 +18mx +12m2 = 6(x 2 + 3mx + 2m2)
Hàm số có CĐ và CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2Û D = m2 > 0 Û m ¹ 0
Khi đó: x1 ( m m ) x2 ( m m )
1 3 , 1 3
2 2
= - - = - + .
Dựa vào bảng xét dấu y¢, suy ra xCÑ= x1, xCT = x2
Do đó: x CÑ xCT 2 = Û m m m m
2 3 3
2 2
æ - - ö - + ç ¸ = è ø
Û m = -2 .
Câu 17. Cho hàm số y = (m + 2)x 3 + 3x 2 + mx - 5 , m là tham số.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ
là các số dương.
· Các điểm cực đại, cực tiểu của đồ thị hàm số đã cho có hoành độ là các số dương
ÛPT y ' = 3(m + 2)x 2 + 6x + m = 0 có 2 nghiệm dương phân biệt

( 2) 0
' 9 3 ( 2) 0 ' 2 3 0 3 1
ì a = m
+ ¹
ï D = - m m + > ì Ûï D
= - m - m + > ì - < m < Û í P = m > + í m < Ûï í m < Û- < m
< - ï m ï î m + < ïî m
< - ï ï S
= - > î +
ïï
m
2
0 0 0 3 2
3( 2) 2 0 2
3 0
2
Câu 18. Cho hàm số y 1 x 3 1mx 2 (m2 3)x
= - + - (1), m là tham số.
3 2
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 0.
2) Tìm các giá trị của m để hàm số (1) có các điểm cực trị x1,x2 với x1 > 0,x2 > 0 và
x 2 x 2
1 2
5
2
+ = .
· y¢ = x 2 - mx + m2 - 3; y¢ = 0Û x 2 - mx + m2 - 3 = 0 (2)
YCBT Û
0
0
0
P
S
x 2 x 2
1 2
5
2
ìD >
ï > ï
> íï
+ = ïî
Û
ì ï < m
< í
Û m
= m
3 2 14
14 2
2
= ± ïî
.
Câu 19. Cho hàm số y = x 3 + (1- 2m)x 2 + (2- m)x + m + 2 (m là tham số) (1).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1) khi m = 2.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị hàm số (1) có điểm cực đại, điểm cực tiểu, đồng thời
hoành độ của điểm cực tiểu nhỏ hơn 1.
· y ¢= 3x 2 + 2(1- 2m)x + 2- m = g (x )
YCBT Û phương trình y ¢= 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn: x1 < x2 < 1.
Û
ìD¢ = - - >
4 2 5 0
m m
(1) 5 7 0
2 1 1
2 3
g m
S m
ïï
í = - + > ï = - < ïî
5 7
4 5
< < .
Û m
Câu 20. Cho hàm số y m x 3 (m 2)x 2 (m 1)x 2
= + - + - + (Cm).
3
2) Tìm m để hàm số có cực đại tại x1, cực tiểu tại x2 thỏa mãn x1 < x2 < 1.
· Ta có: y¢ = mx 2 + 2(m - 2)x + m -1; y¢ = 0Û mx 2 + 2(m - 2)x + m -1= 0 (1)
Hàm số có CĐ ,CT thỏa mãn x1 < x2 < 1 khi m > 0 và (1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1
Đặt t = x -1 Þ x = t +1, thay vào (1) ta được:
m(t +1)2 + 2(m - 2)(t +1) + m -1= 0 Ûmt2 + 4(m -1)t + 4m - 5 = 0
(1) có 2 nghiệm phân biệt bé hơn 1 Û (2) có 2 nghiệm âm phân biệt
ì m
>
ïï Û ¢ > í ï
P
> îï S
<
0
0
0
0
D
5 4
4 3
Û < < .
m
Câu 21. Cho hàm số y = x3 + (1- 2m)x2 + (2 -m)x + m+ 2 (Cm).
2) Tìm m để hàm số có ít nhất 1 điểm cực trị có hoành độ thuộc khoảng (-2;0) .
Trang 16

· Ta có: y¢ = 3x 2 + 2(1- 2m)x + 2- m ; y¢ = 0Û 3x 2 + 2(1- 2m)x + 2- m = 0 (*)
Hàm số có ít nhất 1 cực trị thuộc (-2;0) Û(*) có 2 nghiệm phân biệt x1, x2 và có ít nhất 1
nghiệm thuộc (-2;0)
2 0 (1)
2 0 (2)
é- < < <
x x
x x
1 2
1 2
Û ê- < < £ ê
2 0 (3)
x 1 £ - < x
2
< êë
Ta có:
2
1 2
( ) ( )
2
m m
m m m
x x
m m m
x x
x x m
1 2
1 2
4 5 0
' 4 5 0 2 1 2 0
2 0 3 10 (1) 2 (2 1) 2 1 2 2 0 4 0 7 3 3
0 0
3
4
2
D
ì - - >
ì = - - > ï - ï + ï- < < ïï- < < ïï Ûí Ûí - - Û- < < - ï + + > ï + + >
ï > ï - îï ï > ïî
ì ïî
4 m 2
ì 2
- m
- 5 > 0
= m - m - > ï ï Ûï f ( )
m
³ = - m £ ï m - í ( ) ( )
Ûï í > - Û ³ ï x 1 + + x
2
+ > m
ï
ï î ( x 1 + ) ( x + ) > ï - m ( m
- )
2
+ + > ' 4 5 0 2
0 2 0 2 1 (2) 2 2 2 2 0 3
2 2 0 2 4 2 1 4 0
3 3
D
( )
2
m m
2
m m m
f m m m
x x
x x m
1 2
1 2
4 5 0
' 4 5 0 3 5 0
(3) 2 10 6 0 2 1 5 1 0 0 3 3
0 2 0
3
D
ì - - >
ì = - - > ï + ³ ïï - = + £ ïï Ûí Ûí - < Û- £ < - ï + < ï
îï > ï - > ïî
5; 1 2;
3
é ö é Îê- - ¸Èë +¥ ë ø
Tóm lại các giá trị m cần tìm là: m )
Câu 22. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + 2 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1).
2) Tìm điểm M thuộc đường thẳng d: y = 3x - 2 sao tổng khoảng cách từ M tới hai điểm cực
trị nhỏ nhất.
· Các điểm cực trị là: A(0; 2), B(2; –2).
Xét biểu thức g (x,y) = 3x - y - 2 ta có:
g (xA,yA) = 3xA- yA- 2 = -4 < 0; g (xB,yB) = 3xB- yB- 2 = 6 > 0
Þ 2 điểm cực đại và cực tiểu nằm về hai phía của đường thẳng d: y = 3x - 2 .
Do đó MA + MB nhỏ nhất Û 3 điểm A, M, B thẳng hàng Û M là giao điểm của d và AB.
Phương trình đường thẳng AB: y = -2x + 2
Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ: y x x y
3 2 4; 2 2 2 5 5
ì = - ì í Ûí = = î y = - x
+ î
Þ M
4; 2
5 5
æ ö
ç ¸
è ø
Câu 23. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 -1)x - m3 + m (1)
2) Tìm m để hàm số (1) có cực trị đồng thời khoảng cách từ điểm cực đại của đồ thị hàm số
đến gốc tọa độ O bằng 2 lần khoảng cách từ điểm cực tiểu của đồ thị hàm số đến gốc tọa
độ O.
· Ta có y ¢= 3x 2 - 6mx + 3(m2 -1) . Hàm số (1) có cực trị Û PT y ¢= 0 có 2 nghiệm phân biệt
Û x 2 - 2mx + m2 -1= 0 có 2 nhiệm phân biệt ÛD = 1> 0,"m

Khi đó: điểm cực đại A(m -1;2- 2m) và điểm cực tiểu B(m +1;-2- 2m)
é Ta có OA = 2 OB Û m 2 + 6 m + 1 = 0 Û m
= - 3 + 2 2
ê
m
3 2 2
ë = - -
.
Câu 24. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm).
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị song
song với đường thẳng d: y = -4x + 3.
· Ta có: y ' = 3x 2 - 6x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2
ÛD ' = 9+ 3m > 0Û m > -3 (*)
1 1 ' 2 2 2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö
= ç - ¸ - ç + ¸ + ç - ¸
è ø è ø è ø
2 2 2 ; 2 2 2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö æ ö
Þ y1 y ( x1) m x1 m y2 y ( x2 ) m x2 m
= = -ç + ¸ + ç - ¸ = = -ç + ¸ + ç - ¸
è ø è ø è ø è ø
2 2 2
3 3
æ ö æ ö
= -ç + ¸ + ç - ¸
è ø è ø
D // d: y = -4x + 3
ì æ ö
ï-ç + ¸= - Ûï è ø Û = íæ ö ïç - ¸¹ îïè ø
2 m
2 4
3 m
3
2 m
3
3
(thỏa mãn (*))
a) y 1 x 3 mx 2 (5m 4)x 2
= - + - + , d : 8x + 3y + 9 = 0 ĐS: m = 0; m = 5 .
3
Câu 25. Cho hàm số y = x 3 + mx 2 + 7x + 3 có đồ thị là (Cm).
2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị
vuông góc với đường thẳng d: y = 3x - 7.
· Ta có: y ' = 3x 2 + 2mx + 7. Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1,x2 .
ÛD ' = m2 - 21> 0Û m > 21 (*)
Thực hiện phép chia y cho y¢ ta được: y x y m2 x m 1 1 ' 2(21 ) 3 7
æ ö æ ö
= ç + + - + 3 9 ¸ 9 ç - ¸
è ø è 9
ø
( ) 2(21 ) 3 7
æ ö
Þ y y x m2 x m
= = - + ç - ¸
1 1 1
9 9
è ø
( ) 2(21 ) 3 7
æ ö
; y y x m2 x m
= = - + ç - ¸
2 2 2
9 9
è ø
Þ Phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là D: y = 2(21 - m2)x + 3 -
7m
9 9
D ^ d: y = -4x + 3Û
m
21
2(21 m2
).3 1
9
ì > ïí
- = - ïî
Û m
3 10
2
= ± .
Câu 26. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 có đồ thị là (Cm).
Trang 18

2) Tìm m để (Cm) có các điểm cực đại, cực tiểu và đường thẳng đi qua các điểm cực trị tạo
với đường thẳng d: x + 4y - 5 = 0 một góc a = 450 .
· Ta có: y ' = 3x 2 - 6x - m . Hàm số có CĐ, CT Û y ' = 0 có 2 nghiệm phân biệt x1; x2
ÛD ' = 9+ 3m > 0Û m > -3 (*)
1 1 ' 2 2 2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö
= ç - ¸ - ç + ¸ + ç - ¸
è ø è ø è ø
2 2 2 ; 2 2 2
3 3 3 3
æ ö æ ö æ ö æ ö
Þ y1 y ( x1) m x1 m y2 y ( x2 ) m x2 m
= = -ç + ¸ + ç - ¸ = = -ç + ¸ + ç - ¸
è ø è ø è ø è ø
2 2 2
3 3
æ ö æ ö
= -ç + ¸ + ç - ¸
è ø è ø
2 2
3
æ ö
Đặt k m
= -ç + ¸
è ø
. Đường thẳng d: x + 4y - 5 = 0 có hệ số góc bằng 1
- .
4
Ta có:
1 1 1 1 3 39
+ é é é ê + = - ê = ê = -
k k k k m
tan45 = 4 Û ê 4 4 5 10 1 1 1 1 1 Û ê 5 Û ê
1
- k ê êë k + = - + k ê k = - ê êë êë
m
= - 4 4 4 3 2
o
Kết hợp điều kiện (*), suy ra giá trị m cần tìm là: m
1
2
= - .
a) y = x 3 - 3(m -1)x 2 + (2m2 - 3m + 2)x - m(m -1) , d y x
: 1 5
= - + , 0 a = 45 . ĐS: m
4
3 15
2
= ±
Câu 27. Cho hàm số y = x3 - 3x2 + 2 (C).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tìm m để đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của (C) tiếp xúc với đường tròn (S) có
phương trình (x - m)2 + (y - m -1)2 = 5 .
· Phương trình đường thẳng D đi qua hai điểm cực trị 2x + y - 2 = 0.
(S) có tâm I(m,m +1) và bán kính R= 5 .
2m + m + 1 -
2
D tiếp xúc với (S) Û 5
5
2; 4
Û = = - .
= Û 3m -1 = 5 m m
3
Câu 28. Cho hàm số y x mx Cm = 3 - 3 + 2 ( ) .
2) Tìm m để đường thẳng đi qua điểm cực đại, cực tiểu của ( ) Cm cắt đường tròn tâm I(1;1) ,
bán kính bằng 1 tại hai điểm phân biệt A, B sao cho diện tích DIAB đạt giá trị lớn nhất .
· Ta có y ' = 3x 2 - 3m . Hàm số có CĐ, CT Û PT y ' = 0 có hai nghiệm phân biệt Ûm > 0
Vì y x y mx
1 . 2 2
3
= ¢ - + nên đường thẳng D đi qua các điểm CĐ, CT của đồ thị hàm số có
phương trình là: y = -2mx + 2
Ta có ( ) 2 m
1
, 1
d I R
m2
4 1
D
-
= < =
+
(vì m > 0) Þ D luôn cắt đường tròn tâm I(1; 1), bán kính R
= 1 tại 2 điểm A, B phân biệt.

Với m
¹ : D không đi qua I, ta có: S ABI 1 IA.IB.sinAIB 1R2 1
1
2
D 2 2 2 = £ =
Nên SDIAB đạt GTLN bằng 1
2
khi sin·AIB= 1 hay DAIB vuông cân tại I IH R
1
Û = =
2 2
2 1 1 2 3
4 1 2 2
m
- Û = Û =
± m
m2
+
(H là trung điểm của AB)
Câu 29. Cho hàm số y = x 3 + 6mx 2 + 9x + 2m (1), với m là tham số thực.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ gốc toạ độ O đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng
4
5
.
· Ta có: y¢ = 3x2 +12mx + 9 . Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
m2 m ' 4 3 0 3
ÛD = - > Û > hoặc m
2
3
2
< - (*)
Khi đó ta có: y x 2m .y (6 8m2)x 4m
æ ö ¢ = ç + ¸ + - - è ø
3 3
Þ đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số (1) có PT là: D : y = (6- 8m2)x - 4m
( , D ) = - 4 = 4 Û 64 - 101 + 37 =
0
d O m m m
(6 8 ) 1 5
m
4 2
2 2
- +
1
37 ( )
8
é = ±
m
m lo aïi
Û êê = ± êë
Û m = ±1.
Câu 30. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + (m - 6)x + m - 2 (1), với m là tham số thực.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm A(1;-4) đến
đường thẳng đi qua hai điểm cực trị bằng
12
265
.
· Ta có: y¢ = 3x 2 - 6x + m - 6. Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Û D¢ = 32 - 3(m - 6) > 0Û m < 9 (*)
Ta có: y x y m x m
1( 1). 2 6 4 4
3 3 3
¢ æ ö = - + ç - ¸ + - è ø
2 6 4 4
3 3
æ ö
= ç - ¸ + - è ø
Þ PT đường thẳng qua 2 điểm cực trị D: y m x m
Þ
( , D ) = 6 - 18 =
12
d A m
4 72 333 265
m2 m
- +
Û
m
m
1
1053
249
é =
ê
= êë
(thoả (*))
Câu 31. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + mx +1 (1), với m là tham số thực.
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực trị sao cho khoảng cách từ điểm I
1;11
2 4
æ ö
çè ø¸
đến đường thẳng đi qua hai điểm cực trị là lớn nhất.
· Ta có: y¢ = 3x 2 - 6x + m . Hàm số có 2 điểm cực trị Û PT y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt
Û D¢ > 0Ûm < 3 .
Trang 20

1 2 2 1
æ ö ¢ æ ö = ç - ¸ + ç - ¸ + + è ø è ø
Ta có: y x y m x m
3 3 3 3
: 2 2 1
Þ PT đường thẳng qua hai điểm cực trị là: y m x m
3 3
D
æ ö
= ç - ¸ + + è ø
.
Dễ dàng tìm được điểm cố định của D là A
1;2
2
æ ö
ç- ¸ è ø
. AI
1; 3
4
æ ö
= ç ¸ è ø
uur
.
Gọi H là hình chiếu vuông góc của I trên D.
Ta có d (I,D) = IH £ IA. Dấu "=" xảy ra Û IA^D Û m m
1 2 2 .3 0 1
æ ö
+ ç - ¸ = Û = è ø
3 4
.
max( ( , )) 5
Vậy d I
D = khi m = 1.
4
Câu 32. Cho hàm số y x m x m m x m m Cm = 3 + 3( +1) 2 + 3 ( + 2) + 3 + 3 2 ( ) .
2) Chứng minh rằng với mọi m, đồ thị (Cm) luôn có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2
điểm cực trị là không đổi.
· Ta có: y¢ = 3x 2 + 6(m +1)x + 6m(m + 2) ; y x m
¢ = 0Û é = -2- êë x = -
m
.
Đồ thị (Cm) có điểm cực đại A(-2- m;4) và điểm cực tiểu B(-m;0) Þ AB= 2 5 .
Câu 33. Cho hàm số y = 2x 2 - 3(m +1)x 2 + 6mx + m3 .
2) Tìm m để đồ thị hàm số có hai điểm cực trị A, B sao cho AB= 2 .
· Ta có: y¢ = 6(x -1)(x - m) . Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 1.
Khi đó các điểm cực trị là A(1;m3 + 3m -1),B(m;3m2) .
AB= 2 Û (m -1)2 + (3m2 - m3 - 3m +1) = 2Û m = 0; m = 2 (thoả điều kiện).
Câu 34. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 -1)x - m3 + 4m -1 (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -1.
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho DOAB vuông tại O.
· Ta có: y ¢= 3x 2 - 6mx + 3(m2 -1) ; y x m y m
0 1 3 1 1
¢= Ûé = + Þ = - êë x = m - Þ y = m
+
uuur
Þ A(m +1;m - 3) , B(m -1;m +1) Þ OA= (m +1;m - 3)
uuur
, OB= (m -1;m +1)
.
uuur uuur
DOAB vuông tại O Û OA.OB= 0
2 2 2 4 0 1 2
- - = Û é = - êë =
Û m m m
m
.
Câu 35. Cho hàm số y = 2x 2 - 3(m +1)x 2 + 6mx + m3 (1)
2) Tìm m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho tam giác ABC vuông tại
C, với C(4;0) .
· Ta có: y¢ = 6(x -1)(x - m) . Hàm số có CĐ, CT Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m ¹ 1.
Khi đó các điểm cực trị là A(1;m3 + 3m -1),B(m;3m2) .
uuur uuur
DABC vuông tại C Û AC.BC= 0
Û (m +1) éëm2(m2 - m +1) + 3m2 - 5m + 4ùû = 0
Û m = -1

Câu 36. Cho hàm số y = x 3 + 3x 2 + m (1)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -4 .
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có hai điểm cực trị A, B sao cho ·AOB= 1200 .
· Ta có: y ¢= 3x 2 + 6x ; y x y m
0 2 4 0
¢= Û é = - Þ = + êë x = Þ y =
m
Vậy hàm số có hai điểm cực trị A(0 ; m) và B(-2 ; m + 4)
uuur uuur
OA= (0;m), OB= (-2;m + 4)
cos 1
. Để ·AOB= 1200 thì AOB
2
= -
( 4) 1 4 ( 4) 2 ( 4) 4 0
4 ( 4) 2 3 24 44 0
Û m m + = - Û m ( ì- + m + ) = - < m
< m m + Û í 2 2 î
2
+ + + + = ( )
2 2
m m m m
4 0 12 2 3
ì- < Ûï ïî
m
< - + í - ± Û m
= m
= 12 2 3 3
3
Câu 37. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 + m2 - m +1 (1)
2) Tìm m để đồ thị hàm số (1) có hai điểm cực đại, cực tiểu là A và B sao cho diện tích tam
giác ABC bằng 7, với điểm C(–2; 4 ).
· Ta có y ' = 3x 2 - 6x ; y ' = 0Û3x 2 - 6x = 0Û x = 0; x = 2 Þ Hàm số luôn có CĐ, CT.
Các điểm CĐ, CT của đồ thị là: A(0;m2 - m +1) , B(2;m2 - m - 3) , AB= 22 + (-4)2 = 2 5
Phương trình đường thẳng AB: x y m m 0 2 1
- = - + -
2 -
4
Û 2x + y - m2 + m -1= 0
S d C AB AB m m m m
ABC
2
1 ( , ). 1. 1 .2 5 2 1 7
2 2 5 D
- + = = = - + = mm3
Û é = êë = -
2
.
a) y = x 3 - 3mx + 2,C(1;1),S = 18 . ĐS: m = 2 .
Câu 38. Cho hàm số y = x 3 - 3(m +1)x 2 +12mx - 3m + 4 (C)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số m = 0.
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị là A và B sao cho hai điểm này cùng với điểm C
1; 9
æ ö
ç- - è 2
¸
ø
lập thành tam giác nhận gốc tọa độ O làm trọng tâm.
· Ta có y ' = 3x 2 - 3(m +1)x +12m . Hàm số có hai cực trị Û y¢ = 0 có hai nghiệm phân biệt
Û D = (m -1)2 > 0Û m ¹ 1 (*). Khi đó hai cực trị là A(2;9m), B(2m;-4m3 +12m2 -3m + 4) .
DABC nhận O làm trọng tâm Û
2 2 1 0 1
4 12 6 4 9 0 2
ìï + m
- = í - m3 m2 Û = - + + m
+ - m
ïî
= 2
(thoả (*)).
Câu 39. Cho hàm số y = f(x ) = 2x 3 + 3(m - 3)x 2 +11- 3m (Cm ).
2) Tìm m để (Cm ) có hai điểm cực trị M1,M2 sao cho các điểmM1,M2 và B(0; –1) thẳng
hàng.
· y¢ = 6x2 + 6(m - 3) . y¢ = 0 Û
xx
m
0
3
é =
êë = - . Hàm số có 2 cực trị Û m ¹ 3 (*).
Trang 22

( ) ( ) 1 3 ( 3)2 11 3
¢ æ - ö = ç + ¸- - + -
Chia f(x ) cho f¢(x ) ta được: f x f x x m m x m
3 6
è ø
Þ phương trình đường thẳng M1M2 là: y = -(m - 3)2x +11- 3m
M1,M2,B thẳng hàng Û BÎM1M2 Û m = 4 (thoả (*)).
Câu 40. Cho hàm số y x mx m x Cm 1 3 2 ( 2 1) 1 ( )
= - + - + .
3
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = 2 .
2) Tìm m để hàm số có cực đại, cực tiểu và yCÑ+ yCT > 2.
· Ta có: y¢ = x 2 - 2mx + m2 -1. y x m
0 11
¢ = Û é = + êë x = m
-
.
2 3 2 2 2 1 0 1
- + > Û é- < < êë >
yCÑ+ yCT > 2 Û m m m
m
.
Câu 41. Cho hàm số y 1 x 3 (m 1)x 2 4(m 1)3
= - + + + (1) (m là tham số thực).
3 3
2) Tìm m để các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (1) nằm về 2 phía (phía trong và phía
ngoài) của đường tròn có phương trình (C): x 2 + y2 - 4x + 3 = 0 .
· y¢ = x 2 - 2(m +1)x . y x
0 02( 1)
¢ = Û é = êë x = m
+
. Hàm số có cực trị Û m ¹ -1 (1)
Gọi hai điểm cực trị của đồ thị là: A 0; 4(m 1)3
æ ö
ç + ¸ è ø
3
, B(2(m +1);0) .
(C) có tâm I(2; 0), bán kính R = 1. IA 4 16(m 1)6
= + + , IB= 4m2 .
9
A, B nằm về hai phía của (C) Û (IA2 - R2)(IB2 - R2) < 0 Û 4m2 1 0 1 m 1
- < Û- < < (2)
2 2
1 1
2 2
Kết hợp (1), (2), ta suy ra: m
- < < .
Câu 42. Cho hàm số y = x 3 - 3mx 2 + 3(m2 -1)x - m3 (Cm)
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1) khi m = -2 .
2) Chứng minh rằng (Cm) luôn có điểm cực đại và điểm cực tiểu lần lượt chạy trên mỗi
đường thẳng cố định.
· y ¢= 3x 2 - 6mx + 3(m2 -1) ; y x m
0 11
¢= Û é = + êë x = m
-
1
2 3
ì = - +
í = - î
Điểm cực đại M(m -1;2- 3m) chạy trên đường thẳng cố định: x t
y t
1
2 3
ì = +
í = - - î
Điểm cực tiểu N(m +1;-2- m) chạy trên đường thẳng cố định: x t
y t
Câu 43. Cho hàm số y x mx x m Cm 1 3 2 1 ( )
= - - + + .
3
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 2 điểm cực trị và khoảng cách giữa 2 điểm cực trị là nhỏ nhất.

· Ta có: y¢ = x 2 - 2mx -1; y¢ = 0 có D¢ = m2 +1> 0,"m Þ hàm số luôn có hai điểm cực trị
x1,x2 . Giả sử các điểm cực trị của (Cm) là A(x1; y1),B(x2; y2) .
Ta có: y = 1(x - m).y ¢ - 2(m2 + 1)x + 2m +
1
3 3 3
2( 1) 2 1
3 3
Þ y m2 x m
2( 1) 2 1
3 3
= - + + + ; y m2 x m
1 1
= - + + +
2 2
( ) ( ) (4 4) 1 4( 1) 4 1 4
é ù æ ö
Do đó: AB2 x x 2 y y 2 m2 m2 2
= 2 - 1 + 2 - 1
= + ê + + ú ³ + ë û è ç ø
¸ 9 9
Þ AB
2 13
3
min 2 13
³ . Dấu "=" xảy ra Û m = 0 . Vậy AB
= khi m = 0 .
3
Câu 44. Cho hàm số y = x 3 - 3x 2 - mx + 2 (1) .
2) Tìm m để hàm số (1) có 2 cực trị và đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị của đồ thị hàm số
tạo với hai trục toạ độ một tam giác cân.
· y¢ = 3x 2 - 6x - m . Hàm số có 2 cực trị Û y¢ = 0 có 2 nghiệm phân biệt Û m > -3.
Ta có: y x y m x m
1( 1). 2 2 2
3 3 3
¢ æ ö = - + ç- - ¸ + - è ø
Þ Đường thẳng D đi qua 2 điểm cực trị của đồ
2 2 2
3 3
æ ö
= ç- - ¸ + - è ø
thị có phương trình: y m x m
.
æ - ö
ç + ¸ è ø
D cắt Ox, Oy tại A m
m
6 ;0
2( 3)
0; 6
æ - ö
çè ø¸
, B m
3
(m ¹ 0).
- = -
+ Û m m m
Tam giác OAB cân Û OA = OB Û m m
m
6 6
2( 3) 3
6; 9; 3
= = - = - .
2 2
Đối chiếu điều kiện ta có m
3
2
= - .
Câu 45. Cho hàm số : y = 1 x 3 mx 2 (m2 m 1)x 1
3
- + - + + (1).
2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (-¥;1) .
· Tập xác định D = R. y¢ = x 2 - 2mx + m2 - m +1.
Đặt t = x -1Þ x = t +1 ta được : y ' = g (t) = t2 + 2(1- m) t + m2 - 3m + 2
Hàm số(1) có cực trị trong khoảng(-¥;1) Û f(x ) = 0 có nghiệm trong khoảng (-¥;1) .
Û g (t) = 0 có nghiệm t < 0
0
' 0
0
0
é P
<
S
< êëîï P
³
é m 2
- m
+ <
êì Û êï m
- ³ êí m
- <
êï ëî
m 2
- m
+ ³ 3 2 0
1 0
2 2 0
3 2 0
Û1< m < 2
Vậy: Với 1< m < 2thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (-¥;1)
3
- + - + + (1).
2) Tìm m để hàm số có cực trị trong khoảng (1;+¥) .
Trang 24

Hàm số(1) có cực trị trong khoảng (1;+¥) Û f(x ) = 0 có nghiệm trong khoảng (1;+¥) .
Û g (t) = 0 có nghiệm t > 0
0
' 0
0
0
é P
<
S
> êëîï P
³
é m 2
- m
+ <
êì Û êï m
- ³ êí m
- >
êï ëî
m 2
- m
+ ³ 3 2 0
1 0
2 2 0
3 2 0
Û1< m
Vậy: Với m > 1 thì hàm số (1) có cực trị trong khoảng (1;+¥)
3
- + - + + (1).
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả mãn x1 < 1< x2 .
Đặt t = x -1Þ x = t +1 ta được: y ' = g (t) = t2 + 2(1- m)t + m2 - 3m + 2
(1) có hai cực trị x1,x2 thoả x1 < 1< x2 Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < 0 < t2
Û P< 0 Ûm2 - 3m + 2 < 0 Û1< m < 2
Vậy: Với 1< m < 2thì hàm số (1) có hai cực trị x1,x2 thoả mãn x1 < 1< x2 .
3
- + - + + (1).
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả mãn x1 < x2 < 1.
(1) có hai cực trị x1,x2 thoả x1 < x2 < 1 Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả t1 < t2 < 0
' 0
0
0
Ûï ìD > S
< î P
íï
>
ì m
- >
Ûï m 2
- m + > íï
Û m
ÎÆ î m
- <
1 0
3 2 0
2 2 0
. Vậy: Không có giá trị nào của m nào thoả YCBT.
3
- + - + + (1).
2) Tìm m để hàm số có hai cực trị x1,x2 thoả mãn 1< x1 < x2 .
(1) có hai cực trị x1,x2 thoả 1< x1 < x2 Û g (t) = 0 có hai nghiệm t1,t2 thoả 0 < t1 < t2
' 0
0
0
Ûï ìD > S
> î P
íï
>
ì m
- >
Ûï m 2
- m + > íï
Û m
> î m
- >
1 0
3 2 0 2
2 2 0
Vậy: Với m > 2 thì hàm số (1) có hai cực trị x1,x2 thoả mãn 1< x1 < x2 .
Dạng 2: Cực trị của hàm số trùng phương: y = f(x ) = ax 4 + bx 2 + c

A. Kiến thức cơ bản
· Hàm số luôn nhận x = 0 làm 1 điểm cực trị.
· Hàm số có 1 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 1 nghiệm.
· Hàm số có 3 cực trị Û phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
· Khi đồ thị có 3 điểm cực trị A(0;c),B(x1; y1),C(x2; y2) thì DABC cân tại A.
B. Một số dạng câu hỏi thường gặp
1. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành tam giác vuông cân
hoặc tam giác đều.
– Tìm điều kiện để phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A.
uuur uuur
– Giải điều kiện: DABC vuông tại A Û AB.AC= 0
DABC đều Û AB= BC
2. Tìm điều kiện để đồ thị hàm số có các điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện
tích S cho trước.
– Tìm điều kiện để phương trình y¢ = 0 có 3 nghiệm phân biệt.
– Tìm toạ độ các điểm cực trị A, B, C. Lập luận chỉ ra DABC cân tại A.
– Kẻ đường cao AH.
– Giải điều kiện: S SABC AH BC
1 .
2
= = .
Câu 50. Cho hàm số y = x 4 - 2(m2 - m +1)x 2 + m -1.
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số .
2) Tìm m để đồ thị (C) có khoảng cách giữa hai điểm cực tiểu ngắn nhất.
x
0
· y¢ = 4x 3 - 4(m2 - m +1)x ;
y
x m2 m
0
1
¢ é = = Û ê
= ± - + êë
.
æ ö
Khoảng cách giữa các điểm cực tiểu: d = m m m
2
2 2 1 2 1 3
- + = ç - ¸ + è ø
2 4
Þ mind = 3 Û m = 1
2
.
Câu 51. Cho hàm số y 1 x 4 mx 2 3
= - + (1)
2 2
2) Xác định m để đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại.
· y ¢= 2x 3 - 2mx = 2x (x 2 - m) . x
y
0 0 ¢ é = = Û ê = ë
x 2 m
Đồ thị của hàm số (1) có cực tiểu mà không có cực đại Û PT y ¢= 0 có 1 nghiệm Û m £ 0
Câu 52. Cho hàm số y = -x 4 + 2mx 2 - 4 (Cm ) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số khi m = 2 .
2) Tìm các giá trị của m để tất cả các điểm cực trị của (Cm ) đều nằm trên các trục toạ độ.
· Ta có: y¢ = -4x 3 + 4mx ; x
y
0 0 ¢ é = = Û ê = ë
x 2 m
.
Trang 26

+ Nếu m £ 0 thì đồ thị có 1 điểm cực trị duy nhất (0;-4)ÎOy .
+ Nếu m > 0 thì (Cm ) có 3 điểm cực trị A(0;-4),B(- m;m2 - 4),C( m;m2 - 4) .
Để A, B, C nằm trên các trục toạ độ thì B, C Î Ox Û m
m
m2
0 2
4 0
ì > Û = í - = î
.
Vậy: m £ 0 hoặc m = 2 .
Câu 53. Cho hàm số y = x 4 + (3m +1)x 2 - 3 (với m là tham số).
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = -1.
2) Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác
cân sao cho độ dài cạnh đáy bằng 2
3
lần độ dài cạnh bên.
· Ta có: y ' = 4x 3 + 2(3m +1)x ; y ' 0 x 0,x 2 3m 1
= Û = = - + .
2
Đồ thị hàm số có ba điểm cực trị m
1
3
Û < - (*). Ba điểm cực trị là:
A(
æ - 3 - 1 2 ö ç ; - (3 + 1)- 3
¸
è 2 4
ø
0;-3) ;B m m
æ ç- - 3 - 1 2 ö ; - (3 + 1)- 3
¸
è 2 4
ø
;C m m
æ - - ö æ - - + ö = Û ç ¸= ç + ¸ è ø è ø
DABC cân tại A;BC 2 AB m m m
3
3 1 3 1 (3 1)4 9.4 4
2 2 16
m
5
3
Û = - , thoả (*).
Câu 54. Cho hàm số y = f(x ) = x 4 + 2(m - 2)x 2 + m2 - 5m + 5 (Cm ) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) hàm số khi m = 1.
2) Tìm các giá trị của m để đồ thị (Cm ) của hàm số có các điểm cực đại, cực tiểu tạo thành 1
tam giác vuông cân.
· Ta có ( ) 4 4( 2) 0 x
0
¢ é = = + - = Û ê = - ë
f x x m x
x m
3
2
2
Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢(x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2 (*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A( 0;m2 - 5m + 5) , B( 2- m;1- m ) , C( - 2- m;1- m )
uuur ( ) uuur
Þ AB= 2- m;-m2 + 4m - 4, AC = ( - 2- m;-m2 + 4m - 4)
Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi DABC vuông tại A
uuur uuur
Û AB.AC= 0Û(m - 2)3 = -1Û m = 1
(thoả (*))
Câu 55. Cho hàm số ( ) y x m x m m Cm = 4 + 2( - 2) 2 + 2 - 5 + 5
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có điểm cực đại và điểm cực tiểu, đồng thời
các điểm cực đại và điểm cực tiểu lập thành một tam giác đều.
· Ta có ( ) 4 4( 2) 0 x
0
¢ é = = + - = Û ê = - ë
f x x m x
x m
3
2
2
Hàm số có CĐ, CT Û PT f ¢(x ) = 0 có 3 nghiệm phân biệt Û m < 2 (*)
Khi đó toạ độ các điểm cực trị là: A( 0;m2 - 5m + 5) , B( 2- m;1- m ) , C( - 2- m;1- m )
uuur ( ) uuur
Þ AB= 2- m;-m2 + 4m - 4, AC = ( - 2- m;-m2 + 4m - 4)
cos 1
Do DABC luôn cân tại A, nên bài toán thoả mãn khi μA= 600 Û A
2
=

uuur uuur
uuur uuur Û m = 2- 3 3 .
. 1
. 2
Û ABAC
AB AC
=
(Chú ý: Có thể dùng tính chất: DABC đều Û AB = BC = CA).
a) y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m4 . ĐS: m = 3 3
3 b) y = x 4 - 4(3 m -1)x 2 + 2m -1. ĐS: m
1
2
= +
c) y = x 4 - 4(m -1)x 2 + 2m -1
Câu 56. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2m + m4 có đồ thị (Cm) .
2) Với những giá trị nào của m thì đồ thị (Cm) có ba điểm cực trị, đồng thời ba điểm cực trị
đó lập thành một tam giác có diện tích S = 4 .
· Ta có x
é = = - = Û ê = - = ë
y x mx
g x x m
3
2
' 4 4 0 0
( ) 0
Hàm số có 3 cực trịÛ y ' = 0 có 3 nghiệm phân biệtÛDg = m > 0Ûm > 0 (*)
Với điều kiện (*), phương trình y ¢= 0có 3 nghiệm x1 = - m; x2 = 0; x3 = m . Hàm số đạt
cực trị tại x1; x2; x3 . Gọi A(0;2m + m4);B( m;m4 - m2 + 2m ) ;C( - m;m4 - m2 + 2m ) là 3 điểm
cực trị của (Cm) .
Ta có: AB2 = AC2 = m4 + m;BC2 = 4m ÞDABC cân đỉnh A
Gọi M là trung điểm của BCÞM(0;m4 - m2 + 2m)Þ AM= m2 = m2
Vì DABC cân tại A nên AM cũng là đường cao, do đó:
5
1 . 1. 2. 4 4 2 4 5 16 516
D 2 2 = = = Û = Û = Û = . Vậy m = 516 .
S ABC AMBC m m m m m
a) y = x 4 - 2m2x 2 +1, S = 32. ĐS: m = ±2
b) y 1 x 4 2mx 2 m
= - + , S = 32 2 . ĐS: m = 2
4
c) y = x 4 - 2m2x 2 + m4 + m , S = 32. ĐS: m = ±2
d) y = x 4 - 2mx 2 + 2m2 - 4, S = 1. ĐS: m = 1
Câu 57. Cho hàm số y = x 4 + 2mx 2 + m2 + m có đồ thị (Cm) .
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số khi m = –2.
đó lập thành một tam giác có một góc bằng 1200 .
x
0
· Ta có y¢ = 4x 3 + 4mx ;
y x x 2 m
x m
0 4 ( ) 0
é =
¢ = Û + = Û ê
= ± - êë
(m < 0)
Khi đó các điểm cực trị là: A(0;m2 + m), B( -m;m) ,C( - -m;m )
uuur
uuur
AB= ( -m;-m2)
; AC= (- -m;-m2)
. DABC cân tại A nên góc 120o chính là μA.
cos 1 . 1 . 1
Û = - Û = - Û - - - + = -
μA=120o A ABAC m m m
2 . 2 2
AB AC m m
4
4
-
uuur uuur
uuur uuur
Trang 28

1 0 ( ) 2 2 3 0 1
2
m m 4
m lo aïi m m 4 4 4
m m m 4
m m m
m 3
3
é = Û + = - Þ + = - Û + = Û ê - ê = - êë
1
3
= - .
. Vậy m 3
Câu 58. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + m -1 có đồ thị (Cm) .
đó lập thành một tam giác có bán kính đường tròn ngoại tiếp bằng 1.
· Ta có x
4 4 4 ( ) 0 0 ¢ é = = - = - = Û ê = ë
y x mx x x m
x m
3 2
2
Hàm số đã cho có ba điểm cực trị ÛPT y ¢= 0 có ba nghiệm phân biệt và y ¢ đổi dấu khi x
đi qua các nghiệm đó Ûm > 0 . Khi đó ba điểm cực trị của đồ thị (Cm) là:
A(0;m -1),B( - m;-m2 + m -1) ,C( m;-m2 + m -1)
S ABC yB yA xC xB m m 1 . 2
V = - - = ; AB= AC= m4 + m ,BC= 2 m
2
. . ( )2 1 1 1 2 1 0 5 1 4 4 2
+ é = = = Û = Û - + = Û ê - ê = êë
ABACBC m m m m R m m
S m m m
ABC
4
3
2
V
1, 1 5
= = - +
a) y = x 4 - 2mx 2 +1 ĐS: m m
2
Câu 59. Cho hàm số y = x 4 - 2mx 2 + 2 (Cm).
2) Tìm các giá trị của m để (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có đường tròn
ngoại tiếp đi qua điểm D
3; 9
5 5
æ ö
çè ø¸
.
4 4 ; 0 0 ¢ ¢ é = = - = Û ê = ë
· Ta có: x
y x mx y
x m
3
2
. Hàm số có 3 điểm cực trị Û m > 0 .
Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là: A(0;2),B(- m;-m2 + 2),C( m;-m2 + 2) .
Gọi I(x; y ) là tâm của đường tròn (P) ngoại tiếp DABC.
Ta có:
ì =
2 2
2 2
2 2
IA ID
IB IC
IB IA
ïí
=
ï = î
Û
3 1 0
2 2
( ) ( 2) ( 2)
ì - + =
ï = - íï
î + + + - = + -
x y
x m x m
x m 2 y m2 2 x 2 y 2
Û
x
ym
0
1
1
ìï == íï
î =
. Vậy m = 1.
Câu 60. Cho hàm số y = x 4 - 2(1- m2)x 2 + m +1 (Cm).
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có diện tích lớn nhất.
· y¢ = 4x 3 - 4(1- m2)x ; x
y
0 0
¢ é = = Û ê = - ë
x 2 1
m2
. Hàm số có 3 cực trị Û -1< m < 1.
Khi đó các điểm cực trị của (Cm) là:
A(0;1+ m) , B( - 1- m2; 1- m2 ) , C( 1- m2; 1- m2 )
Ta có: SABC d ABC BC m1 ( , ). (1 2)2 1
= = - £ . Dấu "=" xảy ra Û m = 0 .
2

Vậy maxSABC =1Ûm = 0.
Câu 61. Cho hàm số y 1 x 4 (3m 1)x 2 2(m 1)
= - + + + (Cm).
4
2) Tìm m để đồ thị (Cm) có 3 điểm cực trị tạo thành một tam giác có trọng tâm là gốc toạ độ
O.
· y¢ = x 3 - 2(3m +1)x ; x
y
0 0
¢ é = Û = ê ë
x 2 = m
+ 2(3 1)
. Hàm số có 3 cực trị Û m
1
3
> - (*)
Khi đó toạ độ 3 điểm cực trị là:
A(0;2m + 2),B(- 6m + 2;-9m2 - 4m +1),C( 6m + 2;-9m2 - 4m +1)
DABC có trọng tâm O Û - 18m2 - 6m + 4 = 0 Û m = - 2;1
m =
3 3
Đối chiếu với điều kiện (*), suy ra m
1
3
= .
Trang 30

Cực trị của hàm số, ôn thi đại học môn toán

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Cực trị của hàm số, ôn thi đại học môn toán

Similar to Cực trị của hàm số, ôn thi đại học môn toán (20)

More from hai tran

More from hai tran (12)

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

Cực trị của hàm số, ôn thi đại học môn toán